Bài 10. Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp nguyên hàm từng phần | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (213.38 KB, 14 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 1. [2D3-1.3-2] (Trần Đại Nghĩa) Giá trị của

2 2
ln
x

I xdx

x
  

  

 



bằng

A.

2 2

2ln ln

2 4

x x

I  x x c

. B.

2 2

ln ln

2 4

x x

I  x x c
.

C.

2 2

ln ln

2 4

x x

I  x x c

. D.

2 2 2

2 2 4

x x x

I   x c

.
Lời giải

Tác giả: Viết Ánh; Fb: Viết Ánh
Chọn B

Ta có

2 2 ln

ln ln 2

x x

I x dx x x dx dx

x x

  

    

 



2 2 2 2

1
1

ln ln ln

2 2 2 4

x x x x

x x dx x dx x c

x

      





2
2

ln ln

x x

dx x d x c

x

   

Vậy

2 2

ln ln

2 4

x x

I  x x c
.

Câu 2. [2D3-1.3-2] (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Họ nguyên hàm của
hàm số f x

 

x



1 sin x



là

A. 
2

sin cos
2

x

x x x C

  

. B.

cos sin

x

x x x C

  

C. 
2

cos sin

x

x x x C

  

. D.

sin cos

x

x x x C

  

.
Lời giải

Tác giả: Phạm Lê; Fb: Lê phạm
Chọn B

Ta có:



f x x

 

d 



x



1 sin x x



d 



x xd 



x.sin dx x



x xd 



xd cos



x







2 2

= cos cos d = cos sin

2 2

x x

x x x x x x x C

 



  

Câu 3. [2D3-1.3-2] (Lý Nhân Tông) Một nguyên hàm

( )cos 3 1

(x 2)sin 3xdx x a x sin 3x 2017

b c



   



thì tổng S   a b cbằng

A. S 3 B. S 15 C. S 10 D. S 14

Lời giải

Chọn D

Đặt:

sin 3 cos 3

3
du dx
u x

dv x dx v x

ì =

ì = - ï

ï ï

ï Þ

í í

ï = ï

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Do đó













1 1 1 1

2 sin 3 2 cos 3 cos 3 2 cos 3 sin 3

3 3 3 9

x xdx x x x dx x x x C



Theo bài ra thì



x 2 sin 3



xdx



x a



cos3x 1sin 3x 2017

b c



   



Do đó ta suy ra: a2,b3,c . Suy ra : 9 S   a b c 14.

Câu 4. [2D3-1.3-2] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Họ nguyên hàm của hàm số





( ) 3 cos3
f x  x x x

là :

A.

3 sin 3 cos 3
3

x

x x x C

. B.

3 sin 3 cos 3
3

x

x x x C

C. x3xsin 3xcos3x C . D.

3 sin 3 cos 3
3

x

x  x x C

.
Lời giải

Chọn B





3 ( cos 3 ) 3 3 cos 3 3 3 cos 3

I 



x x x dx



x  x x dx



x dx



x xdx
.

2 3

1 3 1

I 



x dx x C
.

Tính I2 



3 cos 3x xdx

Đặt

3
3

cos3 sin 3

3
du dx

u x

dv xdx v x





 



 

 

 



2 2

sin 3 sin 3 sin 3 cos 3

I x x



xdx x x x C

Vậy

3 cos 3

3 ( cos 3 ) sin 3

x
I 



x x x dx x x x C

Câu 5. [2D3-1.3-2] (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần 1) Biết rằng hàm số

 



3



2 4 3

F x mx  m n x  x

là một nguyên hàm của hàm số

 

3 2 10 4

f x  x  x

. Tính mn .

A. mn  .1 B. mn  .2 C. mn  .0 D. mn  .3
Lời giải

Tác giả: Lưu Thị Thủy; Fb: thuy.luu.33886
Chọn B

Vì F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

nên F x

 

f x

 

,  x





2 2

3mx 2 3m n x 4 3x 10x 4, x

         





3 3

2 3 10

m
m n




 

 



1
2
m
n



 



 .

Vậy .m n  .2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

A.





2 2 2 sinx

x  x C

. B. x2  2 cosx x2sinx C .

C. 
2
1

2 cos 2sin

2x  x x x C . D.

2
1

2 cos 2sin

2x  x x x C
Lời giải

Tác giả: Trần Đại Lộ; Fb: Trần Đại Lộ
Chọn D



1 2sin



d d 2 sin d
x  x x x x x x x



.

Có:

2
d

2
x
x x C











2 sin d 2 d cos 2 cos 2 cos d 2 cos 2sin
I 



x x x



x x  x x



x x  x x x C

Vậy





2
1

1 2sin d 2 cos 2sin

x  x x x  x x x C



.

Câu 7. [2D3-1.3-2] (Sở Quảng NamT) Biết





2
1

ln 1 d ln 5 ln 2
x x  x a b c



với a , b, c là các số
hữu tỉ. Tính P a b c   .

A. P 3. B. P 0. C. P 5. D. P  .2
Lời giải

Tác giả: Trần Tố Nga ; Fb: Trần Tố Nga
Chọn B

Đặt

2 1 d 2 d d 1d
2
tx   t  x x x x t

.
Đổi cận: x 1 t2; x 2 t5.





2 5

1 2

ln 1 d ln d

I x x x t t

 



 



Đặt

ln d d

d d

u t u t

t
v t

v t


 

 



 



  

 .









2
5
1

ln d

2
2

5ln 5 2ln 2 3
2

5 3

ln 5 ln 2

2 2

I  t t t

    

 

 

  



5 3

; 1;

2 2

a b c

   

.
Vậy P 0.

Câu 8. [2D3-1.3-2] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Nguyên hàm của hàm số

 

2 2
ln
x

f x x

x



là

A.

2 2

2ln ln

2 4

x x

x x C

. B.

2 2

ln ln

2 4

x x

x x C
.

C.

2 2

ln ln

2 2

x x

x x C

. D.

2 2 2

2 2 4

x x x

x C

  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Lời giải

Tác giả: Hồ Thị Hoa Mai; Fb: Hồ Thị Hoa Mai

Chọn B

Đặt

2 2 2

ln d ln d ln d

x

I x x x x x x x

x x















 I1 



xln dx x. Đặt

2
1

d d

u x

u x x

v x x x

v






 



 



  




Khi đó

2 2 2 2

1 1

ln . . d ln

2 2 2 4

x x x x

I x x x C

x

 



  



2
ln d

I x x

x





. Đặt

ln d d

t x t x

x

   2 2

2 2 d 2 ln 2

I t t t C x C

 



   

Vậy

2 2

1 2 ln ln

2 4

x x

I  I I  x x C
.

Câu 9. [2D3-1.3-2] (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) (Chuyên Lê Hồng Phong Nam
Định Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

x4xex là

A.





1 e

x
x  x C

. B.





1 e
5

x
x  x C

C. 
5

e
5

x
x x C

. D. 4x3



x1 e



xC.
Lời giải

Tác giả: Trần Thị Thúy; Fb: Minh Thúy.
Chọn B

Ta có:





4 e dxx 4dx e dxx
x x  x  x



.

4 5

1
dx=

x x C



.

+) Đặt

du dx
.
dv e dxx ex
u x

v

 

 



 

 

 

Suy ra: e dx
x
x



e e dx e e 2

x x x x

x x C

 



   



x1 e



xC2

Vậy









4 1 5

e dx 1 e

x x

x x  x  x C



.

Câu 10. [2D3-1.3-2] (HK2 Sở Đồng Tháp) Tìm một nguyên hàm F x

 

của hàm số f x 

 

2 ,x biết

 

0 2.

F 

A.

 

2 1

2
ln 2 ln 2

x

F x   

. B. F x  

 

2x 2.

C. F x  

 

2x 1. D.

 

2 1

2
ln 2 ln 2

x

F x   

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung
Chọn D

Ta có:

 

2
ln 2

x
F x  C

. Từ F

 

0 2 suy ra

1
2

ln 2
C  

Vậy

 

2 1

2 .

ln 2 ln 2

x

F x   

Câu 11. [2D3-1.3-2] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Họ nguyên hàm
của hàm số f x

  

 2x1



ex là

A.



2x 3



exC. B.



2x3



exC.
C.



2x1



exC. D.



2x1



exC.

Lời giải

Tác giả: Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu
Chọn A

Gọi 





2 1



d
x

I x e x

Đặt

2 1 du 2d

d d

  

 



 

 

 x  x

u x x

v e x v e .



2 1



2 d



2 1





2 3



 I x ex



e xx  x ex exC x exC
.

Câu 12. [2D3-1.3-2] (CỤM TRẦN KIM HƯNG - HƯNG YÊN NĂM 2019) Tìm họ các
nguyên hàm





2
1 e x d

x  x



A. 
2

2 2

1 1

.e e

2 2 4

x x

x

x C

  

. B.

2 1 2

.e e

2 2

x x

x

x C

  

C. 
2

2 2

1 1

.e e

2 2 4

x x

x

x C

  

. D.

2 2
.e e
2

x x

x

x C

  

.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thủy Chi ; Fb:Nguyen Chi
Chọn C

Đặt





2 2

d d

d 1 e d e

x x

u x

u x

v x v x







 



 

   

 

 

Suy ra:





2 2

2 2
2

2 2

1 1

1 e d e e d

2 2

1 e

2 2 4

e .

2 2 4

x x x

x
x

x x x x x x

x

x x C

x x

C

   

       

   

 

     

 

   



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

A.

 

2 1

1
d

x

f x x e  C



. B. f x x e

 

d  2 1x C



.

C.



f x x

 

d 2e2x1C. D.  

d x x

f x xe  C



.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Rin; Fb: Nguyễn Văn Rin
Chọn A

Ta có

 





2 1 1 2 1 1 2 1

d d d 2 1

2 2

x x x

f x x e  x e  x  e  C



.

Câu 14. [2D3-1.3-2] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Cho hàm số

 

f x

thỏa mãn

 

0 0,

 

2 1
x

f f x

x


 

 . Họ nguyên hàm của hàm số g x

 

4 .x f x

 

là

A.



  

2 1 ln 2 2
x  x  x C

. B.





2ln 2 1 2
x x   x

C.



 



2 1 ln 2 1 2
x  x   x C

. D.



 



2 1 ln 2 1 2

x  x   x

.
Lời giải

Tác giả: Lê hữu Đức; Fb: Le Huu Duc

Chọn C

Ta có

 





2
2

ln 1

1 2

x

f x dx x C

x 

   





Vì f

 

0  nên 0

 





2
1

0 ln 1

C   f x  x 

 

d 2 .ln



2 1 d



g x x x x x











Đặt





2
2

d d

ln 1

d 2 .d 1

x

u x

x

v x x v x



   

 

 

 



 

   

Nên

 



 





 



2 2 2 2 2

d 1 ln 1 2 d 1 ln 1

g x x x  x   x x x  x   x C



Câu 15. [2D3-1.3-2] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

x e. 2x là
A.

 

1 1

2 2

x

F x  e x C

  . B.

 





2
2

x

F x  e x C
.

C. F x

 

2e2x



x 2



C. D.

 

2 1

x

F x  e x C

  .

Lời giải.
Chọn A

Đặt

2 1 2

x x

du dx
u x

dv e dx v e





 



 

 

 

 

. 2 1 2 1 . 2 1 2 1 2 1

2 2 4 2 2

x x x x x

F x x e  e dx x e  e C e x C

 



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Câu 16. [2D3-1.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 14) Họ các nguyên hàm của hàm số f x( )xln2x là

A.





2 2

2 ln 2ln 1

4x x x C. B.





2 2

2 ln 2 ln 1

4x x x C.

C.





2 2

2ln 2 ln 1

2x x x C. D.





2 2

2 ln 2 ln 1

2x x x C.

Lời giải

Tác giả: Hồ Liên Phượng; Fb: Ho Lien Phuong

Chọn B

Đặt:

1
2 ln .
ln

du x dx

u x x

dv xdx x

v





  



 



  




Ta có:

2 2

ln ln ln

2
x

I 



x xdx x



x x dx

Xét J 



xlnx dx, đặt

1
1

2
1

1
ln

du dx

u x x

dv xdx x

v






 



 



  




2 1 2 2

ln ln

2 2 2 4

x x x

J x xdx x C

  



  

2 2 2

ln ln

2 2 4

x x x

I x x C

    





2ln 2ln 1 .

4
x

x x C

   

Câu 17. [2D3-1.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 12) Họ nguyên hàm của hàm số

 





e x 1

f x x 

là:

A.





2
3
1

3 1 e

9 2

x x

x  C

. B.





2
3
1

3 1 e

9 2

x x

x  C

C.





2
3
1

3 1 e

9 2

x x

x  C

. D.





2
3
1

3 1 e

9 2

x x

x  C

.
Lời giải

Tác giả: ; Fb:Nguyễn Tiến Phúc
Chọn C

Đặt





3 3

d d

d e 1 d e

x x

u x

u x

v x v x







 



 

   

 

 

Khi đó





3 1 3 2 1 3

e 1 d e e d

3 3

x x x

x  x x  x    x x

 



3 2 3

1 1

e e d d

3 3

x x

x x x x x

  







3 2 3

1 1

e e

3 9 2

x x x

x x C

    





2
3
1

3 1 e

9 2

x x

x C

   

Câu 18. [2D3-1.3-2] (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số

 

2 sin





</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

A. x2 2 cosx x2sinx C . B. x x2



 cosx



C.

C. x22 cosx x 2sinx C . D. x2 2 cosx x 2sinx C .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Lan ; Fb: Nguyễn Lan
Chọn A

Đặt





2 du 2dx

dv sin 1 dx cos

u x

x v x x



  





 

   

 



Ta có













2 2

2 sinx x1 dx 2 x  cosx x  2  cosx x dx2 .cosx x2x 2sinx x C



2 2 .cos 2sin

x x x x C

    (C là hằng số).

Câu 19. [2D3-1.3-2] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Họ nguyên hàm của
hàm số

 



sin



x

f x x e  x
là

A.



x 1



exxcosx sinx C . B.



x1



exxcosx sinx C .
C.



x 1



exxcosxsinx C . D.



x 1



ex  xcosx sinx C .

Lời giải

Tác giả:Vũ Thị Loan ; Fb: Loan Vu
Chọn A

Đặt d



sin



d
x

u x

v e x x






 



 

d d

cos
x

u x

v e x





 



 



x cos





x cos



f x x x e  x  e  x x



x e



x cosx



 ex  sinx C



x



ex xcosx sinx C

  1    .

Câu 20. [2D3-1.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho biết

1 1

( ) 2

F x x x

x

  

là một nguyên hàm của





( ) x a .

f x

x





Tìm nguyên hàm của ( )g x xcos .ax

A. xsinx cosx C . B.

1 1

sin 2 cos 2

2x x 4 x C .

C. xsinxcosx C . D.

1 1

sin 2 cos 2

2x x4 x C .

Lời giải

Tác giả:Trần Kim Nhung; Fb: Nhung trần thị Kim
Chọn C

Do:

1 1

( ) 2

F x x x

x

  

là một nguyên hàm của





2
( ) x a
f x

x nên

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>













 

2 2 2

2 2 2 2

1
1

'( ) ( ) 2 ,

1 .cos

x a x x a

F x f x x x

x x x x

a g x x x

  

      

   

 

Ta có:



g x x( )d 



xcos dx x



xd(sin )x xsinx



sin dxx xsinxcosx C .

Câu 21. [2D3-1.3-2] (Hàm Rồng ) Biết



xcos2 dx x ax sin 2x b cos2x C với a , b là các số hữu
tỉ. Tính ab?

A.

1
8
ab 

. B.

1
8
ab 

. C.

1
4
ab 

. D.

1
4
ab 

Lời giải

Tác giả: Hồ Thị Hoa Mai; Fb: Hồ Thị Hoa Mai
Chọn B

Đặt d cos 2 d
u x

v x x








d d

1
sin 2
2

u x

v x





 




 .

1 1

cos2 d sin 2 sin 2 d

2 2

x x x x x x x





 



1 sin 2 1cos2

2x x 4 x C

  

1 1

;

2 4

a b

   1

8
ab

 

Câu 22. [2D3-1.3-2] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số f x

 

, biết

 

ex 1

f x x  và f

 

0 1. Khi đó f

 

1 bằng

A. e + 1. B. 2. C. e + 2. D. 3.

Lời giải

Tác giả: Võ Hữu Thường Kiệt; Fb: Kiệt Võ
Chọn D

Ta có

 



.e 1 d



.e d d 1

x x

f x 



f x x 



x  x



x x



x  I x C

với 1 .e d

x

I 



x x
.

Đặt

d d

e e d e e

d e d e

x x x x

x x

u x u x

I x x x C

v x v

 

 

      

 

 

 



 

1 e e

x x

f x I x C x x C

       

 

0 1 2

 

ex ex 2

 

1 3

f   C   f x x    x f 

Câu 23. [2D3-1.3-2] (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN V NĂM 2019) Họ nguyên hàm của hàm số

 

2 sin 2
f x  x x

là:

A.

2 1cos 2
2

x  x C

. B.x22cos 2x C . C.

2 1cos 2
2

x  x C

. D. x2 2cos 2x C .
Lời giải

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Có

2 1

(2 sin 2 ) os2

   



x x dx x c x C .

Câu 24. [2D3-1.3-2] (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Tính

 

e d

x

F x





x

. Chọn kết quả đúng.

A.

 



3 e



3
x

F x  x C. B.

  

3 e



x
F x  x C.

C.

 

3
3

e
3

x
x

F x   C

. D.

 

3
3

e
3

x
x

F x   C
.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thủy; Fb: diephoang
Chọn A

Đặt u x  dudx và d e d3 3e3

x x

v x v .

Ta có

 





3 3 3 3 3

3 e

3e d

3 e

9e

3 3 e

x x x x x

F x



x





x



x





C



x





C

Câu 25. [2D3-1.3-2] ( Sở Phú Thọ) Họ nguyên hàm của hàm số y3 (x xcos )x là:
A. x33( sinx xcos )x  .c B. x3 3( sinx xcos )x  .c
C. x33( sinx x cos )x  .c D. x3 3( sinx x cos )x  .c

Lời giải

Tác giả: Phan Văn Trình ; Fb: Tốn Vitamin
Chọn A

2 2

3 ( cos ) (3 3 cos ) 3 3 cos

I 



x x x dx



x  x x dx



x dx



x xdx

Đặt

2 3

1 3 1

I 



x dxx C

; I2 



xcos dxx
.

cos sin

u x du dx

dv xdx v x

 

 



 

 

  .

2 cos sin sin d sin cos 2

I 



x xdx x x



x xx x x C

.
1 3 2

I  I I  x33 sinx x3cosx C x33( sinx xcos )x C.

Câu 26. [2D3-1.3-2] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho

 

2ln 2

x x x

F x

a b

 

là
một nguyên hàm của hàm số f x

 

x xln , trong đó ,a b là các hằng số thực. Giá trị 3a b
bằng

A. 3 . B. 1. C. 2. D. 5 .

Lời giải

Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân
Chọn C

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Đặt

ln d d

d d

u x u x

x
x
v x x v



  





   



 .

Khi đó:

 

2 2 2

.ln d .ln

2 2 2 4

x x x x

F x  x



x x C

2; 4

a b

   .

Vậy 3a b  .2

Câu 27. [2D3-1.3-2] (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Họ nguyên hàm của hàm số

 



2 e3x



f x x 

là

A.





2 1e3 3 1
9

x

x  x C

. B.





2 1e2 1
9

x

x  x C

C.





2 1 2

2 e 1

3
x

x  x C

. D.





2 1e3 3 1
9

x

x  x C

.
Lời giải

Tác giả:Đặng Quang; Fb: Dang Quang
Chọn D

 

d



2 e3x



d 2 d e d3x 2

f x x x  x x x x x x  K



với K 



xe d3x x

Đặt

3
3

d d

1
e
d e d

3
x
x

u x

u x

v

v x





 



 




 



3 3 3 3

1 1 1 1

e e d e e

3 3 3 9

x x x x

K x x x C

  



  

Vậy

 





2 1 3

d e 3 1

9
x

f x x x  x C



.

Câu 28. [2D3-1.3-2] (THTT số 3) Tìm họ nguyên hàm

 





2 1 x

F x 



x  x e dx
.
A.

 





2 3 x
F x  x  e C

B.

 





2 4 x

F x  x  x e C

C.

 





2 3 4 x
F x  x  x e C

D.

 





2 3 4 x
F x  x  x e C

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Đức Quy ; Fb: Nguyễn Đức Quy
Chọn D

Ta có:

 

















2 2 2

' 3 4 x ' 2 3 x 3 4 x 1 x

f x F x  x  x e   x e  x  x e  x  x e
.

Câu 29. [2D3-1.3-2] (Hùng Vương Bình Phước) Cho 3
1
( )

3
F x

x


là một nguyên hàm của hàm số
( )

f x

x . Tìm nguyên hàm của hàm số f x'( ) lnx.

A. 3 5

ln 1

'( ) ln d

5
x

f x x x C

x x

  



. B. 3 3

ln 1

'( ) ln d

3
x

f x x x C

x x

  

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

C. 3 3

ln 1

'( )ln d

3
x

f x x x C

x x

  



. D. 3 5

ln 1

'( ) ln d

5
x

f x x x C

x x

  



.

Lời giải

Tác giả:Phạm Ngọc Hưng; Fb: Hưng Phạm Ngọc
Phản biện: Nguyễn HồngĐiệp; Fb:Điệp Nguyễn
Chọn C

Ta có

 

3 4

 

1 1 1

3
f x

F x f x

x x x x




 



     

  .Do đó 4

3
'( )ln d ln d

f x x x x x

x





Đặt
4
3
1

ln d d

d d

u x u x

x
v x
v
x
x

 
 
 



 

  
 
 .

Suy ra 4 3 4 3

3ln d ln 1 d ln 1

x x

x x x C

x x x x x



    



.

Câu 30. [2D3-1.3-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Cho hàm số
e sinx

y x. Họ nguyên hàm của hàm số trên là

A.

1 1

e cos e sin

2 2

x x x x C

 

. B.

1 1

e cos e sin

2 2

x x x x C

  

C.

1 1

e cos e sin

2 2

x x x x C

 

. D.

1 1

e cos e sin

2 2

x x x x C

  

.
Lời giải

Chọn D

Phương pháp: Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Đặt e sin d

x

I 



x x
.

Đặt

d sin d

x
u

v x x

 





d e d

cos
x
u x
v x
 
 


 e cos e cos d

x x

I x x x

  



.
Đặt
1
1
e

d cos d

x
u

v x x

 



1
1

d e d

sin

x
u x
v x
 
 

 .

e cosx e sinx e sin dx

I x x x x

   



e cosx xe sinx x C 1 I

1
2I e cosx x e sinx x C

   

1 1

e cos e sin

2 2

x x

I x x C

   

(với 1

1
2

C C
).

Câu 31. [2D3-1.3-2] (Sở Hà Nam) Họ nguyên hàm của hàm số f x

  

 2x3 ln



x là
A.





2 3 ln 3

2
x

x  x x  x C

. B.





2 3 ln 3

x

x  x x  x C
.

C.





2 3 ln 3

2
x

x  x x  x C

. D.





2 3 ln 3

2
x

x  x x  x C
.
Lời giải

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ta có: I 





2x3 ln dx



x . Đặt





ln du dx

dv 2 3 dx

u x

x
x

v x x



 



 



 

 



   

 .

Khi đó













2 3 ln 3 dx 2 3 ln 3

2
x

I  x  x x



x  x  x x  x C
.

Câu 32. [2D3-1.3-2] (ĐH Vinh Lần 1) Tất cả các nguyên hàm của hàm số

( )

sin2
x
f x

x
=

trên khoảng

(

0;p

)

là

A.xcotxln sin



x



C. B.xcotx ln sinx C.
C.xcotxln sinx C. D. xcotx ln sin



x



C.

Lời giải

Tác giả:Văn Bùi Vũ ; Fb: Van Tuan Vu

Chọn A

Gọi

( )

sin2 d
x

F x x

x
=

ò

. Đặt 2

d d

cot

d d

sin
u x

u x

v x

x
ì =

ïï ìï =

ï Þ ï

í í

ï = ï =-ïỵ

ïïỵ

Khi đó:

( )

cos

d cot d

sin sin

x x

F x x x x x

x x

ò

=- +

ò

(

)

d sin

cot cot ln sin .

sin
x

x x x x x C

x

=- +

ị

=- + +

Vì xỴ

(

0;p

)

nên sinx>0, suy ra ln sinx =ln sin

(

x

)

Vậy: F x

( )

=- xcotx+ln sin

(

x

)

+C.
Phân tích và bình luận:

Bài tốn sử dụng ngun hàm từng phần dạng đặc biệt kết hợp giữa đa thức và lượng giác:

2 2

2 d ; 2 d ; tan d ; cot d

sin cos

x x

x x x x x x x x

x x

ò

và xét dấu hàm lượng giác.

Câu 33. [2D3-1.3-2] (ĐH Vinh Lần 1) Tất cả các nguyên hàm của hàm số

( )

cos2
x
f x

x
=

trờn khong

0;
2

p

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗố ứ l

A.F x

( )

=xtanx+ln cos

(

x

)

+C. B.F x

( )

=- xtanx+ln cos

(

x

)

+C.
C.F x

( )

=xtanx- ln cos

(

x

)

+C. D.F x

( )

=xtanx- ln cosx +C.

Lời giải

Tác giả:Văn Bùi Vũ ; Fb: Van Tuan Vu

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Gọi

( )

cos2 d
x

F x x

x
=

ò

. Đặt 2

d d

tan

d d

cos
u x

u x

v x

x
ì =

ïï ỡù =

ù ị ù

ớ ớ

ù = ù =ùợ

ùùợ

Khi ú:

( )

sin

d tan d

cos cos

x x

F x x x x x

x x

ò

= -

ò

(

)

d cos

tan tan ln cos .

cos
x

x x x x x C

x

= +

ò

= + +

Vỡ x 0;2
p

ổ ửữ

ỗ
ẻ ỗỗố ữữứ

nờn cosx>0, suy ra ln cosx =ln cos

(

x

)

</div>

Bài 10. Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp nguyên hàm từng phần | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện













 







 























<sub></sub>





































<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>



<sub></sub>

<sub></sub>

 





 

 

 

 

 

































<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





