Bài 13. Bài tập có đáp án chi tiết về Thể tích tính theo mặt cắt S(x) | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (508.75 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 1. [2D3-3.4-3] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho vật thể

 

T
giới hạn bởi hai mặt phẳng x  ; 0 x  . Cắt vật thể 2

 

T bởi mặt phẳng vng góc với trục

Ox tại x



0 x 2



ta thu được thiết diện là một hình vng có cạnh bằng



x 1 e



x. Thể tích

vật thể

 

T bằng

A.



13e4 1



4


. B. 
4
13e 1
4


. C. 2e .2 D. 2 e 2.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy
Chọn B

Gọi S x

 

là diện tích của thiết diện, ta có

  



2 2

1 e x

S x  x .

Thể tích vật thể

 

T là

 





2 2

0 0

d 1 e dx

V 



S x x



x x
.

Đặt









2
2

d 2 1 d

1
e
d e d

2
x
x

u x x

u x
v
v x
 

  
 

 


 
 
.













2 2 2

2 2 2 4 2

0 0 0

1 9 1

1 e 1 e d e 1 e d

2 2 2

x x x

V  x 



x x  



x x

.
Đặt
2
2
d d
1
1
e
d e d

2
x
x
u x
u x
v
v x



 
 

 


 
.





2 2 4

4 2 2 4 2

0 0 0

9 1 1 1 1 13e 1

e 1 e e d 3e e

2 2 2 2 4 4

x x x

V    x  x    

 



(đvtt)

Câu 2. [2D3-3.4-3] (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai
mặt phẳng x  , x 0  . Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vng góc với Ox

tại điểm có hồnh độ x



0 x  



là một tam giác vng cân có cạnh huyền bằng sinx  .2

A. 
7
1
6


. B. 
9
1
8


. C. 
7
2
6


. D. 
9

2
8


.
Lời giải

Tác giả: Trần Ngọc Quang ; Fb:Quang Tran
Chọn D

Gọi S x

 

là diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vng góc với Ox tại điểm có

hồnh độ x



0 x  



, a là cạnh góc vng của tam giác vng cân có cạnh huyền bằng
s inx  .2

Ta có:









2 2

2 2 sin 2 2 1 sin 2

a a  x  a  x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

 

1 2 1



sin 2



2 4

S x  a  x

.
Vậy thể tích vật thể là:

 









0 0 0 0

1 1 1 1 cos2

d s in 2 d sin 4sin 4 d 4sin 4 d

4 4 4 2

x

V S x x x x x x x x x

   



 

          

 







1 1 sin 2 9

cos2 8sin 9 d 8cos 9 2

8 8 2 8

x
x

x x x x x

x

 




 

          



 



Câu 3. [2D3-3.4-3] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho hình vng OABC có cạnh bằng
4 được chia thành hai phần bởi parabol

 

P có đỉnh tại O . Gọi S là hình phẳng khơng bị gạch
(như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox .

A.

128
5

V  

. B.

128
3

V  

. C.

64
5
V  

. D.

256
5

V  

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Dương; Fb:Duong Nguyen.
Chọn D

Ta có parabol

 

P có đỉnh O và đi qua điểm B



4; 4



có phương trình

1
4
y x

Khi đó thể tích khối trịn xoay sinh bởi hình phẳng (phần gạch chéo) khi quay quanh trục Ox

là:

2
4

2
1

1 64

4 5

V   x  x 

 



Thể tích khối trụ khi quay hình vng OABC quanh cạnh OC là: V2 r h2 .4 .4 642  .

Suy ra thể tích V của khối trịn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox là

2 1

64 256
64

5 5

V V V     

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

A. 72 m .3 B. 36 m3. C. 72 m 3. D. 36 m 3.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thủy ; Fb:Thu Thủy
Chọn B

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Giả sử phương trình của parabol là

 

P y ax:  2bx c .

Ta có parabol có đỉnh là



0;3



và đi qua điểm
3

;0
2

 

 

  nên có hệ phương trình

 

0 3

3 0 : 3

9 3

0
4

a
b

c b P y x

c
a c







 



 

     

 

  

   

  .

Cắt vật thể bởi một mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ

3 3

2 2

x   x 

  , ta

thấy thiết diện thu được là một hình chữ nhật có chiều rộng bằng

4
3
3 x




mét và chiều dài

bằng 6 mét. Diện tích thiết diện thu được là

2 2

6 3 8 18

3 x x



 

  

 

  .

Vậy thể tích phần khơng gian bên trong trại là









2 3

3
2

8x 18 dx 36 m



  



Câu 5. [2D3-3.4-3] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai
phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua
trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát

dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng

4 chiều cao của bên đó

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 12,72cm /phút. Khi chiều cao của cát còn3
4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường trịn có chu vi 8 cm(xem hình). Biết

sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên
ngoài là bao nhiêu cm ?

A. 10cm . B. 9cm . C. 8cm . D. 12cm .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hữu Nam; Fb: Nam Nguyen Huu.
Chọn D

Gọi

 

 là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát. Khi đó mặt cắt là một

đường trịn có bán kính x





, suy ra diện tích đường tròn là





2 cm2

t

S x

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình parabol

 

P y ax:  2bx c .

Bán kính của đường trịn mặt cát bằng 4 cm





, nên

 

P đi qua 3 điểm



0;0





0; 4



và



4; 4



Suy ra phương trình của

 

2
2

: 4 4

4 t

x

P y  x  y S  y
.

Suy ra thể tích cát ban đầu là 0 0

d 4 d

h h

t

V 



S y 



y y

(vì mặt cắt vng góc với Oy ).

Mà thể tích khối cát là





12, 72.10 127, 2 cm

c

V  

Suy ra





2 2

0
0

63, 6

4 d 127, 2 2 127, 2 2 127, 2 4,5 cm

h

y y y h h

  



       



Suy ra chiều cao của khối trụ bên ngoài là:





2. . 12 cm
3 h  .

Câu 6. [2D3-3.4-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

A.

64
3
V 

. B.

32
3
V 

. C.

64
3
V  

. D.

32
3
V  

.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Việt Thảo; Fb: Việt Thảo

Chọn D

Diện tích thiết diện là

 









2 2 2 3

1 1 1

4 4

2 2 2

S x  R  x  x   x  x

Thể tích của vật thể cần tìm là

 





4 4

2 3

0 0

1 32

4 .

2 3

V 



S x dx 



x  x dx 

Nhận xét: Trong đề, chỗ điều kiện 0< < 4x phải sửa lại 0£ £x 4.

Câu 7. [2D3-3.4-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Viết cơng thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn

bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x a x b a b= , = ( < ), có thiết diện bị cắt

bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x a x b( £ £ ) là S x( ) .

A. ( )

d
b

a

V =p

ò

S x x

. B. ( )

d
b

a

V=p

ò

S x x

. C. ( )

d
b

a

V=

ò

S x x

. D. ( )

2 d

b

a

V=p

ò

S x x

.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Việt Thảo; Fb: Việt Thảo

Chọn C

Theo định nghĩa.

Câu 8. [2D3-3.4-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x =0
và x =3, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ

(0 3)

x £ £x là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 9 x- 2

, bằng:

A. V =3. B. V =18. C. V =20. D. V =22.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Việt Thảo; Fb: Việt Thảo
Chọn B

Diện tích thiết diện là S x

 

2x 9 x2.

Thể tích của vật thể cần tìm là

 

3 3

0 0

2 9 18.

</div>

Bài 13. Bài tập có đáp án chi tiết về Thể tích tính theo mặt cắt S(x) | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

 

 









 





 

  



 

 





<sub></sub>

<sub></sub>





















<sub></sub>

<sub></sub>











 













 





 























 

 







 





 











 









 



