Tiet 11 khao sat su bien thien va ve dt cua ham so (muci II 1)

1. Các bứơc khảo sát hàm số y=f(x)
i) Tập xác định: (nhận định thêm về hàm số chẳn, hàm
số lẻ,hàm số tuần hồn)
ii) Sự biến thiên:
1) Tìm giới hạn ,tiệm cận ( nếu có )
2) Chiều biến thiên : ( Tính y’, kháo sát dấu y’ )
3) Lập BBT xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến
4) Cực trị ( nếu có )
5)Điểm uốn có hồnh độ là nghiệm của đạo hàm cấp 2

iii) Đồ thị:
• Tìm giao điểm (nếu có) của đồ thị với trục tung và trục
hồnh các điểm phụ và vẽ đồ thị đi qua các điểm đã tìm.


2. Hàm số bậc 3: y=ax3+bx2+cx+d
(a≠
0)1: Khảo sát hàm số: y= 2x3-3x2+1
Ví dụ
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số y = -x3+3x2-3x+2
Giải: 1) TXĐ: D=R
2) Sự biến thiên:
a) Giới hạn: lim y = + ∞ , lim
x →+ ∞
x →− ∞
•Đồ thị khơng có tiệm cận
b) Chiều biến thiên
y’ = 6x2-6x, y’=0 ⇔ x=0 hoặc x=1.

y = −∞

y’ >0 trên (-∞;0) và (1; +∞), y’ <0 trên (0;1)
c) Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=0; yCĐ=1, cực tiểu tại
x=1;y =0.


d)Bảng biến thiên
x -∞
0
y’
+ 0
y -∞
e) điểm uốn

1

-

1
0
0

+∞
+
+∞

• y’’=12x-6 ,y’’=0 ⇔ x= 1/2
Điểm uốn

I(1/2;1/2)

3) Đồ thị: y=0 ⇔(x-1)2 (2x+1)=0 ⇔ x=1 , x=-1/2.
x=0 ,y = 1. (1;0) và(-1/2;0) là giao điểm của đồ thị với
trục hoành và.(0;1) giao điểm của đồ thị với trục tung.


6

5

4

3

2

1

1/2 I
-6

-4

-2

-1/2

1/2 1

-1

-2

-3

-4

2

4

6


Chú ý 1: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm
đối xứng. Thật vậy:
uur
1 1
Tịnh tiến hệ trục toa độ theo véctơ: OI , với I  ; ÷

2 2
1

 x = X + 2

y = Y + 1

3
2

2
1
1
1
•y =2x3-3x2+1⇔ Y + = 2  X + ÷ − 3  X + ÷ + 1
2
2
2


3 3 2
⇔ Y = 2X − X là hàm số lẻ trên R nên đò thị hàm số
2

này nhận điểm I làm tâm đối xứng.

Chú ý 2: Tiếp tuyến tại điểm uốn có phương trình:
3
1 1 ⇔ y=−3x+ 5
y = −  x − ÷+
2
4
2
2 2


Ví dụ2: Khảo sát hàm số y = -x3+3x2-3x+2
Giải:1)TXĐ :R
2)Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên: y’ = -3(x2-2x+1) = -3(x-1)2 ⇒ y’ ≤ 0

dấu ‘= ‘ xảy ra khi x=1 ⇒ hàm số nghịch biến trên R.
b) Cực trị: Hàm số khơng có cực trị
y = − ∞ , lim y = + ∞
c) Giới hạn: xlim
→+ ∞
x →− ∞
Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận
d)Bảng biến thiên
x
-∞
1
+∞
y’
y

+∞

0

-∞


e) điểm uốn
y’’=-6(x-1) ,y’’=0⇔ x=1
Đ.uốn

I(1;1)

3)Đồ thị: Giao điểm với trục Ox: (2;0)
Giao điểm với trục Oy: (0;2)

Chú ý:
Tiềp tuyến tại điểm uốn(1;1) là : y=1


8

y

6

4

2

-10

1

-5

-2

-4

-6

-8

2

5

10

x


Tóm tắt: y =ax3+bx2+cx+d (a ≠ 0)
•Tập xác định R.
•Đồ thị ln có 1 điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm
đối xứng. (Chứng minh xem như bài tập)
•y’= 3ax2+2bx+c .
•Nếu y’=0 có hai nghiệm phân biệt thì hàm số có cực đại
và cực tiểu và đồ thị có hai dạng sau:
12

a>0

10

a<0

10

8

8

6

6

4

4

2

2

-10

-10

-5

5

-2

-4

10

-5

5

-2

-4

-6

10


•Nếu y’ =0 có nghiệm kép, hàm số đơn điệu, tiếp tuyến
tại điểm uốn cùng phương với trục hoành. Đồ thị có dạng
sau:

-10

8

8

6

6

4

4

2

2

-5

5

10

-10

-5

5

-2

-2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

10

Nếu y’ =0 vơ nghiệm, hàm số đơn điệu. Đồ thị có dạng sau:

-10

8

8

6

6

4

4

2

2

-5

5

10

-10

-5

5

-2

-2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

10


Nhận Xét: y=ax3+bx2+cx+d (a≠ 0)
1) Nếu hàm số có cực đại và cực tiểu: A(xCT,yCT),
B(xCĐ,yCĐ) thì chia y cho y’ ta có :
y = y’(ux+v) + αx+β⇒ yCT= αxCT+β và yCĐ= αxCĐ+β.
Do đó, y = αx+β là đường thẳng đi qua hai điểm cực
đại và cực tiểu của đồ thị.
2) Số giao điểm của đồ thị và trục hoành: (bằng số
nghiệm của phương trình hồnh độ giao điểm y =0).
Số nghiệm
Hàm số

•
Đơn điệu
1
•yCĐ.yCT > 0
2
y .y =0
CĐ

3

CT

yCĐ.yCT < 0


2) Hàm số y =ax4+bx2+c (a≠ 0)
Ví dụ1: Khảo sát hàm số: y= x4-2x2-3
1) Tập xác định: D=R, hàm số chẳn
2) Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên: y’=4x3-4x , y’ = 0 ⇔x=-1,x=0,x=1
•y’ > 0 trên (-1;0)và (1;+∞) , y’ < 0 trên (0;1) và (-∞;-1)
b) Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x= ± 1,yCT = -4 và
đạt cực đai tại x = 0 ,yCĐ = -3.
c) Giới hạn:
2
3
4
lim = lim x (1 − 2 − 4 ) = + ∞
x →± ∞
x →± ∞

x
x
•Đồ thị khơng có tiệm cận:
hambac4.gsp


d) Bảng Biến Thiên:
x
y’

-∞

-1
0

-

0
+ 0

y +∞

1
0

-

y’’
ĐT

-∞

+

-3

+∞

-4
e) Tính lồi lõm , điểm uốn:
x=±
y’’=12x2-4 , y’’ = 0 ⇔
x

+∞

−

-4
3
3
3
3

3
3

+
0
lõm Đ.uốn

(− 33 ;-32/9)

lồi

0 +
Đ.uốn
(

3
3

;-32/9)

+∞
lõm


3) Đồ thị : Đồ thị nhận Oy là trục đối xứng và cắt oy tại
(0;-3) . ĐT cắt Ox tai hai điểm (− 3;0) and ( 3;0)
8

6

4

y=ax4+bx2+c

2

-10

-5

5

-2

-4

-6

-8

10


Ví dụ 2: Khảo sát hàm số:

x4
3
y = − − x2 +
2
2

Giải: 1) TXĐ : D=R , hàm số chẳn.
2) Sự biến thiên:
a)Chiều biến thiên: y’=-2x3-2x=-2x(x2+1)=0⇔x=0.
Y’ > 0 trên (-∞;0) , y’ < 0 trên (0;+ ∞)
b) Cực trị: Điểm cực đại x = 0; yCĐ=3/2.
c) Giới hạn: lim = lim − x 4 ( 1 + 12 − 3 4 ) = − ∞

x →± ∞

BBT

x → ±∞

2

• Đồ thị khơng có tiệm cận
x -∞
y’
y
-∞

+

0
0
3/2

x

2x

+∞
-∞


e) Tính lồi lõm, điểm uốn:
•Y’’=-2(3x2+1) < 0 ∀x∈R

x -∞
y’’
ĐồThị

+∞
lồi

3)Đồ thị
Đồ thị nhận Oy làm trục đố xứng ; y = 0 ⇔ x= ± 1
ĐT cắt Ox tại (-1; 0) và (1;0)


5

4

3

y=a
x4+bx2+c

2

1

-8

-6

-4

-2

2

-1

-2

-3

-4

-5

4

6

8


Tóm tắt: y =ax4+bx2+c (a≠ 0)
a>0

a<0
5

5

y’=0 có
3 nghiệm
Phân biệt

4

4

3

3

2

2

1

1

-8

-6

-4

-2

2

4

6

-8

8

-6

-4

-2

-5

-5

-4

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

-2

8

-4

-4

-6

6

-3

-3

-8

4

-2

-2

y’=0 có
1 nghiệm

2

-1

-1

2

4

6

8

-8

-6

-4

-2

2

-1

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

4

6

8


Bài tập:
1) Bài tập SGK

2)Chứng minh đồ thị hàm số bậc 3 nhận điểm uốn làm
tâm đối xứng.
3) Cho hàm số y = 4x3-ax. Tìm a sao cho y ≤1 với
mọi x ∈[-1;1]. Khảo sát hàm số tìm được.
4) Tìm hàm số y = 4x3+ax2+bx+c sao cho: cho y ≤1
với mọi x ∈[-1;1].
5) Cho hàm số y = x4+4x3+4x2 + m.
i) m=0 khảo sát hàm số. Chứng minh rằng đồ thị có
trục đố xứng.
ii) Giải biện luận phương trình y =0.
iii) Tìm m để đồ thị cắt trục hồnh 4 điểm phân biệt có
hồnh độ lập thành cấp số cộng


ax+b
(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)
Hàm số y =
cx+d
-x+2
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: y =
2x+1
 1
Giải:i) Tập xác định: ¡ \ − 
 2

2) sự biến thiên:
−5
y
'
=

a) Chiều biến thiên:
(2 x + 1) 2
•Y’ khơng xác định tại x=-1/2
•Y’<0 ,∀x ≠ -1/2 .Vậy hàm số nghịch biến trên các
Khoảng (-∞;-1/2) và (-1/2;+∞).
b) Cực trị : hàm số khơng có cực trị.
c) Giới hạn:


−x + 2
lim − y = lim −
= −∞
 1
 1  2x + 1
x → − ÷
x → − ÷
 2

 2

−x + 2
lim + y = lim +
= +∞
 1
 1  2x + 1
x → − ÷
x → − ÷
 2

 2

Vậy :đường thẳng :x=-1/2 là tiệm cận đứng

−x + 2
1
lim− y = lim−
=−
x →∞
x →∞ 2 x + 1
2
Vậy :đường thẳng :y=-1/2 là tiệm cận ngang
d) Bảng biến thiên


X

-∞

Y’
y

-1/2

+∞

-

+∞

-1/2

-∞

-1/2

3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại A(0;2), cắt trục hoành
Tại B(2;0).
Chú ý: Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I (-1/2;-1/2)
làm tâm đối xứng.Tịnh tiến hệ trục toạ độ theo véctơ
OI thì ta có phương trình: Y = 5
4X


a = -1.00
b = 2.00
c = 2.00
d = 1.00
a⋅x+b
f(x) =
c⋅x+d

8

6

−x + 2
y=
2x + 1

4

2

2

O
-10

-5

I
-2

-4

-6

-8

5

10