Bài 18. Bài tập có đáp án chi tiết về tích phân | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (513.84 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

kết quả
e

3e 1
ln d

a

x x x
b






A. a b . 64. B. a b . 46. C. a b 12. D. a b  .4
Lời giải

Tác giả: Bình Yên; Fb: Bình Yên
Chọn A

Đặt

4
1

d d

u x

u x x

v x x

v x






 



 



  



 . Áp dụng tích phân từng phần ta tính được:
e

ln d
x x x



e e 4 e 4

4 3 4

1 1 1

1 1 e 1 3e 1

ln d

4x x 4x x 4 16x 16



 



  

. 64
16

a

a b
b




   



 .

Câu 2. [2D3-2.3-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) (THPT Nam Tiền 
Hải-Thái Bình-Lần 2-2018)Cho hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



0;2



và thoả mãn

 

2 16,

f

 

d 4



f x x

. Tính tích phân





.  2 d




I x f x x

A. I 12. B.I 7. C. I 13. D. I 20.
Lời giải

Chọn B

Đặt t2x  dt2dx . Đổi cận: x 0 t0 và x 1 t2.

Vậy

 

0
1

d
4 





I tf t t

. Đặt

 











u t

dv f t t

 

d d


 





u t

v f t

, khi đó

 

2
2

0
0

4I tf t  



f t td

 

2 2 d

 f 



f x x

32 4 28

    I 7.

Câu 3. [2D3-2.3-3] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Tính tích phân





0 ln 1

e

I 



 x x dx

ta được kết quả có dạng
2
ae b

c



, trong đó , ,a b c   và 
a

b là phân số
tối giản. Tính T a22b 3c.

A. 17 . B. 10 . C. 17. D. 18 .

Lời giải

Tác giả: Lê Thanh Bình ; Fb: Lê Thanh Bình
Chọn C

Xét





0 ln 1

e

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Đặt





ln 1

d d

u x

v x x

 








 , khi đó ta chọn được

1
1
1
2
du dx

x
x
v






 



 


 .

Suy ra









2 1 2 2 1

1 1

0 0 0 0

1 1 2 2

ln 1 ln 1

2 2 2 4

e e

e x e x e e x x

I 



 x x dx  x  



  dx    

2 2 2 4 3 2 3

2 4 4

e  e e  e e 

  

Do đó a1,b3,c . Vậy ta có 4





2 2 3 12 2 3 3.4 17
T a  b c    

Câu 4. [2D3-2.3-3] (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2) Biết
3

2
0

dx ln

cos
x

I b

a
x







 

, với
,

a b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức
2

T a  ?b

A. T  .9 B. T  .13 C. T  .7 D. T 11.

Lờigiải

Tácgiả:TrầnĐứcKhải; Fb: facebook.com/duckhai93
Chọn D

Ta giải:
3

2
0

dx
cos

x
I

x






Đặt 2

d d

d tan

cos
u x

u x

x v x

v

x
ì =

ï ì

ï ï =

ù ị ù

ớ ớ

ù = ù =ùợ

ùùợ .

Suy ra:

3
3
0

tan tan dx

I x x x

p
p

= -

ò

(

)

3
3
0

d cos
tan

cos
x

x x

x

p
p

= +

ò

(

)

tan ln cos

x x x

p

= +

(

)

3 3

.tan ln cos 0.tan 0 ln cos 0 ln 2 ln

3 3 3 3 a b

p p p p p

ổ ửữ

ỗ

=ỗỗ + ữữữ- + = - =

-ố ứ

2
3

11
2

a

a b

b
ỡ =
ùù

ị ớù = ị + =
ùợ

Cõu 5. [2D3-2.3-3] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn





 

1 d 9

A



x f x x 

và f

 

2  f

 

0  . Tính 3

 

I 



f x x

A. I  .12 B. I 12. C. I  .6 D. I  .6
Lời giải

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Đặt dv f x x

 

d v f x

 

 

 



 



 

 

  .

Ta có:





 



  

 

2 2 2

0 0 0

1 d 1 d 2 0 d

A



x f x x  x f x 



f x xf f 



f x x
.

Với A 9 và f

 

2  f

 

0  nên 3

 

d 6

I 



f x x

Câu 6. [2D3-2.3-3] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Biết
3

2
0

d ln

cos
x

I x b

x a







 

. Khi đó, giá trị của
2

a  bằngb

A. 11. B. 7. C. 13. D. 9.

Lời giải

Tác giả:Vũ Thị Loan ; Fb: Loan Vu
Chọn A

Đặt 2

d d

tan

d d

cos
u x

u x

v x

x










 



 




3 3 3

3
0

0 0 0

sin d 3 d(cos )

tan tan d . 3

3 cos 3 cos

x x x

I x x x x

x x

  

  

 



 



 



3
0

3 3 1 3

ln cos ln ln1 ln 2

3 x 3 2 3



  

       a 3;b 2

   . Vậy a2 b 11
  .

Câu 7. [2D3-2.3-3] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Nghiệm dương a của phương trình









2 1 ln d ln 9

a

x x x a  a a



thuộc khoảng nào sau đây?

A.



1;3



. B.



3;5



. C.



5;7



. D.



7;10



.

Lời giải

Tác giả: lê huệ; Fb: lê huệ
Chọn C

Đặt ulnx và dv



2x1 d



x, ta có

1
du dx

x


và v x 2 x.

Khi đó, đặt













2 2

1 1

2 1 ln d ln d

a a

a

I x x x x x x x x x

x





   













ln 1 d

a

a a a x x

  









2
2

1
ln

a

x

a a a  x

     

 





ln 2 1 1

2 2
a

a a a  a 

       

 





2 ln 1

2 2

a

a a a  a 

      

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Theo giả thiết:





ln 9
I  a  a a

2 1 3 2

9 2 17 0

2 2 1 3 2

a
a

a a a

a
  

         

 

 .

Do a 0nên a  1 3 2.

Câu 8. [2D3-2.3-3] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Biết rằng





2 cos 3 d 2 cos3 sin 3

  



e x x x e x a x b x c, trong đó a , b , c là các hằng số, khi đó tổng a b
có giá trị là

A.

5
13


. B.

13. C. 
5

13. D. 
1
13


.
Lời giải

Tác giả: Cao Hữu Trường ; Fb: Cao Hữu Trường
Chọn C

Đặt

2 d 2 d

d cos3 d sin 3

 

  



 

 

 



x

x u e x

u e

v x x v x

Ta có

2 cos 3 d



e x x x 2 2

1 2

sin 3 sin 3

3 3

 e x x



e x x

Đặt

2 d 2 d

d sin 3 d cos 3

 

  



 

 

 



x

x u e x

u e

v x x v x

Ta có

2 cos 3 d



e x x x 2 2 2

1 2 4

sin 3 cos 3 cos 3 d

3 9 9

 e x x e x x



e x x x

2 2 2

13 1 2

cos 3 d sin 3 cos 3

9 3 9





e x x x e x x e x x C

2 cos 3 d 2 2 cos3 3 sin 3

13 13

 

    

 



e x x x e x x x C

Suy ra

2
13


a

và

3
13


b

Vậy

5
13
 

a b

.
Cách khác:

Ta có





2xcos 3 d 2x cos 3 sin 3

e x x e a x b x c

     















2xcos 3 2 2x cos 3 sin 3 2x 3 sin 3 3 cos3

e x e a x b x e a x b x

     









2xcos 3 2x 2 3 cos 3 3 2 sin 3

e x e  a b x a b x

       

Đồng nhất biểu thức ta có

2
2 3 1 13

3 2 0 3
13

a

a b

b




 

 



 

  

  



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vậy a b 13.

Câu 9. [2D3-2.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hàm số f x

( )

xác định và liên tục trên ¡ . Gọi

( )

g x

là một nguyên hàm của hàm số

( )

x
y

x f x
=

+ . Biết rằng

( )

d 1

g x x=

ò

và

( )

2 2g - g 1 =2. Tích phân

( )

2 2

2
1

d
x

x
x+f x

ò

bằng

A. 1,5 . B. 1 . C. 3 . D. 2 .

Lời giải

Tácgiả:Kim Liên; Fb: Kim Liên
Chọn B

Vì g x

( )

là một nguyên hàm của hàm số

( )

2
x
y

x f x
=

+ nên

( )

x
g x

x f x
¢ =

+ .

Đặt

( )

2 2

2
1

d
x

I x

x f x
=

ò

( )

d
I xg x xÂ
ị =

ũ

( )

u x

dv g x dx

ỡ =
ùù

ớ Â
ù =

ùợ

( )

du dx

v g x

ỡ =
ùù
ị ớù =

ùợ .

Khi ú

( )

d
1

I =xg x -

ò

g x x

( )

2 2g g 1 1 1

= - - = .

Câu 10. [2D3-2.3-3] (CHUN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số

 

yf x

với f

 

0 f

 

1  . Biết rằng 1

 

ex f x f x dx ae b


  

 

 



, a ,b  . Giá trị của
biểu thức a2019b2019 bằng

A. 220181. B. 2. C. 0. D. 220181.

Lời giải

Tác giả: Hải Thương; Fb: Hải Thương
Chọn C

Cách 1:

Ta có

 

1 1

1
0

0 0

ex f x f x dx exf x dx exf x e. 1f f 0 e 1

   

      

 

     



Theo đề bài

 

ex f x f x dx ae b


  

 

 



, a , b   suy ra a 1, b 1.

Do đó

 

2019
2019 2019 12019 1 0

a b     .

Cách 2:

Ta có

 

1 1 1

0 0 0

ex f x f x dx exf x xd exf x xd

 

  

 

 



.
Đặt uf x

 

, dve dx x; ta có duf x x

 

d , v ex.

Khi đó,

 

1 1

1
0

0 0

ex d ex ex d

f x x f x   f x x



 

1 1

1
0

0 0

ex d ex d ex

f x x f x x  f x 









 

 

1
0
0

ex f x f x dx exf x e. 1f f 0 e 1
 





        

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Theo đề bài

 

ex f x f x dx ae b

  

 

 



, a , b   suy ra a 1, b 1.

Do đó

 

2019
2019 2019 12019 1 0

a b     .

Câu 11. [2D3-2.3-3] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho





15 ln 3 ln 5

I 



x x  dx a b  c

với a b c  , , . Tính tổng a b c  .

A. 1. B.

2. C.

3. D.

1
3

-.
Lời giải

Tác giả: Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân.
Phản biện: Nguyễn Thị Trà My; Fb: Nguyễn My.
Chọn B

Đặt

2
1
15

x

du dx

u x x

x
dv dx

v x

  

   

     



    



 





 .

Ta có:





1
1
2

2
0 0

15 1

15
x

I x x x x dx

x

 

      



 



2
0

5 15

x x dx

x

 

      



 







1 1

0 0

5 15 5

x x dx dx I J

x

       





Suy ra:

5
2 2

J

I  

Tính





1 1

2 0

0
15

15ln 15

J dx x x

x

   





15ln 5 15ln 15

 

15 15
15ln 5 ln 3 ln 5

2 2

  

15 15
ln 3 ln 5
2 2
 

Vậy

5 15 15
ln 3 ln 5
2 4 4

I   

Do đó

5 15 15

; ;

2 4 4

a b c

Vậy

5
2

a b c  

Câu 12. [2D3-2.3-3] (Chuyên Thái Bình Lần3) Biết

12 1

1
12

1
1

c
x

x a d

x e dx e

x b



    

 

 



trong đó , , ,a b c d là

các số nguyên dương và các phân số ,
a c

b d là tối giản. Tính bc ad .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Tác giả:Đặng Văn Long ; Fb:Đặng Long
Chọn C

Ta có:

12 1 12 1 12 1

2 2

1 1 1

12 12 12

1 1

1 1 x x 1 x x x x

I x e dx x e dx e dx

x x

  

     

          

   

 



Đặt:

1
2

1 x x x

x

u x du dx

dv e dx v e

x





  

 



   

  

    

 .

Khi đó:

12 1 12 1 1 12 1 12 1

1 1 1 1

12 12 12 12

1 x x x x . x x x x x x

I x e dx e dx x e e dx e dx

x

    

 

       

 



1 1 145

12 12

12 1 12 143 12
12

12 12

e  e  e

  

Vậy : a143;b12;c145;d 12. Dó đó: bc ad 12.145 143.12 24  .

Câu 13. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

và thỏa mãn Biết và . Tích phân

bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn A

Ta có:

1 1

0 0

2 2 3

( )sin ( ).cos '( ).cos

2 2 2 2

f x  xdx f x  x f x  xdx

 

  



1 1 1 1

2 2 2

0 0 0 0

( ( ) 3sin ) ( ) 6 ( )sin 9 sin 0

2 2 2

f x   x dx f x dx f x  xdx  xdx



Từ đây ta suy ra

 

1 1

0 0

( ) 3sin d 3sin

2 2

f x  x f x x  xdx



 









.
PHÁT TRIỂN BÀI TỐN CÂU 42

Câu 14. [2D3-2.3-3] (Đồn Thượng) Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn



0;1



và

(0) (1) 0

f f  . Biết

1
2

1
( )

2
f x dx 



,
1

( ) ( )
2
f x cos x dx  



. Tính
1

0
( )
f x dx



A. . B.

3
2



. C.

 D.


Lời giải

Tác giả: Phạm Hoàng Điệp ; Fb: Hoàng Điệp Phạm.
Chọn C

Ta có
1

1
0

( ) cos ( )
2
I 



f x x dx
.

( )

y= f x



0;1



 

0 0

f 

 

9
d

2
f x x 



 

3
cos d

2 4

x

f x  x 



 

d
f x x





</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Đặt ucos(x) dusin(x), dvf x dx( ) chọn vf x( ).

1 1

1 0

0 0

( )cos ( ) ( )sin( ) (1) (0) ( )sin( ) .
2

|

I f x x  f x x dx f f  f x x dx 

  



  





1
( )sin( )

2
f x x dx







Ta có

1 1 1

2 2

2 1 2

0 0 0

( ) ( )sin( ) ( )

I 



f x dx  I I 



f x x dx



f x dx
.





2 2

( ) ( )sin( ) 0 ( ) ( )sin( ) 0 ( ) ( ) sin 0

f x f x x dx f x f x x f x f x x

 





           

( ) 0

f x

  hoặc f x( ) sin



x



 . Vì 0 I  và 1 0 I  nên 2 0 f x ( ) 0 loại.









( ) sin 0 ( ) sin

f x x f x x

    

1 1

0 0

cos( x) 2

( ) sin( )

|

f x dx x dx 

 









 

Câu 15. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) . Cho hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



0;1



thỏa mãn f

 

1  , 0

 

d 7

f x x

 

 



và

 

1
d

3
x f x x 



. Tích phân

 

d
f x x



bằng

A.

5. B. 1. C. 
7

4. D. 4.

Lời giải
Chọn A

 Nhận xét

- Ý tưởng sáng tác bài toán giống câu 50 trong đề minh họa của BGD năm 2018. Vì thầy 
Nguyễn Việt Hải phân tích q hay nên tơi trích dẫn lại nguyên văn nhận xét và ý tưởng đó

Từ giả thiết:

 

1
d

3




x f x x

 

1
2

3 d 1





x f x x
.

Tính:

 

3 d





I x f x x

Đặt:

 

2 3

d d

d 3 d



   

 



 

 

 

 

u f x u f x x

v x x v x .

Ta có:

 

1 1

2 3 3

0 0

3 d .  d





 



I x f x x x f x x f x x

 

1
3

1. 1 0. 0 .  d

 f  f 



x f x x

 

1
3

.  d




x f x x

Mà:

 

3 d 1



x f x x

 

1
3

1 .  d

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

 

.  d 1





x f x x 3

 

7 .  d 7





x f x x 3

 

0 0

7 .  d  d





x f x x 



 f x  x

, (theo giả thiết:

 

d 7

f x x

 

 



 





2
3

7 .  +  d 0





x f x  f x  x

 

7 + d 0

   





f x  x f x  x

 

7 +  0

 x f x   f x

 

7x3

 

4
7
4
 f x  x C

Với f

 

1 0

4
7

.1 0

  C 7

4
 C

Khi đó:

 

7 7

4 4

 

f x x

Vậy:

 

1 1

0 0

7 7

d d

4 4

 

   

 



f x x



x x

1
5

0
7

4 5

 

   

 

x

x 7

5


 PHÂN TÍCH



 

1 1 3 3 1 3 1

2 1 3

0 0 0 0

( )d d ( ) | d ( ) . '( )d

3 3 3 3

x x x

x f x x f x f x  f x  x f x x



 Từ đây, chúng ta quan sát giả thiết bài toán: Ta thấy xuất hiện





'( )

f x và

3
. '( )
x f x

Nghĩ ngay đến hằng đẳng thức   

2
3

'( )

f x ax

, như vậy số a? tương ứng với bài toán?









'( ) 7
f x dx





1
3

2ax f x dx. '( ) 2a

+









1 2

2
3

0 7

a
ax dx

Do đó số a chọn tương ứng là

        

 



1 2

2
3

'( ) 7 2 0 7

7
a

f x ax dx a a

 . Suy ra



   

3 7 7

'( ) 7 ( )

4 4

x

f x x f x

.
Vậy đáp chọn: A

 NHẬN XÉT:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>









'( ) 7
f x dx

và





 



1
3

7x f x dx'( ) 7

. Vì trắc nghiệm nên đồng nhất hai biểu thức dưới dấu

tích phân. Suy ra



    

3 7 7

'( ) 7 ( )

4 4

x

f x x f x A

.
 Hướng tiếp cận khác theo con đường BĐT.

+ Quan sát giả thiêt bài toán:











(1) 0, '( ) 7

f f x dx

và





1
2

1
( )

3
x f x dx

+ Ta nghĩ đến đánh giá bằng BĐT: Thật vậy sử dụng kiến thức dấu tam thức bậc hai. Chúng ta

có kết quả BĐT Cauchy – Schawz

 



   



 

 

 



 

   



2 

2 2 2

2 . 0,

b b b b

a a a a

t f x dx t f x g x dx g x dx t f x g x dx t
.

Suy ra: BĐT Cauchy – Schawz

   

 

 



 









2 2

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx
Do đó ta có hướng giải bài tốn trên:

 









 







1 1 3 3 1 3 1

2 1 3

0 0 0 0

1 1

( ) ( ) | ( ) . '( )

3 3 3 3 3

x x x

x f x dx f x d f x df x x f x dx

Ta suy ra:

 



 



 

   









1 1

2 2

3 3

0 0

1 1 1 1

' '

9 3 x f x dx 9 x dx f x dx 9
.
Tương đương f'

 

x k x. 3

 Ý TƯỞNG SÁNG TẠO ĐỀ

Tạo hằng tích phân có dạng đẳng thức:





 



a

A B dx

Hoặc





  



a

A B C dx
…

Chọn a, A, B thích hợp tương ứng ta có bài tốn.









 2 



2 







0 0 0 0

0 2 .

a a a a

A B dx A dx A Bdx B dx

 MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ

Câu 16. [2D3-2.3-3] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho tích phân

.sin d

I x x x a b







 



a b  ,



, Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 3

a

b   . B. a2 b 4

 . C.



1;0



a

b  . D. a b 6.

Lời giải.
Chọn C

Đặt x t  x t 2  dx2 dt t.
x

0 2


</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ta có:

2 sin d
I 



t t t

Đặt

2 d 4 d

cos
d sin d

u t t

u t

v t

v t t



  



 



 

 .

Suy ra

2
0

2 cos 4 cos d

I t t t t t




 



Đặt

1 1

4 d 4d
d cos d sin

u t u t

v t t v t

 

 



 

 

  .

Vậy

0
0

2 cos 4 sin 4sin d

I t t t t t t



 

  







2 4 cos t



   2 2 8


  .

Do đó a2;b8



1;0



a

b
  

Câu 17. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) . Cho hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



0;1



thỏa mãn f

 

1 4,

 

d 36

 

 

 



f x x

và

 

. d

5




x f x x

. Tích phân

 

d
f x x



bằng

A.

6. B.

2. C. 4. D.

2
3.
Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết:

 

. d

5




x f x x

 

5 . d 1





x f x x
.

Tính:

 

5 . d





I x f x x
.

Đặt:

 

d d

5
d 5 d

2







 



 

 



 



u f x x
u f x

v x x v x

Ta có:

 

1 1

2 2

0 0

5 5

5 . d . . d

2 2 





 



I x f x x x f x x f x x

 

1
2

5 5

. 1 . d

2 2 

 f 



x f x x

 

1
2

0
5

10 . d

2 

 



x f x x

, (vì f

 

1 4)

Mà:

 

5 . d 1







I x f x x

 

1
2

0
5

1 10 . d

2 

  



x f x x

 

1
2

. d

5






x f x x

 

10 .  d 36





x f x x

 

1 1

2
2

0 0

10 .  d  d





x f x x 



 f x  x

, (theo giả thiết:

 

d 36

 

 

 



f x x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

 

2
2

10 . d 0

   

    

 



x f x f x x

 

10 d 0

   





f x  x  f x  x

 

10  0

 x  f x   f x

 

10x2

 

3
10

3
 f x  x C

Với f

 

1 4

10.1
4

  C 2

3
 C

Khi đó:

 

10 2

3 3

 x 
f x

Vậy:

 

1 1 3

0 0

10 2

d d

3 3

 

   

 



f x x



x x

1
4

5 2 3

6 3 2

 

   

 

x
x

Câu 18. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



0; 2



thỏa mãn f

 

2 3,

 

d 4

 

 

 



f x x

và

 

1
d

3




x f x x

. Tích phân

 



f x x

bằng

A.

115. B.

297

115 . C.

562

115. D.

266
115 .

Lời giải

Chọn C

Từ giả thiết:

 

1
d

3




x f x x

 

2
2

3 d 1





x f x x
.

Tính:

 

3 d





I x f x x

Đặt:

 

2 3

d d

d 3 d



   

 



 

 

 

 

u f x u f x x

v x x v x .

Ta có:

 

2 2

2 3 3

0 0

3 d . .  d





 



I x f x x x f x x f x x

 

2
3

24 .  d

 



x f x x

, (vì f

 

2 3)

Mà:

 

3 d 1







I x f x x

 

2
3

1 24 .  d

  



x f x x

 

.  d 23





x f x x

 

2
3

0
4

. d 4

23 





x f x x

 

2 2

2
3

0 0

. d d

23  





x f x x 



 f x  x

, (theo giả thiết:

 

d 4

 

 

 



f x x

)

 

2
3

0
4

. d 0

 

 

      

 



x f x f x x

 

d 0

 

 

    

 



f x x f x x

 

23 

 x  f x 

 

4 3

23


 f x  x

 

1 4

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Với f

 

2 3 323C  C23.

Khi đó:

 

1 53

23 23

 

f x x

Vậy

 

2 2

0 0

1 53

d d

23 23

 

   

 



f x x



x x

2
5

1 53 562

115 23 115

 

   

 x x .

Câu 19. [2D3-2.3-3] (Sở Bắc Ninh 2019) Cho tích phân



 



2 ln 1 ln 2

I x x dx a

b





   

trong đó
,

a b là các số nguyên dương. Tổng a b 2
bằng

A. 8. B. 16. C. 12. D. 20.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thu Hương; Fb: Hương Nguyễn
GV phản biện: Hoàng Vũ; Fb: Hoàng Vũ
Chọn D

Đặt









ln 1
2

u x

dv x dx

 





 




1
1

2
2

du dx

x
x

v x





 
 

  


 . Ta có



 



2 ln 1

I 



x x dx





1 1

2 2

0
0

2 ln 1 2

2 2 1

x x

x x x dx

x

   

       



 



 







 



1 1

0
0

3 1 3

1
2 ln 1

2 2 1

x x

x

x x dx

x

  

 

    



 















1 1 1

0 0

1 3

2 ln 1 3 ln 1

2 4 2

x

x x x x

 

       

 

7
4ln 2

 

Suy ra
4
4
a
b






 .

Vậy a b 2  4 42 20.

Câu 20. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) . Cho hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



0;1



thỏa mãn f

 

1 4,

 

d 5

 

 

 



f x x

và

 

. d

2
x f x x 



. Tích phân

 

d
f x x



bằng

A.

19. B.

4 . C.

18. D.

15
4 .
Lời giải

Chọn D

Tính:

 

. d

I 



x f x x
. Đặt:

 

d d

u f x x
u f x

v x x v x








 



 

 



 

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ta có:

 

2 2

0
1

1 1

. d

2 2

I  x f x 



x f x x

 

1
2

0
1

2 d

2 x f x x
 



, (vì f

 

1 4).

Mà:

 

. d

2
x f x x 



 

1
2

1 1

2 d

2 2 

   



x f x x

 

d 5







x f x x

, (theo giả thiết:

 

d 5

 

 

 



f x x

)

 

1 1

2
2

0 0

d d

 





x f x x 



 f x  x

 





d 0

 





x f x   f x  x

 

. d 0

   





f x x  f x  x

 x2 f x

 

 0  f x

 

x2 

 

3
1
3
f x  x C

Với f

 

1 4 

11
3
C 

Khi đó:

 

1 11

3 3

f x  x 
.

Vậy

 

1 1

3 4

0 0

1 11 1 11 15

d d

3 3 12 3 4

   

       

   



f x x



x x x x

Câu 21. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) . Cho hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



0; 2



thỏa mãn f

 

2  6

 

d 7

f x x

 

 



và

 

. d

2
x f x x 



. Tích phân

 

d
f x x



bằng

A. 8. B. 6. C. 7. D. 5.

Lời giải
Chọn A

Tính:

 

. d

I 



x f x x
.

Đặt:

 

d d

u f x x
u f x

v x x v x








 



 

 



 



Ta có:

 

2 2

0
2

1 1

. d

2 2

I  x f x 



x f x x

 

2
2

0
1

12 d

2 x f x x

 



, (vì f

 

2  ).6

Theo giả thiết:

 

. d

2
x f x x 



 

2
2

17 1

12 d

2 2 

  



x f x x

 

d 7







x f x x



 

2 2

2
2

0 0

d d

x f x x   f x  x

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>



 





d 0

x f x   f x  x





 

. d 0

f x x  f x  x



 x2 f x

 

0  f x

 

x2

 

3
1
3
 f x  x C

Với f

 

2  6 

10
3
C 

Khi đó:

 

1 10

3 3

f x  x 
.

Vậy

 

2 2

3 4

0 0

1 10 1 10

d d 8

3 3 12 3

   

       

   



f x x



x x x x

Câu 22. [2D3-2.3-3] (Sở Phú Thọ) Cho





2
0

ln sin 2cos

d ln 3 ln 2
cos

x x

x a b c

x




   



với a b c, , là các số

hữu tỉ. Giá trị của abc bằng

A.
15

8 . B.

8 . C.

4 . D.

17
8 .
Lời giải

Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm
Chọn A









4 4

2 0

0 0

ln sin 2cos cos 2sin

d tan ln sin 2cos tan . d

cos sin 2cos

x x x x

x x x x x x

x x x

 



 

  





2
0

3 2

ln 1 d

sin cos 2cos

2 x x x x



 

    



 







2
0

3 1

ln 2 d

4 cos tan 2

2 x x x




  





3 1

ln 2 dt an

4 tan 2

2 x x




  





0
3

ln 2ln tan 2

2 x




    ln 3 1ln 2 2ln3

2 4 2



   

5 1

3ln 3 ln 2

2 4

   

Do đó

5 1 15

3, , .

2 4 8

a b c  abc

Câu 23. Cho





ln sin 2cos

d ln 3 ln 2
sin

x x

x a b c

x






   



với a b c, , là các số hữu tỉ. Giá trị của abc
bằng

A.
1

4 . B.

16 . C.

8 . D.

3
8


</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Câu 24. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) 6. Cho hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



0;3



thỏa mãn f

 

3  6

 

d 2

 

 

 



f x x

và

 

154

. d

3




x f x x

. Tích phân

 

d
f x x



bằng

A.

5 . B.

117

20 . C.

153

5 . D.

13
5 .
Lời giải

Chọn B

Tính

 

. d

I 



x f x x

Đặt

 

3
2

d d

u f x x
u f x

v x

v x x




 

 



 




 



 .

Ta có

 

3 3

0
3

1 1

. d

3 3

I  x f x 



x f x x

 

3
3

0
1

54 d

3 

 



x f x x

, (vì f

 

3  ).6

Theo giả thiết:

 

154

. d

3




x f x x

 

3
3

154 1

54 d

3 3 

  



x f x x

 

d 8







x f x x

 

3 3

2
3

0 0

d 4 d

 





x f x x



 f x  x



 



2
3

4 d 0

 





x f x   f x  x

 

4 d 0

   





f x x  f x  x
.

 

3 4  0

 x  f x 

 

4


 f x x

 

16
 f x x C

Với f

 

3 6

15
16
 C

Khi đó:

 

4 15
16 16
x 
f x

Vậy

 

3 3

4 5

0 0

1 15 1 15 117

d d

16 16 80 16 20

   

       

   



f x x



x x x x

Câu 25. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) 7. Cho hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



0;1



thỏa mãn f

 

1  , 2

 

d 8

f x x

 

 



và

 

. d 10

x f x x 



. Tích phân

 

f x x



bằng

A.

2
285


. B.

194

95 . C.

116

57 . D.

584
285.
Lời giải

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Tính:

 

. d

I 



x f x x
.

Đặt:

 

4
3

d d

u f x x
u f x

v x

v x x




 

 



 




 



 .

Ta có:

 

4 4

0
1

1 1

. d

4 4

I  x f x 



x f x x

 

1
4

0
1 1

d
2 4 x f x x

 



, (vì f

 

1  ).2

Theo giả thiết:

 

. d 10

x f x x 





 

d 38

x f x x 



 

8.  d 38.8





x f x x

 

1 1

2
4

0 0

8.  d 38.  d





x f x x



 f x  x

 





2
4

8  38  d 0





x f x   f x  x

 

. 8 38 d 0

   





f x  x  f x  x

 8x438f x

 

0 

 

4
4
19
 

f x x



 

5
4
95

 

f x x C

Với f

 

1  2 

194
95

C

Khi đó:

 

4 194

95 95

 

f x x

Vậy

 

1 1

5 6

0 0

4 194 2 194 116

d d

95 95 285 95 57

   

        

   



f x x



x x x x

Câu 26. [2D3-2.3-3] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Biết





2
1

ln 2

d ln

e+1 e+1

x a

x b c

x   





với , ,a b c . Tính a b c  .

A. 1. B. 1. C. 3 . D. 2.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng; Fb: Mạnh Dũng

Chọn B

Đặt





2
ln

d d

u x

v x

x




 

 



d d

1
1

u x

x
v

x





 


 

 

 .









e e

1 1

ln ln 1

d d

1 1

x x

x x x

x    





1 1 1

d
e +1 x x 1 x

 

    



 







e
1

ln ln 1

e +1 x x

   





1 ln e 1 ln1 ln 2
e +1

     

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

1 2

ln 1

e +1 e 1

  

 =

2
ln

e+1 e+1

a

b c

  a 1;b 1;c 1 a b c 1

        .

Câu 27. [2D3-2.3-3] (HSG Bắc Ninh) Biết





2
0

ln s in cos

d ln 2
cos

x x a

x

x b c





 



với , , a b c là các số

nguyên. Khi đó,

bc
a bằng

A.  .6 B.

3. C. 6 . D. 
8
3


.
Lời giải

Tác giả:Trần Kim Nhung; Fb:Nhung tran thi kim
Chọn D

Ta có:





ln sin cos
1

d d

cos

u x x

v x

x

 









cos sin

d d

s in cos
tan

x x

u x

x x

v x







  

 

 .

Khi đó:





2
0

ln s in cos
d
cos

x x

I x

x















4
4

0
0

cos sin
tan .ln sin cos tan . d

sin cos

x x

x x x x x

x x



 

 





Đặt

4 4 2

0 0

cos sin tan tan

tan . d d

sin cos tan 1

x x x x

J x x x

x x x

 

 

 

 



Đặt





tan 1 tan

dt

x t dt x dx dx

t

     

 . Với x   và 0 t 0 x 4 t 1



  

Ta có :

























1 2 1 1 1

2 2

0 0 0 0

1 1 dt dt

dt= dt= ln 2

1 1 4

1 . 1 1 . 1

t t

t t
J

t t

t t t t


  



   

 

   



Vậy

3 8

ln 2 ln 2 ln 2

4 2 4 3

bc
I

a

 

      

Câu 28. [2D3-2.3-3] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho tích phân

2
0

sin 2 sin 2 1 2 1

d ln ln 2

cos 2 1

x x x

x c

x a b



 

  





(với , ,a b c là các số nguyên). Khi đó a b c 

bằng

A. 2. B. 4. C. 1. D. 1.

Lời giải

Tác giả: Lê Văn Nguyên; Fb: Lê Văn Nguyên

Chọn C

Ta có:

4 4 4

2 2

0 0 0

sin 2 sin 2sin sin

d d d

cos cos cos

x x x x x x

x x x

  



 







4
0

1 2

2 d cos 2 ln cos 2ln ln 2

cosx x I x I 2 I I







      

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Tính
4

2
0

sin
d
cos

x x

I x

x




Đặt: u và x 2

sin

d d

cos
x

v x

x


, ta có dudx và

1
cos
v

x


Khi đó:

4
4

0 0
1

cos cos

x

I x

x x




 



2
0

cos

2 d

4 1 sin

x
x
x




 









2
0

2 d sin

4 sin x 1 x




 





1 sin 1
2 ln

4 2 sin 1

x
x



 

 



1 2

2 ln
1

4 2 1

 

 

 2 1ln 2 1

4 2 2 1

 

 

 .

Vậy
4

2
0

sin 2 sin 1 2 1

d ln 2 2 ln ln 2

cos 4 2 2 1

x x x

x I

x




 

    





Suy ra:

4
2

a
b
c







 

  a b c  1.

Câu 29. [2D3-2.3-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho 2
1
( )

2
F x

x


là một

nguyên hàm của hàm số
( )

f x

x . Biết

 

2
1
e

f 

, tính tích phân

e
( ) ln d

e x

I f x x x

x

 



   

 



A.

1
e

2
I  

. B.

1
e +

2
I 

. C. I  .e D.

1
e
2
I  

.
Lời giải

Tác giả: Trần Thị Thơm; Fb: Thom Tran
Chọn A

Xét

 

e ln

e
.ln d

x

I f x x x

x

 



   

 



 

e e ln

1 1

e
.ln .d d

x

f x x x x

x










 





e e

e ln

1 1

.ln f x .d e .d lnx

f x x x x

x

  







 

e
ln

2 2

1 1 1

.ln e e e + 1

2 2e

x

f x x f

x

 

       

 1

1
e

2
 

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG VIỆC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Hình thang cong dựng trên trục hoành.

 

( )

: 0 .d

b

a

y f x

D y S f x x

x a x b





  



  



</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Hình vẽ

( ( )f x là hàm số liên tục trên



a b;



).

2. Miền D tạo bởi hai đường cong f x

 

và g x

 

.

 

( )

: ( ) .d

b

D
a

y f x

D y g x S f x g x x

x a x b





   



  





</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21></div>

Bài 18. Bài tập có đáp án chi tiết về tích phân | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện





<sub></sub>

 





 

 







<sub></sub>

 

<sub></sub>

 

 

 

 

<sub></sub>

 

 

<sub></sub>





<sub></sub>

















<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>

ò

(

)

ò

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

 





 

<sub></sub>

 

 

 

<sub></sub>

 

 





 



  

 

 

 

 

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

 

 

 

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

