Tiet 47 nguyen ham (muc i 1 2)

Bài tốn vật lý
• Ta đã biết bài tốn chất điểm chuyển động
thẳng có phương trình s=f(t) với f(t) là
hàm số có đạo hàm
• Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t)
• Trong thực tế có khi ta gặp bài tốn ngược
là biết vận tốc v(t) tìm phương trình
chuyển động s=f(t)
Từ đó ta có bài tốn : Cho hàm số f(x) xác định
trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên
khoảng đó: F’(x)=f(x)


&1. NGUYấN HM
I. Nguyên hàm và tính chất :
II. 1. Nguyên hàm :
a. Định nghĩa:

Hàm số y = f(x) xác định trên K
Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm
của
f(x) trên K nÕu F’(x) = f(x)
víi mäi x thuéc K


Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là những
hàm số nào
a. F(x) = x2

b. F(x) = x2 + 3

c. F(x) = x2 - 4
d. Tất cả các hàm số trên

Hãy chọn phương án đúng


Nhận xét
• Mọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C là hằng số tùy ý) đều là
nguyên hàm của hàm số f(x)=2x Trên R
• Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số túy ý) đều là
nguyên hàm của hàm số
trªn các khoảng xác định.

1
g(x) 2
cos x
Tng quỏt ta cú nh lý


b.Định lý:
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng K thì:
*Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm
của hàm số f(x) trên khoảng đó.
*Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với C
là một hằng số.
F(x) + C (C thuéc R) gäi là họ các nguyên
hàm của f(x)
f ( x).dx F ( x)  C

kí hiệu :

�


2.Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1 :

f
(
x
)
dx

f
(
x
)

C
�

Tính chất 2 :

kf
(
x
)
dx


k
f
(
x
)

C
..(
k
�
0)
�
�

Tính chất 3 :

/

[
f
(
x
)
�
g
(
x
)]
dx


f
(
x
)
dx
�
g
(
x
)
dx
�
�
�


3.Sự tồn tại nguyên hàm

Định lý 3 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có
nguyên hàm trên K
4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
x
1. 0 dx  C
a
x

�
C
5.�
a dx 

ln a
2.�
dx  X + C
6.�
cos x.dx  Sinx + C
1  1

3.�
x dx  x  C 7. sin x.dx  - Cosx + C
�
 1
1
1
4.�dx ln x  C 8.� 2 dx  Tanx + C
cos x
x

5.�
e dx  e  C
x

x

1
9.� 2 dx - cotx + C
sin x


VD:Tính nguyên hàm
1


2

1
3
x dx  �
x dx
1.�
(3 x 
) dx  3�
1
x
3 4
 x  2x 2  C
4
3

sin xdx  2 �
2 dx
2, �
(2sin x 2 )dx  2 �
x 1

x

x

2
 2 cos x  2
C

ln 2
1
3, �
2sin 2 x.cos xdx  .2( �
sin xdx  �
sin 3 xdx)
2

1
  cos x  cos 3 x  C
3


Qua bài học ta đã biết
- Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách
chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm
của 1 hàm số cho trước
- Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm
1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C


VD 2
Chứng minh Rằng :

ta
n
x

x


C
tan
xdx
.

�
2

Ta có :

tan
xdx
.

�
2

(1

tan
x

1)
dx
�
2

1
�
( 2  1)dx  tan x  x  C

cos x


1

�
�
Hàm số F (x)  cos�  2x�là nguyên
2 �3
�

hàm của hàm số nào sau đây?

a.

b.

� �
f1  x  sin�2x  �
� 3�

1 �
�
f2  x   sin�  2x�
2 �3 �

c.

d.

1 �
�
f3  x  sin�  2x�
2 �3
�

�
�
f4  x  sin�  2x�
�3
�


2. Xác định a để hàm sốax 1
F x
là
x1
1

f x
một nguyên hàm của hàm số x  1 2

trªn

R \  1

Ta có

F ( x) 
/

Suy ra : - a – 1 = 1

a
�
�
1
�

1�
�
1�

( x  1)

2

a  1

2
( x  1)

Vậy a = - 2


3. Cho
. f  x 

x 1
2x  1

vµ
F  x ax b 2x 1

Xác định a, b để F(x) là một nguyên
1

;
2

hàm
của
f(x)
trên
GII:

1
F ( x)  a. 2 x  1  (ax  b).
2
x

1
a(2 x  1)  ax  b 3ax  a  b


� 1
2x 1
2x 1
a
/

Suy ra :

3a  1
�
�
a b 1
�

�
� 3
��
2
�
b
� 3


4. Xác định a, b, c sao cho
hàm số
F(x)=(ax2+bx+c)e-x là một
nguyên hàm của hàm số
f(x)=(2x2-5x+2)e-x trên R


1

Hàm số F (x)  2 x là một nguyên
hàm của hàm số nào sau đây?
a. f1  x  x

b.

f2  x 

1
2x x

c.
d.

f3  x  

f4  x 

1
4x x

1
4x x


Bài tập
Tìm F(x) biết
F (x)
2xdx
và F(1)=3
Hớng dẫn:
F(x)=x2+C
Mà F(1)=3 
1+C=3C=2

VËy F(x)=x2+2


II.PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số:
a. Định lý 1 : nếu
và u = u(x) là hàm số có
đạo hàm liên tục thì :
b.Phương pháp:
B1: đặt u = u(x)
B2: tính du = u’(x)dx
B3: tính

f (u )dx  F (u )  C
�

f
(
u
)
u
(
x
)
dx

F
(
u
(

x
))

C
�
/

f
(
u
)
u
(
x
)
dx

F
(
u
(
x
))

C
�
/


VD: tính các nguyên hàm sau

1.

(2
x

1)
dx
�

B1: đặt u = 2x+1
B2: du = 2dx
B3:
5

5

du
(2
x

1)
dx

u
.
�
� 2
1
1 6
1

6
5
 �
u du  u  C  (2 x  1)  C
12
2
12
5


VD: tính các nguyên hàm sau
2.

x
x

5.
dx
�
2

3

B1: đặt u  x  5
2
B2:
du  3 x dx
B3:
2
3

3

du
� x dx 
3
2

du
x
x

5.
dx

u
.
�
� 3
3
1
3
2
2 2
2 3
2
 �
u .du  u  C  ( x  5) 2  C
9
9
9

Cách 2 VD: tính các nguyên hàm sau
2.

x
x

5.
dx
�
2

3

�u  x 5
B1: đặt u  x  5
2u.du
2
2
B2: 2u.du  3 x dx � x dx 
3
B3:
2u.du
3

x
�
2

2

x  5.dx  �
u.

3

3

2
2 3
2
 �
u .du  u  C
3
9

3

3
2

2 3
 ( x  5)  C
9


VD: tính các nguyên hàm sau

sin

x
.cos
x
.
dx
�
2

3.

u  sin x
B1: đặt
B2: du  cos x.dx
B3:
2

3

sin x.(1  sin x) cos x.dx
�
�
u (1  u ).du  �
(u  u )du
2

3

2

2

5

2

4

u
u
sin x sin x


C 

C
3
5
3
5
3

5