Bồi dưỡng HSG toán 8-9

Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - 9
CHỦ ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x
3
– 5x
2
+ 8x – 4 b) x
3
– 3x + 2 c) x
3
– 5x
2
+ 3x + 9
d) x
3
+ 8x
2
+ 17x

+ 10 e) x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4
Phương pháp:
- Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ước của hạng tử tự do.
- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có nghiệm x = 1=> Đa thức có chứa nhân tử
là x – 1
- Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì
đa thức có nghiệm x = - 1 => Đa thức có nhân tử là x + 1.

Bài giải:
a) x
3
– 5x
2
+ 8x – 4 = (x
3
– x
2
) – (4x
2
– 4x) + (4x – 4)
= x
2
(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)
= (x – 1)(x
2
– 4x + 4)
= (x – 1)(x – 2)
2
b) x
3
– 3x + 2 = (x
3
– x) - (2x - 2)
= x(x
2
– 1) – 2(x - 1)
=(x – 1)(x
2

+ x – 2)
c) x
3
– 5x
2
+ 3x + 9 = (x
3
+ x
2
) – (6x
2
+ 6x) + (9x + 9)
= x
2
(x + 1) - 6x(x + 1) + 9(x +1)
= (x + 1)(x – 3)
2
d) x
3
+ 8x
2
+ 17x + 10 = (x
3
+ x
2
) + (7x
2
+ 7x) + 10x + 10)
= x
2

(x +1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1)
= (x + 1)(x
2
+ 7x + 10)
= (x + 1) [(x
2
+ 2x) + (5x + 10) ]
=(x + 1)(x + 2)(x + 5)
e) x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4 = (x
3
+ x
2
) +(2x
2
+2x) +(4x + 4)
= x
2
(x + 1) + 2x(x + 1) + 4(x +1)
= (x + 1)(x
2
+ 2x + 4)
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x
3
– 2x – 4 b) 2x
3

– 12x
2
+ 17x – 2
c) x
3
+ 9x
2
+ 26x + 24 d) x
3
– 2x
2
– 3x + 10
Bài giải:
a) x
3
– 2x – 4 = (x
3
– 2x
2
) + (2x
2
– 4x) + (2x – 4)
= x
2
(x – 2) + 2x(x – 2) + 2(x – 2)
= (x – 2)(x
2
+ 2x + 2)
b) 2x
3

– 12x
2
+ 17x – 2 = (2x
3
– 4x
2
) – (8x
2
– 16x) + (x – 2)
= 2x
2
(x – 2) – 8x(x – 2) + (x – 2)
= (x – 2)(2x
2
– 8x + 1)
c) x
3
+ 9x
2
+ 26x + 24 = (x
3
+ 2x
2
) + (7x
2
+ 14x) + (12x + 24)
= x
2
(x + 2) + 7x(x + 2) + 12(x + 2)
= (x + 2)(x

2
+ 7x + 12)
= (x + 2) [(x
2
+ 4x) + (3x + 12) ]
= (x + 2)(x + 3)(x + 4)
d) x
3
– 2x
2
– 3x + 10 = (x
3
+ 2x
2
) – (4x
2
+ 8x) + (5x + 10)
Giáo viên Nguyễn Văn Tâm - Trường THCS Xuân Canh
1
Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - 9
= x
2
(x + 2) – 4x(x + 2) + 5(x + 2)
= (x + 2)(x
2
– 4x + 5)
Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 2x
3
– 3x

2
+ 3x – 1 b) 3x
3
– 14x
2
+ 4x + 3 c) 3x
3
– 7x
2
+ 17x – 5
Phương pháp: Các ước của hệ số tự do không phải là nghiệm nguyên của đa thức. Nếu đa thức có
nghiệm hữu tỉ thì nghiệm hữu tỉ phải có dạng
q
p
trong đó p là ước của hệ số tự do còn q là ước của
hệ số cao nhất.
Bải giải:
a) 2x
3
– 3x
2
+ 3x – 1 ( thấy có nghiệm x =
2
1
, nên đa thức có nhân tử là 2x – 1)
= (2x
3
– x
2
) – (2x

2
– x) + (2x – 1)
= x
2
(2x – 1) – x(2x – 1) + (2x – 1)
= (2x – 1)(x
2
– x + 1)
b) 3x
3
– 14x
2
+ 4x + 3 (thấy có nghiệm x =
3
1
−
, nên đa thức có nhân tử là 3x + 1)
= (3x
3
+ x
2
) – (15x
2
+ 5x) + (9x + 3)
= x
2
(3x + 1) – 5x(3x + 1) + 3(3x +1)
= (3x + 1)(x
2
– 5x + 3)

c) 3x
3
– 7x
2
+ 17x – 5 (ta thấy có nghiệm x =
3
1
, nên đa thức có nhân tử là 3x – 1)
= (3x
3
– x
2
) – (6x
2
– 2x) + (15x – 5)
= x
2
(3x – 1)- 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)
= (3x – 1)(x
2
– 2x + 5)
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x
8
+ x
7
+ 1
b) x
7
+ x

5
+ 1
c) x
4
+ 324
Giải:
a) x
8
+ x
7
+ 1 = (x
8
– x
2
) + (x
7
– x) + (x
2
+ x + 1) (thêm và bớt x
2
+ x)
= x
2
(x
6
– 1) + x(x
6
– 1) + (x
2
+ x + 1)

= x(x
6
– 1)(x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
3
– 1)(x
3
+ 1)(x
2
+ x) + (x
2
+ x + 1)
= (x – 1)(x
2
+ x + 1)(x
3
+ 1)(x
2
+ x) + (x
2
+ x +1)
= (x
2

+ x + 1) [(x – 1)(x
3
+ 1)(x
2

+ x) + 1]
= (x
2
+ x + 1)(x
4
– x
3
+ x – 1)(x
3
+ x) + 1]
= (x
2
+ x + 1)(x
6
– x
4
+ x
3
+ x + 1)
b) x
7
+ x
5
+ 1 = x
7
+ x
5
– x
2
- x + (x

2
+ x + 1)
= (x
7
- x) + (x
5
– x
2
) + (x
2
+ x + 1)
= x(x
6
– 1) + x
2
(x
3
– 1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x
3
– 1)(x
3
+ 1+ x) + (x
2
+ x + 1)
= x(x – 1)(x
2
+ x + 1)(x

3
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)[(x
2
– x)(x
3
+ x + 1) + 1]
= (x
2
+ x + 1)(x
5
– x
4
+ x
3
– x + 1)
c) x
4
+ 324 = [(x
2
)
2
+ 2.18x
2
+ 18
2

] – 36x
2
= (x
2
+ 18)
2
– (6x)
2
= (x
2
+ 6x + 18)(x
2
– 6x + 18)
Giáo viên Nguyễn Văn Tâm - Trường THCS Xuân Canh
2
Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - 9
Bài 5: Chứng mính rằng:
a) x
50
+ x
10
+ 1 chia hết cho x
20
+ x
10
+ 1
b) x
2
– x
9

– x
1945
chia hết cho x
2
– x + 1
c) 8x
9
– 9x
8
+ 1 chia hết cho (x – 1)
2

Giải:
a) x
50
+ x
10
+1 = (x
50
– x
20
) + (x
20
+ x
10
+ 1)
= x
20
(x
30

– 1) + (x
20
+ x
10
+ 1)
= x
20
(x
10
– 1)(x
20
+ x
10
+ 1)+ (x
20
+ x
10
+ 1)
= (x
20
+ x
10
+ 1)(x
30
– x
20
+ 1) chia hết cho (x
20
+ x
10

+ 1)
b) x
2
– x
9
– x
1945
= (x
2
– x + 1) – (x
9
+ 1) – (x
1945
– x)
= (x
2
– x + 1) – (x
3
+ 1)(x
6
– x
3
+ 1) – x(x
1944
- 1)
= (x
2
– x + 1) – (x + 1)(x
2
– x + 1)(x

6
– x
3
+ 1) – x(
Bài 5: Tìm số nguyên a sao cho đa thức (x + a)(x – 5) + 2 phân tích được thành (x + b)(x + c)
với b, c, là số nguyên
Giải
Dùng phương pháp xét giá trị riêng
Với mọi x ∈ R ta luôn có: (x + a)(x – 5) + 2= (x + b)(x + c) (*)
với x = 5 ta được: (5 + b)(5 + c) = 2
Vì b và c là số nguyên nên (5 + b)(5 + c) là tích của hai số nguyên. Số 2 chỉ viết được 1.2 hoặc (-1)(-2)
Giả sử b < c ta xét hai trường hợp:
TH1: 5 + b = 1
5 + c = 2 => b = - 4, c = -3
Thay vào (*) ta được (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 4)(x – 3) với mọi x
Với x = 4 thì -(4 + a) + 2 = 0 => 4 + a = 2 => a = -2. Đa thức phân tích thành
(x -2)(x – 5) + 2 = (x – 4)(x – 3)
TH 2:
5 + b = - 2
5 + c = -1 => b = - 7, c = - 6
Thay vào (*) ta được (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6) với mọi x
Với x = 6 thì (6 + a) + 2 = 0 => a = - 8. Đa thức được phân tích thành
(x – 8)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6)
Bài 6:
Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức x
3
+ ax
2
+ bx + c phân tích được thành (x + a)(x + b)(x + c).
Giải:

Dùng phương pháp hệ số bất định
Ta có: x
3
+ ax
2
+ bx + c = (x + a)(x + b)(x + c)
 x
3
+ ax
2
+ bx + c = x
3
+ (a + b + c)x
2
+ (ab + bc + ca)x + abc
 a = a + b + c
b = ab + bc + ca
c = abc
=> b + c = 0 (1) ; ab + bc + ca = b (2) ; abc = c (3)
Từ (1) => c = -b; Thay vào (2) được – b
2
= b => b(b + 1) = 0 => b = 0 hoặc b = -1
* Với b = 0=> c = 0, a tuỳ ý
* Với b = -1 thì c = 1, a = - 1
Vậy ta được x
3
+ ax
2
= x
2

(x + a) hoặc
x
3
– x
2
– x + 1 = (x – 1)
2
(x + 1)
BTVN:
Giáo viên Nguyễn Văn Tâm - Trường THCS Xuân Canh
3
Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - 9
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
3
– 9x
2
+ 6x + 16
b) x
3
– 6x
2
– x + 30
c) 27x
3
– 27x
2
+ 18x – 4
d) x
2

+ 2xy + y
2
– x – y – 12
Bài 2: Tìm các số nguyên a, b, c sao cho (x + a)(x – 4) – 7 phân tích được thành (x + b)(x + c)
Bài 3: Chứng minh rằng:
x
8n
+ x
4n
+ 1 chia hết cho x
2n
+ x
n
+ 1 với mọi số n ∈ N
Đáp số:
Bài 1:
a). Biến đổi x
3
– 9x
2
+ 6x + 16 = (x + 1)(x – 2)(x – 8)
b) 2 là một nghiệm Biến đổi x
3
– 6x
2
– x + 30 = (x + 2)(x – 3)(x – 5)
c)
3
1
là một nghiệm của đa thức Biến đổi 27x

3
– 27x
2
+ 18x – 4 =(3x – 1)(9x
2
– 6x + 4)
d) Đặt x + y = a. Biến đổi x
2
+ 2xy + y
2
– x – y – 12 = (x + y = 3)(x + y – 4)
Bài 2:
Trường hợp 1: a = -10 ; b = -3 ; c = -11
Được: (x – 10)(x – 4) – 7 = (x – 3)(x – 11)
Trường hợp 2: a = 2; b = 3; c = - 5
Được: (x + 2)(x – 4) – 7 = (x + 3)(x – 5)
Bài 3:
x
8n
+ x
4n
+ 1 = (x
2n
+ x
n
+ 1)(x
2n
– x
n
+ 1) chia hết cho x

2n
+ x
n
+ 1
CHUYÊN ĐỀ 2: CHIA ĐA THỨC
Giáo viên Nguyễn Văn Tâm - Trường THCS Xuân Canh
4
Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - 9
LOẠI 1: TÌM HỀ SỐ CỦA ĐA THỨC
Bài 1: Xác định các hằng số a, b, c sao cho
a) ax
3
+ bx
2
+ 5x – 50 chia hết cho x
2
+ 3x – 10
b) x
3
+ ax + b chia x + 1 dư 7, chia x – 3 dư – 5
c) ax
3
+ bx
2
+ c chia hết cho x + 2, chia x
2
– 1 dư x + 5 (Đề thi HSG – năm 2001 Đông Anh)
Giải
a) Dùng phương pháp xét giá trị riêng
Phân tích đa thức chia x

2
+ 3x – 10 = (x + 5)(x – 2)
Gọi Q(x) là đa thức thương của phép chia ax
3
+ bx
2
+ 5x – 50 cho x
2
+ 3x – 10.
Ta có: ax
3
+ bx
2
+ 5x – 50 = (x + 5)(x – 2). Q(x)
Xét các giá trị x = - 5 và x = 2. Ta được:
-125a + 25b = 75 -5a + b = 3 a = 1
8a + 4b = 40 2a + b = 10 b = 8
b) Gọi P(x) là thương của phép chia x
3
+ ax + b cho x + 1. Q(x) là thương của phép chia x
3
+ ax + b cho
x – 3. Ta có:
x
3
+ ax + b = (x + 1). P(x) + 7. Xét giá trị x = -1 . ta được a – b = - 8
x
3
+ ax + b = (x -3). Q(x) - 5. Xét giá trị x = 3 . ta được 3a + b = - 32
 a = -10, b = - 2

c) Ta được – 8a + 4b + c = 0 ; a + b + c = 6 và – a + b + c = 4
=> a = 1, b = 1, c = 4
LOẠI 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC NÀY CHIA HẾT CHO GIÁ
TRỊ ĐA THỨC KIA
Bài 2:
a) Tìm số nguyên n sao cho 2n
3
+ n
2
+ 7n + 1 chia hết cho 2n - 1
b) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức 25n
2
– 97n + 11 chia hết cho giá trị của biểu thức n – 4 (Đề
thi HSG năm 2001 – Đông Anh)
c) Tìm số nguyên n sao cho n
3
– 3n
2
– 3n – 1 chia hết cho n
2
+ n + 1
Giải:
a) 2n
3
+ n
2
+ 7n + 1 = (2n
3
– n
2

) + (2n
2
– n) + (8n – 4) + 5
= n
2
(2n – 1) + n(2n – 1) + 4(2n – 1) + 5
= (2n – 1)(n
2
+ n + 4) + 5
Để 2n
3
+ n
2
+ 7n + 1 chia hết cho 2n – 1 thì 2n – 1 là ước của 5 mà Ư(5) = {1; -1; 5; -5}
=> n ∈ { …..}
b) Ta có 25n
2
– 97n + 11 = (25n + 3)(n – 4) + 23. Để giá trị của 25n
2
– 97n + 11 chia hết cho giá trị của
biểu thức n – 4 thì n – 4 phải là ước của 23
Ư(23) = {1; - 1; 23; - 23}
 n ∈ {3; 5; 27}
c) n
3
– 3n
2
– 3n – 1 = (n
3
+ n

2
+ n) – (4n
2
+ 4n + 4) + 3
= n(n
2
+ n + 1) – 4(n
2
+ n + 4) + 3
= (n – 4)(n
2
+ n + 1) + 3
Để n
3
– 3n
2
– 3n – 1 chia hết cho (n
2
+ n + 1) thì (n
2
+ n + 1) là ước của 3
Để ý thấy n
2
+ n + 1 > 0 nên n
2
+ n + 1 = 1 hoặc 3
ĐS: 1, - 2, 0 , - 1
LOẠI 3: TÌM ĐA THỨC THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN
Bài 3:
Giáo viên Nguyễn Văn Tâm - Trường THCS Xuân Canh

5
Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - 9
Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x – 3 thì dư 7, f(x) chia cho x – 2 thì dư 5, f(x) chia cho
(x – 2)(x – 3) thì thương là 3x và còn dư
Bài 4:
Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x – 3 thì dư 2, chia cho x + 4 thì dư 9, còn chia cho
x
2
+ x – 12 thì được thương là x
2
+ 3 và còn dư
Giải:
Bài 3:
Vì f(x) chia cho (x – 3) dư 7 nên: f(x) = (x – 3).A(x) + 7 (1)
Vì f(x) chia cho (x – 2) dư 5 nên: f(x) = (x – 2). B(x) + 5 (2)
Vì f(x) chia cho (x – 2)(x – 3) được thương là 3x và còn dư nên: f(x) = 3x(x – 2)(x – 3) + ax + b (3)
Cho x = 3 từ (1) và (3) ta có: 7 = 3a + b
Cho x = 2 từ (2) và (3) ta có: 5 = 2a + b
=> a = 2, b = 1.
Vậy đa thức f(x) = 3x(x – 2)(x – 3) + 2x + 1
Bài 4:
Vì f(x) chia cho (x – 3) dư 2 nên: f(x) = (x – 3).A(x) + 2 (1)
Vì f(x) chia cho (x + 4) dư 5 nên: f(x) = (x + 4). B(x) + 9 (2)
Vì f(x) chia cho x
2
+ x - 12 được thương là x
2
+ 3 và còn dư nên:
f(x) = (x
2

+ 3)(x
2
+ x – 12) + ax + b = (x
2
+ 3)(x – 2)(x – 3) + ax + b (3)
ĐS: x
4
+ x
3
– 9x
2
+ 2x – 31
LOẠI 4: Tìm số dư
Bài 5:
Tìm dư khi chia x
99
+ x
55
+ x
11
+ x + 7 cho
a) x + 1 b) x
2
+ 1
Bài 6:
Tìm dư khi chia đa thức x
50
+ x
49
+ … + x

2
+ x + 1 cho x
2
– 1
Giải:
Bài 5:
a) Số dư r = f(-1) = - 1 – 1 – 1 – 1 + 7 = 3.
b) x
99
+ x
55
+ x
11
+ x + 7 = x(x
98
+ 1) + x(x
54
+ 1) + x(x
10
+ 1) – 2x + 7
= x[ (x
2
)
49
+ 1] + x[(x
2
)
27
+ 1] + x[(x
2

)
5
+ 1] – 2x + 7
Vì (x
2
)
49
+ 1; (x
2
)
27
+ 1; (x
2
)
5
+ 1 chia hết cho x
2
+ 1 nên số dư là – 2x + 7
Bài 6:
Gọi thương là Q(x). ta có:
f(x) = (x
2
– 1).Q(x) + ax + b
Cho x = - 1. => - a + b = 1
x = 1 => a + b = 51
=> b = 26; a = 25
Vậy số dư là 25x + 26
BTVN:
1) Xác định các số a, b sao cho ax
3

+ bx – 24 chia hết cho (x + 1)(x + 3)
2) Xác định các số a, b sao cho x
4
– x
3
– 3x
2
+ ax + b chia cho x
2
– x – 2 có dư là 2x – 3
3) Tìm dư của phép chia đa thức x + x
3
+ x
9
+ x
27
+ x
81
cho
a) x – 1 b) x
2
– 1
4) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức 2n
2
+ 3n + 3 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n – 1
CHUYÊN ĐỀ 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
I - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
Giáo viên Nguyễn Văn Tâm - Trường THCS Xuân Canh
6