Nguyễn Đình Sỹ - ĐKSV
WWW.ToanCapBa.Net
Mt s bi toỏn thng v đồ thị hàm số
A. Tìm giao điểm hai đồ thị
Bài tốn : cho đồ thị C1 có phương trình là y=f(x),và đồ thị C2 có phương trình là :
y=g(x). Tìm giao điểm của C1 với C2.
Phương pháp giải :
Lập phương trình hồnh độ điểm chung : f(x)=g(x) (1)
Số ngiệm của phương trình (1) cho ta số hồnh độ giao điểm .Để tìm tung độ
các giao điểm ,ta thay các ngiệm của (1) vào y=f(x) hoặc y=g(x)
I. Cho C1:y=f(x) và C2 : y=g(x) Tìm giao của C1 với C2
1. Lập phương trình hồnh độ điểm chung :
F(x)=g(x)
2. Giải phương trình (1) ta có các ngiệm :x1,x2..
3. Các giao điểm là :M1(x1,f(x1)),M2(x2,,F(x2))...
Ví dụ :Bài 57-tr55 GT12NC
Cho C: y= 2 x3 3x 2 1 và P: y=g(x)=2x2+1 Tìm giao của C và P .
Giải :
: Phương trình hồnh độ điểm chung
2x3+3x2+1=2x2+1 � 2 x3 x 2 0 � x 0, x
1
2
Ta có g(0)=1, g(- )=
1
2
3
1 3
Vậy Ccắt P tại 2 điểm M 1 (0,1), M 2 ( , )
2
2 2
II. Cho C : y=f(x) và C' : y=g(x,m) .Tìm m để C giao với C' tại n điểm : (Gỉa sử :
Tại hai điểm A,B . Đồng thời hai điểm đó thoả mẵn một điều kiện cho sẵn )
Phương pháp giải:
Lập phương trình hồnh độ điểm chung :
F(x)=g(x,m) (1)
Tìm điều kiện của m để (1) có hai ngiệm phân biệt thuộc D (Tập xác định
của hàm số ) (*)
WWW.ToanCapBa.Net
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
Nếu A,B thoả mẵn điều kiện cho sẵn :
1. Tìm qũy tích trung điểm I của AB
�
�xI
�
�yI
�
�xI
a. Tìm toạ độ điểm I : �
�yI
�
�xI
�
�yI
1
2
1
2
1
2
f ( m)
g ( m)
a
g ( m)
f ( m)
b
�
m h ( xI ) 3
�
�yI g h( xI ) 4
b. Bién đổi thành �
c. Kết luận sơ bộ : Khi m thay đổi I chạy trên đường (4)
d. Tìm giới hạn quỹ tích : Thay m từ (3) vào điều kiện (*), ta
được ( giả sử : x<, x> )
e. Kết luận quỹ tích : Khi m thay đổi ,I chạy trên đường (4) ,bỏ
đi những điểm có hồnh đội � ,
2. Tìm độ dài đoạn thẳng AB
a. Với điều kiện (*),sẽ tồn tại A,B . Gọi A(x,y),B(x',y'). Thì
b.
AB 2 f (m) x ' x y ' y
2
2
5
Tìm m để AB ngắn nhât,hoạc lớn nhất ,thì ta chỉ cần
khảo sát (5) để tìm GTNN,hoặc GTLN . Từ đó suy ra
m cần tìm
Tìm m để AB=b .Ta chỉ việc giải phương trình : f(m) =
b ,suy ra m cần tìm
3. Tìm m để d: y=mx+b cắt (H) tại A,B ,nằm trên một nhánh hay
trên hai nhánh khác nhau
WWW.ToanCapBa.Net
2
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
a. Nếu A(x,y) ,B(x',y') nằm trên 1 nhánh ,thì x
0
�
�m
�
af ( ) 0
�
b. Nếu A,B nằm trên hai nhánh khác nhau thì : x<
đ/k : a.f()<0. Từ đó suy ra m
4. Tìm m để hàm số bậc 3 cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt: Thì điều
�
�y '( x, m) 0
kiện là �
�yCD . yCT 0
co 2n . Để tìm CĐ,CT ta có thể làm như sau :
0
Bằng phép chia đa thức ta có : f(x,m) =y'(x,m)+Mx+N. Đường thẳng
đi qua hai điểm CĐ,CT là : y = Mx +N
Ngoai ra còn một số trường hợp khác. Tuỳ theo câu hoi
mà ta có các cách giải khác nhau
Ví dụ : Bài 65-tr58-GT12NC
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y
2x2 x 1
x 1
b) với giá trị nào của m đường thẳng y=m-x cắt đồ thị đă cho tại 2 điểm phân
biệt ?
c) Gọi AvàB là hai giao diểm đó .Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng
AB khi m biến thiên .
Giải :
a).Phương trình hồnh độ điểm chung :
2x2 x 1
mx
x 1
� 2 x 2 x 1 ( x 1)(m x)
� 3 x 2 (2 m) x 1 m 0 (có 2 ngiệm phân biệt khác 1)
�
(2 m) 2 4.3(1 m) f 0
�� 2
�3.(1) (2 m).1 1 m �0
�
m 2 8m 8 f 0
��
� m p 4 2 2vam f 4 2 2
2 �0
�
WWW.ToanCapBa.Net
3
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
c). Gọi M là trung điểm của AB thì
�
�
2m
2m
�
x1 x2
xM
x
�
M
�
�
�xM
�
�
3
3
��
2 ��
�
�yM m xM
�y m 2 m
�y 2m 2
M
M
�
�
�
3
3
�
Ta có : m=3xM-2 thay vào yM 3 xM 2 xM 2 xM 2 (3)
Do đó M chạy trên đường thẳng d : y=2x-2
Vì m p 4 2 2, m f 4 2 2 nên 3 xM 2 p 4 2 2,3xM f 4 2 2
�
62 2
�xM p
�
3
��
�x f 6 2 2
M
�
3
�
Vậy M chạy trên đường thăng d có phương trình là : y=2x-2 bỏ đi đoạn thẳng chứa
các điểm có hồnh độ thoả mãn
62 2
62 2
�x �
3
3
Một số bài tập áp dụng :
Bài 1.Bài 1.67-tr23-BGT12NC
x 2 3x 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y
x
b) Với các giá trị nào của mthì đồ thị C cắt đường thẳng y=m tại 2 điểm phân biệt
AvàB
c) Tìm tập hợp trung điểm M của AB khi m thay đổi
2.(Bài 1.88-tr28-BTGT12NC )
Cho hàm số y
x2
x 1
a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị H của hàm số đã cho ?
b) Chứng minh rằng với mọi m �0 , đường thẳng d: y=mx-3m cắt H tại 2 điểm
phân biệt ,trong đó ít nhất một giao điểm có hồnh độ lớn hơn2.
3. ( Bài 1.89-tr29-BTGT12NC )
x2 2x 3
a). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số C : y
b) Tìm các giá trị m sao cho
x2
đường thẳng y=m-x cắt C tại 2 điểm A,B
c) Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi
4. (Bài 191-tr29-BTGT12NC )
WWW.ToanCapBa.Net
4
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Cho hm s y
Nguyễn Đình
2 x 2 3x 3
x 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho
b) Dựa đồ thị C ,biện luận số giao diểm của đường thẳng d : y=m(x+1)+3 và C,
tuỳ theo các giá trị của m
5(.Bài 11-tr46-GT12CB )
a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số y
x3
x 1
C
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ,đường thẳng y=2x+m luôn cắt C tại 2
điểm phân biệt M,N
c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất
d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của C cắt hai tiệm cận của C tại P,Q. Chứng
minh rằng S là trung diểm của PQ
6. (Bài 1.29-tr22-BTGT12CB )
Cho hàm số y x 3 (m 4) x 2 4 x m (1)
a). Tìm các điểm mà đồ thị (1) đi qua với mọi giá trị của m
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số (1) ln có cực trị
c).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của (1) khi m=0
d) Xác định k để C cắt đường thẳng y=kx tại 3 điểm phân biệt
Bổ sung mọt số bài tập về giao hai đường :
Bài 1. Cho hàm số y
x2 x 1
x 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị C
b) Tìm trên C những điểm cách đều trục 0x
c) Tìm m để đường thẳng d có phương trình y=m-x cắt C tại 2 điểm phan biệt .
Chứng minh rằng khi đó cả 2 điểm thuộc cùng một nhánh
Bài 2. Cho đồ thị C có phương trình y
x3
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C
b) Tìm m để đường thẳng d : y=2x+m cắt C tại 2 điểm M,N . Tìm m để MN ngắn
nhất
Bài 3. Cho hàm số y
mx 2 3mx 2m 1
x2
Tìm m để đường thẳng d :y=m cắt đồ thị của hàm số đă cho tại hai điểm A,B sao
cho AB ngắn nhất
WWW.ToanCapBa.Net
5
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Bi 4. Cho hm s y
Nguyễn Đình
(2m 1) x m 2
(1)
x 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số khi m=-1
b) Tìm m để đồ thị (1) tiếp xúc với đường thẳng d : y=x (ĐHKD-2002 )
Bài 5. ( ĐHKA-2003 )
Cho hàm số y
mx 2 x m
(1)
x 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (1) khi m=-1
b) Tìm m để đồ thị (1) cắt trục 0x tại hai điểm phân biệt có hồnh độ dương
Bài 6. (ĐHKD-2003 )
x2 2x 4
a) Khảo sát và vẽ dồ thi hàm số y
(1)
x2
b) Tìm m để d : y=mx+2-2m cắt đồ thị (1) tại hai điểm phân biệt
Bài 7. (ĐHKA-2004 )
Cho hàm số y
x 2 3x 3
(1)
2( x 1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của (1)
b) Tìm m để đường thẳng d : y=m cắt đồ thị C tại hai điểm A,B sao cho AB=1
Bài 8. (ĐHKD-2004 )
Cho hàm số y x3 3mx 2 9 x 1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ dồ thị hàm số khi m=2
b) Tìm m để điểm uốn của (1) thuộc đường thẳng d :y=x+1
Bài 9. (CĐCNHN-2005 )
x3
(1)
x2
1
b) Chứng minh đường thẳng d : y x m luôn cắt C tại hai điểm A,B. Tìm m để
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị C y
AB nhỏ nhất
Bài 10.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y
x2 2x 9
(C)
x2
b)Tìm m để đường thẳng d : y=m(x-5)+10 cắt C tại hai điểm phân biệt nhận điểm
A(5,10) làm trung điểm
Bài 11.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x3 6 x 2 9 x (C)
WWW.ToanCapBa.Net
6
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
b) Tìm các đường thẳng đi qua M(4,4) và cắt C tại 3 điểm phan biệt
Bài 12. Cho hàm số y x 2 (m x) m (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0 ,đồ thị là C
b) Tìm m để đồ thị (1) cắt (P): y x 2 tại 3 điểm phân biệt
II). Ưng dụng bài toán giao hai đồ thị để biện luận ngiệm của một phương trình
Bài tốn :
Cho đồ thị C có phương trình : y=f(x) .Dựa vào đồ thị C hẵy biện luận theo m số
ngiệm của phương trình : F(x,m)=0
Giải :
Ta biến đổi (1) thành một trong các trường hợp sau :
1. f(x)=m , hoặc f(x)=g(m)=k
2. f(x)=kx+m ( trong đó k là hằng số đẵ biết ,m là tham số
3. f(x)=f(m)
A) Trường hợp f(x)=m
- Kẻ một đường thẳng y=m song song với trục 0x vào đồ thị hàm số C
- Căn cứ vào vị trí tương đối của C và d : y=m ta biết đựơc số giao điểm
của C và d . Từ đó suy ra số ngiệm của phương trình
Ví dụ : (Bài 5.-tr44-GT12CB)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x 3 3x 1 (C)
b) Dựa vào đồ thị C ,biện luận theo m số ngiệm của phương trình
x3 3x m 0
Giải :
Từ phương trình ta có : x3 3x 1 1 m k
.............................................................................
Hướng dẫn học sinh giải trên bảng
Một số bài tập tương tự :
Bài 1. (Bài 7-tr45-GT12CB)
a) Vẽ đồ thị C : y x3 3x 2 1
b) Dựa vào đồ thị C ,biện luận số ngiệm của phương trình
WWW.ToanCapBa.Net
7
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
x3 3x 2 1
Nguyễn Đình
m
2
c) Vit phng trỡnh đường thẳng đi quađiểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị
C
Bài 2. (Bài 1.61-tr22-BTGT12NC)
Với giá trị nào của m phương trình 4 x3 3x 2m 3 0 có một ngiệm duy nhất
Bài 3. (Bài 1.68 -tr24-BTGT12NC)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số
f ( x)
x2 x 1
x 1
b) Từ đồ thị C suy ra cách vẽ đồ thị hàm số
y
x2 x 1
x 1
c). Vứi giá trị nào của m thì phương trình
x2 x 1
m có 4 ngiệm phân biệt
x 1
Bài 4. (Bài 1.26-tr21-BTGT12CB)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C y x 3 3x 1
b) Chỉ ra phép biến hình biến C thành C" của hàm số
y ( x 1)3 3 x 4
c) Dựa vào C',biện luận theo m số ngiệm của phương trình
( x 1)3 3x m
d) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị C', biết tiếp tuyến đó vng góc
x
9
với đường thẳng y 1
Bài 5.
a) Vẽ đồ thị C y
x2 x 1
x 1
x2 x 1
b) Dựa vào đồ thị C nêu cách vẽ đồ thị C' y
x 1
c) Dựa vào đồ thị C ,biện luận theo m số ngiệm của phương trình
x 2 (m 1) x m 1 0
Bài 6.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
WWW.ToanCapBa.Net
8
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
y x3 6 x 2 9 x
b) Từ đồ thị C nêu cách vẽ đồ thị hàm số
3
y x 6x2 9 x
c) Biện luận theo m số ngiệm của phương trình
3
x 6 x2 9 x 3 m 0
Bài 7.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
x2 x 1
y
(C)
x
b) Dựa vào đồ thị C .Biện luận theo m số ngiệm của phương trình
t 4 (m 1)t 3 3t 2 ( m 1)t 1 0
Bài 8(Bài 1.84tr27-BTGT12NC )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C : y x 4 4 x 2 3
b) Từ đồ thị C suy ra cách vẽ đồ thị C': y x 4 x 3
c) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình
x 4 4 x 2 3 2m 1 0 có 8 ngiệm
4
2
Chữa cho học sinh bài 1.91-tr29-BTGT12NC (Nêu cho học sinh thấy ,còn một
dạng nữa là f ( x) m( x x0 ) y0 với ( x0 , y0 ) là điểm cố định đã biết )
Cho hàm số y
2 x 2 3x 3
(C)
x 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị C
b) Dựa vào đồ thị C,hẵy biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng
y=m(x+1)+3 và đồ thị C
B) Trường hợp f(x)=kx+m với k là hằng số ,mlà tham số
-Viết phương trình các tiếp tuyến của C có hệ số góc là k (các tiếp tuyến này
song song với đường thẳng d : y=kx+m ) .Giả sử d': y=kx+n và d": y=kx+p
- Tìm giao của d' vàd" với trục 0y : E(0,n) và F(0,p)
- Kẻ một đường thẳng bất kỳ y=kx+q (q tuỳ ý ) nó cắt 0y tại H(0,q)
- Dựa vào vị trí tương đối của H so với 2 điểm E,F ta suy ra được số giao
diểm của d và đồ thị C .Từ đó suy ra số ngiệm của phương trình
Chữa cho học sinh bài : ( Ví dụ 2.tr21-GT12CB)
WWW.ToanCapBa.Net
9
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
Biện luận theo m số ngiệm của phương trình
2x2 2 x 3
xm
x 3
Ap dụng :( Bài 1.28-tr22-BTGT12CB)
Biện luận theo k số ngiệm của phương trình
2
a) ( x 1) 2 x k
b) ( x 1) 2 (2 x) k
Bài 2.
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
y
x 2 3x
(C)
x 1
b) Dựa vào đồ thị C ,biện luận theo m số ngiệm của phương trình
x 2 (1 m) x m 0 �
x 2 3x
2x m
x 1
Bài 3.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x
1
x2
b) Dựa vào đồ thị C ,biện luận theo m số ngiệm của phương trình :
4tg 2 x (8 m)tgx 1 2m 0 � x
1
2 x m
x2
Bài 4.
a).Khảo sát và vẽ đồ thị C y
x2 2x 2
x 1
b) Dựa vào đồ thị C ,biện luận theo m số ngiệm của phương trình :
x2 2 x 2 3
xm
x 1
4
Bài 5.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C y 9 x 2
b) Dựa vào C ,biện luận theo m số ngiệm của phương trình
9 x 2 mx 4m 3 0
C. Trường hợp f(x)=f(m)
Cách 1
f ( x ) f ( m) � f ( x ) f ( m ) 0 � ( x m ) g ( x , m ) 0
WWW.ToanCapBa.Net
10
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
Trong đó g(x,m)=0 là một hàm số bậc hai . Vì vậy việc biện luận số
ngiệm của phương trình khơng có gì khó
Cách 2:
-Giả sử đồ thị C có điểm cực đại M(x 1 ,y1 ) và điểm cực tiểu N ( x2 , y2 )
- Đặt k=f(m) và giải các phươnh trình f(m)= y1 , f (m) y2 � m1 , m2 ...
- Dựa vào đồ thị C và vị trí của d :y=m (song song với trục 0x) ta có các
bất phương trình :
F(m)>m1 ,f(m)<m1 hoặc f(m)>m2,f(m)
- Từ đó suy ra kết quả cần tìm
Ví dụ (ĐHKA-2002)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C
y x3 3 x 2
b) Biện luận theo k số ngiệm của phương trình
x 3 3 x k 3 3k 2 0 (1)
2
Giải :
Cách 1: Từ (1) ta có
xk 0
�
(k x) �
x 2 (k 3) x k 2 3k �
�
� 0 � �x 2 (k 3) x k 2 3k 0(2)
�
2
2
(2) có (k 3) 4( k 3k ) 3( k 3)( k 1)
�0 � 1 �k �3
Do đó :
f 0 � k p 1, k f 3
Vậy :- phương trình có 2 ngiệm
�k 0
�g (k ) k 2 (k 3)k k 2 3k 0
� 3k (2 k ) 0
�
��
��
��
k 1
(k 2)( k 1) 0
�
� 3(k 3)(k 1) 0
�k 2
�
- Phương trình có 3ngiệm
�
g (k ) 0
k 0, k 2
�
��
�
�1 k 3
� 0
- Phương trình có 1 ngiệm : � 0 � k 1, k 3
Cách 2 :
Khi khảo sát vẽ đồ thị hàm số ta có điểm cực tiểu M(0,0) và điểm cực đại N(2,4)
Do đó ta có các phương trình
�k 3 3k 2 0
�k 0, k 3
��
� 3
2
k 1, k 2
3k 3k 4
�
�
Nếu tráo đổi vai trị y=m , và x=k . Ta có bảng biến thiên
k
-1
0
2
WWW.ToanCapBa.Net
3
11
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
m
4
0
4
Nguyễn §×nh
0
Căn cứ vào bảng ta có kết quả như trên
Một số bài tập tương tự :
Bài 1 .
a) Khảo sát vẽ đồ thị C y 4 x 3 3 x
b) Biện luận theo m số ngiệm của phương trình
4 x3 3x 4m3 3m
Bài 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y ( x 1)2 (2 x)
b) Biện luận theo m số ngiệm phương trình :
( x 1) 2 (2 x) (m 1) 2 (2 m)
Bài 3
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
y x
9
x2
b) Biện luận theo m ngiệm của phương trình
x
9
9
m2 2
x2
m 2
B. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN (HAY BÀI TOÁN TIẾP XÚC )
Định nghĩa : Giả sử hai hàm số f và g có đạo hàm tại điểm x0. Ta nói rằng
hai đường cong y=f(x) và g(x) tiếp xúc nhau tại điểm M(x0,y0),nếu M là
điểm chung của chúng và hai đường cong có tiếp tuyến chung tại M. Điểm
M được gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho
WWW.ToanCapBa.Net
12
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
Nghĩa là :Nếu hai đường cong tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau có
�f ( x) g ( x)
và ngiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai
�f '( x) g '( x)
nghiệm �
đường cong đó
Một số dạng thường gặp
Dạng 1:
a) Bài tốn : Cho đồ thị C có phương trình y=f(x) và một điểm M ( x0 , y0 ) . Viết
phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M
b) Phương pháp giải :
1. Tính f'(x) � f '( x0 )
2. Phương trình tiếp tuyến là : y y0 f '( x0 )( x x0 )
Trong đó x0 , y0 là toạ độ của diểm M
Ví dụ : (Bài 1.62-tr22-BTGT12NC)
1
4
Cho hai hàm số f(x)= x 2 x
1
và g(x)= x 2 x 1
4
a) Chứng minh đồ thị f(x) và đồ thị g(x) tiếp xúc nhau tại điểm A có hồnh
độ bằng 1
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị tại điểm A(d)
c) Chứng minh rằng đồ thị của f nằm phía dưới d cịn đồ thị g nằm phía trên
d
Bài giải :
Xét hệ
1
�1 2
� 2
(2 x 1)
2
�2
2
x
x
x
x
1
x
4
x
1
4
0(1)
x
4
x
1
4
x
x
1
�
�
�
4
�4
�
�
2 x
��
� 1
2x 1 � �
2
2x 1
� x 1
� x x 1
� x 2 x 1 2 x 1 (2)
2 x
�
�
2 x
�
2 x2 x 1
� 2
Từ (1) x3 6 x 2 x 6 0 � ( x 6)( x 2 1) 0 � x 1, x 1, x 6
WWW.ToanCapBa.Net
13
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
Ta có g(-1)= 3 ,g'(-1)= 3 . g(1)=1, g'(1)=1. g(6)=6 , g'(6)=
11
6
Vậy : Tiếp tuyến tại M(-1, 3 ) có phương trình là
y- 3 =- 3( x 1) � y 3 x
Tiếp tuyến tại N(1,1) có phương trình
y-1=(x-1) � y x
Tiép tuyến tại E(6,6) có phương trình
y6
11
11
( x 6) � y x 5
6
6
Chú ý : chữa cho học sinh bài 79-tr63-GT12NC
Cho hàm số : y x
1
có đồ thị C
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C
b) Tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M( x0 , f ( x0 ) ) cắt tiệm cận đứng và tiệm
cận ngang tại A,B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam
giác OABcó diện tích khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm Mtrên đường cong C
Một số bài tập áp dụng :
Bài 1. (ĐHKB-2004 )
1
3
a) Vẽ đồ thị C có phương trình : y x 3 2 x 2 3x
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm uốn,chứng minh rằng hệ số
góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là nhỏ nhất .
Bài 2.
2 x 2 mx m
Cho đồ thị Cm : y
(1)
x 1
Tìm m để đồ thị (1) cắt trục 0x tại A,B sao cho tiếp tuyến tại A và B vng góc
nhau .
Bài 3.
Cho đồ thị C có phương trình y
x 2 2 x 15
(1)
x3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của C tại các giao điểm của C với trục 0x (A vàB)
Dạng 2 .
WWW.ToanCapBa.Net
14
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
Bài tốn : Cho đồ thị C có phương trình y=f(x) và đường thẳng cố định d :
y=kx +m (trong đók,m là các hằng số đã biết ). Viết phương trình tiếp tuyến
của C biết tiếp tuyến này
Song song với đường thẳng d
Vng góc với đường thẳng d
Phương pháp giải :
1. Tính đạo hàm f'(x)
�f '( x ) k � d '// d
�
2. Giải phương trình �
(nếu gọi d' là tiếp của C )
1
f '( x) � d ' d
�
k
�
3. Tính giá trị : y1 f '( x1 ), y2 f '( x2 )... (với x1 , x2 là các ngiệm của
phương trình trên )
Viết phương trình d' : d '1; y y1 f '( x1 )( x x1 )...
Ví dụ : (CĐNL-2003 )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C : y x 3 3x
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C biết rằng các tiếp tuyến này song song
với đường thẳng d : y=3x+2
( Chữa cho học sinh trên bảng . Đáp số y 3x 4 2, y 3 x 4 2 )
MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1 (ĐHKD-2005 )
1
3
Cho hàm số y x 3
m 2 1
x (Cm )
2
3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C khi m=2.
b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị Cm có xm 1 . Tìm m để tiếp tuyến của Cm tại M //
với đường thẳng d :5x-y=0
Bài 2
Cho hàm số y
x 2 3x 3
(C)
x2
a) Khảo sát ặ biến thiên và vẽ đồ thị C
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C biết rằng các tiwps tuyến nằy vng góc
với đường thẳng d' :3y-x+6=0
WWW.ToanCapBa.Net
15
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
Bài 3
Cho đồ thị Cm ; y
4 mx 3 x 2
(1)
4x m
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C khi m=0
b) Tìm m để tiếp tuyến của Cm tại điểm có x=0 vng góc với tiệm cận
Bài 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C y x 3 3 x 2 2
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C ,biết rằng các tiếp tuyến này vuông góc
với d :5y- 3x +2 =0
Bài 5
Cho hàm số y
2 x 2 mx m
(Cm ) (1)
x 1
Tìm m để đồ thị (1) cắt 0x tại hai điểm A,B sao cho tiếp tuyến tại A và B vng
góc nhau
Bài 6 (KTQD-2001 )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C : y
x 1
x3
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C biết rằng các tiếp tuyến này vng góc
với đường thẳng d : y= x+2001
Bài 7
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C : y
2x2 7 x 7
x2
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C biết rằng các tiếp tuyến nằy// với đường
thẳng d :y=x+4
Bài 8
a) Vẽ đồ thị C: y
x2 2x 3
x 1
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C, biết các tiếp tuyến này // với đường
thẳng d: y=-x
Dạng 3
WWW.ToanCapBa.Net
16
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
Bài tốn : Cho đồ thị C có phương trình : y=f(x) và một điểm M ( x0 , y0 ) (M là bất
kỳ , dù nằm trên C hay khơng nằm trên C cũng được ) .Có một số cách hỏi như sau
:
Viết phương trình các đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với C
Từ M kẻ đựơc bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị C
Viết phương trình các tiếp tuyến của C biết các tiếp tuyến này đi qua M
Có bao nhiêu tiếp tuyến của C kẻ từ M
............(có một số cách nói khác nữa ...)
Phương pháp giải :
a. Gọi d là đường thẳng đi qua M có hệ số góc k (chưa biết ) thì d có
phương trình là : y k ( x x0 ) y0
�f ( x) k ( x x0 ) y0 (1)
f '( x ) k (2)
�
c. Thay (2) vào (1) ta có : f ( x) f '( x)( x x0 ) y0 (3) (ẩn là x ) và giải
(3) ta thu đựơc các ngiệm : x1 , x2 ...xi
b. Để d tiếp xúc C thì hệ sau có ngiệm �
d. Thay
các
ngiệm
của
(3)
vào
(2)
ta
có
k1 f '( x1 ), k2 f '( x2 )...ki f '( xi )
e. Thay k1 , k 2 ,....ki vào phương trình của d ta có : di : y ki ( x x0 ) y0
;
Ví dụ : (TN-2003-2004)
1
3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x3 x 2 (C)
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C đi qua A(3,0)
Giải :
Đường thẳng đi qua A có hệ số góc là k. d có phương trình là
Y=k(x-3) (1)
Để d là tiếp tuyến của C thì hệ phương trình sau có ngiệm
�1 3
2
� x x k ( x 3)(2)
�3
2
�
� x 2 x k (3)
�x 0
�x 3
3
2
2
2
Thay (3) vào (2) ta có : x 3x 3( x 2 x)( x 3) � 2( x 3) x 0 � �
Với x=0 thay vào (3) ta được k=0 do đó d : y=0 (Từ (1) )
Với x=3 thay vào (2) ta có k=3 .Do đó d : y=3(x-3)=3x-3
Vậy ,từ A có 2 tiếp tuyến kẻ đến C
Một số bài tập tương tự :
WWW.ToanCapBa.Net
17
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
Bài 1.
1
2
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x 4 3 x 2
3
(C)
2
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C tại điểm uốn
c) Viét phương trình các tiếp tuyến của C đi qua A(0,3/2)
Bài 2 (Đề 96-BĐTTS )
x2 2x 2
(C)
x 1
x2 2 x 2
b) Từ C nêu cách vẽ đồ thị C' : y
(1)
x 1
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : y
c) Viêt phương trình các tiếp tuyến của C' kẻ từ điểm A(3,0)
Bài 3 (ĐHTN-KA-2001 )
x 2 3x 6
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y
(C)
x 1
x 2 3x 6
y
b) Từ C nêu cách vẽ đồ thị C':
x 1
c) Qua O kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến C. Tìm toạ độ tiếp điểm nếu
có
Bài 4 (ĐH An Giang K.A+B-2001 )
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : Y x 4 x 2 1 (C)
b) Tìm các điểm trên trục 0y từ đó kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến C
Chú ý :
Chữa đề thi của Đại Học Cần Thơ Khối A+B -2001 cho học sinh
x 2 3x 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y
(C)
x
b) Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị
C
Giải : b)
Gọi M là điểm thuộc đường thẳng x=1, d là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là
k. d có phương trình là : y= k(x-1)+m ( với M(1,m) )
Để d là tiếp tuyến của C thì hệ sau có ngiệm.
WWW.ToanCapBa.Net
18
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
�x 2 3 x 2
k ( x 1) m(1)
�
� x
�
x2 2
�
k (2)
�
x
�
x 2 3x 2 �x 2 2 �
� 2 �
( x 1) m
Thay (2) vào (1) ta có
x
x
�
�
� x ( x 2 3 x 2) ( x 2 2)( x 1) mx 2
� g ( x, m) (2 m) x 2 4 x 2 0 (3)
Để từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến C thì phương trình (3) có đúng 2 ngiệm
phân biệt
' 4 2(2 m) 0
�
��
(2 m) g ( x, m) (2 m)(2) �0
�
�2m 0
�m 0
��
Do đó � �
(*)
2 m �0
m �2
�
�
Vậy trên đường thẳng x=1 .Tập hợp các điểm có tung độ nhỏ hơn 0 (m<0) bỏ đi
điểm (1,-2) thì từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến C
Bài tập tương tự :(Học sinh về nhà tự làm )(ĐHSP -Hải Phòng KA-2001)
a) Vẽ dồ thị C : y x3 3 x 2 2
b) Tìm trên đường x=2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến
đến C
Bài tập về nhà :
Bài 1.(ĐHXD-2001)
Có bao nhiêu tiếp tuyến của C : y x ln x đi qua điểm M(2,1)
Bài 2.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị C : y x 3 3x 2 3
�23
�9
�
�
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C đi qua M � , 2 �
Bài 3(ĐHNNI-2001)
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : y
x2 2x 1
(C)
x 1
b) Tìm trên trục 0y những điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến C
C.Sự tiếp xúc của hai đường cong
WWW.ToanCapBa.Net
19
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
Bài tốn 1:
Cho 2 đường cong có phương trình C :y=f(x) và C' :y=g(x) .Chứng minh rằng C
và C' tiếp xúc nhau tại M.Tìm toạ độ điểm M. Viết phương trình tiếp tuyến chung
của C và C' tại M
Phương pháp giải :
Hoành độ tiếp điểm của 2 đường cong là ngiệm của hệ :
�f ( x) g ( x)
�
�f '( x) g '( x)
Giải hệ ta có M( x0 , y0 )
Hệ số góc của tiếp tuyến chung tại M là k= f '( x0 )
Tiếp tuyến chung tại M có phương trình :y=f'( x0 )( x x0 ) y0
Ví dụ :(Bài 59-tr56-GT12NC)
Chứng minh rằng các đồ thị của 3 hàm số : f ( x) x 2 3x 6, g ( x) x 3 x 2 4 và
h( x) x 2 7 x 8 tiếp xúc nhau tại điểm A(-1,2) (tức là chúng có tiếp tuyến chung
tại A)
Giải :
�
x 2 3x 6 x 2 7 x 8
Xét hệ : �
� 2 x 3 2 x 7
�
2( x 1) 2 0
��
� x 1
�4( x 1) 0
Thay x=-1 vào f(-1)= (1)3 (1) 2 4 2 = toạ độ điểm A
Chứng tỏ 3 đường cong tiếp xúc nhau tại A
Ta có tiếp tuyến chung tại A là d thì hệ số góc của d là f'(-1)=-2(-1)+3=6 . Do đó d
có phương trình là :y=6(x+1)+2 =6x+8
Bài tập tưng tự
Bài 1 (Bài 60-tr56-GT12NC )
Chứng minh rằng các đồ thị của 2 hàm số f ( x)
x2 3
3x
x, g ( x)
tiếp
2 2
x2
xúc với nhau .Xác định tiếp điểm của 2 đừng cong trên và viết phương trình
tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó
Bài 2. (Bài 78-tr63-GT12NC )
a) Vẽ đồ thị P : y x 2 x 1 và đồ thị H của hàm số y
WWW.ToanCapBa.Net
1
x 1
20
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
b) Tìm giao của 2 đường cong .Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp
tuyến chung tại giao điểm của chúng
c) Xác định các khoảng trên đó P nằm phía trên hoặc phía dưới H
Bài 3 (Bài 1.64-tr23-GT12CB)
Chứng minh C có phương trình y x 2 3x 1 tiếp xúc với C' :
x2 2x 3
y
x 1
Viết phương trình tiếp tuýen chung của 2 đương cong tại tiếp điểm của
chúng
Bài 4. (Bài 1.87-tr28-BTGT12CB)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y
x4
(H)
x2
b) Chứng minh rằng P có phương trình y x 2 2 tiếp xúc với H. Xác định
tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của H và P tại điểm đó
c) Xét vị trí tương đối của P và H (Tức là xác định mỗi khoảng trên đó P
nằm phía trên hoặc phía dưới H )
Bài tốn 2
Cho đồ thị C có phương trình y=f(x). Lập phương trình P đi qua các điểm cực trị
của hàm số f(x) và tiếp xúc với đương thẳng d : y=Ax+B (đường thẳng này cho
sẵn )
Phương pháp giải :
Gọi điểm cực đại của C là M x0 , y0 và điểm cực tiểu là N x1 , y1 . (P) cần
lập có phương trình là :y=ax2+bx+c
1. (P) qua M � y0 ax0 2 bx0 c (1)' và (P) qua N � y1 ax12 bx1 c (2)'
2. (P) tiếp xúc d thì hệ sau có ngiệm
�
ax 2 bx c Ax B (1)
�f ( x) Ax B
��
�
� f '( x) A
� 2ax b A(2)
Ab
3. Từ (2) ta có x
thay vào (1)
2a
Ab 2
�A b �
�A b �
) b�
a(
� c A �
� B (3)
2a
� 2a �
� 2a �
Thay : c= y0 ax0 2 bx0 và b= y1 ax12 c / x1 từ (1)' và (2)' vào (3) ta được
h(a)=0 gỉai ta suy ra a sau đó thay ngược lại vào (1)' và (2)' ta tìm được b và c
Ví dụ ( Ví dụ 1 -tr20-BTGT12CB )
WWW.ToanCapBa.Net
21
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
a) Viết phương trình (P) dạng y ax 2 bx c đi qua các điểm cực đại ,cực tiểu của
đồ thị C : y x 3 3 x 2 4 và tiếp xúc với đường thẳng d : y=-2x+2
5
3
b) Viết phương trình tiếp tuyến của C song song với đường thẳng d' : y x 1
Giải :
b) Từ a) ta tìm được điểm cực đại và điểm cực tiểu là M(0,4 ),N(2,0)
-(P) qua M(0,4) : c=4 (1)
-(P) qua N(2,0) :4a+2b+c=0 (2)
- Từ (1) và (2) ta suy ra b=-2a-2 (3) .Thay vào (P) : y ax 2 2(a 1) x 4 (a
�0 )
- Để (P) tiếp xúc d thì hệ sau có ngiệm
�
ax 2 2(a 1) x 4 2 x 2(4)
Thay (5) : x 1 vào (4) ta có a=2 từ (3) có
�
� 2ax 2(a 1) 2(5)
b=-6
Vậy (P) có phương trình là : y 2 x 2 6 x 4
Học sinh áp dụng giải đề thi ĐHSP I HN-KD-99
Cho hàm số y x 3 3mx 2 (m 2 2m 3) x 4 (1)
a) Khảo sát vẽ đồ thị C khi m=1
b) Viết phương trình (P) đi qua 2 điểm cực trị của C .
c) Tìm m để (1) có cực đại ,cực tiểu đồng thời 2 điểm cqcj trị này nằm về 2
phía của 0y
Bài tập tương tự :
Bài 1 (ĐH An Ninh -99)
Cho hàm số : y
x 2 mx m 8
(1)
x 1
a) Khảo sát vẽ đồ thị C khi m=-1
b) Viết phương trình (P) đi qua 2 điểm cực đại ,cực tiểu của đồ thị C và tiếp
xúc với đường thẳng d :y=2x-10
c) Tìm m để (1) có cực đại ,cực tiểu nằm về 2 phía của d' : 9x-7y-10=0
Bài 2 (ĐHAN-KD-98 )
a) Khảp sát vẽ đồ thị C : y
x2
x 1
b) Viết phương trình (P) đi qua 2 điểm cực đại ,cực tiểu của đồ thị C và tiếp
xúc với đường thẳng d : y=
1
2
WWW.ToanCapBa.Net
22
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
Bài 3 (ĐH Tây Nguyên KA-99 )
1
3
a) Khảo sát vẽ đồ thị C : y x3 x
2
3
b) Viết phương trình (P) đi qua 2 điểm cực đại ,cực tiểu của C và tiếp xúc với
đường thẳng d : y
4
3
Nhắc nhở học sinh về một dạng bài tập sau :
Bài 1 (ĐHDHN-2001 )
Tìm m để hàm số y x 2 3x
m
3 có 3 điểm cực trị , khi đó CM 3 điểm cực trị
x
đó nằm trên (P) : y 3( x 1)2
Cách giải :
Điều kiện để hàm số có 3 cực trị là :
m
�
y x 2 3x 3(1)
�
�
3
có 3 ngiệm khác 0
�
�y ' 2 x 3 m 0(2)
�
x2
Từ (2) ta có g(x)= 2 x3 3x 2 m (3)
Xét g'(x)= 6 x 2 6 0 � x �1
Ta có bảng
�
x
-1
1
g'(x)
+
0
0
+
g(x)
-5
-1
Căn cứ vào bảng ta thấy ,để hàm số có 3 cực trị thì -5
Khi đó từ (3) thay vào (1)
y x 2 3x
�
+
2 x3 3x 2
3 3( x 1) 2 Đó chính là phương trình (P) . Nghiã là 3 điểm
x
cực trị nằm trên (P)
Bài 2
Chứng minh rằng mọi điểm cực trị của hàm số :
y
4
x
x 3 3 x 2 8 x nằm trên (P) cố định . Viết phương trình (P) cố định đó
4
WWW.ToanCapBa.Net
23
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
Bài tốn 3
Cho họ Cm có phương trình y= f(x,m) (1) trong đó m là tham số . Tìm phương
trình đương (L) cố định tiếp xúc với họ Cm
Dạng 1 : tiếp tuyến cố định của họ Cm , t ại một điểm cố định
Giả sử (1) có điểm có định A( x0 , y0 )
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A: f'(x) không phụ thuộc vào m
Họ (1) có chung một tiếp tuyến là :y- y0 f '( x0 )( x x0 )
Ví dụ : (ĐHQG-A-96 )
Cho hàm số y
2 x 2 (1 m) x 1 m
(m �1) (1)
x m
CM rằng (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định
Cách giaỉ :
Tìm điểm cố định :
Gọi A( x0 , y0 ) là điểm cố định mà với mọi m đồ thị (1) luôn đi qua .
2 x0 2 (1 m) x0 1 m
m
Ta có : y0
x0 m
� (m x0 ) y0 2 x02 (1 m) x0 1 mm
� ( x0 y0 1)m 2 x0 2 x0 1 x0 y0m
�
�y x0 1
� x0 y0 1 0
� �0
�� 2
Vậy điểm cố định A(-1,2)
2
(
x
1)
0
2
x
x
1
x
y
0
0
�
� 0
0
0 0
Tính đạo hàm số tại A
m 2m 1
2 x 2 4mx m 2 2m 1
� f '(1, m)
1 ( Khônh phụ
F'(x,m)=
2
( x m)
(1 m)2
2
thuộc vào m ) Do đó đường thẳng d :y=-x+1 là đường thẳng cố định tiếp xúc với
(1) tại A cố định
Cách khác :
Nếu (1) tiếp xúc với d cố định khi và chỉ khi hệ sau có ngiệm với mọi m
WWW.ToanCapBa.Net
24
Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn §×nh
�
2 x 2 (1 m) x 1 m
y f ( x, m)
(1)
�
�
x m
Khử m từ (1) và (2) ta có pt của d
�
d ( f ( x, m))
�
0(2)
�
dm
y(m x) 2 x 2 (1 m) x 1 m
� ( y x 1)m 2 x 2 x 1 xy Lấy đạo hàm 2 vế theo biến
Từ (1) :
m ,Ta có
Y+x-1=0 . Nghĩa là y=-x+1 Chính là phương trình của d
Dạng 2 : Cho biết dạng của đường cong (L) : y=g(x)
Nếu (L) là đường thẳng : y=ax+b
Nếu (L) là parabol : y=ax2+bx+c
�f ( x, m) g ( x )
có ngiệm
�f '( x, m) g '( x )
Vậy nếu f(x,m) tiếp xúc với (L) thì : �
Ví dụ : (ĐHTN-KA+B-2001 )
Cho hàm số y
2m 2 x 2 (2 m 2 )( mx 4)
(1)
mx 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị C khi m=1
b) CM rằng m �0 , tiệm cạn xiên của đồ thị (1) luôn tiếp xúc với một (P)
cố định
Cách giải :
Bằng phép chia đa thức ta tìm được tiệm cận xiên có phương trình là :
y 2mx m 2
Gọi (P) có phương trình : y ax 2 bx c (a �0)
Tiếp tuyến của (P) tại M( x0 , y0 ) là d : y (2ax0 b)( x x0 ) ax0 2 bx0 c
� y (2ax0 b) x ax0 2 c (2)
Để tiệm cận xiên tiếp xúc (P) thì ta buộc cho tiệm cận xiên trùng với tiếp tuyến d
�2ax b 2m(3)
2m b
� � 20
(a �0) Thay vào (4) ta có :
Từ (3) � x0
2
ax0 c m (4)
2a
�
2
�2m b �
2
a�
� c m (m)
� 2a �
� 4(1 a) m2 4mb b 2 4 ac 0(m)
WWW.ToanCapBa.Net
25