Tổng hợp một số bất đẳng thức trong kì thi các nước

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.57 MB, 25 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tổng hợp một số bất đẳng thức trong kì thi MO các nước

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Câu 1 : Cho các số thực không âm thỏa mãn : . Chứng minh rằng :

Bài giải :

Giả sử nên ta được :

Mặt khác theo BĐT Mincosxki ta được :

Nên ta cần chứng minh :

Bình phương hai vế trở thành :

Mặt khác ta để ý rằng :

Nên ta chứng minh với trong đó :

Đến đây ta chỉ cần chứng minh :

Thật vậy : (luôn đúng)

Dấu xảy ra khi

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài giải : (của Khanghaxuan )

Ta biến đổi tương đương :

Lại có :

Nên

Ta cần chứng minh :

Ta có :

Mặt khác , ta có :

Từ và ta có ĐPCM 

Câu 3 : Cho là các số thực dương thỏa mãn . CMR :

( USA TST 2010)

Bài giải : (của Khanghaxuan)

Ta có :

Đến đây ta áp dụng AM-GM như sau :

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Mà . Nên đúng . Vậy ta có ĐPCM 

Câu 4 : Cho các số thực dương . Chứng minh rằng :

Bài giải : ( của binhnhaukhong )

Áp dụng BĐT AM-GM ta được :

Lại áp dụng Cauchy – Schawrz ta được :

Mặt khác :

Nên ta cần chứng minh :

Đặt : . Do đó (luôn đúng )

Câu 5 : Cho các số thực dương thỏa mãn : . CMR :

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Áp dụng BĐT Minkowski ta được :

Vậy ta có ĐPCM 

Câu 6 : Cho là các số thực dương . CMR :

JBMO TST 2015

Bài giải : (của dogsteven)

Ta có :

Đến đây áp dụng BĐT (trong đó ) với ta được :

(ĐPCM)

Câu 7 : Cho là các số thực dương . CMR :

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bổ đề : Với mọi ta ln có :

Quay lại bài tốn : Ta có :

Câu 9 : Cho là 1 dãy không tăng gồm các số thực dương . Chứng minh rằng :

Saudi Arabia IMO TST 2014

Bài giải : ( của khanghaxuan )

Ý tưởng : quy nạp

Với , ta cần chứng minh :

Thật vậy

Mặt khác , vì nên ta cần chứng minh : (đúng)

Giả sử BĐT trên đúng tới . Ta sẽ chứng minh nó đúng với . Cụ thể ta cần chứng minh :

Mà ta có :

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Mà BĐT này luôn đúng do :

Nên đúng hay BĐT được chứng minh 

Câu 10 : Chứng minh rằng :

Bài giải : (của Hoang Nhat Tuan)

Bổ đề :

Quay lại bài toán :

Để ý rằng :

Nên ta cần chứng minh :

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Do đó : (ĐPCM )

Câu 11 : Cho thỏa mãn : . Chứng minh rằng :

(Bosnia Herzezegovina TST 2012)

Bài giải : (của 25 minutes)

Ta có :

Mặt khác ta có :

Và :

Do đó : (ĐPCM )

Câu 12 : Cho là các số thực thỏa mãn : . Tìm GTNN của :

(Brazil National Olympiad 2008)

Bài giải :

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta dự đoán thấy dấu xảy ra và các hoán vị

Ta sẽ chứng minh :

Thật vậy

(ln đúng )

Vậy ta có ĐPCM 

Lời giải 2 : (của nhungvienkimcuong)

Ta cần chứng minh : hay :

Mặt khác , từ giả thiết ta có :

Dễ thấy Nên ta cần chứng minh :

Nếu thì BĐT hiển nhiên đúng .

Nếu thì :

Ta chứng minh :

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Câu 13 : Cho thỏa : . Chứng minh rằng :

(Balkan MO, 2014)

Bài giải :

Từ giả thiết :

Đặt : thì ta cần chứng minh :

Mặt khác ta có : nên

Mà theo AM-GM thì ta có : ĐPCM 

Câu 16 : Cho là các số thực dương thỏa mãn : . CMR :

(APMO)

Bài giải :

Đặt : thì viết lại : với

Ta có :

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Câu 17 : Cho không âm thỏa mãn : . CMR :

(Iran MO 2014 , vòng 2)

Bài giải : ( của nhungvienkimcuong )

Dễ thấy , nếu một trong ba số bằng thì BĐT hiển nhiên đúng .
Nên ta chỉ xét trong TH . WLOG

Từ giả thiết

Do đó ta cần chứng minh : hay :

Thật vậy , (ĐPCM )

Câu 18 : Cho là các số thực dương thỏa mãn : . Chứng minh rằng :

Bài giải : ( của nhungvienkimcuong ) 
Ta để ý rằng :

Thật vậy : luôn đúng do : (đúng )

Nên

Do đó : . Ta cần chứng minh :

Đặt : thì viết lại :

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

(ĐPCM )

Câu 19 : Cho . CMR :

( Macedonia TST 2007 )

Bài giải : ( của khanghaxuan )

Ta có :

(ĐPCM )

Câu 22 : Cho . CMR :

( India NMO 2007 )

Bài giải : ( của khanghaxuan )

Ta có :

Mặt khác , ta có :

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Câu 23 : Cho là các số thực dương thỏa : . Chứng minh rằng :

(JBMO TST 2015)

Bài giải : ( của nhungvienkimcuong )

Với điều kiện thì ĐPCM viết lại :

Ta cần chứng minh luôn đúng thỏa đề bài .
Thật vậy , ta có :

(ĐPCM )

Câu 25 : Cho thỏa mã : . Chứng minh rằng :

Bài giải : ( của khanghaxuan )

Ta có :

Măt khác ta có :

Nên

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Mà ln đúng do :
Vậy ta có ĐPCM 

Câu 27 : (Mở rộng của câu 25 ) Với thỏa mãn : . CMR :

( nhungvienkimcuong )

Câu 28 : Cho là các số thực . Chứng minh rằng :

(Baltic Way 2012)

Bài giải :

Lời giải 1 : ( của nhungvienkimcuong )

Giả sử : . Ta có :

Do đó ta có ĐPCM .

Lời giải 2 : ( của khanghaxuan )

Giả sử : . Ta cần chứng minh :

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Câu 30 : Cho là các số thực . CMR :

(Bosnia 2008)

Bài giải : ( Hoang Tung 126 )

Ta sẽ chứng minh :

(đúng )
Tương tự , ta cũng có :

Từ đó : (ĐPCM )

Câu 31 : Cho là các số thực dương . Chứng minh rằng :

( Korea MO 2006 )

Bài giải : ( của khanghaxuan )

Lời giải 1 : Đặt : nên ĐPCM trở thành :

Mặt khác ta có : và nên ta cần chứng minh :

Thật vậy , ( luôn đúng với )

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Lời giải 2 : Ta có :

(ĐPCM )

Câu 32 : Cho thỏa mãn : . Chứng minh rằng :

Bài giải : ( của ducvipdh 12 ) 
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :

Do đó ta cần chứng minh :

Đổi biến : nên ĐPCM viết lại : (luôn đúng )

Vậy ta có ĐPCM 

Câu 33 : Cho là các số thực dương . Chứng minh rằng :

( Korea NMO 2012 )

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Áp dụng BĐT Cauchy – Schawrz ta được :

Tương tự ta cũng có:

Từ ta cần chứng minh :

Mà luôn đúng do : (ĐPCM )

Câu 34 : Cho các số thực thỏa mãn : . Chứng minh rằng :

( Iran TST 2015 )

Bài giải : ( của khanghaxuan )

Ta có :

Nên ta cần chứng minh :

Mặt khác ,

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ta có : (ĐPCM )

Câu 35 : Cho thỏa : . Chứng minh rằng :

Bài giải : ( của Hoang Tung 126 )

Trước tiên ta sẽ chứng minh :

Thật vậy :
Tương tự

Nên (ĐPCM )

Câu 36 : Cho thỏa mãn : .Chứng minh rằng :

Bài giải : ( của Hoang Tung 126 )

Ta sẽ chứng minh :

Thật vậy (luôn đúng )

Lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta được :

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Câu 38 : Cho thỏa mãn : .Chứng minh rằng :

( Baltic 2005 )

Bài giải : ( của Bui Ba Ạnh )

Đặt : thì ta có: . Từ đây ta cần chứng minh :

Thật vậy , điều này tương đương : (luôn đúng )

Vậy bài toán được chứng minh trọn vẹn 

Câu 39 : Cho thỏa mãn : . Chứng minh rằng :

Bài giải : ( của nhungvienkimcuong )

Đổi biến : do đó ta cần chứng minh :

Giả sử : và

Đặt :

Do đó ta cần chứng minh :

Nhận thấy : ta sẽ chứng minh :
Ta có :

Nên nên theo định lý Rolle thì có tối đa 2 nghiệm trên
Mà dễ thấy : do đó chỉ có thể đổi dấu tối đa 1 lần trên

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Việc cịn lại là chứng minh :

Cơng việc này xin nhường cho bạn đọc 

Câu 40 : Cho là các số thực dương thỏa mãn : . CMR :

Bài giải : ( của khanghaxuan )

Giả sử :

Nếu : (vô lý )

Nên . Tiếp theo , thay vào . Do đó ta cần chứng minh :

Xét :

Mặt khác ta có :

Nên . Do đó đúng nên ta có ĐPCM 

Câu 41 : Cho là các số thực dương thỏa mãn : . CMR :

Bài giải : ( của dogsteven )

Giả sử : , thay trực tiếp ta được :

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Mặt khác , ta có :

Từ đây , ta chỉ việc chứng minh : . Phần chứng minh này xin dành cho bạn đọc 

Bài 42 : Cho không âm . CMR :

Bài giải :

Lời giải 1 : ( của Hoang Tung 126 )

Ta có :

Mặt khác , theo BĐT Schur bậc 4 và Cauchy ta được :

Từ đó ta được ĐPCM 

Lời giải 2 : ( của khanghaxuan )

Ta có :

Giả sử : thì ta được :
Mặt khác ta có :

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài 43 : Cho là các số thực dương . CMR :

Bài giải :

Lời giải 1 : ( của Bui Ba Anh )

Đặt : thì ta cần chứng minh : (BĐT Nebsit )

Lời giải 2 : ( của Hoang Tung 126 )

Đặt : thì ta cần chứng minh :

Thật vậy , .

Nên đúng . Vậy ta có ĐPCM 

Bài 44 : Cho là các số thực thỏa :

CMR :

Bài giải : ( của Bui Ba Anh )

Áp dụng BĐT BCS ta có :

Mặt khác , chú ý rằng :

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài 45 : Cho thỏa mãn : .CMR :

Bài giải : ( của tonarinototoro )

Áp dụng Cauchy – Schawrz ta được :

Ta chỉ cần chứng minh : . Điều này đúng khi giả sử : lớn nhất .
Vậy bài toán được chứng minh 

Câu 46 : Cho thỏa mãn : .CMR :

Bài giải : ( của binhnhaukhong )

Mặt khác , ta để ý rằng :

Tương tự ta cũng có :

Cộng các BĐT trên lại , ta được ĐPCM 

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài giải : ( của binhnhaukhong )

Dễ thấy BĐT tương đương :

Đến đây , áp dụng BĐT AM-GM ta được :
Do đó ta quy về chứng minh :

Mà điều này luôn đúng . Vậy bài toán được chứng minh 

Bài 48 : Cho thỏa mãn : .CMR :

Bài giải : ( của binhnhaukhong )

Áp dụng BĐT Cauchy – Schawrz ta có :

Ta cần chứng minh :

đúng do :
Vậy ta có ĐPCM 

Bài 49 : Cho thỏa mãn : . CMR :

Bài giải : ( của khanghaxuan )

Bổ đề : (1)

Quay lại bài toán : Ta có :

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Mặt khác ,

Áp dụng ta được :

Ta cần chứng minh : (luôn đúng )

</div>

Tổng hợp một số bất đẳng thức trong kì thi các nước

<i>Tổng hợp một số bất đẳng thức trong kì thi MO các nước </i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về