Bài tập có đáp án chi tiết về dạng 3 tích phân hạn chế casio | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (211.7 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM -TÍCH PHÂN -ỨNG DỤNG
BÀI 2: TÍCH PHÂN

A – LÝ THUYẾT

B – PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I. Sử dụng định nghĩa, tính chất của tích phân + bảng nguyên hàm các hàm số
1. Dạng 1: Các câu hỏi liên quan đến lý thuyết

2. Dạng 2: Tìm tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản, mở rộng và định 
nghĩa, tính chất của tích phân

3. Dạng 3: Tính tích phân hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối
II. Phương pháp đổi biến số

1. Dạng 1: Phương pháp đổi biến số dạng 1: Đặt u=u x

( )

2. Dạng 2: Phương pháp đổi biến số dạng 2: Đặt x=u t

( )

(Đổi biến qua lượng giác)
3. Dạng 3: Đổi biến dựa vào cận

III. Phương pháp tính tích phân từng phần
Phương pháp: ….

1. Dạng 1:

2. Dạng 2:

3. Dạng 3:

4. Dạng 4: Kết hợp đổi biến và tích phân từng phần

IV. MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN KHÁC

1. Dạng 1: Tích phân của một số hàm đặc biệt (tích phân hàm chẵn, lẻ, tuần hồn và một 
số tích phân khác)

Ví dụ 1: Nợi dung

A. B. C. D.

Lời giải
Chọn ……
Giải theo tự luận

Giải theo pp trắc nghiệm
(Giải theo Casio nếu có).
Nhận xét:

Ví dụ 2: Nợi dung

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

……….

2. Tích phân hạn chế casio:

a) Dạng 1: Sử dụng các tính chất của tích phân để giải
Các tính chất của tích phân:

Tính chất 1:

. ( ) . ( )

b b

a a

k f x dx k f x dx



Tính chất 2:



( ) ( )



( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx



Tính chất 3:

( ) ( ) ( ) , ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx a c b 



.
 Lưu ý:

( ) 0

a

f x dx 



và

( ) ( )

b a

a b

f x dx f x dx



+) Tích phân chỉ phụ tḥc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến:

( ) ( )

b b

a a

f x dx f t dt



.

Ví dụ 1: Cho hàm số f x( ) liên tục trên khoảng



2;3



. Gọi F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên

khoảng



2;3



. Tính





( ) 2 d

I f x x x









, biết F ( 1) 1 , F(2) 4 .

A. I 6. B. I 10. C. I 3. D. I 9.

Lời giải

Chọn A.

Ta có





2 2 2

1
1

( ) 2 d ( ( ) ) (2) ( 1) 2 ( 1) 6

I f x x x F x x F F







         

Ví dụ 2: Cho

( ) 5



f x dx

,





( ) 2 ( ) 9



f x g x dx

. Tính

( )




I g x dx

.

A. I  .14 B. I 14. C. I 7. D. I 7.
Lời giải

Chọn D.





3 3 3 3 3

1 1 1 1 1

( ) 2 ( ) 9 ( ) 2 ( ) 9 ( ) 2 ( ) 9

f x  g x dx  f x dx g x dx  f x dx g x dx



5 2I 9 I 7

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ví dụ 3: Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn



0;10



thỏa mãn

( )d 7
f x x 



và

( )d 3

f x x 



. Tính

2 10

0 6

( ) x ( )d
P



f x d 



f x x

A. P 10. B. P 4. C. P 7. D. P 4.

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

2 6 10 6

0 2 6 2

( )d ( )d ( )d ( )d
P



f x x



f x x



f x x



f x x

10 6

0 2

( )d ( )d 7 3 4




f x x



f x x  

b) Dạng 2: Tích phân có chứa tham số trên cận.

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số a



0; 20



sao cho

2
sin .sin 2 d

a

x x x 



A. 9. B. 10. C. 19. D. 20.

Lời giải
Chọn B.

Ta có:





7 7

5 6 6

0 0 0 0

2 2sin 2sin

sin .sin 2 d 2 sin .cos d 2 sin .d sin

7 7 7

a

a a a

x a

x x x x x x x x













 

sin 1 sin 1 2 , .

a a a  k  k

        

Vì









1 39

; 20 0 2 20 0;1;2;3;...;9

2 4 4

a o    k      k  k

.
Vậy có 10 giá trị của k .

Ví dụ 2: Tìm tất cả các số hữu tỉ m dương thỏa mãn

d ln 2

1 2

m
x

x

x  



A. m 3. B. m 1. C. m 2. D. m 3.

Lời giải
Chọn B.

Ta có:





2 2

0 0 0

1 1 1

1 d ln 1 ln 1 ln 2

1 1 2 2 2

m

m m

x m

dx x x x x x m m

x x

   

               

     



2 1

2 2

1 2


 



 



  



m
m

m

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ví dụ 3: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b và

sin d
b

a

x x x 



đồng thời cosa a  và 0 bcos = b  .

Tính tích phân

cos d
b

a

I 



x x
.

A. I . B. I . C.

145
12

I 

. D. I 0.

Lời giải
Chọn D.

Đặt

d d

sin cos

 

 



 

 

 

u x u x

dv xdx v x





cos cos d = cos cos 0

  



      

b
b
a

a

x x x x b b a a I I I

 

Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị thực của a thuộc đoạn 4; 2




 

 

  thỏa mãn

sin 2

?
3
1 3 cos

a

xdx
x 





A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Lời giải
Chọn A.

Đặt

2 2

1 3 cos 1 3 cos 2 3 sin sin .

t  x  t   x tdt xdx xdx tdt

Suy ra :









1 3cos 2

1 3cos

0 2 1 3cos

;2 ;
4

2 sin 2 2 2 2

2 1 3 cos

3 1 3 cos 3 3 3 3

2 1 3 cos 1 1 3 cos cos 0

2
3

0;1 ; .

2 2

a a

a
a

a k

xdx tdt

dtt a
t

x

a a a a k

k a




 






 

  

 

      



          

 

         

 





Nghĩa là có 2 giá trị a thỏa mãn bài tốn

c) Dạng 3: Tích phân có chứa tham số dưới dấu tích phân

Ví dụ 1: Biết

2 2 2

  



xe dx axex x be x C, với a b,  . Tính tích a b. .

A.

1
.

a b 

. B.

1
.

a b 

. C.

1
.

a b 

. D.

1
.

a b 
.
Lời giải

Chọn C.

Đặt

2 2

1 1 1 1

. . .

2 2 2 4

x x x x

x x

du dx
u x

I x e e dx x e e dx C

dv e dx v e





 

      

 

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Suy ra

2 .

1 8

4
a

a b
b






 


 


 .

Ví dụ 2: Biết

2
0

ln 12 ln 7

4 7

x

dx a b

x x



 

 



, với ,a b là các số nguyên. Tổng a b là :

A. 1. B. 1. C. 0. D.

1
2.

Lời giải
Chọn C.





1 1 1

2 2 0

0 0

4 7

2 1 1 1 1

ln 4 7 ln12 ln 7

2 2 2 2

4 7 4 7

ln 12 ln 7 ln 12 ln 7

d x x

x

dx dx x x

x x x x

a b

 


     

   

   







    



 1

, a 1 0.

a b b a b

Ví dụ 2: Cho m thỏa mãn

2 4

2 3

1 2

(4 4 ) 4 d 2 d

m m x x x x x

     

 



. Nghiệm của phương trình log (3 x m ) 1

là:

A. x 0. B. x 1. C. x 2. D. x 3.

Lời giải
Chọn A.

Ta có:

2 3 2 2 4 2 2

1
1

(4 4 ) 4 d ( (2 2 ) 6 21

m m x x x m x m x x m m

           

 



và

2 4
2
2

2 dx x x 12



Suy ra: m2 6m21 12  m2 6m  9 0 m3.

Khi đó: log (3 x3) 1  x  3 3 x0.

Ví dụ 3: Tính tích phân

d
3 1

x
I

x x






được kết quả I a ln 3bln 5 với a,b là các số hữu tỉ. Giá trị
của a2ab3b2 là

A. 4. B. 1.. C. 0. D. 5.

Lời giải
Chọn D.

Đặt

2
d
3

3 1 3 1

1
2
dx t t

t x t x

t
x






      


 


 . Đổi cận:

1 2

5 4

x t

  




</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Khi đó



 



4 4

2 2 2

d d 1 9

3 2 ln ln 2ln 3 ln 5 ln 3 ln 5

1 1 . 1 1 5

.
3

t t t t

I a b

t t t t

t



       

   



Suy ra a2;b 1 a2ab3b2  . 5

Chú ý: ta có công thức tính nhanh với dạng nguyên hàm



 



ln .

-dx ax b

C

ax b cx d ad bc cx d

  

  

    



d) Dạng 4: Một số dạng khác

Ví dụ 1: Cho hàm số f x

( )

liên tục trên đoạn [ ]0;1 và thỏa mãn

( )

1
3

d 1
f x x=

ò

( )

1
2

1
6

2 d 13
f x x=

ị

. Tính

tích phân

( )

2 3

d .
I=

ị

x f x x

A. I =6. B. I =7. C. I =8. D. I =9.

Lời giải
Chọn D.

Xét

( )

1 1

1 1 1

6 3 3

2 13 13 26

2
t x

f x dx= ắắắ= đ f t dt= ắắđ f t dt=

ị

hay

( )

1
3

26.
f x dx=

ị

Tích phân

( )

2 3

.
I =

ò

x f x dx

Đặt

3 3 2 2 1

3
t=x ắắđ =dt x dxđx dx= dt

i cõn

0 0

1 1

x t

ì = ® =
ïï

íï = ® =

ïỵ .

Khi đó

( )

(

)

1 1 3 1

0 0 0

1 1 1 1

1 26 9.

3 3 3 3

I f t dt f x dx f x dx f x dx

é ù

ê ú

= = = ê + ú= + =

ê ú

ë û

ị

Ví dụ 2: Cho

 

d 3.
f x x 



Tính

d
2
x
f   x

 



A. 6. B.

3
2


. C. 1. D. 5.

Lời giải

Chọn A.

Cách 1: Đặt 2 2 d 2d

x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Khi đó

 





4 2 2

2 1 1

d 2 d 2 d 2. 3 6

f x x f t t f x x  



.

Cách 2: Chọn f x 

 

3 thỏa mãn

 





2 2

2
1

1 1

d 3 d 3 3

f x x  x x 



Suy ra

4 4

2 2

d 3d 6

2
x

f   x  x
 



Ví dụ 3: Cho hàm số f x

 

thỏa mãn





 

1 d 10

x f x x 



và 2 1f

 

 f

 

0  . Tính 2

 

0
d

I 



f x x
.

A. I 12. B. I 8. C. I  .12 D. I  . 8

Lời giải
Chọn D.

Cách 1: Đặt



 

1 d d

d d d

u x
u x

v f x x v f x x



 

 

 

 





.

Suy ra





 



  

 

1 1

0 0

10



x1 f x x d  x1 f x 



f x xd

 

10 2 1f f 0 I 10 2 I I 8

         .

Cách 2: (Dùng phương pháp chọn hàm)

Do bài toán có 2 điều kiện (2 phương trình) liên quan tới f x

 

nên ta chọn hàm f x

 

chứa 2
tham số. Cụ thể, ta chọn f x

 

ax b  f x

 

 .a

Khi đó:





 



  

1 1

0 0

1 d 10 1 d 10

x f x x   a x f x x



 

3 20 20

2 3 3

a

a f x x b

      

Suy ra

 

20 34 20 34

2 2 1 0 2

3 3 3 3

f f  b b b f x x

          

  .

Suy ra:

20 34

3 3 d

I   x  x

 



Ví dụ 4: Cho hai hàm số liên tục f x( ) và g x( ) có nguyên hàm lần lượt là F x( ) và G x( ) trên



0; 2



Biết F(0) 0, (2) 1, (2) 1 F  G  và

( ) ( )d 3
F x g x x 



. Tính tích phân hàm:

   

d
I 



G x f x x

A. I 3. B. I 0. C. I 2. D. I 4.

Lời giải

Chọn C.

Đặt

d ( ) d ( )d
( )

( )d ( )
( )d

u G x x g x x
u G x

v f x x F x
dv f x x



 




 



 

 



 



Suy ra:

2
2
0

( ). ( ) ( ) ( )d (2) (2) (0) (0) 3 1 0 3 2
I G x F x 



F x g x x G F  G F      

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

THÔNG HIỂU.

Câu 1. Nếu

 

d 2
f x x 



thì

 

3 2 d

I 



 f x   x

bằng bao nhiêu?

A. I  .2 B. I 3. C. I  .4 D. I  .1

Câu 2. Nếu F x

( )

là nguyên hàm của hàm số

( )

2
1
sin
f x

x
=

và đồ thị hàm số y=F x

( )

i qua im
;0

6
Mổ ửỗỗỗốp ữữữ

ứ thỡ F x

( )

là:

A.

( )

3
cot
3

F x = - x

. B.

( )

cot .
3

F x =- + x

C.

( )

3 cot .

F x =- + x D. F x

( )

= 3 cot .- x

Câu 3. Tìm các số a, b để hàm số f x

 

a sin x b  thỏa mãn: f 1

 

 và 2

 

f x dx 



A.

a, b 2 . B. a , b 2 . C. a 2, b 2



 

. D. a 2, b 2



 

Câu 4. Cho

1 1

ln 2 ln 3

1 2 dx a b

x x

 

  

 

 

 



với a b, là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a b 2. B. a 2b0. C. a b 2. D. a2b0.

Câu 5. Kết quả của tích phân

1 d

x x

x

-ổ ửữ

ỗ + + ữ

ỗ ữ

ỗố - ứ

ũ

c viờt di dng a+bln 2 vi a bẻ Ô, . Khi đó
a+b bằng:

A.

2. B.

3
2

-. C.

2. D.

5
2

VẬN DỤNG.

Câu 6. Biết rằng





ln x1 dx a ln 3bln 2c



với a b c, , là các số nguyên. Tính S   a b c.

A. S 1. B. S 0. C. S 2. D. S 2.

Câu 7. Ta có tích phân





4 1 ln d . .

e

I 



x  x x a e b

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Câu 8. Cho tích phân





1
2

.
1 2 3

x
I

x x



 



Đặt t 2x3, ta được

2
2

d
m

I t

t n






(với m n  , ).
Tính T 3m n .

A. T 7. B. T 2. C. T 4. D. T 5.

Câu 9. Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm f x'( ) liên tục trên đoạn [ ]0;1 thỏa mãn f( )1=1 và

( )

d 2

f x x =

ị

. Tính tích phân

( )

' d .

I =

ò

f x x

A. I =- 1.. B. I =1.. C. I =2.. D. I =- 2.

Câu 10. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên ¡ và thỏa mãn f(2016)=a, f(2017)=b(a b; Ỵ ¡ ). Giá trị

( )

2016

2014

2017

2015. . .d

I =

ị

f x f¢ x x
bằng:

A. I=b2017- a2017.. B. I=a2016- b2016..
C. I=a2015- b2015.. D. I =b2015- a2015.

Câu 11. Cho hàm số f x

( )

liên tục trên ¡ và có ( )
2

d 3.

f x x=

ị

Tính

( )

2 d .

I f x x

ò

A. I=0. B.

3
.
2

I=

C. I =3. D. I=6.

Câu 12. Cho hàm số y= f x

( )

liên tục trên ¡ và a>0. Giả sử rằng với mọi xỴ

[

0;a

]

, ta có

( )

0
f x >

và f x f a x

( ) (

)

=1. Tính 0

( )

d
1
a

x
I

f x
=

ò

A. 2

a

. B. 2a. C. 3

a

. D. aln(a+1).

Câu 13. Nếu

( )

2 d 6 2

x

a
f t

t x

t + =

ò

với x>0 thì hệ số a bằng:

A. 5. B. 9. C. 19. D. 29.

Câu 14. Biết rằng





ln x1 dx a ln 3bln 2c



với a, b, c là các số nguyên. Tính S   a b c.

A. S 1. B. S 0. C. S 2. D. S 2.

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực lớn hơn 1 của tham số m thỏa mãn





2 1000

ln d .ln ln 2 2 .
m

x x m m m 



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Câu 16. Biết

2
4

ln 2 ( , )
sin

x

dx m n m n

x



  





, hãy tính giá trị của biểu thức P2m n

A. P  .1 B. P 0,75. C. P 0, 25. D. P 0.

Câu 17. Cho hàm số yf x

 

liên tục trên  thỏa mãn

 

4
f x

dx

x 



và





sin cos 2.

f x xdx







Tích phân

 

I 



f x dx
bằng

A. I  .2 B. I 6. C. I  .4 D. I 10.

Câu 18. Giả sử

2
0

d ln 5 ln 3; ,

4 3

x

x a b a b

x x



  

 





. Tính P ab .

A. P 8. B. P 6. C. P  .4 D. P 5.

Câu 19. Biết rằng





1 3 2

3 d , , .

5 3

x a b

e  x e e c a b c

   





Tính 2 3.
b c
T  a 

A. T 6. B. T 9. C. T 10. D. T 5.

Câu 20. Cho hàm số y= f x

( )

xác định trên ¡ , thỏa mãn f x

( )

>0, " Ỵ ¡x và f x'

( )

+2f x

( )

=0.

Tính f

( )

- 1 , biết rằng f

( )

1 =1.

A. e-2. B. e3. C. e4. D. 3.

Câu 21. Biết rằng





2xcos3 2x cos3 sin 3
e xdx e a x b x c



, trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng

a + b có giá trị là

A.

1
13


. B.

5
13


. C.

13. D.

1
13

VẬN DỤNG CAO.

Câu 22. Cho f x

( )

liên tục trên ¡ và thỏa mãn

( )

(

)

2 3

f x f x

x

+ - =

+ . Tính

( )

d .

I f x x

ị

A. I 10.
p
=

. B. I 10.

p

=-. C. I 20.
p
=

. D. I 20.

p

=-Bảng đáp án

1C 2D 3A 4A 5B 6B 7C 8D 9C 10C

11C 12A 13B 14B 15C 16A 17C 18B 19C 20C

21C 22 23 24 25 26 27 28 29 30

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11></div>

Bài tập có đáp án chi tiết về dạng 3 tích phân hạn chế casio | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

( )

( )































.













<sub></sub>

Ta có





<sub></sub>



,







. Tính

<sub></sub>

.























<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>











<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





















<sub></sub>





<sub></sub>

