TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.08 MB, 113 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

§4

ĐƯỜNG TIỆM CẬN

A

TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG

Định nghĩa. Cho hàm số y = f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞),

(−∞; b) hoặc (−∞; +∞)). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ
thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

lim

x→+∞f (x) = y0; limx→−∞= y0.

Ví dụ 1. Cho hàm số f (x) = √1

x + 1 xác định trên khoảng (0; +∞).

Lời giải.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 vì lim

x→+∞f (x) = limx→+∞
Å 1

√
x + 1

= 1.

Ví dụ 2. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
√

x2− 2x + 6
x − 1 ·

Lời giải.

Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang y = 1 và y = −1 vì

lim
x→+∞

√

x2− 2x + 6

x − 1 = limx→+∞
|x| ·

…
1 − 2

x+
6
x2

x = limx→−∞

x ·

…
1 − 2

x+
6
x2

x = 1

lim
x→−∞

√

x2− 2x + 6

x − 1 = limx→−∞
|x| ·

…
1 − 2

x+
6
x2

x = limx→−∞
−x ·

…
1 − 2

x+
6
x2

x = −1

2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

Định nghĩa. Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị
hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

• lim
x→x+0

f (x) = +∞

• lim
x→x+0

f (x) = −∞

• lim
x→x−0

f (x) = −∞

• lim
x→x−0

f (x) = +∞

Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị (C) của hàm số y = x − 1
x + 2·

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Vì lim
x→−2+

x − 1

x + 2 = −∞ (hoặc x→−2lim−

x − 1

x + 2 = +∞) nên đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng của (C).

Vì lim
x→±∞

x − 1

x + 2 = 1 nên đường thẳng y = 1 là tiệm
cận ngang của (C).

Đồ thị của hàm số được cho bởi hình bên

O
−2

−1
2
1

−

y = 1

Ví dụ 2. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 2x

2+ x + 1
2x − 3 ·

Lời giải.

Vì lim

x→
Ñ

3
2

é+

2x2+ x + 1

2x − 3 = +∞ (hoặc lim
x→

Ñ
3
2

é−

2x2+ x + 1

2x − 3 = −∞) nên đường thẳng x =
3

2 là tiệm

cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

!

Tiệm cận có thể cắt đồ thị hàm số.

Ví dụ 3. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x
x2+ x + 1·

Lời giải.

Ta có lim
x→+∞

x2 + x + 1 = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y = x

x2+ x + 1·

Ta thấy rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 0) ⇒ tiệm cận ngang y = 0 cắt

đồ thị tại điểm A(0; 0). x

−1 1

−1
1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số

a) y = 2x + 1

x − 1 . b) y =

3x − 1

x − 2. c) y =

x − 2

x2 + 1. d) y =

x2− 1
2 − x2.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a) y = 2. b) y = 3. c) y = 0. d) y = −1.

Bài 2. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số

a) y = 2x + 1

1 − x . b) y =

4x − 2

3x + 2. c) y =
x + 2

x . d) y =

2x + 5
x + 2 .

Lời giải.

a) x = 1. b) x = −2
3.

c) x = 0. d) x = −2.

Bài 3. Tìm các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang (nếu có) của đồ thị các hàm số

a) y = 2x + 1
x2 − 1.
b) y = (x − 1)
2
x2− 4 .

c) y = (x − 2)(3 − x)
x2− 4 .
d) y = 2x

2− 3x − 9
x2− 2x − 3 .

Lời giải.

a) y = 0, x = ±1. b) y = 1, x = ±2. c) y = −1, x = −2. d) y = 2, x = −1.

Bài 4. Tìm các đường tiệm cận ngang (nếu có) của đồ thị các hàm số

a) y =√x2+ 1 −√x2− 2x − 4.
b) y =√x2+ 2x + 3 −√x2− 4x + 7.

c) y = √x2+ 1 − x.
d) y =

√

4x2− 1 + 3x2+ 2
x2− x .

Lời giải.

a) Ta có lim

x→+∞y = limx→+∞

2x − 3
√

x2+ 1 +√x2− 2x − 4 = limx→+∞

2 − 3
x
…

1 + 1
x2 +

…
1 − 2

x +
4
x2

= 1.

Suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

lim

x→−∞y = limx→−∞

2x − 3
√

x2+ 1 +√x2− 2x − 4 = limx→−∞

2 − 3
x

−
…

1 + 1
x2 −

…
1 − 2

x +
4
x2

= −1.

Suy ra y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) lim

x→−∞y = limx→−∞

6x − 4
√

x2+ 2x + 3 +√x2− 4x + 7 = −3 nên y = −3 là tiệm cận ngang.
lim

x→+∞y = limx→+∞

6x − 4
√

x2+ 2x + 3 +√x2− 4x + 7 = 3 nên y = 3 là tiệm cận ngang.
c) lim

x→−∞y = −∞ và limx→+∞y = limx→+∞

1
√

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

d) lim

x→−∞y = limx→−∞

−… 4
x2 −

x4 + 3 +
2
x2
1 − 1

= 3.

lim

x→+∞y = limx→+∞
… 4

x2 −
1

x4 + 3 +
2
x2
1 − 1

= 3.

Suy ra y = 3 là tiệm cận ngang.

Bài 5. Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị các hàm số sau có hai đường tiệm cận.

a) y = x + m

x − 1. b) y =

x + m2
x + 4 .

Lời giải.

a) Đồ thị hàm số y = ax + b

cx + d, (c 6= 0) có hai đường tiệm cận khi và chỉ khi ad − bc 6= 0.
Do đó ta có −11 − m 6= 0 ⇔ m 6= −1. Vậy m ∈ R \ {−1}.

b) Ta có 4 − m2 6= 0 ⇔ m 6= ±2. Vậy m ∈ R \ {±2}.

Bài 6. Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị các hàm số sau có ba đường tiệm cận.

a) y = 2

x2+ mx + m. b) y =

x − 2
x2 + mx + m.

Lời giải.

a) Ta có lim

x→−∞y = 0 và limx→+∞y = 0 nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì x2 + mx + m = 0 có hai nghiệm phân biệt.
∆ > 0 ⇔ m2 − 4m > 0 ⇔ m ∈ (−∞; 0) ∪ (4; +∞).

b) Ta có lim

x→−∞y = 0 và limx→+∞y = 0 nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì x2 + mx + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
(

∆ > 0

4 + 2m + m 6= 0
⇔






m2− 4m > 0
m 6= −4

⇔ m ∈ (−∞; 0) ∪ (4; +∞) \
ß

−4
3

™
.

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 1

x2+ 2(m − 1)x + m2− 2 có đúng
hai đường tiệm cận đứng.

Lời giải.

Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình

x2+ 2(m − 1)x + m2 − 2 = 0 có đúng hai nghiệm khác 1. Ta có ∆0 = (m − 1)2− (m2− 2) = 3 − 2m.

Do đó, u cầu bài tốn tương đương với
(

3 − 2m > 0

12+ 2(m − 1) + m2− 2 6= 0 ⇔




m < 3

m 6= 1, m 6= −3

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2

p(m − 1)x2+ 1 có hai đường tiệm
cận ngang.

Lời giải.

• Nếu m = 1 thì y = x − 2 nên lúc này đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

• Xét m < 1: Hàm số có tập xác định D =
Å

−√ 1
1 − m;

1
√

1 − m
ã

nên trong trường hợp này đồ thị

hàm số cũng không có tiệm cận ngang.

• Xét m > 1: Hàm số có tập xác định là D =
Å

−∞; −√ 1

1 − m

ã
∪

Å 1
√

1 − m; +∞
ã

và tính các giới

hạn sau:

+ lim

x→+∞y = limx→+∞

x − 2

p(m − 1)x2+ 1 = limx→+∞

1 − 2
x
…

m − 1 + 1
x2

= √ 1
m − 1;

+ lim

x→−∞y = limx→−∞

x − 2

p(m − 1)x2+ 1 = limx→−∞

1 − 2
x

−
…

m − 1 + 1
x2

= −√ 1
m − 1.

Do đó, trường hợp này đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.

Bài 9. Giả sử đường thẳng d : x = a, a > 0 cắt đồ thị hàm số y = 2x + 1

x − 1 tại một điểm duy nhất,

biết khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1. Tìm tọa độ điểm đó.

Lời giải.

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số y = 2x + 1

x − 1 tại điểm M
Å

a;2a + 1
a − 1

. Đồ thị có tiệm cận đứng

∆ : x = 1.

Ta có d(M, ∆) = 1 ⇔ |a − 1|

1 = 1 ⇔
"

a = 0

a = 2 ⇒ a = 2 > 0.

Với a = 2 ⇒ x0 = 2 ⇒ y0 = 5.

Bài 10. Cho hàm số y = (m − 1)x + 1

2x + m có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận
của (C), O là gốc tọa độ và A(4; −6). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba điểm O, I, A thẳng

hàng.

Lời giải.

Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C) là I
Å

−m
2;

m − 1
2

ã
.

Xét OI = k# » OA ⇔# »







− m
2 = 4k

m − 1

2 = −6k
⇔





k = 1

4
m = −2

Vậy, với m = −2 thì ba điểm O, I, A thẳng hàng.

Bài 11. Cho hàm số y = x + 2

x − 1 có đồ thị là (C). Chứng minh rằng với mọi điểm M ∈ (C) ta luôn có
tiếp tuyến của (C) tại điểm M tạo với hai đường tiệm cận của nó một tam giác có diện tích khơng
đổi.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Gọi M
Å

x0;

x0+ 2

x0− 1

, x0 6= 1. Các đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị có phương trình
lần lượt là y = 1, x = 1.

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M có dạng: y = − 3
(x0− 1)2

(x − x0) +

x0+ 2
x0− 1
.

Tiếp tuyến giao với đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị (C) lần lượt là A (2x0− 1; 1)
và B

1;x0+ 5
x0− 1

. Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(1; 1).

Diện tích tam giác IAB là S = 1

2IA · IB =
1

2|2x0− 2| ·
6
|x0− 1|

= 6. Bài toán được chứng minh.

Bài 12. Cho hàm số y = 2x + 1

x − 3 có đồ thị là (C). Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng
khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của đồ thị đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải.

Gọi M
Å

xM;

2xM + 1
xM − 3

, xM 6= 3. Các đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị có phương trình
lần lượt là y = 2, x = 3.

Tổng khoảng cách từ điểm M đến hai tiệm cận là

d = |xM − 3| +

2xM + 1
xM − 3

− 2

= |xM − 3| +
7
|xM − 3|

≥ 2√7.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi |xM − 3| =
7
|xM − 3|

⇔
"

xM = 3 +
√

xM = 3 −
√

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

B

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Câu 1. Tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x + 2
x − 1 là

A y = 2; x = 1. B y = 1; x = 1. C y = −2; x = 1. D y = 1; x = −2.

Lời giải.

Ta có lim

x→+∞y = limx→+∞
x + 2

x − 1 = limx→+∞
1 + x2
1 − 1
x

= 1 suy ra đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ

thị hàm số.

Do lim

x→1+(x + 2) = 3 > 0; limx→1+(x − 1) = 0, x − 1 > 0 ∀x > 1

⇒ lim

x→1+y = limx→+∞

x + 2

x − 1 = +∞ nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án B

Câu 2. Cho hàm số y = 2x − 3

x + 4 . Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số trên là:

A x = −4. B y = 2. C x = 4. D y = −3

4 .

Lời giải.

lim

x→+∞y = limx→+∞

2x − 3

x + 4 = 2, limx→−∞y = limx→−∞

2x − 3
x + 4 = 2.
Vậy y = 2 là đường tiệm cận ngang.

Chọn đáp án B

Câu 3. Đồ thị hàm số y = 2x + 1

x − 1 có tiệm cận ngang là đường thẳng

A y = 2. B x = 2. C y = 1. D x = 1.

Lời giải.

Ta có: lim

x→+∞y = 2; limx→−∞y = 2.

Do đó tiệm cận ngang của đồ thị đã cho là y = 2.

Chọn đáp án A

Câu 4. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x − 3

x − 1 là đường thẳng có phương trình?

A y = 5. B y = 0. C x = 1. D y = 1.

Lời giải.

Ta có lim

x→±∞y = limx→+∞
x − 3

x − 1 = 1 ⇒ đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Chọn đáp án B

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A y = 2x − 1

x + 1 .
B y = 1 − 2x

x + 1 .

C y = 2x + 1
x − 1 .

D y = 2x + 1

x + 1 . x

−4 −2 −1 2
−1

1
2
3
5

Lời giải.

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = −1 ⇒ loại đáp án C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm A (0; −1) ⇒ loại đáp án B và D.

Chọn đáp án A

Câu 6. Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2 − 2x

x + 1 .

A y = −2. B x = −1. C x = −2. D y = 2.

Lời giải.

Ta có: lim

x→±∞y = limx → ±∞

2 − 2x

x + 1 = limx→±∞
2
x − 2

1 + 1
x

= −2 ⇒ y = −2 là đường tiệm cận ngang của

hàm số.

Chọn đáp án A

Câu 7. Đồ thị hàm số y = 4x + 4

x2+ 2x + 1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A 2. B 0. C 1. D 3.

Lời giải.

Ta có: lim
x→±∞

4x + 4

x2+ 2x + 1 = 0 nên đồ thị hàm số y =

4x + 4

x2+ 2x + 1 có tiệm cận ngang y = 0.
lim

x→−1+

4x + 4

x2+ 2x + 1 = limx→−1+

4 (x + 1)

(x + 1)2 = limx→−1+

x + 1 = +∞ nên đồ thị hàm số y =

4x + 4

x2+ 2x + 1 có tiệm
cận đứng x = −1.

Vậy đồ thị hàm số y = 4x + 4

x2+ 2x + 1 có tất cả hai đường tiệm cận. Chọn đáp án A.

Chọn đáp án A

Câu 8. Cho bảng biến thiên của hàm số y = f (x). Mệnh đề nào sau đây sai?

x
y0

−∞ −1 0 1 +∞

+ 0 − 0 + 0 −

−∞
−∞

0
0

−1
−1

0
0

−∞
−∞

A Hàm số y = f (x) nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞).

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

C Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên tập R bằng 0.
D Đồ thị hàm số y = f (x) khơng có đường tiệm cận.

Lời giải.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số y = f (x) khơng có giá trị nhỏ nhất.

Chọn đáp án B

Câu 9. Đồ thị hàm số y = 2017x − 2018

x + 1 có đường tiệm cận đứng là

A x = 2017. B x = −1. C y = −1. D y = 2017.

Lời giải.

Ta có lim
x→(−1)+

2017x − 2018

x + 1 = −∞ vàx→(−1)lim −

2017x − 2018

x + 1 = +∞ nên đồ thị hàm số có một tiệm cận
đứng là x = −1.

Chọn đáp án B

Câu 10. Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2 − 2x
x + 1 .

A x = −1. B x = −2. C y = 2. D y = −2.

Lời giải.

Ta có lim
x→+∞

2 − 2x

x + 1 = −2 ⇒ y = −2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án D

Câu 11. Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 3 − 2x
x + 1 là

A x = −2. B x = −1. C y = −2. D y = 3.

Lời giải.

Phương pháp: Sử dụng đồ thị hàm số y = ax + b
cx + d

x 6= −d
c

nhận đường thẳng y = a

c làm tiệm cận

ngang và đường thẳng x = −d

c làm tiệm cận đứng.
Cách giải:

Đồ thị hàm số y = 3 − 2x

x + 1 nhận đường thẳng y = −2 làm tiệm cận ngang.

Chọn đáp án C

Câu 12. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 5

x − 1 là đường thẳng có phương trình nào dưới

đây?

A x = 1. B y = 5. C x = 0. D y = 0.

Lời giải.

Ta có:







lim
x→+∞

5
x − 1 = 0

lim
x→−∞

5
x − 1 = 0

⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0.

Chọn đáp án D

Câu 13. Đồ thị hàm số y = 2x − 3

x − 1 có các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt là
A x = 1 và y = 2. B x = 2 và y = 1. C x = 1 và y = −3. D x = −1 và y = 2.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Hàm số đã cho là hàm nhất biến nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 1, đường tiệm cận

ngang là y = 2.

Chọn đáp án A

Câu 14. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1 − 4x
2x − 1?

A y = 2. B y = 1

2. C y = 4. D y = −2.

Lời giải.

Ta có: lim

x→+∞y = −2 và limx→−∞y = −2 nên đường thẳng y = −2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số.

Chọn đáp án D

Câu 15. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 3x − 5
x − 2 là

A x = 2. B y = 2. C x = 3. D y = 3.

Lời giải.

Ta có lim
x→2+

3x − 5

x − 2 = +∞ và limx→2−

3x − 5

x − 2 = −∞ nên x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Chọn đáp án A

Câu 16.

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị

hàm số đã cho là

A 3. B 4. C 1. D 2.

−∞ 0 1 +∞

− + 0 −

+∞
+∞

−1 −∞
2
2

−2
−2

Lời giải.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = −2 và tiệm cận đứng x = 0.

Chọn đáp án D

Câu 17. Phương trình các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1 − 3x
x + 2 lần
lượt là

A x = −2 và y = −3. B y = −2 và x = −3. C x = −2 và y = 1. D x = 2 và y = 1.

Lời giải.

Ta có lim
x→(−2)+

1 − 3x

x + 2 = +∞ và x→(−2)lim −

1 − 3x

x + 2 = −∞
Nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −2

Ta có lim
x→±∞

1 − 3x
x + 2 = −3

Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = −3.

Chọn đáp án A

Câu 18. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R?

A y = logπ(4x2+ 1). B y =π
3

. C y = log1

3 x. D y =

Å 2
e

ãx
.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ta có: 0 < 2

e < 1 ⇒ hàm số y =
Å 2

e
ãx

nghịch biến trên tập số thực R.

Chọn đáp án D

Câu 19. Cho hàm số y = mx + 1

x − 2m với tham số m 6= 0. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị
hàm số thuộc đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

A 2x + y = 0. B x − 2y = 0. C y = 2x. D x + 2y = 0.

Lời giải.

Ta có lim

x→±∞y = m ⇒ đường thẳng y = m là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Hơn nữa lim

x→(2m)+y = +∞ ⇒ đường thẳng x = 2m là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là (2m; m) thuộc đường thẳng x = 2y.

Chọn đáp án B

Câu 20. Đồ thị hàm số y = 7 − 2x

x − 2 có tiệm cận đứng là đường thẳng?

A x = −3. B x = 2. C x = −2. D x = 3.

Lời giải.

Ta có lim

x→2+y = limx→2+

7 − 2x

x − 2 = +∞, nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số trên là x = 2.

Chọn đáp án B

Câu 21. Hàm số nào có đồ thị nhận đường thẳng x = 2 làm đường tiệm cận?

A y = 1

x + 1. B y =
5x

2 − x. C y = x − 2 +
1

x + 1. D y =
1
x + 2.

Lời giải.

Hàm số y = 5x

2 − x nhận x = 2 làm tiệm cận đứng nên chọn B.

Chọn đáp án B

Câu 22. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2x + 1
x − 1 là

A x = 1; y = −2 . B x = 1; y = 2. C x = 1; y = 0. D x = −1; y = 2.

Lời giải.

Ta có lim

x→±∞y = 2 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2. Mặt khác limx→1+y = +∞, limx→1−y = −∞

nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1.

Chọn đáp án B

Câu 23. Đồ thị hàm số y = 2x − 3

x − 1 có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
A x = 1 và y = 2. B x = 2 và y = 1. C x = 1 và y = −3. D x = −1 và y = 2.

Lời giải.

• lim
x→±∞

2x − 3

x − 1 = 2 nên y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
• lim

x→1+

2x − 3

x − 1 = −∞, limx→1−

2x − 3

x − 1 = +∞ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án A

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

A y =
√

1 − x2+ 1

2019 . B y =

x2− 1

x − 1. C y =
x2

x2+ 2018. D y =
x
x + 12.

Lời giải.

Xét hàm số y = x

x + 12 trên R \ {−12}.
Ta có lim

x→(−12)+
x

x + 12 = +∞ nên x = −12 là tiệm cận đứng.

Chọn đáp án D

Câu 25. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 3x + 2019
x + 2 ?

A x = 2. B y = 2. C y = 3. D x = 3.

Lời giải.

Tập xác định D = R \ {−2}.

Ta có lim
x→±∞

3x + 2019

x + 2 = limx→±∞

3 + 2019
x

1 + 2
x

= 3.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 3.

Chọn đáp án C

Câu 26. Cho bảng biến thiên của hàm số y = f (x). Mệnh đề nào sau đây sai?

x
y0

−∞ −1 0 1 +∞

+ 0 − 0 + 0 −

−∞
−∞

0
0

−1
−1

0
0

−∞
−∞

A Hàm số y = f (x) nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞).

B Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên tập R bằng −1.
C Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên tập R bằng 0.
D Đồ thị hàm số y = f (x) khơng có đường tiệm cận.

Lời giải.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số y = f (x) khơng có giá trị nhỏ nhất.

Chọn đáp án B

Câu 27. Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 3x − 7
x + 2 là
A (2; −3). B (−2; 3). C (3; −2). D (−3; 2).

Lời giải.

Phương pháp: Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = ax + b
cx + d là

Å
−d

c;
a
c

ã
.

Cách giải: Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 3x − 7

x + 2 là (−2; 3).

Chọn đáp án B

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây

x
y

−2 −1 1 2 3 4

−2
−1
1
2
3
4

A y = −x3+ 3x + 1. B y = x + 1

x − 1. C y =

x − 1

x + 1. D y = x

3− 3x2− 1.

Lời giải.

Căn cứ vào đồ thị ta có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = 1 nên loại phương án

A, C, D. Vậy chọn B.

Chọn đáp án B

Câu 29. Cho hàm số y = 3x − 1

x − 3 có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A Đồ thị (C) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

B Đồ thị (C) khơng có tiệm cận đứng.

C Đồ thị (C) có tiệm cận ngang.

D Đồ thị (C) có tiệm cận.

Lời giải.

lim
x→3+

3x − 1

x − 3 = +∞, limx→3−

3x − 1

x − 3 = −∞, suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3.

lim
x→±∞

3x − 1

x − 3 = limx→±∞
3 − 1

1 − 3
x

= 3, suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 3.

Chọn đáp án B

Câu 30. Tính số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x

2+ x − 2
x2 − 3x + 2.

A 3. B 0. C 1. D 2.

Lời giải.

Tập xác định: D = R\{1; 2}.

Ta có: y = x

2+ x − 2
x2− 3x + 2 =

(x − 1)(x + 2)
(x − 1)(x − 2) =

x + 2
x − 2.

lim

x→2+y = limx→2+

x + 2

x − 2 = +∞; limx→2−y = limx→2−

x + 2

x − 2 = −∞
⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

lim

x→±∞y = limx→±∞
x + 2

x − 2 = 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án D

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

−∞ −2 2 +∞

− + 0 −

2
2

1 −∞
5
5

−∞
−∞

Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A 4. B 2 . C 3. D 1.

Lời giải.

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −2 và tiệm cận ngang y = 2.

Chọn đáp án B

Câu 32. Đồ thị của hàm số y = 2

x − 1 có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 0. B 2. C 1. D 3.

Lời giải.

TXĐ: D = (−∞; 1) ∪ (1; +∞).

lim

x→±∞y = 0 suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 0.
lim

x→1+y = +∞; limx→1−y = −∞ suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1.

Chọn đáp án B

Câu 33. Cho hàm số y = f (x) có lim

x→+∞f (x) = 0 và limx→0+f (x) = +∞. Khẳng định nào sau đây

đúng?

A Đồ thị của hàm số đã cho khơng có tiệm cận ngang.

B Đồ thị của hàm số đã cho có một tiệm cận đứng, khơng có tiệm cận ngang.

C Đồ thị của hàm số đã cho có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

D Đồ thị của hàm số đã cho khơng có tiệm cận đứng.

Lời giải.

• Vì lim

x→+∞f (x) = 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0.
• Vì lim

x→0+f (x) = +∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0.

Chọn đáp án C

Câu 34. Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây có tiệm cận ngang?

A y = 3x
2− 1

x + 1 . B y = x

4− x2− 2.
C y = 2 − x

x . D y = x

3− x2+ x − 3.

Lời giải.

lim
x→±∞

2 − x

x = −1 ⇒ y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Chọn đáp án C

Câu 35. Cho hàm số y = 5x + 5

x2− 1. Gọi số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là m, số tiệm cận ngang
là n. Tính S = m + n.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Lời giải.

Tính các giới hạn ta sẽ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 , tiệm cận ngang là y = 0.
Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Chọn đáp án A

Câu 36. Đồ thị hàm số y = x3+ 2x2+ 3x + 2017 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

A 0. B 1. C 2. D 3.

Câu 37. Hàm số nào sau đây có đường tiệm cận ngang y = −2.

A y = 2 + 1

x. B y =

x + 2. C y =

1 − 2x

x + 3 . D y =

2x
x2+ 2.

Câu 38. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 3x + 4
x + 2 ?

A y = 2. B x = 3. C x = 2. D y = 3.

Câu 39. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1
x + 1?

A y = 1. B x = 0. C x = −1. D y = 0.

Lời giải.

Ta có lim

x→±∞y = limx→±∞
1

x + 1 = 0. Suy ra y = 0 là tiệm cận ngang.

Chọn đáp án D

Câu 40. Đồ thị hàm số y = 3x − 1

3x + 2có đường tiệm cận ngang là.

A x = 3. B y = 1. C y = 3. D x = 1.

Câu 41. Đồ thị hàm số y = 2x − 1

x + 1 có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt các các đường nào
sau đây?

A x = −1; y = 1

2. B x = −1; y = 2. C x = 1; y = 2. D x = 2; y = −1.

Lời giải.

Hàm số y = 2x − 1

x + 1 có tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận ngang y = 2.

Chọn đáp án B

Câu 42. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 3x − 1
2x − 1.
A y = 1

2. B y =

2. C y = 1. D y =

1
3.

Câu 43. Cho hàm số y = 3x − 6

x + 1 . Phương trình các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số lần lượt là

A x = −1, y = 2. B x = 1, y = 3. C x = −1, y = 3. D x = 1, y = −2.

Câu 44. Tìm phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x + 3
x − 4?

A x = 4. B y = −3

4. C y = 1. D x = −3.

Câu 45. Cho hàm số y = x + 1

x − 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Đồ thị hàm số có tiện cận ngang là đường thẳng x = 1.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là y = 1.

Câu 46. Cho hàm số y = 4x − 3

x − 3 có đồ thị (C). Số đường tiệm cận của đồ thị (C) là

A 3. B 0. C 2. D 1.

Câu 47. Cho hàm số x + 1

2x − 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.

B Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận.

C Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.

D Đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cân.

Câu 48. Cho hàm số y = 3x − 1

3x + 2. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là:

A y = 1. B x = 1. C y = 3. D x = 3.

Lời giải.

Ta có lim
x→±∞

3x − 1

3x + 2 = 1 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1.

Chọn đáp án A

Câu 49. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x + 1

x + 2 có phương trình là

A y = 1. B x = −2. C x = 1. D y = −2.

Lời giải.

Ta có lim

x→−2+y = −∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −2.

Chọn đáp án B

Câu 50.

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên.

Khi đó đồ thị hàm số y = f (x)

A có hai đường tiệm cận đứng là x = 2 và x = −4.

B có hai đường tiệm cận ngang là y = 2 và y = −4.

C có hai đường tiệm cận ngang là x = 2 và x = −4.

D có hai đường tiệm cận đứng là y = 2 và y = −4.

−∞ −3 +∞

− 0 +

−4
−4

−7
−7

2
2

Lời giải.

Ta có lim

x→−∞y = −4, limx→+∞y = 2 nên đồ thị có hai đường tiệm cận ngang là y = 2 và y = −4.

Chọn đáp án B

Câu 51. Cho hàm số y = f (x) có lim

x→+∞f (x) = 0 và x→−∞lim f (x) = +∞. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?

A Đồ thị hàm số y = f (x) khơng có tiệm cận ngang.
B Đồ thị hàm số y = f (x) có một tiệm cận đứng là y = 0.

C Đồ thị hàm số y = f (x) có một tiệm cận ngang là trục hoành.

D Đồ thị hàm số y = f (x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 0.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Do lim

x→+∞f (x) = 0 nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là y = 0 (trục hoành).

Chọn đáp án C

Câu 52. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 2x − 5
x + 3 là

A x = −3. B y = −3. C x = 2. D y = 2.

Lời giải.

Ta có lim
x→−3+

2x − 5

x + 3 = −∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −3.

Chọn đáp án A

Câu 53. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 3x − 2
x + 1 là

A y = −1. B x = −1. C x = 3. D y = 3.

Lời giải.

Điều kiện x 6= −1.

Ta có lim
x→±∞

3x − 2

x + 1 = 3 ⇒ y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án D

Câu 54. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2x + 1
x − 1 là

A 2. B 0. C 1. D 3.

Lời giải.

Tập xác định D = R.

Ta có lim

x→+∞y = limx→−∞y = 2 ⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang y = 2.
lim

x→1+y = +∞ ⇒ Đồ thị có tiệm cận đứng x = 1.

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2x + 1
x − 1 là 2.

Chọn đáp án A

Câu 55. Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (0; +∞) và thỏa mãn lim

x→+∞f (x) = 1. Hãy chọn
mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Đường thẳng x = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x).

B Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x).

C Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x).

D Đường thẳng y = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x).

Lời giải.

Ta có lim

x→+∞f (x) = 1, suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án C

Câu 56. Cho hàm số y = x + 1

x −√2. Các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã
cho có phương trình lần lượt là

A x =√2, y = 1. B x = 4, y = 1. C x = 1, y = −√1

2. D x = 2, y = 1.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Tập xác định D = R\ả2â.

Ta cú: lim

xy = 1. Suy ra y = 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có: lim

x→(√2)+

y = +∞; lim

x→(√2)−y = −∞.

Suy ra x =√2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho có phương trình lần lượt là

x =√2, y = 1.

Chọn đáp án A

Câu 57. Đồ thị hàm số y =
√

5x2+ x + 1
√

2x − 1 − x có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận
ngang?

A 3. B 1. C 4. D 2.

Lời giải.

Điều kiện xác định




x ≥ 1

x 6= 1

lim y
x→+∞

= −√5 do đó y = −√5 là tiệm cận ngang.

lim y
x→1+

= +∞ do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị

Chọn đáp án D

Câu 58. Cho hàm số y = 3x − 1

x − 3 có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A Đồ thị (C) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

B Đồ thị (C) khơng có tiệm cận đứng.

C Đồ thị (C) có tiệm cận ngang.

D Đồ thị (C) có tiệm cận.

Lời giải.

lim
x→3+

3x − 1

x − 3 = +∞, limx→3−

3x − 1

x − 3 = −∞, suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3.

lim
x→±∞

3x − 1

x − 3 = limx→±∞
3 − 1

1 − 3
x

= 3, suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 3.

Chọn đáp án B

Câu 59. Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2 − 2x
x + 1 .

A y = −2. B x = −1. C x = −2. D y = 2.

Lời giải.

Ta có: lim

x→±∞y = limx→±∞

2 − 2x

x + 1 = limx→±∞
2
x − 2

1 + 1
x

= −2 ⇒ y = −2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị

hàm số.

Chọn đáp án A

Câu 60. Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y = x

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

A 1. B 2. C 0. D 3.

Lời giải.

Ta có:

lim

x→±∞y = limx→±∞

x2− 3x + 2
x2− 4 = 1.
lim

x→2y = limx→2

x2− 3x + 2

x2 − 4 = limx→2

(x − 1) (x − 2)

(x + 2) (x − 2) = limx→2

(x − 1)
(x + 2) =

1
4.

lim

x→−2−y = limx→−2−

x2− 3x + 2

x2− 4 = limx→−2−

(x − 1)

(x + 2) = +∞.

lim

x→−2+y = limx→−2+

x2− 3x + 2

x2 − 4 = limx→−2+

(x − 1)

(x + 2) = −∞.

Vậy nên đồ thị hàm số y = x

2− 3x + 2

x2− 4 có một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 và một tiệm cận
đứng là đường thẳng x = −2.

Chọn đáp án B

Câu 61. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào?

A y = 2x − 1

1 − x . B y =

4x − 1

2x + 5. C y =

x + 1

2x + 1. D y =

2x − 4
2x + 3.

Lời giải.

Chọn đáp án B

Câu 62. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 2 − x
x + 3 là

A x = 2. B y = −1. C x = −3. D y = −3.

Lời giải.

Ta thấy x = −3; y = −1 lần lượt là các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị đã cho

Chọn đáp án C

Câu 63. Trong các hàm số sau đây, đồ thị hàm số nào có tiệm cận ngang?

A y = 3x4− 4x2+ 6. B y = 3x + 1

2x2− 3. C y = 2x

3− 7x2+ 2. D y = x
2+ 1
2x − 5.

Lời giải.

Vì lim
x→+∞

3x + 1

2x2− 3 = 0 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0.

Chọn đáp án B

Câu 64. Đồ thị hàm số y = √x + 1

x2− 1 có bao nhiêu tiệm cận?

A 3. B 1. C 2. D 0.

Lời giải.

Tập xác định: D = (−∞; −1) ∪ (1; +∞).

lim

x→+∞y = 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang.
lim

x→−∞y = −1 ⇒ y = −1 là tiệm cận ngang.
lim

x→1+y = +∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận đứng.

lim

x→−1−y = 0 ⇒ x = −1 không phải là tiệm cận đứng.

Vậy tóm lại, đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Câu 65. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào dưới đây?

A y = 1 + x

1 − 2x. B y =

−2x + 3

x − 2 . C y =
2

x + 1. D y =

2x − 2
x + 2 .

Lời giải.

y = 1 + x

1 − 2x có tiệm cận ngang y = −
1
2·
y = −2x + 3

x − 2 có tiệm cận ngang y = −2.
y = 2

x + 1 có tiệm cận ngang y = 0.
y = 2x − 2

x + 2 có tiệm cận ngang y = 2.

Chọn đáp án D

Câu 66. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R \ {−1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng

biến thiên như hình vẽ.

f0(x)

f (x)

−∞ −1 2 +∞

− − 0 +

+∞
+∞

−∞
+∞

−1
−1

+∞
+∞

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Hàm số khơng có đạo hàm tại điểm x = −1. B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1.

C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = −1. D Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 2.

Lời giải.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy lim

x→−∞y = +∞ và limx→+∞y = +∞ nên đồ thị hàm số đã cho khơng có
đường tiệm cận ngang nào.

Chọn đáp án C

Câu 67. Viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2x + 3
x − 1 .

A y = 2, x = 1. B y = 1

2, x = 1. C y = 1, x = 2. D y = 1, x =
1
2.

Lời giải.

Ta có lim

x→1+y = +∞ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng.

Lại có lim

x→−∞y = limx→+∞y = 2 nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 2 làm tiệm cận ngang.

Chọn đáp án A

Câu 68. Đồ thị hàm số y = 3 − 2x

x − 1 có các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang được cho trong
phương án nào dưới đây?

A x = 1, y = −2. B x = −1, y = −2. C x = 2, y = 1. D x = 1, y = 2.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Do lim

x→1+ = +∞ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Do lim

x→±∞y = −2 nên y = −2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Chọn đáp án A

Câu 69. Cho hàm số y = 3x − 1

2x − 1 có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A Đường thẳng y = −3 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).

B Đường thẳng y = 3

2 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).
C Đường thẳng x = 1

2 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).
D Đường thẳng y = −3

2 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).

Lời giải.

Ta có lim
x→12+

y = +∞. Do đó x = 1

2 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).

Ta có lim

x→+∞y = limx→−∞y =
3

2. Do đó y =
3

2 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).

Chọn đáp án C

Câu 70. Đồ thị hàm số y = 1 − 3x

x + 2 có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
A x = −2 và y = 1. B x = 2 và y = 1. C x = −2 và y = 3. D x = −2 và y = −3.

Lời giải.

Tập xác định là D = R \ {−2}.

Ta có









lim

x→(−2)+y =x→(−2)lim +

1 − 3x

x + 2 = +∞

lim

x→(−2)−y =x→(−2)lim −

1 − 3x

x + 2 = −∞

⇒ x = −2 là tiệm cận đứng.

Ta có lim

x→±∞y = limx→±∞

1 − 3x

x + 2 = −3 ⇒ y = −3 là đường tiệm cận ngang.

Chọn đáp án D

Câu 71. Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y = 3
x − 2?

A 0. B 2. C 3. D 1.

Lời giải.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2 và tiệm cận ngang y = 0.

Chọn đáp án B

Câu 72. Cho hàm số y = 3x + 1

2x − 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng y = 1

2.
B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 3
2.
C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1.

D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng x = −1.

Câu 73. Đồ thị hàm số y = x + 2

3 − x có bao nhiêu đường tiệm cận?

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Lời giải.

Ta có lim

x→3±y = ∓∞ và limx→±∞y = −1 nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận x = 3 và y = −1.

Chọn đáp án B

Câu 74. Cho hàm số y = f (x) có tập xác định là D = (0; +∞), và lim

x→0+y = −∞; x→+∞lim y = +∞.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số y = f (x) khơng có tiệm cận đứng và có tiệm cận ngang.

B Đồ thị hàm số y = f (x) có tiệm cận đứng và có tiệm cận ngang.

C Đồ thị hàm số y = f (x) có tiệm cận đứng, khơng có tiệm cận ngang.

D Đồ thị hàm số y = f (x) khơng có tiệm cận đứng và khơng có tiệm cận ngang.

Lời giải.

Ta có:
• lim

x→0+y = −∞ ⇒ hàm số có tiệm cận đứng là x = 0.

• lim

x→+∞y = +∞ ⇒ hàm số khơng có tiệm cận ngang.

Chọn đáp án C

Câu 75. Cho hàm số y = 2x − 3

4 − x . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Đồ thị hàm số trên khơng có điểm cực trị.

B Giao hai tiệm cận là điểm I(−2; 4).

C Đồ thị hàm số trên có tiệm cận ngang x = 4.

D Đồ thị hàm số trên có tiệm cận đứng y = −2.

Lời giải.

Đồ thị hàm số dạng y = ax + b

cx + d khơng có điểm cực trị.

Chọn đáp án A

Câu 76. Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cân ngang của đồ thị hàm số y = 1 − 4x
2x − 1.

A y = 2. B y = 1

2. C y = 4. D y = −2.

Lời giải.

Hàm số y = ax + b

cx + d nếu có limx→∞

1 − 4x

2x − 1 = limx→∞

−4 + 1
x

2 − 1
x

= −2, do lim
x→∞

x = 0. Do đó, đồ thị của hàm số

có tiệm cận ngang là y = −2.

Chọn đáp án D

Câu 77. Phương trình đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y = 6x + 1

3x − 2 lần lượt là

A x = 2

3; y = 6. B x = 2; y = 2. C x =
2

3; y = 2. D x = −
2

3; y = 2.

Lời giải.

Ta có lim
x→±∞

6x + 1

3x − 2 = 2. Suy ra y = 2 là tiệm cận ngang.

lim
x→23

6x + 1

3x − 2 = ±∞. Suy ra x =
2

3 là tiệm cận đứng.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Câu 78. Tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x + 2
x − 1 là

A y = 2; x = 1. B y = 1; x = 1. C y = −2; x = 1. D y = 1; x = −2.

Lời giải.

Tập xác định của hàm số là D = R \ {1}.

lim

x→±∞y = limx→±∞
1 + 2

1 − 1
x

= 1, nên y = 1 là đường tiệm ngang của đồ thị hàm số.

lim

x→1y = limx→1
x + 2

x − 1 = ∞, nên x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án B

Câu 79. Đồ thị hàm số y = 2x − 1

x + 2 có tiệm cận đứng là

A x = 2. B x = −2. C y = −2. D y = 2.

Lời giải.

Tập xác định : D = R\{−2}.

Ta có: lim
x→(−2)+

2x − 1

x + 2 = −∞,x→(−2)lim −

2x − 1

x + 2 = +∞. Suy ra x = −2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số.

Chọn đáp án B

Câu 80. Cho hàm số y = 2018

x − 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0.
B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1, tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0.

C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, khơng có tiệm cận ngang.

D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2018.

Lời giải.

Ta có các giới hạn lim

x→±∞y = 0 và limx→1+y = +∞, limx→1−y = −∞. Từ đó suy ra đồ thị hàm số có tiệm

cận đứng là đường thẳng x = 1, tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0.

Chọn đáp án A

Câu 81. Đồ thị hàm số y = x + 2017√

x2− 1 có số đường tiệm cận ngang là

A 4. B 1. C 3. D 2.

Lời giải.

Ta có lim
x→+∞

x + 2017
√

x2− 1 = 1 và limx→−∞

x + 2017
√

x2− 1 = −1.

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang: y = 1 và y = −1.

Chọn đáp án D

Câu 82. Đồ thị hàm số y = 2x − 3

x − 1 có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 0. B 1. C 2. D 3.

Lời giải.

Đồ thị có tiệm cận đứng x = 1 vì lim
x→1−

2x − 3

x − 1 = +∞;

và có tiệm cận ngang là y = 2 vì lim
x→+∞

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

Chọn đáp án C

Câu 83. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2x − 1
x + 1 .

A x = 2. B y = −1. C x = −1. D y = 2.

Lời giải.

Ta có: lim
x→±∞

2x − 1

x + 1 = 2 ⇒ y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án D

Câu 84. Đồ thị hàm số y = x

2− 2x + 3

2x − 4 có tiệm cận đứng là đường thẳng:

A y = 1. B x = 1. C x = 2. D x = −1.

Lời giải.

Tập xác định của hàm số D = R \ {2}.

Ta có lim

x→2+y = limx→2+

x2− 2x + 3

2x − 4 = +∞ và limx→2−y = limx→2−

x2 − 2x + 3

2x − 4 = −∞.
Nên x = 2 là tiệm đứng của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án C

Câu 85. Cho hàm số y = 3 − x

x − 2. Chọn khẳng định đúng.

A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1. B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là y = 2.

C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2. D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là y = −1.

Lời giải.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2.

Chọn đáp án C

Câu 86. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1 − x

x + 2.

A x = −2. B y = −1. C y = 1. D x = 1.

Lời giải.

Ta có: lim
x→±∞

1 − x

x + 2 = −1 nên đường thẳng y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án B

Câu 87. Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = x − 1
x + 2 là

A 1. B 2. C 3. D 0.

Lời giải.

lim

x→±∞y = 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang.
lim

x→(−2)−y = +∞,x→(−2)lim +y = −∞ ⇒ x = −2 là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

Chọn đáp án B

Câu 88. Đồ thị hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận?

A y = 1 − 2x

1 + x . B y =
1

4 − x2. C y =

x + 3

5x − 1. D y =

x
x2− x + 9.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

• Đồ thị hàm số y = 1 − 2x

1 + x có hai đường tiệm cận là x = −1 và y = −2.
• Đồ thị hàm số y = 1

4 − x2 có ba đường tiệm cận là x = 2, x = −2 và y = 0.
• Đồ thị hàm số y = x + 3

5x − 1 có hai đường tiệm cận là x =
1

5 và y =
1
5.
• Đồ thị hàm số y = x

x2− x + 9 có một đường tiệm cận y = 0.

Chọn đáp án B

Câu 89. Trong các hàm số được cho bởi các phương án A, B, C, D dưới đây, đồ thị của hàm số nào

khơng có đường tiệm cận?

A y = 1

x. B y =

2x + 1

2 − x. C y =
x

x2+ 1. D y = x

4− 3x2+ 2.

Lời giải.

Đồ thị hàm số y = 1

x có tiệm cận ngang y = 0 và tiệm cận đứng x = 0.
Đồ thị hàm số y = 2x + 1

2 − x có tiệm cận ngang y = −2 và tiệm cận đứng x = 2.
Đồ thị hàm số y = x

x2+ 1 có tiệm cận ngang y = 0 và khơng có tiệm cận đứng.

Ta có đồ thị hàm số y = x4− 3x2+ 2 khơng có tiệm cận vì hàm số là hàm đa thức xác định trên tập
R và lim

x→+∞y = +∞, limx→−∞y = +∞.

Chọn đáp án D

Câu 90. Đồ thị hàm số y = 1 − x

1 + x có đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là

A x = −1, y = −1. B x = 1, y = 1. C x = 1, y = −1. D x = −1, y = 1.

Lời giải.

Ta có: lim

x→+∞y = limx→−∞y = −1 ⇒ tiệm cận ngang là y = −1.
Mặt khác: lim

x→(−1)+y = +∞ và x→(−1)lim −y = −∞ ⇒ tiệm cận đứng là x = −1.

Chọn đáp án A

Câu 91. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1 +2x + 2
x − 1?

A x = 1. B y = 1. C y = 2. D y = 3.

Câu 92. Cho hàm số y = f (x) có lim

x→+∞f (x) = 1 và x→−∞lim f (x) = −1. Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là x = 1 và x = −1.

B Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

C Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận ngang.

D Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là y = 1 và y = −1.

Lời giải.

Vì hàm số y = f (x) có lim

x→+∞f (x) = 1 và x→−∞lim f (x) = −1 nên đồ thị có hai đường tiệm cận ngang
y = 1 và y = −1.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Câu 93. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2x − 4
x + 2 là

A y = 2. B x = 2. C x = −2. D y = −2.

Lời giải.

Ta có lim
x→−∞

2x − 4

x + 2 = 2 và limx→+∞

2x − 4

x + 2 = 2 nên hàm số có tiệm cận ngang là y = 2.

Chọn đáp án A

Câu 94. Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng x = 1 và đi qua điểm A (2; 5)?

A y = −3x + 2

1 − x . B y =

x + 13

x + 1 . C y =

2x + 1

x − 1 . D y =

x + 1
x − 1.

Lời giải.

Ta có tiệm cận đứng x = 1 nên loại phương án y = x + 13
x + 1 .

Thay tọa độ điểm A (2; 5) ta thấy đáp án y = 2x + 1

x − 1 thỏa mãn.

Chọn đáp án C

Câu 95. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x − 1

x + 2 có phương trình là

A x = 1, y = −2. B x = −2, y = 1. C x = 2, y = 1. D x = 1, y = 1.

Lời giải.

Ta có lim

x→±∞y = 1, x→−2lim±y = ∓∞. Nên x = −2, y = 1 các đường tiệm cận.

Chọn đáp án B

Câu 96. Đồ thị của hàm số nào sau khơng có đường tiệm cận?

A y = x

x2+ 1. B y =
1

x. C y = x

4− 3x2+ 2. D y = 2x + 1

2 − x .

Lời giải.

Xét hàm y = x4− 3x2

+ 2 xác định và liên tục trên R và lim

x→±∞y = +∞.
Do đó y = x4 − 3x2+ 2 khơng có đường tiệm cận.

Chọn đáp án C

Câu 97. Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x

2− 3x − 4
x2− 16 .

A 1. B 2. C 0. D 3.

Lời giải.

Đồ thị hàm số y = x

2− 3x − 4

x2− 16 có 1 tiệm cận đứng là x = −4.

Chọn đáp án A

Câu 98. Đồ thị hàm số f (x) = 2x − 3

x + 1 có đường tiệm cận đứng là

A y = −1. B x = 2. C y = 2. D x = −1.

Lời giải.

Ta có lim

x→(−1)−f (x) = x→(−1)lim −

2x − 3

x + 1 = +∞; x→(−1)lim +f (x) = x→(−1)lim +

2x − 3

x + 1 = −∞ nên đường thẳng
x = −1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Câu 99. Phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x + 1

x − 2 lần lượt
là

A x = 2, y = −1. B x = −2, y = 1. C x = 1, y = 2. D x = 2, y = 1.

Lời giải.

Ta có lim

x→2+y = +∞, limx→2−y = −∞ suy ra hàm số nhận đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng.

lim

x→±∞y = 1 suy ra hàm số nhận đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang.

Chọn đáp án D

Câu 100. Đồ thị hàm số y = −3x + 1

x + 2 có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
A x = 2 và y = 1. B x = −2 và y = 1. C x = −2 và y = −3. D x = −2 và y = 3.

Lời giải.

Tập xác định D = R \ {−2}.

Ta có

• lim

x→−2+y = −∞ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là: x = −2.

• lim

x→±∞y = limx→±∞

−3x + 1

x + 2 = limx→±∞

−3 + 1
x

1 + 2
x

= −3 nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là:

y = −3.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

ĐÁP ÁN

1. B 2. B 3. A 4. B 5. A 6. A 7. A 8. B 9. B 10. D

11. C 12. D 13. A 14. D 15. A 16. D 17. A 18. D 19. B 20. B

21. B 22. B 23. A 24. D 25. C 26. B 27. B 28. B 29. B 30. D

31. B 32. B 33. C 34. C 35. A 36. A 37. C 38. D 39. D 40. B

41. B 42. B 43. C 44. A 45. C 46. C 47. A 48. A 49. B 50. B

51. C 52. A 53. D 54. A 55. C 56. A 57. D 58. B 59. A 60. B

61. B 62. C 63. B 64. A 65. D 66. C 67. A 68. A 69. C 70. D

71. B 72. B 73. B 74. C 75. A 76. D 77. C 78. B 79. B 80. A

81. D 82. C 83. D 84. C 85. C 86. B 87. B 88. B 89. D 90. A

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

2 MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu 1. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + 1

bx − 2 có đường tiệm cận đứng là x = 2 và đường tiệm cận
ngang là y = 3. Tính giá trị của a + b?

A 1. B 5. C 4. D 0.

Lời giải.

Với b 6= 0 và b 6= −2a, đồ thị hàm số y = ax + 1

bx − 2 nhận đường thẳng x =
2

b làm tiệm cận đứng.

Theo đề bài x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị nên 2 = 2

b ⇔ b = 1.
Với b 6= 0 đồ thị hàm số y = ax + 1

bx − 2 nhận đường thẳng y =
a

b làm tiệm cận ngang.
Theo đề bài y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nên a

b = 3 ⇔ a = 3b ⇔ a = 3.
Vậy a + b = 4.

Chọn đáp án C

Câu 2. Đồ thị hàm số y = x

2− 2x + 3

2x − 4 có tiệm cận đứng là đường thẳng

A y = 1. B x = 1. C x = 2. D x = −1.

Lời giải.

Tập xác định D = R \ {2}.

Ta có lim
x→2+

x2− 2x + 3

2x − 4 = +∞, limx→2−

x2− 2x + 3

2x − 4 = −∞. Vậy đường tiệm cận đứng của hàm số là
đường thẳng x = 2.

Chọn đáp án C

Câu 3. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x

2− 3x + 2
x2 − 4 là

A 2. B 3. C 0. D 1.

Lời giải.

Ta có: lim

x→±∞y = limx→±∞

x2− 3x + 2

x2− 4 = 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang.
lim

x→2±y = limx→2±

x2− 3x + 2

x2− 4 = limx→2±

x − 1
x + 2 =

4 ⇒ x = 2 không là đường tiệm cận đứng.

lim

x→(−2)±y =x→(−2)lim ±

x2− 3x + 2

x2− 4 =x→(−2)lim ±

x − 1

x + 2 = ∓∞ ⇒ x = −2 là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận.

Chọn đáp án A

Câu 4. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
√

x + 1
x2− 1 là

A 3. B 1. C 2. D 0.

Lời giải.

Phương pháp:

• Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x).
Nếu lim

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

• Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x).
Nếu lim

x→a+f (x) = +∞ hoặc limx→a+f (x) = −∞ hoặc limx→a−f (x) = +∞ hoặc limx→a−f (x) = −∞ thì

x = a là TCĐ của đồ thị hàm số.

Cách giải:

TXĐ: D = (−1; +∞) \ {1}.

Ta có: lim
x→+∞

√
1 + x

1 − x2 = limx→+∞
… 1

x4 +
1
x3

1
x2 − 1

= 0. Suy ra đồ thị hàm số có TCN là y = 0.

lim
x→−1+

√
1 + x

1 − x2 = limx→−1+

(1 − x)√1 + x = +∞. Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1.

lim
x→1+

√
1 + x

1 − x2 = limx→1+

(1 − x)√1 + x = −∞; limx→1−

√
1 + x

1 − x2 = limx→1−

(1 − x)√1 + x = +∞. Suy ra đồ thị
hàm số có tiệm cận đứng x = 1.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận.

Chọn đáp án A

Câu 5. Cho hàm số y = x

2+ x − 2

x2− 3x + 2(C), đồ thị (C) có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 0. B 1. C 2. D 3.

Lời giải.

Tập xác định D = R\ {1; 2}.
Ta có y = x + 2

x − 2 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1 và tiệm cận đứng là x = 2.

Chọn đáp án C

Câu 6.

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số đã cho là

A 4. . B 1.

C 3. D 2.

f (x)

−∞ 1 +∞

2
2

+∞

5
5

Lời giải.

limx→−∞y = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang
limx→+∞y = 5 ⇒ y = 5 là tiệm cận ngang
limx→1+y = +∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận đứng

Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là 3.

Chọn đáp án C

Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau

−∞ 1 +∞

− −

2
2

−∞
+∞

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình

A x = 2. B y = 2. C x = 1. D y = 1.

Lời giải.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số không xác định tại x = 1 và lim

x→1+y = +∞; limx→1−y = −∞ nên tiệm

cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình x = 1.

Chọn đáp án C

Câu 8. Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị của hàm số y = x
2− 1
3 − 2x − 5x2.
A x = 1 và x = 3

5. B x = −1 và x =
3

5. C x = −1. D x =
3
5.

Lời giải.

Ta có tập xác định D = R \
ß

−1;3
5

™
và

lim

x→(−1)+y = −

75 và lim
x→3
5

+y = +∞.

Do đó đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 3
5.

Chọn đáp án D

Câu 9. Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận ngang?

A y =

√

x − 3

x + 1 . B y =

√
9 − x2

x . C y =

2x2+ 1

x . D y =

√

x2− 1.

Lời giải.

Xét hàm số y =
√

x − 3

x + 1 với limx→±∞y = 0.
Do đó đồ thị hàm số y =

√

x − 3

x + 1 có tiệm cận ngang y = 0.

Chọn đáp án A

Câu 10. Cho hàm số y = √x + 1

ax2 + 1 có đồ thị (C). Tìm a để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang
và đường tiệm cận đó cách đường tiếp tuyến của (C) một khoảng bằng √2 − 1.

A a > 0. B a = 2. C a = 3. D a = 1.

Lời giải.

Điều kiện cần để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là a > 0.

Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là T CN : y = √1
a.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 là ∆ : y =

1 − ax0
pax2

0+ 1

3 (x − x0) +

x0+ 1

pax2

0+ 1
.

Do d(T CN, ∆) =√2 − 1 ⇒ T CN ∥ ∆ ⇒ 1 − ax0 = 0 ⇔ x0 =
1
a.

Khi đó d(T CN, ∆) =

…
1 + 1

a −
1
√
a

=√2 − 1 ⇔ a = 1.

Chọn đáp án D

Câu 11. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị của hàm số y =
√

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

A 3 . B 1 . C 2 . D 4 .

Lời giải.

Hàm số có tập xác định là D = [0; +∞) \ {3}.

Có lim

x→3+ = +∞ và limx→3−= −∞.

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng x = 3.

Chọn đáp án B

Câu 12. Đồ thị hàm số y = 4x + 4

x2+ 2x + 1 có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 1. B 2. C 3. D 0.

Lời giải.

TXĐ D = R \ {−1}. Ta có y = 4x + 4
x2+ 2x + 1 =

4 (x + 1)
(x + 1)2 =

4
x + 1.

Do đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận ngang y = 0.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.

Chọn đáp án B

Câu 13. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x + 1
|x| − 2x + 1 là

A 4. B 3. C 2. D 1.

Lời giải.

• Ta có lim

x→+∞y = limx→+∞

x + 1

|x| − 2x + 1 = limx→+∞

x + 1

x − 2x + 1 = limx→+∞

x + 1

−x + 1 = −1.
Suy ra đường thẳng y = −1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có lim

x→−∞y = limx→−∞

x + 1

|x| − 2x + 1 = limx→−∞

x + 1

−x − 2x + 1 = limx→+∞

x + 1

−3x + 1 = −
1
3.

Suy ra đường thẳng y = −1

3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Ta có |x| − 2x + 1 = 0 ⇔ |x| = 2x − 1 ⇔




x ≥ 1

x2 = (2x − 1)2
⇔















x ≥ 1
2



x = 1

x = 1
3

⇔ x = 1.

Ta có lim

x→1+y = limx→1+

x + 1

|x| − 2x + 1 = limx→1+

x + 1

−x + 1 = −∞.

Suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

Chọn đáp án B

Câu 14. Đồ thị hàm số y =
√

x − 3

x2+ x − 6 có bao nhiêu tiệm cận?

A 2. B 1. C 3. D 0.

Lời giải.

TXĐ: D = [3; +∞).

lim

x→+∞y = limx→+∞
√

x − 3

x2+ x − 6 = limx→+∞
… 1

x3 −
3

x4
1 + 1

x −
6
x2

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

⇒ Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận.

Chọn đáp án B

Câu 15. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của hàm số nào sau đây?

A y = 2x
2+ 1

2 − x . B y =

x2+ 2x + 1

1 + x . C y =

x + 1

1 − 2x. D y =

2x − 2
x + 2 .

Lời giải.

Ta có lim
x→+∞

2x − 2

x + 2 = 2 và limx→−∞

2x − 2
x + 2 = 2.

Vậy y = 2 là tiệm cận ngang của hàm số y = 2x − 2
x + 2 .

Chọn đáp án D

Câu 16. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị y =
√

x2+ 1
x2− 4 là

A 4. B 3. C 2. D 1.

Lời giải.

Tập xác định: R = R \ {−2, 2}.

Đồ thị hàm số y =

√

x2+ 1

x2 − 4 có limx→2+

√
x2+ 1

x2− 4 = +∞, limx→−2+

√
x2+ 1

x2− 4 = −∞ nên đồ thị có hai tiệm cận
đứng là x = 2 và x = −2.

lim
x→±∞

√
x2+ 1

x2− 4 = 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0.
Do đó đồ thị có 3 tiệm cận.

Chọn đáp án B

Câu 17. Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = x − 1
x2− 4 là

A 2. B 1. C 4. D 3.

Lời giải.

Ta có

• lim

x→±∞y = limx→±∞
1
x −

1
x2

1 −x42

= 0, suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0.

• lim

x→2+y = limx→2+

x − 1

x2 − 4 = +∞, suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2.
• lim

x→−2+y = limx→−2+

x − 1

x2− 4 = +∞, suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −2.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.

Chọn đáp án D

Câu 18. Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số y = x − m

mx − 1 khơng có đường tiệm cận đứng?

A 3. B 2. C 1. D 0.

Lời giải.

• Trường hợp m = 0: hàm số đã cho trở thành y = −x, là hàm số khơng có tiệm cận đứng nên
m = 0 thỏa u cầu bài tốn.

• Trường hợp m 6= 0: hàm số đã cho có tập xác định là D = R \ß 1
m

™
.

Hàm số khơng có tiệm cận đứng khi chỉ khi x = 1

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

m − m = 0 ⇔

m = 1

m = −1
.

Vậy có 3 giá trị tham số m để hàm số đã cho khơng có tiệm cận đứng.

Chọn đáp án A

Câu 19. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) và lim

x→−∞f (x) = 2, limx→+∞f (x) = −2. Mệnh đề nào sau
đây đúng?

A (C) khơng có tiệm cận ngang.

B (C) có tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 2 và x = −2.

C (C) có đúng một tiệm cận ngang.

D (C) có tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 2 và y = −2.

Lời giải.

Vì lim

x→−∞f (x) = 2, limx→+∞f (x) = −2 nên (C) có tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 2 và y = −2.

Chọn đáp án D

Câu 20. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
√

−3x2+ 2x + 1

x là

A 3. B 1. C 0. D 2.

Lời giải.

Tập xác định của hàm số D =
ï

−1
3; 1

ị

\ {0}, do đó đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.

Lại có lim

x→0+y = +∞ và limx→0−y = −∞ nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án B

Câu 21. Đồ thị hàm số nào sau đây khơng có tiệm cận đứng?

A y = −1

x. B y =

x2+ 2x + 1. C y =

3x − 1

x2− 1. D y =
√

x − 3
x + 2 .

Lời giải.

Ta xét

a) y = −1

x có limx→0−

−1

x = +∞ và limx→0+

−1

x = −∞ nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
b) y = 1

x2+ 2x + 1 có x→−1lim−

x2+ 2x + 1 = +∞ và x→−1lim+

x2+ 2x + 1 = +∞ nên x = −1 là tiệm
cận đứng của đồ thị hàm số.

c) y = 3x − 1

x2− 1 cóx→−1lim−

3x − 1

x2 − 1 = −∞ và limx→−1+

3x − 1

x2− 1 = +∞ nên x = −1 là tiệm cận đứng của đồ
thị hàm số.

d) y =
√

x − 3

x + 2 có tập xác địnhD = [3; +∞). Ta thấy trên tập xác định thì hàm số ln liên tục và

lim
x→3+

√
x − 3

x + 2 = 0 nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.

Chọn đáp án D

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Cho hàm số y = ax − 1

bx + c có đồ thị như hình bên. Tính giá trị biểu
thức T = a + 2b + 3c.

A T = 1. B T = 2. C T = 3. D T = 4.

O 1

1
1

Lời giải.

Từ đồ thị ta có tiệm cận đứng x = − = c

b = 1, tiệm cận ngang y =
a

b = 2 và đồ thị đi qua điểm (0, 1)
tương ứng với −1

c = 1.

Từ đó ta tính được c = −1 ⇒ b = 1 và a = 2.

Vì thế y = 2x − 1

x − 1 và a + 2b + 3c = 2 + 2 − 3 = 1.

Chọn đáp án A

Câu 23. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

B Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận.

C Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và có giá trị nhỏ

nhất bằng 0.

D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và

(0; +∞).

−∞ −1 0 +∞

− − 0 +

−1
−1

−∞
+∞

0
0

1
1

Lời giải.

Vì lim

x→+∞y = 1; limx→−∞y = −1 nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y = 1, y = −1.
Do lim

x→(−1)+y = +∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1. Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm

cận.

Chọn đáp án A

Câu 24. Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sau đây?

A y = x − 1

x2+ 1. B y =
√

x2− 1. C y = x
2− 1

x − 1. D y =
1
x2− 1.
Lời giải.

Đường thẳng x = x0 được gọi là được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị của hàm số y = f (x) nếu
lim

x→x+0

y = ∞ hoặc lim
x→x−0

y = ∞.

Xét hàm số y = 1

x2− 1. Ta có limx→1+y = limx→1+

x2− 1 = +∞ ⇒ đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng
của đồ thị hàm số y = 1

x2− 1.

Chọn đáp án D

Câu 25. Tìm tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = x − 2
x + 2.

A (2; 1). B (−2; 2). C (−2; −2). D (−2; 1).

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Tiệm cận đứng: x = −2.

Tiệm cận ngang: y = 1.
Vậy giao điểm là I(−2; 1).

Chọn đáp án D

Câu 26. Cho hàm số y = x

2+ 2x + 3
√

x4− 3x2+ 2. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 4. B 5. C 3. D 6.

Lời giải.

Ta có x4− 3x2+ 2 = 0 ⇔
"

x = ±1

x = ±√2.
Ta có :

• lim
x→+∞

x2+ 2x + 3
√

x4− 3x2+ 2 = 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang.
• lim

x→−∞

x2+ 2x + 3
√

x4− 3x2+ 2 = 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang.
• lim

x→−1+

x2+ 2x + 3
√

x4− 3x2+ 2 = +∞ ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng.
• lim

x→1−

x2+ 2x + 3
√

x4 − 3x2+ 2 = +∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận đứng.
• lim

x→−(√2)−

x2+ 2x + 3
√

x4− 3x2+ 2 = +∞ ⇒ x = −

√

2 là tiệm cận đứng.

• lim
x→(√2)+

x2+ 2x + 3
√

x4− 3x2 + 2 = +∞ ⇒ x =
√

2 là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang và 4 tiệm cận đứng nên đồ thị đã cho có 5 tiệm cận.

Chọn đáp án B

Câu 27. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x − 3
2x + 1 là

A x = −1

2. B y = −

2. C x =

2. D y =

1
2.

Lời giải.

Đồ thị hàm số y = x − 3

2x + 1 nhận đường thẳng y =
1

2 làm tiệm cận ngang.

Chọn đáp án D

Câu 28. Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận?

A y = x2. B y = 0. C y = x − 1

x . D y = 2x.

Lời giải.

Các đồ thị hàm số y = x2; y = 0; y = 2x đều khơng có tiệm cận.
Đồ thị hàm số y = x − 1

x có y = 1 là TCN và x = 0 là TCĐ.

Chọn đáp án C

Câu 29. Biết rằng đồ thị hàm số y = (m − 2n − 3)x + 5

x − m − n nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm
cận. Tính tổng S = m2+ n2− 2.

A S = 2. B S = 0. C S = −1. D S = 1.

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Đồ thị hàm số y = (m − 2n − 3)x + 5

x − m − n nhận đường thẳng y = m − 2n − 3 làm tiệm cận ngang và đường

thẳng x = m + n làm tiệm cận đứng. Từ giả thiêt ta có





m − 2n − 3 = 0

m + n = 0

⇔




m = 1

n = −1

⇔ S = m2+ n2− 2 = 0.

Chọn đáp án B

Câu 30. Đồ thị hàm số y = x
2+ 1

x2− |x| − 2 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A 4. B 3. C 1. D 2.

Lời giải.

Ta có lim

x→±∞y = limx→±∞

x2+ 1

x2− |x| + 2 = 1, suy ra đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm
số.

Xét phương trình x2− |x| + 2 = 0 ⇔
"

x = 2

x = −2.

lim

x→2+y = limx→2+

x2 + 1

x2− |x| + 2 = +∞ suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
lim

x→2−y = limx→2−

x2+ 1

x2− |x| + 2 = −∞ suy ra x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

Chọn đáp án B

Câu 31. Đồ thị hàm số y = x + 2

x2− 4x + 3 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A 0. B 2. C 1. D 3.

Lời giải.

Phuơng pháp

Đường thẳng x = a được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số y = g(x)

h(x) ⇔ limx→af (x) = ∞ hoặc x = a là
nghiệm của h(x) = 0 mà không là nghiệm của g(x) = 0.

Cách giải:

Ta có: y = x + 2
x2− 4x + 3 =

x + 2

(x − 1)(x − 3) ⇒ x = 1; x = 3 là 2 đường TCĐ của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án B

Câu 32. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2018

x − 1 là đường thẳng có phương trình?
A y = 2018. B x = 0. C y = 0. D x = 1.

Lời giải.

Phương pháp

+) Đường thẳng y = b được gọi là TCN của đồ thị hàm số y = f (x) ⇔ lim

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Ta có: lim
x→∞

2018

x − 1 = 0 ⇒ y = 0 là TCN của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án C

Câu 33. Đồ thị của hàm số y = x + 2

3 − x có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 4. B 2. C 3. D 1.

Lời giải.

Đồ thị hàm số có hai đường tiệm là đường tiệm cận đứng x = 3 và đường tiệm cận ngang y = −1.

Chọn đáp án B

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 4x − 5

x − m có tiệm cận đứng nằm
bên phải trục tung.

A m < 0. B m > 0 và m 6= 5

4. C m > 0. D m < 0 và m 6= −
5
4.

Lời giải.

a) Đồ thị hàm số có tiệm cận khi −4m + 5 6= 0 ⇔ m 6= 5
4.
b) Khi đó, đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = m.

c) Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng bên phải trục tung thì m > 0.

Chọn đáp án B

Câu 35. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x +
√

x2+ 1
x + 1 là

A 1. B 3. C 2. D 0.

Lời giải.

a) Tiệm cận ngang

• Ta có lim
x→+∞

x +√x2+ 1

x + 1 = 2 nên y = 2 là tiệm cận ngang.

• Ta có lim
x→−∞

x +√x2+ 1

x + 1 = 0 nên y = 0 là tiệm cận ngang.
b) Tiệm cận đứng

• Ta có lim
x→−1+

x +√x2+ 1

x + 1 = +∞ nên x = −1 là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 tiệm cận.

Chọn đáp án B

Câu 36. Cho hàm số y =
√

x2+ x + 1 −√x2− x

x − 1 . Tất cả các đường thẳng là đường tiệm cận của đồ
thị hàm số trên là

A x = 1; y = 0; y = 2; y = 1. B x = 1; y = 2; y = 1.

C x = 1; y = 0; y = 1. D x = 1; y = 0.

Lời giải.

Ta có tập xác định của hàm số D = (−∞, 0] ∪ (1 + ∞).

Ta có lim
x→1+

√

x2+ x + 1 −√x2− x

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Ta có lim
x→±∞

√

x2+ x + 1 −√x2− x

x − 1 = limx→±∞

2x + 1

(x − 1)Ä√x2+ x + 1 −√x2− xä = 0 nên đường thẳng
y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án D

Câu 37. Đồ thị của hàm số y = √5x − 8

x2− 3x có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 2. B 4. C 1. D 3.

Lời giải.

Hàm số xác định trên D = (−∞; 0) ∪ (3; +∞).

Ta có :

• lim

x→+∞f (x) = limx→+∞

5x − 8
√

x2− 3x = limx→+∞

5 − 8
x
…

1 − 3
x

= 5 ⇒ y = 5 là một đường tiệm cận ngang.

• lim

x→−∞f (x) = limx→−∞

5x − 8

√

x2− 3x = limx→+∞

5 − 8
x

−
…

1 − 3
x

= −5 ⇒ y = −5 là một đường tiệm cận ngang.

• lim

x→0−f (x) = limx→0−

5x − 8
√

x2− 3x = −∞ ⇒ x = 0 là một đường tiệm cận đứng.
• lim

x→3+f (x) = limx→3+

5x − 8
√

x2− 3x = +∞ ⇒ x = 3 là một đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 4 đường tiệm cận.

Chọn đáp án B

Câu 38. Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
√

x + 9 − 3
x2+ x .

A 3. B 1. C 0. D 2.

Lời giải.

Tập xác định: D = [−9; +∞) \ {0; −1}.

Ta có

• lim
x→0+

√

x + 9 − 3

x2+ x = limx→0+

x(x + 1)(√x + 9 + 3) = limx→0+

(x + 1)(√x + 9 + 3) =
1
6.

• lim
x→−1−

√

x + 9 − 3

x2+ x = −∞.

Vậy đồ thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận đứng.

Chọn đáp án B

Câu 39. Đồ thị hàm số y = √x − 1

25 − x2 có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 1. B 2. C 3. D 4.

Lời giải.

Tập xác định: D = (−5; 5)

Hàm số đã cho liên tục trong [−5; 5] và lim
x→5+

x − 1
√

25 − x2 = −∞ , limx→5−

x − 1
√

25 − x2 = +∞.

Nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là x = 5, x = −5 và đồ thị hàm số không có tiệm cận

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Chọn đáp án B

Câu 40. Đồ thị hàm số y = x
3− 4x

x3− 3x − 2 có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 4. B 1. C 3. D 2.

Lời giải.

• Tập xác định D = R.

• Ta có lim

x→+∞y = limx→+∞

x3− 4x
x3− 3x − 2 = 1

⇒ Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

• Ta có lim

x→2+y = limx→2+

x3− 4x

x3− 3x − 2 = limx→2+

x(x − 2)(x + 2)

(x + 1)2(x − 2) = limx→2+

x(x + 2)
(x + 1)2 =

8
9.

lim

x→2−y = limx→2−

x3 − 4x

x3− 3x − 2 = limx→2−

x(x − 2)(x + 2)

(x + 1)2(x − 2) = limx→2−

x(x + 2)
(x + 1)2 =

8
9.

lim

x→(−1)+y =x→(−1)lim +

x3 − 4x

x3− 3x − 2 =x→(−1)lim +

x(x − 2)(x + 2)

(x + 1)2(x − 2) =x→(−1)lim +

x(x + 2)

(x + 1)2 = −∞.
⇒ Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Chọn đáp án D

Câu 41. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau

−2 0 +∞

+ −

−∞

+∞ 1

0
0

Đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A 0. B 1. C 3. D 2.

Lời giải.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
• lim

x→−2+y = −∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −2.

• lim

x→0−y = +∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 0.

• lim

x→+∞y = 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0.

Chọn đáp án C

Câu 42. Cho hàm số f (x) xác định, liên tục trên R\{−1} và có bảng biến thiên như sau:

x
f0(x)

f (x)

−∞ −1 1 +∞

+ − 0 +

−∞
−∞

2 +∞

0
0

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

A Hàm số khơng có đạo hàm tại x = −1. B Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1.

C Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng. D Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.

Lời giải.

Hàm số khơng có đạo hàm tại x = −1 nên phương án “Hàm số khơng có đạo hàm tại x = −1” đúng.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1 nên phương án “Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1” đúng.

Vì lim

x→(−1)+y = +∞ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1 nên phương án “Đồ thị hàm số

khơng có tiệm cận đứng” sai.

Vì lim

x→+∞y = +∞ và limx→−∞y = −∞ suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang nên phương án “Đồ
thị hàm số khơng có tiệm cận ngang” đúng.

Chọn đáp án C

Câu 43. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau.

−∞ 1 +∞

+ +

2
2

+∞

5
5

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A 4. B 1. C 3. D 2.

Lời giải.

Từ bảng biến thiên ta có
• lim

x→−∞y = 2 suy ra y = 2 là tiệm cận ngang.
• lim

x→+∞y = 5 suy ra y = 5 là tiệm cận ngang.
• lim

x→1−y = +∞ suy ra x = 1 là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số tổng cộng có 3 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.

Chọn đáp án C

Câu 44. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới.

f0(x)

f (x)

−∞ −1 +∞

+ +

−2
−2

+∞

−∞

−2

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = −2, khơng có tiệm cận đứng.

B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1, tiệm cận ngang y = −2.

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1, khơng có tiệm cận ngang.

Lời giải.

Chọn đáp án B

Câu 45. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 1
x2− x.

A không. B ba. C một. D hai.

Lời giải.

Một tiệm cận ngang y = 0 và hai tiệm cận đứng x = 0 và x = 1.

Chọn đáp án B

Câu 46. Cho hàm số y = √x + 1

x2+ 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị (C) là x = 1.

B Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị (C) là x = ±1.
C Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị (C) là y = ±1.

D Phương trình đường tiệm cận của đồ thị (C) là x = ±1, y = 1.

Câu 47. Đồ thị hàm số y = x − 3

x − 2 có số đường tiệm cận là:

A 2. B 1. C 3. D 4.

Câu 48. Phương trình tất cả các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = √x + 2017
x2− 2017 là

A y =√2017. B y = 1. C y = −√2017. D y = 1, y = −1.

Lời giải.

lim

x→±∞y = limx→±∞

x + 2017
√

x2− 2017 = ±1.

Chọn đáp án D

Câu 49. Cho hàm số y = ax + 1

bx − 2. Tìm a, b để đồ thị hàm số có x = 1 là tiệm cận đứng và y =
1
2 là
tiệm cận ngang.

A a = −1; b = −2. B a = 1; b = 2. C a = −1; b = 2. D a = 4; b = 4.

Lời giải.

Vì x = 1 là tiệm cận đứng nên suy ra b = 2. Kết hợp y = 1

2 là tiệm cận ngang nên suy ra a = 1.

Chọn đáp án B

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

−2 −1 1 2 3

−2
−1
1
2

x
y

A 3. B 2. C 1. D 4.

Câu 51. Đồ thị hàm số y =
√

x + 4

x2− 16 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A 3. B 1. C 2. D 4.

Câu 52. Đồ thị hàm số nào dưới đây có đường tiện cận đứng?

A y = 1 − 3x

x + 2 . B y =

x2− 3x + 2

x − 1 . C y =
1
3x

3+ x2− 2. D y = x4− 4x − 1.

Câu 53. Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1 − 2x
x + 3 là

A y = −3. B y = −2. C y = 1. D y = −2

Câu 54. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3+ 3x2− 12x + 1 trên [−1; 5].
A max

[−1;5]y = 266, min[−1;5]y = −16. B max[−1;5]y = 14, min[−1;5]y = −6.
C max

[−1;5]y = 276, min[−1;5]y = 21. D max[−1;5]y = 266, min[−1;5]y = −6.

Câu 55.

Cho hàm số y = ax4+ bx2+ c có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định
nào sau đây đúng?

A a > 0, b > 0, c > 0. B a > 0, b < 0, c > 0. C a < 0, b > 0, c > 0. D a > 0, b < 0, c < 0.

Câu 56. Cho hàm số y = 3x + 1

2x − 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị có tiệm cận ngang là y = 3

2. B Đồ thị có tiệm cận đứng là x =
3
2.

C Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 1. D Đồ thị có tiệm cận ngang là x = 1
2.

Câu 57. Đồ thị hàm số y = x
2− 1

x2− 4x − 5 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A 2. B 3. C 4. D 1.

Câu 58. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x
3− 4
x3+ 1.

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Câu 59. Cho đồ thị hàm số (C) : y = 2x − 4

x − 3 . Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
A (C) chỉ có một tiệm cận đứng. B (C) chỉ có một tiệm cận ngang.

C (C) chỉ có một tâm đối xứng. D (C) chỉ có một trục đối xứng.

Câu 60. Đồ thị hàm số y = x − 2

x2− 4 có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A 0. B 2. C 1. D 3.

Câu 61. Hàm số y = 2 − x

x − 1 có tiệm cận ngang là

A y = 2. B x = −2. C y = −1. D x = −1.

Câu 62. Đồ thị hàm số y = 2x − 3

1 + x có đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt có phương
trình là

A x = −1, y = −1. B x = −1, y = 2. C x = −3, y = −1. D x = 2, y = 1.

Lời giải.

Ta có y = 2x − 3

x + 1 có tập xác định D = R \ {−1}. Tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận ngang y = 2.

Chọn đáp án B

Câu 63. Cho hàm số y = √x + 1

x2+ 4, khẳng định nào sau đây đúng?
A Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = ±2.

B Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = ±2 và một tiệm cận ngang y = 1.

C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là x = ±1.

D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = ±1.

Lời giải.

Tập xác định D = R. Ta có lim

x→+∞y = 1, limx→−∞y = −1. Vậy hàm số có tiêm cận ngang là y = ±1 và
khơng có tiệm cận đứng.

Chọn đáp án D

Câu 64. Đồ thị của hàm số nào dưới đây nhận đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng?

A y = x

2− 3x + 2

x2− 1 . B y =
x

x2+ 1. C y =

2x + 1

x − 1 . D y =

x − 1
x + 1.

Câu 65. Đồ thị của hàm số y = ax + b

x − d nhận đường thẳng x = −1 là đường tiệm cận đứng, nhận
đường y = −2 là đường tiệm cận ngang. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A b2− a = 0. B b2− d = 0. C a + 2d = 0. D a = 2d.

Câu 66. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x + 3
x − 3.

A 3. B 0. C 2. D 1 .

Lời giải.

Ta có, tiệm cận ngang: y = 1; tiệm cận đứng x = 3.

Chọn đáp án C

Câu 67. Cho hàm số y = x − 2

3 − x. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

B Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng x = 3 và một tiệm cận ngang y = −1.

C Đồ thị của hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng x = −1.

D Đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận ngang là y = 3 .

Lời giải.

Tiệm cận đứng x = 3; tiệm cận ngang y = −1.

Chọn đáp án B

Câu 68. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x + 1
x2+ 6x − 7.

A 4. B 2. C 1. D 3.

Câu 69. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 3x + 1
x − 4 .

A 3. B 2. C 1. D 4.

Câu 70. Tìm tất cả phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
√

x2+ x + 1
2x + 3 .

A y = 1

2. B y = ±

2. C y = −

2, y = 1. D y = 2.

Câu 71. Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x

2 − 3x − 4
x2 − 16 .

A 0. B 3. C 1. D 2.

Câu 72. Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị của hàm số y = 2x − 1
2x + 3 là:

A
Å

1;−2
3

. B

Å−3

2 ; 1
ã

. C

Å
1;−3

2
ã

. D

Å−2

3 ; 1
ã

Lời giải.

Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là: x = −3

2 ; y = 1.
⇒ Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là:

Å−3

2 ; 1
ã

Chọn đáp án B

Câu 73. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x − 2
x2− 3x − 4 là:

A 1. B 3. C 2. D 4.

Lời giải.

Đồ thị hàm số đã cho có các đường tiệm cận là: x = −1; x = 4; y = 0.

Chọn đáp án B

Câu 74. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Phát biểu nào dưới đây sai?

A Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là

điểm cực đại.

B Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

C Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y =
2017 tại hai điểm phân biệt.

D Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và

nghịch biến trên (0; +∞).

−∞ −1 0 1 +∞

+ + 0 − −

1
1

+∞

−∞
0
0

−∞
+∞

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Câu 75. Cho hàm số y = 2x − 1

2 − x có đồ thị là (C). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng y = −2 và tiệm cận ngang là đường thẳng x = 2.

B Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.

C Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = −2.

D Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.

Câu 76. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x

2− 5x + 4

x2− 1 là mấy?

A 3. B 2. C 1. D 0.

Lời giải.

Tiệm cận đứng: x = −1.

Tiệm cận ngang: y = 1.

Chọn đáp án B

Câu 77. Đồ thị hàm số y = 4x − 3

3x − 4 có các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt là các đường
nào sau đây?

A x = 4

3; y = −
4

3. B x = −
4

3; y = −
4

3. C x =
4
3; y =

3. D x = −
4
3; y =

4
3.

Câu 78. Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?

A y = √ 1

x4+ 1. B y =

x2− 2x + 2. C y =
1

x2+ 1. D y =
3
√

x − 2.

Lời giải.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = √ 3

x − 2 là x = 2.

Chọn đáp án D

Câu 79. Đồ thị hàm số y = x − 2

x2− 3x + 2 có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 2. B 1. C 4. D 3.

Lời giải.

Ta có lim

x→∞y = limx→∞

x − 2

x2− 3x + 2 = 0 ⇒ đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y = 0.
Do lim

x→1y = limx→1

x − 2

x2− 3x + 2 = ∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1.
lim

x→2y = limx→2

x − 1 = 1 nên x = 2 không là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Chọn đáp án A

Câu 80. Cho hàm số y = 3x − 6

x + 1 . Phương trình các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số lần lượt là

A x = −1; y = 3. B x = 1; y = 2. C x = 1; y = 3. D x = −1; y = 2.

Câu 81. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
√

x2+ x + 1
x là

A 3. B 2. C 1. D 0.

Câu 82. Cho hàm số y = mx + n

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

A m + n = 1. B m + n = 3. C m + n = −3. D m + n = −1.

Lời giải.

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = m. Vì đường tiệm cận ngang đi qua A(−1; 2) và đồ thị

hàm số đi qua I(2; 1) nên ta có hệ phương trình:






m = 2
2m + n

2 − 1 = 1
⇔

(
m = 2

n = −3

. Vậy m + n = −1.

Chọn đáp án D

Câu 83. Đồ thị hàm số y = 2x − 1

x + 2 có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 3. B 1. C 2. D 0.

Câu 84. Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = √x + 3
x2+ 1.

A y = ±1. B y = −1. C y = 1. D x = 1.

Câu 85.

Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như trong hình
bên. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.

B Hàm số có một điểm cực trị.

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞).

D max

(−2;+∞)y = 3.

−∞ −2 2 +∞

+ + 0 −

−∞
−∞

+∞

−∞
3
3

0
0

Lời giải.

Hàm số chỉ có 2 đường tiệm cận là x = −2; y = 0.

Chọn đáp án A

Câu 86. Với giá trị nào của m thì đồ thị (C) : y = mx − 1

2x + m có tiệm cận đứng đi qua điểm M (−1;
√

2)?

A m =
√

2 . B m = 0. C m =

2. D m = 2.

Lời giải.

Tập xác định D = R\n−m
2

. Từ đó ta có đường tiệm cận đứng có phương trình x = −m
2.
Do đường tiệm cận đứng đi qua điểm M (−1;√2) nên ta có −1 = −m

2 ⇔ m = 2.

Chọn đáp án D

Câu 87. Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 3 − 1
2x − 1.

A y = 3. B √3 − 4. C 4 +√3. D 4.

Câu 88. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn lim

x→−∞[2f (x) − 1] = 0 và limx→2−f (x) = −∞. Chọn khẳng định

đúng trong các khẳng định sau:

A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = −2.

B Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = 2.

C Tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và đường tiệm cân ngang của đồ thị hàm số là
Å

2;1
2

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

D Đồ thị hàm số chỉ có đường tiệm cận đứng mà khơng có đường tiệm cận ngang.

Câu 89. Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x + 2
1 − x.

A y = 1. B y = −1. C y = 2. D y = −2.

Lời giải.

Ta có y = x + 2
−x + 1

Chọn đáp án B

Câu 90. Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x + 4
x2 − 16.

A 0. B 1. C 2. D 3.

Lời giải.

Ta có: y = 1

x − 4 ⇒ TCĐ: x = 4.

Chọn đáp án B

Câu 91. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 2x + 1

x + 1 có phương trình là

A x = 1. B x = 2. C y = 2. D x = −1.

Câu 92. Tìm tọa độ điểm M là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x + 2
x − 7.
A M (2; 7). B M (7; 1). C M (1; 7). D M (−2; −7).

Câu 93. Số tiệm cận của đồ thị hàm số y =
√

4x2 + x + 1
x − 2 là:

A 3. B 0. C 2. D 1.

Câu 94. Đồ thị hàm số nào dưới đây có hai đường tiệm cận?

A y = 1

x − 1. B y =

x2− 1

x + 1 . C y =
1
4x

2. D y = 1

x2− 1.

Câu 95. Cho hàm số y = x

x2− 3x + 2. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. B Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

C Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận. D Đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

Câu 96.

Cho đồ thị hàm số y = f (x) như hình vẽ bên. Xét các mệnh

đề sau:
(I) : lim

x→+∞f (x) = 2
(II) : lim

x→−∞f (x) = −∞

(III) : lim

x→−1−f (x) = 2

(IV ) : lim

x→−1+f (x) = +∞

Có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A 4. B 3. C 1. D 2.

x
O

−1
2

Câu 97. Tìm phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x + 1
1 − x?

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Câu 98. Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 2x + 1
x + 1 ?

A x = 1. B y = −1. C y = 2. D x = −1.

Câu 99. Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = 1?

A y = x + 1

x − 1. B y =

x + 1
x + 2.

C y = x3− 3x2+ 2x − 3. D y = x4+ 3x2− 1.

Lời giải.

Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = 1 nên y = x + 1
x − 1.

Chọn đáp án A

Câu 100. Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y = 2mx − 3

x + m có tiệm cận ngang là đường
thẳng y = 2?

A m = 2. B m = −2.

C m = 1. D Khơng có giá trị nào của m.

Lời giải.

Đồ thị có đường tiệm cận ngang y = 2m. Suy ra 2m = 2, hay m = 1.

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

ĐÁP ÁN

1. C 2. C 3. A 4. A 5. C 6. C 7. C 8. D 9. A 10. D

11. B 12. B 13. B 14. B 15. D 16. B 17. D 18. A 19. D 20. B

21. D 22. A 23. A 24. D 25. D 26. B 27. D 28. C 29. B 30. B

31. B 32. C 33. B 34. B 35. B 36. D 37. B 38. B 39. B 40. D

41. C 42. C 43. C 44. B 45. B 46. C 47. A 48. D 49. B 50. B

51. A 52. A 53. B 54. D 55. B 56. A 57. A 58. D 59. D 60. C

61. C 62. B 63. D 64. C 65. D 66. C 67. B 68. D 69. B 70. B

71. C 72. B 73. B 74. D 75. C 76. B 77. C 78. D 79. A 80. A

81. A 82. D 83. C 84. A 85. A 86. D 87. A 88. C 89. B 90. B

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

3 MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP

Câu 1. Biết rằng đồ thị hàm số y = (n − 3)x + n − 2017

x + m + 3 (m, n là tham số) nhận trục hoành làm tiệm
cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Tính tổng m − 2n.

A 0. B −3. C −9. D 6.

Lời giải.

Ta có lim
x→+∞=

(n − 3)x − n − 2017

x + m + 3 = n − 3, limx→−∞=

(n − 3)x − n − 2017

x + m + 3 = n − 3.
Do đó để đồ thị hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang thì n − 3 = 0 ⇔ n = 3.

Khi đó hàm số đã cho trở thành y = −2014

x + m + 3, ta có limx→0

−2014

x + m + 3 khơng xác định khi
m + 3 = 0 ⇔ m = −3.

Suy ra m − 2n = −9.

Chọn đáp án C

Câu 2. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
√

x − 1(√x + 1 − 2)
x2− 4x + 3 .

A 3. B 1. C 4. D 2.

Lời giải.

TXĐ: D = (1; +∞) \ {3}

Dễ thấy: lim

x→+∞y = limx→+∞
√

x − 1(√x + 1 − 2)

x2− 4x + 3 = limx→+∞

1
√

x − 1 √x + 1 + 2 = 0 Nên hs có 1 tiệm cận
ngang

Lại có

lim

x→1+y = limx→1+

√

x − 1(√x + 1 − 2)

x2− 4x + 3 = limx→1+

1
√

x − 1 √x + 1 + 2 = +∞

lim

x→3±y = limx→3±

√

x − 1(√x + 1 − 2)

x2− 4x + 3 = limx→3±

1
√

x − 1 √x + 1 + 2 =
1
4√2
Nên đt hàm số có 1 tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hs có 2 tiệm cận.

Chọn đáp án D

Câu 3. Đồ thị hàm số y = 5x + 1 −

√

x + 1

x2+ 2x có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A 3. B 0. C 2. D 1.

Lời giải.

Tập xác định: D = [−1; +∞) \ {0}.

lim

x→+∞y = limx→+∞

5x + 1 −√x + 1

x2+ 2x = limx→+∞
5
x+

1
x2 −

… 1
x3 +

1
x4

1 + 2

= 0

⇒ y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

lim

x→0y = limx→0

5x + 1 −√x + 1

x2+ 2x = limx→0

(5x + 1)2− x − 1

(x2 + 2x) 5x + 1 +√x + 1 = lim
x→0

25x2+ 9x

(x2+ 2x) 5x + 1 +√x + 1 =
lim

x→0

25x + 9

(x − 2) 5x + 1 +√x + 1 =
−9

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Chọn đáp án D

Câu 4. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x

2 − x + 1
x2− x − 2 là

A 4. B 1. C 3. D 2.

Lời giải.

Ta có lim

x→±∞y = limx→±∞

x2− x + 1

x2− x − 2 = limx→±∞
1 − 1

x +
1
x2
1 − 1

x −
2
x2

= 1.

Do đó hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.

lim
x→2+

x2− x + 1

x2− x − 2 = +∞ và limx→1+

x2− x + 1

x2− x − 2 = −∞.
lim

x→2−

x2− x + 1

x2− x − 2 = −∞ và limx→1−

x2− x + 1

x2− x − 2 = +∞.
Do đó hàm số có hai tiệm cận ngang là x = 1 và x = 2.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.

Chọn đáp án C

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2

x2− mx + 1 có đúng 3 đường
tiệm cận.

A −2 < m < 2. B










m > 2





m < −2

m 6= −5

. C

"
m > 2

m < −2

. D








m > 2

m 6= −5
2
m < −2

Lời giải.

Điều kiện: x2− mx + 1 6= 0.
lim

x→±∞y = limx→±∞

x − 2

x2− mx + 1 = 0 ⇒ đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số y = x − 2

x2− mx + 1 có đúng 3 đường tiệm cận.
⇔ Đồ thị hàm số y = x − 2

x2− mx + 1 có hai đường tiệm cận đứng

⇔ phương trình x2− mx + 1 = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt khác 2.

⇔
(

∆ = m2− 4 > 0
22− 2m + 1 6= 0 ⇔











"
m > 2

m < −2

m 6= 5
2
⇔








m > 2

m 6= 5
2
m < −2.

Chọn đáp án D

Câu 6. Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y = x−√mx2− 3x + 7 có tiệm cận ngang.

A m = 1. B m = −1. C m ± 1. D Khơng có m.

Lời giải.

Cách 1: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

⇒ Hàm số xác định trên một trong các miền (−∞, a), (−∞; a], (a, +∞) hoặc [a; +∞) ⇒ m ≥ 0
TH1: m = 0 ⇒ y = x −√−3x + 7 đồ thị hàm số không tiệm cận ngang.

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Khi x → +∞, y = x − x
…

m − 3
x +

7
x
2

, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi m = 1.

Khi x → −∞, y = x + x
…

m − 3
x +

7
x
2

→ −∞, đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.
KL: m = 1.

Cách 2: Với m < 0, ta có hàm số y = x −√mx2− 3x + 7 không tồn tại giới hạn tại dương vơ cùng.
• Với m ∈ (0; 1), ta có lim

x→+∞(x −
√

mx2− 3x + 7) = +∞ và lim
x→−∞(x −

√

mx2− 3x + 7) = −∞.
• Với m > 1, ta có lim

x→+∞(x −
√

mx2− 3x + 7) = −∞ và lim
x→−∞(x −

√

mx2− 3x + 7) = −∞.
• Với m = 1, ta có

lim
x→+∞(x −

√

mx2− 3x + 7) = lim
x→+∞

3x − 7

x +√x2− 3x + 7 = limx→+∞

3 − 7
x

1 +
…

1 − 3
x +

7
x

2 =
3
2,

đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 3
2.

Chọn đáp án A

Câu 7. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2 − x
1 + |x| là

A 2. B 0. C 3. D 1.

Lời giải.

TXĐ D = R.

Ta có lim

x→+∞y = limx→+∞

2 − x

1 + |x| = limx→+∞
2 − x

1 + x = −1; limx→−∞y = limx→−∞

2 − x

1 + |x| = limx→−∞
2 − x
1 − x = 1.

Đồ thị hàm số y = 2 − x

1 + |x| có 2 đường TCN y = 1, y = −1.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận.

Chọn đáp án A

Câu 8. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
√

x + 9 − 3
x2+ x là

A 1. B 2. C 3. D 0.

Lời giải.

Hàm số y =
√

x + 9 − 3

x2+ x có tập xác định làD = R \ {−1; 0}.
Ta có

• lim

x→−1+y = limx→−1+

√

x + 9 − 3

x2+ x = +∞ (do x→−1lim+(

√

x + 9 − 3) = −3 + 2√2 < 0, lim
x→−1+(x

2+ x) = 0
và x2+ x < 0 khi x → −1+).

Suy ra x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• lim

x→0±y = limx→0±

√

x + 9 − 3

x2+ x = limx→0±

(x + 1)(√x + 9 + 3) =
1
6.
Suy ra x = 0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận đứng là x = −1.

Chọn đáp án A

Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên m ∈ (−3; 3) sao cho đồ thị hàm số y = √x + 1

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

A 2. B 0. C 1. D 3.

Lời giải.

• Trường hợp m = 0: hàm số trở thành y = x + 1, đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang nên
m = 0 khơng thỏa u cầu bài tốn.

• Trường hợp m < 0: tập xác định của hàm số là D =
Ç

−
…

−1
m;

…
−1

m
å

nên đồ thị hàm số

khơng có tiệm cận ngang.

• Trường hợp m > 0: tập xác định của hàm số là D = R và lim

x→−∞y = −1, limx→+∞y = 1. Suy ra đồ
thị hàm số có hai tiệm cận ngang.

Vì m ∈ Z ∩ (−3; 3) nên m = 1; 2.

Chọn đáp án A

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x + 1

x3− 3x2− m có đúng
một tiệm cận đứng.

A
"

m ≥ 0

m ≤ −4. B
"

m > 0

m ≤ −4. C

"
m > 0

m < −4. D m ∈ R.

Lời giải.

Xét phương trình x3− 3x2− m = 0 ⇔ x3− 3x2 = m. (*)
Xét hàm số f (x) = x3 − 3x2, có f0(x) = 3x2− 6x. Do đó f0(x) = 0 ⇒ x = 0, x = 2. Ta có bảng biến
thiên

x
f0(x)

f (x)

−∞ 0 2 +∞

+ 0 − 0 +

−∞
−∞

0
0

−4
−4

+∞
+∞
−1

−4

Đồ thị hàm số y = x + 1

x3− 3x2− m có đúng một tiệm cận đứng khi thỏa mãn một trong các trường hợp
sau

TH1. Phương trình (*) có nghiệm duy nhất x 6= −1 ⇔
"

m < −4

m > 0.

TH2. Phương trình (*) có hai nghiệm, trong đó một nghiệm x = −1 và một nghiệm x 6= −1
⇔ m = −4.

Kết luận với
"

m ≤ −4

m > 0 thì đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng.

Chọn đáp án B

Câu 11. Đồ thị hàm số nào sau đây khơng có tiệm cận ngang?

A y = 3

x2− 1. B y =
√

x4+ 3x2+ 7

2x − 1 . C y =

2x − 3

x + 1 . D y =
3

x − 2+ 1.

Lời giải.

Ta có lim
x→±∞

x2− 1 = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cân ngang của hàm số y =
3
x2− 1.
lim

x→±∞
√

x4+ 3x2+ 7

2x − 1 = ±∞ ⇒ hàm số y =
3

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

lim
x→±∞

2x − 3

x + 1 = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cân ngang của hàm số y =

2x − 3
x + 1 .

lim
x→±∞

Å 3

x − 2 + 1
ã

= 1 ⇒ y = 1 là tiệm cân ngang của hàm số y = 3

x − 2+ 1.

Chọn đáp án B

Câu 12. Cho hàm bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số y = (x

2+ 4x + 3)√x2+ x
x [f2(x) − 2f (x)]
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

O x

−1
−3

A 2. B 3. C 4. D 6.

Lời giải.

O x

−1
−3

c b a

y = 2

Ta thấy phương trình bậc ba f (x) = 2 có 3 nghiệm phân biệt là x1 = c < −3, x2 = b , với −3 < b < −1
và x3 = −1.

Phương trình bậc ba f (x) = 0 có nghiệm kép x = −3 và nghiệm đơn x = a với −1 < a < 0.

Do lim

x→+∞f (x) = −∞ và limx→−∞f (x) = +∞ nên không mất tính tổng quát, ta giả sử
f (x) = 0 ⇔ −(x + 3)2(x − a) = 0 và f (x) = 2 ⇔ −(x − c)(x − b)(x + 1) = 0.

Ta có: y = (x

2+ 4x + 3)√x2 + x
x [f2(x) − 2f (x)] =

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Khi đó: lim

x→0+y = limx→0−

(x + 1)(x + 3)√x + 1
√

xf (x)[f (x) − 2] = +∞.

lim

x→−3+y = limx→−3+

(x + 1)px(x + 1)

−x(x + 3)(x − a)[f (x) − 2] = −∞.

lim

x→c+y = limx→c+

(x + 1)(x + 3)px(x + 1)

−xf (x)(x − c)(x − b)(x + 1) = +∞.

lim

x→b+y = limx→b+

(x + 1)(x + 3)px(x + 1)

−xf (x)(x − c)(x − b)(x + 1) = +∞.

lim

x→−1−y = limx→−1−

(x + 3)√x(x + 1)

−xf (x)(x − c)(x − b) = 0.
lim

x→−1+y không tồn tại.

Vậy đồ thị hàm số y = (x

2+ 4x + 3)√x2+ x

x [f2(x) − 2f (x)] có 4 đường tiệm cận đứng là x = 0, x = −3, x = c và
x = b.

Chọn đáp án C

Câu 13. Cho hàm số y = x − 1

mx2− 2x + 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số có đúng hai
đường tiệm cận?

A 0. B 1. C 2. D 3.

Lời giải.

f (x) = mx2 − 2x + 3 nên đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cận ngang.
Do đó đồ thị hàm số cần có đúng 1 tiệm cận đứng.

Với m = 0 đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3

2 ⇒ m = 0 thỏa mãn bài toán.
Với m 6= 0 đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình mx2 − 2x + 3 = 0 có
nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm x = 1 hay:







∆f = 0

(

∆f > 0
f (1) = 0

⇔






1 − 3m = 0

(

1 − 3m > 0

m + 1 = 0
⇔




m = 1

3
m = −1

Vậy m ∈

0;1
3; −1

™
.

Chọn đáp án D

Câu 14. Tìm giá trị nguyên thuộc đoạn [−2019; 2019] của tham số m để đồ thị hàm số y =
√

x − 3
x2+ x − m
có đúng hai đường tiệm cận.

A 2008. B 2010. C 2009. D 2007.

Lời giải.

Ta có lim
x→+∞

√
x − 3

x2+ x − m = 0 suy ra đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang với mọi m.
Để đồ thị hàm số y =

√
x − 3

x2+ x − m có đúng hai đường tiệm cận thì phương trình x

2 + x − m = 0 có
nghiệm kép x ≥ 3 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó x1 ≥ 3 và x2 < 3.

• ∆ = 1 + 4m = 0 ⇔ m = −1

4 (loại).
• ∆ = 1 + 4m > 0 ⇔ m > −1

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Khi đó phương trình x2 + x − m = 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó x1 ≥ 3 và x2 < 3 khi




(
x1 = 3

− 1 < 3

(x1− 3) (x2− 3) < 0
⇔

m = 12

m > 12 ⇔ m ≥ 12.

Vậy số giá trị m thỏa mãn là 2008.

Chọn đáp án A

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x

2+ x − 2

x2− 2x + m có ba đường
tiệm cận.

A m < 1. B m 6= 1 và m 6= −8. C m ≤ 1 và m 6= −8. D m < 1 và m 6= −8.

Lời giải.

a) Ta có lim

x→+∞y = limx→−∞y = 1 nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 1.

b) Để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng, tức

là phương trình x2− 2x + m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 và −2. Từ đó, ta có









∆0 = 1 − m > 0
1 − 2 + m 6= 0

4 + 4 + m 6= 0
⇔








m < 1

m 6= 1

m 6= −8
⇔

(
m < 1

m 6= −8.

Chọn đáp án D

Câu 16. Đồ thị hàm số y = 2x −

√

x2+ x + 1

x3+ x có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 2. B 1. C 4. D 3.

Lời giải.

Tập xác định của hàm số là R\ {0}.

lim

x→−∞y = limx→−∞
x3

Ç
2
x2 +

1
x2

…
1 + 1

x +
1
x2

å
x3
Å

1 + 1
x2

ã = lim

x→−∞
2
x2 +

1
x2

…
1 + 1

x+
1
x2
1 + 1

= 0.

lim

x→+∞y = limx→+∞
x3

Ç
2
x2 −

1
x2

…
1 + 1

x+
1
x2
å
x3
Å

1 + 1
x2

ã = lim

x→+∞
2
x2 −

…
1 + 1

x +
1
x2
1 + 1

= 0.

Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta lại có lim

x→0−y = limx→0−

2x −√x2+ x + 1

x3+ x = +∞.
lim

x→0+y = limx→0+

2x −√x2+ x + 1

x3+ x = −∞.

Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

Chọn đáp án A

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

x
y0

−∞ −2 1 2 +∞

− 0 + + 0 −

+∞
+∞

2
2

+∞

−∞
3
3

−∞
−∞

Đồ thị hàm số y = 1

2f (x) − 5 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A 0. B 2. C 1. D 4.

Lời giải.

Ta có 2f (x) − 5 = 0 ⇔ f (x) = 5

2. (1)

Dựa vào BBT ta suy ra phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x1; x2; x3; x4 trong đó
x1 < −2 < x2 < 1 < x3 < 2 < x4.

Mặt khác hàm số y = 1

2f (x) − 5 = g(x) có tử thức là hằng số nên ta suy ra đồ thị hàm số y = g(x) có
4 tiệm cận đứng.

Chọn đáp án D

Câu 18. Tập hợp các giá trị m để hàm số y = mx

2+ 6x − 2

x + 2 có tiệm cận đứng là

A ß 7

™

. B R. C R \

ß
−7

2
™

. D R \ß 7

2
™

Lời giải.

Hàm số y = mx

2+ 6x − 2

x + 2 có tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình mx

2+ 6x − 2 = 0 khơng có
nghiệm x = −2 ⇔ m · (−2)2+ 6 · (−2) − 2 6= 0 ⇔ 4m − 14 6= 0 ⇔ m 6= 7

Chọn đáp án D

Câu 19. Cho hàm số y = x − 1

mx2− 2x + 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị
hàm số đã cho có đúng hai đường tiệm cận.

A 2. B 3. C 0. D 1.

Lời giải.

Đồ thị hàm số đã cho ln có 1 tiệm cận ngang với mọi m.

Do đó bài tốn trở thành tìm m để đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 tiệm cận đứng.

• Với m = 0, y = x − 1

−2x + 3. Đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng x =
3
2.

• Với m 6= 0. Đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 tiệm cận đứng khi phương trình mx2 − 2x + 3 = 0
có nghiệm kép hoặc nghiệm x = 1.

Điều đó tương đương với

1 − 3m = 0

m − 2 + 3 = 0
⇔




m = 1

3
m = −1.

Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn đề bài là −1, 0, 1
3.

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Câu 20.

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên.

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 2018
f (x) là

A 1. B 2. C 3. D 4.

x
y0

−∞ −1 3 +∞

+ 0 − 0 +

−∞
−∞
4
4
−2
−2
+∞
+∞
Lời giải.

Do hàm số y = 2018

f (x) suy ra số tiệm cận đứng của hàm số sẽ tương ứng với số nghiệm phân biệt của
phương trình f (x) = 0 (∗).

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f (x) suy ra số nghiệm phân biệt của phương trình (∗) là 3.

Nên số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 2018
f (x) là 3.

Chọn đáp án C

Câu 21.

Cho hàm số bậc ba y = ax3+ bx2+ cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị
hàm số g (x) = (x

2− 4x + 4)√x − 1

x [f2(x) − f (x)] có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

x
y
O
1
2
2

A 5. B 2. C 3. D 6.

Lời giải.

Phương pháp: Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x).

Nếu










lim

x→a+ = +∞

lim

x→a+ = −∞

lim

x→a− = +∞

lim

x→a− = −∞

thì x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Cách giải: Từ đồ thị hàm số ta có:

f (1) = 2, f (x0) = f (2) = 0, f (x1) = f (x2) = f (x3) = 1.

x
y
O
1
2
1
x0
x2
x1

x3
2

y = 1

Xét hàm số g (x) = (x

2− 4x + 4)√x − 1

x [f2(x) − f (x)] có TXĐ là















x ≥ 1

x 6= 0

f (x) 6= 0

f (x) 6= 1
⇔


























x ≥ 1

x 6= 0

x 6= x0
x 6= x1
x 6= x2
x 6= x3

⇔








x ≥ 1

x 6= x2
x 6= x3

, 1 < x2 < 2 < x3.

• lim
x→x2

g (x) = lim
x→x2

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

• lim
x→x3

g (x) = lim
x→x3

(x2− 4x + 4)√x − 1
x [f2(x) − f (x)] = ∞.
⇒ đồ thị hàm số g (x) = (x

2− 4x + 4)√x − 1

x [f2(x) − f (x)] có 2 đường tiệm cận đứng.

Chọn đáp án B

Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2019; 2019] để đồ thị hàm số

y = √ 2x + 1

4x2− 2x + m có hai đường tiệm cận đứng?

A 2020. B 4038. C 2018. D 2019.

Lời giải.

Ta có √4x2− 2x + m = 0 ⇔ 4x2− 2x + m = 0.
Đặt f (x) = 4x2− 2x + m có ∆0 = 1 − 4m.

Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi f (x) có hai nghiệm phân biệt khác −1

Điều này tương đương với







∆0 > 0
f

Å
−1

2
ã

6= 0 ⇔
(

1 − 4m > 0

1 + 1 + m 6= 0 ⇔
n

m < 1

4 m 6= −2 .

Lại có m ∈ Z, m ∈ [−2019; 2019] ⇒ m ∈ {−2019; −2018; ...; 0} \ {−2}.
Vậy có 2019 giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án D

Câu 23. Đồ thị hàm số y =
√

x2− 2x + x

x − 1 có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 3. B 0. C 2. D 1.

Lời giải.

Tập xác định D = (−∞; 0] ∪ [2; +∞)
Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.

Ta có: lim
x→+∞

√

x2− 2x + x

x − 1 = limx→+∞
…

1 − 2
x + 1

1 − 1
x

= 2 và

lim
x→−∞

√

x2− 2x + x

x − 1 = limx→−∞

−2x

(x − 1) √x2− 2x − x =x→−∞lim

−2
x
Å

1 − 1
x

ã Ç
−

…
1 − 2

x − 1

å = 0.

Nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y = 2 và y = 0.

Chọn đáp án C

Câu 24. Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = |x| − 2018
x + 2019 .

A 1. B 3. C 2. D 0.

Lời giải.

Ta có lim

x→+∞y = limx→+∞

x − 2018

x + 2019 = limx→+∞

1 −2018
x

1 + 2019
x

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Ta có lim

x→−∞y = limx→−∞

−x − 2018

x + 2019 = limx→−∞

−1 −2018
x

1 + 2019
x

= −1 ⇒ y = −1 là tiệm cận ngang.

Chọn đáp án C

Câu 25.√ Tìm số tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y =
4x2+ 5

√

2x + 1 − x − 1.

A 3. B 1. C 2. D 4.

Lời giải.

TXĐ : D =
ï

−1
2; +∞

ã
\ {0}.

Ta có

• lim

x→+∞y = limx→+∞
√

4x2+ 5
√

2x + 1 − x − 1 = limx→+∞

…
4 + 5

x2
… 2

x2 − 1 −
1
x

= −2.

Suy ra y = −2 là tiệm cận ngang của hàm số.

•











lim
x→0+(

√

4x2+ 5) =√5 > 0
lim

x→0+(

√

2x + 1 − x − 1) = 0
√

2x + 1 − x − 1 < 0 khi x → 0+

⇒ lim

x→0+y = −∞.

Suy ra x = 0 là tiệm cận đứng của hàm số.
• lim

x→−12+

y = −2√6.

Suy ra x = −1

2 không là tiệm cận đứng của hàm số.

Chọn đáp án C

Câu 26. Cho hàm số y = 1 − x

x2− 2mx + 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
có ba đường tiệm cận?

A









"
m > 2

m < −2

m 6= 5
2

. B





m > 2

m 6= 5
2

. C −2 < m < 2. D
"

m < −2

m > 2
.

Lời giải.

Ta có: lim

x→+∞f (x) = limx→+∞

1 − x

x2− 2mx + 4 = limx→+∞
1
x2 −

1
x

1 − 2m
x +

4
x2

= 0 ⇒ y = 0 là TCN của đồ thị hàm

số.

Do đó để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng
⇒ Phương trình f (x) = x2− 2mx + 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

⇔
(

∆0 = m2 − 4 > 0
f (1) = 1 − 2m + 4 6= 0

⇔









"
m > 2

m < −2

m 6= 5
2

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Chọn đáp án A

Câu 27. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x − 1

4√3x + 1 − 3x − 5.

A 1. B 0. C 2. D 3.

Lời giải.

Điều kiện:
(

3x + 1 ≥ 0

4√3x + 1 − 3x − 5 6= 0
⇔






x ≥ −1
3

3x + 1 − 4√3x + 1 + 4 6= 0
⇔







x ≥ −1
3
Ä√

3x + 1 − 2ä2 6= 0

⇔





x ≥ −1
3
√

3x + 1 − 2 6= 0
⇔






x ≥ −1
3

3x + 1 6= 4

⇔





x ≥ −1
3
x 6= 1.

Tập xác định D =
ï

−1
3; 1

∪ (1; +∞).

Ta có

• lim
x→1+

x − 1

4√3x + 1 − 3x − 5 = limx→1+

1 − x
√

3x + 1 − 22 = limx→1+

√

3x + 1 + 2

3 √3x + 1 − 2 = +∞.

lim
x→1−

x − 1

4√3x + 1 − 3x − 5 = limx→1−

1 − x
√

3x + 1 − 22 = limx→1−

√

3x + 1 + 2

3 √3x + 1 − 2 = −∞.
⇒ x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• lim
x→+∞

x − 1

4√3x + 1 − 3x − 5 = limx→+∞

1 − 1
x

4… 3
x +

x2 − 3 −
5
x

= −1
3.

⇒ y = −1

3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Chọn đáp án C

Câu 28. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 4

m − x2 có đường tiệm cận đứng.
A m ≥ 0; m 6= 16. B m ≥ 0. C m > 0. D m > 0; m 6= 16.

Lời giải.

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng thì điều kiện cần là m − x2 = 0 có nghiệm hay x2 = m cố
nghiệm hay m ≥ 0. Với m = 16 thì y = −1

4 + x thì đồ thị hàm số vẫn có 1 tiệm cận đứng là x = −4.
Vậy giá trị m cần tìm là m ≥ 0.

Chọn đáp án B

Câu 29. Đường x = 0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sau đây?

A y = x + 1

x(x − 2). B y =
sin x

x . C y =

√
x

x√x2+ 1. D y =
x − 1

|x| .

Lời giải.

lim
x→0−

x + 1

x(x − 2) = +∞, limx→0+

√
x

x√x2+ 1 = +∞, limx→0
x − 1

|x| = −∞, limx→0
sin x

x = 1.

Chọn đáp án B

Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thưc của tham số m để đồ thị hàm số y = x
2+ m

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

A m = −1. B m ∈ {1; 4}. C m ∈ {−1; −4}. D m = 4.

Lời giải.

Vì lim
x→±∞

x2+ m

x2− 3x + 2 = 1 ∀m nên đồ thị hàm số luôn có một tiêm cận ngang là y = 1.

Để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận thì đồ thị hàm số có thêm một tiệm cận đứng hoặc là x = 1,

hoặc là x = 2. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x = 1, suy ra pt x2+ m = 0 và pt x2− 3x + 2 = 0
có nghiệm chung là x = 1. Từ đó, ta suy ra m = −1.

Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x = 2, suy ra pt x2 + m = 0 và pt x2− 3x + 2 = 0 có nghiệm
chung là x = 2. Từ đó, ta suy ra m = −4.

Vậy m ∈ {−1; 4} thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C

Câu 31. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2
√

x2− 1 + 1

x .

A y = 2. B y = −2. C y = 2; y = −2. D x = 2; x = −2.

Câu 32. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu của hàm số y = x4− 4x2+ 1.

A x = −3. B y = 1 . C x = 1. D y = −3.

Câu 33. Tìm tất cả các giá trị số m để đồ thị hàm số y = x

2+ x − 2

x2− 2x + m có hai đường tiệm cận đứng
phân biệt.

A m ∈ (−∞; 1). B m ∈ (−∞; −8) ∪ (−8; 1).

C m ∈ (−∞; −1). D m ∈ (−8; 1).

Lời giải.

Ta có: y = (x − 1)(x + 2)
x2− 2x + m .

Xét g(x) = x2− 2x + m = 0 (1). Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng phân biệt thì (1) có hai
nghiệm phân biệt khác 1 và −2. Khi đó










∆ > 0

g(1) 6= 0

g(−2) 6= 0
⇔










4 − 4m > 0

− 1 + m 6= 0

8 + m 6= 0
⇔











m < 1

m 6= 1

m 6= −8

Vậy m ∈ (−∞; −8) ∪ (−8; 1).

Chọn đáp án B

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = 2x

2− 3x + m

x − m khơng
có tiệm cận đứng.

A m > 1. B m 6= 0. C m = 1. D m = 1 hay m = 0.

Lời giải.

Hàm số không xác định tại x = m.

Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng khi lim

x→m+y và limx→m−y có giá trị hữu hạn khi đó x = m là nghiệm

của 2x2− 3x + m = 0, tức là 2m2− 3m + m = 0 ⇔ m = 0 hay m = 1.

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

Câu 35. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị y =
√

1 − 4x + 3x2+ 2
x2− x là

A 2. B 3. C 4. D 1.

Lời giải.

Biểu thức của hàm số có nghĩa khi
(

1 − 4x ≥ 0

x2− x 6= 0 ⇔











x ≤ 1

4
x 6= 0

x 6= 1
⇔





x ≤ 1

4
x 6= 0
.

Có lim

x→−∞y = limx→−∞
√

1 − 4x + 3x2+ 2

x2− x = 3 nên đồ thị hàm số nhận y = 3 làm tiệm cận ngang.
Có lim

x→0+y = limx→0+

√

1 − 4x + 3x2+ 2

x(x − 1) = −∞ nên đồ thị hàm số nhận x = 0 làm tiệm cận đứng.

Chọn đáp án A

Câu 36. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R và có bảng biển thiên như hình vẽ bên.

Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số đạt cực đại tại x = −2.

B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2) và
(0; +∞).

C Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận.

D Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −1.

x
y0

−∞ −2 0 +∞

+ 0 − 0 +

−∞
−∞

2
2

−1
−1

+∞
+∞

Câu 37. Tìm tập hợp T gồm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = 2x

2+ x + 1

x2− m2+ m có ba đường
tiệm cận.

A T = (0; 1). B T = (0; +∞).

C T = (−∞; 0) ∪ (1; +∞). D T = (−∞; 1).

Lời giải.

Ta có lim

x→−∞y = limx→+∞y = 2 nên y = 2 là tiệm cận ngang của ĐTHS.

Mặt khác 2x2+ x + 1 = 0 vơ nghiệm nên ĐTHS có 2 tiệm cận đứng thì x2− m2+ m = 0 phải có hai
nghiệm phân biệt ⇔ m2− m > 0 ⇔ m ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞)

Chọn đáp án C

Câu 38. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
2+ 1

x2− m có hai đường tiệm cận đứng.

A m ≥ 0. B m > 0. C m < 0. D m 6= 0 .

Lời giải.

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình x2 − m = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ 0 − 4.1. (−m) > 0 ⇔ m > 0.

Chọn đáp án B

Câu 39. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = √ x + 1

m2x2− m + 1 có đúng 4 đường
tiệm cận?

A m > 1. B





m < 1

m 6= 0

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Lời giải.

Ta có: Đồ thị hàm số ln có hai đường tiệm cận ngang y = ± 1
|m|.
Do đó, đồ thị hàm số có đúng 4 đường tiệm cận.

⇔ Phương trình m2x2− m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
⇔ m > 1.

Chọn đáp án A

Câu 40. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = √1 − 2x

2 − 3mx2 có hai
tiệm cận ngang.

A R \ {0}. B (0; +∞). C (−∞; 0). D ∅.

Câu 41. Cho hàm số y = mx + 3

4x − 2n + 5. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 2 và nhận trục
tung làm tiệm cận đứng. Giá trị của m + n bằng mấy?

A 9

2. B

2 . C

2 . D

13
2 .

Lời giải.

Điều kiện để hàm số đã cho không nhận giá trị hằng: m(5 − 2n) − 12 6= 0 (*).

Vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 2 và nhận trục tung làm tiệm cận đứng nên:





m

4 = 2
5 − 2n = 0

⇔




m = 8

n = 5
2

thỏa điều kiện (*). Do đó m + n = 21
2 .

Chọn đáp án B

Câu 42.

Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước

3 m x 8 m. Người ta cắt mỗi góc của tấm bìa

một hình vng có cạnh là x để tạo ra hình
hộp chữ nhật khơng nắp. Với giá trị nào của

x thì thể tích của hình hộp chữ nhật đạt giá

trị lớn nhất.

A x = 1 m. B x = 2
3 m.
C x = 1

3 m. D x =
4
3 m.

x x

Lời giải.

Kích thước của hình hộp chữ nhật là: 8 − 2x m x 3 − 2x m x x m.

Điều kiện 0 < x < 3
2.

Thể tích của hình hộp chữ nhật:

V = (8 − 2x)(3 − 2x)x = 4x3− 22x2+ 24x.
V0 = 12x2− 44x + 24.

V0 = 0 ⇒



x = 2

3
x = 3
.

Lúc này thể tích đạt giá trị lớn nhất tại x = 2
3.

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Câu 43. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y = √ x

2x2− 2x − m − x − 1 có

hai tiệm cận đứng.

A m ≥ 4. B −5 < m ≤ 4. C ( − 5 < m ≤ 4
m 6= −1

. D m > −5.

Lời giải.

Để đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm đứng thì phương trình √2x2− 2x − m − x − 1 = 0 có hai
nghiệm phân biệt khác 0.

√

2x2− 2x − m − x − 1 = 0 ⇔
(

x 6= 0
√

2x2− 2x − m = x + 1 ⇔









x 6= 0

x ≥ −1

x2− 4x − m − 1 = 0(∗)
Phương trình (∗) có hai nghiệm phân x1, x2 ≥ −1, x1x2 6= 0 khi và chỉ khi
















∆0 = 4 + m + 1 > 0
(x1+ 1) + (x2+ 1) ≥ 0
(x1+ 1)(x2+ 1) ≥ 0
02− 4.0 − m − 1 6= 0

⇔(−5 < m ≤ 4
m 6= −1
.

Chọn đáp án C

Câu 44. Cho hàm số y = x − 3

x + 1 có đồ thị C. Gọi d là khoảng cách từ một điểm M trên C đến giao
điểm của hai tiệm cận. Tìm giá trị nhỏ nhất của d.

A 2√2. B 3√2. C √2. D 2√3.

Câu 45. Xác định m để đồ thị hàm số y = x

2− (2m + 3)x + 2(m − 1)

x − 2 khơng có đường tiệm cận
đứng.

A m = 2. B m = 3. C m = 1. D m = −2.

Câu 46. Biết rằng có hai giá trị thực m1, m2 của tham số m để đồ thị hàm số y =

x − 1

x2− mx + m có
đúng một tiệm cận đứng. Tính m1 + m2.

A m1+ m2 = 6. B m1+ m2 = 4. C m1+ m2 = −4. D m1+ m2 = −6.

Lời giải.

Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng khi xảy ra một trong các trường hợp sau đây:

Trường hợp 1. Phương trình x2− mx + m = 0 có đúng 1 nghiệm (nghiệm này có thể bằng 1 hoặc khác
1), tức là ∆ = m2 − 4m = 0. Từ đó ta có m = 0 hoặc m = 4.

Trường hợp 2. Phương trình x2− mx + m = 0 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1.
Tức là ∆ = m2− 4m > 0 và 12− m.1 + m = 0. Trường hợp này khơng có giá trị m nào
thỏa mãn.

Vậy có hai giá trị m cần tìm là m1 = 0 và m2 = 4 nên tổng m1+ m2 = 4.

Chọn đáp án B

Câu 47. Cho hàm số y =
√

4x2− x + 1

2x + 1 . Đồ thị của hàm số đó mấy tiệm cận (ngang và đứng)?

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

Câu 48. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x

2− 3x + 2
4 − x2 là

A 3. B 2. C 4. D 1.

Lời giải.

Tập xác định D = R\{±2}. Với điều kiện xác định đó ta có y = (x − 1)(x − 2)

(2 − x)(2 + x) =

1 − x
x + 2

Dễ thấy hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = −1 và một đường tiệm cận đứng x = −2.

Như vậy tổng số đường tiệm cận của hàm số là 2.

Chọn đáp án B

Câu 49. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
√

x2+ x + 1
x là

A 1. B 0. C 2. D 3.

Câu 50. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x − 1

mx + 1 có tiệm cận
đứng?

A m ∈ R \ {0; −2}. B m ∈ R \ {0}. C m ∈ R. D m ∈ R \ {−2}.

Câu 51. Cho hàm số y = mx + 2

x − 2 (C) với m 6= −1 và đường thẳng d : y = x + 1. Gọi I là giao điểm
của hai đường tiệm cận của đồ thị (C). Tìm m để điểm I thuộc đường thẳng d.

A m = 3. B m = 1. C m = −1. D m = −3.

Lời giải.

Ta có: I(2; m) ⇒ m = 2 + 1 = 3.

Chọn đáp án A

Câu 52. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 3x −
√

x2+ 8
x − 1 .

A 1. B 2. C 3. D 0.

Câu 53. Cho hàm số y = x − 3

2 − x(C) và đường thẳng d : y = x + 6 biết đường thẳng d cắt hai đường
tiệm cận của đồ thị (C) tạo thành một tam giác. Tính diện tích S của tam giác đó.

A S = 81

2 . B S =

2. C S = 81. D S = 9.

Lời giải.

TCĐ: x = 2, TCN: y = −1 ⇒ I(2; −1), A(2; 8), B(−7; −1) ⇒ S = 1
2.9.9 =

81
2 .

Chọn đáp án A

Câu 54. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) : y =

2x + 1

x2− 2mx + 1 chỉ có một đường
tiệm cận đứng.

A m = ±1; m = −5

4. B m = ±1. C m ∈ [2; +∞). D m < −1; m > 1.

Lời giải.

Đồ thị hàm số đã cho chỉ có một đường tiệm cận đứng khi tam thức f (x) = x2 − 2mx + 1 có nghiệm
kép hoặc f (x) = x2− 2mx + 1 có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là −1

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

TH2. f (x) có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là −1
2 khi








f

Å
−1

2
ã

= 0

∆0 > 0

⇒ m = −5
4.

Chọn đáp án A

Câu 55. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
√

x + 2 − 2
x3− 5x2+ 8x − 4
là

A 4. B 1. C 3. D 2.

Câu 56. Đồ thị hàm số y = x

2+ 2x + 2

1 − x có 2 điểm cực trị nằm trên đường thẳng y = ax + b thì giá
trị của tổng a + b bằng bao nhiêu?

A a + b = 4. B a + b = 2. C a + b = −4. D a + b = −2.

Câu 57. Cho hàm số y = mx
2+ 1

x2− 3x + 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
có 2 đường tiệm cận?

A 1. B 2. C 0. D 3.

Lời giải.

x2− 3x + 2 = 0 ⇔
"

x = 1

x = 2. Đặt g(x = mx
2+ 1).

Nếu g(1) = 0 ⇔ m = −1. Khi đó y = 1

x + 2 (thỏa mãn)

Nếu g(2) = 0 ⇔ m = −1

4 (Loại).
Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn.

Chọn đáp án A

Câu 58. Cho hàm số y = 2x

2− 3x + 2

x2− 2x − 3 . Khẳng định nào sau đây sai?
A Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2.

C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1
2.

D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = −1; x = 3.

Câu 59. Đồ thị hàm số y = 5x
2

x2− 2x có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A 2. B 1. C 3. D 0.

Câu 60. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x

2− 3x + 2
4 − x2 là

A 4. B 1. C 2. D 3.

Lời giải.

Vì lim
x→±∞

x2− 3x + 2

4 − x2 = −1 nên y = −1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì lim

x→2

x2− 3x + 2

4 − x2 = limx→2

(x − 1)(x − 2)
(2 − x)(2 + x) = −

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Vì lim
x→−2+

x2− 3x + 2

4 − x2 = −∞ nên đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

Chọn đáp án C

Câu 61. Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x − 2

x2− mx + 1 có hai đường tiệm
cận đứng.

A m ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞)\ß 5
2

™

. B m ∈ (−∞; −2] ∪ [2; +∞).

C m ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞). D m 6= 5
2.

Lời giải.

Hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình x2 − mx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt

khác 2 ⇐⇒
(

∆ > 0

22− 2m + 1 6= 0 ⇐⇒





m2− 4 > 0
m 6= 5

⇐⇒











"
m > 2

m < −2

m 6= 5
2

⇐⇒ m ∈ (−∞; −2) ∪

(2; +∞)\ß 5
2

™
.

Cách giải khác: Với m = 5
2, y =

2x − 1, hàm số chỉ có 1 tiệm cận đứng. Loại trừ phương án B và C,
với m = 0, y = x − 2

x2+ 1, hàm số khơng có tiệm cận đứng, cho nên loại trừ phương án D.

Chọn đáp án A

Câu 62. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = (x

2− 3x + 2) sin x
x3− 4x là

A 1. B 2. C 3. D 4.

Lời giải.

• Tập xác định: D = R\ {−2, 0, 2}.
• lim

x→0

(x2− 3x + 2) sin x

x3− 4x = limx→0

(x2− 3x + 2) sin x
(x2− 4) x =

2
−4 = −

1
2.

• lim
x→2

(x2− 3x + 2) sin x

x3− 4x = limx→2

(x − 1)(x − 2) sin x

(x − 2)(x + 2)x = limx→2

(x − 1) sin x
(x + 2)x =

sin 2
8 .

• lim
x→−2+

(x2− 3x + 2) sin x

x3− 4x = limx→−2+

(x − 1)(x − 2) sin x

(x − 2)(x + 2)x = limx→−2+

(x − 1) sin x

(x + 2)x = −∞.
Suy ra đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng là x = −2.

Chọn đáp án A

Câu 63. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x − 1

4√3x + 1 − 3x − 5·

A 3. B 0. C 1. D 2.

Lời giải.

ĐK: x ≥ −1

3 và x 6= 1

lim

x→1+y = limx→1+

(x − 1)(4√3x + 1 + 3x + 5)

−9(x − 1)2 = limx→1+

4√3x + 1 + 3x + 5

−9(x − 1) = −∞

lim

x→1−y = limx→1−

(x − 1)(4√3x + 1 + 3x + 5)

−9(x − 1)2 = limx→1−

4√3x + 1 + 3x + 5

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Do đó đồ thị có TCĐ là x = 1.

lim

x→+∞y = limx→+∞

1 − 1
x

4… 3
x +

x2 − 3 −
5
x

= −1

3. Do đó đồ thị có TCN là y = −
1
3·

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Chọn đáp án D

Câu 64. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số

y =

√
9 − x

x2− 2(m + 1)x + m2+ 2m có đúng hai đường tiệm cận.

A 2. B 1. C 4. D 3.

Lời giải.

Ta có x2− 2(m + 1)x + m2+ 2m = 0 ⇔
"

x = m

x = m + 2

(∆0 = 1).

Hàm số xác định khi









x ≤ 9

x 6= m

x 6= m + 2.
Ta có lim

x→−∞y = 0 nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0.

Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận khi và chỉ khi nó có đúng một tiệm cận đứng
⇔ phương trình trên có một nghiệm nhỏ hơn hoặc bằng 9.

⇔ m ≤ 9 < m + 2 ⇔ 7 < m ≤ 9.

Vậy có 2 giá trị m nguyên dương thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn đáp án A

Câu 65. Cho hàm số y = 2x

2− 3x + m

x − m có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị của m để (C) khơng có
tiệm cận đứng.

A
"

m = 0

m = 1. B m = 2. C m = 0. D m = 1.

Lời giải.

Tiệm cận đứng của đồ thị (C) nếu có là đường thẳng x = m. Do đó đồ thị khơng có đường tiệm cận

đứng khi x = m là nghiệm của phương trình 2x2− 3x + m = 0.
Thay vào ta được 2m2− 2m = 0 ⇔

"
m = 0

m = 1
.

Chọn đáp án A

Câu 66. Đồ thị hàm số y =
√

5x2+ x + 1
√

2x − 1 − x có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và đường tiệm
cận ngang?

A 2. B 3. C 1. D 4.

Lời giải.

Hàm số xác định khi










5x2+ x + 1 ≥ 0
2x − 1 ≥ 0
√

2x − 1 − x 6= 0
⇔





x ≥ 1

2
2x − 1 6= x2

⇔





x ≥ 1

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

Suy ra tập xác định là D =ï 1
2; +∞

ã
\ {1}.

Ta có lim

x→+∞y = limx→+∞
…

5 + 1
x +

1
x2
−1 +… 2

x +
1
x2

= −√5 ⇒ Đồ thị có đúng 1 tiệm cận ngang y = −√5.

lim

x→1+y = +∞ ⇒ đồ thị có đúng 1 tiệm cận đứng x = 1.

Vậy đồ thị của hàm số đã cho có đúng 2 tiệm cận.

Chọn đáp án A

Câu 67. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = x

2− 3x + 2
x2− mx − m + 5
khơng có đường tiệm cận đứng?

A 8. B 10. C 11. D 9.

Lời giải.

Xét phương trình x2− mx − m + 5 = 0 (1) có ∆ = m2+ 4m − 20.

Trường hợp 1. ∆ < 0 thì phương trình (1) vơ nghiệm. Khi đó hàm số có tập xác định là D = R nên

khơng có tiệm cận đứng.

∆ < 0 ⇔ m2+ 4m − 20 < 0 ⇔ −2 − 2√6 < m < −2 + 2√6 ⇒ m = −6, −5, . . . , 2.
Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số m thỏa bài tốn.

Trường hợp 2. Phương trình (1) có nghiệm x = 1. Thay x = 1 vào phương trình ta được

12− 2m − m + 5 = 0 ⇔ m = 3.
Với m = 3 thì đồ thị hàm số y = x

2− 3x + 2

x2− 3x + 2 khơng có tiệm cận đứng. Vậy m = 3 thỏa bài tốn.
Trường hợp 3. Phương trình (1) có nghiệm x = 2. Thay x = 2 vào phương trình, tìm được m = 3

(thỏa bài toán).

Kết hợp cả ba trường hợp, có tất cả 10 giá trị m thỏa bài toán.

Chọn đáp án B

Câu 68. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x +
√

x
√

x2− 1 bằng

A 2. B 3. C 4. D 1.

Lời giải.

Tập xác định: D = (1; +∞)

lim

x→+∞y = limx→+∞

1 +… 1
x
…

1 − 1
x2

= 1 ⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

lim

x→1+y = +∞ ⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1.

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng 2

Chọn đáp án A

Câu 69. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x + 1

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

A
"

m ≥ 0

m ≤ −4

. B

"
m > 0

m ≤ −4

. C

"
m > 0

m < −4

. D m ∈ R.

Lời giải.

Xét phương trình x3− 3x2− m = 0 ⇔ x3− 3x2 = m. (*)
Xét hàm số f (x) = x3 − 3x2, có f0

(x) = 3x2− 6x. Do đó f0

(x) = 0 ⇒ x = 0, x = 2. Ta có bảng biến
thiên

x
f0(x)

f (x)

−∞ 0 2 +∞

+ 0 − 0 +

−∞
−∞

0
0

−4
−4

+∞
+∞
−1

−4

Đồ thị hàm số y = x + 1

x3− 3x2− m có đúng một tiệm cận đứng khi thỏa mãn một trong các trường hợp
sau

TH1. Phương trình (*) có nghiệm duy nhất x 6= −1 ⇔
"

m < −4

m > 0.

TH2. Phương trình (*) có hai nghiệm, trong đó một nghiệm x = −1 và một nghiệm x 6= −1
⇔ m = −4.

Kết luận với
"

m ≤ −4

m > 0 thì đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng.

Chọn đáp án B

Câu 70. Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = |x| − 2018
x + 2019 .

A 1. B 3. C 2. D 0.

Lời giải.

Ta có lim

x→+∞y = limx→+∞

x − 2018

x + 2019 = limx→+∞

1 −2018
x

1 + 2019
x

= 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang.

Ta có lim

x→−∞y = limx→−∞

−x − 2018

x + 2019 = limx→−∞

−1 −2018
x

1 + 2019
x

= −1 ⇒ y = −1 là tiệm cận ngang.

Chọn đáp án C

Câu 71.√ Tìm số tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y =
4x2+ 5

√

2x + 1 − x − 1.

A 3. B 1. C 2. D 4.

Lời giải.

TXĐ : D =

−1
2; +∞

ã
\ {0}.

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

• lim

x→+∞y = limx→+∞
√

4x2+ 5
√

2x + 1 − x − 1 = limx→+∞

…
4 + 5

x2
… 2

x+
1

x2 − 1 −
1
x

= −2.

Suy ra y = −2 là tiệm cận ngang của hàm số.

•













lim
x→0+(

√

4x2+ 5) =√5 > 0
lim

x→0+(

√

2x + 1 − x − 1) = 0
√

2x + 1 − x − 1 < 0 khi x → 0+

⇒ lim

x→0+y = −∞.

Suy ra x = 0 là tiệm cận đứng của hàm số.
• lim

x→−12+

y = −2√6.

Suy ra x = −1

2 không là tiệm cận đứng của hàm số.

Chọn đáp án C

Câu 72. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng a + b để đồ thị hàm số y = 2 + ax

3+√bx2 − 1

x + 1 (với a, b là
các số nguyên) có tiệm cận ngang.

A 3. B 0. C 2. D 1.

Lời giải.

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ta cần lim
x→±∞

2 + ax3+√bx2− 1

x + 1 = α ∈ R suy ra a = 0; b ≥ 1, do
a, b nguyên nên a = 0, b = 1 suy ra a + b = 1.

Chọn đáp án D

Câu 73. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R \ {−1; 2}, liên tục trên các khoảng xác định của nó và

có bảng biến thiên như sau

x
f0(x)

f (x)

−∞ −1 1 2 +∞

+ + 0 − −

−∞
−∞

+∞

−∞

2
2

−∞
3

−1
−1

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 1

f (x) − 1 bằng

A 5. B 4. C 6. D 7.

Lời giải.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f (x) − 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y = 1
f (x) − 1

có 4 đường tiệm cận đứng. Ngoài ra, lim
x→−∞

f (x) − 1 = 0, x→+∞lim

f (x) − 1 = −
1

2 nên đồ thị hàm số

y = 1

f (x) − 1 có 2 đường tiệm cận ngang.

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 1

f (x) − 1 bằng 6.

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Câu 74. Hỏi đồ thị hàm số y =
√

4 − x2

x2+ 3x có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A 0. B 1. C 2. D 3.

Lời giải.

Điều kiện xác định:





4 − x2 ≥ 0

x2+ 3x 6= 0 ⇔





−2 ≤ x ≤ 2

x 6= 0 và x 6= −3

⇒ D = [−2; 0) ∪ (0; 2]

Ta thấy







lim

x→0+y = +∞

lim

x→0−y = −∞

⇒ Đồ thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận đứng x = 0

Chọn đáp án B

Câu 75. Đồ thị hàm số nào sau đây khơng có tiệm cận ngang?

A y = 3

x2− 1. B y =
√

x4+ 3x2+ 7

2x − 1 . C y =

2x − 3

x + 1 . D
3

x − 2 + 1.

Lời giải.

Ta có

lim
x→±∞

√

x4+ 3x2+ 7

2x − 1 = x→+∞lim
x2

…
1 + 3

x2 +
7
x2
2x − 1

= lim
x→±∞

x
…

1 + 3
x2 +

7
x2
2 − 1

= ±∞.

Do đó hàm số y =
√

x4+ 3x2+ 7

2x − 1 khơng có tiệm cận ngang.

Chọn đáp án B

Câu 76. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = m
2x − 4

mx − 1 có đúng 2 tiệm
cận.

A m > 0. B
(

m 6= 0

m 6= 4 . C m 6= 0. D m 6= 4.

Lời giải.

• m = 0 hàm số đã cho trở thành y = −4. Khi đó lim

x→±∞y = −4 nên hàm số có đúng một tiệm cận
y = −4.

• m 6= 0 ta có lim

x→±∞y = m. Hàm số ln có 1 tiệm cận ngang với mọi m 6= 0.
Để hàm số có đúng 2 tiệm cận thì hàm số sẽ có một tiệm cân đứng là x = 1

khi đó (m − 4) 6= 0 ⇔ m 6= 4. Vậy với m 6= 0 và m 6= 4 thì đồ thị hàm số sẽ có đúng 2 tiệm cận.

Chọn đáp án B

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Hình vẽ sau là đồ thị của hàm số y = ax + b

cx + d. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?

A bd < 0, ab > 0. B bd > 0, ad > 0.

C ad > 0, ab < 0. D ab < 0, ad < 0.

x
y

Lời giải.

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ dương nên ab < 0.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên bd < 0.

Từ đó suy ra ad > 0.

Chọn đáp án C

Câu 78. Số đường tiệm cận của hàm số y =
√

−x2+ 2x

x − 1 là bao nhiêu?

A 2. B 1. C 0. D 3.

Lời giải.

Điều kiện 0 ≤ x ≤ 2 do đó hàm số khơng có tiệm cận ngang.

lim

x→1−y = −∞ và limx→1+y = +∞ nên hàm số có tiệm cận đứng là x = 1.

Chọn đáp án B

Câu 79. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R \ {1} và có bảng biến thiên sau:

−∞ −2 1 2 +∞

− 0 + + 0 −

+∞
+∞

2
2

+∞

−∞

3
3

−∞
−∞

Đồ thị hàm số y = 1

2f (x) − 5 có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A 0. B 2. C 1. D 4.

Lời giải.

Hàm số g(x) = 1

2f (x) − 5 xác định khi và chỉ khi




x 6= 1

f (x) 6= 5
2.
• Có lim

x→1−g(x) = 0 và limx→1+g(x) = 0 nên x = 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm g(x).

• Xét phương trình f (x) = 5

2 (1).

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

Mặt khác hàm số g(x) = 1

2f (x) − 5 có tử thức là hằng số nên ta suy ra đồ thị hàm số y = g(x)
có 4 tiệm cận đứng.

Chọn đáp án D

Câu 80. Xác định tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số y = x − 1

x2+ 2(m − 1)x + m2− 2 có đúng hai

tiệm cận đứng.

A m < 3

2. B






m > −3
2
m 6= 1

. C





m < 3

2
m 6= 1, −3

. D m > −3
2.

Câu 81. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x

2+ x − 2

x2− 2x + m có ba đường
tiệm cận.

A m < 1. B m 6= 1 và m 6= −8. C m ≤ 1 và m 6= −8. D m < 1 và m 6= −8.

Lời giải.

Điều kiện: x2− 2x + m 6= 0.
Ta có: lim

x→+∞

x2+ x − 2

x2− 2x + m = 1; limx→−∞

x2+ x − 2

x2− 2x + m = 1. Suy ra đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang
của đồ thị hàm số đã cho.

Do đó đồ thị (C) của hàm số y = x

2+ x − 2
x2− 2x + m =

(x − 1)(x + 2)

x2− 2x + m có ba đường tiệm cận
⇔ (C) có hai đường tiệm cận đứng

⇔ phương trình x2− 2x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác −2; 1

⇔









∆0 > 0
m − 1 6= 0

m + 8 6= 0
⇔










1 − m > 0

m 6= 1

m 6= −8
⇔

(
m < 1

m 6= −8
.

Chọn đáp án D

Câu 82. Biết đồ thị hàm số y = (2m − n)x

2+ mx + 1

x2+ mx + n − 6 , (m, n là tham số) nhận trục hoành Ox và
trục tung Oy làm hai đường tiệm cận. Tổng m + n bằng

A −6. B 9. C 6. D 8.

Lời giải.

• Ta có lim
x→∞

(2m − n)x2+ mx + 1

x2+ mx + n − 6 = limx→∞

(2m − n) + m · 1
x +

1
x2
1 + m · 1

x+ (n − 6) ·
1
x2

= 2m − n, vì lim
x→∞

1
x = 0.

• Đặt u = x2+ mx + n − 6, u(0) = 02+ m · 0 + n − 6.

• Để đồ thị hàm số nhận Oy làm tiệm cận ngang, Ox là tiệm cận đứng ta cần có

(

2m − n = 0

n − 6 = 0

⇔

(
m = 3

n = 6.

• Thử lại, với m = 3, n = 6 ta có hàm số y = 3x + 1

x2+ 3x. Đồ thị hàm số này có tiệm cận đứng có
phương trình y = 0, tiệm cận ngang có phương trình x = 0, x = −3.

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

Lưu ý: Việc thử lại là cần thiết, vì x = 0 là nghiệm của mẫu số rất có thể bị rút gọn.

Ví dụ: Hàm số f (x) = x

2x2+ x có mẫu số có nghiệm x = 0 nhưng trục tung vẫn không phải là tiệm
cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án B

Câu 83. Cho hàm số y = √x + 1

ax2+ 1 có đồ thị (C). Tìm giá trị a để đồ thị của hàm số có đường tiệm
cận và đường tiệm cận đó cách đường tiếp tuyến của (C) một khoảng bằng √2 − 1.

A a > 0. B a = 2. C a = 3. D a = 1.

Lời giải.

Ta tìm được đường tiệm cận của đồ thị hàm số là y = √1

a với a > 0.

Khi đó tiếp tuyến tại điểm x0 có khoảng cách đến tiệm cận khi và chỉ khi tiếp tuyến có hệ số góc bằng

0 ⇔ y0(x0) = 0 có y0 =
√

ax2+ 1 − ax(x + 1)√
ax2+ 1
ax2+ 1 .
Khi đó y0 = 0 ⇔ ax2+ 1 = ax(x + 1) ⇔ x = 1
a.

Xét x0 =
1

a ⇒ y(x0) =
1
a + 1
…

a.1
a + 1

=… 1
a + 1.

Để khoảng cách giữa hai đường thẳng đó là √2 − 1 thì

… 1
a + 1 −

1
√
a

TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

§4

<b>ĐƯỜNG TIỆM CẬN</b>

<b>A</b>

<b>TĨM TẮT LÝ THUYẾT</b>

!

<b>B</b>

<b>CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về