Đề thi có đáp án tuyển sinh vào 10 môn toán năm 2008 THPT chuyên quảng nam | Toán học, Lớp 10 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO</b> <b>KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN</b>

<b>QUẢNG NAM</b> <b>Năm học 2008-2009</b>

<b>Mơn TỐN </b>

<i><b> Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao </b></i>
<i>đề )</i>

<i><b>Bài 1 ( 1 điểm ): </b></i>

a) Thực hiện phép tính:

3

√

10+

√

20−3

√

6−

√

12

√

5−

√

3

_.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

<i>x−</i>

√

<i>x−2008</i>

.

<i><b>Bài 2 ( 1,5 điểm ): </b></i>

Cho hệ phương trình:

<i>mx − y =2</i>

<i>3 x + my=5</i>

¿

{¿ ¿ ¿
¿

a) Giải hệ phương trình khi

<i>m=</i>

√

2

.

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ

thức <i>x+ y=1−</i>

<i>m</i>2
<i>m</i>2+3 _.

<i><b>Bài 3 (1,5 điểm ):</b></i>

a) Cho hàm số <i>y=−</i>
1
2<i>x</i>

2

, có đồ thị là (P). Viết phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm M và N nằm trên (P) lần lượt có hồnh độ là −2 _{và 1.}

b) Giải phương trình: <i>3 x</i>2+3 x−2

√

<i>x</i>2+<i>x=1</i> _.

<i><b>Bài 4 ( 2 điểm ): </b></i>

Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường
<i>thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.</i>

a) Chứng minh:
<i>MO</i>
<i>CD</i>+

<i>MO</i>
<i>AB</i>=1 _.

b) Chứng minh:
1
<i>AB</i>+

1
<i>CD</i>=

2
<i>MN</i>.

c) Biết <i>SAOB</i>=<i>m</i>

2<i>_{; S}</i>

<i>COD</i>=<i>n</i>

2

. Tính <i>SABCD</i> _{theo m và n (với}

<i>S_AOB, S_COD</i> _, <i>S_ABCD</i> _{lần lượt là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện}

tích tứ giác ABCD).

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp.
b) OM ¿ _BC.

c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố định.

<i><b>Bài 6 ( 1 điểm ): </b></i>

a) Cho các số thực dương x; y. Chứng minh rằng:

<i>x</i>

2

<i>y</i>

+

<i>y</i>

2

<i>x</i>

≥

<i>x + y</i>

_.

b) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng <i>n</i>4+4<i>n</i> _{là hợp số.}

<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO</b> <b>KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN</b>

<b>QUẢNG NAM</b> <b>Năm học 2008-2009</b>

<b>Mơn TỐN </b>

<i><b> Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao </b></i>
<i>đề )</i>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN </b>
<b>I. Hướng dẫn chung:</b>

1) Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm
từng phần như hướng dẫn quy định.

2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải
đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm
thi.

3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25.
<b>II. Đáp án:</b>

<b>Bài</b> <b>Nội dung</b> <b>Điể</b>

<b>m</b>

<b>1</b>
<b>(1đ)</b>

a) Biến đổi được:

(

√

5−

√

3)(3

√

2+2)

√

5−

√

3

=3

_√

2+2

0,25

0,25

<i>b) Điều kiện x≥2008</i>

<i>x−</i>

_√

<i>x−2008=( x−2008−2.</i>1

2 .

√

<i>x−2008+</i>

1

4 )+2008−
1
4

=(

√

<i>x−2008−</i>1
2 )

2

+8031

4 ≥

8031
4

Dấu “ = “ xảy ra khi

√

<i>x−2008=</i>
1
2⇔<i>x=</i>

8033

4 _{(thỏa mãn). Vậy giá trị}

nhỏ nhất cần tìm là
8031

4 <i>khi x=</i>

8033

4 _.

0,25

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>2</b>
<b>(1,5đ</b>

<b>)</b>

a) Khi m =

√

2

ta có hệ phương trình

√<i>2 x− y= 2</i>
<i>3 x+</i>√<i>2 y=5</i>

¿

{_{¿ ¿ ¿}

¿

⇔

<i>2 x −</i>√2 <i>y = 2</i>√2
<i>3 x +</i>√2 <i>y = 5</i>

⇔

¿

<i>x =</i> 2√2 + 5

5

<i>y =</i>√<i>2 x − 2</i>

¿
¿ {¿ ¿ ¿

⇔

<i>x=</i>2√2+5₅

<i>y=</i>5√2−6

5

¿
¿{_{¿ ¿ ¿}

0,25

0,25

0,25

b) Giải tìm được: <i>x=</i>

<i>2m+5</i>

<i>m</i>2+3 <i>; y =</i>
<i>5 m−6</i>

<i>m</i>2+3

Thay vào hệ thức <i>x+ y=1−</i>

<i>m</i>2

<i>m</i>2+3 _{; ta được}
<i>2 m+5</i>

<i>m</i>2+3+

<i>5 m−6</i>

<i>m</i>2+3 =1−

<i>m</i>2
<i>m</i>2+3

Giải tìm được <i>m=</i>
4
7

0,25

0,25

0,25

<b> 3</b>
<b>(1,5đ</b>

)

a) Tìm được M(- 2; - 2); N (1:−
1
2)

Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng đi qua M và
N nên

−2 a+b=−2

<i>a+ b=−</i>1

2

¿

{_{¿ ¿ ¿}

¿

Tìm được <i>a=</i>
1

2<i>; b=−1</i> _{. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là}

<i>y=</i>1
2<i>x−1</i>

0,25

0,25

0,25

b) Biến đổi phương trình đã cho thành

<i>3( x</i>

2

+

<i>x)−2</i>

√

<i>x</i>

2

+

<i>x−1=0</i>

Đặt <i>t=</i>

√

<i>x</i>2+<i>x</i> _{( điều kiện t} ¿0 ), ta có phương trình

<i>3 t</i>2−2 t−1=0

Giải tìm được t = 1 hoặc t = −
1

3 (loại)

Với t = 1, ta có

√

<i>x</i>2+<i>x=1⇔ x</i>2+<i>x−1=0</i> _{. Giải ra được}

<i>x=</i>−1+

√

5

2 _hoặc <i>x=</i>

−1−

√

5

2 _.

0,25

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

0,25

<b>4</b>
<b>(2đ)</b>

Hình vẽ

O

A B

C
D

N
M

0,25

a) Chứng minh được
<i>MO</i>
<i>CD</i>=

<i>AM</i>
<i>AD</i> <i>;</i>

<i>MO</i>
<i>AB</i>=

<i>MD</i>
<i>AD</i>

Suy ra
<i>MO</i>
<i>CD</i> +

<i>MO</i>
<i>AB</i>=

<i>AM +MD</i>

<i>AD</i> =

<i>AD</i>

<i>AD</i>=1 ₍₁₎

0,25

0,50

b) Tương tự câu a) ta có
<i>NO</i>
<i>CD</i>+

<i>NO</i>

<i>AB</i>=1 ₍₂₎

(1) và (2) suy ra

<i>MO+NO</i>

<i>CD</i> +

<i>MO+NO</i>

<i>AB</i> =2 hay
<i>MN</i>
<i>CD</i> +

<i>MN</i>
<i>AB</i>=2

Suy ra
1
<i>CD</i>+

1
<i>AB</i>=

2
<i>MN</i>

0,25

0,25

c)

<i>S_AOB</i>
<i>S_AOD</i>=

<i>OB</i>
<i>OD</i> <i>;</i>

<i>S_AOD</i>
<i>S_COD</i> =

<i>OA</i>
<i>OC</i> <i>;</i>

<i>OB</i>
<i>OD</i>=

<i>OA</i>
<i>OC</i> ⇒

<i>S_AOB</i>
<i>S_AOD</i>=

<i>S_AOD</i>
<i>S_COD</i>

⇒<i>S</i>2<i>_AOD</i>=<i>m</i>2<i>. n</i>2⇒<i>S_AOD</i>=<i>m .n</i>

Tương tự <i>SBOC</i>=<i>m.n</i> _{. Vậy} <i>SABCD</i>=<i>m</i>

2

+<i>n</i>2+<i>2mn=(m+n)</i>2

0,25

0,25

<b>5</b>
<b>(3đ)</b>

Hình vẽ (phục vụ
câu a)

O I

C
D

M

B
A

0,25

a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD bằng nhau
- sđ góc AMB bằng sđ cung AB
Suy ra được hai góc AOB và AMB bằng nhau

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

O và M cùng phía với AB. Do đó tứ giác AOMB nội tiếp
b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực của BC (1)
- M nằm trên đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC, suy ra

<i>OM ⊥ BC</i>

0,25
0,25
0,25

<i>c) Từ giả thiết suy ra d ⊥OM</i>

Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với đường trịn ngoại tiếp tứ giác
AOMB, suy ra góc OMI bằng 900 , do đó OI là đường kính của đường
tròn này

Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn
ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy ra I cố định.

Vậy d luôn đi qua điểm I cố định.

0,25

0,25

0,25
0,25

<b> 6</b>
<b>(1đ)</b>

a) Với x và y đều dương, ta có

<i>x</i>

2

<i>y</i>

+

<i>y</i>

2

<i>x</i>

≥

<i>x + y</i>

₍₁₎

⇔<i>x</i>3+<i>y</i>3≥<i>xy ( x + y )⇔( x + y )( x− y )</i>2≥0 ₍₂₎

(2) luôn đúng với mọi x > 0, y > 0. Vậy (1) luôn đúng với mọi

<i>x>0, y>0</i>

0,25
0,25

b) n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k
là số tự nhiên lớn hơn 0.

- Với n = 2k, ta có <i>n</i>4+4<i>n</i>=(<i>2 k )</i>4+4<i>2 k</i> _{lớn hơn 2 và chia hết cho 2. Do}

đó <i>n</i>4+4<i>n</i> _{là hợp số.}

-Với n = 2k+1, tacó

<i>n</i>4+4<i>n</i>=<i>n</i>4+4<i>2k. 4=n</i>4+(2 . 4<i>k</i>)2=(<i>n</i>2+2 . 4<i>k</i>)2−(<i>2. n . 2k</i>)2

= (n2_{+ 2}2k+1 _{+ n.2}k+1_)(n2_{+ 2}2k+1_{– n.2}k+1_{) = [( n+2}k₎2 _{+ 2}2k_{][(n – 2}k₎2₊

22k_{]. Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n}4_{+ 4}n_{là hợp số}

0,25

0,25

</div>

<!--links-->