Một số bài toán trong chuyển động song phẳng của vật rắn

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>MỘT SỐ BÀI TOÁN </b>

<b>TRONG CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN.</b>

<b>I- HỆ THỐNG LÍ THUYẾT.</b>

<b>1/. Định nghĩa: Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động trong đó mọi điểm của vật</b>
chuyển động song song với một mặt phẳng cố định cho trước; tức là mỗi điểm của vật chuyển
động trong một mặt phẳng nhất định, các mặt phẳng này song song với nhau và cùng song song
với một mặt phẳng cố định cho trước.

- Ta chọn mặt phẳng cố định này là mặt phẳng O, hệ qui chiếu (HQC) gắn với mặt phẳng O là
HQC O.

- Chuyển động song phẳng tổng tổng quát trong HQC O có thể phân tích thành hai chuyển động
thành phần trong HQC đó:

+ Chuyển động tịnh tiến với vận tốc của một điểm tùy ý mà ta chọn làm cực (xem điểm này chỉ
chuyển động tịnh tiến).

+ Chuyển động quay quanh điểm cực.

- Khi phân tích chuyển động song phẳng thành chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay thì vận
tốc của chuyển động tịnh tiến có thể khác nhau tùy thuộc vào việc chọn điểm nào làm cực, nhưng
vận tốc góc thì vẫn như nhau, và do đó gia tốc góc của các điểm trên vật rắn đối với mọi điểm
chọn làm cực là như nhau.

<b>2/Vận tốc của một điểm trong chuyển động song phẳng.</b>
Xét vật rắn mỏng, phẳng, chuyển động trong HQC O, A và B là
hai điểm bất kỳ thuộc vật. Tại thời điểm xét, vật A có vận tốc <i>vA</i>



,
vật B có vận tốc <i>vB</i>



và mọi điểm của vật có chung vận tốc góc  _.

Chọn điểm A làm cực. Trong q trình chuyển động song phẳng ta
ln có:

 <i>OB</i>



= <i>OA</i> ₊<i>AB</i>
Đạo hàm 2 vế theo thời gian tacó:



 <i>vB</i>



= <i>vA</i><i>vBA</i><i>vA</i> 



<i>AB</i>

    
    
    
    

    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
<b>Hệ quả: </b>

- Thật vậy: Vì  <i>AB</i><i>AB</i>   <i>AB</i><i>X</i> _{, nên chiếu}  <i>AB</i>_{xuống trục}<i>X</i>  <i>AB</i>_{sẽ bằng 0}

<i>BX</i> <i>AX</i>

<i>v</i>

<i>v</i>





_.

<b>3/ Tâm quay tức thời (tâm vận tốc tức thời). </b>

- Khi vật rắn chuyển động, tại mỗi thời điểm ta có thể tìm được một điểm ở trên mặt phẳng chứa
vật (điểm K) đứng yên đối với mặt phẳng cố định O. Tại thời điểm đó, các điểm thuộc vật chuyển
động quanh K với tốc độ góc



. Điểm K được gọi là tâm quay tức thời, trục quay đi qua K và
vng góc với mặt phẳng cố định O được gọi là trục quay tức thời (tâm quay tức thời có thể nằm
ngồi vật rắn).



0

0

<i>A</i> <i>K</i> <i>A</i>

<i>K</i>

<i>B</i> <i>K</i> <i>B</i>

<i>K</i>

<i>v</i> <i>v</i> <i>v</i> <i>KA</i>

<i>v</i> <i>v</i> <i>v</i> <i>KB</i>



    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    

    
    
    
    
    

Các điểm A, B, C … thuộc vật đều quay đều quanh K với tốc độ góc



.

Như vậy: Chuyển động song phẳng tổng quát cịn có thể xem là chuyển động quay thuần túy
quanh tâm quay tức thời.

<b>4/ Công thức liên hệ gia tốc của các điểm.</b>

Từ công thức <i>vB</i>



= <i>vA</i><i>vBA</i><i>vA</i> 



<i>AB</i>

    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    

    
    
    

<b>, đạo hàm hai vế ta được: </b> <i>B</i> <i>A</i> <i>B</i>
<i>A</i>

<i>a</i>  <i>a</i> <i>a</i>

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
<b>.</b>

Ở đây ta có thể phân tích <i>aBA</i>



thành hai thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến:

<i>t</i> <i>n</i>

<i>B</i> <i>B</i> <i>B</i>

<i>A</i> <i>A</i> <i>A</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>II – BÀI TẬP ÁP DỤNG:</b>

<b>Bài 1: Hình vẽ là một kết cấu nằm trên mặt phẳng thẳng đứng tạo thành từ 3 thanh cứng AB, BC,</b>
CD của một tam giác. AB và CD có thể chuyển động quanh 2 trục A, D cố định vng góc với
mặt hình vẽ ; 2 điểm A, D cùng ở trên 1 đường nằm ngang. Hai đầu của thanh BC nối với AB và
CD có thể quay quanh chỗ tiếp xúc (tương tự bản lề).

Cho AB quay quanh trục A với tốc độ góc _{tới vị trí như trên hình vẽ, AB ở vị trí thẳng đứng,}
BC và CD đều tạo với phương nằm ngang góc 450<i>. Biết rằng độ dài của AB là l, độ dài của BC và</i>
CD được xác định như trong hình vẽ. Khi đó hãy tìm giá trị và hướng gia tốc <i>a của điểm C (biểuc</i>

diễn qua góc với thanh CD)

Vì điểm B quay trịn quanh trục A, tốc độ của nó là

<i>vB</i> <i>l</i> (1)

gia tốc hướng tâm của điểm B là

<i>aB</i> 2<i>l</i> (2)

<b> Hình 1 </b>

Vì chuyển động với tốc độ góc khơng đổi nên thành phần gia tốc tiếp tuyến của điểm B bằng

0 và <i>a cũng là gia tốc tồn phần của B, nó có hướng dọc theo BA. Điểm C quay trịn quanh trụcB</i>

<i>D với tốc độ vC, tại thời điểm khảo sát có hướng vng góc với thanh CD. Từ hình 1có thể thấy</i>
hướng đó dọc theo BC. Vì BC là thanh cứng nên tốc độ của B và C theo hướng BC ắt phải bằng
nhau và bằng

0 2

os45
2

<i>C</i> <i>B</i>

<i>v</i> <i>v c</i>  <i>l</i>

(3)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2
<i>C</i>
<i>Cn</i>

<i>v</i>
<i>a</i>

<i>CD</i>



(4)

Hình 1 cho thấy <i>CD</i>2 2<i>l</i>_{, từ (3), (4) ta được}

2
2
8
<i>Cn</i>

<i>a</i>   <i>l</i>

(5)
Gia tốc này có hướng dọc theo hướng CD.

Bây giờ ta sẽ phân tích gia tốc của điểm C theo hướng vng góc với thanh CD, tức là gia tốc tiếp
tuyến <i>a . Vì BC là thanh cứng nên chuyển động của C đối với B chỉ có thể là quay quanh B,Ct</i>

phương của vận tốc ắt phải vng góc với thanh BC. Gọi <i>v là độ lớn của vận tốc này, theo (1)CB</i>

và (3) ta có

2 2 2

2

<i>CB</i> <i>B</i> <i>C</i>

<i>v</i>  <i>v</i>  <i>v</i>  <i>l</i>

(6)

Điểm C quay tròn quanh điểm B, vậy gia tốc hướng tâm của nó đối với B là

2
<i>CB</i>
<i>CB</i>

<i>v</i>
<i>a</i>

<i>CB</i>



(7)

Vì <i>CB</i> 2<i>l</i>_nên

2
2

4
<i>CB</i>

<i>a</i>   <i>l</i>

(8)
Gia tốc này có hướng vng góc với CD

Từ cơng thức (2) và hình 1 thấy rằng thành phần gia tốc dọc thanh BC của điểm B là

0 2 2

( ) os45

2

<i>B BC</i> <i>B</i>

<i>a</i> <i>a c</i>   <i>l</i>

(9)

Cho nên thành phần gia tốc vng góc với thanh CD của điểm C đối với điểm A (hoặc điểm D) là





2 2 2

2 2 3 2

4 2 4

<i>Ct</i> <i>CB</i> <i>_{B BC}</i>

<i>a</i> <i>a</i>  <i>a</i>   <i>l</i>  <i>l</i>  <i>l</i>

(10)

Gia tốc toàn phần của điểm C bao gồm gia tốc pháp tuyến <i>a khi C chuyển động tròn quanh DCn</i>

và gia tốc tiếp tuyến <i>a , nghĩa là Ct</i>

2 2 74 2

8

<i>C</i> <i>Cn</i> <i>Ct</i>

<i>a</i>  <i>a</i> <i>a</i>   <i>l</i>

(11)

Góc giữa phương của <i>a với thanh CD là C</i>

0
arctan <i>Ct</i> arctan 6 80,54

<i>Cn</i>

<i>a</i>
<i>a</i>

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

C
A



Hình 1



q

v '

A

v

0

v

q

v ''

C

v

0

v



A

C

O2
O1

v
M

A

C

O2
O1

v

M vx

vA

α
α

a
aht

Một khối trụ bán kính R có quấn chỉ trên mặt ngoài, một đầu dây buộc cố định.
Người ta đặt khối trụ lên mặt phẳng nhẵn nghiêng góc _(hình _{1). Ở thời điểm}
khi sợi dây có phương thửng đứng thì vận tốc góc của khối trụ là _{. Hỏi tại thời}
điểm đó:

a) Vận tốc trục hình trụ bằng bao nhiêu?

b) Vận tốc của điểm tiếp xúc giữa hình trụ và mặt phẳng
nghiêng là bao nhiêu?

<b>Lời giải</b>

Do dây không dãn nên đầu dưới của phần dây thẳng đứng và điểm

tiếp xúc của dây với khối trụ (điểm A) có cùng một vận tốc và hướng theo phương ngang vA


.

Chuyển động của khối trụ bao gồm: chuyển động tịnh tiến cùng với trục với vận tốc v0



hướng

theo mặt phẳng nghiêng và chuyển động quay quanh trục theo chiều kim đồng hồ với vận tốc góc

_{. Khi đó:}

a) Điểm A: vA v0v'q

  

q

0
A q

v' R _R

v

v v' sin

  

 



 _ 



 

b) Điểm tiếp xúc C:

C 0 q 0 q

v v v '' ; v    v''

C 0

1 sin

v v R R

sin

 

   


<b>Bài 3:</b>

Trên mặt phẳng thẳng đứng P có vẽ một vịng trịn C
bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng ngang. Một chiếc
vịng M có bán kính R lăn khơng trượt trên mặt phẳng
ngang tiến về phía vịng trịn C. Vận tốc của tâm O1 của

vòng M là v. Mặt phẳng của M nằm sát mặt phẳng P.

Gọi A là một giao điểm của hai vòng tròn khi khoảng cách giữa tâm của chúng là d < 2R. Tìm:

a) Vận tốc và gia tốc của A.

b) Bán kính quỹ đạo và vận tốc của
điểm nằm trên vòng M tại A.
<b>Lời giải </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

A1

O1

I
M

v1
a1

β
β
tuyến với C, hình chiếu lên phương ngang là vx = v/2 = vAcosα = vA

2 2

R d / 4

R


. Vậy:

A ₂

2

v
v

d
2 1

4R




.

Vì thành phần vận tốc của vA



theo phương ngang không đổi nên gia tốc của A hướng thẳng đứng và
thành phần của gia tốc này lên phương bán kính O2A là gia tốc hướng tâm:

2
A
ht

v

a a.cos

R

  

 a =

2 2 2
A

3 2 2 3 / 2

v v v

Rcos 4.R.cos  4R(1 d / 4R )

b) Trong khoảng thời gian rất ngắn quỹ đạo cong của điểm A1 (tại A) trên vịng có thể coi là một cung

trịn. Vịng lăn khơng trượt nên có thể xem như nó đang quay quanh điểm tiếp xúc với vận tốc góc 
= v/R.

Ta có: IA1 = 2R.cos, với  = α/2.

→ cos =

2
2

1 d

1 1

2 4R

 

 

 

 

 

Do đó v1 = .IA1 = v

2
2

d

2 1 1

4R

 

 

 

 

  _.

Gia tốc của A1 hướng về tâm O1 và có độ lớn là a1 = v2/R. Gia tốc hướng tâm của A1 lại là: aht1 =

a1.cos =

2
1
1

v

R _{. Vậy: R}

1 = 2R

2
2

d

2 1 1

4R

 

 

 

 

 

<b>Bài 4:</b>

Một tấm gỗ dán mỏng phẳng rơi trong khơng gian. Ở một thời điểm nào đó vận tốc của 2 điểm A và B

trên tấm gỗ là



<i>v</i>

<i>A</i>

=

<i>v</i>

<i>B</i>

=

<i>v</i>

_{và nằm trong mặt phẳng của tấm. Điểm C (tam giác ABC đều: AB =}

AC = BC = a) có vận tốc 2v. Hỏi những điểm trên tấm gỗ có vận tốc là 3v nằm ở cách đường thẳng
AB là bao nhiêu?

<b>Lời giải </b>

Trong hệ quy chiếu (HQC) chuyển động với vận tốc



<i>v</i>

<i>A</i>

=

<i>v</i>

<i>B</i>

=

<i>v</i>

_{thì A và B đứng n cịn C quay}

quanh AB. Như vậy trong HQC gắn với đất: <i>vC</i>  <i>v vq</i>

  

, trong đó <i>vq</i>



là vận tốc C quay quanh AB.

Vì



<i>v</i>

<i>A</i>

=

<i>v</i>

<i>B</i>

=

<i>v</i>

_{và nằm trong mặt phẳng của tấm nên}<i>vq</i>



vng góc với <i>v</i>. Vậy:

2 2 2 ₃

<i>C</i> <i>q</i> <i>q</i>

<i>v</i> <i>v</i> <i>v</i>  <i>v</i>  <i>v</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Vận tốc góc của chuyển động quay

3
;

2

<i>q</i>

<i>v</i>

<i>R</i> <i>a</i>

<i>R</i>

  

.

Những điểm có vận tốc 3v nằm trên hai đường thẳng song song với AB và cách AB là L, quay quanh

AB với vận tốc

'

<i>q</i>

<i>v</i> <i>L</i>

, trong đó

'

<i>q</i>

<i>v</i>

tìm từ phương trình:

2 2 ' 2

(3 )<i>v</i> <i>v</i> ( )<i>v_q</i>

Như vậy

'

2 2

<i>q</i>

<i>v</i>  <i>v</i><i>L</i>

→ L 2a

</div>

<!--links-->