Số Phức - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

4

<b>SỐ PHỨC</b>

§1

<b>SỐ PHỨC</b>

<b>A</b>

<b>TĨM TẮT LÍ THUYẾT</b>

<b>1</b> <b>ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC</b>

Định nghĩa. Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a và b là những số thực và số i

thỏa mãn i2 = −1 . Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi.

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi.

Tập hợp các số phức được kí hiệu là C.

Ví dụ 1. Các số sau là những số phức:

3 − 5i ; −√3 + 5i ; 2 + (−4) i.

<b>2</b> <b>SỐ PHỨC BẰNG NHAU</b>

Định nghĩa. Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng

bằng nhau.

a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d.

Ví dụ 1. Tìm các số thực x, y, biết

(3x − y) + (2y − 1) i = (x + 1) + (y + 2) i

Lời giải.

Từ định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta có






3x − y = x + 1

2y − 1 = y + 2
⇔





x = 2

y = 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

!

a) Mỗi số thực a được gọi là một số phức với phần ảo bằng 0, tức là a = a + 0i.

Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có R ⊂ C.

b) Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi, tức là bi = 0 + bi.

<b>3</b> <b>BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC</b>

Định nghĩa.

Điểm M (a; b) trong một hệ trục tọa độ vng góc của mặt phẳng được

gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.

O x

y

b

a
M

<b>4</b> <b>MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC</b>

Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M (a; b) trên mặt phẳng tọa độ.

Định nghĩa.

Độ dài của véc-tơOM được gọi là mơ-đun của số phức z và kí hiệu là# »
|z|.

Từ định nghĩa, suy ra |z| =

# »
OM

hay |a + bi| =

# »
OM

. Khi đó

|a + bi| =√a2_{+ b}2_.

O x

y

b

a
M

<b>5</b> <b>SỐ PHỨC LIÊN HỢP</b>

Định nghĩa.

Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a − bi là số phức liên hợp của z và

kí hiệu là z = a − bi. Tức là

a + bi = a − bi .

O x

y

b

a

z = a + bi

−b

z = a − bi

Tính chất 1. z = z.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>B</b>

<b>CÁC DẠNG TOÁN</b>

<b>| Dạng 1. Xác định phần thực - phần ảo của số phức</b>

Số phức z = a + bi, a, b ∈ R có a là phần thực, b là phần ảo.

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc</b>

Ví dụ 1. Xác định phần thực, phần ảo của các số phức:

a) z = 2 + 3i.

b) z = 2i − 4.

c) z = 3.

d) z = 15i.

Lời giải.

a) Số phức z = 2 + 3i có phần thực a = 2 và phần ảo b = 3.

b) Số phức z = 2i − 4 có phần thực a = −4 và phần ảo b = 2.
c) Số phức z = 3 có phần thực a = 3 và phần ảo b = 0.

d) Số phức z = 15i có phần thực a = 0 và phần ảo b = 15.



BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Xác định phần thực, phần ảo của các số phức:

a) z = 4i.

b) z = −3i + 4.

c) z = 16.

d) z = −43 + 15i.

Lời giải.

a) Số phức z = 4i có phần thực a = 0 và phần ảo b = 4.

b) Số phức z = −3i + 4 có phần thực a = 4 và phần ảo b = −3.

c) Số phức z = 16 có phần thực a = 16 và phần ảo b = 0.

d) Số phức z = −43 + 15i có phần thực a = −43 và phần ảo b = 15.



<b>| Dạng 2. Xác định mô-đun của số phức</b>

Mô-đun của số phức z = a + bi là |z| =√a2_{+ b}2_.

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc</b>

Ví dụ 1. Tìm mơ-đun của các số phức sau:

a) z = 1 + 2i.

b) z = 3 − 5i.

c) z = −5 + 4i.

d) z = −4i.

e) z = 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

a) Ta có |z| = |1 + 2i| =√12 _{+ 2}2 ₌√_5.

b) Ta có |z| = |3 − 5i| =p32_{+ (−5)}2 ₌√_34.

c) Ta có |z| = | − 5 + 4i| =p(−5)2_{+ 4}2 ₌√_41.

d) Ta có |z| = | − 4i| =p(−4)2 _{= 4.}

e) Ta có |z| = |2| =√22 _{= 2.}



BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm mơ-đun của các số phức sau:

a) z = 1
2−

√
3
2 i.
b) z = 4i − 3.

c) z = −3 − 4i.
d) z = −6.

e) z = −4i.

Lời giải.

a) Ta có |z| =










1

2−
√
3
2 i










=
s
Å 1
2
ã2
+
Ç
−
√
3
2
å2
= 1.

b) Ta có |z| = |4i − 3| =p(−3)2_{+ 4}2 _{= 5.}

c) Ta có |z| = | − 3 − 4i| =p(−3)2_{+ (−4)}2 _{= 5.}

d) Ta có |z| = | − 6| =p(−6)2 _{= 6.}

e) Ta có |z| = | − 4i| =p(−4)2 _{= 4.}



<b>| Dạng 3. Hai số phức bằng nhau</b>

Hai số phức z = a + bi, z0 = a0+ b0i được gọi là bằng nhau nếu
(

a = a0

b = b0.

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc</b>

Ví dụ 1. Tìm các số thực x, y biết:

a) x + 2y + 3i = 4x − 5y + (6 − y)i.

b) −3x + 6y − (8 + 4y)i = 3x − 4 + (4x − y)i.

Lời giải.

a) x + 2y + 3i = 4x − 5y + (6 − y)i ⇔
(

x + 2y = 4x − 5y

3 = 6 − y

⇔( − 3x + 7y = 0
y = 3

⇔
(

x = 7

y = 3.
b) −3x + 6y − (8 + 4y)i = 3x − 4 + (4x − y)i

⇔( − 3x + 6y = 3x − 4
− (8 + 4y) = 4x − y ⇔

( − 6x + 6y = −4

− 4x − 3y = 8 ⇔







x = −6
7

y = −32
21.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Ví dụ 2. Cho z = (3a + 2) + (b − 4)i. Tìm các số a, b để

a) z là số thực. b) z là số thuần ảo.

Lời giải.

a) z là số thực khi b − 4 = 0 hay b = 4.

b) z là số thuần ảo khi 3a + 2 = 0 hay a = −2
3.



BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm các số thực x, y, biết:

a) (2x + 1) + (3y − 2)i = (x + 2) + (y + 4)i.

b) (1 − 3x) + (y + 1)i = (x + y) − (2x + 1)i.

Lời giải.

a) Ta có
(

2x + 1 = x + 2

3y − 2 = y + 4
⇔

(
x = 1

y = 3.

b) Ta có
(

1 − 3x = x + y

y + 1 = −(2x + 1)
⇔

(

4x + y = 1

2x + y = −2
⇔





x = 3

2
y = −5.



Bài 2. Tìm các số thực x, y, biết:
a) 2x + 1 + 5i = −4 + (3y − 2)i.

b) (x −√2) − 4i = 3 − (y + 1)i.

Lời giải.

a) Ta có
(

2x + 1 = 4

5 = 3y − 2 ⇔







x = 3
2

y = 7

3.

b) Ta có
(

x −√2 = 3

− 4 = −(y + 1) ⇔
(

x = 3 +√2

y = 3.



Bài 3. Cho số phức z = (a − 5) + (b + 4)i. Tìm các số a, b để:

a) z là số thuần ảo. b) z là số thực.

Lời giải.

a) Để z là số thuần ảo thì a − 5 = 0 hay a = 5.

b) Để z là số thực thì b + 4 = 0 hay b = −4.



Bài 4. Cho số phức z = (a2_{− 4b}2_{) + (a + 2b)i. Tìm các số a, b để z là số ảo.}

Lời giải.

Để z là số ảo thì a2− 4b2 _{= 0 ⇔}

"
a = 2b

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>| Dạng 4. Tìm tập hợp điểm biểu diễn</b>

Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M (a; b).

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 4 ccc</b>

Ví dụ 1. Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức sau: 4 − 3i, 3 + 2i, −5, 5i.

Lời giải.

Điểm A(4; −3) biểu diễn số phức 4 − 3i.

Điểm B(3; 2) biểu diễn số phức 3 + 2i.
Điểm C(−5; 0) biểu diễn số phức −5.

Điểm D(0; 5) biểu diễn số phức 5i.

O x

y

4
3

−5

C

−3
2
5 D

A
B



Ví dụ 2. Biết A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn theo thứ tự các số:

−1 + i, −1 − i, 2i, 2 − 2i.

Tìm các số z1, z2, z3, z4 theo thứ tự biểu diễn các vec-tơ AC,# » AD,# » BC,# » BD.# »

Lời giải.

Theo đề bài ta có A(−1; 1), B(−1; −1), C(0; 2), D(2; −2).
Suy ra AC = (1; 1),# » AD = (3; −3),# » BC = (1; 3),# » BD = (3; −1).# »

Vậy z1 = 1 + i, z2 = 3 − 3i, z3 = 1 + 3i, z4 = 3 − i. 

Ví dụ 3. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện:

a. Phần thực của z bằng 3;

b. Phần ảo của z bằng −5;

c. Phần thực thuộc khoảng (−2; 3);

d. Phần ảo thuộc đoạn [−3; 6].

Lời giải.

a.

Số phức z có phần thực bằng 3 được biểu diễn bởi điểm M (3; b).

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x = 3.

O x

y

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

b.

Số phức z có phần ảo bằng −5 được biểu diễn bởi điểm M (a; −5).
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y = −5.

O x

y

−5
c.

Số phức z có phần thực thuộc khoảng (−2; 3) được biểu diễn bởi

điểm M (a; b) với a ∈ (−2; 3).

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là phần mặt phẳng giới
hạn bởi hai đường thẳng x = −2 và x = 3.

O x

y

3
−2

d.

Số phức z có phần ảo thuộc khoảng [−3; 6] được biểu diễn bởi điểm

M (a; b) với b ∈ [−3; 6].

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là phần mặt phẳng giới

hạn bởi hai đường thẳng y = −3 và y = 6, kể cả các điểm nằm trên

hai đường thẳng này.

O x

y

−3
−6



BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức sau: −4 − 2i, −3 + 5i, 4, −3i.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Điểm A(−4; −2) biểu diễn số phức −4 − 2i.

Điểm B(−3; 5) biểu diễn số phức −3 + 5i.
Điểm C(4; 0) biểu diễn số phức 4.

Điểm D(0; −3) biểu diễn số phức −3i.

O x

y

−4

−3 4

C

−2
−3 D

5

A
B



Bài 2. Cho ABCD là một hình bình hành với A, B, C, D lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức

1 − 2i, 4 − 2i, 5 + i, z. Tìm số phức z.

Lời giải.

Theo đề bài, ta có A(1; −2), B(4; −2), C(5; 1).

Vì ABCD là hình bình hành nên AB =# » DC.# »

Suy ra
(

xB− xA= xC − xD

yB− yA= yC − yD

⇔
(

xD = xA+ xC− xB = 2

yD = yA+ yC− yB = 1.

Vậy D(2; 1) biểu diễn số phức z = 2 + i. _

<b>| Dạng 5. Số phức liên hợp</b>

Số z = a − bi được gọi là số phức liên hợp của z = a + bi.

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 5 ccc</b>

Ví dụ 1. Tìm z, biết:

a. z = 3 − i√2;

b. z = −√2 + i√3;

c. z = 3;

d. z = −5i.

Lời giải.

a. z = 3 + i√2.

b. z = −√2 − i√3.

c. z = 3.

d. z = 5i.



BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm z, biết:

a. z = −5 + i√3.

b. z = π − 2πi.

c. z = 2.

d. z = i cos√2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

a. z = −5 − i√3.

b. z = π + 2πi.

c. z = 2.

d. z = −i cos√2.



BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 2. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện:

a. Phần thực của z lớn hơn hoặc bằng 1;

b. Phần ảo của z thuộc nửa khoảng (−1; 2];

c. Phần thực thuộc đoạn [−1; 2], phần ảo thuộc đoạn [−1; 3];

d. |z| = 2;
e. |z| ≤ 2;

f. |z| = 2 và phần thực nhỏ hơn 1;

g. |z| ≤ 2 và phần thực thuộc đoạn [−1; 1].

Lời giải.

a.

Số phức z có phần thực lớn hơn hoặc bằng 1 được biểu diễn bởi

điểm M (a; b) với a ∈ [1; +∞).

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là phần gạch chéo ở hình

bên, kể cả các điểm nằm trên đường thẳng x = 1.

O x

y

1

b.

Số phức z có phần ảo thuộc nửa khoảng (−1; 2] được biểu diễn bởi

điểm M (a; b) với b ∈ (−1; 2].

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là phần mặt phẳng tọa

độ giới hạn bởi hai đường thẳng y = −1 và y = 2, kể cả các điểm

nằm trên đường thẳng y = 2.

O x

y

2

−1
c.

Số phức z có phần thực thuộc đoạn[−1; 2], phần ảo thuộc đoạn
[−1; 3] được biểu diễn bởi điểm M (a; b) với a ∈ [−1; 2] và b ∈

[−1; 3].

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình chữ nhật giới

hạn bởi các đường thẳng x = −1, x = 2, y = −1 và y = 3, kể cả

các điểm nằm trên bốn đường thẳng này. O x
y

3

−1

−1 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Số phức z có mơ-đun |z| = 2 được biểu diễn bởi điểm M (a; b) với
√

a2_{+ b}2 _{= 2 hay a}2_{+ b}2 _{= 4.}

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn x2 _{+ y}2 _{= 4}

(đường trịn tâm O, bán kính 2).

O x

y
2

−2

2
−2

e.

Số phức z có mơ-đun |z| ≤ 2 được biểu diễn bởi điểm M (a; b) với
√

a2_{+ b}2 _{≤ 2 hay a}2_{+ b}2 _{≤ 4.}

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình trịn tâm O, bán

kính 2 (gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn).

O x

y
2

−2

2
−2

f.

Số phức z có mơ-đun |z| = 2 và phần thực nhỏ hơn 1 được biểu diễn

bởi điểm M (a; b) với √a2_{+ b}2 _{= 2 hay a}2_{+ b}2 _{= 4 và a < 1.}

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là cung trịn tâm O, bán

kính 2 từ điểm (1;√3) đến điểm (1; −√3) (như hình vẽ), khơng gồm

hai đầu mút. O x

y
2

−2

1
−2

g.

Số phức z có mơ-đun |z| ≤ 2 và phần thực thuộc đoạn [−1; 1] được biểu

diễn bởi điểm M (a; b) với √a2_{+ b}2 _{≤ 2 hay a}2_{+ b}2 _{≤ 4 và a ∈ [−1; 1].}

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là phần gạch chéo ở hình bên,

kể cả các điểm nằm trên hai cung tròn và hai đường thẳng x = −1,

x = 1. O x

y
2

−2

1
−1



Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Ba đỉnh A, B, C lần lượt biểu diễn các số phức a = 2 − 2i,

b = −1 + i, c = 5 + mi (m ∈ R).

a. Tìm số phức d được biểu diễn bởi điểm D;

b. Xác định m sao cho ABCD là hình chữ nhật.

Lời giải.

a. Theo đề bài, ta có A(2; −2), B(−1; 1), C(5; m).

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Suy ra
(

xB− xA= xC − xD

yB− yA= yC − yD

⇔
(

xD = xA+ xC − xB= 8

yD = yA+ yC − yB = m − 3.

Vậy số phức d = 8 + (m − 3)i.

b. Ta có AB = (−3; 3),# » AD = (6; m − 1).# »

ABCD là hình chữ nhật ⇔AB ·# » AD = 0.# »
⇔ −3 · 6 + 3 · (m − 1) = 0 ⇔ m = 7.



Bài 4. _{Cho A, B, C là ba điểm lần lượt biểu diễn các số phức a = −1 − i, b = i, c = 1 + ki (k ∈ R).}

Xác định k để ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Lời giải.

Theo đề bài, ta có A(−1; −1), B(0; 1), C(1; k).

Suy ra AB = (1; 2) và# » AC = (2; k + 1).# »

Vậy A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi 2
1 =

k + 1

2 ⇔ k = 3. 

Bài 5. _{Cho số phức z = m + (m − 3)i, m ∈ R.}

a. Tìm m để điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng y = −x;

b. Tìm m để điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường trịn x2+ y2 _{= 5;}

c. Tìm m để khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ là nhỏ nhất.

Lời giải.

a. Gọi M (m; m − 3) là điểm biểu diễn số phức z = m + (m − 3)i.

M nằm trên đường thẳng y = −x khi và chỉ khi m − 3 = −m ⇔ m = 3
2.
b. M nằm trên đường tròn x2_{+ y}2 _{= 5 khi và chỉ khi m}2_{+ (m − 3)}2 _{= 5.}

⇔ 2m2_{− 6m + 4 = 0 ⇔}

"
m = 1

m = 2
.

c. Ta có OM =pm2_{+ (m − 3)}2 ₌√_2m2_{− 6m + 9 =}

 
2

Å
m − 3

2
ã2

+ 9
2.

Vậy OMmin =

… 9

2 khi m =
3
2.



Bài 6. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số 4 + (3 +√3)i,

2 + (3 +√3)i, 1 + 3i, 3 + i. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Theo đề bài, ta có A(4; 3 +√3), B(2; 3 +√3), C(1; 3), D(3; 1).

Suy ra
# »

CA = (3;√3), CB = (1;# » √3), DA = (1; 2 +# » √3), DB = (−1; 2 +# » √3).
# »

CA ·CB = 6,# »