Bài 1. Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp đổi biến số | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (325.68 KB, 24 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 1. [2D3-2.2-3] (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng 
1

ln 2 ln 3 ln 5

3 5 3 1 7

x

a b c

x x    



, với a b c, ,
là các số hữu tỉ.

Giá trị của a b c  bằng

A. 
10

3


. B.

5
3


. C.

3 . D.

5
3 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Vân; Fb: Thanh Van
Chọn A

Đặt t 3x1  t2 3x1 2 dt t3dx
Đổi cận: x 0 t1;x 1 t2.

Ta có:
1

3 5 3 1 7
x

x x  



3 1 5 3 1 6
x

x  x 



2
2
1

2 d

3 5 6

t t

t t



 



2 3 2

d
3 t 3 t 2 t

 

   

 

 





2 2



1 1

3ln 3 2ln 2

3 t t

    2



3ln 5 3ln 4 2 ln 4 2ln 3



    2



10ln 2 2 ln 3 3ln 5



   

20 4

ln 2 ln 3 2 ln 5

3 3



  

Suy ra:

20
3

a 

,
4
3

b 

, c 2.

Vậy

10
3

a b c  
.

Câu 2. [2D3-2.2-3] (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng 
1

ln 2 ln 3 ln 5

5 3 9

x

a b c

x x



  

  



, với a b c, , là
các số hữu tỉ.

Giá trị của a b c  bằng

A. 10. B. 5. C. 10. D. 5.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Vân; Fb: Thanh Van
Chọn A

Đặt t x3  t2  x 3  2 dt t dx
Đổi cận: x 2 t1;x 1 t2.

Ta có:
1

5 3 9

x

x x





  



3 5 3 1 6

x

x x





   
2

2
1

d
2

5 6

t t

t t



 



3 2

2 d

3 2 t

t t

 

   

 

 





2 2



1 1

2 3ln t 3 2 lnt 2

    2 5ln 4 2ln 3 3ln 5



  



=20 ln 2 4 ln 3 6 ln 5 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Câu 3. [2D3-2.2-3] (ĐH Vinh Lần 1) Biết rằng





ln 3 ln 5 ln 7

4 1 5 2 1

x

a b c

x  x   



, với a b c, ,
là các số hữu tỉ.

Giá trị của a b c  bằng

A. 0. B.

4
3


. C. 1. D.

4
3 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Vân; Fb: Thanh Van
Chọn A

Đặt t 2x1 t2 2x1 t td dx
Đổi cận: x 0 t1;x 4 t3.

Ta có:





4 1 5 2 1

x

x  x 



4 2 5 2 1 2

x

x  x 



3
2
1

2 5 2

t t

t t



 







 

 





2 2 1 2

3 2 1 2

t t

t

t t

  



 



1 2 1

d
3 t 2 2 1t t

 

   

 

 



1 1

2ln 2 ln 2 1

3 t 2 t

 

     

 

1 1 1

2ln 5 2ln 3 ln 7 ln 3

3 2 2

 

     

 

1 2 1

ln 3 ln 5 ln 7

2 3 6

  

Suy ra:

1 2 1

, , 0

2 3 6

a b c  a b c  
.

Câu 4. [2D3-2.2-3] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hàm số

 

e khi 2 0
2 3 khi 0

x m x

f x

x x x

  




 



 liên

tục trên R và

 

d = e 3

f x x a b c



 





a b c Q, , 



. Tổng a b 3c bằng

A. 15 . B. 10. C. 19. D. 17.

Lời giải

Tác giả: Hoàng Minh Tuấn; Fb: Minh Tuấn Hồng Thị
Chọn C

Ta có lim0

 

lim e0





x

x  f x x  m  m ,

 





0 0

lim lim 2 3 0

x  f x x  x x 

và f

 

0   .m 1

Vì hàm số đã cho liên tục trên R nên liên tục tại x  .0

Suy ra xlim0 f x

 

xlim0 f x

 

f

 

0 hay m  1 0 m .1

Khi đó

 













1 0 1 0 1

2 2 2

1 1 0 1 0

d = 2 3 d ex 1 d = 3 d 3 ex 1 d

f x x x x x x x x x

  

      











2 2

0
1

2 22

= 3 3 e e 2 3

3 3

x

x x x



      

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Suy ra a  , 1 b  , 2

22
3
c 

Vậy tổng a b 3c19.

Câu 5. [2D3-2.2-3] (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hàm số f x

 

liên tục trên 

thỏa

 

d 2

f x x 



và





3 1 d 6

f x x



. Tính

 

I 



f x x

A. I  .16 B. I  .18 C. I  .8 D. I 20.

Lời giải

Tác giả: Đỗ Mạnh Hà; Fb: Đỗ Mạnh Hà
Chọn D

 

d 2

A



f x x
,





3 1 d 6

B



f x x

đặt t3x 1 dt3dx.

Đổi cận :

0 1

2 7

  

x t

Ta có:

 

7 7 7

1 1 1

dt 6 dt 18 d =18

B



f t  



f t  



f x x

Vậy

 

7 1 7

0 0 1

d d d 20

I 



f x x



f x x



f x x
.

Câu 6. [2D3-2.2-3] (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Biết





3sin cos 11

ln 2 ln 3 ,

2sin 3cos 3

x x

dx b c b c Q

x x



 

   





. Tính

b
c ?

A. 
22

3 . B.

22
3



. C.

3 . D.

22
13


.
Lời giải

Tác giả: Bàn Thị Thiết; Fb: Bàn Thị Thiết
Chọn C

Đặt:



2sin 3cos





2cos 3sin



3sin cos

2sin 3cos 2sin 3cos

m x x n x x

x x

x x x x

  





 



2 3 sin





3 2 cos



2sin 3cos

m n x m n x

x x

  





Đồng nhất hệ số ta có:

2 3 3 13

3 2 1 11

13
m

m n

n





 

 



 

 

  



 .

Nên:









2 2

0 0

3 11

2sin 3cos 2cos 3sin

3sin cos 13 13

2sin 3cos 2sin 3cos

x x x x

x x

dx dx

x x x x

 

  





 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 

2 2

2
0

0 0

3 11 2 cos 3sin 3 11 2cos 3sin

13 13 2sin 3cos 13 13 2sin 3cos

x x x x

dx x dx

x x x x

 



 

 

     

 

 







2sin 3cos

3 11 3 11

ln 2sin 3cos 2

26 13 2sin 3cos 26 13

d x x

dx x x

x x



  

    





3 11 11

ln 2 ln 3

26 13 13



  

. Do đó:

11 26 22

13 .

3 13 3 3

26
b

b
c

c   






  


 


 .

Câu 7. [2D3-2.2-3] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Tính

3
2
0

d
1

a

x x

I x

x








A.





2 1 2 1 1

I  a  a  

. B.





2 2

1 1 1

I   a  a   

  .

C.





2 2

1 1 1

I   a  a   

  . D. I 



a21



a2 1 1.
Lời giải

Tác giả:Nguyễn Ngọc Tâm; Fb:Nguyễn Ngọc Tâm
Chọn B

Ta có





2 2

0 0 0

d d 1d

1 1

a x x a x x a

I x x x x x

x x




   

 



Đặt u x2 1 u2 x2 1 u u x xd  d .
Đổi cận: x 0 u , 1 x a  u a2 .1

Vậy





2 1 3 1

2 2 2

1 1

d 1 1 1

3 3

a
a

u

I u u a a




 

     

 



Câu 8. [2D3-2.2-3] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho n là số nguyên dương khác 0 , hãy tính tích phân





1
2
0

1 n d

I 



 x x x

theo n.

A.

2 2

I
n



 . B.

1
2

I
n



. C.

1
2 1

I
n



 . D.

1
2 1

I
n


 .
Lời giải

Tác giả: Đinh Hồng Đức; Fb: Duc Dinh
Chọn A

Với n   , khi đó:*

Đặt t 1 x2  dt2 dx x

d d

x x t

 

Đổi cận: x  0 t 1;x  1 t 0

Khi đó

0 1 1 1

1 0

1 1 1 1

d d .

2 2 2 1 2 2

n

n n t

I t t t t

n n



   

 



Cách 2: Ta có









2 1 2

d 1 2 d d 1 d

x x x x x x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>







 







1
2

1 1 1

2 2 2

0 0

1 1 1

1 d 1 d 1 .

2 2 1 2 2

n

n n x

I x x x x x

n n




      

 



Câu 9. [2D3-2.2-3] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho hàm f x

 

thỏa mãn

 

2017

d 1

f x x 



. Tính tích phân





2017 d

I 



f x x

A.

1
2017

I 

. B. I  .0 C. I 2017. D. I  .1

Lời giải

Tác giả: Đinh Hồng Đức; Fb: Duc Dinh
Chọn A

Đặt t2017x dt2017dx

d d

2017

x t

 

Đổi cận: x 0 t 0 ; x 1 t2017

Vậy

 

2017 2017

0 0

1 1 1

. d d

2017 2017 2017

I 



f t t 



f t t 

Câu 10. [2D3-2.2-3] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hàm số yf x

 

xác

định và liên tục trên  thỏa mãn





3 3 1,

f x  x     x x

. Tích phân

 

f x dx



bằng:

A.
25

4 . B. 88 . C. 25 . D.

7
4 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Huỳnh Như ; Fb: Nhu Nguyen
Chọn A

Đặt x t 3 3t. Khi đó:





3 3

dx t  dt

.

Với x 0 t  .0

4 1

x  t  .

Vậy:

 



 











4 1 1

3 2 2

0 0 0

3 3 3 1 3 3

f x dx  f t  t t  dt  t t  dt 



.

Câu 11. [2D3-2.2-3] (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Biết
1

2
0

d ln 12 ln 7
4 7

x

x a b

x x



 

 



, với a, b là các số nguyên, khi đó a3b3bằng

A.  .9 B. 0 . C. 9 . D. 7 .

Lời giải

Tác giả: Đinh Thị Len; Fb: ĐinhLen
Chọn B

Đặt tx24x 7 dt



2x4 d



x





2 d d

x x t

  

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Đổi cận: x 0 t ; 7 x 1 t12.

1 12

7
2

0 7

2 1 1 1 1

d d ln ln12 ln 7 ln 12 ln 7

4 7 2 2 2 2

x

x t t

x x t



     

 



a 1

  ; b 1.

Vậy a3b3  .0

Câu 12. [2D3-2.2-3] (THTT số 3) Cho tích phân

1
0

1
d
1

x a m

x

x b n



 





, với , , ,a b n m  , các phân số
,

a m

b n tối giản. Tính ab mn.

A. 3. B. 5. C. 8. D. 2.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hồng; Fb: Hana Nguyen
Chọn D

Đặt xcos 2t. Ta có dx2sin 2 dt t,0 cos 2.4


 

  

  và 1 cos 0 .

Ta có

2
2

1 cos 2 1 1 2sin

tan
1 cos 2 1 2 cos 1

t t

t

t t

  

 

   .

Vậy





1 0 2

4
1

d tan 2sin 2 d
1

x

x t t t

x 



 









4 4

0 0

4 4 4

0 0 0

4 4

0 0

2 tan sin 2 d 4 sin d

2 1 cos 2 d 2 d 2 cos 2 d

2 sin 2 1

t t t t t

t t t t t

t t

 

  

  

 

   



1 1

2 1

a m

b n

  

. Vì các phân số ,

a m

b n tối giản nên ta suy ra a1,b2,m1,n .1

Do đó ab mn  1 12 1 .2

Câu 13. [2D3-2.2-3] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho tích phân

 

f x x a



. Hãy tính tích phân





1
2
0

1 d

I 



xf x  x

theo a .

A. I 4a. B. 4

a
I 

. C. 2

a
I 

. D. I 2a.
Lời giải

Tác giả:Vũ Thị Loan ; Fb: Loan Vu
Chọn C

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>





 

1 2 2 2

0 1 1 1

d 1 1

1 d . d d

2 2 2 2

t a

I 



xf x  x



f t 



f t t 



f x x
.

Câu 14. [2D3-2.2-3] (Ba Đình Lần2) Cho 
3

d ln 2 ln

4 2 1

x a

I x b c d

d
x

   

 



, với , , ,a b c d là các

số nguyên và
a

d là phân số tối giản. Giá trị của a b c d   bằng

A. 16. B. 4. C. 28. D. 2.

Lời giải

Tác giả: Lương Pho ; Fb: LuongPho89
Chọn B

Đặt t x 1 x t 2 1
dx 2 dt t

 

Đổi cận: x   0 t 1; x  3 t 2

2 2 2 3

2 2

1 1 1

1 6 7

.2 d 2 3 d 3 6ln 2 12ln 2 6ln 3.

4 2 2 3 3

t t

I t t t t t t t t

t t

 

  

               

     



Suy ra a7,b12,c6,d  . Do đó 3 a b c d   4.

Câu 15. [2D3-2.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho 
8

1 1

d ln

2
1

a c

I x

b d
x x x

  

 



với , , ,a b c d là

các số nguyên dương và ,

a c

b d tối giản. Giá trị của abc d bằng

A. 6. B. 18. C. 0. D. 3.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thế Quốc; Fb: Quốc Nguyễn
Chọn A

Đặt t x 1 t2   x 1 2 dt tdx.
Khi x 3 t2; Khi x 8 t3.

Khi đó















 



3 3 3

2 2 2

1 2 2

.2 d d d

1 1 1 1 1 1

t t

I t t t t

t t t t t t t

  

      





 





 









 









 



3 3

2 2 2

2 2

1 1 1 1

d d

1 1 1 1 1 1

t t t t

t t

t t t t t t

 

    

    

 

       





 

 





 





 







3 3

2 2

1 1

1 1 1 1

d . d

1 1 1 2 1 1 1

t t

t t t t t t

      

       

         

   











3
3

2 2

1 1 1 1 1 1

d ln 1 ln 1

2 t 1 t 1 t 1 t 2 t t t 1

     

           

  

    

 

 



1 1 1 1 1 1 1 1 1

ln ln ln

2 1 1 2 2 4 2 3 3

t

t t

    

        

   

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

1 1 1 1 1 1 1 3 1

ln ln ln

2 2 2 3 4 3 2 2 12

     

3
a

  , b 2, c 1, d 12.

Vậy abc d 3.2.1 12 6.

Câu 16. [2D3-2.2-3] (Ngơ Quyền Hà Nội) Tính tích phân 
1

2
0







I x x x

A.

2 2 1
3



I

. B.

2 2
3

I

. C. I 2 2 1 . D.

2 2 1
3




I

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thanh Sang ; Fb:Nguyen Thanh Sang
Chọn A

Đặt t x2  suy ra 1 t td x xd .

Đổi cận: x 0 t1; x  1 t 2.

1 2 3

2 2

0 1 1

2 2 1

1d dt

3 3

t

I 



x x  x



t   
.

Câu 17. [2D3-2.2-3] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho 
1

3 1

d ln 5 ln 3
5

x

x a b c

x



  





với , ,a b c
là các số hữu tỷ. Giá trị của biểu thức a b c  bằng :

A. 6. B. -4. C. 14. D. -2.

Lời giải

Tác giả:Đào Thị Kiểm ; Fb:Đào Kiểm
Chọn D

Đặt t 3x . Ta có 1

2 2

3 1 2 d 3d d d

3
t
t  x  t t x x t

Ta có

2 1 2 16

5 5

3 3

t t

x     

Khi x  thì 10 t  , x  thì 1 t  nên ta có :2

1 2 2 2

2 2

0 1 1

3 1 2

d d 2 d

5 3 16

x t t t

x t t

t

x t



  



 



2 2

2 1 d

4 4 t

t t

 

    

 

 







21

2 t 2ln t 4 2 ln t 4

 

      



4 4ln 2 4ln 6 

 

 2 4ln 3 4ln 5 







2 4ln 2 4ln 3 4ln 5 4ln 6 2 4ln 2 4ln 3 4ln 5 4ln 2.3

         

.
2 4 ln 2 4ln 3 4 ln 5 4ln 2 4 ln 3 2 4ln 5 8ln 3

         .

Suy ra a b c    2 4 8 .2

Câu 18. [2D3-2.2-3] (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho
2

2
0

d ln 3

2 4   

 



x xx x a b

với a , b là các số thực. Giá trị của a23b bằng2

A. 
7

27 . B.

2 . C.

18 . D.

35
144 .
Lời giải

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Chọn C

Ta có:
2

2
0

d
2 4

 



x xx x

2 2

1 1

2 4 2 4



 

   

   

 



x x x x x x

2 2

0 0

1 1

d d

2 4 2 4



 

   



x x x x



x x x

Tính
2

1 2

1
d
2 4




 



x

I x

x x





2
2

0
1

ln 2 4

 x  x 1



ln12 ln 4



1ln 3

2 2

  

Tính
2

2 2

0
1

d
2 4


 



I x

x x





2
0

1 3



 



x x

Đặt x 1 3 tanu 2
3

d du

cos
 x

u . Đổi cận: x0 6

 u

và x2 3

 u

Suy ra





2 2 2

3 1

. d

cos 3 1 tan









I u

u u

6
1

d
3







u 1

3 6
3

 

 

   

  6 3




Vậy
2

1 2

2 4  

 



x xx x I I 1ln 3

2 6 3



 

Suy ra

2
2

2 3 2 1 3. 1 5

2 6 3 18

 

      

   

a b

Câu 19. [2D3-2.2-3] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Biết





2
0

ln 16 d ln 5 ln 2
2

c

x x  x a b 



trong đó a,b,c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức T   a b c

A. T 2. B. T 16. C. T 2. D. T 16.
Lời giải

Tác giả: Mai Ngọc Thi; Fb: Mai Ngọc Thi
Chọn D

Đặt t x 216  dt2 dx x

d
d

t
x x

 

.
Đổi cận: x 0 t16;x 3 t25.





3 25

0 16

ln 16 d ln d

I 



x x  x



t t

Đặt

ln
d d

u t

v t








1
du dt

t
v t




 

 

 .

16
1

ln d
2

I 



t t





25 25

16 16

1 1

ln d

2 t t 2 t

 



25ln 5 32ln 2 9

  

.
Vậy T   a b c 25 32 9  16.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Đặt





2

2 2

d d

ln 16 16

d d 8

2 2

x

u x

u x x

x x

v x x v





  

  



 




 

   



 .









3 2 3

2 2

0 0

3
16

ln 16 d .ln 16 d

x

I 



x x  x  x  



x x 9

25ln 5 32ln 2
2

  

Vậy T   a b c 25 32 9  16.

Câu 20. [2D3-2.2-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm số

 

f x

liên tục và a 0. Giả sử với mọi x



0;a



ta có f x 

 

0 và f x f a x

 







1. Tính

 

0
d
1

a

x
I

f x






A. 3

a
I 

. B. 2

a
I 

. C. I 2a. D. I aln



a1



.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Vượng; Fb: Nguyen Vuong
Chọn B

Từ giả thiết: f x 

 

0 và f x f a x

 







1, ta suy ra:





 

f a x

f x

 

Đặt x a t   dxdt; Với x 0 t a x a ,   t0.

Khi đó:

 





 

0 0 0

d d d

1 1 1 1

a a a

a

f t t

x t t

I

f x f a t f t

f t



   

   





 

 

d
1

a f x x

f x



 .

Suy ra

 





 

0 0 0 0

1 d

d
d

2 d

1 1 1

a x a f x x a f x x a

I x a

f x f x f x



    

   .

Vậy 2
a
I 

Câu 21. [2D3-2.2-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Biết

 





d cos ,

x

f t t x x  x





. Tính f

 

4 .

A. 1. B.

1
4


. C. 1. D.

1
4 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Minh Thắng ; Fb: />Chọn D

Đặt F x

 





f x x

 

d  F x

 

f x

 

. Ta có:

 





 





 

 





2
0

d cos cos 0 cos

x

f t t x x  F t x x  F x  F x x



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Đạo hàm hai vế ta có:

 









2xf x cos x  xsin x
.

Chọn x 2 

 









 

4 4 cos 2 2 .sin 2 4

f       f 

Câu 22. [2D3-2.2-3] (Sở Thanh Hóa 2019) Cho





2
0

ln 2 d ln 3 ln 2

I 



x x x a b c

với a , b , c là
các số hữu tỷ. Giá trị của a b c  bằng

A. 
3

2 . B. 1. C. 0 . D. 2.

Lời giải

Tác giả: Đoàn Phạm Hồng Hưng; Fb: Đoàn Phạm Hồng Hưng
Chọn C

Đặt





ln 2
d d

u x

v x x

  








2
2

2
d
2

x

du x

x
x
v





 

 

 



 .

Khi đó,









1 2 1 2

2 2

0 0 0

ln 2 d ln 2 . d

2 2 2

x x x

I x x x x x

x

 

     



 







 

1 1

2 3

2
0
0

ln 2 d 1

2 2

x x

x

 

   



 



.

Xét

1 3 1 1 1

1 2 2 2

0 0 0 0

2 2

d = d d d

2 2 2

x x x

I x x x x x x

x x x

 

     

    







1 1 2
2

2
0
0

d 2

2 2

x
x

x


 









2 1

2
0
0

ln 2

2
x

x

   1 ln 3 ln 2

  

Thay vào

 

1 , suy ra

1 1

ln 3 ln 3 ln 2

2 2

I     3ln 3 ln 2 1

2 2

  

Vậy

3

2

1
1
2
a

b

c










 

  a b c   .0

Câu 23. [2D3-2.2-3] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Cho





2
1

2ln 1

d ln
ln 2

x a c

x

b d

x x



 





với a , b , c là các số nguyên dương, biết ;

a c

b d là các phân số tối

giản. Tính giá trị a b c d   ?

A. 18. B. 15. C. 16. D. 17.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân

Chọn C

Đặt

ln d x

t x t

x

  

Đổi cận: x  1 t 0; x e t1. Khi đó:









e 1

2 2

1 0

2ln 1 2 1

d d

ln 2 2

x t

I x t

x x t

 

 

 







1
1

0 0

3 2 3 9 1

d 2ln 2 ln

2 2 4 2

2 t t t t

t

    

         

      

 



Vậy a b c d      9 4 1 2 16 .

Câu 24. [2D3-2.2-3] (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Biết rằng

ln 2 ln 3 ln 5
5 3 9

x

a b c

x x



  

  



, với a ,

b

, c là các số hữu tỉ. Giá trị của
a b c  bằng

A. 10. B. 10 . C. 5 . D.  .5

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thủy; Fb: diephoang
Chọn A

Đặt t  x .3

Ta có t2   x 3 2 dt t dx.

Đổi cận:

x

  

2 t

1 x

  

1 t

2

Khi đó

1 2

2 1

d 2 d

3 5 9
5 3 9

x t t

I

t t

x x



 

  
  



2
1

2
d
5 6

t
t
t t



 





 



2 3

t

t t



 



4 6

2 3

I t

t t

 

   

 

 







4 ln t 2 6ln t 3

    



20ln 2 4ln 3 6ln 5



Do đó a20,b4,c .6

Vậy

a b c

  

20 4 6

  

10

Câu 25. [2D3-2.2-3] (CổLoa Hà Nội) Biết rằng

ln 3 ln 2

1 3

x

a b c

x



  

 



, với , ,a b c là các số
nguyên. Tính T abc.

A. 8. B. 8. C. 12. D. 12.

Lời giải

Tác giả: Hoàng Thị Mến ; Fb: Hoàng Mến

Chọn A

1 3

x
I

x





 



</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Đổi cận:

x 2 1

t 1 2

Khi đó

2 2 2

1 1 1

2 1

d 2d 2 d 2 2ln 1 2 2ln 3 2ln 2

1 1

t

I t t t t

t t

        

 



Suy ra a2,b2,c . Vậy 2 T abc8.

Câu 26. [2D3-2.2-3] (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho tích phân
2 3

2 2

1 2

1 1 .

1 . 14 .d a 3

I x x c d

x x b






 

        

 



, trong đó ( , , ,a b c d  ,
a

b là phân số tối
giản). Tính tổng S a b c d    .

A. S  .3 B. S  .7 C. S  .2 D. S  .11

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Hồng Hải; Fb: Nguyễn Hồng Hải
Chọn A

Ta có:

2 3 2 3

2 2 2

1 2 1 2

1 1 1 1

1 . 14 .d 1 . 16 .d

I x x x x

x x x x

 

     

             

     



Đặt 2

1 1

4sin 1 d 4cos d

x t x t t

x x

 

      

  , t 2 2;

 

 

  

 

Đổi cận: Với x 1 2 t 4


   

; với x 2 3 t 3


   













3 3 3

2 2 3

4 4 4

4cos . 16 4sin d 16 cos d 8 1 cos 2 d 8 4sin 2 2 3 4
3

I t t t t t t t x t

  




  







 







     

Mà

2 3

2 2

1 2

1 1 .

1 . 14 .d a 3 2, 3, 2, 4

I x x c d a b c d

x x b






 

             

 



.
Vậy S a b c d     .3

Câu 27. [2D3-2.2-3] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Biết
2

4 3

cos sin cos 1

d ln 2 ln(1 3)
cos sin cos

x x x

x a b c

x x x



 

   





với a b c, , là các số hữu tỉ. Tính P a b c . .

A.P 0 . B.P  .4 C. P  .2 D. P 6 .

Lời giải

Tácgiả:Quỳnh Giao; Fb:QGiaoDo

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

2 2

3 3

4 3 2

4 4

cos sin cos 1 2 tan tan d

d .

cos sin cos 1 tan cos

x x x x x x

x

x x x x x

 

   



 











2 1 3

tan .d tan tan 2ln tan

1 tan 2

x x x x

x



   

      



   







1 2 ln 2 2 ln 1 3

   

Vậy P 4
Phát triển

Đây là dạng tích phân của hàm số lượng giác mà tử số và mẫu số là các biểu thức đẳng cấp với
sin x và cos x đồng thời số mũ của tử kém số mũ của mẫu hai đơn vị.

Phương pháp chung là chuyển về theo tan x .

Câu 28. [2D3-2.2-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG

NGÃI) Giả sử tích phân 
2

2
1

d ln 3 ln 2
( 1)

x

x a b c

x   



trong đó a , b , c là các số hữu tỉ. Tính
tổng S a 2b2 c2.

A. 
77

36 . B.

36 . C.

36 . D.

1
64 .
Lời giải

Tác giả: Tú Nguyễn ; Fb: Tú Nguyễn
Chọn B

Ta có

2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1

1 1 1 1

d d d d d

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x x

x x x x x



   

    



2 1 2 1

ln 1 ln 3 ln 2

1 11 6

x

     

 .

Suy ra

1
6

a 

; b  ; 1 c  .1

Vậy





2 2 1 2 73

1 1

6 36

S a b c  

         

  .

Câu 29. [2D3-2.2-3] (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho 
1

3
1
2

ln ,

x b

dx d

x a c

 

   

  



với , , ,a b c d là các

số nguyên dương và

b

c tối giản. Giá trị của a b c d   bằng

A. 12. B. 10. C. 18. D. 15.

Lời giải

Tác giả:; Fb: Huuhung Huynh
Chọn B

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

1 1 2

3 3 3

1 1

2 2

d d

1 ( 1)

x x

I x x

x x x

 

 



. Đặt t x3 1  t2 x3 1  2 dt t 3 dx x2

Đổi cận

1 3

2 2 2

x  t 

;x 1 t 2. Khi đó

2 2

3 3

2 2 2 2

d 2 d

1 1

t t t

I

t t t

 

 



Đặt y t 1 t1 2

1 1

d d

2 1

t t

y t

t

  

 

 2

2d d

y t

y t

 



Đổi cận

3 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2

1 1 8

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

t  y         

;

2 2

2 2 1 2 1 2 2 2

2 1 2 1

t  y       

 

4
4

2 2 2

2 2 2 2

4
8

2 2d 4 4 2 2 2 1 (2 2 2) 1 3

ln ln ln ln( 2)

3 3 3 8 3 8 3 2

y

I y

y




 





    

Do đó a b c d   10

Cách 2: Ta có





1 1 2

3 3 3

1 1

2 2

d d .

1 1

x x

x   x x 



Đặt t x 3 dt3 d .x x2 Đổi cận

1 1

; 1 1.

2 8

x  t x  t

Khi đó

1 1

8 8

1 d 1

d 1 2 1 1 1 1 1 3

3 ln ln 2 .

3 3 2 2 4 3 2

( 1) 1 1

2 4

t
t

I t t

t t

t

 



 

   

 

            

      

 

 

 



Vậy a b c d       3 3 2 2 10.

Câu 30. [2D3-2.2-3] (Cụm THPT Vũng Tàu) Cho 
3

1
1

d ln 2 ln 3

1 8 1

I x a b c

x

   

 



với
, ,

a b c  . Giá trị của a b c  bằng

A. 1. B.

8. C. 2. D.

1
2.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Minh Đức ; Fb: Duc Minh.

Phản biện: Lê Mai Hương; Fb: Le Mai Huong

Chọn D

Đặt t 8x1  t2 8x1 2 dt t8dx d 4d

t

x t

 

.
Đổi cận: x 1 t3

3 5

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Ta có:
5

3
1

d
4 1

t

I t

t






1 1

1 d

4 1 t t

 

   



 





ln 1



53

4 t t

  



 



5 ln 6 3 ln 4

4 

      1 1ln 2 1ln 3

2 4 4

  

Suy ra

1 1 1

, ,

2 4 4

a b c
.

Do đó

1
2
a b c  

Câu 31. [2D3-2.2-3] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho hàm số

 

yf x

liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn f

 

2 2;

 

d 1

f x x 



. Tính tích phân





1 d

I f x x










A. I  .5 B. I  .0 C. I 18. D. I 10.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thành Biên ; Fb: Bien Nguyen Thanh
Chọn D

Đặt t x1 t2  x 1 2 dt t x xd .

Đổi cận: x 1 t ; 0 x 3 t .2

Khi đó:





 

3 2

1 0

1 d 2 . d

I f x x t f t t



 





 



 

2
2
0

2 .t f t 2 f t td

 



 

4f 2 2 f x xd

 



8 2 10
   .

Câu 32. [2D3-2.2-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f x

 

liên tục trên  thỏa mãn





 

f x  f x

, x   . Biết rằng

 

d 1

f x x 



. Tính tích phân

 

I 



f x x

A. I  .5 B. I  .6 C. I  .3 D. I 2.

Lời giải.

Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng ; Fb: Mạnh Dũng.
Chọn A

Ta có:

 







 



1 1 1 1

0 0 0 0

3 3.1 3. d 3 d 2 d 2 d 2 ,

f x x f x x f x x f x x x

 















 

Đặt 2x t  d 2



x



dt, với x 0 t0; x 1 t2.



 



 

1 2 2

0 0 0

1 1 1

3 2 d 2 d d ,

2 f x x 2 f t t 2 f x x x

 











 

(do hàm số f x

 

liên tục trên ).



 

d 6,

f x x  x





 

1 2

0 1

d d 6,

f x x f x x x









  

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

 

1 f x xd 6, x

 



  

 

d 5,

f x x x





  

Câu 33. [2D3-2.2-3] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số yf x

 

liên tục trên



0; 1



và thỏa mãn

 

. d 2019

x f x x 



. Giá trị của tích phân





sin 2 .x f cos dx x




là
A. 2019 . B. 4038 . C. 2019. D. 4038.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tâm; Fb: Nguyễn Ngọc Tâm
Chọn B

Đặt tcosx dt sin dx x.

Đổi cận: x 0 t ; 1 x 2 t 0


  

.
Ta có:









 

0 1

2 2

0 0 1 0

sin 2 .x f cos dx x 2sin .cos .x x f cos dx x 2 .t f t td 2 .t f t td

 

  



 

2 .x f x xd 4038







Câu 34. [2D3-2.2-3] (Chuyên Vinh Lần 3) 1 Cho hàm số f x

 

liên tục trên  thỏa mãn





 

f mx nf x p

, x  



m 0



. Biết rằng

 

f x x q





q 0



. Tính tích phân

 

m

I 



f x x

Lời giải.

Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng ; Fb: Mạnh Dũng.

Ta có:
.

n

n q

q



 

. d

n

f x x
q





 

n

f x x

q









f mx p

x
q











1 1

0 0

d d ,

f mx p

x x x

q q









 



 



1
1

p

n f mx mx x

mq q

 







 



0
1

d p,

f mx mx x

mq q





  



 



d p . ,

f mx mx n mq x

q

 

     

 





Đặt mx t  d



mx



dt, với x 0 t0; x 1 t m .



 



d p . ,

f mx mx n mq x

q

 

    

 





</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

 

0 0

d d . ,

m m

p

f t t f x x n mq x

q

 

      

 





(do hàm số f x

 

liên tục trên ).

 

0 1

d d . ,

m

p

f x x f x x n mq x

q

 

      

 





 

d . ,

m p

q f x x n mq x

q

 

      

 





 

d .

m

p

f x x n mq q

q

 

    

 



nmq mp q  , x

   .

 

d ,

m

f x x nmq mp q x





    

Câu 35. [2D3-2.2-3] (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số f x

 

liên tục trên  thỏa mãn





 

f x  f x  , xx    . Biết rằng

 

d 2

f x x 



. Tính tích phân

 

I 



f x x

A. I 11 . B. I  .15 C. I  .19 D. I  .14

Lờigiải

Tác giả:Trịnh Thanh; Fb:Deffer Song
Chọn C

Ta có:





 

f x  f x  x





 

1 1

0 0

2 d 5 d

f x x f x x x









  

 

1 1

0 0

5 f x xd x xd









1
2

0
21
5.2

2 2

x

  

Mặt khác







 



1 1

0 0

2 d 2 d 2

f x x f x x



 

0
1

2 f t t





 

0
1

2 f x x





 

1 21

2 f x x 2







 

d 21

f x x







Do đó:

 

2 2 1

1 0 0

d d d

f x x f x x f x x



21 2 19   .

Câu 36. [2D3-2.2-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019)Cho hàm số

 

f x liên tục trên



0;1



và thỏa mãn

 

1
3

d 1

f x x 







1
2
1
6

2 d 13

f x x 



. Tính tích phân

 

2 3
0

I 



x f x x

A. I  .6 B. I  .8 C. I  .7 D. I  .9

Lời giải

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Xét





1
2
1
6

2 d 13

f x x 



, đặt

2 d 2d d d

u x u x u x
.

Đổi cận:

1 1

6 3

x  u
;

1
2

x  u
.

Ta có





 

1
2

1 1

6 3

13 2 d d

f x x f u u









 

1
3

d 26
f u u







Xét

 

2 3
0

I 



x f x x

, đặt

3 d 3 d2 1d 2d
3

tx  t x x t x x
.

Đổi cận: x 0 t ; 0 x 1 t .1

Vậy ta có:

 

2 3
0

I 



x f x x

 

1 3 1

0 0

1 1 1

d d d

3 f t t 3 f t t 3 f t t













 

1
3

1
0

1 1

d d

3 f t t 3 f u u









1 1

.1 .26 9

3 3

  

Câu 37. [2D3-2.2-3] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Tích phân





2
1

2
0

d ln

1
x

I x a b c

x


  





, trong đó a ; b;

c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a b c  .

A. 2 . B. 1. C. 3. D. 0.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen

Phản biện: Đỗ Hữu Nhân; Fb: Do Huu Nhan

Chọn A









1 1 2 1 1 1

2 2 2 2

0 0 0 0 0

1 1 2 2 1

d d 1 d d d 1

1 1 1 1

x x x x

I x x x x x

x x x x

    

        

     



1
2

1 ln x 1 1 ln 2

    

.
1

a  , b 2, c 1 nên a b c  2.

Câu 38. [2D3-2.2-3] (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Biết 
ln 2

d
ex 3e x 4

I   x

 





lna lnb lnc



c

  

trong đó a , b, c là các số nguyên dương. Tính P2a b c  .

A. 1. B. 3. C. 4 . D. 3.

Lời giải

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Ta có
ln 2

1
d
3

e 4

x
x

I  x

 



ln 2

2
0

e 4e 3

x

x x x



 



Đặt t ex  dt e dx x.

Đổi cận: x 0 t 1; xln 2 t 2.

2
2
1

d
4 3

t
I

t t



 





 



1 3

t

t t



 



1 1 1

d
2 t 1 t 3 t

 

   

 

 



1 1

2 3

t
t

  

  



 

1 3 1

ln ln

2 5 2

 

   

 





ln 3 ln 5 ln 2
2

I   

 a 3, b 5, c 2.

Vậy P 2.3 5 2 3   .

Câu 39. [2D3-2.2-3] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Người ta cần trồng một vườn hoa (phần
tơ đậm như hình vẽ). Biết đường viền ngoài và đường viền trong khu đất trồng hoa là hai
đường elip. Đường elip ngồi có độ dài trục lớn và độ dài trục bé lần lượt là 10m và 6m .
Đường elip trong cách đều elip ngoài một khoảng bằng 2dm (hình vẽ). Kinh phí cho mỗi m2
trồng hoa là 100.000 đồng. Tổng số tiền (đơn vị đồng) dùng để trồng vườn hoa gần với số nào
sau đây?

A. 490008. B.314159. C.122522. D. 472673.
Lời giải

Tác giả: Lê Tuấn Anh ; Fb: Anh Tuan Anh Le.

Phản biện: Ngô Nguyễn Anh Vũ , Fb: Euro Vu.

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Đường elip ngồi có a5,b3 nên có phương trình:

2 2
1
25 9

x y

 

2
3 1

x
y

  

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Đường elip trong có a4,8; b2,8 nên có phương trình:

2 2

2 2 1

(4,8) (2,8)

x y

 





2
(2,8) 1

4,8

x
y

  

Diện tích khu đất trồng hoa cần tìm:

4,8

5 2 2

0 0

4 3 1 d 4 (2,8) 1 d 4,90088454

25 (4,8)

x x

S 



 x



 x

Tổng số tiền (đơn vị đồng) dùng để trồng vườn hoa : 4,90088454.100000 490088, 454 (đồng).

Cách khác: sử dụng cơng thức diện tích hình elip: S ab.

Diện tích khu đất trồng hoa cần tìm:S .5.3 (4,8)(2,8) 4,90088454 .

Tổng số tiền (đơn vị đồng) dùng để trồng vườn hoa : 4,90088454.100000 490088, 454 (đồng).
Câu 40. [2D3-2.2-3] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho hàm số

 

f x liên tục trên đoạn



2;3



thỏa mãn

 

d 2019

f x x 



. Tính





32

2 3
1

1 d

I 



x f x  x

A. I 6057. B. I 3 2019. C. I 673. D. I 2019.
Lời giải

Tác giả: Vũ Thị Loan; Fb: Loan Vu
Chọn C

Đặt t x 3 1 dt3 dx x2 .
Đổi cận

Khi đó





 

32 3 3

2 3

1 2 2

1 1 1

1 d d d 2019 673

3 3 3

I 



x f x  x



f t t



f x x  

Câu 41. [2D3-2.2-3] (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Cho hàm số yf x

 

liên tục trên đoạn



1;3



, thỏa

mãn f



4 x



f x

 

, x



1;3



và

 

d 2

xf x x 



. Giá trị

 



f x xd
bằng

A. 1. B. 2. C.  .1 D.  .2

Lời giải

Tác giả: Phi Trường ; Fb: Đỗ Phi Trường

Chọn D

Ta có

 

3 3

1 1

d d 2

I 



xf x x



tf t t 
.

Đặt t 4 x dtdx.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

 



 





 





  

3 1 3 3

1 3 1 1

d 4 4 d 4 4 d 4 d

I 



tf t t



 x f  x x



 x f  x x



 x f x x

 

3 3 3

1 1 1

4 ( )f x dx xf x dx( ) 4 f x dx I















 

2I 4 f x xd

 



 

2 f x x Id 2





 

Vậy

 



f x x d 2

Câu 42. [2D3-2.2-3] (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Biết
2

3 3

2 8 11

1 1 1

2 a

x dx c

x x x b

 

   

 

 



với a , b , c nguyên dương, 
a

b tối giản và c a . Tính

S a b c   .

A. S  .51 B. S 39. C. 67 . D. 75 .

Lời giải

Tác giả: Lê Đức Hợp ; Fb: Le Hoop
Chọn B

Xét

2 2

3 3 3 3

2 8 11 2 9 2

1 1

1 1 1 1 1 1

2 2

I x dx x x dx

x x x x x x

 

   

            

 

   



3 3

2 3 2

1 1 1

x x dx

x x x

 

     

 



3 2

2 1

1 x dx

x x

  

     

 

 



Đặt
3

2
1

t x

x

  t3 x 12
x

   2 3

2
3t dt 1 dx

x

 

   

  .

Đổi cận x 1 t ; 0

3 7
2

4
x  t 

Vậy
37

4
2
0

I 



t t dt

37
4

3
0
3 t dt





37
4
4

0
3
4t

 21 73

16 4

 21314

32


Từ đó ta suy ra a  ; 21 b  ; 32 c 14  S a b c   39.

Câu 43. [2D3-2.2-3] (KonTum 12 HK2) Cho hàm số f x

 

liên tục trên  thỏa mãn





 

2 ,

f x f x  x x

   và

 

d 5

f x x 



. Giá trị

 

f x x



bằng

A.4. B. 10 . C.7 . D. 12.

Lời giải

Tác giả: Lưu Thế Dũng; Fb: Lưu Thế Dũng
Chọn C

Cách 1: Ta có:





 





 

1 1

0 0

3 2 3 d 2 d

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>





 

1 1 1

0 0 0

3 d d 2 d

f x x f x x x x

















1
2

0
0

3 d 5

f x x x





 





3 d 4

f x x







(1)

Mặt khác







 



 

1 1 3 3

0 0 0 0

1 1 1

3 d 3 d 3 d d

3 3 3

f x x f x x  f t t f x x



(2)

Từ (1) và (2) suy ra

 





3 1

0 0

d 3 3 d 3.4 12

f x x f x x 



Do đó

 

3 3 1

1 0 0

d d d 12 5 7

f x x f x x f x x  



Cách 2: Ta có







 



 

1 1 3 3

0 0 0 0

1 1 1

3 d 3 d 3 d d .

3 3 3

f x x f x x  f t t f x x



Khi đó

 





3 1

0 0

d 3 3 d

f x x f x x



 

1 3 1

0 1 0

d d 3 2 d

f x x f x x f x x x













  

 

3 1 1

1 0 0

d 2 d 3 2 d

f x x f x x x x













 

1
2

0
1

d 2.5 3 10 3 7

f x x x





    

.

HẾT

Câu 44. [2D3-2.2-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số

 

2 2 1
ln

x khi x

f x x

khi x
x

 








 . Biết tích phân

 

2
0

1
d   ln 2



f x x a b

trong đó ,a b   Tính giá.
trị S a b  .

A. S  .3 B. S  .5 C. S  .3 D. S  .1

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Lan ; Fb: Lan Nguyen Thi
Chọn D

Ta có

 





2 1 2 2

0 0 1 1

ln ln 1

d 2 2 d d 1 1 ln 2

2 2

      



f x x



x x



xx x x

1, 2

a b

  

1 2 1

S a b

      .

Câu 45. [2D3-2.2-3] Bắc-Ninh-2019)

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số

 

2 2 1
ln

x khi x

f x x

khi x

x

 








 . Biết tích phân

 

2
0

1
d   ln 2



f x x a b

trong đó ,a b   Tính giá trị . S a b  .

A. S  .3 B. S  .5 C. S  .3 D. S  .1

Lời giải

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Ta có

 





2 1 2 2

0 0 1 1

ln ln 1

d 2 2 d d 1 1 ln 2

2 2

      



f x x



x x



xx x x

1, 2

a b

  

1 2 1

S a b

      .

Câu 46. [2D3-2.2-3] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Cho hàm số f x

 

liên tục trên . Biết





ln 2

ex 1 d 5

f  x



và



  

2 3

d 3

x f x

x
x








. Tính

 

I 



f x x

A. I  .2 B. I  .4 C. I  .2 D. I  .8

Lời giải

Tác giả: Vũ Danh Được; Fb: Danh Được Vũ
Chọn B

Đặt

e 1 d e d d

x x t

t t x x

t

     

 .

Đổi cận x 0 t2;xln 2 t .3

Do đó





 

ln 2 3 3

0 2 2

e 1 d 5 d 5 d 5

1 1

x f t f x

f x t x

t x

     

 



Ta có



  



  

 

3 3 3

2 2 2

2 3 2 2 1

d d 2 d 3

1 1 1

x f x x f x f x

x x f x x

x x x

    

     

    



Suy ra

 

2 d 3 2 8 4

f x

I x I I

x

     





Câu 47. PT 36.1. [2D3-2.2-3] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Cho

hàm số ( )f x liên tục trên  thỏa mãn (2 ) 4 ( )f x  f x  x, x   . Biết rằng

( )d 1

f x x 



Tính tích phân
2

1
( )d

I 



f x x

A. I 9. B. I 6. C. I5. D. I8.
Lời giải

Tác giả: Vũ Danh Được; Fb: Danh Được Vũ
Chọn B

Ta có





2 d

K 



f x x

 

4f x x xd

 





  

 

1 1

0 0

4 f x xd x xd









4 1 7

2 2
  

Đặt t2x dt2dx. Đổi cận x 0 t0;x 1 t .2

 

0
1

d
2

K 



f t t

 

d 7

f t t







 

d 7

f x x







 

2 1 2

0 0 1

d d d

f x x f x x f x x




2

1
( )d

I 



f x x

 

2 1

0 0

d d

f x x f x x









</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Câu 48. [2D3-2.2-3] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho f x

 

là hàm số

chẵn, liên tục trên đoạn



1;1



và

 

d 8

f x x







. Tích phân

 

d
1 x

f x x
e





 bằng

A. 2. B. 5 . C . 4. D. 6 .

Lời giải

Tác giả: Bùi Bài Bình; Fb: Bui Bai

Chọn C

Gọi

 

1 0 1

1 2

1 1 0

d d d

1 x 1 x 1 x

f x x f x x f x x

I I I

e e e

 

    

  



Xét

 

0
1

d
1 x

f x x
I

e








Đặt: tx dtdx. 
Đổi cận:

 

0 1

1 0

d . d

1 1

t

t t

f t t e f t t

I

e e



  

 



 





 

1 1 1 1

1 2

0 0 0 0

1 d

. d d

1 1 1

t
t

t t t

e f t t

e f t t f t t

I I I f t t

e e e



      

  



Lại có

 

1 1

1 0

d 8 d 4

f x x f x x



  



.
Vậy I 4.

x 1 0

</div>

Bài 1. Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp đổi biến số | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện





































<sub></sub>

<sub></sub>



















<sub></sub>

 

<sub> </sub>

<sub></sub>







 

 







 





 





 

 

 

 

 































 

 









 

<sub></sub>

 

<sub></sub>



