Tiet 07 gia tri lon nhat va gia tri nho nhat cua ham so

Bài 3 :

Giáo viên :

Phạm Quốc Khánh

Chương trình thay sách Toán THPT của Bộ GD-ĐT


I - ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D ,
nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M
kí hiệu : M = max f(x)
D
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D ,
nếu f(x) ≥ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = m
kí hiệu : m = min f(x)
D

Ví dụ 1 .
Giải :

1

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y = x − 5 + x
trên khoảng ( 0 ; + ∞)
1 x2 −1
Trên (0 ; + ∞) có : y ' = 1 − 2 = 2
x

Bảng biến thiên :
x
y’
y

1

0

−

0

+∞

+∞

+

Từ bảng biến thiên trên khoảng (0 ; + ∞) hàm số có
giá trị cực tiểu duy nhất đó cũng là giá trị nhỏ nhất
của hàm số

Vậy min f(x) = - 3 ( tại x = 1)
+∞

-1

x

; y ' = 0 ⇔ x2 −1 = 0 ⇔ x = 1

(0 ; + ∞)

Không tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số trên (0 ; + ∞)


II - CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Đặt vấn đề :
Xét tính đồng biến , nghịch niến và Tính giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của hàm số :
a) y = x2 trên [-3 ; 0]

a) y = x2 trên [-3 ; 0]

Giải :

b) y =

Trên [-3 ; 0]) có : y’ = 2x
và y’ = 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên :

x

y

0

-3

−

y’

b)

−

0

9

y=

x +1
x −1

x +1
trên [3 ; 5]
x −1

trên [3 ; 5]

Trên [3 ; 5]) có : y’ =
Bảng biến thiên :
x

( x − 1)

−

y ↓ / [ −3;0]

[ −3;0]

min y = 0
[ −3;0]

−

2
3/2

0
max y = 9

y’ < 0

2

5

3

y’
y

−2

y ↓ / [ 3;5]

max y = 2
[ 3;5]

min y =
[ 3;5]

3
2


1. Định lý :
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất trên đoạn đó .
Thừa nhận định lý này

Ví dụ 2 .

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y = sin x trên
 π 7π 
π

a)  ; 
b)  ; 2π 
6

6

Giải : a) Vẽ đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn  π ; 2π 

Tính các giá trị hàm số
 6

y
π 7π
Trên D =  ;  Có :
1 −
6 6 
1
7π
π  1
π 
 7π
y  ÷=
y  ÷= 1 y 
2
6
6 2
2
 6
O
1
−
2

|

π
6

|

π
2

|

π

|

6 

|

3π
2

|

x

2π

Từ đó có :
max y = 1
D

-1 −

π  1
π

y
b) Tương tự xét trên E =  ; 2π  Có :  6 ÷ = 2
 
6


π 
y  ÷= 1
2
max y = 1
E

 3π 
y  ÷ = −1
 2 
min y = −1
E

min y = −
D

y ( 2π ) = 0

1

=
−

÷
2

1
2


2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của
hàm số liên tục trên một đoạn
− x 2 + 2
y=
x

Cho hàm số :

neu − 2 ≤ x ≤ 1
neu 1 < x ≤ 3

Có đồ thị như hình vẽ . Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-2 ; 3]
và nêu cách tính .

max y = 3

y

[ −2;3]

y ( −2 ) = −2

2 --

y ( 0) = 2
y ( 1) = 1

1 -|
-2

O
-1 --

-2 --

[ −2;3]

Nêu cách tính

3 --

|
-1

min y = −2

|
1

2

|
3

y ( 3) = 3
x

Có nhận xét (Đọc sgk trang 21 )


QUY TẮC :
1) Tìm các điểm x1 ; x2 ; … xj trên khoảng (a ; b) tại đó f’(x) = 0
hoặc f’(x) khơng xác định
2) Tìm f(a) ; f(x1) ; f(x2) ; … ; f(xj) ; f(b)
3) Tìm số lớn nhất M ; số nhò nhất m các số trên và có
M = max f ( x )

m = min f ( x )

[ a ;b ]

Chú ý :

[ a ;b ]

Hàm số liên tục trên một khoảng có thể khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất trên khoảng đó . Ví dụ : f ( x ) = 1
x

Khơng có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng ( 0 ; 1)
Tuy nhiên cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên 1
khoảng như ví dụ sau :
Ví dụ 3 .

Cho tấm tơn nhơm hình vng cạnh a . Người ta cắt ở 4 góc 4 hình vng
bằng nhau , rồi gấp tấm nhơm như hình vẽ để được cái hộp khơng nắp . Tính
cạnh của các hình vng bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất .


⇒

a

Giải : Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt bỏ ⇒ 0 < x < a
Thể tích khối hộp là :
 a
Ta phải tìm x0 ∈  0; ÷
 2

a

0
<
x
<

÷
2

sao cho V(x0) có giá trị lớn nhất .

V ( x ) = x ( a − 2x )



a

Có V’(x) = (a-2x)(a-6x) và trên  0; ÷
 2
Bảng biến thiên :

x

a
6

0

+

V’(x)

0

a
2

─

2a
27

V(x)

0

2

; V’(x) = 0 ⇔ x =




0

a
6

Hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất nên tại đó
V(x) có giá trị lớn nhất .
2a 3
max V ( x ) =
27
 a
0;

3

2

÷
2

x=

a
6


*Ví dụ .

Giải :

f ( x) = −

Lập bảng biến thiên của hàm số

1
1 + x2

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định
2x
Hàm số xác định với mọi x ∈ R ;
f '( x) =
2
2
x
+
1
(
)
f’ (x)= 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên :

x

0

-∞

─

f’

+∞

0

Vậy hàm số :

+

min f ( x ) = −1
R

0

0

x=0

f

−1

Bài trắc nghiệm :

A
Bài tập về nhà :

Giá trị lớn nhất của hàm số : y = x4 - 3x2 + 2 trên đọan [ 0 ; 3 ]
16

B

26

C

36

D

Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 trang 23 và 24 sgk GiẢI TÍCH 12

56