Đề thi HSG toán lớp 9 năm học 2017 – 2018 huyện Tam Dương có đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (520.2 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 NĂM HỌC 2017-2018

ĐỀ THI MƠN: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) 
Đề thi này gồm 06 trang

Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay.

Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức: A 2 2

2 2

2 4 4 2

: 1

2 2

x y x y y x xy y

x y y x x xy y x y

       

      

      

 

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Cho biết: 2 2

2016 2017

x  y  xy. Hãy tính giá trị của biểu thức A.

Câu 2. (5,0 điểm)

a) Thực hiện phép tính: B = 2 3 4 15 10

23 3 5

- + - +

-b) Giải phương trình:

18
3

9
3

4
24
10

2
4

5
3

2
2

2        

x
x
x

x
x

x

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 2 2

16x 8x 1 16x 24x9

Câu 3. ( 4,0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2

3x 5y 255

b) Cho a, b và c là ba số dương thoả mãn abc1. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 3 2 3 2 3 2

a  b  b  c  c  a  

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ
các hình vng AMCD, BMEF.

a) Chứng minh rằng: AE  BC.

b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1 1

MH  MD MF

c) Gọi I là giao điểm của AC và DF, kẻ IK vng góc với AB. Biết MD = 6 2 cm,
MF = 3 2 cm. Tính độ dài đoạn thẳng IK.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trên cùng một mặt phẳng cho 4037 điểm, biết rằng 3 điểm bất kì trong 4037 điểm
trên ln chọn được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng trong các điểm
nói trên có ít nhất 2019 điểm nằm trong đường trịn bán kính bằng 1.

---HẾT---

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh...SBD:...phịng 
thi...

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HDC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
 NĂM HỌC 2017 - 2018

MƠN: TỐN

Hướng dẫn chấm gồm 04 trang

Câu Nội dung Điểm

1 
a

ĐKXĐ: x y x;  y x;  2y 0,25

A 2 2

2 2

2 4 4 2

: 1

2 2

x y x y y x xy y

x y x y x xy y x y

       

      

      

  0,25

A







 









2 2 2 2 2

4 4 4

:
2

x y x y y x xy x y

x y x y x y

      



   0,5

A











2
.
2

x y x y

x y x y x y

 



   0,5

A











2
.
2

x y x y

x y x y x y

 



   2

x y




 0,5

Ta có: 2 2

2016 2017

x  y  xy 



xy



x2016y



0 0,5

2016

x y



  

 0,5

Từ điều kiện, ta có khẳng định

2016
x y

x y



 

 0,25

Khi đó: A =2017 2017
2018 2018

y

y  0,5

Vậy: A =2017

2018 0,25

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2 
a

Ta có:

(

)

(

)

2 2 3 4 15 10

2 23 3 5

- + - +

-0,5

B 4 2 3 8 2 15 2 5
46 6 5

- + - +
=

-0,5

(

)

(

)

(

)

2 2
2

3 1 5 3 2 5

3 5 1

- + - +

-0,5

2

B 3 1 5 3 2 5
3 5 1

- + - +

- 0,25

B 3 5 1 1
3 5 1

-= =

- 0,25

ĐKXĐ: x ≠ -1; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ 3 0,25

Ta có:
18
3
9
3
4
24
10
2
4
5
3
2
2

2         

x
x
x
x
x
x
0,25



x 1



3x 4

 

x 4



2x 6





x 3



9x 6



   

     

1 1 1 1 4 1 1

1 4 4 6 3 3 6

x x x x x x

     

        

     

      0,25























3 3 4 1 3 3 1

1 4 1

1 3 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3

x x x x

x x x x x x x x

   

     

        0,25





4x 8x 0 4x x 2 0

       x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điều kiện) 0,25

Vậy tập nghiệm của phương trình: S =

{

0;2

}

0,25

Ta có: C = 2 2

16x 8x 1 16x 24x9

C = 2 2

(4x1)  (3 4 ) x 0,5

C =4x  1 3 4x  4x  1 3 4x 4 0,5

C = 4 (4 1)(3 4 ) 0 1 3

4 4

x x x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Vậy GTNN của C là 4 khi 1 3

4 x 4

   0,25

3 a

Ta có: 2 2 2 2

3x  5y  2553x  255 - 5y 0,25

85 x 85;do x -9 x 9 (1)

        0, 5

Mặt khác: vì 2 2 2

5y 5; 255 53x 5x 5x 5 (2) 0,25

Từ (1) & (2)  x



5; 0;5



0,25

Với x    5 y 6

Với 2

0 51

x  y  (loại)

Với x   5 y 6

0,5

Vậy (x;y) = (-5;6),(-5;-6),(5;6),(5;-6) 0,25

3 b

Ta có: 2 2 2 2 2

2 3 ( ) ( 1) 2 2 2 2

a  b   a b  b    ab b 0,25

Tương tự: 2 2

2 3 2 2 2

b  c   bc c , c22a2 3 2ac2a2 0,25

Suy ra: 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

( )

2 3 2 3 2 3 2 1 1 1

a  b  b  c  c  a   ab b  bc c  ac a 0,5

Ta có : 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

ab b

ab b  bc c  ac a  ab b  b ab ab b 0,5

1 1
1
ab b
ab b

 

 

  0,25

Vậy: 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 3 2 3 2 3 2 2

a  b  b  c  c  a   

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

4

Ta có hình vẽ:

Chứng minh được: ∆AME = ∆CMB (c-g-c)  EA M· = BCM· 1,0

Mà B CM· + MB C· = 900  EA M· + MB C· = 900 A HB· = 900 0,75

Vậy AE  BC 0,25

Gọi O là giao điểm của AC và DM.

∆AHC vng tại H có HO là đường trung tuyến 1 1

2 2

HO AC DM

   0,25

 ∆DHM vuông tại H  DHM· = 900 0,25

4 
b

Chứng minh tương tự, ta có: MHF· = 900 0,25

Suy ra: DHM· + MHF· = 1800 ba điểm D, H, F thẳng hàng. 0,5 
Chỉ ra được ∆DMF vuông tại M, đường cao MH 0,25

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào ∆DMF, ta có: 2 2 2

1 1 1

MH  MD  MF 0,5

Ta có: DMF· = 900  MF  DM mà IO  DM  IO // MF 0,25

Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF

0,25
K

O
D

A M

B
F
E

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Lưu ý:

- Nếu học sinh làm bài theo cách khác hướng dẫn chấm mà đúng thì vẫn cho điểm 
tối đa của bài đó.

- Đối với bài hình học, nếu học sinh vẽ sai hình hoặc khơng vẽ hình thì khơng được 
tính điểm.

Tham khảo nhiều tài liệu HSG thơng qua đường dẫn :
/>

Vì IK  AB (KAB) nên IK // AD // BF IK là đường trung bình của hình thang

ABFD 0,5

2 2

AD BF AM BM

IK  

   0,5

Áp dụng định lý Pitago vào hai tam giác vuông cân AMD và BMF, tính được: AM

= 6cm ; BM = 3cm. 0,25

Vậy 6 3 4,5

2 2

AM BM

IK      cm 0,25

5

Gọi A là 1 trong 4037 điểm đã cho. Vẽ đường trịn tâm A bán kính là 1.

Kí hiệu

(

A, 1 .

)

+) Nếu tất cả 4036 điểm cịn lại đều nằm trong đường trịn này thì bài toán được
giải quyết.

0,25

+) Giả sử B nằm ngồi đường trịn

(

A, 1 .

)

Khi đó, A B > 1, vẽ đường trịn tâm B

bán kính bằng 1, kí hiệu là

(

B, 1 .

)

Gọi C là điểm điểm bất kì trong 4035 điểm còn
lại.

0,25

Do A B C, , là ba điểm bất kì và A B > 1 nên theo giả thiết hoặc A C < 1 hoặc 
1.

B C < Nên C nằm trong

(

A, 1

)

hoặc

(

B, 1

)

. Do đó, 4035 điểm còn lại nằm trong

(

A, 1

)

và

(

B, 1

)

0,25

Theo nguyên lí Dirichlet một trong hai đường tròn này chứa ít nhất
4035

1 2018
2

é ù

ê ú+ =

ê ú

ë û điểm cịn lại nhưng tính cả điểm A hoặc B ta có 1 đường trịn
trên ít nhất 2019 điểm.

</div>

Đề thi HSG toán lớp 9 năm học 2017 – 2018 huyện Tam Dương có đáp án







 



































(

)

(

)

(

)

(

)

(

)





 















































{

}





<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về