Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (616.48 KB, 38 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Tính lồi lõm của đồ thị:

Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

f gọi là lõm trên K nếu 

  

, , 



1: f





x



y







f x

 





f y

 

,x y, 0

f gọi là lồi trên K nếu 

  

, , 



1: f





x



y







f x

 





f y

 

,x y, 0

Cho hàm số yf x

 

liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên K

f lõm trên K  f ''

 

x   0, x K

f lồi trên K  f ''

 

x   0, x K .

Điểm uốn của đồ thị:

Điểm U x f x



 



được gọi là điểm uốn của đường cong

 

C :yf x

 

nếu tồn tại một khoảng



a b;



chứa điểm x0 sao cho một trong 2 khoảng



a x; 0

 

, x b0;



thì tiếp tuyến tại điểm U nằm phía trên đồ thị cịn

ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.

Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm cấp 2 một khoảng



a b;



chứa điểm x0. Nếu f ''

 

x 0 0 và f ''

 

x

đổi dấu khi x qua điểm x0 thì U x f x



 



là điểm uốn của đường cong

 

C : yf x

 

Chú ý:

1) Nếu yp x y

 

. ''r x

 

thì tung độ điểm uốn tại x0 là y0 r x

 

2) Nếu f lồi trên đoạn



a b;



thì GTLN max



f a f b

 

;

 



3) Nếu f lõm trên đoạn



a b;



thì GTNN min



f a f b

 

;

 



Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm 3 bước:
Bước 1: Tập xác định

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Xét tính chẵn, lẻ nếu có.
Bước 2: Sự biến thiên
- Tính các giới hạn

- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu

- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu
Bước 3: Vẽ đồ thị

- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức
- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ

- Vẽ đúng đồ thị

Bốn dạng đồ thị hàm bậc 3: y ax3 bx2 cx d a, 0

     có tâm đối xứng là điểm uốn.

Bốn dạng đồ thị hàm trùng phương: y ax4 bx2 c a, 0

   

Đường tiệm cận

- Đường thẳng x x 0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số yf x

 

nếu ít nhất một trong các

điều kiện sau được thỏa mãn:

 

0 0 0 0

lim ; lim ; lim ; lim

xx f x  xx f x  xx f x   x x  f x  

- Đường thẳng yy0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số yf x

 

nếu xlim f x

 

y0
   hoặc

 

lim

x   f x y

- Đường thẳng y ax b a  , 0 được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị yf x

 

nếu

  



lim 0

x  f x  ax b   hoặc xlim   f x

  

 ax b



  0.

Chú ý:

1) Nếu chia tách được yf x

 

ax b r x 

 

và xlim r x

 

   thì tiệm cận xiên: y ax b 

2) Biểu thức tiệm cận khi : 2

b

x  x bx c  x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bước 1: Tập xác định
- Tìm tập xác định
- Xét tính chẵn, lẻ nếu có
Bước 2: Chiều biến thiên

- Tính các giới hạn, tìm các tiệm cận
- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu

- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu
Bước 3: Vẽ đồ thị

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ
- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận

Hai dạng đồ thị hàm hữu tỉ bậc 1/1: y ax b
cx d




 với c0,ad bc 0

Bốn dạng đồ thị hàm hữu tỉ:





0, ' 0

' '

ax bx c

y a a

a x b

 

  



Chú ý:

1) Từ đồ thị

 

C :yf x

 

suy ra các đồ thị:

 

y f x bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành





yf  x bằng cách lấy đối xứng qua trục tung





y f  x bằng cách lấy đối xứng qua gốc

 

y f x bằng cách lấy phần đồ thị ở phía trên trục hồnh, cịn phần phía dưới trục hồnh thì đối
xứng qua trục hồnh.

 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng g x m 





Đưa phương trình về dạng f x

 

h m

 

trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị

 

C :yf x

 

Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị

 

C với đường thẳng y h m

 

3) Điểm đặc biệt của họ đồ thị:



Cm



:yf x m





- Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua:



 







0 0; 0 m , 0 0, ,

M x y  C m y f x m m

- Điểm mà họ không đi qua là điểm mà khơng có đồ thị nào của họ đi qua với mọi tham số:



 



0 0; 0 m

M x y  C , m y0 f x m





m

Nhóm theo tham số và áp dụng các mệnh đề sau:

0, 0, 0

Am B  m A B

2 0, 0, 0, 0

Am Bm C  m A B C 

0, 0, 0

Am B  m A B

2 0, 0, 0, 0

Am Bm C  m A B C 

hoặc A  0, B2 4AC0

2. CÁC BÀI TỐN

Bài tốn 2.1: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:
a) y x3 2x2 x 1

    b) y x 48x29

Hướng dẫn giải
a) D . Ta có y' 3 x2 4x1, '' 6y  x 4

2 2 2

'' 0 ; '' 0 ; '' 0

3 3 3

y   x y   x y   x

Vậy điểm uốn 2 29;
3 37

I  

 , hàm số lồi trên khoảng

2
;

 

 

 

  và lõm trên khoảng
2

;
3

 



 

 .

b) D . Ta có y' 4x3 16 , '' 12x y x2 16 0 x

     

Vậy đồ thị không có điểm uốn và hàm số lõm trên .

Bài tốn 2.2: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:

2 2 3

x x

y

x

 



 b)

2 1

x
y

x





</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a) D \

 

1 . Ta có

2 2 3 6

1 1

x x

y x

x x

 

   

 

Nên









6 12

' 1 , '' 0, 1

1 1

y y x

x x

     

 

'' 0 1; '' 0 1

y   x  y   x 

Vậy đồ thị khơng có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng



  ; 1



và lõm trên khoảng



1;



b) D \ 5

 

. Ta có









11 22

' , '' 0, 5

5 5

y y x

x x



    

 

'' 0 5; '' 0 5

y   x y   x

Vậy đồ thị khơng có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng



 ;5



và lõm trên khoảng



5;



.

Bài toán 2.3: Chứng minh rằng với mọi a, đồ thị hàm số 2

x a
y

x x




  ln có ba điểm uốn thẳng hàng.
Hướng dẫn giải

Ta có:







 











2 2

2 2

1 2 1 2 1

1 1

x x x a x x ax a

y

x x x x

       

 

   













3 2

3
2

2 3 3 1 1

x ax a x

y

x x

   



 





3 2

'' 0 3 3 1 1 0

y   x  ax  a x 

Đặt f x

 

x33ax23



a 1



x 1,x 

Ta có: f

 

0  1 0, f



1



 1 0

 

lim , lim

x   f x   x  f x  và đồng thời hàm số này liên tục trên tập số thực nên phương trình

 

f x  có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng



  ; 1 , 1;0 , 0;

 



 





Giả sử hoành độ của một trong các điểm uốn là x0 nên





3 2

0 3 0 3 1 0 1 0

x  ax  a x  

Ta có: x033ax023ax03a 1 3 x03a



x0 3a 1





x02 x0 1





x0 a



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Suy ra













0 0 0

0 0

0 2 2

0 0 0 0

3 1 1 3 1

1 3 1 3

x a x x

x a x a

y

x x x x

   

  

  

   

Vậy các điểm uốn của đồ thị thuộc đường thẳng 3 1
3

x a

y   nên chúng thẳng hàng

Bài toán 2.4: Cho hàm số: yx3 6x23mx m 2, m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 3

b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đai, cực tiểu A và B mà khoảng cách AB 4 65.

Hướng dẫn giải
a) Khi m 3 hàm số trở thành y x3 6x2 9x 1

   

 Tập xác định D 

 Sự biến thiên: y' 3 x2 12x9

' 0 1 3

y   x  x

Bảng biến thiên:

x   1 3 

y + 0 − 0 +

y 3 

  −1

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng



 ;1



và



3;



, nghịch biến trên



1;3



. Hàm số đạt cực đại khi
1

x  , yC Ð 3 và đạt cực tiểu tại x3,yCT 1.

• Đồ thị:

'' 6 12

y  x ,

'' 0 2

y   x

nên tâm đối xứng là điểm uốn I



2;1



Cho x 0 thì y 1.

b) Ta có y' 3x2 12x 3m

  

Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình
' 0

y  có hai nghiệm phân biệt   ' 36 9 m0 m4

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Theo định lý Viet 1 2

1 2

x x

x x m

 







Ta có y1



2m 8



x1m2,y2



2m 8



x2m2



1 2





2 8

 

2 2 1



AB x  x  m x  x



 

2 1 2



2 1 2

1 2m 8  x x 4x x 

    

 



4m2 32m 65 16 4





m



   

nên AB 4 65



4m2 32m 65 16 4





m



1040

     





3 2 2

4m 48m 193m 0 m m4 48m 193 0

       

m

  (thỏa mãn). Vậy m 0.

Bài toán 2.5: Cho hàm số: 2 3







3 2



3 3

y x  m x  m x có đồ thị



Cm



với m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2

b) Tìm m để trên đồ thị



Cm



có hai điểm phân biệt có hồnh độ cùng dấu và tiếp tuyến của



Cm



tại mỗi

điểm đó vng góc với đường thẳng d x:  3y 1 0.

Hướng dẫn giải

a) Khi m 2 hàm số trở thành 2 3 2 4 5

3 3

y x x  x .

 Tập xác định D 

 Sự biến thiên: y'2x22x4;

' 0 1 2

y   x  x

Bảng biến thiên

x   −1 2 

y − 0 + 0 +

y  5

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Hàm số đồng biến trên khoảng



1;2



và nghịch biến trên mỗi khoảng



  ; 1





2;



Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và yCT 4, đạt cực đại tại x 2 và yC Ð 5.

 Đồ thị:

Đồ thị cắt Oy tại 0; 5
3

 



 

 ,

'' 4 2

y  x ,

1
'' 0

y   x nên đồ thị nhận điểm uốn 1 1;
2 2

I  

  làm tâm đối xứng.

b) y' 2x2 2



m 1



x 3m 2

    

Hệ số góc của d x:  3y 1 0 là 1
3

k 

Tiếp tuyến của



Cm



tại mỗi điểm vng góc với đường thẳng d x:  3y 1 0 khi y ' 3









2 2 1 3 2 3

2 2 1 3 1 0

x m x m

      

     

Phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x x 1. 2 0









2 4 3 0 3

' 1 2 3 1 0

1
1

3 1 1

0 3

3
2

m

m m

m m m

            

  

     

    
 



  




Vậy m  3 hay 1 1

m

    .

Bài toán 2.6: Cho hàm số 1 3 1 2 3 2

6 2 2

y x  x  x . Tìm m để hai điểm A, B thuộc đồ thị

 

C có tung độ m

và gốc O tạo thành tam giác OAB cân tại O.

Hướng dẫn giải

Hai điểm A, B thuộc đồ thị

 

C có tung độ m nên thuộc đường thẳng d y m:  .

Hoành độ giao điểm của d và đồ thị

 

C là nghiệm của phương trình 1 3 1 2 3 2
6x  2x  2x m
Phương trình x3 3x2 9x 12 6m 0

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Đường thẳng d cắt

 

C tại A, B thỏa mãn tam giác OAB cân tại O khi

5 17

2 6

m



  




 



và phương trình (1)

có nghiệm x1,x x1, 2 (trong đó x1, x1 là hồnh độ của A, B)

Khi đó x x1, 2 là nghiệm của phương trình









2 2

1 2 0

x  x x x 

Phương trình  x3 x x2 2 x x x x12  12 2 0 (2)

Đồng nhất các hệ số của (1) và (2):

2
2
1

2
1 2

3
9

12 6

x
x

x x m








  



Suy ra 12 6 27 5

m m

   

Bài toán 2.7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
a) y x3 3x2 4x 2

    b) y x 3 3x23x1

Hướng dẫn giải
a) y x3 3x2 4x 2

   

 Tập xác định D 

 Sự biến thiên xlim  y  và xlim y

Ta có y'3x26x 4 0, x nên hàm số nghịch biến trên . Hàm số khơng có cực trị.

Bảng biến thiên

x   

y −

y 

 

 Đồ thị: y''6x6, '' 0y 

x

  nên đồ thị có điểm uốn I



1;0



Cho x 0 y2. Cho y 0









3 2

3 4 2 0

1 2 2 0 1

x x x

x x x x

     

      

b) y x3 3x2 3x 1

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

 Tập xác định D 

 Sự biến thiên: xlim  y  và xlim y

Ta có y' 3 x2 6x 3 3



x1



2  0, x nên hàm số đồng biến trên , hàm số khơng có cực trị.

Bảng biến thiên:

x   1 

y + 0 −

y 

 

 Đồ thị: y'' 6 x 6, '' 0y 

x

  nên đồ thị có điểm uốn I



1;2



Cho x 0 y1.

Bài toán 2.8: Cho hàm số: y x3 3



m 3



x2 3



m2 3m 5



x 1

       , m là tham số. Tìm m để đồ thị của

hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn x1x2 x x1 2 7.

Hướng dẫn giải

D ,









2 2

' 3 6 3 3 3 5

y  x  m x m  m









2 2

' 0 3 6 3 3 3 5 0

y   x  m x m  m 

Hàm số cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1 2

, ' 3 4 0

x x    m   m

Ta có x1x2 2



m 3 ;



x x1 2 m2 3m5

Do đó x1x2 x x1 2 7 2



m 3



23m 5 7

2 2

5 11 7

5 11 7 5 4 0

1 4

5 11 7 5 18 0

m m

m m m m

m

m m m m

   

       

 

      

      

 

 

Kết hợp thì chọn: 1 4
3

m

 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 3

b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông.
Hướng dẫn giải

a) Khi m 3, hàm số trở thành y x4 6x2 5

  

 Tập xác định D , hàm số chẵn.

 Sự biến thiên: y' 4 x312x4x x



2 3



' 0 0

y   x hoặc x  3

Bảng biến thiên

x    3 0 3 

y − 0 + 0 − 0 +

y  5 

−4 −4

Hàm số đồng biến trên khoảng



 3;0 ,

 

3;



và nghịch biến trên khoảng



  ; 3



;



0; 3



Hàm số đạt cực đại tại x0,yC Ð 5 và đạt cực tiểu tại x 3,yCT 4

 Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy tại trục đối xứng

b) Ta có D . y' 4 x x



2 m







' 0 4 0 0

y   x x  m   x hoặc x2 m



Hàm số có 3 điểm cực trị  y' 0 có 3 nghiệm phân biệt  m0
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:



; 2 2 1 ,





0;2 1 ,





; 2 2 1



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại B Oy , A và C đối xứng nhau qua Oy.

ABC là tam giác vuông  tam giác ABC vuông cân tại B

. 2 1

AC AB m m m

      hoặc m 0.

Vậy chọn m 1.

Bài toán 2.10: Cho hàm số: y x4 mx2 2m 1

    , với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số cho có 3 điểm
cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là 4 đỉnh của một hình thoi.

Hướng dẫn giải
Ta có y' 4 x3 2mx

' 0 4 2 0

x

y x mx

x m




     




Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt  m0
Khi đó các điểm cực trị:





2 2

; 2 1 , 0;2 1 , ; 2 1

2 4 2 4

m m m m

A   m  B m C   m 

   

Vì tam giác ABC cân tại B, AC song song Ox nên O, A, B, C là 4 đỉnh hình thoi khi và chỉ khi OABC là hình
thoi

 O và B đối xứng nhau qua

O B

A

y y

AC   y

2 1

2 1 4 2 0

2 4

m m

m m m



       

2 2

m

   (thỏa mãn). Vậy m  2 2.

Bài toán 2.11: Cho hàm số: yx4 2mx2m2m, với m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho AB BO OC CD   .
Hướng dẫn giải

a) Khi m 2 hàm số trở thành y x4 4x2 2

  

 Tập xác định D , hàm số chẵn

 Sự biến thiên: y'4x38x4x x



2 2



' 0 0 2

y   x  x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

x    2 0 2 

y + 0 − 0 + 0 −

y 6 6

  2  

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng



  ; 2



và



0; 2



; nghịch biến trên mỗi khoảng



 2;0



và



2;



. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0, giá trị cực tiểu yCT 2; hàm số đạt cực đại tại các điểm

x  , giá trị cực đại yC Ð 6.

 Đồ thị: nhận Oy là trục đối xứng

b) Cho y 0 x4 2mx2 m2 m 0

      

Đặt t x t2, 0

  thì PT: t22mt m 2 m0

Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi phương trình bậc 2 có 2 nghiệm dương phân biệt t1t2.

2 2 2

2 2

' 0 2 0

2 0 0

0 0

m m m m m

S m m

P m m m m

       

 

      

 

    

 

1
0

0 1

1 0

m m

m



  




       

  




Vì đồ thị đối xứng qua trục tung nên 4 giao điểm A, B, C, D thỏa mãn AB BO OC CD   khi và chỉ khi

2 2 1 2 41

t  t  t  t .

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Do đó 12 2 2





5 2

4.4 25

t m

m m m

t m m




   



 



42m 25m 0 m 0

     hay 25

m  .

Ta chọn 25
41

m  .

Bài toán 2.12: Cho hàm số 1 4 2 2 3
4

y x  x 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tìm m để phương trình x4 8x26 m có 8 nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải

a) 1 4 2 2 3

y x  x  .

 Tập xác định D . Hàm số chẵn.

 Sự biến thiên: y'x3 4x x x



2 4



' 0 0

y   x hay x 2

Bảng biến thiên

x   −2 0 2 

y − 0 + 0 − 0 +

y   3 

−1 −1

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng



2;0 ; 2;

 





, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng



  ; 2



;



0;2



. Hàm số đạt cực đại tại x0;yC Ð 3, đạt cực tiểu tại x2,yCT 1.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

b) Ta có phương trình

4 8 2 12 1 4 2 2 3

4 4

m

x  x  m x  x  

Đồ thị



C'



của hàm số 1 4 2 2 3
4

y x  x  được suy ra từ đồ thị

 

C bằng cách giữ ngun phần nằm

phía trên Ox, cịn phần nằm phía dưới Ox thì lấy đối xứng qua Ox.

Số nghiệm của phương trình 1 4 2 2 3

4 4

m

x  x   là giao điểm của đồ thị



C'



và đường thẳng
4

m

y  .

Dựa vào đồ thị, phương trình có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

0 1 0 4

m

     .

Bài toán 2.13: Cho hàm số: 1 4



3 1



2 2



1



y x  m x  m , với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số có 3

điểm cực trị lập thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.
Hướng dẫn giải









3 2

' 2 3 1 2 3 1

y x  m x x x   m 





' 0 0 2 3 1

y   x  x  m

Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị 3 1 0 1
3

m m

     

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị là: A



0;2m 2



, B



 6m2; 9 m2 4m1



và



6 2; 9 2 4 1



C m  m  m

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

O là trọng tâm của tam giác ABC  yAyB yC 0





2m 2 2 9m 4m 1 0

      

2
3

9 3 2 0

1
3

m

m m

m





     

 



. Chọn giá trị 1
3

m  .

Bài toán 2.14: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

a) yx4 2x25 b)

2 3

2 2

x

y x 

Hướng dẫn giải
a) y x4 2x2 5

   .

 Tập xác định D . Hàm số chẵn

 Sự biến thiên xlim  y  và xlim y 





3 2

' 4 4 4 1 , ' 0 0

y  x  x x x  y   x

BBT

x   0 

y + 0 −

y 5

   

Hàm số đồng biến trên khoảng



 ;0



và nghịch biến trên khoảng



0;



Hàm số đạt cực đại tại điểm x0 :yC Ð 5.

 Đồ thị: y''12x2 4 0, x nên đồ thị khơng có điểm uốn.

Cho y 0 x 6 1

2 3

2 2

x

y x 

 Tập xác định D : Hàm số chẵn.

 Sự biến thiên: xlim y.





3 2

' 2 2 2 1 , ' 0 0

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

BBT

x   0 

y − 0 +

y  

−3/2

Hàm số đồng biến trên khoảng



0;



, nghịch biến trên khoảng



 ;0



và

đạt cực tiểu tại 0; 3
2

 



 

 .

 Đồ thị: y'' 6 x2 2 0,x nên đồ thị khơng có điểm uốn.

Giao điểm với trục tung 0; 3
2

 



 

 , giao điểm với trục hồnh





1;0

 và



1;0



Bài tốn 2.15: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

2
2

x
y

x x




 b)

5 2 3

x x

y

x x

 


  

Hướng dẫn giải
a) D \ 0;2





suy ra 2 TCĐ: x 0 và x 2.

Ta có

2 2

2 4 2

2 2

x x

y x

x x x x

 

   

  nên TCX: y x 2.

b) \ 1;3

D   

 

 suy ra 2 TCĐ: x 1 và 3
5

x  .

Ta có lim 1
5

x y nên TCN:

1
5

y  .

Bài toán 2.16: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y x 3

x

  b) y x2 4x 3

  

Hướng dẫn giải
a) D 



0;



. Ta có xlim0y



 nên TCĐ: x 0 (khi x 0

 )

Ta có lim





lim 3

x  y x x  x nên TNX:

y x (khi x  ).

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Gọi y ax b  là TCN, TCX thì:

1 2

4 3 4 3

lim lim lim 1 1

x x x

y x x

a

x x x x

     

 

      ;









1 xlim xlim 4 3

b y x x x x

   
     
2
2
3
4
4 3

lim lim 2

4 3

4 3 1 1

x x

x x

x x x

x x
   
 
 
  
     

Vậy tiệm cận xiên: y x  2 (khi x  ).

2
2

4 3

lim lim

x x

y x x

a
x x
     
 
 
2
2
4 3
1
4 3

lim lim 1 1

x x

x

x x

x x x

    

  

    









2 xlim xlim 4 3

b y x x x x

    

     

4 3 4 3

lim lim

4 3

4 3 1

x x

x x x x x

x x
     
   
 
  
   
2
3
4 4
lim 2
2
4 3
1 1
x
x
x
x x
  
 

  


   

Vậy tiệm cận xiên: y x2 (khi x   )

Cách khác: y x2 4x3 x 2 



x2 4x 3 x 2



và vì lim



2 4 3 2



x  x  x  x  suy ra TCX.

Bài tốn 2.17: Tùy theo m, tìm các tiệm cận của đồ thị:

a)
2 1
1
x mx
y
x
 

 b)
3
2
1
3 2
mx
y
x x



 

Hướng dẫn giải

a) Ta có

1 2

1 , 1

1 1

x mx m

y x m x

x x

  

     

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

- Khi m 2 thì lim





lim 2 0
1

x x

m

y x m

x

   



    

 nên y x m  1 là tiệm cận xiên. Ta có:

2
1
1
lim
1
x
x mx
x


 



Khi m  2 và

1
1
lim
1
x
x mx
x


 
 

 khi m  2 nên TCĐ x 1.

- Khi m 2 thì





2
1
1
x
y
x



 (với
1

x  ), đồ thị là đường thẳng (trừ điểm



1;0



) nên nó trùng với tiệm

cận xiên.

b) Ta có:

2 2

1 7 1 6

3 2 3 2

mx mx m

y mx m

x x x x

  

   

   

Khi m 1 thì

3 2

1 1

, 1, 2

3 2 2

x x x

y x x

x x x

  

   

  

Khi 1

m  thì









3 2

8 2 4

, 1, 2

8 1

8 3 2

x x x

y x x

x
x x
  
   

 

Từ đó suy ra: Với m 1 thì x 2 là tiệm cận đứng

Với 1

m  thì x 1 là tiệm cận đứng.

Với m 1 và 1

m  thì đồ thị có hai tiệm cận đứng là x 1 và x 2.

Ta có lim





lim 7 2 1 6 0

3 2

x x

mx m

y mx m

x x

   

 

   

  nên đồ thị có TCN, TCX: y mx 3m.

Bài tốn 2.18: Cho đường cong









2 1 3

m

x m x

C y

x m

  





a) Tìm m để tiệm cận xiên của



Cm



đi qua A



1;1



b) Tìm m để giao điểm của hai tiệm cận nằm trên

 

P y: x23

Hướng dẫn giải

a) Ta có









2 1 3

lim lim 2

x x

x m x

y

x x x m

   
  
 














2 1 3

lim 2 lim 2

x x

x m x

y x x

x x m

   

    

    



</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>





2 2

2 1 3 2 2

lim 1

x

x m x x mx

m
x m

 

    

  



Suy ra phương trình tiệm cận xiên là y2x 1 m.

TCX đi qua A



1;1



khi và chỉ khi: 1 2.1 1   m m2.

b) Đồ thị có tiệm cận đứng là xm. Từ đó suy ra giao điểm của hai tiệm cận là I



m;1 3 m



Giao điểm này nằm trên đường cong y x2 3

  khi





2 2

1 3 m  m  3 m 3m  2 0 m1 hoặc m 2

Bài toán 2.19: Cho hàm số









2 1 2

1 m

x m x

y C

x

  



 . Tìm m để tiệm cận xiên của



Cm



tạo với các trục tọa
độ thành một tam giác có diện tích bằng 18.

Hướng dẫn giải

Hàm số 2, \

 

m

y x m D

x



    

  .

Ta có xlim



y



x m



     nên tiệm cận xiên d của



Cm



có phương trình y x m  . Giao điểm của d

với Ox: A m





, giao điểm của d với Oy: B



0;m



Diện tích tam giác OAB là 1 2
2

S  m .

Điều kiện 18 1 2 18 6

S   m   m

Bài toán 2.20: Cho hàm số: 2 1
1

x
y

x




 .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 

C của hàm số

b) Suy ra đồ thị 2 1
1

x
y

x




 .

Hướng dẫn giải

a) 2 1

x
y

x




 .

 Tập xác định D \ 1

 

 Sự biến thiên: Ta có: limx 1 y

   và limx 1y

 

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Vì xlim  yxlim y2 nên đường thẳng y 2 là tiệm cận ngang của đồ thị.

Ta có:





' 0, 1

y x

x



   



Bảng biến thiên

x   1 

y − −

y 

2 2

 

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng



 ;1 , 1;

 





 Đồ thị: Đồ thị

 

C cắt Ox tại 1;0
2

 

 

  cắt Oy tại





0;1 .

 

C nhận giao điểm I



0;2



hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

b) Ta có

2 1

2 1 1

2 1

1
1

khi

x

x x

y

x
x







  

 



 



 



nên đồ thị



C'



giữ nguyên phần bên phải tiệm cận đứng x 1

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài toán 2.21: Cho hàm số: 2 2
1

x
y

x




 .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 

C của hàm số.

b) Lập phương trình tiếp tuyến của

 

C , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tại A, cắt đường tiệm cận

ngang tại B mà OB2OA.

Hướng dẫn giải

a) 2 2

x
y

x






 Tập xác định D \

 

1

 Sự biến thiên: Ta có xlim 1 y

 

 và

 1

lim

x y

 

 

Do đó đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng

Ta có xlim  yxlim y2 nên đường thẳng y 2 là tiệm cận đứng





' 0, 1

y x

x

   



Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng



  ; 1 ; 1;

 

 



 Đồ thị: Đồ thị

 

C cắt Ox tại



1;0



, cắt Oy tại



0; 2



, và nhận giao điểm I 



1;2



của hai đường tiệm
cận làm tâm đối xứng.

b) Phương trình tiếp tuyến tại M x y



0; 0

  

 C x, 0 1









0
0

2 2

4
:

1
1

x

d y x x

x
x



  

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Giao điểm của d với tiệm cận đứng x 1 là 0
0
2 6
1;
1
x
A
x
  

 

 
;

Giao điểm của d với tiệm cận ngang y 2 là B x 



2 0 1;2



Do đó





2 0

2 6

2 4 2 1 2 1

x

OB OA x

x
  
       

 









2 0 2

2 0 0 0 0

0 2

0 0 0

4 12

2 1

2 13 0

2 6

2 1 4

4 12

1 2 7 11 0

2 1

x
x

x x VN

x

x x x

x
x


 
     
   
       


    
    
 

0
7 137
4

x  

  . Thế vào d thì có tiếp tuyến cần tìm.

Bài tốn 2.22: Cho hàm số: 2
1
x
y
x


 .
a) 2
1
x
y
x


 .

 Tập xác định: D \ 1

 

 Sự biến thiên: Ta có limx 1 y

  và 1

lim

x y

  

Do đó đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng.

Vì xlim  yxlim y1 nên đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang.

Ta có





' 0, 1

y x

x

   

 .

Bảng biến thiên

x   1 

y + +

y  1

1  

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng



 ;1 , 1;

 





</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

b) Vì x 1 khơng là nghiệm nên phương trình



 



2 1 5 5

x

x x m m

x



      



Ta có:

2 1

2
1

1 2

khi

x

x x

y

x
x







  

 



 

 

 



Suy ra đồ thị



C'



của 2

x
y

x




 gồm phần của

 

C ứng với x 2 và đối xứng phần

 

C ứng với

x  qua trục hoành.

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị



C'



và đường thẳng y m  5:

Xét m  5 1 hay m  5 0 hay m   5 1
6

m

  hay m 5 hay m 4 thì phương trình có 1 nghiệm.

Xét 0m 5 1  5m6 thì phương trình có 2 nghiệm.
Xét   1 m 5 0  4m5 thì phương trình vơ nghiệm.

Bài tốn 2.23: Cho hàm số:

m x
y

x





 , với m là tham số. Tìm m để đường thẳng d: 2x2y 1 0 cắt đồ thị

tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là 3
8

S  .

Hướng dẫn giải

Phương trình hồnh độ giao điểm 1

2 2

x m
x
x

 

 







2x x 2 m 1 0,x 2

     

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>









17 16 0

2 2 2 2 1 0 2

m m



   

 

 

   

    

 

  

Ta có 1 2

1 2

1
2
1

x x

x x m



 




  



nên AB



x2 x1



2



y2 y1





2 1





2 1



2 1 2

2 2 4 . 17 16

x x x x x x m

      

Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là 1
2 2

h 

1 1 2 1 17 16

. . . 17 16 .

2 2 2 2 2 8

OAB

m

S  AB h  m  

Nên 3 17 16 3 1

8 8 8 2

OAB

m

S      m (thỏa mãn).

Bài toán 2.24: Cho hàm số 1
2

x
y

x

 


 . Tìm trên

 

H các điểm A, B sao cho độ dài AB 4 và đường thẳng

AB vng góc với đường thẳng y x .

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng AB vng góc với y x nên phương trình của AB là:

yx m .

Hồnh độ của A, B là nghiệm của phương trình 1
2

x

x m
x

 

 







2 3 2 1 0, 2

x m x m x

       .

Điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 và khác 2:













2 2

3 4 2 1 2 5 0,

4 3 .2 2 1 1 0,

m m m m m

m m m

         




      




ln thỏa mãn. Ta có x1x2  m 3; .x x1 2 2m1

Nên AB2 16



x2 x1



2



y2 y1



2 16



x2 x1





x2 m x1 m



2 16

       



x2 x1



2 8



x1 x2



2 4x x1 2 8

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>



m 3



2 4 2



m 1



    

2 2 3 0 3 1

m m m m

       

Với m 3 thì phương trình: x2 6x 7 0 x 3 2

     

Nên A, B có tọa độ



3 2; 2 , 3

 

 2; 2



Với m 1, tương tự hai điểm A, B có tọa độ:



1 2; 2  2 , 3

 

 2; 2  2



Bài toán 2.25: Cho hàm số

2 5

x x

y

x

 




a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 

C của hàm số

b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:









2 2 5 2 2 5 1

x  x  m  m x

Hướng dẫn giải

2 2 5 4

1 1

x x

y x

x x

 

   

 

 Tập xác định D \

 

1 .

 Sự biến thiên:





4 2 3

' 1 , ' 0 1, 3

1 1

x x

y y x x

x x

 

      

  .

Bảng biến thiên

x   −3 −1 1 

y + 0 − − 0 +

y −4  

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Hàm số đồng biến trên



  ; 3 , 1;

 





, nghịch biến trên



3; 1 , 1;1

 





Hàm số đạt CĐ



3; 4



, CT



1;4



Ta có xlim 1 y , limx  1 y

   

   nên TCĐ: x 2









lim 1 lim 0

x  y x x x  nên TCX:

y x  .

 Đồ thị:

Cho x 0 y5

Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận I 



1;0



b) Vì x 1 khơng là nghiệm nên phương trình đã cho tương đương với:

2 5

x x

m m

x

 

  

 . Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

2 2 5

x x

y

x

 



 với đường thẳng

2 2 5

y m  m .

Phương trình có hai nghiệm dương khi và chỉ khi:

2 1

4 2 5 5

2 0

m

m m

m




     

  



Bài toán 2.26: Cho hàm số

2 3

x x

y

x

 




a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 

C của hàm số.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Hướng dẫn giải

a) Ta có 3

y x
x

 


 Tập xác định D \ 2

 

 Sự biến thiên: xlim2 y

  và 2

lim

x y

   nên TCĐ: x 2





lim lim 0

x  y x x x  nên TCX:

y x .





' 1 0

y

x

  

 với mọi x 2 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng



 ;2



và



2;



Bảng biến thiên:

x   2 

y + +

y  

   

 Đồ thị:

Cho 0 3

x  y

0 1; 3

y  x x

b) Điểm M x y



;

  

 C có tọa độ nguyên khi x  2 là ước số của 3 nên x  2 1, 3.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Giao điểm 2 tiệm cận I



2;2



chuyển trục bằng phép tịnh tiến vectơ : 2
2

x X
OI

y Y

 




 




Đồ thị

 









3 3

: 2 2

2 2

C Y X Y X

X X

      

 

Vì Y F X

 

: X 3
X

  là hàm số lẻ nên đồ thị

 

C nhận gốc I



2;2



làm tâm đối xứng.

Bài toán 2.27: Cho hàm số

x
y

x




a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Tính góc giữa 2 tiệm cận

b) Biện luận theo m số nghiệm của PT:

2 1 2 1

x m

 



Hướng dẫn giải

a) y x 1
x

 

 Tập xác định D \ 0

 

. Hàm số lẻ.

 Sự biến thiên:

2
2

' x , ' 0 1

y y x

x



    hoặc x 1.

0 0

lim ; lim

x  y x y

     nên TCĐ: x 0





lim lim 0

x  y x x x  nên TCX:

y x .

Bảng biến thiên

x   −1 0 1 

y + 0 − − 0 +

y −2  

    2

 Đồ thị: Đối xứng nhau qua gốc O.

TCĐ: x 0, TCX: y x nên hai tiệm cận hợp nhau góc 45°.

b) Số nghiệm phương trình

2 1 2 1

x m

 

 là số giao điểm của đồ thị với đường thẳng

 

2 1

m

y f m

m



  .

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Nếu

2 1
2
m
m


  hoặc

2 1

2 0, 1

m

m m

m



    , thì PT có 2 nghiệm

Nếu
2 1
2
m
m


 hoặc

2 1
2 1
m
m
m


   hoặc m 1 thì PT có 1 nghiệm.

Cịn khi m 0 thì PT vơ nghiệm.

Bài tốn 2.28: Cho hàm số

 

2
1
1
1
mx mx
y
x
 


a) Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số (1).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị

 

C khi m 1. Suy ra đồ thị hàm số

2 1
1

x x
y
x
 



Hướng dẫn giải
a) Gọi M x y



0; 0



là điểm cố định của đồ thị (1):





2
0 0
0 0
0 0
01 0
1
1
, ,
1 1

m x x

mx mx

y m y m

x x
 

 
    
 
2

0 0 0

0 0

0, 1 0

0
1

1
1

x x x

x
y y
x
    




   
  
 


Vậy các đồ thị luôn luôn qua M



0; 1



b) Khi m 1 thì

2 1 1

1 1
x x
y x
x x
 
  
 

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

 Sự biến thiên









2 2

1 2

' 1 , ' 0 0, 2

1 1

x x

y y x x

x x



      

  .

Bảng biến thiên:

x   0 1 2 

y + 0 − − 0 +

y −1  

    3

 Đồ thị

Ta có

2 1

x x

y

x

 



 là hàm số chẵn nên đồ thị



C'



đối xứng nhau qua Oy.

Khi x 0 thì lấy phần đồ thị

 

C , sau đó lấy đối xứng phần đó qua Oy thì được đồ thị



C'



.

3. BÀI LUYỆN TẬP

Bài tập 2.1: Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị:
a) y 31 x

  b) y 5x2

Hướng dẫn giải







 



3 3

1 2

' ; '' 0

3 1 9 1 1

y y

x x x

 

  

  

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>





2 2 2

' ; '' 0,

5 5 5

x

y y x

x x x

   

  

Kết quả đồ thị lõm trên .
Bài tập 2.2: Tìm tham số để đồ thị:
a) y f x

 

x3 ax2 x b

     nhận I



1;1



làm điểm uốn.

b) y f x

 

x4 mx2 3

    có 2 điểm uốn.

Hướng dẫn giải
a) f x'

 

3x2 2ax1; ''f

 

x 6x 2a. Kết quả a 3 và b 2

b) Kết quả m 0

Bài tập 2.3: Cho hàm số: y x3 3



m 1



x2 9x m

     , với m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1.

b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1 x2 2.

Hướng dẫn
a) Khi m 1 thì yx3 6x29x 1.

b) Kết quả  3 m  1 3 và  1 3m1.

Bài tập 2.4: Cho hàm số: y 2x3 3



m 1



x2 m

    , với m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2.

b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị sao cho điểm I



3;1



nằm trên đường thẳng đi qua 2
cực trị.

Hướng dẫn
a) Khi m 2 thì y 2x3 3x2 2

  

b) Lấy y chia y'. Kết quả 4
3

m  .

Bài tập 2.5: Cho hàm số y x4 3x2 2

   .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 

C của hàm số.

b) Tìm số m dương để đường thẳng y m cắt

 

C tai hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa
độ O.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

b) Kết quả a 2.

Bài tập 2.6: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

3
2

1
1

x x

y
x

 


 b)

2 1

y x x 

Hướng dẫn
a) Chia tử cho mẫu thức để tách bậc nhất.

Kết quả TCĐ: x 1 và x 1; TCX: y x .

b) Kết quả TCX: y2x (khi x  ); TCN: y 0 (khi x   )
Bài tập 2.7: Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị:





2x m 1 x 3

y

x m

  



 qua





1;1

H

1
1

x mx

y

x

 



 tạo với 2 trục tọa độ thành tam giác có S 1
Hướng dẫn

a) Tìm TCX rồi thế tọa độ H



1;1



vào TCX. Kết quả m 2

b) Kết quả m  1 2

Bài tập 2.8: Cho hàm số: 1
1

x

y

x




 .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 

C của hàm số đã cho.

b) Tìm điểm M trên đồ thị

 

C sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng 1: 2x y  4 0 và

2:x 2y 2 0

    là nhỏ nhất.

Hướng dẫn

a) Tập xác định D \ 1

 





2
'

y
x




 .

b) Kết quả M



1 2;1 2 ,



M



1 2;1 2



Bài tập 2.9: Cho hàm số: 3
1

x
y

x




 .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 

C của hàm số đã cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến của

 

C biết khoảng cách từ tâm đối xứng của

 

C đến tiếp tuyến bằng 2 2
.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

a) Tập xác định D \

 

1 .





4
'

y
x



 .

b) Kết quả y x 2;y x 6.

Bài tập 2.10: Cho hàm số: 2 1
1

x
y

x






a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 

C của hàm số.

b) Với giá trị nào của m, đường thẳng d y:  x m cắt

 

C tại hai điểm A, B thỏa mãn AB  10.

Hướng dẫn

a) Tập xác định D \ 1

 





3
'

y
x




 .

b) Kết quả m 0 hay m 6.

Bài tập 2.11: Cho hàm số

2 4

x
y

x




a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 

C của hàm số.

b) Tìm m sao cho đường thẳng y m x



 2



4 cắt đường cong

 

C tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó.

Hướng dẫn

a) Tập xác định D \ 0

 

4 4

' x

y x

x x



   .

b) Điều kiện phương trình hồnh độ giao điểm có 2 nghiệm khác dấu.
Kết quả m 1

Bài tập 2.12: Cho hàm số





2 1 2

x m x

y

x

  





a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m 2.

b) Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x x 1 2 3.

Hướng dẫn

a) Khi m 2 thì

2 2

x x

y

x

 




</div>

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

<b>CHUYÊN ĐỀ 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ</b>

<b>1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM</b>

  













 



 

  













 



 

 

 

 

<sub></sub>

 

<sub></sub>

 

 







 



 





 

 



 



 

 

 

 

 







 

 









 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

  



  



 

 

 

<sub></sub>

<sub></sub>

 