Tuyển tập đề thi có đáp án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 phần 144 | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Phạm Trung Lực – THCS Trần Phú – Quận Lê Chân
<b>CAUHOI</b>

Cho nửa đường tròn (O;R), BC là đường kính. Điểm A di động trên nửa đường trịn (A
khác B và C). Kẻ AH vng góc với BC tại H. Gọi I và K thứ tự là hình chiếu của H trên
AB và AC.

a) Chứng minh:

3
3
BI AB

=

CK AC

b) Chứng minh 4 điểm B, I, K, C cùng thuộc một đường tròn.

c) Xác định vị trí điểm A trên nửa dường trịn để tích HA.HB có giá trị lớn nhất.

DAPAN

<b>Bài</b> <b>Đápán</b> <b>Điểm</b>

<b>(3 điểm)</b>

N
M

K

I

H

B O

C
A

a. 1 điểm

Vì Anửađườngtrịntâm O, đường kính BC ( gt) =><i>_{BAC }</i>ˆ ₉₀0 _0,25
Ápdụnghệthứclượngtrong tam giácvng ta có

2 4 2 2

2 4 2 2

. .

. .

<i>AB</i> <i>BH BC</i> <i>AB</i> <i>BH BC</i>

<i>AC</i> <i>CH BC</i> <i>AC</i> <i>CH BC</i>

  

  

0,25

Lại có

2 2

4 2 3

4 2 3

. , .

. .
. .

<i>BH</i> <i>BI BA</i> <i>CH</i> <i>CK CA</i>

<i>AB</i> <i>BI BA BC</i> <i>AB</i> <i>BI</i>

<i>AC</i> <i>CK CA BC</i> <i>AC</i> <i>CK</i>

 

   

0, 5

b. 1 điểm
Chứng minh tứ giác AKHI là hình chữ nhật

Gọi M là giao điểm của AH và IK, N là giao điểm các đường
trung trực của IK và BC

0,25

Chứng minh được AO vng góc với IK, từ đó suy ra tứ giác
AMNO là hình bình hành.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Do đó MA = ON = MK

Chứng minh được hai tam giác BON và NMI bằng nhau
Suy ra NI = NB = NK =NC

0,25

Vậy 4 điểm B, I ,K, C cùng thuộc một đường tròn. 0,25
c. 1 điểm

+ Dễ dàngchứng minh được : abcd

4
a b c d

4
  

 

 

  (*)

Dấu “=” xảyrakhivàchỉkhi a = b = c = d

0,25

+ Đặt HB = x , 0 < x < 2R => HC = 2R - x
Chứng minh được : HA  x.(2R x)
Ta có: _{HA.HB x x(2R x)} _{(2R x)x}3

   

0,25

HA.HB có giá trị lớn nhất_{(2R x)x}3

 có giá trị lớn nhất
x.x.x(2R – x) có giá trị lớn nhất

x x x. . (2R x)

3 3 3  có giá trị lớn nhất
Áp dụng (*) với a = b = c = x

3

0,25

Ta có :

4 4
4

x x x 1 x x x R

. . (2R x) (2R x)

3 3 3 4 3 3 3 16

 

  _     _ 

 

Do đótích HA.HB có giá trị lớn nhấtx (2R x)
3   

3

x R

2
 .
Và khi đó xác định được vị trí điểm A trên nửa đường trịn là
AC = R

</div>

<!--links-->