GTLN - GTNN CỦA HÀM SỐ - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

§3

<b>GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ</b>

<b>A</b>

<b>TĨM TẮT LÍ THUYẾT</b>

<b>1</b> <b>ĐỊNH NGHĨA</b>

Định nghĩa. Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D.

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên tậpD nếu

i) ∀x ∈ D : f(x) ≤ M;

ii) ∃x0 ∈D : f(x0) = M .

Kí hiệu M = max

D f (x).

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên tập D nếu

i) ∀x ∈ D : f(x) ≥ m;

ii) ∃x0 ∈D : f(x0) = m.

Kí hiệu m = min

D f (x).

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = x−5+1

x trên khoảng (0; +∞).

Lời giải.

Trên khoảng (0; +∞), ta có y0 = 1 − 1
x2 =

x2_{− 1}

x2 ;

y0 = 0 ⇔ x2− 1 = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên

x
y0
y

0 1 +∞

− 0 +

+∞
+∞

−3
−3

+∞
+∞

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0; +∞) hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất, đó cũng là

giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Vậy min

(0;+∞)f (x) = −3 tại x = 1. Khơng có giá trị lớn nhất của f (x) trên khoảng (0; +∞). 

<b>2</b> <b>CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN</b>

Định lí 1. Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn

đó.

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f (x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các

đầu mút của đoạn.

Quy tắc Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b] ta làm như sau:
• Tìm f0_{(x) và tìm các điểm x}

1, x2, . . . , xn trên khoảng [a; b] mà tại đó f0(x) = 0 hoặc f0(x) khơng

xác định.

• Tính f (x1), f (x2), . . . , f (xn), f (a), f (b).

• Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó

M = max

[a;b] f (x); m = min[a;b] f (x).

Ví dụ 1. [2D1B3] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3+ 3x2− 12x + 2
trên đoạn [−1; 2].

Lời giải.

Ta có: y0 = 6x2_{+ 6x − 12.}

y0 = 0 ⇔ 6x2+ 6x − 12 = 0 ⇔
"

x = 1

x = −2.

Trên đoạn [−1; 2] ta có: y(−1) = 15; y(1) = −5; y(2) = 6.
Vậy max

[−1;2]y = 15 tại x = −1 và min[−1;2]y = −5 tại x = 1. 

!

Hàm số liên tục trên một khoảng có thể khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng_đó.

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 1

x trên khoảng (0; 1).

Lời giải.

Trên khoảng (0; 1), ta có f0(x) = − 1
x2 < 0.

Bảng biến thiên

x
f0(x)

f (x)

0 1

−

+∞
+∞

1
1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0; 1) hàm số khơng có giá trị lớn nhất, cũng khơng có

giá trị nhỏ nhất. _

Một số phương pháp khác tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số y = f (x).

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

• Xem y = f (x) là phương trình đối với ẩn số x và y là tham số;
• Tìm điều kiện của y để phương trình y = f (x) có nghiệm;

• Từ điều kiện trên, biến đổi đưa đến dạng m ≤ y ≤ M . Xét dấu “=” xảy ra và kết luận.
b) Phương pháp đạo hàm

• Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f (x);
• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

c) Phương pháp dùng bất đẳng thức

• Dùng các bất đẳng thức quen thuộc để chứng minh f (x) ≤ M hoặc f (x) ≥ m.
• Phải chỉ ra tồn tại x1, x2 ∈D sao cho f(x1) = M , f (x2) = m. Khi đó

M = max

D f (x); m = minD f (x).

<b>3</b> <b>CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG</b>

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x4_{− 18x}2_{+ 2 trên đoạn}

[−1; 4].

Lời giải.

Ta có: f0(x) = 4x3− 36x.

f0(x) = 0 ⇔ 4x3− 36x = 0 ⇔ 4x(x2_{− 9) = 0 ⇔}

"

x = 0
x = ±3.

Trên đoạn [−1; 4] ta có: f (−1) = −15; f (3) = −79; f (4) = −30.

Vậy max

[−1;4]f (x) = −15 tại x = −1 và min[−1;4]f (x) = −79 tại x = 3. 

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x6_{− 3x}4₊9

4x

2₊1

4 trên đoạn
[−1; 1].

Lời giải.

Ta có: y0 = 6x5− 12x3₊9

2x.

y0 = 0 ⇔ 6x5− 12x3₊9

2x = 0 ⇔ x(12x

4_{− 24x}2_{+ 9) = 0 ⇔}








x = 0

x2 = 3
2
x2 = 1
2

⇔








x = 0

x = ±
√

6
2

x = ±
√

2
2 .

Trên đoạn [−1; 1] ta có: y(−1) = 1
2; y

Ç
−

√
2
2

å

= 3

4; y(0) =
1
4; y

Ç √
2

2

å

= 3

4; y(1) =
1
2.

Vậy max

[−1;1]y =

3

4 tại x = ±
√

2

2 và min[−1;1]y =

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 1

x trên đoạn
ï 1

2; 2
ò

.

Lời giải.

Với x 6= 0 ta có: y0 = 1 − 1
x2 =

x2_{− 1}

x2 .

y0 = 0 ⇔ x

2_{− 1}

x2 = 0 ⇔ x

2 _{− 1 = 0 ⇔ x = ±1.}

Trên đoạn ï 1
2; 2

ị

ta có: 1
2

ã

= 5

2; y(1) = 2; y(2) =
5
2.

Vậy max
[1

2;2]

y = 5

2 tại x =
1

2 hoặc x = 2 và min_[1
2;2]

y = 2 tại x = 1. _

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = √x2_{− 4x + 5 trên đoạn}

[−2; 3].

Lời giải.

Ta có: f0(x) = √ x − 2

x2_{− 4x + 5}.

f0(x) = 0 ⇔ √ x − 2

x2_{− 4x + 5} = 0 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2.

Trên đoạn [−2; 3] ta có: f (−2) =√17; f (2) = 1; f (3) =√2.

Vậy max

[−2;3]f (x) =

√

17 tại x = −2 và min

[−2;3]f (x) = 1 tại x = 2. 

Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = √x + 1

x2_{+ 1} trên khoảng (−∞; +∞).

Lời giải.

Ta có y0 = 0 ⇔ 1 − x

(x2_{+ 1)}√_x2_{+ 1} = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên:

x

y0

y

−∞ 1 +∞

+ 0 −

−1
−1

√
2
√

2

1
1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là √2. _

Ví dụ 6. Cho bất phương trình (x + 2)(x + 4)(x2_{+ 6x + 10) ≥ m, với m là tham số. Tìm các}

giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Xét hàm số f (x) = (x + 2)(x + 4)(x2+ 6x + 10) = (x2+ 6x + 8)(x2+ 6x + 10).
Tập xác định của hàm số f (x) là D = R.

Ta có: f0(x) = (2x + 6)(2x2_{+ 12x + 18) = 4(x + 3)}3_.

f0(x) = 0 ⇔ 4(x + 3)3 = 0 ⇔ x = −3.

Bảng biến thiên:

x

f0(x)

f (x)

−∞ −3 +∞

− 0 +

+∞
+∞

−1
−1

+∞
+∞

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x thuộc R khi min

R

f (x) ≥ m ⇔ m ≤ −1. _

Ví dụ 7. Cho một tấm nhơm hình vng có chu vi là 36 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm

nhơm đó bốn hình vng bằng nhau, rồi gập tấm nhơm lại như hình vẽ dưới đây để được một

cái hộp không nắp. Khi đó, khối hộp nhận được có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải.

Gọi x (cm) là độ dài cạnh hình vng bị cắt (0 < x < 9
2).

Khi đó, thể tích khối hộp nhận được là V (x) = (9 − 2x)2x = 4x3_{− 36x}2 _{+ 81x.}

Ta có V0(x) = 12x2_{− 72x + 81; V}0_{(x) = 0 ⇔}

Bảng biến thiên:

x

V0(x)

V (x)

0 3

2

9

2

+ 0 −

27
27

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>B</b>

<b>CÁC DẠNG TỐN</b>

<b>| Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một</b>

<b>đoạn</b>

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b]

ta thực hiện như sau:

• Tìm các điểm xi ∈ (a; b) mà tại đó f0(x) bằng 0 hoặc khơng xác định.

• Tính các giá trị f (a), f (xi), f (b).

• Tìm số lớn nhất M , số nhỏ nhất m trong các số trên.
Khi đó M = max

[a;b] f (x), m = min[a;b] f (x).

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc</b>

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3_{+ 3x}2_{− 12x + 2 trên đoạn}

[−1; 2].

Lời giải.

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [−1; 2].

Đạo hàm: y0 = 6x2_{+ 6x − 12; y}0 _{= 0 ⇔ 6x}2_{+ 6x − 12 = 0 ⇔}

"

x = 1 ∈ (−1; 2)

x = −2 /∈ (−1; 2).
Ta có y(−1) = 15, y(1) = 5, y(2) = 6.

Vậy max

[−1;2]y = 15 = y(−1), min[−1;2]y = 5 = y(1). 

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4− 2x2 _{trên đoạn [−2; 3].}

Lời giải.

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [−2; 3].

Đạo hàm: y0 = 4x3− 4x; y0 _{= 0 ⇔ 4x}3_{− 4x = 0 ⇔}

"

x = 0 ∈ (−2; 3)

x = ±1 ∈ (−2; 3).
Ta có y(−2) = 8, y(3) = 63, y(0) = 0, y(±1) = −1.

Vậy max

[−2;3]y = 63 = y(3), min[−2;3]= −1 = y(±1). 

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x

2_{− 2x − 2}

x + 1 trên đoạn−

1
2; 4.

Lời giải.

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn −1₂; 4.
Đạo hàm: y0 = x

2_{+ 2x}

(x + 1)2; y

0 _{= 0 ⇔}

"

x = −2

x = 0
.

Ta có y −1₂
= −3₂, y(0) = −2, y(4) = 6₅.
Vậy max

[−1
2;4]

y = 6₅ = y(4), min
[−1

2;4]

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Ví dụ 4. Cho hàm số y = x + m

x + 1 với m là tham số thực. Tìm m để max[1;2] y + min[1;2] y =

16
3 .

Lời giải.

Tập xác định: D = R \ {−1}.

Đạo hàm y0 = 1 − m
(x + 1)2.

Do hàm số đã cho liên tục và đơn điệu trên [1; 2] nên max

[1;2] y + min[1;2] y =

16

3 ⇔

1 + m

2 +

2 + m

3 =

16

3 ⇔

m = 5. _

Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √x + 1

x2_{+ 1} trên đoạn [−1; 2].

Lời giải.

Hàm số y = √x + 1

x2_{+ 1} liên tục trên đoạn [−1; 2].

Đạo hàm: y0 = 1 − x

(x2_{+ 1)}√_x2_{+ 1}; y

0 _{= 0 ⇔ x = 1.}

Ta có y(−1) = 0, y(1) = √2, y(2) = 3
√

5
5 .
Vậy max

[−1;2]y =

√

2 = y(1), min

[−1;2]y = 0 = y(1). 

Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x +p2 − sin2x.

Lời giải.

Tập xác định: D = R.

Đặt t = sin x, −1 ≤ t ≤ 1. Bài tốn quy về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = t +√2 − t2 _{trên đoạn [−1; 1].}

Đạo hàm: y0 = 1 − √ t
2 − t2 =

√

2 − t2_{− t}

√

2 − t2 ; y

0 _{= 0 ⇔}√_{2 − t}2 _{= t ⇔}

(
t ≥ 0

2 − t2 = t2

⇔ t = 1.

Ta có y(−1) = 0, y(1) = 2.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng 0. _

Ví dụ 7. Cho hàm số f (x) = 4x2_{− 4ax + a}2_{− 2a với a là tham số thực. Tìm a để min}

[−2;0]f (x) = 2.

Lời giải.

Đạo hàm: f0(x) = 8x − 4a; f0(x) = 0 ⇔ x = a

2. Xét các trường hợp sau:

TH1: Nếu a

2 > 0 ⇔ a > 0 thì min[−2;0]f (x) = f (0) = a

2_{− 2a.}

Theo đề ta có a2_{− 2a = 2 ⇔ a = 1 ±}√_{3. Vì a > 0 nên chọn a = 1 +}√_3.

TH2: Nếu a

2 < −2 ⇔ a < −4 thì min[−2;0]f (x) = f (−2) = a

2_{− 6a + 16.}

Theo đề ta có a2_{− 6a + 16 = 0 ⇔ a}2_{− 6a + 14 = 0 (vô nghiệm).}

TH3: Nếu 0 ≤ a

2 ≤ 0 ⇔ −4 ≤ a ≤ 0 thì min[−2;0]f (x) = f

a
2



</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Theo đề ta có −2a = 2 ⇔ a = −1 thỏa −4 ≤ a ≤ 0.

Vậy min

[−2;0]

f (x) = 2 khi a = 1 +√3 và a = −1. _

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3_{− 3x + 1 trên đoạn [−1; 2].}
Lời giải.

Ta có max

[−1;2]y = 3 = y(2), min[−1;2]y = −1 = y(1). 

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x +√4 − x2 _{trên tập xác định}D của

nó.

Lời giải.

Tập xác định của hàm số: D = [−2; 2].

Ta có max

[−2;2]f (x) = 2

√
2, min

[−2;2]f (x) = −2. 

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x6_{+ 4 (1 − x}2₎3 _{trên đoạn [−1; 1].}
Lời giải.

Đặt t = x2, 0 ≤ t ≤ 1 ta đưa về bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g(t) =
t3+ 4(1 − t)3 trên đoạn [0; 1].

Đáp số: Giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng 4

9. 

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 (cos x − 1)
cos 2x + 2 cos x + 5.

Lời giải.

Biến đổi hàm số đã cho thành y = cos x − 1

cos2_{x + cos x + 2}.

Đặt t = cos x, −1 ≤ t ≤ 1, ta đưa về bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = t − 1

t2_{+ t + 2}, −1 ≤ t ≤ 1.

Đáp số: Giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng −1. _

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2 sin6x +3

4cos 2x.

Lời giải.

Đưa hàm số về dạng f (x) = 2 sin6x + 3

4 1 − 2 sin

2_{x
= 2 sin}6_{x −}3

2sin

2_{x +}3

4.
Đặt t = sin2x, 0 ≤ t ≤ 1 ta được hàm số g(t) = 2t3₋ 3

2t +
3
4.
Từ đó tìm được giá trị lớn nhất bằng 5

4 và giá trị nhỏ nhất bằng
1

4. 

Bài 6. Cho x ≥ 0, y ≥ 0 thỏa x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x

y + 1+
y
x + 1

Lời giải.

Ta có P = x

2_{+ x + y}2_{+ y}

xy + x + y + 1 =

(x + y)2_{− 2xy + x + y}

x + y + 1 + xy =

2 − 2xy
2 + xy .

Đặt t = xy, vì 0 ≤ xy ≤ (x + y)

2

4 =

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Xét hàm số f (t) = 2 − 2t

2 + t với 0 ≤ t ≤
1

4. Ta có f

0_{(t) =} −6

(2 + t)2 < 0, ∀t ∈ 0 ≤ t ≤

1
4.

Suy ra max P = max
[0;1

4]

f (t) = 1, min P = min
[0;1

4]

f (t) = 2

3. 

<b>| Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một</b>

<b>khoảng</b>

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên khoảng (a; b) ta lập bảng biến

thiên của hàm số f (x) trên khoảng (a; b).

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc</b>

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x3 _{− 2x}2_{+ x − 6 trên khoảng (−1; 1).}

Lời giải.

Tập xác định: D = R, ta chỉ xét trên khoảng (−1; 1).

Đạo hàm: y0 = 3x2− 4x + 1; y0 _{= 0 ⇔}




x = 1

x = 1
3
.

Bảng biến thiên:

x

y0

y

−1 1

3 1

+ 0 −

−10
−10

−158
27

−158
27

−6
−6

Từ bảng biến thiên ta có max

(−1;1)y = −

158
27 = y

Å 1
3

ã

. _

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x3_{(1 − x)}2 _{trên nửa khoảng}

ï 1
2; +∞

ã
.

Lời giải.

Tập xác định: D = R, ta chỉ xét trên nửa khoảng ï 1
2; +∞

ã
.

Đạo hàm: f0(x) = x2(1 − x)(3 − 5x); f0(x) = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = 3
5.
Bảng biến thiên:

x

f0(x)

f (x)

1
2

3

5 1 +∞

+ 0 − 0 +

1
32

1
32

108
3215
108
3215

0
0

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Từ bảng biến thiên cho ta:
min

[1
2;+∞)

f (x) = f (1) = 0 và max
[1

2;+∞)

f (x) khơng tồn tại vì lim

x→+∞f (x) = +∞. 

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x

4 + x2 trên R.

Lời giải.

Tập xác định: D = R.

Đạo hàm: f0(x) = 4 − x

2

(4 + x2₎2; f

0_{(x) = 0 ⇔ x = ±2.}

Bảng biến thiên:

x

f0(x)

f (x)

−∞ −2 2 +∞

− 0 + 0 −

0
0

−1
4

−1
4

1
4
1
4

0
0

Vậy min

R

f (x) = f (−2) = −1

4 và maxR

f (x) = f (2) = 1

4. 

Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2√x + 1 −√x − 2 trên tập xác định của nó.

Lời giải.

Tập xác định: D = [2; +∞).

Đạo hàm: f0(x) = √ 1
x + 1 −

1
2√x − 2 =

2√x − 2 −√x − 1

2√x + 1 ·√x − 2 , x > 2.

Ta có f0(x) = 0 ⇔ 2√x − 2 −√x − 1 ⇔ 2√x − 2 =√x + 1 ⇔ 4(x − 2) = x + 1 ⇔ x = 3 > 2.
Bảng biến thiên:

x

y0

y

2 3 +∞

− 0 +

3
3

Vậy min

[2;+∞)f (x) = f (3) = 3. 

Ví dụ 5. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T = x2_{+ y}2_{+ 6z}3_.

Lời giải.

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có x2+ y2 ≥ 2xy = 2

z. Khi đó T ≥
2
z + 6z

3_.

Xét hàm số f (z) = 2

z + 6z

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Đạo hàm f0(z) = −2

z2 + 18z

2_{; f}0_{(z) = 0 ⇔ 18z}2 ₌ 2

z2 ⇔ z
4 ₌ 1

9 ⇒ z =

1
√

3 (vì z > 0).
Bảng biến thiên:

x

f0(z)

f (z)

0 √1

3 +∞

− 0 +

8√3
3
8√3

3

Từ bảng biến thiên suy ra f (z) ≥ fÄ√3ä = 8
√

3

3 nên T ≥

8√3

3 ⇒ min T =

8√3
3 .
Dấu “=” xảy ra khi z = √1

3 hay x = y =

4

√

3. _

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3x4_{− 4x}3_{+ 1 trên tập xác định của nó.}
Lời giải.

Đáp số: min

R

y = y(1) = 0. _

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x2+ 2

x trên khoảng (0; +∞).

Lời giải.

Đáp số: max

(0;+∞)f (x) = 3. 

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = √6x − 1

x2_{+ 1} trên nửa khoảng [2; +∞).
Lời giải.

Đạo hàm: f0(x) = x + 6

(x2_{+ 1)}√_x2_{+ 1}.

Đáp số: min

[2;+∞)f (x) =

11√5

5 = f (2). 

Bài 4. Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 + 2xy + 3y2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = (x − y)2.

Lời giải.

TH1: nếu x = 0, y = 0 (loại).

TH2: nếu x 6= 0, y = 0 thì P = 4.

TH3: nếu y 6= 0 thì P = 4 (x − y)

2

x2_{+ 2xy + 3y}2 =

4Å x
y − 1

ã2

Å x
y

ã2
+2x

y + 3

.

Đặt t = x

y, ta có P =

4(t − 1)2

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>| Dạng 3. Sử dụng GTLN, GTNN để giải phương trình, bất phương</b>

<b>trình, hệ phương trình</b>

Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b). Khi đó:

1. Phương trình f (x) = m có nghiệm thuộc đoạn [a; b] ⇔ min

[a;b] f (x) ≤ m ≤ max[a;b] f (x).

2. Bất phương trình f (x) ≥ m có nghiệm thuộc đoạn [a; b] ⇔ max

[a;b] f (x) ≥ m.

3. Bất phương trình f (x) ≤ m có nghiệm thuộc đoạn [a; b] ⇔ min

[a;b] f (x) ≤ m.

4. Bất phương trình f (x) ≥ m nghiệm đúng với mọi x ∈ [a; b] ⇔ min

[a;b] f (x) ≥ m.

5. Bất phương trình f (x) ≤ m nghiệm đúng với mọi x ∈ [a; b] ⇔ max

[a;b]

f (x) ≤ m.

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc</b>

Ví dụ 1. Giải phương trình √4

x − 2 +√4

4 − x = 2.

Lời giải.

Đặt f (x) =√4

x − 2 +√4

4 − x với 2 ≤ x ≤ 4

⇒ f0_{(x) =} 1

4
ñ

1

4

p(x − 2)3 −

1

4

p(4 − x)3

ô

= 0 ⇔ x − 2 = 4 − x ⇔ x = 3.

Bảng biến thiên:

x

f0(x)

f (x)

2 3 4

+ 0 −

f (2)
f (2)

2
2

f (4)
f (4)

Nhìn bảng biến thiên suy ra f (x) ≤ f (3) = 2, ∀x ∈ [2; 4]
⇒ phương trình √4

x − 2 +√4

4 − x = 2 có nghiệm duy nhất x = 3. _

Ví dụ 2.

a) Tìm m để phương trình x +√2x2 _{+ 1 = m có nghiệm.}

b) Tìm m để x +√2x2_{+ 1 > m, ∀x ∈ R.}

Lời giải.

Đặt f (x) = x +√2x2_{+ 1 ⇒ f}0_{(x) = 1 +} _√ 2x

2x2_{+ 1}

Ta có f0(x) = 0 ⇔√2x2_{+ 1 = −2x ⇔ x = −}_√1

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

x

f0(x)

f (x)

−∞ −√1

2 +∞

− 0 +

+∞
+∞

1
√
2
1
√
2

+∞
+∞

a) Nhìn bảng biến thiên suy ra phương trình f (x) = m có nghiệm ⇔ m ≥ f
Å

−√1

2

ã
= √1

2.

b) f (x) = x +√2x2_{+ 1 > m, ∀x ∈ R ⇔ m < min f (x) ⇔ m < f}

Å
−√1

2
ã

= √1
2.



Ví dụ 3. Tìm nghiệm x ∈


0;π

2


của phương trình π2x −16
3 x

3 ₌ π
2

6 sin 2x.

Lời giải.

Đặt f (x) = π2x −16
3 x

3 _{và g(x) =} π

2

6 sin 2x với x ∈


0;π
2


.

Ta có f0(x) = π2_{− 16x}2 _{= 0 ⇔ x =} π

4 ∈


0;π

2


.

Bảng biến thiên:

x

f0(x)

f (x)

0 π

4

π
2

+ 0 −

f (0)
f (0)

π3
6
π3

6

f
π

2

f

π
2



Nhìn bảng biến thiên suy ra max f (x) = fπ
4



= π

3

6 .

Mặt khác g(x) = π

2

6 sin 2x ≥

π3

6 , ∀x ∈


0;π
2



⇒ f (x) ≤ π

3

6 ≤ g(x)
⇒ phương trình f (x) = g(x) có đúng 1 nghiệm x = π

4. 

Ví dụ 4. Tìm m để bất phương trình m√2x2_{+ 9 < x + m nghiệm đúng ∀x ∈ R.}

Lời giải.

m√2x2_{+ 9 < x + m ⇔ m}Ä√_2x2_{+ 9 − 1}ä_{< x ⇔ m < f (x) =} _√ x

2x2_{+ 9 − 1}

Ta có f0(x) = 9 −

√

2x2_{+ 9}

√

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

f0(x) = 0 ⇔√2x2_{+ 9 = 9 ⇔ x = ±6.}

lim

x→+∞f (x) = limx→+∞

1
…

2 + 9
x2 −

1
x

= √1
2.

lim

x→−∞f (x) = limx→−∞

−1
…

2 + 9
x2 −

1
x

= √−1
2.

x

f0(x)

f (x)

−∞ −6 6 +∞

− 0 + 0 −

−√1
2
−√1

2
−3
4
−3
4
3
4

3
4 ₁
√
2
1
√
2

Nhìn bảng biến thiên suy ra min f (x) = f (−6) = −3
4.
Để f (x) > m, ∀x ∈ R thì min

x∈Rf (x) > m ⇔ m < −

3

4. 

Ví dụ 5. Tìm m để phương trình 2 + 2 sin 2x = m(1 + cos x)2 (1) có nghiệm x ∈h−π
2;
π
2
i
.
Lời giải.

Do x ∈
h
−π
2;

π
2
i
⇒ x
2 ∈
h
−π
4;
π
4
i

nên đặt tanx

2 = t ∈ [−1; 1]

⇒ cos x = 1 − t

2

1 + t2; sin x =

2t

1 + t2. Khi đó (1) ⇔ 2(sin x + cos x)
2

= (1 + cos x)2
⇔ 2Å 2t + 1 − t

2

1 + t2

ã2
= m

Å

1 + 1 − t

2

1 + t2

ã2

⇔ f (t) = (2t + 1 − t2₎2 _{= 2m (2)}

Ta có f0(t) = 2 (2t + 1 − t2_{) (2 − 2t) = 0 ⇔}

"
t = 1

t = 1 −√2.
Bảng biến thiên:

x

f0(x)

f (x)

−1 1 −√2 1

− 0 +

4
4
0
0
4
4

Nhìn bảng biến thiên suy ra: Để (2) có nghiệm t ∈ [−1; 1] thì min

t∈[−1;1]f (t) ≤ 2m ≤ maxt∈[−1;1]f (t) ⇔ 0 ≤

2m ≤ 4 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2.

Vậy để (1) có nghiệm x ∈
h
−π
2;
π
2
i

thì m ∈ [0; 2]. _

Ví dụ 6. Tìm m ≥ 0 để hệ








sin x cos y = m3− m2_{− 6m +} 35

4

cos x sin y = m2− 6m +33
4

(1) có nghiệm.

Lời giải.

(1) ⇔





sin x cos y + cos x sin y = m3− 12m + 17
sin x cos y − cos x sin y = m3− 2m2+ 1

2

⇔






sin(x + y) = m3− 12m + 17
sin(x − y) = m3− 2m2+1

2
(2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Bảng biến thiên:

m

f0(m)

f (m)

0 2 +∞

− 0 +

17
17

1
1

+∞
+∞

Nhìn bảng biến thiên suy ra f (m) ≥ f (2) = 1, ∀m ≥ 0. Mặt khác do sin(x + y) ≤ 1 nên để hệ (2) có

nghiệm thì m = 2, khi đó (2) ⇔





sin(x + y) = 1

sin(x − y) = 1
2

(3).

Ta thấy hệ (3) nhận




x = π

3
y = π
6

làm nghiệm. Vậy (1) có nghiệm khi m = 2. _

Ví dụ 7. Tìm m để hệ bất phương trình

(

x2− 3x ≤ 0

x3− 2x |x − 2| − m2_{+ 4m ≥ 0} (1) có nghiệm.

Lời giải.

(1) ⇔
(

0 ≤ x ≤ 3

f (x) = x3− 2x |x − 2| ≥ m2_{− 4m} (2)

Ta có f0(x) =
(

3x2+ 4x − 4 , ∀x ∈ [0; 2)
3x2− 4x + 4 , ∀x ∈ (2; 3]; f

0_{(x) = 0 ⇔ x =} 2

3.

Bảng biến thiên:

x

f0(x)

f (x)

0 2

3 2 3

− 0 + +

0
0

CT
CT

21
21

Nhìn bảng biến thiên suy ra max

x∈[0;3]f (x) = f (3) = 21.

Để (2) có nghiệm thì max

x∈[0;3]f (x) ≥ m

2_{− 4m ⇔ m}2_{− 4m ≤ 21 ⇔ −3 ≤ m ≤ 7.}



BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm m để phương trình 4x − 2 + 3√21 − 4x − x2 _{= m:}

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

b) Có đúng 1 nghiệm.

c) Có 2 nghiệm phân biệt.

Lời giải.

TXĐ: D = [−7; 3]. Xét hàm số f(x) = 4x − 2 + 3√21 − 4x − x2_{, ta có f}0_{(x) = 4 −} _√ 3(2 + x)

21 − 4x − x2 =

0 ⇔
"

x = −6

x = 2.
Bảng biến thiên:

x

f0(x)

f (x)

−7 −6 2 3

+ 0 + 0 −

−30
−30

15
15

10
10

Nhìn bảng biến thiên của hàm số f (x), ta suy ra:

a) Phương trình đã cho có nghiệm khi min

x∈[−7;3]f (x) ≤ m ≤ maxx∈[−7;3]f (x) ⇔ −30 ≤ m ≤ 15.

b) Phương trình có đúng 1 nghiệm khi " − 30 ≤ m < 10
m = 15.

c) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi 10 ≤ m < 15.



Bài 2. Tìm m để phương trình 4 sin4x + cos4x
+ (5 − 2m) cos 2x + 9 − 3m = 0 :
a) Có nghiệm.

b) Có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn
h

0;π
3
i

.

Lời giải.

Đặt t = cos 2x với −1 ≤ t ≤ 1. Phương trình trở thành 2t

2_{+ 5t + 11}

2t + 3 = m.

Xét hàm số f (t) = 2t

2_{+ 5t + 11}

2t + 3 , −1 ≤ t ≤ 1. Ta có f

0_{(t) =} 4t

2_{+ 12t − 7}

(2t + 3)2 = 0 ⇔






t = −7
2 (loại)

t = 1
2

.

Bảng biến thiên:

t

f0(t)

f (t)

−1 1

2 1

− 0 +

8
8

7
2
7
2

18
5
18

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Nhìn bảng biến thiên ta suy ra:

a) Phương trình có nghiệm khi min

t∈[−1;1]f (t) ≤ m ≤ maxt∈[−1;1]f (t) ⇔

7

2 ≤ m ≤ 8.

b) Khi x ∈
h

0;π
3
i

thì 2x ∈
ï

0;2π

3

ị

hay −1

2 ≤ t ≤ 1. Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn
h

0;π
3
i

khi phương trình ẩn t có 2 nghiệm t thuộc đoạn
ï

−1
2; 1

ò
hay 7

2 < m ≤
18

5 .



Bài 3. Tìm m để bất phương trình: −x3_{+ 3mx − 2 <} −1

x3 nghiệm đúng ∀x ≥ 1.
Lời giải.

BPT ⇔ 3mx < x3₋ 1

x3 + 2, ∀x ≥ 1 ⇔ 3m < x
2₋ 1

x4 +

2

x = f (x), ∀x ≥ 1.

Ta có f0(x) = 2x + 4
x5 −

2
x2 ≥ 2

 
2xÅ 4

x5

ã

− 2

x2 =

4√2 − 2

x2 > 0, ∀x 6= 0.

Suy ra f (x) đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Ycbt ⇔ f (x) > 3m, ∀x ≥ 1 ⇔ min

x≥1f (x) = f (1) = 2 > 3m ⇔ m <

2

3. 

Bài 4. Tìm m để phương trình x√x +√x + 12 = m √5 − x +√4 − x
có nghiệm.

Lời giải.

Đối với bài tốn này, nếu ta tính f0(x) rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ dẫn đến sai sót. Để
đơn giản, ta làm như sau:

TXĐ: D = [0; 4].

Đặt g(x) = x√x +√x + 12 > 0 ⇒ g0(x) = 3
2

√

x + 1

2√x + 12 > 0,

h(x) = √5 − x +√4 − x > 0 ⇒ h0(x) = −1
2√5 − x−

1

2√4 − x < 0.

Suy ra g(x) > 0 và tăng còn h(x) > 0 và giảm hay 1

h(x) > 0 và tăng

⇒ f (x) = g(x)

h(x) tăng ⇒ f (x) = m có nghiệm ⇔ minx∈[0;4]f (x) ≤ m ≤ maxx∈[0;4]f (x) ⇔ f (0) ≤ m ≤ f (4) ⇔

2Ä√15 −√12ä ≤ m ≤ 12. _

Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:








x + 1
x + y +

1
y = 5

x3+ 1
x3 + y

3₊ 1

y3 = 15m − 10.
Lời giải.
Đặt






x + 1

x = u

y + 1
y = v

. Ta có x3₊ 1

x3 =

Å
x + 1

x
ã3

− 3x · 1
x

Å
x + 1

x
ã

= u3_{− 3u}

và |u| =

x + 1
x

= |x| +








1
x








≥ 2
 

|x| ·








1
x

= 2, |v| =