He Thong Hinh Hoc 12

c
b
a
M
H
C
B
A
Hinh Hoc 12
ÔN TẬP
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho
ABC
∆
vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC
= +

b)
2 2
BA =BH.BC; CA =CH.CB
c) AB. AC = BC. AH=2S
ABC

d)
2 2 2
1 1 1
= +
AH AB AC

e) BC = 2AM
f)
b c b c
sinB= , cosB= , tanB= , cotB=
a a c b
g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB,
a =
sin cos
b b
B C
=
, b = c. tanB = c.cot C
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin: a
2
=b
2
+c
2
-2bc.cosA
2 2 2
b +c -a
cosA=
2bc
⇒
* Định lý hàm số Sin:
a b c
= = =2R
sinA sinB sinC

* Độ dài đường trung tuyến:
( )
2 2 2
a
2 b +c -a
m =
4
3. Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:

a
1 1 a.b.c
S = a.h = a.bsinC = = p.r = p.(p-a)(p-b)(p-c)
2 2 4R
với
a+b+c
p=
2
Đặc biệt : *
ABC
∆
vuông ở A :
1
S= AB.AC
2
,
*
ABC
∆
đều cạnh a: diện tích

2
a 3
S=
4
; đường cao:
a 3
h=
2
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
NDT Page 1
Hinh Hoc 12
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diên tích hình thoi : S =
1
2
(chéo dài x chéo ngắn)
d/ Diện tích hình thang :
1
2
S =
[(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn :
2
S .R
π
=
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A. Dạng toán cơ bản:
1) Tính góc giữa hai đường thẳng:

PP1: Áp dụng định nghĩa:

( ) ( )
a'//a
a,b = a';b'
b'//b

⇒


PP2: Sử dụng tích vô hướng:
( )
( )
a.b
cos a;b = cos a;b =
a . b
r r
r r
r r
2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
PP1:
a b a.b=0⊥ ⇔
r r
PP2:
a//b
a c
b c

⇒ ⊥


⊥

NDT Page 2
V
V
ấ
ấ
n
n
đề
đề
1:
1:
Hai
Hai
đườ
đườ
ng th
ng th
ẳ
ẳ
ng vuông
ng vuông


góc:
góc:
b'
b
a'

a
Hinh Hoc 12
A. Dạng toán cơ bản:
1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
PP1:
,
, ( ) ( )
, cat nhau
d a d b
a b mp P d mp P
a b
⊥ ⊥


⊂ ⇒ ⊥



PP2:
a//b
a mp(P)
b (P)

⇒ ⊥

⊥

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng :
PP1
a (P)

a b
b (P)
⊥

⇒ ⊥

⊂

PP2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc
3) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d
và mặt phẳng(P) là góc giữa đường thẳng d và
hình chiếu d’ của nó trên (P)
PP: d’ là hình chiếu của d trên (P) ⇒ (d;
(P))=(d;d’)
4) ĐL: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho
trước.
NDT Page 3
V
V
ấ
ấ
n
n
đề
đề
2:
2:
Đườ
Đườ

ng th
ng th
ẳ
ẳ
ng vuông
ng vuông
góc v
góc v
ớ
ớ
i m
i m
ặ
ặ
t
t
phẳng
phẳng
d
a
b
P
a
b
(P)
a'
a
b
P
P

a'
a
Hinh Hoc 12
A. Dạng toán cơ bản:
1) Góc giữa hai mặt phẳng : Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường
thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
PP1:
( ) ( )
( ), (( );( )) ( ; )
( ),
P Q
a P a P Q a b
b Q b
∩ = ∆


⊂ ⊥ ∆ ⇒ =


⊂ ⊥ ∆

PP2: Sử dụng định lý về diện tích hình chiếu
'
' . os os
S
S S c c
S
ϕ ϕ
= ⇔ =
2) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

PP1: (P)⊥(Q)⇔((P);(Q))=90
0
PP2:
( )
( ) ( )
( )
a P
P Q
a Q
⊂

⇒ ⊥

⊥

3) Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng :
PP:
(P) (R)
(Q) (R) (R)
(P) (Q)=
a
a
⊥


⊥ ⇒ ⊥


∩


4) Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Có duy nhất một mặt phẳng chứa a
và vuông góc với (P).
NDT Page 4
V
V
ấ
ấ
n
n
đề
đề
3:
3:
Hai m
Hai m
ặ
ặ
t ph
t ph
ẳ
ẳ
ng vuông
ng vuông
góc
góc
phẳng
phẳng
b
a
Q

P
P
Q
a
b
Q
P
a
d
a
R
Q
P
Hinh Hoc 12
A. Dạng toán cơ bản:
1) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng
∆
:
Hạ MH vuông góc với ∆ tại H ⇒ d(M;∆)=MH
2) Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P):
Hạ MH vuông góc với (P) tại H ⇒ d(M;(P))=MH
3) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Lấy M bất kì thuộc (P) ⇒ d((P);(Q))=d(M;(Q))
3
) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
a) Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
 Nếu a⊥b thì ta dựng mặt phẳng(P) chứa b và vuông góc với a tại M, kẻ
MN⊥b tại N. Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của a và b
 Nếu a không vuông góc với b thì:
- Dựng mặt phẳng(Q) chứa b và song song với a

- Dựng hình chiếu a’ của a trên (Q), a’ cắt b tại J
- Dựng đường thẳng qua J và vuông góc với (Q) cắt a tại
I.
Khi đó: IJ là đoạn vuôn góc chung của a và b.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
d(a;b)=MN
NDT Page 5
V
V
ấ
ấ
n
n
đề
đề
4:
4:
Kho
Kho
ả
ả
ng cách
ng cách
∆
P
Q
P
M
M
H

H
M
H
a
b
P
M
N
a
a'
b
M
N
Q
P