Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về hàm số lũy thừa, mũ và logarit | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Câu 1.</b> <b>[2D2-7.1-4] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) </b>Cho phương trình



₂



2 ₂ ₂

2

log 2 4 4 2<i>y</i> 2 1

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>y</i>  <i>x</i>  <i>x</i>

. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương



<i>x y</i>;



và
0<i>x</i>100_{thỏa mãn phương trình đã cho?}

<b>A. </b>4 . <b>B. </b>3. <b>C. 1.</b> <b>D. </b>2 .

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Lê Đức Hợp ; Fb: Le Hoop</b></i>

<b>Chọn C</b>

Điều kiện:2<i>x</i>2 4<i>x</i>_{  (*)}4 0

Ta có





2

2 2 2

2

log 2 4 4 2<i>y</i> 2 1

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>y</i>  <i>x</i>  <i>x</i>



₂





₂



2 ₂

2

log 2_ <i>_x</i> 2<i>_x</i> 2 _ <i>_x</i> 2<i>_x</i> 1 2<i>y</i> <i>_y</i>

 _   _    



₂





₂



2 ₂

2 2

log 2 2 log 2 2 1 2<i>y</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>

        



₂

 

₂



2 ₂

2

log 2 2 2 2 2<i>y</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>

       

(1).

Xét hàm <i>f t</i>

 

2<i>t</i> <i>t</i>

Ta có <i>f t</i>

 

2 .ln 2 1 0<i>t</i>     <i>t</i> _.

Hàm số đồng biến trên  .

(1)









 

2 2

2

log 2 2

<i>f</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>f y</i>

     log₂



<i>x</i>2 2<i>x</i>2



<i>y</i>2 ₂ 2

2 2 2<i>y</i>

<i>x</i> <i>x</i>

   



<i>_x</i> 1



2 1 2<i>y</i>2

    _.

Do 0<i>x</i>100





2

2 ₂

1 <i>_x</i> 1 1 2<i>y</i> 99 1

        0<i>y</i>2 log 99₂



21



<i>; do y nguyên dương </i>
nên ta suy ra 1  .<i>y</i> 3

+) <i>y </i>1 <i>x</i>2 2<i>x</i> 2 2  <i>x</i>2 2<i>x</i>0 <i>x</i>2_{(Thỏa mãn Đk (*) và x nguyên dương).}

+) <i>y </i>2  <i>x</i>2 2<i>x</i> 2 16  <i>x</i>2 2<i>x</i>14 0_{ (Khơng có giá trị ngun nào thỏa mãn).}

+) <i>y </i>3 <i>x</i>2  2<i>x</i> 2 512 <i>x</i>2 2<i>x</i> 510 0_{ (Khơng có giá trị ngun nào thỏa mãn).}

Vậy có một cặp nguyên dương



<i>x y </i>;

 

2;1



thỏa mãn yêu cầu bài toán.

<i><b></b></i>

<b>Câu 2.</b> <b>[2D2-7.1-4]</b> <b>(THPT-YÊN-LẠC)</b> Cho phương trình



2





3



3





27<i>x</i> 3 .9<i>x</i> 3 1 3<i>x</i> 1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i>

      

<i>, m là tham số. Biết rằng giá trị m nhỏ nhất</i>

để phương trình đã cho có nghiệm trên



0; 



là <i>a</i>e ln<i>b</i>_{, với ,}<i>a b là các số nguyên. Giá trị</i>
của biểu thức 17<i>a</i>3<i>b</i>_bằng

<b>A.</b>26 . <b>B.</b>

54

. <b>C. </b>48 . <b>D. 18 .</b>

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Nguyễn Tuấn Phương; Fb: Nguyễn Tuấn Phương</b></i>

<b>Chọn A</b>

Phương trình đã cho tương đương

   





2 3 3

3 _{3 3}2 <i>x</i> _{3 . 3}<i>x</i> ₃<i>x</i> ₃<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>



<i>_x</i> 3<i>x</i>



3 <i>_x</i> 3<i>x</i>



<i>_mx</i>



3 <i>_mx</i>

     

(*)

Xét hàm số <i>f t</i>

 

  có <i>t</i>3 <i>t</i> <i>f t</i>

 

3<i>t</i>2 1 0, <i>t</i>  <i>f t</i>

 

là hàm đồng biến trên  .

Do đó từ

 

* suy ra <i>x</i>3<i>x</i> <i>mx</i>_{. Vì}<i>x </i>0_{suy ra}
3
1

<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>

 

.

Xét hàm số

3
( ) 1

<i>x</i>
<i>f x</i>

<i>x</i>

 

trên



0; 



.

Ta có

 









3

2

3 ln 3 3 ₁

0 3 ln 3 1 0 log e

ln 3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>f x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>



        

.

Dấu của <i>f x</i>

 

cũng là dấu của nhị thức bậc nhất <i>x</i>ln 3 1 _{, do đó ta có bảng biến thiên:}

<i>Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của m để phương trình có nghiệm là m  </i>1 e ln 3.

</div>

<!--links-->