Lũy thừa - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

2

<b>HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ</b>

<b>HÀM SỐ LƠGARIT</b>

§1

<b>LŨY THỪA</b>

<b>A</b>

<b>TĨM TẮT LÍ THUYẾT</b>

<b>1</b> <b>LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN</b>

• Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Cho a ∈ R, n ∈ N∗_{. Khi đó: a}n _{= a.a.a...a}

| {z }

n thừa số

.

• Lũy thừa với số mũ nguyên âm: Cho a ∈ R∗

, n ∈ N∗. Khi đó: a−n= 1
an và a

0 _{= 1.}

• Lưu ý: 00 _{và 0}−n

với n ∈ N∗ khơng có nghĩa.

<b>2</b> <b>LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ</b>

Cho a > 0 và số hữu tỉ r = m

n; trong đó m ∈ Z, n ∈ N, n ≥ 2. Khi đó: a

r_{= a}m_n ₌ √n

am_.

<b>3</b> <b>LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỈ</b>

Cho a > 0, α ∈ R, (rn) là dãy số hữu tỉ sao cho lim

x→+∞rn= α. Khi đó: a

α _{= lim}

x→+∞rn= a
rn_.

<b>4</b> <b>CÁC TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA</b>

Cho a, b là các số thực dương, x, y là các số thực tùy ý.

• ax+y _{= a}x_.ay _{và a}x−y ₌ a
x

ay

• ax_.bx _{= (a.b)}x_;a

x

bx =

a

b
x

và (ax)y = ax.y

• Nếu a > 1 thì ax _{> a}y _{⇔ x > y}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>5</b> <b>MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CĂN BẬC N</b>

a) Với n ∈ N∗, ta có:

• 2n√

a2n _{= |a|, ∀a ∈ R}

• 2n+1√

a2n+1 _{= a, ∀a ∈ R}

• 2n√

ab = 2n√_{a ·} 2n√_{b, ∀a, b ≥ 0}

• 2n+1√

ab = 2n+1√_{a ·} 2n+1√

b, ∀a, b
• 2npa

b =

2n√_a
2n√

b, ∀a ≥ 0, b > 0

• 2n+1pa

b =

2n+1√_a
2n+1√

b, ∀a, ∀b 6= 0

b) Với a, b ∈ R, ta có:
• √n

am _{= (}√n_a)m_{, ∀a > 0, n nguyên dương, m nguyên}

• pn √m_{a =} nm√_{a, ∀a ≥ 0, n,m nguyên dương}

• Nếu p

n =

q
m thì

n

√

ap ₌ m√

aq_{, ∀a > 0, m, n nguyên dương, p, q nguyên.}

Đặc biệt: √n_{a =} m·n√

am

<b>6</b> <b>CÔNG THỨC LÃI KÉP</b>

Định nghĩa. Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với phần lãi của

kì trước.

Cơng thức: Giả sử số tiền gốc là A; lãi suất r% /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm).
• Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A (1 + r)n.

• Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A (1 + r)n− A = A [(1 + r)n− 1]

<b>B</b>

<b>CÁC DẠNG TOÁN</b>

<b>| Dạng 1. Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa</b>

Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của lũy thừa.

Cho a, b là các số thực dương, x, y là các số thực tùy ý, ta có:

• ax+y _{= a}x_.ay _{và a}x−y ₌ a
x

ay.

• ax_.bx _{= (a.b)}x_;a
x

bx =

a

b
x

và (ax₎y _{= a}x.y_.

• Nếu a > 1 thì ax _{> a}y _{⇔ x > y}

• Nếu 0 < a < 1 thì ax_{> a}y _{⇔ x < y}

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc</b>

Ví dụ 1. Tính 21_{; (4, 72)}0_{; (−3)}2_{; 2}4_{; (−4)}−3_.

Lời giải.

21 _{= 2; (4, 72)}0 _{= 1; (−3)}2 _{= (−3) · (−3) = 9; 2}4 _{= 2 · 2 · 2 · 2 = 16;}

(−4)−3 = 1
(−4)3 =

1

(−4) · (−4) · (−4) =
−1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ví dụ 2. Đưa các biểu thức sau về dạng lũy thừa :

a) pa√a, (a > 0)

b)
p

2√3

4

160,75 c)

5
 
b
a

3
… a

b, (a, b > 0)

Lời giải.

a) pa√a =
Å

a · a12

ã1₂
=

Å
a32

ã1₂
= a34

b)
p

2√3

4
160,75 =

ï

2 · (22₎1₃

ò1₂

(24₎34

= 2

5
6

23 = 2
−13
6
c) 5
 
b
a
3
… a
b =

b15

a15

·a

1

15

b151

= a151 −
1
5 · b

1
5−

1
15 _{= a}

−2
15 · b

2

15 ₌Å b

a
ã₁₅2

.



Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức sau đây:

a) »(a − 5)4

b) √81a4_b2 _{với b ≤ 0}

c) »4

x8_{(x + 1)}4_{, với x ≤ −1}

Lời giải.

a) »(a − 5)4 = (a − 5)2

b) √81a4_b2 _{= 9a}2_{· |b| = −9a}2_{· b} _{(|b| = −b do b ≤ 0 )}

c) 4
»

x8_{(x + 1)}4 _{= x}2_{· |x + 1|}

Với x ≤ −1, ta có x + 1 ≤ 0, suy ra: |x + 1| = −(x + 1)

Vậy »4

x8_{(x + 1)}4 _{= −x}2_{(x + 1).}



Ví dụ 4. Khơng dùng máy tính,hãy tính giá trị các biểu thức sau.

a) A =

Ơï

332 · 5
5
3 _{: 2}−

7
4
ò
:
ï
16 :
Å
513 · 3

1
2 · 2

1
4

ãòã1₂

b) B = 3
»

4 ·p3 2 ·√8 + (5
»

3p3 3√3)6

c) C = (251+

√

2_{− 5}2√2_{) · 5}−1−2√2_{+ (8}1+√2_{· 4}1−√2_{) : 2}4+√2

Lời giải.

a) A =
ßï

332 · 5
5
3 · 2

7
4

ị
·

ïÅ
513 · 2

1
4 · 3

1
2

ã
: 16

ò™1₂

=
ï

332+
1
2 · 5

5
3+

1
3 · 2

7
4+

1
4 _{: 2}4

ò1₂

= (32_{· 5}2_{· 2}2_{· 2}−4₎1₂ _{= 3 · 5 · 2}−1 ₌ 15

2

b) B =


22·
Å

2 · 232

ã1₃


1
3
+



3 ·
ï
3 · 312

ò1₃



6
5
=


2 ·
Å

252

ã1₃


1
3
+

3 ·
Å

332

ã1₃




</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

=
ï

2 · 256

ò1₃
+

ï
3 · 312

ò6₅
=

Å
2176

ã1₃
+

Å
332

ã6₅

= 21718 _{+ 3}
18
10_.

c) C = 5

2+2√2_{− 5}2√2

51+2√2 +

23+3

√

2_{· 2}2−2√2

24+√2 = 5 − 5
−1₊ 2

5+√2

24+√2 = 5 −

1

5 + 2 =
36

5 .



Ví dụ 5. Cho a =Ä2 +√3ä−1 và b =Ä2 −√3ä−1. Tính A = (a + 1)−1+ (b + 1)−1.

Lời giải.

Ta có : a = (2 +√3)−1 = 1
2 +√3 =

2 −√3

22₋√₃2 = 2 −

√
3

b = 2 −√3 = 1
2 −√3 =

2 +√3

22₋√₃2

= 2 +√3.

Suy ra, A = (2 −√3 − 1)−1+ (2 +√3 + 1)−1 = (3 −√3)−1+ (3 +√3)−1 =
1

3 −√3+
1

3 +√3 =

3 +√3 + 3 −√3

(3 −√3)(3 +√3) =
6

32₋√₃2 =

6

9 − 3 = 1. 

Ví dụ 6. Rút gọn các biểu thức sau:

a) P =
√

a +√4ab

4

√

a +√4b −
√

a −√b

4

√

a −√4b với a > 0, b > 0.

b) Q = a

√

3+1_.a2−√3

a

√
2−2

√

2+2 với a > 0

c) K =
Å

x12 − y
1
2

ã2Å

1 − 2… y
x +

y
x

ã−1

với x > 0, y > 0

Lời giải.

a) Ta có P =

√

a +√4 ab

4

√

a +√4 b −
√

a −√b

4

√

a −√4b =

(√4_a)2₊√4_ab

4

√

a +√4b −

(√4 _a)2₋Ä√4 _bä2

4

√

a −√4 b

=

4

√

aÄ√4_{a +}√4_bä

4

√

a +√4 b −
Ä

4

√

a −√4bä Ä√4_{a +}√4_bä

4

√

a −√4 b =

4

√

a −Ä√4_{a +}√4 _bä _{= −}√4 _b.

b) Ta có




a

√

3+1_{· a}2−√3 _{= a}√3+1+(2−√3) = a3

Ä
a
√
2−2ä
√
2+2
= a(
√

2−2₎₍√2+2_{) = a}2−4 _{= a}−2 ⇒ Q =

a3
a−2 = a

3−(−2) _{= a}5_.

c) Rút gọn
Å

x12 − y
1
2

ã2

= √x −√y
2.

Rút gọn
Å

1 − 2… y
x +

y
x

ã−1

=đÅ… y
x − 1

ã2ơ−1
=

Ç√

y −√x
√
x
å−2
=
Ç √
x
√

y −√x
å2

.

Vậy K = √x −√y
2

Ç √
x
√

y −√x
å2

= x.



Ví dụ 7. Biết 9x+ 9−x = 23. Tính 3x+ 3−x.

Lời giải.

Ta có : 9x+ 9−x = 23 ⇔ 32x+ 2 · 3x· 3−x_{+ 3}−2x _{= 25 ⇔ (3}x_{+ 3}−x₎2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) P = x

1

3.√6 _{x với x > 0.}

b) P =px3 ₅√4_{x với x > 0.}

Lời giải.

a) P = x13_.√6 _{x = x}1₃_.x1₆ _{= x}1₃+1₆ _{= x}1₂ ₌√_x

b) P =_px3 ₅√4_{x =}

Å
x5· x14

ã1₃

=

Å
x5+14

ã1₃
=

Å
x214

ã1₃

= x214 ·
1

3 _{= x}

7

4 ₌ 4

√
x7_.



Bài 2. Đưa các biểu thức sau về dạng lũy thừa của cùng một cơ số:

a) x45_.px6 5√_{x với x ≥ 0} _{b) y}

4

5 _:py6 5√_{y với y > 0}

Lời giải.

a) x45 ·px6 5√_{x = x}
4
5 ·

ï
x5· x12

ò1₆

= x45 · x
11

2·
1

6 _{= x}

4
5+

11
12 _{= x}

103

60 _.

b) y45 _:py6 5√_{y =} y
4
5

y1112

= y−607 _.



Bài 3. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A =
Å

1
625

ã−1₄

+ 1634 − 2−2· 64
1
3_.

b) B =Å 1
16

ã−0,75

+Å 1

8
ã−4₃

.

Lời giải.

a) A = (5−4)

−1

4 _{+ (2}4₎
3

4 _{− 2}−2_{· (2}6₎
1

3 _{= 5 + 8 − 1 = 12.}

b) B = (2−4)−0,75 + (2−3)−

4

3 _{= 2}3_{+ 2}4 _{= 8 + 16 = 24.}



Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = (32)−0,2−Å 1
64

ã−0,25
+Å 8

27
ã1₃

b) B =Å 2
5

ã(

√
3+2)4

√

(√3−2)4

−Å 25
4

ã−11₂
+Å 2

3
ã5

√
32

c) C =
√

a −√b

4

√
a −√4

b −
√

a +√4

ab

4

√
a +√4

b với a, b ≥ 0, a 6= b

d) D =
Ç

a + b

3

√

a +√3 b −

3

√
ab

å

:Ä√3_{a −}√3 _bä2 _{với a}2 _{6= b}2

Lời giải.

a) A = (25₎−1₅ _{− (2}6₎−1₄ ₊Å 2

3
ã3·1₃

= 1
2 − 2

−3
2 +2

3 =
7
6 +

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

b) B =Å 2
5

ã(

√

3+2)|√3−2|

−Å 5
2

ã2(−1+1₂)
+Å 2

3
ã5

√
25

= 2
5−

2
5 +

Å 2
3

ã2
= 4

9.

c) C =
Ä

4

√
a +√4

bä Ä√4_{a −}√4_bä

4

√
a −√4

b −

4

√

aÄ√4_{a +}√4_bä

4

√
a +√4

b =

4

√

a +√4b −√4_{a =} √4_b.

d) D =Ä√3 a2₋√3

ab +√3b2₋√3

abä:Ä√3_{a −}√3 _bä2

D =Ä√3 a2_{− 2}√3

ab +√3b2ä_:Ä√3 _{a −}√3

bä2 =Ä√3 _{a −}√3

bä2 :Ä√3_{a −}√3

bä2 = 1.



Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) E =
 

(xπ_{+ y}π₎2₋

Å
41π_xy

ãπ

b) F =
a43

Å

a−13 + a
2
3

ã

a14

Å

a34 _{+ a}−
1
4

ã

Lời giải.

a) E =px2π_{+ y}2π_{+ 2x}π_yπ _{− 4x}π_yπ ₌_px2π_{+ y}2π_{− 2x}π_yπ ₌»_(xπ_{− y}π₎2 _{= |x}π _{− y}π_|

b) F = a

4
3 · a−

1
3 _{+ a}

4
3 · a

2
3

a14 · a
3
4 _{+ a}

1
4 · a−

1
4

= a + a

2

a + 1 = a.



<b>| Dạng 2. Chứng minh đẳng thức lũy thừa</b>

Để chứng minh đẳng thức ta thường sử dụng các phương pháp sau:

a) Biến đổi tương đương.

b) Biến đổi vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái.

c) Biến đổi hai vế về đại lượng thứ ba.

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc</b>

Ví dụ 1. Chứng minh đẳng thức p4 + 2√3 −p4 − 2√3 = 2.

Lời giải.

Biến đổi vế trái ta có

V T =
»

3 + 2√3 + 1 −
»

3 − 2√3 + 1 =
»

(√3 + 1)2₋»₍√_{3 − 1)}2 ₌

=(√3 + 1) − (√3 − 1) = 2 = V P (đpcm).



Ví dụ 2. Chứng minh đẳng thức p3 7 + 5√2 +p3 7 − 5√2 = 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Biến đổi vế trái ta có

V T =3
»

2√2 + 6 + 3√2 + 1 + 3
»

−2√2 + 6 − 3√2 + 1

=3
»

(√2)3 _{+ 3(}√₂₎2_{+ 3}√_{2 + 1 −}»3 ₍√₂₎3_{− 3(}√₂₎2_{+ 3}√_{2 − 1}

=3
»

(√2 + 1)3₋»3

(√2 − 1)3

=(√2 + 1) − (√2 − 1) = 2 = V P (đpcm).



Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì px + 2√x − 1 +px − 2√x − 1 = 2.

Lời giải.

Biến đổi vế trái ta có

V T =
»

(x − 1) + 2√x − 1 + 1 +
»

(x − 1) − 2√x − 1 + 1

=
»

(√x − 1 + 1)2₊»₍√_{x − 1 − 1)}2

=

√

x − 1 + 1





+

√

x − 1 − 1

=(√x − 1 + 1) + (1 −√x − 1) ( do 1 ≤ x ≤ 2)

=2 = V P (đpcm)



BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Chứng minh đẳng thức p9 +√80 +p9 −√80 = 2√5.

Lời giải.

Biến đổi vế trái ta có

V T =
»

5 + 4√5 + 4 +
»

5 − 4√5 + 4

=
»

(√5 + 2)2₊

»

(√5 − 2)2

=√5 + 2 +√5 − 2

=2√5 = V P (đpcm).



Bài 2. Chứng minh đẳng thức √₈ 1
3 +√8

2 =
Ä√₈

3 −√8

2ä Ä√4

3 +√4

2ä Ä√3 +√2ä.

Lời giải.

Đẳng thức tương đương với

Ä√8

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Biến đổi vế phải ta có

V P =Ä(√8 3)2− (√8

2)2ä Ä√43 +√42ä Ä√3 +√2ä

=Ä√4 3 −√4 2ä Ä√43 +√4 2ä Ä√3 +√2ä

=Ä(√4 3)2− (√4

2)2ä Ä√3 +√2ä

=(√3)2− (√2)2 = 3 − 2 = 1 = V P (đpcm).



Bài 3. Chứng minh rằng a

4
3 − 8a

1
3b

a23 + 2 3

√

ab + 4b23

·
Ç

1 − 2… b3
a

å−1
= a23.

Lời giải.

Biến đổi vế trái ta có

V T =

3

√

a(a − 8b)

(√3_a)2_{+ 2}√3

ab + (2√3

b)2 ·

Ç

3

√

a − 2√3

b
3
√
a
å−1
=
3
√

a(a − 8b)

(√3_a)2₊√3_a(2√3 _{b) + (2}√3 _b)2 ·

3

√
a

3

√

a − 2√3b

=

3

√

a2_{(a − 8b)}

a − 8b =

3

√

a2 _{= a}23 = V P (đpcm).



Bài 4. Chứng minh đẳng thức 8b − a
6 ·

Ç

a13b

1
3

2a−13 − b−
1
3

+ a

1
3 − 2b

1
3

4a−23 + 2a−
1
3b−

1
3 + b−

2
3

å
= ab.

Lời giải.

Biến đổi vế trái ta có

V T =8b − a
6 ·

a13b
1
3

Ä

4a−23 + 2a−
1
3b−

1
3 + b−

2
3

ä

+Ä2a−13 − b−
1
3

ä Ä

a13 − 2b

1
3

ä

Ä

2a−13 − b−
1
3

ä Ä

4a−23 + 2a−
1
3b−

1
3 + b−

2
3

ä

=8b − a
6 ·

4a−13b
1

3 + 2 + a
1
3b−

1

3 + 2 − 4a−
1
3b

1
3 − a

1
3b−

1
3 + 2

8a−1_{− b}−1

=8b − a
6 ·
6
8
a −
1
b

=8b − a
6 ·

6ab

8b − a = ab = V P (đpcm).



Bài 5. Chứng minh đẳng thức sau

œ

−1 +
…

1 + 1
4(2

a_{− 2}−a₎2

1 +
…

1 + 1
4(2

a_{− 2}−a₎2

= 1 − 2

a

1 + 2a, với a < 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Biến đổi vế trái ta có

V T =
œ

−1 +
…

1 + 1
4(2

2a_{− 2 + 2}−2a₎

1 +
…

1 + 1
4(2

2a_{− 2 + 2}−2a₎

=
œ

−1 +… 1

4(2

2a_{+ 2 + 2}−2a₎

1 +… 1
4(2

2a_{+ 2 + 2}−2a₎

=
œ

−1 +… 1
4(2

a_{+ 2}−a₎2

1 +… 1
4(2

a_{+ 2}−a₎2

=
Œ

−1 + 1
2(2

a_{+ 2}−a₎

1 + 1
2(2

a_{+ 2}−a₎

=
Œ

1
2 · 2a(2

2a_{− 2 · 2}a_{+ 1)}

1
2 · 2a (2

2a_{+ 2 · 2}a_{+ 1)}

=
 

(2a_{− 1)}2

(2a_{+ 1)}2

=

2a_{− 1}

2a_{+ 1}

= 1 − 2

a

1 + 2a, do a < 0.

=V P (đpcm).



Bài 6. Chứng minh rằng
Ç

a − b

a34 + a
1
2b
1
4
−a
1
2 − b

1
2

a14 + b
1
4

å

:Äa14 − b
1
4

ä

=… b
a.

Lời giải.

Biến đổi vế trái ta có

V T =
Ç

a − b
√

a(√4 _{a +}√4 _b) −

√

a −√b

4

√

a +√4b
å

:Ä√4

a −√4bä

=a − b − a +
√

ab
√

a(√4_{a +}√4_b) :

Ä

4

√

a −√4 bä

=
√

b(√a −√b)
√

a(√4_{a +}√4 _b) ·

1

4

√

a −√4b

=… b

a

√

a −√b

4

√

a2₋√4

b2 =

… b

a = V P (đpcm).



Bài 7. Chứng minh đẳng thức
Ä

a34 − b
3
4

ä Ä
a34 + b

3
4

ä

a12 − b
1
2

−√ab = a + b.

Lời giải.

Biến đổi vế trái ta có

V T =a

3
2 − b

3
2

a12 − b
1
2

−√ab

=

Ä

a12 − b
1
2

ä Ä
a12

ä2
+ a12b

1
2 +

Ä
b12

ä2

a12 − b
1
2

−√ab

=Äa +√ab + bä−√ab

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>



Bài 8. Chứng minh rằng
Ç

x32 − a
3
2

x12 − a
1
2

+ (ax)12

å Ç

x12 − a
1
2

x − a
å

= 1.

Lời giải.

Biến đổi vế trái ta có

V T =
Đ Ä

x12

ä3
−Äa12

ä3

x12 − a
1
2

+ (ax)12

é Ñ

x12 − a
1
2

Ä
x12

ä2
−Äa12

ä2
é2

=

Ñ Ä

x12 − a
1
2

ä Ä
x12

ä2

+ x12a
1
2 +

Ä
a12

ä2

x12 − a
1
2

+ (ax)12

é Ñ

x12 − a
1

2

Ä

x12 − a
1
2

ä Ä

x12 + a
1
2

ä
é2

=Äx12

ä2

+ 2x12a
1
2 +

Ä
a12

ä2Å 1

x12 + a
1
2

ã2

=Äx12 + a
1
2

ä2Å 1

x12 + a
1
2

ã2

= 1 = V P (đpcm).



Bài 9. Chứng minh rằng
Ä

a2√3_{− 1}ä Ä_a2√3_{+ a}√3 _{+ a}3√3ä

a4√3_{− a}√3 = a
√

3_{+ 1.}

Lời giải.

Biến đổi vế trái ta có

V T =
Ä

a

√

3_{− 1}ä Ä_a√3_{+ 1}ä_a√3Ä_a2√3_{+ a}√3_{+ 1}ä

a

√

3 _a3√3_{− 1}

=
Ä

a

√

3_{− 1}ä Ä_a√3_{+ 1}ä Ä_a2√3_{+ a}√3_{+ 1}ä

a

√
3 _{− 1}

a2√3_{+ a}√3_{+ 1}

=a

√

3_{+ 1 = V P (đpcm).}



Bài 10. Chứng minh rằng nếu »x2₊px3 4_y2₊»_y2₊py3 4_x2 _{= a thì x}2₃ _{+ y}2₃ _{= a}2₃_.

Lời giải.

Biến đổi tương đương ta có

»

x2₊p3

x4_y2 ₊

»

y2₊p3

y4_x2 _{= a}

⇔
»

3

√

x4₍√3 _x2₊p3

y2_{) +}

»

3

p
y4₍p3

y2₊√3_x2_{) = a}

⇔
q_Ä

3

√

x2₊p3

y2ä

Å»

3

√
x4₊

»
3
p
y4
ã
= a
⇔
…

Ä√3

x2₊p3

y2ä3 _{= a}

⇔√3 x2₊p3

y2 _{= a}23 (đpcm).

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>| Dạng 3. So sánh các biểu thức chứa lũy thừa</b>

Cách 1. Đưa về cùng cơ số

Cho a ∈ R; m, n ∈ Z. Khi đó

1. Với a > 1 thì am > an khi và chỉ khi m > n;

2. Với 0 < a < 1 thì am > an _{khi và chỉ khi m < n.}

Cách 2. Đưa về cùng số mũ

Với 0 < a < b và m là số nguyên thì

1. am _{< b}m _{khi và chỉ khi m > 0;} _{2. a}m _{> b}m _{khi và chỉ khi m < 0.}

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc</b>

Ví dụ 1. So sánh (1, 3)1,4 _{với 1.}

Lời giải.

Ta có 1, 3 > 1 và 1, 4 > 1. Do đó (1, 3)1,4 > 11 = 1. _

Ví dụ 2. So sánh các số sau:

a) 7300 và 7400.

b) Å 1
2

ã5000

và Å 1
2

ã8000
.

Lời giải.

a) Ta có 7 > 1 và 300 < 400 nên 7300 < 7400.

b) Ta có 1

2 < 1 và 5000<8000 nên
Å 1

2
ã5000

>Å 1
2

ã8000
.



Ví dụ 3. So sánh các số sau:

a) 51000 và 61000.

b) 0.3−46 và 0.4−46.

Lời giải.

a) Ta có 6 > 5 và 1000 > 0 nên 51000 _{> 6}1000_.

b) Ta có 0.3 < 0.4 và −46 < 0 nên 0.3−46> 0.4−46.



Ví dụ 4. Khơng sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh hai số sau: (sin 3)

√
3

và (sin 3)

√
2

.

Lời giải.

Vì 0 < 3 < π nên 0 < sin 3 < 1.

Mặt khác √3 > √2 nên (sin 3)

√
3

< (sin 3)

√
2

. _

Ví dụ 5. Chứng minh rằng 20√2 + 20√

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Lời giải.

Ta có:
( 20√

2 > 20√1 = 1

20√

3 > 20√1 = 1.

Vậy 20√2 + 20√3 > 1 + 1 = 2. _

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. So sánh 2020 _{với 15}30_.

Lời giải.

Ta có 153 _{= 3375 > 400 = 20}2_{. Do đó 15}30_{= (15}3₎10 _{> (20}2₎10_{= 20}20_. _

Bài 2. So sánh 2100 với 2030.

Lời giải.

Ta có 210 = 1024 < 8000 = 203. Do đó 2100 = (210)10< (203)10= 2030. _

Bài 3. So sánh 3567 _{với 5}367_.

Lời giải.

Ta có 33 _{= 27 > 25 = 5}2_{. Do đó 3}567 _{= (3}3₎189 _{> (5}2₎189 _{= 5}378 _{> 5}367_. _

Bài 4. So sánh các số sau:

a) 3600 và 5400.

b) 730 và 440.

Lời giải.

a) 3600 _{= 27}200 _{và 5}400 _{= 25}200_{. Do 200 > 1 và 27 > 25 nên 3}600 _{> 5}400_.

b) 730_{= 343}10 _{và 4}40 _{= 256}10_{. Do 10 > 1 và 343 > 256 nên 7}30_{> 4}40_.



Bài 5. So sánh các số sau:

a) 561234 và 571234.

b) 0.7−26 và 1.1−26.

Lời giải.

a) Ta có 56 > 57 và 1234 > 0 nên 571000 > 561000_.

b) Ta có 0.7 < 1.1 và −26 < 0 nên 0.7−26> 1.1−26.



Bài 6. So sánh các số sau:

a) (√3 − 1)7 _{và (}√_{3 − 1)}8_.

b) π−34 và (π + 1)−34.

Lời giải.

a) Ta có√3 − 1 < 1 và 7 < 8 nên (√3 − 1)7 > (√3 − 1)8.

b) Ta có π < π + 1 và −34 < 0 nên π−34> (π + 1)−34.



Bài 7. So sánh các số sau đây (khơng dùng máy tính bỏ túi)

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

b) Å 3
7

ã−11

và Å 5
9

ã−11
.

c)
Ç √

3
5

å−

√
2

và
Ç √

2
2

å−

√
2

.

Lời giải.

a) Ta có 2 > 1 và 2
3 <

3
4 nên 2

2
3 < 2

3
4.

b) Ta có −11 < 0 và 3
7 <

5
9 nên

Å 3
7

ã−11
>Å 5

9
ã−11

.

c) Ta có −√2 < 0 và
√

3
5 <

√
2
2 nên

Ç √
3
5

å−

√
2

>
Ç √

2
2

å−

√
2

.



Bài 8. Hãy so sánh các cặp số sau:

a) √17 và √328.
b) √4

13 và √5

23.

Lời giải.

a) Ta có:
(√

17 = √6 173 ₌ √6

4913

3

√

28 = √6 282 ₌√6

784
⇒√17 >√3

28

b) Ta có:
(√4

13 = 20√135 ₌ 20√

371293

5

√

23 = 20√234 ₌ 20√

279841
⇒√4

13 > √5

23.



Bài 9. So sánh: 730 _{và 4}40

Lời giải.

Ta có 730 = 73.10= 34310

Mặt khác 440= 44.10= 25610.

Ta suy ra 730 > 440_. _

Bài 10. So sánh hai số p và q biết:

a) πp _{> π}q_.

b) Ä√5 − 1äp <Ä√5 − 1äq.

c) Ä√2 − 1äp <Ä√2 − 1äq.

Lời giải.

a) Ta có π > 1 nên p > q.

b) Ta có √5 − 1 > 1 nên p < q.

c) Ta có √2 − 1 < 1 nên p > q.



Bài 11. So sánh Äp3 9 +√107ä1000 và Äp26 + 8√10ä600

Lời giải.

Ta có p3 9 +√107 < p3 9 +√324 = 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Mặt khác,p26 + 8√10 > p26 + 8√9 = √50 > 7

Vậy Äp26 + 8√10ä600 > 7600. (2)

Mà 73 _{= 343 > 243 = 3}5 _{⇒ 7}600 _{> 3}1000_{. (3)}

Từ (1), (2), (3) có Äp3 9 +√107ä1000 <Äp26 + 8√10ä600.



Bài 12. So sánh các số sau đây (không dùng máy tính bỏ túi)

a) Ä√3ä−

5
6

và 3
 

3−1… 14

3.

b) Å 1

2

ã−5₇

và √2.2143 .

Lời giải.

a) 3
 

3−1… 14

3 =

3

p

3−1₃−1₄ ₌p3 ₃−5₄ _{= (}√₃₎−5₆ _.

b) √2.2143 = 2
1
22

3
14 = 2

5
7 =

Å 1
2

ã−5₇
.



Bài 13. Không dùng máy tính, hãy so sánh hai số 98100_{+ 99}100_{+ 100}100 _{và 102}100

Lời giải.

Ta có 98100_{+ 99}100_{+ 100}100 _{< 3 · 100}100_.

Theo bất đẳng thức Bernoulli ta có Å 102
100

ã100
=

Å
1 + 2

100
ã100

> 1 + 100. 2
100 = 3
Suy ra 102100> 3 · 100100.

Vậy 98100+ 99100+ 100100< 102100 _

.

Bài 14. Không dùng máy tính, hãy so sánh hai số Å 1
2

ã2
+Å 1

3
ã2

+ · · · +Å 1
n

ãn

và π
5



√
5−2√35

3

.

Lời giải.

Ta có Å 1
2

ã2
+Å 1

3
ã2

+ · · · +Å 1
n

ãn
< 1

1.2 +
1
2.3 +

1

3.4 + · · · +
1

(n − 1).n < 1 −
1
n < 1.

Mặt khác ta có π

5 < 1 và
√

5 − 2√3

5 < 0 nên π
5



√
5−2√35

3

> 1.

Vậy Å 1
2

ã2
+Å 1

3
ã2

+ · · · +Å 1

n

ãn
<π

5


√
5−2√35

3

. _

<b>| Dạng 4. Bài toán lãi kép</b>

Giả sử số tiền gốc là A; lãi suất r% /kì hạn gửi (có thể là tháng, q hay năm).
• Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A (1 + r)n.

• Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A (1 + r)n− A = A [(1 + r)n− 1].

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 4 ccc</b>

Ví dụ 1. Bà Hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Tính

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Lời giải.

Áp dụng cơng thức tính lãi kép, sau 10 năm số tiền cả gốc và lãi bà Hoa thu về là: A (1 + r)n =
100·(1 + 0, 08)10≈ 215, 892 triệu đồng. Suy ra số tiền lãi bà Hoa thu về sau 10 năm là: A (1 + r)n−A =

100(1 + 0, 08)10_{− 100 = 115, 892 triệu đồng.} _

Ví dụ 2. Một người muốn gửi tiết kiệm ở ngân hàng và hi vọng sau 4 năm có được 850 triệu

đồng để mua nhà. Biết rằng lãi suất ngân hàng mỗi tháng trong thời điểm hiện tại là 0, 45%.
Hỏi người đó mỗi tháng phải gửi vào ngân hàng tối thiểu bao nhiêu tiền để đủ số tiền mua nhà?

(Giả sử số tiền mỗi tháng là như nhau và lãi suất trong 4 năm là không thay đổi).

Lời giải.

Giả sử người này gửi tiền ở thời điểm t nào đó, kể từ thời điểm này sau 4 năm (48 tháng) ông muốn

có số tiền 850 triệu. Như vậy rõ ràng ta có thể coi đây là bài tốn gửi tiền định kì đầu tháng. Áp dụng

bài tốn 5 ta có số tiền phải gửi mỗi tháng là:

m = Ar

(1 + r) [(1 + r)n− 1] (∗)

Theo bài ra n = 48 tháng, r = 0, 45%.

Tiền thu được 850 triệu đồng, thay vào (∗) ta được:

m = 850 × 0, 45%

(1 + 0, 45%)ỵ(1 + 0, 45%)48− 1ó = 15, 833 triệu đồng. 

Ví dụ 3. Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên một tháng

(chuyển vào tài khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2016 mẹ không đi

rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1% trên một tháng. Đến đầu tháng 12 năm
2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số tiền đã gửi tháng 1). Hỏi khi đó mẹ

lĩnh về bao nhiêu tiền? (kết quả làm trịn theo đơn vị nghìn đồng).

Lời giải.

Nếu ban đầu gửi vào a đồng, từ đầu tháng sau gửi thêm a đồng (không đổi) vào đầu mỗi tháng với lãi

suất r% trong n tháng thì tổng số tiền A thu được là:
A = a + a

r (1 + r) [(1 + r)

n_{− 1]}

Áp dụng với a = 4 triệu đồng, r = 1%, n = 11 (từ đầu tháng 2 đến cuối tháng 12) A = 4
1%(1 +
1%) [(1 + 1%)n− 1] + 4 = 50, 73 triệu đồng. _

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý.

Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi quý số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để

tính lãi cho quý tiếp theo. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất

như trước đó. Tính tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền (cả vốn lẫn lãi).

Lời giải.

Số tiền nhận về sau 1 năm của 100 triệu gửi trước là 100(1 + 2%)4 triệu.

Số tiền nhận về sau 6 tháng của 100 triệu gửi sau là 100(1 + 2%)2 triệu.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Bài 2. Bác An đem gửi tổng số tiền 320 triệu đồng ở hai loại kỳ hạn khác nhau. Bác gửi 140 triệu

đồng theo kỳ hạn ba tháng với lãi suất 2, 1% một quý. Số tiền còn lại bác An gửi theo kỳ hạn một
tháng với lãi suất 0, 73% một tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi

kỳ hạn số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Sau 15 tháng kể từ ngày gửi

bác An đi rút tiền. Tính gần đúng đến hàng đơn vị tổng số tiền lãi thu được của bác An

Lời giải.

Số tiền nhận về sau 15 tháng của 140 triệu gửi trước là 140.(1 + 2, 1%)5 triệu.

Số tiền nhận về sau 15 tháng của 180 triệu gửi sau là 180.(1 + 0, 73%)15 triệu.

Suy ra tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà bác An thu được là:

140.(1 + 2, 1%)5+ 180.(1 + 0, 73%)15 ≈ 356, 080253 triệu.

Vậy số tiền lãi bác An thu được là: 356, 080253 − 320 = 360, 80253 = 36080253 đồng. _

Bài 3. Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12% trên năm. Ơng muốn hồn nợ

cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ; hai lần hồn

nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau

đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ơng A phải trả cho ngân hàng là bao

nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng khơng thay đổi trong thời gian ơng A hồn nợ.

Lời giải.

Lãi suất 12%/năm tương ứng 1%/tháng nên r = 0, 01 (do vay ngắn hạn)

Số tiền gốc sau 1 tháng là: T + T · r − m = T (1 + r) − m

Số tiền gốc sau 2 tháng là:

[T (1 + r) − m] + [T (1 + r) − m] .r − m = T (1 + r)2− m [(1 + r) + 1]

Số tiền gốc sau 3 tháng là:

T (1 + r)3 − mỵ(1 + r)2+ 1 + r + 1ó= 0

Do đó: m = T (1 + r)

3

(1 + r)2+ 1 + r + 1 =

T (1 + r)3.r

(1 + r)3− 1 =

1, 013

1, 013_{− 1} (triệu đồng). 

Bài 4. Ông A muốn sở hữu khoản tiền 20.000.000đ vào ngày 2/3/2012 ở một tài khoản lãi suất năm

là 6, 05%. Hỏi ông A cần đầu tư bao nhiêu tiền trên tài khoản này vào ngày 2/3/2007 để đạt được mục

tiêu đề ra?

Lời giải.

Gọi V0 là lượng vốn cần đầu tư ban đầu, lượng vốn sẽ được đầu tư trong 5 năm nên ta có:

20.000.000 = V0.(1 + 0, 0605)5 ⇒ V0 = 20.000.000.(1 + 0, 0605)
−5

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>C</b>

<b>CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM</b>

<b>1</b> <b>MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT</b>

Câu 1. Giá trị của biểu thức P = 31−√2_{· 3}2+√2_{· 9}1₂ _bằng

A 3. B 81. C 1. D 9.

Lời giải.

Ta có P = 31−√2_{· 3}2+√2_{· 9}₂1 _{= 3}1−√2+2+√2+1_{= 3}4 _{= 81.}

Chọn đáp án B _

Câu 2. Biến đổi P =
»

x43 6

√

x4 _{với x > 0 thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta được}

A P = x49_. _B _{P = x}
4

3_. _C _{P = x.} _D _{P = x}2_.

Lời giải.

Ta có P =
»

x43 6

√
x4 ₌

»
x43 · x

2

3 =

√

x2 _{= x.}

Chọn đáp án C _

Câu 3. Cho số thực a > 1. Mệnh đề nào sau đây sai?

A

3

√
a4

a > 1. B a

1

3 >√a. C 1
a2018 >

1

a2019. D a

−√2 _> 1

a√3.

Lời giải.

Áp dụng tính chất
(

a > 1

m > n ⇒ a

m _{> a}n_.

Với




a > 1

1
3 <

1
2

⇒ a13 _{< a}
1

2 ⇒ a

1

3 _>√_{a là mệnh đề sai.}

Chọn đáp án B 

Câu 4. Cho biểu thức P = 2x_{× 2}y_{, x; y ∈ R. Khẳng định nào sau đây đúng?}

A P = 2x−y_. _{B P = 4}xy_. _{C P = 2}xy_. _{D P = 2}x+y_.

Lời giải.

Ta có P = 2x× 2y _{= 2}x+y_.

Chọn đáp án D _

Câu 5. Cho x > 0, biểu thức P = x√5_{x bằng}

A x75_. _{B x}

6

5_. _{C x}

1

5_. _{D x}

4
5_.

Lời giải.

Ta có P = x√5_{x = x · x}1₅ _{= x}6₅_.

Chọn đáp án B _

Câu 6. Rút gọn biểu thức A =

3

√

a7_{· a}11₃

a4_·√7

a−5 với a > 0 ta được kết quả A = a

m

n, trong đó m, n ∈ N∗ và

m

n là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?

A m2+ n2 = 543. B m2− n2 _{= 312.} _{C m}2_{− n}2 _{= −312.} _{D m}2_{+ n}2 _{= 409.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Ta có:

A =

3

√

a7_{· a}11₃

a4_·√7

a−5 =

a73 · a
11

3

a4_{· a}−5₇ =

a6

a237

= a6−23₇ _{= a}19₇ _.

Suy ra m = 19, n = 7 nên m2+ n2 _{= 410 và m}2_{− n}2 _{= 312.}

Chọn đáp án B _

Câu 7. Tập xác định của hàm số y = (x3− 27)

π
2 _là

A D = (3; +∞). B D = R. C D = R \ {1}. D D = [3; +∞).

Lời giải.

Hàm số xác định khi x3_{− 27 > 0 ⇔ x > 3 .}

Vậy tập xác định của hàm số là D = (3; +∞).

Chọn đáp án A _

Câu 8. Nếu a2x_{= 3 thì 3a}6x _bằng

A 54. B 45. C 27. D 81.

Lời giải.

Ta có 3a6x_{= 3 (a}2x₎3 _{= 3 · 3}3 _{= 81.}

Chọn đáp án D _

Câu 9. Cho biểu thức P = 3
s

2
3

3

 
2
3

… 2

3. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng?

A P =Å 2
3

ã1₈

. B P =Å 2
3

ã18

. C P =Å 2
3

ã₁₈1

. D P =Å 2
3

ã1₂
.
Lời giải.

P = 3
s

2
3

3

 
2
3

… 2
3 =

Å 2
3

ã1₃
·Å 2

3
ã1₃·1₃

·Å 2
3

ã1₂·1₃·1₃
=Å 2

3

ã1₃+1₉+₁₈1
=Å 2

3
ã1₂

Chọn đáp án D _

Câu 10. Rút gọn biểu thức P = a32 · 3

√

a với a > 0.

A P = a12. B P = a
9

2. C P = a

11

6. D P = a3.

Lời giải.

P = a32 · 3

√

a = a32 · a
1
3 = a

3
2+

1
3 = a

11
6 .

Chọn đáp án C _

Câu 11. Cho x, y là hai số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?

A (xy)n= xnyn. B xmyn= (xy)m+n. C (xm)n = (x)mn. D xm· xn _{= x}m+n_.

Lời giải.

Đẳng thức sai là xmyn= (xy)m+n.

Chọn đáp án B 

Câu 12. Cho a là số thực dương. Viết a13 :

√

a dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

A a23. B a−
5

3. C a

1

6. D a−

1
6.

Lời giải.

Ta có a13 :

√

a = a13 : a

1
2 = a

1
3−

1
2 = a−

1
6.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Câu 13. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A (5x₎y _{= (5}y₎x_. _{B 4}xy = 4
x

4y. C (2.7)

x_{= 2}x_.7x_. _{D 3}x_.3y _{= 3}x+y_.

Lời giải.

Vì 4

x

4y = 4
x−y

Chọn đáp án B _

Câu 14. Giá trị của 23−√2_.4√2 _{bằng bao nhiêu?}

A 23+√2_. _{B 4}6√2−4_. _{C 8.} _{D 32.}

Lời giải.

23−

√

2_.4√2 _{= 2}3−√2_.22√2 _{= 2}3−√2+2√2 _{= 2}3+√2_.

Chọn đáp án A _

Câu 15. Cho x, y là hai số thực dương và m, n là 2 số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?

A xm_{× x}n_{= x}m+n_. _{B (x}m₎n

= xmn_. _{C (xy)}n _{= x}n_{× y}n_. _{D (x}m₎n

= xmn

.

Câu 16. Giá trị của biểu thức P = 31−√2_{· 3}2+√2_{· 9}1₂ _bằng

A 3. B 81. C 1. D 9.

Lời giải.

P = 31−

√

2_{· 3}2+√2_{· 9}1₂ _{= 3}1−√2_{· 3}2+√2_{· 3 = 3}4 _{= 81.}

Chọn đáp án B _

Câu 17. Với các số thực a, b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A 5

a

5b = 5

a−b_. _B 5

a

5b = 5

a

b. C 5

a

5b = 5

ab_. _D 5

a

5b = 5
a+b_.

Lời giải.

Áp dụng tính chất của lũy thừa a

m

an = a

m−n_{. Ta suy ra đẳng thức} 5
a

5b = 5

a−b _đúng.

Chọn đáp án A _

Câu 18. Cho a là số thực dương. Hãy biểu diễn biểu thức P = a2√3 _{a dưới dạng luỹ thừa với số mũ}

hữu tỉ.

A P = a43. B P = a

7

3. C P = a

5

3. D P = a
2
3.

Lời giải.

Ta có P = a2√3 _{a = a}2_{· a}₃1 _{= a}2+1₃ _{= a}7₃_.

Chọn đáp án B 

Câu 19. Cho a là số thực dương. Hãy viết biểu thức A = a2_·√_{a ·}√3 _{a dưới dạng lũy thừa số mũ hữu}

tỷ.

A A = a53_. _{B A = a}
4

3_. _{C A = a}
5

6_. _{D A = a}

17
6 _.

Lời giải.

Ta có: A = a2 · a12 · a
1

3 _{= a}

17
6 _.

Chọn đáp án D _

Câu 20. Cho số thực a > 1 và các số thực α, β. Kết luận nào sau đây đúng?

A 1

aα < 0, α ∈ R. B a

α _{< 1, α ∈ R.} _{C a}α _{> 1, α ∈ R.} _{D a}α_{> a}β _{⇔ α > β.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Theo tính chất của lũy thừa với cơ số a > 1. Khi đó aα > aβ ⇔ α > β.

Chọn đáp án D 

Câu 21. Cho số dương a khác 1 và các số thực α, β. Đẳng thức nào sau đây sai?

A aα_{· a}β _{= a}α·β_. _{B a}α_{· a}β _{= a}α+β_. _{C (a}α₎β _{= a}α·β_. _D a

α

aβ = a
α−β_.

Lời giải.

Ta có aα_{· a}β _{= a}α+β_.

Chọn đáp án A _

Câu 22. Cho a, b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức P =
Ä√₄

a3_b2ä4

3

p√
a12_b6.

A P = ab2. B P = a2b. C P = ab. D P = a2b2.

Lời giải.

P = (a

3_b2₎1₄·4

(a12_b6₎1₃·1₂

= a

3_b2

a2_b = ab.

Chọn đáp án C _

Câu 23. Tìm dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ của biểu thức pa3 ₅√4_{a (với a > 0).}

A a

7

4_. _{B a}

1

4_. _{C a}

4

7_. _{D a}

1
7_.

Lời giải.

3

»
a5√4

a = a53 · a
1
12 _{= a}

7
4_.

Chọn đáp án A _

Câu 24. Rút gọn biểu thức P = x

2

3_.√5_{x với x là số thực dương.}

A P = x
7

3 . B P = x
1

5 . C P = x
3

8 . D P = x

13
15 .
Lời giải.

Ta có P = x
2

5 ·√3_{x = x}

2
5 · x

1
3 = x

11
15 .

Chọn đáp án D _

Câu 25. Cho biểu thức T = _pa5 √3 _{a với a > 0. Viết biểu thức T dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu}

tỉ.

A a13_. B a
3

5_. C a

4

15_. D a

2
15_.

Lời giải.

Ta có T =pa5 √3_{a =}
5

»

a43 _{= a}
4
15_.

Chọn đáp án C _

Câu 26. Cho a là số thực dương khác 1. Khi đó p4 a23 bằng

A a38. B a
8

3. C 3

√

a2_. _D √6 _a.

Lời giải.

Ta có p4 a23 = a
2
3·4 = a

1
6 = 6

√
a.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Câu 27. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào khơng có nghĩa?

A
Å

−3
4

ã0

. B (−4)−
1

3 . C (−3)−4. D 1−

√
2_.

Lời giải.

Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương nên biểu thức (−4)−

1

3 _{khơng có nghĩa.}

Chọn đáp án B _

Câu 28. Cho x, y là hai số thực dương khác 1 và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây

sai?

A xm_{· x}n_{= x}m+n_. _B _xn_{· y}n _{= (xy)}n_. _C x

n

ym =

Å x
y

ãn−m

. D x

n

yn =

Å x
y

ãn
.

Lời giải.

Theo tính chất lũy thừa với số mũ thực ta có:
• xm_{· x}n_{= x}m+n_.

• xn_{· y}n_{= (xy)}n_.

• x

n

yn =

Å x
y

ãn
.

Do đó đẳng thức x

n

ym =

Å x
y

ãn−m

là sai.

Chọn đáp án C _

Câu 29. Rút gọn biểu thức P = x13√6_{x với x > 0.}

A P =√x. B P = x18_. _{C P = x}
2

9_. _{D P = x}2_.

Lời giải.

Ta có P = x13 · x
1

6 = x

1

2 =√x.

Chọn đáp án A _

Câu 30. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có nghĩa?

A (−2)

√
2

. B (−3)−6. C (−5)−34_. _{D 0}−3 _.

Lời giải.

Các biểu thức (−2)

√
2

và (−5)−34 _{khơng có nghĩa vì các số mũ không là số nguyên nên cơ số phải là số}

thực dương. Biểu thức 0−3 khơng có nghĩa.

Biểu thức (−3)−6 là biểu thức có nghĩa.

Chọn đáp án B _

Câu 31. Cho các số thực a, b, n, m (a, b > 0). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A (am₎n _{= a}m+n_. _{B a}m_.an _{= a}m+n_.
C a

m

an =

n

√

am_. _{D (a + b)}m _{= a}m_{+ b}m_.

Lời giải.

Áp dụng lý thuyết sách giáo khoa.

Chọn đáp án B _

Câu 32. Cho biểu thức P = x12 · x
1
3 · 6

√

x với x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A P = x116. B P = x
7

6. C P = x
5

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Lời giải.

P = x12 · x
1
3 · 6

√

x = x12 · x
1
3 · x

1
6 = x

1
2+

1
3+

1
6 = x

Chọn đáp án D _

Câu 33. _{Cho 0 < a 6= 1; α, β ∈ R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?}

A a

α

aβ = a
α

β_. _{B a}

√

α_{= (}√_a)α _{(α > 0).}

C aαβ = (aα)β. D √aα _{= (}√_a)α_.

Lời giải.

Mệnh đề √aα _{= (}√_a)α _đúng.

Chọn đáp án D _

Câu 34. Rút gọn biểu thức Q = b53 _: 3

√

b với b > 0.

A Q = b59_. _{B Q = b}2_. _{C Q = b}−
4

3_. _{D Q = b}

4
3_.

Lời giải.

Ta có Q = b

5
3 _{: b}

1
3 _{= b}

5
3−

1
3 _{= b}

4
3_.

Chọn đáp án D _

Câu 35. Cho biểu thức P = a

√

7+1_a2−√7

(a

√

2−2₎√2+2 với a > 0. Rút gọn biểu thức P được kết quả

A P = a3_. _{B P = a}5_. _{C P = a.} _{D P = a}4_.

Lời giải.

Ta có P = a

√

7+1_.a2−√7

(a

√

2−2₎√2+2 =

a

√

7+1+2−√7

a(√2−2)(√2+2) =

a3
a−2 = a

5_.

Chọn đáp án B _

Câu 36. Cho a là một số dương. Biểu thức a23 ·√a viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là

A a76_. _{B a}

11

6 _. _{C a}

6

5_. _{D a}

5
6_.

Lời giải.

Ta có a23 ·√_{a = a}
2
3 · a

1

2 _{= a}

7
6_.

Chọn đáp án A _

Câu 37. Với các số dương a, b bất kỳ, đặt M =Å a

12

5

√
b3

ã−0,3

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A log M = −18

5 log a −
9

50log b. B log M = −

18

5 log a +

9
50log b.

C log M = 18

5 log a −
9

50log b. D log M =
18

5 log a +
9
50log b.

Lời giải.

Ta có: M =Äa12b−35

ä−0,3

= a−185 b
9

50, suy ra: log M = −18

5 log a +
9
50log b.

Chọn đáp án B _

Câu 38. Cho x, y là hai số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây sai?
A xm_{· x}n_{= x}m+n_. _{B x}m_{· y}n_{= (xy)}m+n

. C (xn₎m

= xnm_. _{D (xy)}n

= xn_{· y}n_.

Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Chọn đáp án B _

Câu 39. Cho 4 số thực a, b, x, y với a, b là các số dương và khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a

x

ay = a

x−y_. _{B (a}x₎y _{= a}x+y_. _{C a}x_.ay _{= a}x.y_. _{D (a.b)}x_{= a.b}x_.

Lời giải.

Dựa vào công thức lũy thừa

Chọn đáp án A _

Câu 40. Hãy rút gọn biểu thức A = a1+

√

5_{· a}1−√5_.

A A = 1

a4. B A =

1

a−4. C A = a

2_. _{D A = a}4_.

Lời giải.

A = a1+√5_{· a}1−√5 _{= a}1+√5+1−√5 _{= a}2_.

Chọn đáp án C _

Câu 41. Rút gọn biểu thức P =Ä2 −√3ä2017 ·Ä2 +√3ä2018.

A P = 2 −√3. B P = 1. C P = −2 −√3. D P = 2 +√3.
Lời giải.

Ta có: Ä2 −√3ä·Ä2 +√3ä = 22_{− (}√₃₎2 _{= 1.}

Do đó:

P = Ä2 −√3ä2017·Ä2 +√3ä2018 =Ä2 +√3ä−2017·Ä2 +√3ä2018 =Ä2 +√3ä−2017+2018= 2 +√3.

Chọn đáp án D _

Câu 42. Phát biểu nào sau đây là sai?

A e3 _{> e}2_. _{B 0,5}3 _>Å 1

2
ã2

. C Ä√3ä2 <Ä√3ä3. D π
2

2
<π

2
3

.

Lời giải.

Dựa vào tính chất của lũy thừa ta có 0,53 _>Å 1

2
ã2

là mệnh đề sai do a < 1.

Chọn đáp án B _

Câu 43. Cho số thực a thỏa a3 > aπ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 0 < a < 1. B a < 0. C a > 1. D a = 1.

Lời giải.

Trong đề bài có lũy thừa với số mũ thực, là aπ_{, nên a > 0.}

Lại có: 3 < π mà a3 _{> a}π _{⇒ 0 < a < 1.}

Chọn đáp án A _

Câu 44. Tính giá trị của biểu thức P =Å 1
16

ã−0,75
+Å 1

8
ã−4₃

.

A P = 16. B P = 18. C P = 12. D P = 24.
Lời giải.

Ta có P = (2−4)−0,75 + (2−3)−43 = 23+ 24 = 24.

Chọn đáp án D _

Câu 45. Tính P =Å 3
7

ã−1
−3

4 ·
Å 9

4
ã−1

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

A P = 2. B P = 31

48. C P =

2

21. D P = −
141
112.

Lời giải.

Ta có P = 7

3−

3
4 ·

4
9 = 2.

Chọn đáp án A _

Câu 46. Cho biểu thức P = px ·√5 x3_{, x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?}

A P = x145 _. _{B P = x}
3

5_. _{C P = x}
4

15_. _{D P = x}

4
5_.

Lời giải.

P = px√5x3 ₌

»

x1+35 _{= x}

1
2·

8

5 _{= x}

4
5_.

Chọn đáp án D _

Câu 47. Giá trị của biểu thức A = 6412 · 64
1
3 · 6

√
64 là

A A = 36√

64. B A = 2. C A = 64. D A =√2.

Lời giải.

Ta có A = 6412 · 64
1
3 · 6

√

64 = 8 · 4 · 2 = 64.

Chọn đáp án C _

Câu 48. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào khơng có nghĩa?

A (−4)−13. B
Å

−3
4

ã0

. C (−3)−4. D 1−

√
2_.

Lời giải.

Theo định nghĩa lũy thừa aα _{nếu α /}_{∈ Z thì cơ số a > 0. Vậy biểu thức (−4)}−1
3 sai.

Chọn đáp án A _

Câu 49. Tính giá trị của biểu thức P = 2

3_{· 2}−1_{+ 5}−3_{· 5}4

10−3 _{: 10}−2_{− 0, 1}0.

A 9. B −10. C −9. D 10.

Lời giải.

Ta có

P = 2

3_{· 2}−1_{+ 5}−3_{· 5}4

10−3 _{: 10}−2_{− 0, 1}0 =

22_{+ 5}

10−1_{− 1} = −10.

Chọn đáp án B _

Câu 50. Tập xác định của hàm số y = (x − 2)−3 là

A (2; +∞). _{B R.} _{C R \ {2}.} D (−∞; 2).

Lời giải.

Hàm số y = (x − 2)−3 xác định khi x − 2 6= 0 ⇔ x 6= 2.

Chọn đáp án C _

Câu 51. Rút gọn biểu thức P =√a.a−2.a34, với a > 0.

A P = a−74. B P = a−

3

4. C P = a−

1

2. D P = a
5
4.

Lời giải.

√

a.a−2.a34 = a
1
2.a−2.a

3
4 = a

1
2+(−2)+

3

4 = a−

3
4.

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Câu 52. Biểu thức 22· 212 · 8 viết dưới dạng lũy thừa cơ số 2 với số mũ hữu tỷ là

A 272. B 2
5

2. C 2

11

2 . D 2

9
2.

Lời giải.

Ta có 22· 212 · 8 = 22· 2
1

2 · 23 = 22+
1

2+3 = 2
11

2 .

Chọn đáp án C _

Câu 53. Cho m, n là các số thực tùy ý và a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A am· an _{= a}mn_. _{B a}m_{+ a}n_{= a}mn_. _{C a}m−n₌ a
m

an. D a

mn_{= a}m_n_.

Lời giải.

Ta có am−n= a

m

an đúng với mọi m, n thực và a > 0, a 6= 1.

Chọn đáp án C _

Câu 54. Cho biểu thức P = x√3x4 _{với x > 0. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?}

A P = x73. B P = x

5

3. C P = x

7

4. D P = x
6
5.

Lời giải.

P = x · x43 _{= x}1+
1

3 _{= x}

7
3_.

Chọn đáp án A _

Câu 55. Cho a, b là hai số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Khẳng định nào sau đây sai?

A a

m

bm =

a

b
m

. B am_{· a}n_{= a}mn_. _{C (a}m₎n

= amn_. _D Å 1

b
ã−n

= bn_.

Lời giải.

am_{· a}n_{= a}m+n _{nên khẳng định a}m_{· a}n_{= a}mn _sai.

Chọn đáp án B _

Câu 56. Biết ax < ay ⇔ x > y. Khi đó, khẳng định đúng về a là

A a > 0. B 0 < a < 1. _{C a ∈ R.} D a > 1.

Lời giải.

Ta xét hàm số y = ax _{(0 < a, a 6= 1). Hàm số đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1.}

Từ điều kiện ax _{< a}y _{⇔ x > y, ta suy ra 0 < a < 1.}

Chọn đáp án B _

Câu 57. Rút gọn biểu thức A = (√a)3·Ä√3

a4ä_·Ä√4

a5ä _{(với a > 0 ).}

A A = a13360_. B A = a
23

12_. C A = a

49

12_. D A = a

5
2_.

Lời giải.

A = (√a)3·Ä√3

a4ä_·Ä√4

a5ä_{= a}3₂+4₃+5₄ _{= a}49₁₂_.

Chọn đáp án C _

Câu 58. Rút gọn biểu thức A =

3

√
a8_{· a}73

a5_·√4

a−3 (a > 0), ta được kết quả A = a

m

n, trong đó m, n ∈ N∗ và

m

n là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A 3m2_{− 2n = 0.} _{B m}2_{+ n}2 _{= 25.} _{C m}2_{− n}2 _{= 25.} _{D 2m}2_{+ n}2 _{= 10.}

Lời giải.

Ta có A = a

8
3 · a

7
3

a5_{· a}−3₄ = a

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Chọn đáp án B _

Câu 59. Với α là số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?

A (10α₎2

= 100α_. _B √₁₀α ₌Ä√₁₀äα_. _C √₁₀α _{= 10}α₂_. _{D (10}α₎2

= 10α2

.
Lời giải.

Ta có: (10α₎2 _{= 10}2α _{nên mệnh đề (10}α₎2 _{= 10}α2 _sai.

Chọn đáp án D _

Câu 60. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2−5x+6 = 0. Tính giá trị của A = 5x1+5x2.

A A = 125. B A = 3125. C A = 150. D A = 15625.

Câu 61. Cho a là một số thực dương. Viết biểu thức P = a35.3

√

a2 _{dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu}

tỉ.

A P = a151 . B P = a
2

5. C P = a−
1

15. D P = a

19
15.

Câu 62. Cho các số thực m, n và a là số thực dương. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A am+n = (am₎n

. B am+n= a

m

an. C a

m+n_{= a}m_{· a}n_. _{D a}m+n_{= a}m_{+ n.}

Lời giải.

Ta có am+n= am_{· a}n_.

Chọn đáp án C _

Câu 63. Cho Ä√5 − 2äa>Ä√5 − 2äb. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A a > b. B a < b. C a ≤ b. D a ≥ b.

Lời giải.

Ta có √5 − 2 < 1, do đó nếu Ä√5 − 2äa >Ä√5 − 2äb thì ta suy ra a < b.

Chọn đáp án B _

Câu 64. Cho a là một số dương, biểu thức a23√_{a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là}

A a65_. _{B a}
11

6 _. _{C a}

5

6_. _{D a}

7
6_.

Lời giải.

Ta có a23√_{a = a}
2
3 · a

1

2 _{= a}

2
3+

1

2 _{= a}

7
6_.

Chọn đáp án D _

Câu 65. Tính K =Å 1
16

ã−0,75
+Å 1

8
ã−4₃

, ta được

A 24. B 12. C 16. D 18.

Lời giải.

K = 4
 

Å 1
16

ã−3
+ 3

 
Å 1

8
ã−4

=√4 163₊√3

84 _{= 2}3_{+ 2}4 _{= 24.}

Chọn đáp án A _

Câu 66. Biểu thức √x√3_x√6 _x5 _{viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là}

A x73_. _{B x}
5

2_. _{C x}

2

3_. _{D x}

5
3_.

Lời giải.

√

x√3 _x√6_x5 _{= x}₂1_x1₃_x5₆ _{= x}5₃ _{(x > 0).}

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Câu 67. Cho πα < πβ. Kết luận nào sau đây đúng?

A α > β. B αβ = 1. C α < β. D α + β = 0.

Lời giải.

Do π > 1 nên từ πα _{< π}β_{, ta có α < β.}

Chọn đáp án C _

Câu 68. Rút gọn biểu thức b(

√

3−1)2 _{: b}−2√3 _{(b > 0) ta được}

A b4_. _{B b}3_. _{C b}2_. _{D b.}

Lời giải.

b(

√
3−1₎2

: b−2

√
3 _{= b(}

√

3−1₎2+2√3

= b4_.

Chọn đáp án A _

Câu 69. Cho a là số thực dương và α, β là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?

A aα+β = aα_{· a}β_. _{B a}α·β _{= (a}α₎β_. _C a

α

aβ = a
α

β_. _{D a}α· bα = (ab)α_.

Lời giải.

Ta có a

α

aβ = a

α−β _nên a

α

aβ = a

α

β là mệnh đề sai.

Chọn đáp án C _

Câu 70. Cho hai số thực dương a và b. Biểu thức 5

s
a
b
3
 
b
a
… a

b được viết dưới dạng luỹ thừa với số
mũ hữu tỉ là

A a
b

30₃₁

. B a

b
1₇

. C a

b
1₆

. D a
b

31₃₀
.

Lời giải.

Ta có 5

s

a
b
3
 
b
a
… a
b =
a
b
1₅ Å b

a

ã₁₅1 __a

b
₃₀1

=a
b

1₅ a

b

−₁₅1 a

b
₃₀1

=a
b

1₅−₁₅1+₃₀1
=a

b
1₆

.

Chọn đáp án C _

Câu 71. Biểu thức P =px3_·√3

x2_·√6

x5_{(x > 0) viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là}

A P = x83. B P = x

5

6. C P = x
1

3. D P = x3.

Lời giải.

Ta có P =px3_·√3

x2_·√6

x5 ₌p_x3_{· x}2₃ _{· x}₆5 _{= x}11₆ _{· x}5₆ _{= x}8₃_.

Chọn đáp án A _

Câu 72. Cho biểu thức P = »3 xpx4 ₃√

x, với x > 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A P = x12. B P = x
7

12. C P = x

5

8. D P = x

7
24.

Lời giải.

Ta có : P = 3
»

xpx4 ₃√

x = [x(x3x12)
1
4]

1

3_{= [x(x}72)
1
4]

1
3_=x13x

7
24=x

5
8.

Chọn đáp án C _

Câu 73. Cho m > 0. Biểu thức m

√
3_·Å 1

m
ã

√
3−2

bằng

A m2√3−2_. _{B m}2√3−3_. _{C m}−2_. _{D m}2_.

Lời giải.

Ta có: m

√
3_·Å 1

m
ã
√
3−2
= m
√

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Chọn đáp án D _

Câu 74. Số nào dưới đây nhỏ hơn 1?

A eπ. B Ä√3äe. C πe. D Å 2

3
ã

√
2

.
Lời giải.

Ta có 2

3 < 1 ⇒
Å 2

3
ã

√
2

<Å 2
3

ã0
= 1.

Chọn đáp án D _

Câu 75. Tính giá trị của biểu thức K =

2 : 4−2+ (3−2)3·Å 1
9

ã−3

5−3_{· 25}2_{+ (0, 7)}0_·Å 1

2
ã−3.

A 2

3. B

8

3. C

5

3. D

33
13.
Lời giải.

Ta có

K =

2 : 4−2+ (3−2)3 ·Å 1
9

ã−3

5−3_{· 25}2 _{+ (0, 7)}0_·Å 1

2

ã−3 =

2 · 24_{+ 3}−6_{· 3}6

5−3_{· 5}4_{+ 1 · 2}3

= 2

5_{+ 1}

5 + 23

= 33
13.

Chọn đáp án D _

Câu 76. Biết số nguyên dương M sẽ có n chữ số (khi biểu diễn thập phân) nếu 10n−1 ≤ M < 10n_.

Hỏi số M = 2400 _{có bao nhiêu chữ số?}

A 121. B 278. C 120. D 122.

Lời giải.

Ta có M = 2400 ⇔ log M = 400 log 2 ≈ 120.4.

Do đó 10120 < M < 10121. Vậy n = 121.

Chọn đáp án A _

Câu 77. Cho hàm số f (x) = (x2_{+ x + 6)}3₂_{. Khi đó giá trị của f (−1) bằng}

A 3√3. B 6√6. C 8. D 2√2.

Lời giải.

Vì x2_{+ x + 6 > 0 ⇔ ∀x ∈ R nên tập xác định của hàm số là D = R.}

Ta có −1 ∈D nên f(−1) = [(−1)2− 1 + 6]32 _{= 6}3₂ _{= 6}√_6.

Chọn đáp án B _

Câu 78. Cho x, y, u, v là các số thực dương tùy ý. Khẳng định nào sau đây sai?

A (yu₎v

= yuv_. _{B x}u_{· x}v _{= x}uv_. _C x

u

xv = x

u−v_. _{D x}u_{· y}u _{= (xy)}u

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Ta có xu· xv _{= x}u+v _{nên khẳng định sai là x}u_{· x}v _{= x}uv_.

Chọn đáp án B 

Câu 79. Cho a là số thực dương. Biểu thức a2√3 _{a được viết dưới dạng lũy thừa với số hữu tỉ là}

A a43. B a

7

3. C a

5

3. D a

2
3.

Lời giải.

a2√3_{a = a}2+1₃ _{= a}7₃_.

Chọn đáp án B _

Câu 80. Cho 0 < a 6= 1 và các số thực α, β. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A aα_{· a}β _{= a}α+β_. _{B a}α_{· a}β _{= a}αβ_. _C a

α

aβ = a

α−β_. _{D (a}α₎β

= aαβ_.

Lời giải.

Theo tính chất lũy thừa ta suy ra mệnh đề aα_{· a}β _{= a}αβ _{là sai.}

Chọn đáp án B _

Câu 81. Rút gọn biểu thức P = a32 ·√3_{a với a > 0.}

A P = a12_. _{B P = a}
9

2_. _{C P = a}

11

6 _. _{D P = a}3_.

Lời giải.

Với a > 0 ta có P = a32 ·√3 _{a = a}3₂ _{· a}1₃ _{= a}11₆ _.

Chọn đáp án C _

Câu 82. Cho a là số thực dương. Biểu thức a2 _·√3 _{a được viết dưới dạng lũy thữa với số mũ hữu tỉ}

là

A a43. B a
7

3. C a

5

3. D a

2
3.

Lời giải.

a2 _·√3_{a = a}2_{· a}₃4 _{= a}2+4₃ _{= a}7₃_.

Chọn đáp án C _

Câu 83. Kết quả viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ của biểu thức F =
q

a»apa√a : a1116 _với

(a > 0) là

A F = a14_. _{B F = a}

3

8_. _{C F = a}
1

2_. _{D F = a}
3
4_.

Lời giải.

Với (a > 0) ta có

F =
…

a
q

a
»

a√a : a1116 _{= a}
1
2 · a

1
4 · a

1
8 · a

1
16 _{: a}

11
16 _{= a}

1
2+

1
4+

1
8+

1
16−

11
16 _{= a}

1
4_.

Chọn đáp án A _

Câu 84. Rút gọn biểu thức A =

3

√

a7_{· a}11₃

a4_·√7

a−5 với a > 0 ta được kết quả A = a

m

n trong đó m, n ∈ N∗ và

m

n là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?

A m2− n2 _{= 312.} _{B m}2_{+ n}2 _{= 543.} _{C m}2_{− n}2 _{= −312.} _{D m}2_{+ n}2 _{= 409.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Ta có

A =

3

√

a7_{· a}11₃

a4_·√7

a−5 =

a73+
11

3

a4−57

= a197 _.

Vậy m2_{− n}2 _{= 312.}

Chọn đáp án A _

Câu 85. Tìm hàm số f (x) biết f0(x) = x − 1

x2 + 2 và f (1) = 3.

A f (x) = 1
2x

2 ₋ 1

x + 2x −
1

2. B f (x) =

1
2x

2₋ 1

x + 2x +
3
2.

C f (x) = 1
2x

2 ₊ 1

x + 2x −
1

2. D f (x) =

1
2x

2₊ 1

x + 2.

Lời giải.

Ta có f (x) =
Z Å

x − 1
x2 + 2

ã

dx = 1
2x

2₊ 1

x + 2x + c.

Từ f (1) = 3 suy ra c = −1
2.
Vậy f (x) = 1

2x

2₊ 1

x + 2x −
1
2

Chọn đáp án C _

f (x) = 1
2x

2₊ 1

x + 2.

Câu 86. Cho a, b là các số thực dương, rút gọn P = a

4
3_{b + ab}

4
3

3

√

a +√3b ta được

A P = ab. B P = a + b. C P = a4b + ab4. D P = a2b + ab2.

Lời giải.

Ta có P =
ab

Å
a13 _{+ b}

1
3

ã

a13 _{+ b}
1
3

= ab.

Chọn đáp án A _

Câu 87. Rút gọn biểu thức P = x12 · 8

√

x (với x > 0).

A x165 . B x

5

8. C x

1

16. D x4.

Lời giải.

Ta có P = x12 · x
1
8 = x

1
2+

1
8 = x

5
8.

Chọn đáp án B _

Câu 88. _{Cho số dương a và m, n ∈ R. Mệnh đề nào sau đây đúng?}

A am· an _{= a}m−n_. _{B a}m_{· a}n_{= (a}m₎n

. C am· an_{= a}m+n_. _{D a}m_{· a}n_{= a}mn_.

Lời giải.

Từ công thức hàm lũy thừa thì cơng thức đúng là am· an _{= a}m+n_.

Chọn đáp án C 

Câu 89. _{Cho số thực a dương và hai số m, n ∈ R. Mệnh đề nào sau đây đúng?}

A am+n _{= (a}m₎n_. _{B a}m+n₌ a
m

an. C a

m+n_{= a}m_{· a}n_. _{D a}m+n_{= a}m_{+ n.}

Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Chọn đáp án C _

Câu 90. Với α là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?

A √10α _{= 10}α₂_. _B √₁₀α ₌Ä√₁₀äα_. _{C (10}α₎2

= 100α_. _{D (10}α₎2

= 10α2

.
Lời giải.

Ta có √10α ₌Ä√₁₀äα _{= 10}α₂_{, (10}α₎2 _{= 100}α _{và (10}α₎2 _{= 10}2α_.

Chọn đáp án D _

Câu 91. Cho Ä√2 − 1äm <Ä√2 − 1än. Khi đó

A m = n. B m < n. C m > n. D m 6= n.

Lời giải.

Do 0 < √2 − 1 < 1 nên Ä√2 − 1äm <Ä√2 − 1än⇔ m > n.

Chọn đáp án C 

Câu 92. Cho biết (x − 2)−13 > (x − 2)−
1

6, khẳng định nào sau đây đúng?

A 2 < x < 3. B 0 < x < 1. C x > 2. D x > 1.

Lời giải.

Do −1
3 < −

1
6 và −

1
3; −

1

6 ∈ Z nên bất phương trình tương đương/
(

x − 2 > 0

x − 2 < 1 ⇔ 2 < x < 3.

Chọn đáp án A _

Câu 93. Rút gọn biểu thức P =
Ä

a

√
3−1ä

√
3+1

a4−√5_{· a}√5−2(với a > 0 và a 6= 1).

A P = 2. B P = a2. C P = 1. D P = a.

Lời giải.

Ta có P =
Ä

a

√
3−1ä

√
3+1

a4−√5_{· a}√5−2 =

a(√3−1)(√3+1)

a4−√5+√5−2 =

a2

a2 = 1.

Chọn đáp án C _

Câu 94. Cho hàm số f (x) = (2x2_{+ 3x + 1)}32_{. Khi đó giá trị của f (1) bằng bao nhiêu?}

A 8. B 3

2. C 6

√

6. D 623.

Lời giải.

Dễ thấy x = 1 thuộc tập xác định hàm số đã cho.

Ta có f (1) = 632 = 6

√
6.

Chọn đáp án C _

Câu 95. Cho α là một số thực dương. Viết α23 ·√_{α dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ.}

A α73. B α

7

6. C α

5

3. D α

1
3.

Lời giải.

α23 ·√_{α = α}
2
3 · α

1

2 _{= α}

7
6_.

Chọn đáp án B _

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

C ax_{< b}x _{với mọi x < 0.} _{D a}x _{< b}x _{với mọi x ∈ R.}

Lời giải.

Theo tính chất lũy thừa, ta có ax _{< b}x _{với mọi x > 0.}

Chọn đáp án B _

Câu 97. Rút gọn biểu thức P = x12 · 8

√

x (với x > 0).

A x4_. _{B x}₁₆1 _. _{C x}₁₆5 _. _{D x}5₈_.

Lời giải.

Ta có P = x12 · 8

√

x = x12 · x
1
8 = x

1
2+

1
8 = x

5
8.

Chọn đáp án D _

Câu 98. Với a > 0, b > 0 và α, β là các số thực bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?

A a

α

aβ = a

α−β_. _{B a}α_{· a}β _{= a}α+β_. _C a

α

aβ =

a
b

α−β

. D aα_{· b}α _{= (ab)}α

.

Lời giải.

Theo tính chất của lũy thừa thì mệnh đề sai là a

α

aβ =

a

b
α−β

.

Chọn đáp án C _

Câu 99. Tính giá trị của alog√a4 _{với a > 0, a 6= 1.}

A 8. B 4. C 16. D 2.

Lời giải.

Ta có alog√a4 _{= a}2 loga4 = aloga42 = 16.

Chọn đáp án C _

Câu 100. Với mọi số thực dương a và m, n là hai số thực bất kì. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A a

m

an = a

m−n_. _{B (a}m₎n_{= a}mn

. C (am)n = am+n. D a

m

an = a
n−m_.

Lời giải.

Với mọi số thực dương a và m, n là hai số thực bất kì, ta có a

m

an = a
m−n_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

ĐÁP ÁN

1. B 2. C 3. B 4. D 5. B 6. B 7. A 8. D 9. D 10. C

11. B 12. D 13. B 14. A 15. D 16. B 17. A 18. B 19. D 20. D

21. A 22. C 23. A 24. D 25. C 26. D 27. B 28. C 29. A 30. B

31. B 32. D 33. D 34. D 35. B 36. A 37. B 38. B 39. A 40. C

41. D 42. B 43. A 44. D 45. A 46. D 47. C 48. A 49. B 50. C

51. B 52. C 53. C 54. A 55. B 56. B 57. C 58. B 59. D 60. C

61. D 62. C 63. B 64. D 65. A 66. D 67. C 68. A 69. C 70. C

71. A 72. C 73. D 74. D 75. D 76. A 77. B 78. B 79. B 80. B

81. C 82. C 83. A 84. A 85. C 86. A 87. B 88. C 89. C 90. D

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<b>2</b> <b>MỨC ĐỘ THƠNG HIỂU</b>

Câu 1. Tính a

5
3_(a

−2

3 _{+ a}

1
3₎

a + 1 , với a > 0.

A a − 1. B a2_{+ 1.} _{C a.} _{D a + 1.}

Lời giải.

a53

Å
a

−2

3 _{+ a}

1
3

ã

a + 1 =
a53_.a

−2

3 _{+ a}

5
3_.a

1
3

a + 1 =

a + a2
a + 1 = a.

Chọn đáp án C _

Câu 2. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A π20 < e20. B (2
3)

12_{< (}2

3)

10_. _{C (}1

5)

18_{> (}1

5)

16_. _{D 5}20 _{< 5}19_.

Lời giải.

+)
(

20 > 0

π > e

⇔ π20 _{> e}20_{. Do đó mệnh đề A sai.}

+)





12 > 10
2
3 < 1

⇔Å 2
3

ã12
<Å 2

3
ã10

. Do đó mệnh đề B đúng.

+)





18 > 16
1
5 < 1

⇔Å 1
5

ã18
<Å 1

5
ã16

. Do đó mệnh đề C sai.

+)

(

20 > 19

5 > 1

⇔ 520 _{> 5}19_{. Do đó mệnh đề D sai.}

Chọn đáp án B _

Câu 3. Cho hai số thực dương a và b. Biểu thức 5
s
a
b
3
 
b
a
… a

b được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ
hữu tỉ là

A
a

b
30₃₁

. B

a

b
1₇

. C

a
b

1₆

. D

a

b
31₃₀

.
Lời giải.
5
s
a
b
3
 
b
a

… a
b =
a
b
1₅ Å b

a
ã₁₅1 _

a
b

₃₀1
= a
1
5−
1
15+
1
30

b15−
1
15+
1
30
=
a
b
1₆

.

Chọn đáp án C _

Câu 4. Cho m > 0. Biểu thức m

√
3_·Å 1

m
ã

√
3−2

bằng

A m2

√

3−2_. _{B m}2√3−3_. _{C m}−2_. _{D m}2_.

Lời giải.

Ta có

m

√
3_·Å 1

m
ã
√
3−2
= m
√

3_{· m}−1

√
3−2

= m

√

3_{· m}2−√3

= m

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

= m2.

Chọn đáp án D _

Câu 5. Tích 1
2019!

Å
1 −1

2
ã1

·
Å

1 − 1
3

ã2
·

Å
1 − 1

4
ã3

· · ·
Å

1 − 1
2019

ã2018

được viết dưới dạng ab_{, khi đó}

(a; b) là cặp nào trong các cặp sau?

A (2020; −2019). B (2019; −2019). C (2019; −2020). D (2018; −2019).

Lời giải.

Ta có

1
2019!

Å
1 −1

2
ã1

·
Å

1 −1
3

ã2
·

Å
1 −1

4
ã3

· · ·
Å

1 − 1
2019

ã2018

= 1
2019!·

Å 1
2

ã1
·Å 2

3
ã2

· · ·Å 2018
2019

ã2018

= 1
2019!·

1.2.3...2018
20192018

= 1
20192019

= 2019−2019.

Khi đó (a, b) là (2019; −2019).

Chọn đáp án C _

Câu 6. Rút gọn biểu thức P = x

1
3 6

√
x5

x√x với x > 0?

A P =√x. B P = √3x2_. _{C x}−2

3. D x−

1
3.

Lời giải.

P = x

1
3 6

√
x5

x√x =
x

1
3+

5
6

x1+
1
2

= x

7
6−

3
2 = x−

1
3 .

Chọn đáp án D _

Câu 7. Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định cho dưới đây?

(1) Với số thực a và các số nguyên m, n, ta có (am)n= am.n;a

m

an = a
m:n_.

(2) Với hai số thực a, b cùng khác 0 và số nguyên n, ta có (ab)n _{= a}n_bn_;a

b
n

= a

n

bn.

(3) Với hai số thực a, b thỏa mãn 0 < a < b và số nguyên n, ta có an_{< b}n _{khi và chỉ khi n > 0.}

(4) Cho số thực a và các số nguyên m, n. Khi đó, với a > 0 thì am _{> a}n _{khi và chỉ khi m > n.}

A 4. B 3. C 2. D 1.

Câu 8. Cho hai số thực a, b > 0. Thu gọn biểu thức A =

5

√

a4_.√5 _a.√5_a2_.√_ab2

Ä ₅
p√aä3

.√a2_b.√5

a3_.√_ab

ta thu được kết

quả

A A =
√

a

a . B A =

√
a3_b

a . C A =

√
b

b . D A =

5

√
a
a .

Câu 9. Biết 4x_{+ 4}−x _{= 23, tính giá trị của biểu thức P = 2}x_{+ 2}−x_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Câu 10. Kết quả a1112 với (a > 0) là biểu thức rút gọn của phép tính nào sau đây?

A

4

√
a3√_a

3

√

a . B

4

√

a√3 _a. _{C a}4√_a3_. _D

3

√
a4

√
a .

Câu 11. Cho (3 − 2√2)m _{> (3 − 2}√₂₎n_{. Khẳng định nào dưới đây đúng?}

A m > n. B m = n. C m < n. D m ≥ n.

Lời giải.

Vì 0 < 3 − 2√2 < 1 nên suy ra m < n

Chọn đáp án C _

Câu 12. Biến đổi px3 ₅√4_{x (x > 0) thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta được}

A x74. B x

20

3 . C x

23

12. D x

12
5 .

Câu 13. Cho 9x_{+ 9}−x _{= 23. Khi đó biểu thức K =} 5 + 3x+ 3
−x

1 − 3x_{− 3}−x có giá trị bằng

A −5

2. B

1

2. C

3

2. D 2.

Câu 14. Biểu thức A =

3

q
b3

»

b2√_{b, b > 0 viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là}

A b185 . B b
1

6. C b

11

18. D b

1
8.

Câu 15. Với a > 0. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A _pa3 ₂√

a = a56. B pa3 2
√

a = a65. C pa3 2

√

a = a32. D pa3 2

√

a = a23.

Câu 16. Cho số thực a và các mệnh đề dưới đây:

A :√a = a12 B : 3

√

a = a13 C :

√

a4 _{= a}2 _{D :}√_a2 _{= a}

Có bao nhiêu mệnh đề sai?

A 3. B 2. C 1. D 4.

Câu 17. Cho a là một số dương, biểu thức a23√_{a được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ nào}

dưới đây?

A a76_. _{B a}

7

3_. _{C a}

5

3_. _{D a}

1
3_.

Lời giải.

a23√_{a = a}
2
3 · a

1

2 _{= a}

2
3+

1

2 _{= a}

7
6_.

Chọn đáp án A _

Câu 18. Cho a, b > 0 thỏa mãn a12 > a
1
3, b

2
3 > b

3

4. Khi đó

A 0 < a < 1, 0 < b < 1. B a > 0, b > 1.

C 0 < a < 1, b > 1. D a > 1, 0 < b < 1.
Lời giải.

• a12 > a
1

3 ⇒ a > 1;

• b23 > b
3

4 ⇒ 0 < b < 1.

Chọn đáp án D _

Câu 19. Cho các số thực dương a, b. Rút gọn biểu thức P = 7
 

a
b

5

… b
a

!354

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

A b

a. B

a

b. C

a

b
2

. D … a

b.

Lời giải.

Ta có P = 7
 

a
b

5

… b
a

!354

=
Đ

7

s
a
b ·

Å b
a

ã1₅
é35₄

=
Ç

7

…
a

b
4₅å

35
4

=
Å

a

b
4₅·1₇ã

35
4

= a
b.

Chọn đáp án B _

Câu 20. Rút gọn biểu thức H = (√x −√4 _{x + 1) (}√_{x +}√4 _{x + 1) (x −}√_{x + 1) (điều kiện H có nghĩa)}

ta được

A x2_{− x + 1 .} _{B x}2_{+ 1.} _{C x}2 _{+ x + 1.} _{D x}2_{− 1.}

Lời giải.

H = √x −√4

x + 1
√x +√4

x + 1
x −√x + 1

⇔ H = (√x + 1)2− (√4

x)2 · x −√x + 1

⇔ H = x +√x + 1
x −√x + 1

⇔ H = (x + 1)2_{− x}

⇔ H = x2_{+ x + 1.}

Chọn đáp án C _

Câu 21. Cho biểu thức 5
»

8p2√3

2 = 2mn_{, trong đó} m

n là phân số tối giản. Gọi P = m

2_{+ n}2_{. Khẳng}

định nào sau đây đúng?

A P ∈ (330; 340). B P ∈ (350; 360). C P ∈ (260; 370). D P ∈ (340; 350).
Lời giải.

Ta có 5
»

8p2√3

2 = 5
»

23p₂√3

2 = 235 · 2
1
10 · 2

1
30 _{= 2}

3

5+

1
10+

1
30 _{= 2}

11
15_.

⇒ m
n =

11
15 ⇒

(

m = 11

n = 15

⇒ P = m2_{+ n}2 _{= 11}2_{+ 15}2 _{= 346.}

Chọn đáp án D _

Câu 22. Cho P = Ä5 − 2√6ä2018Ä5 + 2√6ä2019. Ta có

A P ∈ (2; 7). B P ∈ (6; 9). C P ∈ (0; 3). D P ∈ (8; 10).

Lời giải.

Ta có P = (5 − 2√6)2018_{(5 + 2}√₆₎2018_{(5 + 2}√_{6) =}ỵ_{(5 + 2}√_{6)(5 − 2}√₆₎ó2018_{(5 + 2}√_{6) = 5 + 2}√_6.

Suy ra P ∈ (8; 10).

Chọn đáp án D _

Câu 23. Rút gọn biểu thức P = x13 · 6

√

x với x > 0.

A P = x29. B P = x
1

8. C P = x2. D P =

√
x.
Lời giải.

Ta có P = x13 · 6

√

x = x13 · x
1
6 = x

1
2 =

√
x.

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

Câu 24. Cho biểu thức P = x−

3
4

p√

x5_{, x > 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?}

A P = x−2. B P = x−12. C P = x

1

2. D P = x2.

Lời giải.

P = x−34p√_x5 _{= x}−
3
4 · x

5

4 _{= x}

1
2_.

Chọn đáp án C _

Câu 25. Tính giá trị của biểu thức 44_{· 8}11_{· 2}2017_.

A P = 22058_. _{B P = 2}2047_. _{C P = 2}2032_. _{D P = 2}2054_.

Lời giải.

Ta có 44_{· 8}11_{· 2}2017 _{= 2}8_{· 2}33_{· 2}2017 _{= 2}2058

Chọn đáp án A _

Câu 26. Có tất cả bao nhiêu căn bậc 6 của 8.

A 2. B Vô số. C 0. D 1.

Lời giải.

Vì 8 > 0 và n = 6 là số chẳn nên có hai căn bậc 6 là √6

8 và −√6

8.

Chọn đáp án A _

Câu 27. Rút gọn biểu thức H =
√

a.√3_a
6

√

a−7 với a là một số thực dương.

A H = 1

3

√

a. B H = a

2_. _{C H = a}3_. _{D H =} _√1

a.

Lời giải.

Ta có H =
√

a.√3_a
6

√

a−7 =

a12.a
1
3

a−76

= a12+
1
3+

7
6 = a2.

Chọn đáp án B _

Câu 28. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Ä√2 − 1ä6 <Ä√2 − 1ä5. B Ä√2 + 2ä3 >Ä√2 + 2ä4.
C Ä1 +√3ä−3 <Ä1 +√3ä−4. D Ä2 −√3ä−5 >Ä2 −√3ä−6.

Lời giải.

Biết rằng với n < m:

Nếu 0 < a < 1 thì an_{> a}m_.

Nếu 1 < a thì an _{< a}m_.

Nên ta chọn đáp án A.

Chọn đáp án A _

Câu 29. Rút gọn biểu thức P = a − 3 − 4a

−1

a12 − 4a−
1
2

− 1
a−12

với a là một số thực dương.

A P = a. B P = a−12. C P = a−1. D P = a

1
2.

Lời giải.

P =

a2_{− 3a − 4}

a
a − 4

√
a

−√a = a

2_{− 3a − 4}

√

a(a − 4) −
√

a = a

2_{− 3a − 4 − a(a − 4)}

√

a(a − 4) =

a − 4
√

a(a − 4) = a

−1

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

Câu 30. Rút gọn biểu thức P =
a53

Å

a−23 _{+ a}
1
3

ã

a + 1 , với a > 0, ta được

A P = a − 1. B P = a2_{+ 1.} _{C P = a.} _{D P = a + 1.}

Lời giải.

Ta có P =
a53

Å

a−23 _{+ a}
1
3

ã

a + 1 =

a + a2

a + 1 =

a(a + 1)
a + 1 = a.

Chọn đáp án C _

Câu 31. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A π20 < e20. B Å 2
3

ã12
<Å 2

3
ã10

. C Å 1
5

ã18
>Å 1

5
ã16

. D 520 < 519.

Lời giải.

Do 2

3 < 1 nên
Å 2

3
ã12

<Å 2
3

ã10

là mệnh đề đúng.

Chọn đáp án B 

Câu 32. Viết lại biểu thức √x.√3_x.√6 _x5_{, (x > 0) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ.}

A x
5

3 . B x
5

2 . C x

7

3 . D x

2
3 .

Lời giải.

√

x.√3 _x.√6 _x5 _{= x}12+
1
3+

5
6 = x

5
3.

Chọn đáp án A _

Câu 33. Rút gọn biểu thức K = (√x −√4 _{x + 1) (}√_{x +}√4 _{x + 1) (x −}√_{x + 1).}

A K = x2_{+ 1.} _{B K = x}2 _{− 1.} _{C K = x}2_{− x + 1.} _{D K = x}2_{+ x + 1.}

Lời giải.

Ta có K = (x +√x + 1) (x −√x + 1) = (x + 1)2− x = x2_{+ x + 1.}

Chọn đáp án D _

Câu 34. Tính đạo hàm của hàm số y =p3 x2_·√_x3_{, với x > 0.}

A y0 = 4
3

3

√

x. B y0 = 7
6

6

√

x. C y0 = 6

7√7 _x. D y

0 ₌√9 _x.

Lời giải.

Hàm số y = x23 · x

3
6 = x

7

6. Vậy y0 =

7
6·

6

√
x.

Chọn đáp án B _

Câu 35. Rút gọn biểu thức
Ç

a32 + b
3
2

a − b −

a − b

a12 + b
1

2

å
.

√

a −√b
√

ab (với điều kiện M có nghĩa).

A M = −1. B M = 2. C M = 1. D M = −3.

Lời giải.

Ç
a32 + b

3
2

a − b −

a − b

a12 + b
1
2

å
.

√

a −√b
√

ab =
Ç √

a3₊√_b3

√

a2₋√_b2 −

√

a2₋√_b2

√

a +√b
å

.
√

a −√b

√

ab

=
Ç √

a3₊√_b3 ₋√_a3₋√_b3₊√_a2_{b +}√_ab2

√

a2₋√_b2

å
.

√

a −√b
√

ab =
Ç √

a2_{b +}√_ab2

√

a2₋√_b2

å
.

√

a −√b
√

ab = 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

Câu 36. Có thể kết luận gì về cơ số a nếu (2a + 1)−3 > (2a + 1)−1?

A a ∈
Å

−1
2; +∞

ã

. B a ∈
Å

−1
2; 0

ã

. C a ∈ (0; +∞). D a ∈ (−∞; 0).

Lời giải.

Do −3 < −1 nên 0 < 2a + 1 < 1 ⇔ −1

2 < a < 0.

Chọn đáp án B _

Câu 37. Dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ của biểu thức p =√x√3 _x√6_x5 _{với x > 0 là}

A p = x76_. _{B p = x}
4

3_. _{C p = x}
1

5_. _{D p = x}

5
3_.

Lời giải.

p = √x√3_x√6_x5 _{= x}1₂ _{· x}1₃ _{· x}5₆ _{= x}5₃_.

Chọn đáp án D _

Câu 38. Biến đối P =px43 · 6

√

x4 _{với x > 0 thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta được}

A P = x49. B P = x
4

3. C P = x. D P = x2.

Lời giải.

P = px43 · 6

√

x4 _{= x}23 · x
1
3 = x.

Chọn đáp án C _

Câu 39. Cho số thực a > 1. Mệnh đề nào sau đây sai?

A

3

√
a4

a > 1. B a

1
3 >

√

a. C 1
a2018 >

1

a2019. D a

−√2 _> 1

a

√
3.

Lời giải.

Do a > 1 nên a13 >

√

a ⇔ a13 > a
1
2 ⇔ 1

3 >

1

2 (vơ lí).

Chọn đáp án B _

Câu 40. Cho a là số thực dương. Viết và rút gọn biểu thức a20183 · 2018

√

a dưới dạng lũy thừa với số mũ

hữu tỉ. Tìm số mũ của biểu thức rút gọn đó.

A 2

1009. B

1

1009. C

3

1009. D

3
20182.

Lời giải.

a20183 · 2018

√

a = a20183 · a
1
2018 = a

3
2018+

1
2018 = a

2
1009.

Chọn đáp án A _

Câu 41. Khẳng định nào sau đây đúng?

A (√5 + 2)−2017 < (√5 + 2)−2018. B (√5 + 2)2018 > (√5 + 2)2019.

C (√5 − 2)2018 > (√5 − 2)2019. D (√5 − 2)2018 < (√5 − 2)2019.

Lời giải.

Ta có:
(

0 <√5 − 2 < 1

2018 < 2019

⇒ (√5 − 2)2018 _{> (}√_{5 − 2)}2019_.

Chọn đáp án C _

Câu 42. Cho Ä√2 − 1äm <Ä√2 − 1än. Khi đó

A m > n. B m 6= n. C m < n. D m = n.

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

Do (0 <
√

2 − 1 < 1
Ä√

2 − 1äm <Ä√2 − 1än ⇒ m > n.

Chọn đáp án A _

Câu 43. Cho biểu thức P = »5

x3px3 ₂√

x với x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A P = x2330_. _{B P = x}

37

15_. _{C P = x}
53

30_. _{D P = x}
31
10_.

Lời giải.

P = 5
»

x3_px3 ₂√

x =

5

q

x3 3

»
x52 ₌

5

»

x3+56 _{= x}
23
30_.

Chọn đáp án A _

Câu 44. Rút gọn biểu thức P = x16 3

√

x với x > 0.

A P = x18. B P = x
2

9. C P =

√

x. D P = x2.

Lời giải.

P = x16 3

√

x = x16.x

1
3 = x

1
2 =

√
x.

Chọn đáp án C _

Câu 45. Rút gọn biểu thức P = x13 ·√6_{x với x > 0.}

A P = x

1

8_. _{B P = x}2_. _{C P =}√x. _{D P = x}
2
9_.

Lời giải.

Ta có P = x13 ·√6_{x = x}1₃ _{· x}1₆ _{= x}1₃+1₆ _{= x}1₂ ₌√_x.

Chọn đáp án C _

Câu 46. Rút gọn biểu thức Q = b53 _: 3

√

b2_{, b > 0.}

A Q = b2. B Q = √3 b4_. _{C Q = b.} _{D Q = b}1₃_.

Lời giải.

Ta có: Q = b

5
3

b23

= b.

Chọn đáp án C _

Câu 47. Viết biểu thức P = a

2_a5₂√3

a4

6

√

a5 (a > 0) dưới dạng số mũ hữu tỷ.

A P = a. B P = a5_. _{C P = a}4_. _{D P = a}2_.

Lời giải.

Ta có P = a

2_a5₂√3

a4

6

√

a5 =

a2+5₂+4₃

a56

= a

35
6

a56

= a5_.

Chọn đáp án B _

Câu 48. Cho x > 0, y > 0 và biểu thức K =Äx12 − y
1
2

ä2
·

Å

1 − 2… y
x+

y
x

ã−1

. Hãy xác định mệnh đề

đúng.

A K = 2x. B K = x + 1. C K = x − 1. D K = x.
Lời giải.

Ta có K =Äx12 − y
1
2

ä2

·

Å

1 − 2… y
x +

y
x

ã−1
= (

√

x −√y)2

Å

1 −… y
x

ã2 = x.

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

Câu 49. Cho a > 0, b > 0 và biểu thức T = 2(a + b)−1· (ab)12 ·

"

1 + 1
4

Ç… a
b −

… b
a

å2#

1
2

. Tính giá trị

của T .

A T = 2

3. B T =

1

3. C T =

1

2. D T = 1.

Lời giải.

Ta có

T = 2(a + b)−1· (ab)12 ·

"

1 + 1
4

Ç… a
b −

… b
a

å2#

1
2

= 2(a + b)−1· (ab)12 ·

ï
1 + 1

4
Å a

b − 2 +
b

a

ãị1₂

= 2(a + b)−1· (ab)12 ·

đ
1
4

Å a + b
√

ab
ã2ô

1
2

= 2 · 1
a + b ·

√
ab · 1

2·
a + b

√
ab

= 1.

Chọn đáp án D _

Câu 50. Nếu Ä7 + 4√3äa−1< 7 − 4√3 thì

A a < 1. B a > 1. C a > 0. D a < 0.
Lời giải.

Ä

7 + 4√3äa−1 < 7 − 4√3 ⇔Ä7 + 4√3äa−1<Ä7 + 4√3ä−1.

Mà ta có 7 + 4√3 > 1 nên Ä7 + 4√3äa−1 <Ä7 + 4√3ä−1 ⇔ a − 1 < −1 ⇔ a < 0.

Chọn đáp án D _

Câu 51. Rút gọn biểu thức A =

3

√
a5_{· a}7₃

a4_·√7

a−2, a > 0 ta được kết quả A = a
m

n_{, trong đó m, n ∈ N}∗ _và m

n
là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A m2− n2 _{= 25.} _{B m}2_{+ n}2 _{= 43.} _{C 3m}2_{− 2n = 2.} _{D 2m}2_{+ n = 15.}

Lời giải.

A =

3

√
a5_{· a}7₃

a4_·√7

a−2 =

a53 · a
7
3

a4_{· a}−2₇

= a

4

a4_{· a}−2₇

= a27 ⇒ m = 2, n = 7 ⇒ 2m2_{+ n = 15.}

Chọn đáp án D _

Câu 52. Tích (2017!)
Å

1 + 1
1

ã1Å
1 + 1

2
ã2

· · ·
Å

1 + 1
2017

ã2017

được viết dưới dạng ab_{, khi đó (a; b) là}

cặp nào trong các cặp sau?

A (2018; 2017). B (2019; 2018). C (2015; 2014). D (2016; 2015).

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

Ta có

(2017!)
Å

1 + 1
1

ã1Å
1 + 1

2
ã2

· · ·
Å

1 + 1
2017

ã2017

= 2017! ·2
1·

32

22 · · ·

20182017

20172017

= 20182017.

Suy ra a = 2018, b = 2017.

Chọn đáp án A _

Câu 53. Cho hai số thực dương a và b. Rút gọn biểu thức A = a

1
3

√
b + b13

√
a

6

√

a +√6b .

A A =√6

ab. B A =√3

ab. C A = √₃1

ab. D A =
1

6

√
ab.

Lời giải.

Ta có A = a

1
3

√
b + b13

√
a

6

√

a +√6 b =
a13b

1
3

Ä
a16 + b

1
6

ä

a16 + a
1
6

= a13b
1
3 = 3

√
ab.

Chọn đáp án B _

Câu 54. Tính giá trị biểu thức A = 6

3+√5

22+√5_{· 3}1+√5.

A 1. B 6−

√

5_. _{C 18.} _{D 9.}

Lời giải.

Ta có A = 6

3+√5

22+√5_{· 3}1+√5 =

23+

√

5_{· 3}3+√5

22+√5_{· 3}1+√5 = 2 · 3

2 _{= 18.}

Chọn đáp án C _

Câu 55. Cho a > 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

3

√
a2

a > 1. B a

−√3 _> 1

a

√
5

. C a13 _>√_a. _D 1

a2016 <

1
a2017.

Lời giải.

1
a

√
5

= a−

√

5_{. Do a > 1 suy ra a}−√3 _{> a}−√5_.

Chọn đáp án B _

Câu 56. Cho (0,25π)α > (0,25π)β. Kết luận nào sau đây đúng?

A α · β = 1. B α > β. C α + β = 0. D α < β.
Lời giải.

Do 0 < 0,25π < 1 nên (0,25π)α > (0,25π)β ⇔ α < β.

Chọn đáp án D 

Câu 57. Giả sử a là số thực dương, khác 1. Biểu thức pa√3 _{a được viết dưới dạng a}α_{. Khi đó giá trị}

α bằng bao nhiêu?

A α = 2

3. B α =

11

6 . C α =

1

6. D α =

5
3.

Lời giải.

Ta có pa√3_{a =}p√3_a4 ₌√6

a4 _{= a}23.

Chọn đáp án A _

Câu 58. Cho x > 0; y > 0. Viết biểu thức x

4

5.px6 5√x về dạng xm _{và biểu thức y}
4

5 : py6 5√_{y về dạng}

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

A 11

6 . B −

8

5. C −

11

6 . D

8
5.

Lời giải.

Từ giả thiết suy ra

x45_.px6 5√_{x = x}
4
5_.

6

»

x112 _{= x}
4
5_.x

11
12 _{= x}

103

60 ⇒ m = 103

60.

y45 _:py6 5√_{y = y}4₅ _: 6

q

y112 _{= y}
4
5 _{: y}

11
12 _{= y}−

7

60 ⇒ n = − 7

60.

Vậy m − n = 11
6 .

Chọn đáp án A _

Câu 59. Cho biểu thức P = 5
»

x3px3 ₂√

x với x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A P = x2330. B P = x

37

15. C P = x
53

30. D P = x
31
10.

Lời giải.

P = 5
»

x3p3 _x52 =
5

p

x3_.x56 =
5

p

x236 = x
23

30.

Chọn đáp án A 

Câu 60. Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ của biểu thức P = 3
s
2
3
3
 
2
3
… 2
3.

A P =Å 2
3

ã1₂

. B P =Å 2
3

ã₁₈1

. C P =Å 2
3

ã1₈

. D P =Å 2
3

ã18
.

Lời giải.

Ta có: P = 3
s
2
3
3
 
2
3
… 2
3 =
3
Ã
2
3
3
s
2
3 ·
Å 2
3

ã1₂

= 3
Ã
2
3
3
s
Å 2
3
ã3₂

= 3
s
2
3·
Å 2
3

ã1₂
= 3

s
Å 2

3
ã3₂

=Å 2
3

ã1₂

.

Chọn đáp án A _

Câu 61. Cho x là số thực dương và P =Äpx3 ₂√

xä5. Biết rằng P được biểu diễn dưới dạng P = xmn

với m

n là phân số tối giản và m, n là các số nguyên dương. Tính m + n.

A m + n = 21. B m + n = 25. C m + n = 29. D m + n = 31.
Lời giải.

P = Äpx3 ₂√

xä5 = (x2√x)

5

3 _{= x}

10
3 _x

5

6 _{= x}

25
6 _.

m + n = 25 + 6 = 31.

Chọn đáp án D _

Câu 62. Nếu a20172018 _{< a}
2018

2017 _và Ä√_{2018 −}

√

2017äb >√2018 +√2017 thì

A a < 1, b > −1. B a > 1, b > 1. C a < 1, b < −1. D a > 1, b < −1.
Lời giải.

Vì a20172018 _{< a}
2018

2017 _{nên a > 1 do} 2017

2018 <
2018
2017.

Ta có Ä√2018 −√2017äb >√2018 +√2017 ⇔Ä√2018 −√2017äb >Ä√2018 −√2017ä−1
⇒ b < −1 vì √2018 −√2017 < 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

Câu 63. Rút gọn biểu thức A = a − 3a

1
3 + 2

3

√

a − 1 +
√

a − a56 +√6 _a
6

√

a .

A A = 2√a − 1. B A = 2a − 1. C A = 2√6 _{a − 1.} _{D A = 2}√3_{a − 1.}

Lời giải.

Ta có

A = a − 3a

1
3 + 2

3

√

a − 1 +
√

a − a56 +√6 _a
6

√

a =

(√3_{a − 1)}

Å

a23 +√3_{a − 2}

ã

3

√

a − 1 +

6

√
a

Å

3

√

a − a23 + 1

ã

6

√
a

= a23 ₊√3_{a − 2 +}√3_{a − a}
2

3 _{+ 1 = 2}√3 _{a − 1.}

Chọn đáp án D _

Câu 64. Cho biểu thức P = 4
»

x ·p3 x2_·√_x3_{, x > 0. Biểu thức nào sau đây đúng?}

A P = x14. B P = x
1

2. C P = x
2

3. D P = x

13
24.

Lời giải.

Với x > 0, ta có

P =

4

q
x · 3

»

x2_·√_x3 ₌ 4

»

x ·p3 x2_{· x}3₂ ₌ 4

»

x ·p3 x72 =
4

p

x · x76 =
4

p

x136 = x
13
24.

Chọn đáp án D _

Câu 65. Cho 0 < a < 1, b > 1. Rút gọn biểu thức sau
 

(aπ _{+ b}π₎2₋

Å
4π1_ab

ãπ
.

A 2 (aπ− bπ_). _{B b}π _{− a}π_. _{C a}π_{+ b}π_. _{D a}π_{− b}π_.

Lời giải.

Ta có
q

(aπ _{+ b}π₎2₋Ä₄_π1_abäπ ₌√_a2π_{+ b}2π_{+ 2a}π_bπ _{− 4a}π_bπ

=»(aπ_{− b}π₎2

= |aπ− bπ_|

= bπ − aπ

.

(vì 0 < a < 1, b > 1).

Chọn đáp án B _

Câu 66. Cho hàm số y = e2x· sin 5x. Rút gọn biểu thức: A = y00_{− 4y}0_{+ 29y.}

A A = e. B A = 1. C A = −1. D A = 0.

Lời giải.

Ta có y0 = 2e2x_{sin 5x + 5e}2x_{cos 5x}

y00 = 2 2e2xsin 5x + 5e2xcos 5x
+ 10.e2x_{cos 5x − 25e}2x_{sin 5x}

= −21e2xsin 5x + 20e2xcos 5x
Suy ra

A = y00− 4y0_{+ 29y = −21e}2x_{sin 5x + 20e}2x_{cos 5x − 8e}2x_{sin 5x − 20e}2x_{cos 5x + 29e}2x_{sin 5x = 0.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

Câu 67. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A
Ç

1 −
√

2
2

å2018
<

Ç
1 −

√
2
2

å2017

. B 2

√

2+1_{> 2}√3_.

C Ä√2 − 1ä2017 >Ä√2 − 1ä2018. D Ä√3 − 1ä2018 >Ä√3 − 1ä2017.
Lời giải.

Ta có 0 <√3 − 1 < 1 do đóÄ√3 − 1ä2018 <Ä√3 − 1ä2017.

Chọn đáp án D _

Câu 68. Cho πα _{> π}β _{với α, β ∈ R. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?}

A α > β. B α < β. C α = β. D α ≤ β.

Lời giải.

Do π > 1 nên từ πα > πβ suy ra α > β theo tính chất của lũy thừa với số mũ thực.

Chọn đáp án A _

Câu 69. Rút gọn biểu thức M =
a15

Å

a103 − a−
1
5

ã

a23

Å

a13 − a−
2
3

ã với 0 < a 6= 1 ta có kết quả là:

A √ 1

a + 1. B

1

a + 1. C

1

a − 1. D

1
√

a − 1.

Lời giải.

M =
a15

Å

a103 − a−
1
5

ã

a23

Å

a13 − a−
2
3

ã =
a15+

3
10 − 1

a23+
1
3 − 1

= a

1
2 − 1

a − 1

=
√

a − 1
a − 1 =

√
a − 1

(√a − 1)(√a + 1 =
1
√

a + 1

Chọn đáp án A _

Câu 70. Rút gọn biểu thức Q = b

1
3
5

√

b với b > 0.
A Q = b151 . B Q = b−

2

15. C Q = b

2

15. D Q = b

5
3.

Lời giải.

Q = b13−
1
5 = b

2
15.

Chọn đáp án C _

Câu 71. Cho a, b là các số thực dương khác 1 và x, y là các số thực. Khẳng định nào sau đây là khẳng

định đúng?

A axay _{= a}x+y_. _B a

x

ay = a

x

y_. _{C a}xby = (ab)x+y_. _{D (a}x)y = ax+y_.

Lời giải.

axay = ax+y.

Chọn đáp án A 

Câu 72. Biến đổi px3 ₅_·√4_{x, (x > 0) thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta được}

A x203 _. _{B x}
23

12_. _{C x}

21

12_. _{D x}

12

5 _.

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

Với x > 0 ta có _px3 ₅

·√4_{x =}
3

»

x5_{· x}1₄ ₌ 3

»

x5+14 ₌

Å
x214

ã1₃

= x214·
1

3 _{= x}

21
12_.

Chọn đáp án C _

Câu 73. Giá trị của biểu thức 42+23

√

5 _{: 16}√35 _là

A 16. B 8. C 1. D 163

√
5_.

Lời giải.

Ta có 42+2√35 _{: 16}√35 _{= 4}2+2√35 _{: 4}2√35 _{= 4}2 _{= 16.}

Chọn đáp án A _

Câu 74. Tìm điều kiện của m để (m − 1)−2

√

3 _{> (m − 1)}−3√2_.

A 0 < m < 1. B m > 1. C 1 < m < 2. D m > 2.
Lời giải.

Ta có: −2√3 = −√12 và −3√2 = −√18 nên −2√3 > −3√2.

Để (m − 1)−2

√

3 _{> (m − 1)}−3√2 _{thì m − 1 > 1 ⇔ m > 2.}

Chọn đáp án D _

Câu 75. Tìm một biểu thức sau khi rút gọn ta được kết quả bằng a2,5 _{(với a > 0).}

A √a ·√5_a. _B
4

√
a5

√

a . C

3

√

a7_·√_a
3

√

a . D a

5_·√_a.

Lời giải.

Với a > 0, ta có:

3

√

a7_·√_a

3

√

a =
a73 · a

1
2

a13

= a73+
1
2−

1
3 = a

5

2 = a2,5.

Chọn đáp án C 

Câu 76. Cho biểu thức P = a

√

7+1_.a2−√7

(a

√

2−2₎√2+2 (với a > 0). P có giá trị bằng

A a2_. _{B a}4_. _{C a}3_. _{D a}5_.

Lời giải.

Ta có: P = a

√

7+1_.a2−√7

(a

√

2−2₎√2+2 =

a3
a−2 = a

5_.

Chọn đáp án D _

Câu 77. Cho số thực dương a, rút gọn biểu thức P = a

4
3

Ä

a−13 + a
2
3

ä

a14

Ä

a34 + a−
1

4

ä .

A P = a2. B P = a. C P = 1 + a. D P = 2.

Lời giải.

Ta có P = a

4
3 · a−

1

3(1 + a)

a14 · a−
1

4(a + 1)

= a.

Chọn đáp án B _

Câu 78. Cho a là số thực dương, khi đó 3
»

a_pa3 √

a viết dưới dạng lũy thừa là
A a16. B a

5

18. C a

1

2. D a

1
12.

Lời giải.

Với a > 0 ta có: »3

apa3 √

a =
Å

aÄa · a12

ä1₃ã

1
3

=
Å

aÄa32

ä1₃ã

1
3

=Äa · a12

ä1₃

=Äa32

ä1₃

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

Chọn đáp án C _

Câu 79. Rút gọn biểu thức P = b

12

35√5 _{a + a}

12
35 5

√
b

7

√
a +√7

b .

A P = ab. B P = a15_b
1

5_. _{C P = a}

1
7_b

1

7_. _{D P = 2a}
1
5_b

1
5_.

Lời giải.

Ta có P =

a15_b

1
5

Å
a17 _{+ b}

1
7

ã

a17 _{+ b}
1
7

= a15_b
1
5_.

Chọn đáp án B _

Câu 80. Với a > 0, hãy viết biểu thức a23 · 3

√

a4 _{dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ.}

A a12_. _{B a}

8

9_. _{C a}−

1

2_. _{D a}2_.

Lời giải.

Ta có a

2
3 · 3

√

a4 _{= a}2₃ _{· a}4₃ _{= a}2_.

Chọn đáp án D _

Câu 81. Biểu thức px3_·√3

x2_·√6

x5 _{(với x > 0) viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là biểu thức}

nào dưới đây?

A x3. B x13. C x

8

3. D x

5
6.

Lời giải.

Ta có

»

x3_·√3_x2_·√6 _x5 ₌p_x3_{· x}23 · x
5
6 =

p
x113 · x

5
6 = x

11
6 · x

5
6 = x

8
3.

Chọn đáp án C _

Câu 82. Với a là số thực dương, biểu thức rút gọn của a

√

7+1_{· a}2−√7

a

√
2−2

√
2+2 là

A a. B a7. C a5. D a3.

Lời giải.

Ta có a

√

7+1_{· a}2−√7

a

√
2−2

√

2+2 =

a

√

7+1+2−√7

a(

√

2−2₎₍√2+2₎ =

a3

a−2 = a
5_.

Chọn đáp án C _

Câu 83. Cho số thực x > 0. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A x√x2 _{= x}2_. _{B x}√_x2 ₌√3

x2_. _{C x}√_x2 _{= −x}2_. _{D x}√_x2 ₌√_x3_.

Lời giải.

Vì x > 0 nên √x2 _{= x ⇒ x}√_x2 _{= x}2_.

Chọn đáp án A _

Câu 84. Tìm phép biến đổi đúng.

A 5x2 · 2x _{= 25 · 2}x_{· 5}x_. _{B 5}x2

· 2x _{= (5}x₎2_{· 2}x_.

C 5x2 · 2x _{= (25)}x_{· 2}x_. _{D 5}x2

· 2x _{= (2 · 5}x₎x_.

Lời giải.

Ta có 5x2 · 2x _{= 5}x·x_{· 2}x _{= (5}x₎x_{· 2}x _{= (2 · 5}x₎x_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

Câu 85. Cho biểu thức (a − 1)

−2

3 < (a − 1)
−1

3 _{. Mệnh đề nào dưới đây đúng?}

A a > 2. B 0 < a < 1. C 1 < a < 2. D a > 1.

Lời giải.

Ta có







− 2
3 < −

1
3

(a − 1)−23 _{< (a − 1)}−
1
3

⇒ a − 1 > 1 ⇒ a > 2.

Chọn đáp án A _

Câu 86. Rút gọn biểu thức P =
s

a3
 

a2… 14

a :

24√

a7_{, với a > 0.}

A P = a. B P = a12. C P = a

1

3. D P = a
1
5.

Lời giải.

Ta có P =Äa12 · a
2
6 · a

−1
8

ä

: a247 = a
19
24 : a

7
24 = a

1
2.

Chọn đáp án B _

Câu 87. Tính giá trị của biểu thức K = 2

3_{· 2}−1_{+ 5}−3_{· 5}4

10−3 _{: 10}−2_{− (0,25)}0.

A K = −10. B K = 10. C K = 12. D K = 15.

Lời giải.

Ta có K = 2

3+(−1)_{+ 5}−3+4

10−3−(−2)_{− 1} =

22+ 51

10−1_{− 1} =

9
1
10− 1

= ₋₉9

10

= −10.

Chọn đáp án A _

Câu 88. Rút gọn biểu thức

P = a−2

√
2

Å
1
a−√2−1

ã

√
2+1

ta được

A P = a3_. _{B P = 1.} _{C P = a}2_. _{D P = −a}2_.

Lời giải.

Ta có P = a−2

√
2

Å ₁

a−√2−1

ã

√
2+1

= a−2

√

2_·Ä_a√2+1ä
√

2+1

= a

(√2+1)2

a2√2 =

a3+2√2

a2√2 = a
3_.

Chọn đáp án A _

Câu 89. Điều nào sau đây đúng?

A am_{< a}n _{⇔ m < n.} _{B Nếu a < b thì a}m _{< a}n_{⇔ m > 0.}

C am_{> a}n _{⇔ m > n.} _{D 0 < a < 1, a}m _{> a}n_{⇔ m < n.}

Lời giải.

Ta có: 0 < a < 1, am_{> a}n _{⇔ m < n.}

Chọn đáp án D _

Câu 90. Rút gọn biểu thức P = a

2−√2_{· (ab)}2

a1−√2_{· b}−1 .

A P = a3_{− b}3_. _{B P = a}3_{· b}3_. _{C P =} a

3

b3. D P = a
3_{+ b}3_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

P = a

2−√2 _{· (ab)}2

a1−√2_{· b}−1 =

a2−√2_{· a}2_b2

a1−√2 _{· b}−1 = a

2−√2+2−1+√2_{· b}2−(−1) _{= a}3_{· b}3_.

Chọn đáp án B _

Câu 91. Cho m > 0. Biểu thức m

√
3_.Å 1

m
ã

√

3−2

bằng

A m2

√

3−3_. _{B m}2√3−2_. _{C m}−2_. _{D m}2_.

Lời giải.

Ta có m

√
3 _·Å 1

m
ã

√
3−2

= m

√

3_{· m}−√3+2_{= m}2_.

Chọn đáp án D _

Câu 92. Cho a, b là các số thực dương thỏa a2b= 5. Tính K = 2a6b− 4.

A K = 226. B K = 246. C K = 242. D K = 202.

Lời giải.

Ta có K = 2a6b− 4 = 2 · a2b
3

− 4 = 2 · 53_{− 4 = 246.}

Chọn đáp án B _

Câu 93. Cho hàm số: y = (x + 3)e−√6

5 − x gọi D là tập xác định của hàm số, khẳng định nào sau

đây đúng?

A D = (−3; +∞). B D ⊂ [−3; 5].

C D ⊂ (−3; 5). D D = (−3; +∞) \ {5}.

Lời giải.

Hàm số xác định khi
(

x + 3 > 0

5 − x ≥ 0
⇔

(

x > −3

x ≤ 5

⇔ −3 < x ≤ 5.

Vậy D ⊂ [−3; 5]

Chọn đáp án B _

Câu 94. Rút gọn biểu thức P = a74 : 4

√

a với a > 0.

A P = a32. B P = a2. C P = a

7

16. D P = a−
3
2.

Lời giải.

P = a74 : 4

√

a = a74−
1
4 = a

3
2.

Chọn đáp án A 

Câu 95. Biết rằng 3x _{= 2. Tính giá trị của biểu thức A = 3}2x−1_·Å 1

3
ã2x−1

+ 9x+1_.

A A = 81

2 . B A = 37. C A =
45

2 . D A = 25.

Lời giải.

A = 32x−1_·Å 1

3
ã2x−1

+ 9x+1 _{= 1 + 9 · (3}x₎2 _{= 1 + 9 · 4 = 37.}

Chọn đáp án B _

Câu 96. Cho hai số thực dương a và b. Rút gọn biểu thức A = a

1
3

√
b + b13

√
a

6

√

a +√6b .

A A =√6ab. B A = √3 ab. C A = √₃1

ab. D A =
1

6

√
ab.

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

Đặt u = √6_{a, v =}√6_{b. Khi đó ta có A =} u

2_v3_{+ u}3_v2

u + v = u

2_v2 ₌ √3

ab.

Chọn đáp án B 

Câu 97. Nếu Ä2 −√3äa−1 < 2 +√3 thì

A a ≥ 0. B a ≤ 1. C a > 0. D a < 1.

Lời giải.

Ta có

2 +√3 > Ä2 −√3äa−1 =Ä2 +√3ä1−a.

Do 2 +√3 > 1 nên 1 > 1 − a hay a > 0.

Chọn đáp án C _

Câu 98. Cho Ä√2 − 1äm <Ä√2 − 1än. Tìm mệnh đề đúng.

A m > n. B m < n. C m = n. D m ≤ n.

Lời giải.

Do 0 < √2 − 1 < 1 nên Ä√2 − 1äm <Ä√2 − 1än⇒ m > n.

Chọn đáp án A _

Câu 99. Cho 4x+ 4−x = 14, khi đó biểu thức M = 2 + 2

x_{+ 2}−x

7 − 2x_{− 2}−x có giá trị bằng

A 1

2. B 3. C

3

2. D 2.

Lời giải.

Ta có 4x+ 4−x= 14 ⇔ (2x+ 2−x)2− 2 · 2x_{· 2}−x _{= 14 ⇔ (2}x_{+ 2}−x₎2

= 16 ⇒ 2x+ 2−x = 4.

Vậy M = 2 + 2

x_{+ 2}−x

7 − 2x_{− 2}−x =

2 + 4
7 − 4 = 2.

Chọn đáp án D 

Câu 100. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Å 3
4

ã5
<Å 3

4
ã6

. B Å 4
3

ã−7
>Å 4

3
ã−6

. C Å 3
2

ã6
>Å 3

2
ã7

. D Å 2
3

ã−6
>Å 2

3
ã−5

.
Lời giải.





0 < 2

3 < 1
− 6 < −5

⇒Å 2
3

ã−6
>Å 2

3
ã−5

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

ĐÁP ÁN

1. C 2. B 3. C 4. D 5. C 6. D 7. C 8. A 9. A 10. A

11. C 12. A 13. A 14. C 15. A 16. A 17. A 18. D 19. B 20. C

21. D 22. D 23. D 24. C 25. A 26. A 27. B 28. A 29. B 30. C

31. B 32. A 33. D 34. B 35. C 36. B 37. D 38. C 39. B 40. A

41. C 42. A 43. A 44. C 45. C 46. C 47. B 48. D 49. D 50. D

51. D 52. A 53. B 54. C 55. B 56. D 57. A 58. A 59. A 60. A

61. D 62. D 63. D 64. D 65. B 66. D 67. D 68. A 69. A 70. C

71. A 72. C 73. A 74. D 75. C 76. D 77. B 78. C 79. B 80. D

81. C 82. C 83. A 84. D 85. A 86. B 87. A 88. A 89. D 90. B

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

<b>3</b> <b>MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP</b>

Câu 1. Cho a > 0, b > 0. Tính giá trị của biểu thức

T = 2(a + b)−1(ab)12

"

1 + 1
4

Ç… a
b −

… b
a

å2#

1
2

.

A T = 1. B T = 1

3. C T =

2

3. D T =

1
2.

Lời giải.

Ta có T = 2
a + b

√
ab

đ
1 + 1

4·

Å a − b
√

ab
ã2ơ

1
2

= 2
√

ab
a + b

…

1 + (a − b)

2

4ab =
2√ab
a + b

… (a + b)2

4ab = 1.

Chọn đáp án A 

Câu 2. Cho hàm số f (x) = 9

x_{− 2}

9x_{+ 3}. Tính tổng S = f

Å

1
2018

ã
+ f

Å
2
2018

ã

+ ... + fÅ 2017
2018

ã
+

fÅ 2018
2018

ã
.

A S = 1009. B S = 1347

4 . C S =

2017

6 . D S =

1009
3 .

Lời giải.

Với x + y = 1 ta có:

f (x) + f (y) = f (x) + f (1 − x) = 9

x_{− 2}

9x_{+ 3} +

91−x_{− 2}

91−x_{+ 3} =

9x_{− 2}

9x_{+ 3} +

9 − 2.9x

3(3 + 9x₎ =

1
3.
Do đó:

S = f
Å

1
2018

ã
+ f

Å
2
2018

ã

+ ... + fÅ 2017
2018

ã

+ fÅ 2018
2018

ã

= fÅ 1009
2018

ã

+ fÅ 2008
2018

ã

+ 1008.1
3

= fÅ 1
2

ã

+ f (1) + 1008
3 =

1
6 +

7
12+

1008
3 =

1347
4

Chọn đáp án B _

Câu 3. Cho số thực a, b, m, n thỏa mãn 0 < n < m, 0 < a < b < 1. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề
đúng?

A am _{< a}n_. _{B b}m _{> b}n_. _{C a}m _{< b}n_. _{D a}m _{> b}n_.

Câu 4. Tập xác định của hàm số y = xsin 2018π

A R \ {0}. B [0; +∞). _{C R.} D (0; +∞).

Lời giải.

Ta có: sin 2018π = 0.

Vậy hàm số y = xsin 2018π có tập xác định là D = R \ {0}.

Chọn đáp án A 

Câu 5. So sánh a, b biết Ä√5 − 2ä−a >Ä√5 + 2äb.

A a = b. B a < b. C a > b. D a ≥ b.

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

Ta có √5 − 2 = √ 1

5 + 2 và (
√

5 + 2) > 1

nên Ä√5 − 2ä−a>Ä√5 + 2äb ⇔Ä√5 + 2äa>Ä√5 + 2äb ⇔ a > b

Chọn đáp án C _

Câu 6. Tìm đạo hàm cấp 2018 của hàm số y = e2x.

A y(2018) = 22017e2x. B y(2018) = 22018e2x. C y(2018) = 22017xe2x. D y(2018) = e2x.

Lời giải.

Ta có y0 = 2e2x_{, y}00_{= 2}2_e2x_{. Bằng quy nạp ta chứng minh được y}(n)_{= 2}n_e2x_{, do đó y}2018 _{= 2}2018_e2x_.

Chọn đáp án B _

Câu 7. Rút gọn biểu thức A = (a − 4)
Å _a

4 − a
ã1₂

+ [a(4 − a)]12 _{, với 0 < a < 4.}

A A =pa(4 − a). B A = 1. C A = 2pa(4 − a). D A = 0.
Lời giải.

Ta có

A = (a − 4)
Å

a

4 − a

ã1₂

+ỵa(4 − a)12

ó

= −»(4 − a)2

√
a
√

4 − a +
√

a√4 − a

= −√a√4 − a +√a√4 − a = 0.

Chọn đáp án D _

Câu 8. Rút gọn biểu thức T = a

2_{. (a}−2_.b3₎2_.b−1

(a−1_.b)3_.a−5_.b−2 với a, b là hai số thực dương.

A T = a4.b6. B T = a6.b6. C T = a4.b4. D T = a6.b4.

Lời giải.

Ta có : T = a

2_{. (a}−2_.b3₎2_.b−1

(a−1_.b)3_.a−5_.b−2 =

(a2.a−4) (b6.b−1)
(a−3_.a−5_{) (b}3_.b−2₎ = a

6_.b4_.

Chọn đáp án D _

Câu 9. Cho 9x+ 9−x = 14; 6 + 3(3

x_{+ 3}−x₎

2 − 3x+1_{− 3}1−x =

a
b,

a

blà phân số tối giản


. Tính P = a · b.

A P = 10. B P = −10. C P = −45. D P = 45.

Lời giải.

9x_{+ 9}−x _{= 14 ⇔ (3}x_{+ 3}−x₎2 _{= 16 ⇒ 3}x_{+ 3}−x _{= 4}

6 + 3(3x+ 3−x)
2 − 3x+1_{− 3}1−x =

6 + 3 · 4
2 − 3 · 4 =

18
−10 =

9

−5. Vậy P = a · b = −45.

Chọn đáp án C _

Câu 10. Bạn Nam là học sinh của một trường đại học, Nam muốn vay ngân hàng với lãi xuất ưu đãi

để trang trải việc học tập hàng năm. Đầu mỗi năm học Nam vay ngân hàng số tiền 10 triệu đồng với

lãi xuất hàng năm là 4%. Tính số tiền mà Nam nợ ngân hàng sau 4 năm biết rằng trong 4 năm đó

ngân hàng khơng thay đổi lãi suất (kết quả làm trịn đến nghìn đồng).

A 46.794.000 đồng. B 44.163.000 đồng. C 42.465.000 đồng. D 41.600.000 đồng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

Áp dụng công thức lãi kép ta có tổng số tiền Nam nợ ngân hàng sau 4 năm là

10. 1, 044+ 1, 043+ 1, 042+ 1, 04
= 44, 163 triệu đồng.

Chọn đáp án B _

Câu 11. Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu với lãi suất 0,5% một tháng, sau mỗi tháng lãi suất

được nhập vào vốn. Hỏi sau một năm người đó rút tiền thì tổng số tiền người đó nhận được là bao

nhiêu?

A 100 · (1,005)12 triệu đồng. B 100 · (1 + 12 · 0,005)12 triệu đồng.
C 100 · 1,005 triệu đồng. D 100 · (1,05)12 _{triệu đồng.}

Lời giải.

Áp dụng công thứ lãi kép, với A = 100, r = 0,005 tổng số tiền nhận được sau một năm (12 tháng) gửi

là 100 · (1 + 0,005)12 _{= 100 · (1,005)}12_.

Chọn đáp án A _

Câu 12. Giả sử x, y, z thỏa mãn hệ phương trình









2x· 4y_{· 16}z _{= 1}

4x· 16y _{· 2}z _{= 2}

16x· 2y · 4z = 4

. Tìm x.

A 3

8. B

8

3. C

4

7. D

7
4.

Lời giải.

Ta có

2x· 4y_{· 16}z _{= 1 ⇔ log}
2(2

x_{· 4}y _{· 16}z_{) = 0 ⇔ log}
22

x_{+ log}
24

y_{+ log}
216

z _{= 0 ⇔ x + 2y + 4z = 0.}

4x· 16y · 2z = 2 ⇔ log₂(4x· 16y· 2z) = log₂2 ⇔ log₂4x+ log₂16y+ log₂2z = log₂2 ⇔ 2x + 4y + z = 1.

16x· 2y _{· 4}z _{= 4 ⇔ log}

2(16x· 2y· 4z) = log24 ⇔ log216x+ log22y+ log24z = log24 ⇔ 4x + y + 2z = 2.

Suy ra hệ










x + 2y + 4z = 0

2x + 4y + z = 1

4x + y + 2z = 2
⇔














x = 4
7
y = 0

z = −1
7.

Chọn đáp án C _

Câu 13. Cho f (x) = e

q
1+1

x2+
1

(x+1)2_{. Biết rằng f (1) · f (2) · f (3) · · · f (2017) = e}m_n _{với m, n là các số tự}

nhiên và m

n là phân số tối giản. Tính m − n

2_.

A m − n2 _{= −1.} _{B m − n}2 _{= 1.} _{C m − n}2 _{= 2018.} _{D m − n}2 _{= −2018.}

Lời giải.

Đặt g(x) =
 

1 + 1
x2 +

1
(x + 1)2.

Với x > 0 ta có

g(x) =
 

1 + 1
x2 +

1
(x + 1)2 =

px2_{+ (x + 1)}2 _{+ x}2_{(x + 1)}2

x(x + 1) =
»

(x2_{+ x + 1)}2

x(x + 1)

= x

2_{+ x + 1}

x(x + 1) = 1 +
1

x(x + 1) = 1 +
1
x −

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

Suy ra

g(1) + g(2) + g(3) + · · · + g(2017)

=
Å

1 + 1
1 −

1
2

ã
+

Å
1 + 1

2−
1
3

ã
+

Å
1 + 1

3 −
1
4

ã

+ · · · +
Å

1 + 1
2017 −

1
2018

ã

=2018 − 1
2018.

Khi đó

f (1) · f (2) · f (3) · · · f (2017) = eg(1)+g(2)+g(3)+···+g(2017)= e2018−20181 = e
20182−1

2018 = e
m
n.

Do đó m = 20182_{− 1 và n = 2018.}

Vậy m − n2 _{= 2018}2_{− 1 − 2018}2 _{= −1.}

Chọn đáp án A _

Câu 14. Cho a, b là độ dài hai cạnh góc vng, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vng. Trong

đó, c − b 6= 1 và c + b 6= 1. Kết luận nào dưới đây đúng?

A log_c+ba + log_c−ba = 2 log_c+ba · log_c−ba. B log_c+ba + log_c−ba = log_c+ba · log_c−ba.
C log_c+ba + log_c−ba = −2 log_c+ba · log_c−ba. D log_c+ba + log_c−ba = − log_c+ba · log_c−ba.

Lời giải.

Theo bài ra ta có c2 _{= a}2_{+ b}2 _{⇒ a}2 _{= c}2_{− b}2 _{= (c − b)(c + b).}

Từ đó suy ra 2 = log_aa2 _{= log}

a((c − b)(c + b)) = loga(c − b) + loga(c + b) =

1
log_c−ba +

1
log_c+ba

⇔ log_c+ba + log_c−ba = 2 log_c+ba · log_c−ba.

Chọn đáp án A _

Câu 15.

Cho α, β là các số thực. Đồ thị các hàm số y = xα_{, y = x}β _{trên khoảng}

(0; +∞) được cho trong hình vẽ bên. Chọn mệnh đề đúng?

A 0 < α < 1 < β. B α < 0 < 1 < β.

C 0 < β < 1 < α. D β < 0 < 1 < α.

O x

y

1
1

y = xβ

y = xα

Lời giải.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng y = x. Để thuận tiện

cho chứng minh ta gọi y1 = xβ, y2 = xα.

• Với x ∈ [0; 1] thì y1 > y và y2 < y.

• Với x ∈ (1; +∞) thì y1 < y và y2 > y.

Suy ra, 0 < β < 1 < α.

O x

y

1
1

y1 = xβ

y2 = xα

y = x

Chọn đáp án C _

Câu 16. Cho dãy (un) : u1 = e3, un+1 = un2, k ∈ N∗ thỏa mãn u1· u2· · · uk= e765. Giá trị của k là

A 6. B 7. C 8. D 9.

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

Đặt vn= 3 · 2n−1 thì un= evn, với n ∈ N∗.

Ta có v1+ v2+ · · · + vk = 3 ·

1 − 2k

1 − k .
Bởi vậy

u1· u2· · · uk = e765

⇔ 3 ·1 − 2

k

1 − 2 = 765
⇔ 2k_{− 1 = 255}

⇔ 2k= 256

⇔ k = 8.

Vậy k = 8.

Chọn đáp án C _

Câu 17. Số 2017201820162017 _{có bao nhiêu chữ số.}

A 147278481. B 147278480. C 147347190. D 147347191.

Lời giải.

Số tự nhiên N có k chữ số khi 10k−1 _{≤ N ≤ 10}k_{. Đặt N = 20172018}20162017 _{suy ra}

log N = log 2017201820162017
⇔ N = 10log(2017201820162017₎

⇔N = 10[20162017·log 20172018]_{' 10}1147278480,5 _{< 10}147278481_.

Suy ra số các chữ số là 147278481.

Chọn đáp án A _

Câu 18. Cho 9α+ 9−α _{= 23, α ∈ R. Khi đó biểu thức K =} 5 + 3

α_{+ 3}−α

1 − 3α_{− 3}−α có giá trị bằng

A −5

2. B

1

2. C

3

2. D 2.

Lời giải.

Đặt t = 3α, t > 0. Khi đó (t + t−1)2 = (3α+ 3−α)2 = 9α+ 9−α+ 2 = 25, suy ra t + t−1 = 5 (vì t > 0).

Vậy K = 5 + t + t

−1

1 − (t + t−1₎ =

5 + 5
1 − 5 = −

5
2.

Chọn đáp án A _

Câu 19. Trong thời gian liên tục 25 năm, một người lao động luôn gởi đúng 4.000.000 đồng vào một

ngày cố định của tháng ở ngân hàng A với lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gởi tiền là 0,6%/

tháng. Gọi A đồng là số tiền người đó có được sau 25 năm. Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng?

A 3.350.000.000 < A < 3.400.000.000. B 3.500.000.000 < A < 3.550.000.000.
C 3.450.000.000 < A < 3.500.000.000. D 3.400.000.000 < A < 3.450.000.000.

Lời giải.

Gọi A = 4.000.000 là số tiền người đó gửi vào ngân hàng mỗi tháng, r = 0,6% là lãi suất mỗi tháng.

• Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là

S1 = A(1 + r) =

A

r (1 + r)

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

• Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền A đồng thì số tiền là

T1 = A(1 + r) + A = A [(1 + r) + 1] = A ·

[(1 + r)2_{− 1]}

(1 + r) − 1 =
A

r (1 + r)

2_{− 1 .}

• Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là

S2 =

A

r (1 + r)

2_{− 1 (1 + r).}

• Từ đó ta có số tiền có được sau 12 · 25 = 300 tháng là

S300 =

A

r (1 + r)

300_{− 1 (1 + r) =} 4.000.000

0,6% (1 + 0,6%)

300_{− 1 (1 + 0,6%) = 3.364.000.000.}

Chọn đáp án A _

Câu 20. Cho biểu thức P =




a13

ï
a−12b−

1

3 (a2b2)
2
3

ò−1₂





6

với a, b là các số dương. Khẳng định nào

sau đây là đúng?

A P = b

3√_a

a . B P =

√
a

b3 . C P = b

3√_3. _{D P =}

√
a
ab3 .

Lời giải.

P =




a13

ï
a−12_b−

1

3 _a2_b2

2
3

ị−1₂





6

=




a13

ï
a−12_b−

1
3

Å
a43_b

4
3

ãị−1₂





6

=




a13

ï
a56b

ị−1₂






6

=
ß

a13_a−
5
12_b−

1
2

™6

=
ß

a−121 _b−
1
2

™6

= a−12_b−3

= √1

ab3 =

√
a
ab3.

Chọn đáp án D _

Câu 21. Cho n là số nguyên dương và a > 0, a 6= 1. Tìm n sao cho

log_a2019 + log√

a2019 + log√3_a2019 + · · · + log√n_a2019 = 2 033 136 log_a2019.

A n = 2017. B n = 2016. C n = 2019. D n = 2018.

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

Ta có

log_a2019 + log√

a2019 + log√3_a2019 + · · · + logn√_a2019 = 2 033 136 log_a2019

⇔ log_a2019 + 2 log_a2019 + 3 log_a2019 + · · · + n log_a2019 = 2 033 136 log_a2019

⇔ 1 + 2 + 3 + · · · + n = 2 033 136

⇔ n(n + 1)

2 = 2 033 136
⇔ n2_{+ n − 4 066 272 = 0}

⇔
"

n = 2016 (nhận)

n = −2017 (loại).

Vậy n = 2016.

Chọn đáp án B _

Câu 22. Cho 9x_{+ 9}−x _{= 14, khi đó biểu thức M =} 2 + 81

x_{+ 81}−x

11 − 3x_{− 3}−x có giá trị bằng

A 28. B 14. C 42. D 49.

Lời giải.

Ta có

1) 9x_{+ 9}−x _{= 14 ⇔ (9}x_{+ 9}−x₎2

= 142 _{⇔ 81}x_{+ 81}−x_{+ 2 = 196 ⇔ 81}x_{+ 81}−x_{= 194.}

2) 9x_{+ 9}−x _{= 14 ⇔ (3}x_{+ 3}−x₎2

− 2 = 14 ⇔ 3x_{+ 3}−x _{= 4.}

Do vậy M = 2 + 81

x_{+ 81}−x

11 − 3x_{− 3}−x =

2 + 194
11 − 4 = 28.

Chọn đáp án A _

Câu 23. Cho hàm số f (x) = 2

x

2x_{+ 2}. Khi đó tổng f (0) + f

Å 1
10

ã

+ · · · + fÅ 19
10

ã

có giá trị bằng

A 59

6 . B

19

2 . C

28

3 . D 10.

Lời giải.

Ta có f (2 − x) = 2

2−x

22−x_{+ 2} =

2

2 + 2x ⇒ f (x) + f (2 − x) = 1. Do vậy

f (0) + fÅ 1
10

ã

+ · · · + fÅ 19
10

ã

= f (0) + f (1) +
ï

fÅ 1
10

ã

+ fÅ 19
10

ãò

+ · · · +
ï

fÅ 9
10

ã

+ fÅ 11
10

ãò

= 1
3 +

1

2 + 9 · 1 =
59

6 .

Chọn đáp án A _

Câu 24. Cho a, b là độ dài hai cạnh góc vng, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vng. Trong
đó, c − b 6= 1 và c + b 6= 1. Kết luận nào dưới đây đúng?

A log_c+ba + log_c−ba = 2 log_c+ba · log_c−ba. B log_c+ba + log_c−ba = log_c+ba · log_c−ba.
C log_c+ba + log_c−ba = −2 log_c+ba · log_c−ba. D log_c+ba + log_c−ba = − log_c+ba · log_c−ba.

Lời giải.

Theo bài ra ta có c2 _{= a}2_{+ b}2 _{⇒ a}2 _{= c}2_{− b}2 _{= (c − b)(c + b).}

Từ đó suy ra 2 = log_aa2 = log_a((c − b)(c + b)) = log_a(c − b) + log_a(c + b) = 1
log_c−ba +

1
log_c+ba
⇔ log_c+ba + log_c−ba = 2 log_c+ba · log_c−ba.

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

ĐÁP ÁN

1. A 2. B 3. A 4. A 5. C 6. B 7. D 8. D 9. C 10. B

11. A 12. C 13. A 14. A 15. C 16. C 17. A 18. A 19. A 20. D

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

<b>4</b> <b>MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO</b>

Câu 1. Cho biết f (n) = 2

n

2n_{+ 1}, với n ∈ Z. Tính

S = f (−1000) + f (−999) + · · · + f (−1) + f (0) + f (1) + · · · + f (1000).

A 2001

2 . B 2000. C 1000. D

1001
2 .

Lời giải.

Ta có f (n) + f (−n) = 2

n

2n_{+ 1} +

1
2n

1
2n + 1

= 1. Vậy

S = [f (1000) + f (−1000)] + · · · + [f (1) + f (−1)] + 1
2 =

2001
2 .

Chọn đáp án A _

Câu 2. Bố Nam gửi 15000 USD vào trong ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,73% một

tháng để dành cho Nam học đại học. Nếu cuối mỗi tháng kể từ ngày gửi Nam rút ra đều đặn 300USD

(trừ tháng cuối) thì sau bao nhiêu tháng số tiền để dành cho Nam sẽ được rút hết? (tháng cuối là
tháng mà số tiền còn trong ngân hàng khơng vượt 300USD và khi đó Nam rút hết tồn bộ số tiền còn

lại).

A 63 tháng. B 62 tháng. C 71 tháng. D 55 tháng.

Lời giải.

Gọi An là số tiền còn lại sau khi Nam rút đến tháng thứ n, A là số tiền gửi vào, r là lãi suất hàng

tháng, và X là số tiền rút ra hàng tháng.

Ta có

A1 = A(1 + r) − X.

A2 = A(1 + r)2− X((1 + r) + 1).

A3 = A(1 + r)3− X((1 + r)2+ (1 + r) + 1).

· · ·

An= A(1 + r)n− X((1 + r)n−1+ (1 + r)n−2+ · · · + (1 + r) + 1)

Vậy An= A(1 + r)n− X

(1 + r)n_{− 1}

r ⇒ n = log1+r

Anr − X

Ar − X .
Áp dụng vào bài toán ta có n = log_1+0,73% −300

15000 · 0,73% − 300 ≈ 62,43641729.
Vậy n = 63 tháng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

ĐÁP ÁN

</div>

<!--links-->
HƯỚNG DẪN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN 12

• 264
• 875
• 0