Bài tập có đáp án chi tiết về giới hạn một bên của hàm số lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (178.37 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN

BÀI 5. GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.Giới hạn hữu hạn
a. Định nghĩa 1

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng



x b0; ,

 

x0R



. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải

là số thực L khi dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 )nếu với mọi dãy số bất kì

 

xn những số thuộc
khoảng



x b0;



mà limxn x0 ta đều có lim f x

 

n L. Khi đó ta viết

 

lim

x x  f x  hoặc L f x

 

 L khi x x0


 .

b. Định nghĩa 2

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng



a x; 0

 

, x0R



. Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên trái là

số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy bất kì

 

xn những số thuộc khoảng



a x; 0



mà limxn x0 ta đều có lim f x

 

n L Khi đó ta viết

 

lim

xx f x L hoặc f x

 

 L khi x x0



 .

Chú ý:

 

0 0 0

lim lim lim

xx f x  L xx f x xx f x  .L

b) Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x x0 bởi x x0


 hoặc x x0

 .

2. Giới hạn vô cực

a) Các định nghĩa

 

lim

xx f x ,

 

lim

xx f x   ,

 

lim

xx f x  và

 

lim

xx f x   được

phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.

b) Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay L bởi  hoặc   .
B. PHƯƠNG PHÁP

1. Bấm máy tính

- Nhập hàm số f x( ).
11

0 0 11

10
10

1
10
1
10
1
10

x CALC x

x x CALC x x





   

    

   

   

   

CÁCH ĐỌC KẾT QUẢ:
...

...

...10 0

...10
...10

KQ

KQ
KQ





 

  

   

2. Giải tự luận

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Lưu ý:





0
0

0; 0 , 0

x x

x x

x x x  

  

  

  








0
0

0 ; 0 , 0

x x

x x

x x  x 

  

  

  




C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Dang 1: Tìm giới hạn 1 bên của các hàm đa thức, phân thức, căn thức, … và hàm trên từng khoảng.
Câu 1. Tính

3
lim

5 15
x

x
x








A. 1

5 B.

1
5


C. 0 D.  

Lời giải
Chọn B.

3 3 3

3 3 1

lim lim lim

5 15 5 15 5

x x x

x x

  

  

   

 

 

Câu 2. Tính
0

2
lim
x

x x







A.. B.  . C.1. D.1.

Lời giải
Chọn D.









0 0 0

2 1

2 2 1 1

lim lim lim 1

1
1
1

x x x

x x

x x x

x x x x x

  

  



  

   

  

Câu 3. Tính
 

3 2
1

4 3
lim

x

x x



 

 

 .

A.. B. 1. C.1. D.0.

Lời giải
Chọn D.

   



 







 





3 2 2 2

1 1 1

1 3 1 3

4 3 0

lim lim lim 0.

1
1

x x x

x x x x

x x

x x x x x

  

     

   

 

   

 

Câu 4. Cho hàm số

 

4 2

5 6 1
3 1

x x x x

f x

x x x

   




  




. Tính limx 1 f x

 



A. khơng tồn tại. B. 2. C.2. D.0.
Lời giải

Chọn B.

 





1 1

lim lim 3 1 3 2

x f x x x  x    .

Câu 5. Tính
2

3 2
lim

2
x

x x

x



 

 .

A. không tồn tại. B. 1. C.1. D..
Lời giải

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>



 





 







2 2 2

2 1 2 1

lim lim lim 1 1

2 2

x x x

x x x x

x

x x

  

  

   

   

  .



 





 







2 2 2

2 1 2 1

lim lim lim 1 1

2 2

x x x

x x x x

x

x x

  

  

    

   

 



 





 



2 2

2 1 2 1

lim lim

2 2

x x

x x x x

x x

 

 

   

 

 

Câu 6. Tính 2

2
lim 4

x  x



 .

A.. B. 0. C.2. D. Không tồn tại.

Lời giải

Chọn D.

Tập xác định của hàm số là



2;2



, hàm số không xác định trên



2, ,b



 b 2 nên không tồn

tại 2

2
lim 4

x  x



 .

Câu 7. Tính





2
1

5
lim 1

2 3
x

x
x

x x








  .

A.. B.  . C.0. D.1.

Lời giải
Chọn C.

Với mọi x 1 ta có :





2 5





2 5

2 3 2 3

x x

x x x x

 

  

   



 





 





 



1 5 1 5

1 3 3

x x x x

x x x

   

 

   .

Vậy





2



 



1 1

1 5

lim 1 lim 0

2 3 3

x x

x
x

x x x

 

 

 



   

   .

Câu 8. Tính 2

1 1

lim

2 4

x  x x

 



 

 

 .

A.. B.  . C.0. D.1.

Lời giải
Chọn B.

2
2

1 1

lim

2 4

x

L

x x





 

   

 

 



 





 





 



2 2 2

1 1 2 1 1

lim lim lim

2 2 2 2 2 2 2

x x x

x x

x x x x x x x

  

  

    

     

      

 

Ta có x 2 x 2 x 2 0 xlim2



x 2



0 , limx 2



x 1



3 , limx 2



x 2



 

  

             .

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 9. Tính limx1 f x

 

với

 

3, 1
13, 1

1 7 2, 1

x khi x

f x x khi x

x khi x

  



  



  



A.13. B. 2. C.4. D.1.

Lời giải
Chọn B.

Ta có

 





1 1

lim lim( 3) 2

lim lim 1 7 2 2

x x

f x x

 

 

 

   




   




Vậy ta có limx 1 f x

 

xlim1 f x

 

2 limx1 f x

 

 

   

Câu 10. Tính





2
3

2 5 3

lim

x

x x

x



 

 

 .

A.. B.  . C.0. D.7.

Lời giải
Chọn B.







 







2 2

3 3 3

2 1 3

2 5 3 2 1

lim lim lim

3 3

x x x

x x

x x x

L

x

x x

  

     

 

  

  



 

Ta có x 3 x 3 x 3 0 xlim3



x 3



 

 

           , và





lim 2 1 7.
x   x 

Kết luận L  .

Câu 11. Tính xlim 2 f x

 

  với

 

2 3 2
5 2
3 1 2

x x

f x x

x x

  




 



 




A. không tồn tại. B.  . C.5. D.7.
Lời giải

Chọn D.

 





( 2) ( 2)

lim lim 3 1 7

x   f x x   x  .

Câu 12. Tính xlim 2 f x

 

  với

 

2 3 2
5 2
3 1 2

x x

f x x

x x

  




 



 




A. không tồn tại. B.  . C.5. D.7.
Lời giải

Chọn C.

 





2 2

lim lim 2 3 5.

x  f x x  x

   

   .

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

A. 0. B.  . C.. D.7.
Lời giải

Chọn C.





2 2

1 1

lim 2 1 lim 2 lim 2 1

x   x x x   x x x x  x x

     

           

   

 

Vì

2
lim

lim 2 1 1 2 0

x

  

 





 



     

 

  

  



Câu 14. Tính lim 22 3
5
x

x

x x

  



  .

A. 0. B.  . C.2. D.2.

Lời giải
Chọn C.

2 2

3
2

2 3 2 3

lim lim lim 2

1 5 1 5

5 1 1

x x x

x x x

x x x x

        

 

  

  

 

     

Câu 15. Tính 6
3

2
lim

3 1
x

x
x

  

 .

A. 1
3

 . B.  . C.1

3. D..

Lời giải
Chọn A.

6 3

6 3

3 3

2 2 2

1 1 1

2 1

lim lim lim lim

1 1

3 1 3 3 3 3

x x x x

x x

x x

x x

x x x

x

x x

           

   

    

   

     

   

    



 

   

   

Câu 16. Tính lim



2 4



x  x  x x

A. 2. B.  . C.0. D..

Lời giải

Chọn A.





2 2

4 4 4 4

lim 4 lim lim lim lim 2

4 1 1

1 1 1 1 1

x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

         

    

      

   

   

         

 

     

Câu 17. Cho hàm số

 

2 1

1
1

2 2 1

x

khi x

f x x

x khi x

 




 

  



. Khi đó xlim1 f x

 

 bằng:

A. 0 B. 2 C.   D. 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

 

1 1

lim lim

x x

x
f x

x

 

 



 

 .

Câu 18. Tính

3 2

1
lim

1 1
x

x x







   .

A. 1. B. 0. C. 1. D. .

Lời giải
Chọn C.

















2
3 2

1 1 1 1

1 1

lim lim lim lim 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

x x x x

x x

x x x x x

x x x x x x x

   

   



 

   

           .

Câu 19. Chọn kết quả đúng của 0 2 3
1 2
lim

x  x x



 



 

 .

A.  . B. 0. C. . D. Không tồn tại.

Lời giải
Chọn C.

2 3 3

0 0

1 2 2

lim lim

x x

x

x x x

 

 



   

 

   

   





lim 2 2 0

x  x



  

Khi x 0  x 0 x30

Vậy 0 3
2
lim
x

x
x






 



 

 

Câu 20. Cho

 

4 2 2

x x

f x x

x
x

    


 







. Tính xlim2 f x

 

  .

A. 0. B. 4. C. . D. Không tồn tại.

Lời giải
Chọn A.

 

2 2

lim lim 4 0

x   f x x    x  .

Dạng 2: Tìm tham số để hàm số có giới hạn tại 1 điểm cho trước

Câu 1. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số

 

1 0

x m khi x
f x

x khi x

 




 

 có giới hạn tại
0

x  .

A.m 1. B.a 2. C.a 2. D.m 1.

Lời giải
Chọn D.

Ta có:

 





0 0

lim lim

x  f x x  x m m;

 





0 0

lim lim 1 1

x  f x x  x   .

Hàm số có giới hạn tại x 0

 

0 0

lim lim 1

x  f x x  f x m

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Câu 2. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số

 

2 3 2

1 2

x khi x

f x

ax khi x

   




 




để tồn tại

 

lim

x f x .

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

Lời giải
Chọn A.

Ta có:

 





2 2

lim lim 1 2 1

x  f x x  ax a

 

    ;

 





2 2

lim lim 2 3 3

x  f x x  x   .

Hàm số có giới hạn tại x 2

 

2 2

lim lim 2 1 3 2

x  f x x  f x a a

 

       .

Câu 3. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số

 

3 1

2 13 1

1 7 2 1

m khi x

f x m khi x

x khi x

  



  



  



để tồn

tại limx1 f x

 

A.m 1. B.m 1. C.m 5. D. 11

m  .

Lời giải
Chọn B.

Ta có

 





 





1 1

lim lim 3 3

lim lim 1 7 2 2

x x

f x m m

f x x

 

 

 

    




   




Vậy ta có xlim1 f x

 

limx 1 f x

 

m 3 2 m 1

 

     

Câu 4. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số b để hàm số

 

3
1

3
6

3 3

x

f x x x

b x

 




  


 



có giới hạn

tại x 3.

A. 3. B.  3. C. 2 3

3 . D.

2 3
3

 .

Lời giải
ChọnD.

 

3 3

1 1

lim lim

6 3

x x

x
f x

x x

 

 



 

  .

 

lim 3

x  f x b



  .

Hàm số có giới hạn tại x 3 3 1
3

b

   3 1 2

3 3

b 

    .

Câu 5. [1D4-2] Biếthàm số

 

3 , 1

, 1

x b khi x

y f x

x a khi x

 



 

  

 có giới hạn tại x 1. Giá trị của a b
bằng

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Tại điểm x 1 ta có:

 1

 

lim
x  f x

  xlim 3 1



x b



 

   3 b f



1



.

 1

 

 1





lim lim 1

x  f x x  x a a

   

    .

Hàm số có giới hạn tạix 1 khi và chỉ khi xlim 1 f x

 

xlim 1 f x

 

   



Điều này tương đương với     3 b 1 a a b 2.
Vậy khi hàm số liên tục trên  thì a b 2.

Câu 6. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số

 

2 2

1
1

x

khi x

h x x

mx x m khi x

 

 


 

   



để hàm

số có giới hạn tại x 1.

A.m 1; m 2. B.m 1; m 2. C.m 1; m 2. D.m 1; m 2.
Lời giải

Chọn C.

Ta có

 





 





1 1 1

2 2 2

1 1

lim lim lim 1 3

lim lim 1

x x x

x x

x

h x x x

x

h x mx x m m m

  

 

     

   

 

    






      



Hàm số có giới hạn tại x 1 khi và chỉ khi xlim1 h x

 

xlim1h x

 

   


2 2 1

3 1 2 0

m

m m m m

m



        



 .

Câu 7. [1D4-2]Cho hàm số

 

2 3 2

2
2

x x

x

f x x

a x

  




 

 



. Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho có

giới hạn tại điểm x 2?

A.a 1. B.a 2. C.a 2. D.a 1.

Lời giải
Chọn D.

Ta có

 



 







2 2 2 2

1 2

3 2

lim lim lim lim 1 1

2 2

x x x x

x x

f x x

x x

   

   

 

 

    

  .

 

2
lim

x  f x a

Hàm có giới hạn tại x 2 khi và chỉ khi xlim2 f x

 

xlim2 f x

 

a 1

 

  

Câu 8. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số

 

3
1 2

x

f x x

m x







  

 



nÕu

để tồn

tại limx3 f x

 

A.m 1. B.m 4. C.m 4. D.m 1.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta có

 

3 3

lim lim

lim lim 4

1 2

x x

f x m m

x
f x

x

 

 

 

  



 

 



 


Vậy ta có xlim3 f x

 

xlim3 f x

 

m 4

 

   .

Câu 9. [1D4-3]Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số

 

33 2 2

khi 2
2

khi 2
4

x

x
x

f x

ax x

  




 



  




để tồn

tại limx2 f x

 

A.a 0. B.a 3. C.a 2. D.a 1.

Lời giải
Chọn A.

Ta có

 





 

2 2 2 3 3

2 2

3 2 2 3 1

lim lim lim

2 3 2 2 3 2 4 4

1 1

lim lim 2

4 4

x x x

x x

x
f x

x x x

f x ax a

  

 

  

 

  

  





    



  

   

  

 



Hàm số có giới hạn tại x 2

 

2 2

1 1

lim lim 2 0

4 4

x  f x x  f x a a

 

       .

Câu 10. [1D4-3] Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số

 





2 2

; 2

2 ; 2

a x x

f x

a x x

 




 




có

giới hạn tại x  2. Tổng các giá trị của S là

A.3. B.0. C.1. D.–1.

Lời giải
Chọn D.

 









2 2

lim lim 2 2 2

x x

f x a x a

 

 

    ;

 

2 2 2

2 2

lim lim 2

x x

f x a x a

 

 

  .

Để hàm số có giới hạn tạix  2 xlim 2 f x

 

xlim 2 f x

 

 

  2a2 2 2



a



  

2 2 0

a a

    1

a
a



  



Vậy S  



1; 2



Câu 11. [1D4-3]Cho hàm số

 

1 3
3 5
7 5

x

f x ax b x

x






   

 



. Xác định a, b để hàm số có giới hạn tại x 3

và x 5.

A.a 3, b 8. B.a 3, b 8. C.a 3, b 8. D.a 3, b 8.
Lời giải

Chọn A.
 Tại x 3:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Do đó hàm số có giới hạn tạix 3 khi và chỉ khixlim3 f x

 

xlim3 f x

 

3a b 1 1

 

 

    .

 Tại x 5

Ta có xlim5 f x

 

5a b



  và

 

lim 7

x  f x



 .

Do đó hàm số có giới hạn tạix 5 khi và chỉ khi xlim5 f x

 

xlim5 f x

 

5a b 7 2

 

 

    .

Từ

 

1 và

 

2 suy ra: 3 1 3

5 7 8

a b a

a b b

  

 



 

  

  .

Câu 12. [1D4-3]Cho hàm số

 

3 2

khi 1
1

khi 1
1 khi 1

x x

x
x

f x n x

mx x

 








 

  





. Biết hàm số f x

 

liên tục tại x 1. Giá trị

của m, n là

A.n 1 và m 0. B.n m 1. C.n 0 và m 1. D. n 1 và m 0.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có xlim1 f x

 

xlim1



mx1



  .m 1

 





2
3 2

1 1 1 1

lim lim lim lim 1

1 1

x x x x

x x

f x x

x x

   

   




   

  .

 

1
f n.

Để hàm số liên tục tại x 1 thì xlim1 f x

 

limx 1 f x

 

f

 

 

  . Ta chọn n 1 và m 0.

Câu 13. [1D4-4]Cho hàm số

 

2 2
2 6
4 6

x x

f x ax b x

x x

 




   

  



. Biết hàm số f x

 

có giới hạn tại x 3 và

x  . Hệ thức nào sau đây là đúng?

A.2a b 0. B.2a b 0. C.a 2b0. D.a2b0.
Lời giải

Chọn B.
+ Tại x 2:

 

lim 2 1 0

x  f x    ; xlim2 f x

 

2a b .

Hàm số có giới hạn tại x 2 khi và chỉ khi xlim2 f x

 

xlim2 f x

 

 2a b 0

 

1 .

+ Tại x 6:

 

lim 6 4 10

x  f x



   ;

 

lim 6

x  f x a b



  .

Hàm số có giới hạn tại x 6 khi và chỉ khi xlim6 f x

 

xlim6 f x

 

 6a b 10

 

2 .

Từ

 

1 và

 

2 suy ra:

2 0

6 10

a b a

a b

b



  

 



 

 

  

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Câu 14. [1D4-4] Biết hàm số

 

sin

2 2

2 cos

x x

f x a x b x

x x



 




 





    




 





có giới hạn tại

x  và

x .

Hệ thức nào sau đây là đúng?

A.3a b 0. B.3a b 0. C.a 3b0. D.a3b0.
Lời giải

Chọn C.
+ Tại

x  ta có:

 

2 2

lim lim sin 1

x x

f x x

   

   

     

   

 

;

 





2 2

lim lim sin

x x

f x a x b a b

   

   

     

   

   

Hàm số có giới hạn tại

x 

 

2 2

lim lim 1 1

x x

f x f x a b

   

   

     

   

     

+ Tại
2

x ta có:

 





2 2

lim lim 2 cos 2

x x

f x x

   

   

   

   

  

;

 





2 2

lim lim sin

x x

f x a x b a b

   

   

   

   

   

Hàm số có giới hạn tại
2

x

 

2 2

lim lim 2 2

x x

f x f x a b

   

   

   

   

    

Từ

 

1 và

 

2 suy ra:

1 2

2 3

b
a b

a b

a




  

 



 

 

  




Câu 15. [1D4-4] Cho hàm số

 

2 1 8

1 2 0

2
2

x x

x
x

f x ax b x

x

x
x

   







     




 

 


. Tìm a, b để hàm số cùng có

giới hạn tại x 2 và x 0.

A. 61

a  , 25

b  . B. 37

a  , 1

b  . C. 61

a  , 1

b  . D. 85

a  , 25

b  .

Lời giải
Chọn A.

Tại x 0 ta có

 





0 0

lim lim 1 1.

x  f x x  ax b b

     

 

3 3

0 0 0

2 1 8 2 1 2 2 8

lim lim lim

x x x

x x x x

f x

x x

  

  

       

  

Mà









0 0 0

2 1 1

2 1 2 2

lim lim lim 1.

1 1
1 1

x x x

x
x

x x x x

  

  

 
 

  

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Và





0 0 3 3

2 8 8 8

lim lim

4 2 8 8

x x

x x x x

 

 

   



     

 

 





0 3 3

1
lim

4 2 8 8

x

x x






   

1
12
 .

Nên

 

0 0

2 1 8 1 13

lim lim 1 .

12 12

x x

f x

x

 

 

  

   

Do đó hàm số có giới hạn tại x 0 khi và chỉ khi

 

0 0

13 25

lim lim 1 . 1

12 12

x  f x x  f x b b

 

     

Tại x 2:

 2

 

 2





lim lim 1 2 1

x  f x x  ax b a b

   

      .

 

   





2 2 2

lim lim lim 2 2 2 4

x x x

x

f x x

x

  

     



     

 .

Do đó hàm số có giới hạn tại x 2 khi và chỉ khi

 2

 

 2

 

lim lim 2 1 4 2

x  f x x  f x a b

   

     

Từ

 

1 và

 

2 suy ra: hàm số cùng có giới hạn tại x 0 và x 2 khi và chỉ khi
25

12
12

2 1 4 .

b
b

a b a




 



 



 

     

 



Vậy với 61
24

a  , 25

</div>

Bài tập có đáp án chi tiết về giới hạn một bên của hàm số lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện



 



 





 

 

 



 



 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



















 











 

 

 







 





 









 





 









 





 











<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>



 