Bài 6. Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp đổi biến số(NB) | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (189.09 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 1. [2D3-1.2-2] (Sở Điện Biên) Cho hàm sốf x

 

liên tục trên và

 





10
f x x

, thì

 



0
2
f x x

bằng:

A. 30 . B. 20 . C. 10 . D. 5 .

Lời giải
Chọn D

Đặt: t2x dt2dx.

Đổi cận:   x 0 t 0; x 3 t6.

Ta có:





 

3 6 6

0 0 0

1 1

2 d d dx=5

2 2

f x x f t t f x



Câu 2. [2D3-1.2-2] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Tất cả các nguyên hàm của hàm

 

3 2

f x

x


 là

A. 2 3x 2C. B. 
2

3 2

3 x C. C. 
2

3 2

3 x C

  

. D. 2 3x 2C.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen

Chọn B

Áp dụng công thức

1 2

dx ax b C

a

ax b   



với a b  ,

Hoặc cũng có thể dùng đạo hàm để kiểm tra ngược các đáp án.

PT 12.1. Tất cả các nguyên hàm của hàm số

3
( )

2 1

f x
x


 là

A. 
3

ln | 2 1|

2 x C . B. 3ln | 2x1|C .

C. 6ln | 2x1|C . D.

ln | 2 1|
3 x C .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Nguyệt Cầm; Fb: Nguyet Cam Nguyen

Chọn A

Áp dụng công thức ln | |

k k

dx ax b C

ax b a  



với k a b  , ,

PT 12.2 . Biết

 

d 6

f x x






, tính

 

d 6

f x x






A. 6. B. 2. C. 18. D. 16.

Lời giải

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chọn B







 



 

2 2 4

0 0 2

1 1

3 2 d 3 2 d 3 2 d 2

3 3

f x x f x x f t t



     



Câu 3. [2D3-1.2-2] (THPT-n-Mơ-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho

 

d 3



f x x

và

 

2 d 5

   

 



f x g x x

, khi đó

 



g x x

bằng

A. 1. B. 1. C. 11. D. 2.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hồng Hạnh; Fb: Nguyễn Hồng Hạnh
Chọn B

Ta có:

 

2 2 2 2

1 1 1 1

2 d 5 2 d d 5 6 d 5

d 1

f x g x x f x x g x x g x x

g x x

         

 

 



Câu 4. [2D3-1.2-2] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2019) Biết

 





2 sin cos 2

5
x

F x e a x b x 

là một

nguyên hàm của f x

 

e2xsinx



a b ,



. Tính giá trị biểu thức T  a 2b1.

A. 
2

5 . B. 1. C.

5 . D. 1.

Lời giải

Tác giả: Trần Thị Thúy; Fb: Thúy Minh
Chọn B

Hàm số f x

 

xác định   x .

Ta có F x'

 

2e2x



asinx b cosx



e2x



acosx b sinx











2x 2 sin 2 cos

e a b x a b x

     

 

F x

là một nguyên hàm của f x

 

trên   F x'

 

f x

 

,   .x











2 sin 2 cos

x

e  a b x a b x e2xsin

x ,  x

2 1

2 0

a b
a b

 


 

 



2
5
1
5

a

b






 

 


 .

Vậy T  a 2b1

2 1

2. 1

5 5

 

   

  1.

Câu 5. [2D3-1.2-2] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Tìm họ nguyên hàm

 





3
1

2 1

F x x

x






A.

 





2
1
6 2 1

F x C

x


 



. B.

 





3
1
6 2 1

F x C

x


 



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

C.

 





2
1
4 2 1

F x C

x


 



. D.

 





2
1
6 2 1

F x C

x


 



.
Lời giải

Tác giả:Mai Quỳnh Vân; Fb:Vân Mai

Chọn C

Ta có:

 













3 3

1 1

d 2 1 d 2 1 d(2x+1)

2 1

F x x x x x

x

 

    

















2 1

1 1

2 2 4 2 1

x

C C

x


 

   

 

Câu 6. [2D3-1.2-2] (Sở Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số

 

ln x

f x

x


là

A. 
2
1

ln ln

2 x x C . B. 
2
1

2 x C . C. ln x C2  . D. ln ln x





C.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hợp ; Fb: Hợp Nguyễn
Chọn B

Xét I 



f x x

 

d
ln

x
x

x





Đặt

ln d d

t x t x

x

  

Khi đó

2
1
d

I 



t t  t C 1ln2

2 x C

 

Câu 7. [2D3-1.2-2] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Biết

 

cos 2x 2f x dx 5





 

 

 



, khi đó

 

d
f x x







bằng:

A. 
7

2. B. 3 . C.

2. D.2.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Duy; Fb: Ngọc Duy
Chọn D

Ta có

 

5 cos 2x 2f x dx









   

 

4 4

cos 2 dx x 2f x xd

 

 





 

4
4

4 4

sin 2 2 d

2 x f x x










 



sin sin

2 2 2

 

  

     

 

 

 

4 4

2 f x xd 1 2 f x xd

 

 

 



Suy ra

 

5 1

d 2

2
f x x







 



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 8. [2D3-1.2-2] (Sở Quảng NamT) Cho hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên khoảng



0; 



Khi đó

 

d
f x

x
x





bằng:

A.

 

2 f x C. B. f

 

x C. C. 2 f

 

x C. D. 2 f

 

x C.
Lời giải

Tác giả: Trần Tố Nga ; Fb: Trần Tố Nga
Chọn D

Đặt

1 d

d d 2d

x

t x t x t

x x

    

Vậy

 

d 2 d 2 2

f x

x f t t f t C f x C

x




    



Câu 9. [2D3-1.2-2] (Chuyên Bắc Giang) Cho hai hàm số F x

 

, G x

 

tách công thức MT xác định
và có đạo hàm lần lượt là F x

 

, G x

 

tách công thức MT trên



1;



. Biết rằng

 

.

 

2 ln2



1



F x G x  x x và

   

2
.

x
F x g x

x



 . Họ nguyên hàm của f x G x

   

. là

A.









2 2

2 x 1 ln x 1  x  2x C

. B.









2 2

2 x  1 ln x 1  x  2x C
.

C.









2 2

2 x 1 ln x 1 x  2x C

. D.









2 2

2 x  1 ln x 1  x 2x C
.
Lời giải

Tác giả: Hồng Văn Thơng; Fb: Thơng Hồng
Chọn B

Cách 1. Dùng kiến thức ngun hàm

Ta có



f x G x

 

dx=



F x G x

 

dx=



G x

 



F x

 



.
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Đặt u G x

 

,dvd



F x

 



 uG x v F x

 

, 

 

Khí đó:



G x

 



F x

 



F x G x

 





F x G x

 

. 

 





2 2

2 ln 1 d

x

x x x

x

  





Ta tính





2 2

d 2 1 d

1 1

x

I x x x

x x

 

     

   



x2 2x 2ln x 1 C

    





2 2 2ln 1

x x x C

    

,  x 1.

Suy ra

 









2 2

. d 2 ln 1 2 2ln 1

f x G x x x x  x  x x C











2 x 1 ln x 1 x 2x C

     

Cách 2. Dùng kiến thức tích phân + Máy tính cầm tay + Góc tiếp cận khác

Phân tích: họ nguyên hàm f x G x

   

. đúng với mọi x công thức MT thuộc



1;



nên sẽ

đúng trên các đoạn là tập con trên



1;



Ta có



F x G x

   



F x G x

   

. F x G x

 

. 

 

f x G x

   

. F x g x

   

. .

Suy ra



 





 

   



3 3

2 2

. d . . d

F x G x  x f x G x F x g x x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>









 

3 2 3

3
2

2 2

2 ln 1 d . d 0 1

x

x x x f x G x x

x

    





Thay lần lượt các hàm số (bỏ hằng số C) vào vị trí f x G x

   

. trong công thức (1). Kiểm tra
trên máy tính cầm tay. Phép thử nào cho kết quả bằng 0 thì đó là phương án đúng.

Nhận xét

1. Với các bài tốn tìm ngun hàm có các biểu thức liên quan đến đạo hàm. Ta có thể khai thác
theo các hướng dùng nguyên hàm từng phần (cách 1) hoặc xây dựng công thức đạo hàm kiểu

 

f x x f x C



(Cách 2).

2. Với dạng tốn tìm ngun hàm mà cho dạng cơng thức ở các đáp án. Ta có thể sử dụng máy
tính cầm tay tính thử tích phân với các cận thuộc tập xác định (cách 2).

Câu 10. [2D3-1.2-2] (THPT Nghèn Lần1) Họ nguyên hàm của hàm số

3
( )

1
x

f x

x


 là

A. 3

3 x 1C B. 
3
2

1 .

3 x  C C. 3

3 x 1C D. 
3
1

1 .

3 x  C

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Dung ; Fb:Chau Ngoc
Chọn B

Đặt

3 1 2 3 1 2 d 2d

u x   u x   u u x x

. Khi đó

2 2

3 3

I 



u u C
.

Với u x3 thì 1

1 .

I  x  C

Câu 11. [2D3-1.2-2] (Đoàn Thượng) Cho hàm số yf x

 

thỏa mãn f x f x

   

. x4x2. Biết

 

0 2

f  . Tính f2

 

2
.

A.

 

2 2 313

f 

. B.

 

2 2 332
15

f 

. C.

 

2 2 324
15

f 

. D.

 

2 2 323
15

f 

.
Lời giải

Tác giả: Trần Công Diêu; Fb: Trần Công Diêu
Chọn B

Theo đề:

   

4 2
.

f x f x x x

. Lấy nguyên hàm hai vế, ta được:

 





 



 







 

2 5 3

4 2 4 2

2 5 3

f x x x

f x f x dx  x x dx f x d f x  x x dx C  



Mà

 

2 5 3

2 2

2 2 2 332

0 2 0 2 4 2

2 5 3 15

x x

f   C  C  f x     f 

Câu 12. [2D3-1.2-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho





6
2 3x x 2 dx



A x



3  2



8B x



3  2



7C
với
, ,

A B C   . Tính giá trị của biểu thức 12A7B.

A. 
23

252 . B.

241

252 . C.

9 . D.

7
9 .
Lời giải.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Đặt t 3x 2

d 3d d

3
t

t x x

   

Khi đó.





6 2 2 6

2 3 2 d d

3 3

t

x x x  t t







8 7

7 6

2 2 2

2 d

9 9 8 7

t t

t t t   C

     

 











1 4

3 2 3 2

36 x 63 x C

    

Từ đó ta có

1
36
A 

,
4
63
B 

. Suy ra

7
12 7

9
A B

Câu 13. [2D3-1.2-2] (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Họ nguyên hàm của hàm số

 

20 30 7

2 3

x x

f x

x

 



 trên khoảng 
3

;
2

 



 

  là?

A.





4x 2x1 2x 3C

. B.





4x  2x1 2x 3
.

C.





3x  2x1 2x 3

.D.





4x  2x1 2x 3C

Lời giải

Tác giả:Minh Hạnh; Fb: fb.com/meocon2809
Chọn D

Đặt

 




   

 


2 3 2

d d
t
x

t x

x t .

Ta có





2 4 2

4 2 5 3

20 30 7 5 15 7

d . d 5 15 7 d 5 7

2 3

x x t t

x t t t t t t t t C

t
x

   

       







4 5 2 7



2 3. (2 3)2 5(2 3) 7



4 2 2 1 2



3

t t t C x  x x  C x x x C

                 

Câu 14. [2D3-1.2-2] (CHUYÊN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Biết













102 101

100 2 1 2 1

2 1 d x x

x x x C

a b

 

   



, a b  , . Giá trị của hiệu a b bằng

A. 4. B. 2. C. 1. D. 0 .

Lời giải

Tác giả: Đinh Mạnh Thắng; Fb: Dinh Thang
Chọn A



2 1



100 d 1



2 1 1 2







100 d
2

x x x  x   x x





2 1



101d



2 1



100 d

2 x x x x

   











101









100





2 1 d 2 1 2 1 d 2 1

4 x x x x 

     









2 1



102



2 1



101

408 404

x x

C

 

  

Do đó a408,b404.
Vậy a b  .4

Câu 15. [2D3-1.2-2] (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số f x

 

biết

 





cos
2 sin

x
f x

x

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

A.

 





sin
2 sin

x

f x C

x

 

 . B.

 

1
2 cos

f x C

x

 

 .

C.

 

1
2 sin

f x C

x

 

 . D.

 

sin
2 sin

x

f x C

x

 

 .

Lời giải

Tác giả: Đinh Gấm; Fb: đinh gấm
Chọn C

Ta có:

 













cos 1 1

d d 2 sin

2 sin

2 sin 2 sin

x

f x x x C

x

x x

    



 



Câu 16. [2D3-1.2-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho hàm số f x

 

xác định trên



e;  



thỏa mãn

 

.ln

f x

x x

 

và

 

e 0

f 

. Tính

 

4
e

f

A.

 

e ln 2

f 

. B.

 

e ln 2

f 

. C.

 

e 3ln 2

f 

. D.

 

e 2

f 

.
Lời giải

Tác giả: Hồng Văn Thơng; Fb: Thơng Hồng
Chọn A

Cách 1.

Từ giả thiết suy ra

 

2
1

d , e 0

.ln

f x x f

x x







Ta có

 

1
d
.ln

f x x

x x





1 d ln





lnx x





ln ln x





C

,   .x e

 

e2 0 ln ln e





0

f   C  C ln 2 f x

 

ln ln



x



 ln 2
.

Suy ra

 





4 4

e ln ln e ln 2

f   ln 4 ln 2

  2ln 2 ln 2 ln 2.
Cách 2.

Ta có

 

4 2

e
1

d e e

ln x f f

x x  



với

 

e 0

f 

Suy ra

 

e
4

e
1

e d

f x

x x





 

e4 ln ln e





ln ln e





ln 2
f

   

.
Cách 3. Dùng máy tính cầm tay

Dạng tốn: Cho hàm f x

 

biết f x

 

và f a

 

. Tính f b

 

Suy luận: Nếu a b ta có

 

b b

a a

f x x f b  f a  f b  f x x f a 



.
Thao tác trên máy tính:

Nhập vào máy tính

 

b

a

f x x f a 



rồi gán cho một biến nhớ, giả sử A.

Gọi biến nhớ A ra màn hình rồi trừ lần lượt kết quả ở các đáp án A, B, C, D. Phép trừ nào cho
giá trị bằng 0 thì đáp án đó sẽ đúng.

Thao tác trên màn hình

e
1

d
ln x

x x



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu 17. [2D3-1.2-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho F x

 

là nguyên hàm của

 

f x
x



 thỏa mãn

 

2 4

F 

. Giá trị F 





bằng:

A. 3. B. 1. C. 2 3. D. 2 .

Lời giải

Tác giả: Giáp Văn Quân ; Fb: quanbg.quan

Chọn D

Ta có

 

x x 2 2

F x f x d d x C

x

    





Theo đề bài F

 

2 4 nên 4C 4 C  0 F



1



2.

Câu 18. [2D3-1.2-2] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Gọi F x

 

là nguyên hàm của hàm

số 2

( )
8




x
f x

x thỏa mãn F

 

2 0

. Khi đó phương trình F x

 

x có nghiệm là:
A. x 0. B. x 1. C. x 1. D. x  1 3.

Lời giải

Tác giả: Huỳnh Trọng Nghĩa ; Fb: Huỳnh Trọng Nghĩa
Chọn D

Ta có:

 

2

8
x

F x dx

x






Đặt t  8 x2  t2  8 x2  2tdt 2xdx xdx-tdt

 

2 8

x tdt

F x dx dt t C x C

t
x



       





Mà

 

2 0 8 2 0 2

F     C  C 

 

8 2 2

F x   x 
Ta có:

 





2 2

2
2

2 0

8 2 8 2

8 2

x

x x x x

x

x x

F x              

  




2
2

1 3

2 4 4 0

1 3

x
x

x x

x



 





        

   

 

 


Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 19. [2D3-1.2-2] (Chuyên Vinh Lần 2) Biết F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

1 1

1 2

f x

x

 

 và F 





3. Tính

F  
 .

A.

3 1

2 2

F  

  . B.

3 5

2 2

F  

  . C.

3 9

2 2

F  

  . D.

3 13

2 2

F  

  .

Lời giải

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Chọn C

Ta có:

 

1 1 2

1 2

F x f x dx dx x x C

x

 

        



 



Mà F 





3 nên C  . Vậy 4

3 9

2 2

F  

  .

Câu 20. [2D3-1.2-2] (Kim Liên 2016-2017) Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

4 2

x
f x

x x





  và F 





ln 81. Tính F

 

2 .

A. F

 

2 ln 9. B. F

 

2 2ln 7 ln 9 .
C. F

 

2 ln 7 ln 9 . D. F

 

2 2 ln 7 ln 3







Lời giải

Tác giả: Phí Văn Đức Thẩm ; Fb: Đức Thẩm
Chọn D

Cách 1.

Ta có:

 

4 2

d d

x

F x f x x x

x x



 

 



• Đặt u x 2 x 1













du 2x 1 dx 2du 2 2x 1 dx 2du 4x 2 dx

        

• Khi đó

2
2

4 2 2d

d 2 ln 2 ln 1

x u

x u C x x C

x x u



      

 



.

Vậy nên

 

2 ln 1

F x  x   x C

, mà F 





ln 81, thay vào ta được:





2ln









F       C ln 81 2ln 3 C

    Cln 81 2ln 3 2ln 3 

• Do đó

 

2ln 1 2ln 3

F x  x   x

 

2 2ln 22 2 1 2 ln 3 2 ln 7 2 ln 3 2 ln 7 ln 3





F

        

.
Cách 2. Minh Thuận

• Hàm số

 

4 2

x
f x

x x




  liên tục trên .

 





2 2

4 2

d d 2 2

1
x

f x x x F F

x x

 



   

 



 





2
2

4 2

2 d 2

1
x

F x F

x x




   

 



.
• Dùng MTCT bấm và so sánh với đáp án.

Câu 21. [2D3-1.2-2] (Sở Điện Biên) Cho

 

d 6

f x x 



và

 

d 8

g x x 



. Giá trị của

 

4f x  g x dx

 

 



bằng:

A.16. B.14. C.12. D.10.

Lời giải
Chọn A

Ta có

 

5 5 5

1 1 1

4f x  g x dx4 f x xd  g x xd 4.6 8 16. 

 

 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10></div>