Tìm công thức tổng quát của Dãy số (6 dạng toán cơ bản)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (155.54 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MỘT SỐ CÁCH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

(Áp dụng Cấp số cộng – Cấp số nhân)

I. Ôn tập nhanh về Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân

(Click xem bài giảng trên Youtube />

1. Ôn tập về Dãy số

• Dãy số là một hàm số có tp xỏc nh l Ơ*

ã Cỏch cho dãy số: công thức tổng quát, công thức truy hồi, mơ tả diễn đạt bằng lời.
• Dãy số tăng nếu un <un+1 , ∀n ; hoặc

1 , 0

n

n
n

u

u n

u + < > ∀

• Dãy số giảm nếu un >un+1 , ∀n ; hoặc
1

1 , 0

n

n
n

u

u n

u + > > ∀
• Dãy số bị chặn trên: ∃M sao cho un M , n Ơ*

ã Dãy số bị chặn dưới: ∃m sao cho un ≥m , n Ơ*.
ã Dóy s b chn: ∃M m, sao cho m u≤ ≤n M , n Ơ*.

2. Cp s cng

ã Cụng thức truy hồi: un+1 = +un d (hằng số d được gọi là cơng sai) 
• Cơng thức số hạng tổng quát: un = + −u1 (n 1)d

• Tính chất ( )un là cấp số cộng thì 1 1
2

k k

k

u u

u = − + +

• Tổng n số hạng đầu tiên: ( 1 )
2

n
n

u u n

S = + hoặc . 1 ( 1)
2

n

n n d
S =n u + − .

3. Cấp số nhân

• Cơng thức truy hồi: un+1 =u qn. (hằng số q được gọi là công bội) 
• Cơng thức số hạng tổng qt: 1

n
n

u =u q −

• Tính chất ( )un là cấp số nhân thì 2

1 1

k k k

u =u −u +

• Tổng n số hạng đầu tiên: 1. 1
1

n

q
S u

q
−
=

− ; Tổng CSN lùi vô hạn

1
1

n

u

S

q
=

− .

Chú ý: trong tài liệu này thuật ngữ viết tắt CSC = Cấp số cộng; CSN = Cấp số nhân; CTTQ = Công
thức tổng quát.

II. Một số thí dụ mở đầu về tìm số hạng tổng qt.

(Click xem bài giảng trên Youtube />

Thí dụ 1: Tìm CTTQ của dãy số u1=10, un+1= −un 7 .

Giải: Ta thấy dãy số đã cho là CSC nên CTTQ là: un = −10 7(n−1) ⇔ un = − +7n 17

Thí dụ 2: Tìm CTTQ của dãy số ( ) :un u1 = −3, un+1=5un

Giải: Ta thấy dãy số đã cho là CSN nên CTTQ là: 1
3.5n

n

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Thí dụ 3: Tim CTTQ của dãy số 1
1

( ) : ( 1)

4 2 (*)

n

n n

u

u n

u + u n

 ≥

 = + +

 .

Phân tích: Ta thấy dãy số đã cho khơng phải là CSC, cũng không phải là CSN. Giờ ta thử đi tính
một vài số hạng đầu tiên: u1=2; u2 =8; u3 =18; u4 =32... Nếu ta lấy kết quả đó chia cho 2 thì ta
được: 1; 4;9;16;... đây là các số chính phương. Do đó ta dự đốn 2

n

u = n

Sau khi dự đoán thành công, ta đi chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Tuy nhiên, với cách làm này chỉ áp dụng cho những dãy số dễ nhận dạng. Còn những dãy khó hơn 
sẽ khơng thể dự đốn tìm ra quy luật mà tính được un. Liệu cịn cách giải nào khác ?

Ta chọn dãy phụ ( )vn và đặt 2 2

1 1

2 2 2( 1) 2( 1)

n n n n

u = +v n − n ⇒u + =v+ + n+ − n+ , thay vào (*):

2 2

1 1

(*)⇔vn+ +2(n+1) −2(n+ = +1) vn 2n −2n+4n+2 ⇔vn+ = + ⇒vn 2 ( )vn là CSC

Nên vn = + −v1 (n 1)2 ⇔ vn =2n , thay vào chỗ đặt un phía trên ta được: 2
2

n

u = n .

Đến đây ta thấy kết quả giống như cách giải dự đốn phía trên, nhưng nó có quy luật dễ tìm hơn

nhiều. Vấn đề là làm sao biết mà đặt 2

2 2

n n

u = +v n − n ?

Trong phần còn lại của tài liệu này, chúng ta sẽ đi tìm hiểu cách tìm số hạng tổng quát của dãy số
bằng cách chuyển dãy đã cho về dãy mới theo Cấp số cộng hoặc Cấp số nhân. Từ đó giải được bài
tốn.

III. Một số dạng tốn tìm CTTQ thường gặp

Dạng 1: Dãy số cho bởi công thức truy hồi 1 0
1

( 1, 1)

. (*)

n n

u x

n

u + αu β α

 ≥ ≠

 = +



Xem video bài giảng trên Youtube />

Cách giải: Đặt un = + ⇒vn p un+1=vn+1+ p , thay vào (*) ta có:

(

)

(

)

1 1

(*)⇔vn+ + =p α vn +p +β ⇔vn+ =αvn+ αp− +p β .

Ta chọn p thích hợp sao cho

(

)

p p p β

α β

α

−

− + = ⇔ =

− thì ( )vn là cấp số nhân.

Do đó 1

(

)

1 1

1. 1 0

1 1

n n n

v v α u p u p α u x β α β

α α

− −   −

= ⇔ − = − ⇔ = +  −

− −

 

Ví dụ 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi 1
1

( 1)

3 5 (*)

n n

u

n
u + u

 ≥

 = +



Ta làm nháp: Đặt un = + ⇒vn p un+1 =vn+1+p thay vào (*) ta có:

(

)

1 1

(*)⇔vn+ + =p 3 vn+ p +5 ⇔vn+ =3vn+2p+5. Chọn p để

2 5 0

p+ = ⇔ = −p

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1 1

5 5

(*) 3 5 3

2 2

n n n n

v + v  v + v

⇔ − =  − + ⇔ =

  ⇒( )vn là cấp số nhân với công bội q=3, 1 1

5 9

2 2

v = + =u .

Do đó 9 1 3 5

.3 .3

2 2 2

n n

v = − ⇒ u = −

Bài tập áp dụng: Tìm cơng thức tổng qt của các dãy số sau

1) 1

1
1

( ) : 3 ( 1)

4 7

n

n n

u

u n

u + u

 =

 ≥



 = +



2)

1
1

( ) : ( 1)

3
2

n n

n

u

u u n

u +

=


 ≥

 = −



Dạng 2: Dãy số cho bởi công thức truy hồi 1 0
1

( 1, 0)

(*)

n n

u x

n

u + u αn β α

=


≥ ≠

 = + +



Xem video bài giảng trên Youtube />

Cách giải: Đặt un = +vn g n( )⇒un+1=vn+1+g n( +1) , thay vào (*) ta có:

[

]

1 1

(*)⇔vn+ +g n( + = +1) vn g n( )+αn+β ⇔ vn+ = +vn g n( )+αn+ −β g n( +1)

Do đó nếu ta chọn g(n) sao cho g n( )+αn+ −β g n( + = ⇔1) 0 g n( + −1) g n( )=αn+β (**) thì ( )vn là

cấp số cộng. Ta chọn g n( )=an2+bn, chọn a, b bằng cách thay vào (**) và áp dụng đồng nhất thức.

(

)

2 2 2 2

(**) ( 1) ( 1) 2

2
a

a

a n b n an bn n an a b n

a b

b
α
α

α β α β

β β α

 =

=

 

 

⇒ + + + − + = + ⇔ + + = + ⇔ ⇔

+ =

  = −



Từ đó ta chọn được 2
( )

2 2

g n =α n +β −α n

  .

Suy ra 2

1 ( ) 1 (1) 0

2 2

n n n

v = ⇔v u −g n = −u g ⇔u =α n +β−αn+ −x β

 

Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng qt của dãy số 1
1

( ) : ( 1)

3 2 (*)

n

n n

u

u n

u + u n

=


≥

 = + +



Ta làm nháp: Chọn g n( )=an2+bn sao cho

2 3 2

( 1) ( ) 3 2

2 1

2
a
a

g n g n n

a b

b

 =

=

 

+ − = + ⇔ ⇔

+ =

  =



Bài giải: Đặt 2 2

1 1

3 1 3 1

( 1) ( 1)

2 2 2 2

n n n n

u = +v n + n⇒u + =v + + n+ + n+ , thay vào (*) ta có:

2 2

1 1

3 1 3 1

(*) ( 1) ( 1) 3 2

2 2 2 2

n n n n

v + n n v n n n v + v

⇔ + + + + = + + + + ⇔ = ⇒( )vn là cấp số cộng

1
0

7
d

v

=

 =



3 1

7 7

2 2

n n

v u n n

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài tập áp dụng: Tìm cơng thức tổng qt của các dãy số sau

3) 1

1
2
( ) :

4 3

n

n n

u
u

u + u n

=


 = + −

 4)( ) :un u1 = −1; un+1= − +un 2n 5

Dạng 3: Dãy số cho bởi công thức truy hồi 1 0
1

( 1, 0)

(*)

n n

u x

n

u + k u αn β α

=


≥ ≠

 = + +



Xem video bài giảng trên Youtube />

Cách giải: làm tương tự như Dạng 2, nhưng chọn g n( )=an b+ và g n( + −1) kg n( )=αn+β

Ví dụ 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số 1
1

( ) : ( 1)

5 8 4 (1)

n

n n

u

u n

u + u n

 ≥

 = − +



Làm nháp: g n( )=an b+ và g n( + −1) 5 ( )g n = − +8n 4 ⇔ −4an a+ −4b= − +8n 4

4 8 1

( ) 2
1

4 4 2

2
a
a

g n n

a b b

=

− = −

 

⇔ ⇔ ⇒ = −

− = = −

 

Bài giải: Đặt 1 1

1 1

2 2( 1)

2 2

n n n n

u = +v n− ⇒u + =v + + n+ − , thay vào (1) ta có:

1 1

(1) 2( 1) 5 2 8 4 5 ( )

2 2

n n n n n

v+ n v n  n v+ v v

⇔ + + − =  + − − + ⇔ = ⇒

  là CSN

1
17

2
5
v

q

 =


 =


Do đó 17 1 17 1

.5 .5 2

2 10 2

n n

v = − ⇒u = + n−

Bài tập áp dụng: Tìm cơng thức tổng quát của các dãy số sau:

5)

1
5

( ) : 4 2 ( 1)

n n

n

u

u u n n

u +

= −


 ≥

 = + −

 6)

1 1

(un) :u =1; un+ =2un−n (n≥1)

Mở rộng: nếu un+1 =k.un+ f n( ) thì hãy điều chỉnh g(n) hợp lí sao cho g n( + −1) k g n. ( )= f n( )

Dạng 4: Dãy số cho bởi công thức truy hồi 1 0
1

( 1)

. (*)

. n

n n

u x

n
u + k u lα

 ≥

 = +



Xem video bài giảng trên Youtube />

Cách giải: Ta cần chọn hàm số g(n) sao cho g n( + −1) k g n. ( )=l.αn ⇒ chọn g n( )=a.αn.

Đặt 1

1 1

. n . n

n n n n

u = +v aα ⇒u + =v + +aα + , thay vào (*) ta được:

(

)

(

)

1 1

(*) . n . . n . n . . n

n n n n

v+ aα + k v aα lα v+ kv ka aα l α

⇔ + = + + ⇔ = + − + . Chọn a l (k )

k α α

−

= ≠

−

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Nếu k =α thì ta chọn số q sao cho 1

(

)

1 . . 1 ( 1) . . .

n n n

n n n n

l

u u l k u q n k u q n k q

k

k + k

+ = + ⇔ + − + = − ⇒ =

Từ đó ta có 1

(

)

(

)

(

)

1 ( 1) . . . . 1 .( 1). ... 1 .

n n n n

n n n

u + −q n+ k + =k u −q n k =k u − −q n− k − = =k u −q k

(

)

(

)

1 1

(

)

1 0

. . . .

n

n n n n n

n n n

k u q k

u q n k u q n k k u q k u l n k k x l

k

− − −

−

⇒ − = ⇔ = + − ⇔ = + − (vì q l

k

= )

Ví dụ 4.1: Tìm cơng thức tổng qt của 1
1

( ) : ( 1)

3 5 (1)

n n

u

u n

u + u

=


≥

 = +



Làm nháp: g n( )=a.5n và 1 1 1

( 1) 3 ( ) 5 .5 3 .5 5 ( ) .5

2 2

n n n n n

g n+ − g n = ⇔a + − a = ⇔ =a ⇒g n =

Bài giải: Đặt 1 1 1

1 1

.5 .5

2 2

n n

n n n n

u = +v ⇒u + =v + + + , thay vào (1) ta được:

1 1

(1) .5 3 .5 5 3 ( )

2 2

n n n

n n n n n

v+ + v  v + v v

⇔ + =  + + ⇔ = ⇒

  là CSN với

1
3

2
3
v

q

 = −


 =


Do đó 3 1 1 1 5 3

.3 .3 .5

2 2 2 2

n n

n n n

n n

v = − − ⇒u = − + = −

Ví dụ 4.2: Tìm cơng thức tổng qt của dãy số 1
1

2
( ) :

3. 2.3

n n

u
u

u + u

=


 = −



Làm nháp: Chọn q sao cho 1

(

)

1 1

3. 2.3 ( 1).3 3 . .3

n n n

n n n n

u + = u − ⇔ u + −q n+ + = u −q n ⇒ =q −

Bài giải: Ta có un+1=3.un −2.3n

(

)

1 2 1

1 1 1

2 2 2

( 1).3 3 .3 3 ( 1).3 ... 3 2

3 3 3

n n n n

n n n

u + n + u n  u − n −  u

⇔ + + =  + =  + − = = +

   

(

)

3 2 2 4 2

.3 .3 .3

3 3 3 3

n

n n n

n n

u n

u + n u

⇒ = − ⇔ = −

Bài tập áp dụng: Tìm cơng thức tổng quát của các dãy số sau:

7) 1

1
1

( ) : ( 1)

2 5.3

n n

u

u n

u + u

= −


≥

 = −

 8)( ) : 1 3; 1 2 7.2 ( 1)

n

n n n

u u = u + = u + n≥

Dạng 5: Dãy số cho bởi công thức truy hồi 1 0
1

( 1)

. ( ) (*)

. n

n n

u x

n
u + ku lα f n

 ≥

 = + +



Xem video bài giảng trên Youtube />

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy số 1
1

( ) : ( 1)

2 3.5 4 1 (1)

n n

u

u n

u + u n

=


≥

 = + + −



Làm nháp: Chọn g n( )=a.5n+h n( ) , để g n( + −1) 2 ( )g n =3.5n + −4n 1

1 .5 2. .5 3.5 1

.5 2. .5 ( 1) 2. ( ) 3.5 4 1

( ) .

( 1) 2. ( ) 4 1

n n n

n n n a a a

a a h n h n n

h n p n q

h n h n n

+ − + + − = + − ⇒ − = ⇒ =

= +

+ − = − 



Ta có ( 1) 2. ( ) 4 1 ( 1) 2 2 4 1 4 ( ) 4 3

3
p

h n h n n p n q pn q n h n n

q

= −


+ − = − ⇔ + + − − = − ⇒ = − ⇒ = − −



Do đó g n( )= − −5n 4n 3

Bài giải: Đặt 1

1 1

5n 4 3 5n 4( 1) 3

n n n n

u = + −v n− ⇒u + =v + + + − n+ − , thay vào (1) của ví dụ 5 ta có:

(

)

1
1

(1)⇔vn+ +5n+ −4(n+ − =1) 3 2 vn+ −5n 4n− +3 3.5n+4n−1

1 2 ( )

n n n

v + v v

⇔ = ⇒ là cấp số nhân với 1 5 1 1

5.2 5.2 5 4 3

n n n

n n

v

v u n

q

− −

 ⇒ = ⇒ = + − −

 =



Bài tập áp dụng: Tìm cơng thức tổng qt của các dãy số sau:

9) 1

1
2

( ) : ( 1)

7 3.2 5 3

n n

u

u n

u + u n

=


≥

 = − + −

 10)

2
1

( ) : ( 1)

2 3.7 5

n n

u

u n

u + u n

= −


≥

 = + +



Dạng 6: Dãy số cho bởi công thức truy hồi 1 01 2 02

2 1

( 1)

. . 0 (*)

n n n

u x u x

n
u + a u + b u

= =

 ≥

 + + =



Xem video bài giảng trên Youtube />

Cách giải: Ta cố gắng tìm cách đưa dãy của (*) về dãy số khác là cấp số nhân. Bằng cách tìm 2 số 
,

α β hợp lí để sao cho un+2−βun+1=α

(

un+1−βun

)

(1)

2 ( ) 1 . 0 ,

n n n

a

u u u

b
α β

α β αβ α β

αβ

+ +

+ = −


⇔ − + + = ⇒ ⇒

 là nghiệm của phương trình

2 0 (2)

x + + =ax b

Phương trình (2) được gọi là phương trình đặc trưng của dãy trong Dạng 6.

Vậy đặt vn =un+1−βun thì (1)⇔vn+1=αvn ⇒( )vn là CSN với

1 02 01
q

v x x

α
β

=


 = −



(

)

(

)

02 01 . 1 02 01 .

n n

n n n

v x βx α − u + βu x βx α −

⇒ = − ⇒ = + − đây chính là Dạng 4.

Lưu ý: ở Dạng 4 có chia ra trường hợp α β≠ và α β= tương ứng với phương trình đặc trưng (2)

có 2 nghiệm phân biệt hoặc nghiệm kép.

Ví dụ 6.1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số 1 2

2 1

1, 7

( ) : ( 1)

5 6 0 )

n

n n n

u u

u n

u + u + u

= =

 ≥

 − + =

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài giải: Ta có phương trình đặc trưng 2 2

5 6 0

3
x

x x

x

=


− + = ⇔  =

Vậy ta có:

(

)

2 1 1 1 1

(1) 2 3 2 2 5.3 2 .3

n n

n n n n n n n n

u + u + u + u u + u − u + u

⇔ − = − ⇒ − = ⇔ = + (2)

Đặt 1 1

5 5

3 .3 .3 .3

2 3 3 3

n n n

n n n n n n

u v u v u + v +

−

= + ⇔ = + ⇒ = +

− , thay vào (2) ta có:

1 1

5 5 5

(2) .3 2 .3 .3 2 4.2

3 3 3

n n n n

n n n n n

v+ + v  v + v v −

⇔ + =  + + ⇔ = ⇒ = −

 

Vậy 4.2 1 5.3 2.2 5.3 1

n n n n

n n

u = − − + ⇔ u = − + −

Ví dụ 6.2: Tìm số hạng tổng qt của dãy số 1 2

2 1

2, 5

( ) : (

(1) 1)

6 9 0

n

n n n

u u

u n

u + u + u

= − =



≥

 − + =



Bài giải: Ta có phương trình đặc trưng 2

6 9 0 3

x − x+ = ⇔ =x

Vậy ta có:

(

)

2 1 1 1 1

(1) 3 3 3 3 11.3 3 .3

n n

n n n n n n n n

u + u + u + u u + u − u + u

⇔ − = − ⇒ − = ⇔ = + (2)

Áp dụng cách giải của Dạng 4 (trường hợp k=α) ta có:

1 2 1

1 1 1

11 11 11 11

(2) ( 1).3 3 .3 3 ( 1).3 ... 3

9 9 9 3

n n n n

n n n

u + n + u n  u − n −  u 

⇔ − + =  − =  − − = =  − 

     

(

)

2
11

11 3 11 17

.3 .3 .3 11 17 .3

9 3 9 9

n

n n n n

n n n

u

n

u n u u n −

 − 

 

 

⇒ − = ⇔ = − ⇔ = −

Chú ý: chúng ta có thể giải nhanh hơn nếu ghi nhớ được cơng thức này

Gọi phương trình đặc trưng của dãy u1, u2, un+2+a u. n+1+b u. n =0 là: 2

0
x + + =ax b (*)

Nếu (*) có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 thì un =C1.

( )

x1 n +C2.

( )

x2 n

Nếu (*) có nghiệm kép x1= =x2 x0 thì un =

(

nC1+C2

) ( )

. x0 n

Trong đó C C1, 2 là các hằng số phụ thuộc vào 2 số hạng đầu u u1, 2 .

Ví dụ 6.3: Tìm số hạng tổng qt của dãy số Fibonacci: F1=F2 =1;Fn+2 =Fn+1+Fn (n≥1)

Với ví dụ này ta hồn tồn có thể làm tương tự như ví dụ 6.1; 6.2. Tuy nhiên, những em nào có trí 
nhớ tốt thì nên học thuộc phần chú ý để giải cho nó nhanh.

Bài giải: Ta có phương trình đặc trưng 2 1 5
1 0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Do đó 1. 1 5 2. 1 5

2 2

n n

n

F =C  +  +C  − 

   

Lần lượt thay F1=1,F2 =1 vào ta được hệ:

1 2

2 2

1 2

1 5 1 5 5

. . 1

2 2 5

1 5 1 5

. . 1

2 2

C C C

C

C C

  +   −  

   +  =  =

     ⇔ 

 

   

 + + − =  = −

   

     

    



Vậy 5. 1 5 5. 1 5 ( 1)

5 2 5 2

n n

n

F =  +  −  −  ∀ ≥n

   

Bài tập áp dụng: Tìm cơng thức tổng qt của các dãy số sau:

11) 1 2

2 1

1, 2

( ) : ( 1)

3 10

n

n n n

u u

u n

u + u + u

= − =

 ≥

 = +

 12)

1 2

2 1

2, 3

( ) : ( 1)

10 25

n

n n n

u u

u n

u + u + u

= − =



≥

 = −



13) 1 2

2 1

1, 2

( ) : ( 1)

n

n n n

u u

u n

u + u + u

= =

 ≥

 = +

 14)

1 2

2 1

1, 3

( ) : ( 1)

4 4 0

n

n n n

u u

u n

u + u + u

= =

 ≥

 − + =



Xem toàn bộ bài giảng này online:

</div>


<a href=''>– www.gvhieu.com</a>
<a href=' /><a href=' /> hướng dấn công thức sinh học và các dạng toán cơ bản ôn thi đại học

HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN về HÀM SỐ BẬC NHẤT

kĩ năng để giải những bài toán khó và phức tạp mà mục đích giúp học sinh giải thành thạo một số dạng toán cơ bản và không bị mắc sai lầm trong quá trình làm bài

phương pháp giải một số dạng toán cơ bản trên máy tính cầm tay cấp thcs - nhằm trợ giúp cho giáo viên và học sinh trong sinh hoạt câu lạc bộ của tổ chuyên môn, công tác dạy - học, bồi dưỡng học sinh giỏi

On Tap CAC DANG TOAN CO BAN DUONG THANG VA MATPHANG

MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN LỚP 4 HAY NHẤT

MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN CỦA HÌNH CHÓP

một số dạng toán cơ bản hàm số bậc nhất và bậc hai

HƯỚNG DẪN HỌC SINH ÔN TẬP VÀ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ ĐIỂN HÌNH Ở TIỂU HỌC

Nâng cao hiệu quả dạy – học giải toán tỉ số phần trăm ở lớp 5 bằng cách vận dụng các dạng toán cơ bản

Tìm công thức tổng quát của Dãy số (6 dạng toán cơ bản)

<b>MỘT SỐ CÁCH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ </b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

) ( )

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về