Tiet 51 nguyen ham (muc II)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH

TRƯỜNG THPT PHỤ DỰC

Giáo viên thực hiện : Nguyễn Giang Nam


A. Phương pháp đổi biến số
Bài 1: Tính

x .dx

1. �
x

x2  1

2. �
cos5 x sin 3 x.dx
2  ln 2 x .ln xdx
3. �
x

Bài giải
1. Ta có :
x.dx

�
x

x2  1

�
x( x  x 2  1)dx





1
�
x 2 dx  �
x2  1
2
x3 1

 .
3 2

3
( x 2  1) 2

3
2

1
2

d ( x 2  1)

C

x3 1

 . ( x 2  1)3  C
3 3


A. Phương pháp đổi biến số
Bài 1: Tính

x .dx

1. �
x

2

x 1

2. �
cos5 x sin 3 x.dx
2

2  ln x .ln xdx
3. �
x

Tổng quát hóa
m
2 n 1

cos
x
sin
x.dx
�
2 m 1
n
cos
x
sin
x.dx
�

( m, n �N *)

Bài giải
2. Ta có :
Cách 1
5
3
5
2
cos
x
sin
x
.
dx

cos

x
sin
x.sin xdx
�
�

 �
cos5 x(1  cos 2 x).d (cos x)
�
(cos7 x  cos5 x)d (cos x)
cos8 x cox 6 x


C
8
6
Cách 2
5
3
4
3
cos
x
sin
x
.
dx

cos
x

sin
x.cos xdx
� 3
�
�
sin x(1  sin 2 x) 2 .d (sin x)

�
(sin 7 x  2sin 5 x  sin 3 x) d (sin x)
sin 8 x sin 6 x sin 4 x



C
8
3
4


A. Phương pháp đổi biến số
Bài 1: Tính

x .dx

1. �
x

x2  1

2. �

cos5 x sin 3 x.dx
2  ln 2 x .ln xdx
3. �
x

Bài giải
3. Ta có :
Đặt :

t  2  ln 2 x � dt 

2 ln x
dx
x

Khi đó, ngun hàm cần tính trở thành
1
t 2 dt

�t dt  �

3

2 2
2 t3
 t C 
C
3
3

Thay t  2  ln 2 x vào kết quả, ta được :
2  ln 2 x .ln xdx 2

�
x
3

(2  ln 2 x )3  C


A. Phương pháp đổi biến số
Bài 2: Tính

Bài giải
1. Ta có :
Đặt :

( x  1) dx
1. �
3
3x  1
dx
2. �
x (1  x 5 )

t3 1
t  3x  1 � x 
3
1
(� dt 

dx) � dx  t 2 dt
3
(3 x  1) 2
3

Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành
t3 1
1
1
2
4
3
t
dt

(
t
 2t ) dt
� t
�
3
1 t5
 (  t2)  C
3 5

Thay

t

3

3x  1

vào kết quả, ta được :

( x  1)dx 1 3
13
5
2

(3
x

1)

(3
x

1)
C
�3 3x  1 15
3


A. Phương pháp đổi biến số
Bài 1: Tính

Bài giải
2. Ta có :
Đặt :

Bài 2: Tính

( x  1) dx
1. �
3
3x  1
dx
2. �
x (1  x 5 )

1
1
�x
x
t
1
1
(� dt   2 dx) � dx   2 dt
x
t

t

Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành
dt
t 4 dt
�
( 2 )  �
5

1
1
t
t
1
(1  5 )
t
t
1 d (t 5  1) 1
 �5
 ln t 5  1  C
5
5
t 1
1
t
Thay
vào kết quả, ta được :
x
1

dx
1
1

ln
1  C
�
5
5

x (1  x ) 5
x

Tổng quát :

dx
( n  1, n �N *)
�
n
x (1  x )


B. PP tính nguyên hàm từng phần Bài giải
1. Ta có :

Bài 1: Tính

1. �
x (cos 4 x  sin 4 x).dx

2. �
x ln 2 x.dx
sin 2 x

3. �
e

sin x.cos 3 x.dx

4. �

sin 3 x .dx

Vậy

cos 4 x  sin 4 x  (cos 2 x  sin 2 x) 2  2sin 2 x cos 2 x
1
1
3 cos4 x
 1  sin 2 2 x  1  (1  cos4 x)  
2
4
4
4
3
1
4
4
x
(cos
x

sin
x
).
dx

xdx

x cos4 xdx
Do đó �

�
�
4
4

du  dx
�
ux
�
�
� � sin 4 x
Đặt �
dv  cos 4 x.dx
v
�
�
�
4
x sin 4 x 1
��
x cos 4 x.dx 
 �
sin 4 xdx
4
4
x sin 4 x 1


cos 4 x  C '
4

16

4
4
x
(cos
x

sin
x).dx 
�

3 2 1
1
x 
x sin 4 x 
cos 4 x  C
8
16
64


B. PP tính nguyên hàm từng phần Bài giải
2. Ta có :

Bài 1: Tính

1. �
x (cos 4 x  sin 4 x).dx

2. �
x ln 2 x.dx

2ln x
�
du

dx
2
�
�
u  ln x
x
�
- Đặt �
��
dv  x.dx
x2
�
�
v
� 2
x 2 ln 2 x
��
x ln x.dx 
�
x ln xdx
2
1
�

du

dx
�
u  ln x
�
x
�
- Đặt �
��
2
dv  x.dx
x
�
�
v
� 2
2

sin 2 x

3. �
e

sin x.cos 3 x.dx

4. �
sin 3 x .dx

x 2 ln x 1

��
x ln x.dx 
 �
xdx
2
2
x 2 ln x x 2


C'
2
4

x 2 ln 2 x x 2 ln x x 2
Vậy �
x ln x.dx 


C
2
2
4
2


B. PP tính nguyên hàm từng phần
Bài 1: Tính
Bài giải
3. Ta có :
- Đặt

du  2sin x.cos x.dx
�
�
u  cos 2 x
�
�
� � 1 sin 2 x
�
sin 2 x
v e
dv  e
cos x.sin x.dx
�
�
� 2
2

sin x

��
e

cos x.e
sin x cos x.dx 
2

cos 2 x.esin

2

Vậy

2

sin x

e
�

2

3

2

x

sin 2 x

�
e

1 sin 2 x
 e
C
2
2

cos x.e

sin x cos x.dx 
2
3

sin 2 x

sin 2 x

1 sin 2 x
 e
C
2

sin x cos xdx


B. PP tính nguyên hàm từng phần Bài giải
4. Ta có :

Bài 1: Tính

x � x  t 3 � dx  3t 2 dt

1. �
x (cos 4 x  sin 4 x).dx

- Đặt

2. �
x ln 2 x.dx

- Khi đó, nguyên hàm cần tính trở thành

sin 2 x

3. �
e

sin x.cos 3 x.dx

4. �
sin 3 x .dx

t

3

2
3
t
� sin t.dt

�
du  6tdt
�
u  3t 2
��
- Đặt �
v   cos t
dv  sin t.dt

�
�
��
3t 2 sin t.dt  3t 2 cos t  6 �
t cos tdt
u t
du  dt
�
�
��
- Đặt �
dv

cos
t
.
dt
v  sin t
�
�
��
t cos t.dt  t sin t  �
sin tdt
 t sin t  cos t  C '

Thay t 

3

x ta được �

sin 3 x .dx  3 3 x 2 cos 3 x  6 3 x cos 3 x  6cos 3 x  C


C. Củng cố : Phương pháp tính nguyên hàm
D. Bài tập về nhà: Tính các nguyên hàm sau :
2x  3
1. �
.dx
2
x  4x  5

7. �
x(cos 6 x  sin 6 x).dx

1
2. �
.dx
2
(2 x  1) (4 x  5)

x
8. � 2 .dx
cos x

3x 2  3x  3
3. �3
.dx
x  3x  2

ln x 2

9. �
(
) .dx
x

dx
4. �
1  ex
sin 2 x
5. � 6 .dx
cos x

1
6. � 4
.dx
6
sin x cos x

x 2e x
10. �
.dx
2
( x  2)
1
11. �
.dx

cos x cos( x  )
4
4sin x  3cos x

12. �
.dx
sin x  2cos x