Bài 1. Phương trình vô tỷ của thầy Phạm Kim Chung | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Bài 55. Giải phương trình: </b> 5 4 9  x  13 26 x







Hướng dẫn: Bình phương và trục căn thức đưa về phương trình cơ bản.

<b>Bài 56. Giải phương trình </b>









2 2 3

15x 6 3 x 2 25x 36x 2

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với



2



3

2

25x 36x 2

3 x 2 x 2 x 2

15x 6

 

     















2 3

2
2

2 x 1 10 x 1
15x 6
3 x 2 x 2

 

 


  













2

2
2

x 1 0

10 x 1
2

15x 6
3 x 2

 _ _























2 16 2

2x x x 1 3 x 2 0

5

      









2

2 3

3 x 2 x 1
5

    

<b>Bài 57. Giải phương trình </b>





2 3

x x  3x 3  x 1 0

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

3 2 3

x  3x 3x 1  x





3 ₃

x 1 x

   _ _{x 1}_{ } _x. _{Đáp số:}

2

1 5

x .

2
 _ 
_ _

 

<b>Bài 58. Giải phương trình </b>

7 5 3 ₃

7 5 3

1 1 1 1

x x x x 2 2

x x x x

 

    _    _

 _

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với



4

 

2



₃



4



2

10

x 1
x 1 x 1 2 2 x 1

x
  

    _ _

 __ _x11__x9__x7__x5_ _{4 0.}_ _{Đáp số: x 1.}_

<b>Bài 59. Giải phương trình </b>x2



2x 3



3x26x 2 6x 5  
Hướng dẫn:

Đặt t 3x26x 2 0   u2 2 2x 3 u 5x







 26x 8 0 





2
u

' 3x 1 .

   

Đáp số:

5 29

x .

2
 


<b>Bài 60. Giải phương trình </b>





4 2

2 x 4 3x 10x 6

Hướng dẫn: Phương trình đã cho được viết lại thành



2

 

2





2

 

2



4 x  2x 2  x 2x 2  2 x  2x 2 x 2x 2

2 2

2 2

x 2x 2 x 2x 2

4 2 1 0

x 2x 2 x 2x 2

       

 _ _ _ _ 

   

   

<b>Bài 61. Giải phương trình </b>

2 3 4 2

4x 6x 1 16x 4x 1

3

    

Hướng dẫn: Phương trình đã cho được viết lại thành

2 2

2 2

4x 2x 1 4x 2x 1

6 3 3

4x 2x 1 4x 2x 1

   

 

   _

<b>Bài 62. Giải phương trình </b>x2 7x 1 4 x  4x21

Hướng dẫn: Đặt y x 21.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Đáp số:

13 69

x .

10

_ _ 

 

  

 

 

<b>Bài 63. Giải phương trình </b>







 



2 2 2

x 1 x  x 2  x  x 1 x  2x 3

Hướng dẫn: Đặt y x2 2x 3 phương trình đã cho trở thành



_{x 1 x}





2 _{x 2}

 

_x2 _{x 1 y x y}





2 _x2 _{2x 3}



₀

          



_{y 2 x}





2 _{xy x 1}



_0.

      

Đáp số:

1

x ;

2


x 1  2.



5 x



4 13 5



x 27 x







0

2 9 x

 

     

 

 

  _{Đáp số: x 25.}

<b>MỨC ĐỘ KHĨ</b>

<b>Bài 64. Giải phương trình </b>

3

2 3

600 960 512

512x 960x 536x 165 125 .

x x x

       

Hướng dẫn: Phương trình đã cho viết lại thành

5 5 2

f 4x f

2 2 x

 

 

     

  _ _

  _ __vớif t

 

 t3 4t; f ' t

_{ }

0.

Đáp số:





5 5

1

x 2 3 2 3 .

2

     

<b>Bài 65. Giải phương trình </b> 3 2

1 10 3 2

x x x 10x 1
Hướng dẫn:

Phương trình đã cho tương đương với 2

1 10x 2x

3 0

x 10x 1



  

 

Đặt

x
t

10x 1


  2 2

10x 1 1

.

x t



 

Từ đó, ta có 2

1

3 2t 0
t

    ₃ ₂

2t 3t 1 0

  _{  .} _{Đáp số: x} 5 2 6.

<b>Bài 66. Giải phương trình </b>





3 2 2

x 22x 11x 6x 12x 6 2x 1 0 

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với





3 2 2

x 22x 11x 6x 12x 6 2x 1



_{x 1}



2



_x2 _{18x 9 x}

 

2 _{8x 4}



₀

     

2
2
x 1

x 18x 9 0

x 8x 4 0





 _   

 _ _{ }



x 1
x 9 6 2
x 4 2 3





 _  
 _{ }


Đáp số:
x 1
x 9 6 2
x 4 2 3





 


 _{ }


<b>Bài 67. Giải phương trình </b>4x345x 24x 2  x24x 3 26 

Hướng dẫn: Viết phương trình lại thành











 



3

2x 4  3 2x 4 2 3 x x 1 





2

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 68. Giải phương trình </b>





3 2 ₄

x  3x  8x 40 8 4 x 1  

Hướng dẫn: Xét hai hàm số f x

 

x3 3x2 8x 40; g x

 

4 4 x 1







trên



1;



. Ta chứng minh

 

 

f x   x 3 g x .

Đáp số: x 3.
<b>LỚP BÀI TOÁN CHỨA HAI CĂN THỨC</b>

<b>MỨC ĐỘ DỄ</b>

<b>Bài 69. Giải phương trình </b>

2

x
1 x 1 x 2

4

    

Hướng dẫn: Đặt a 1 x; b 1 x _{đưa về hệ.} _{Đáp số: x 0.}_

<b>Bài 70. Giải phương trình </b>3 2



 x 2



2x x 6

Hướng dẫn: Liên hợp với nghiệm nguyên x 3. Đáp số: x 3;

11 3 5
x

2



<b>Bài 71. Giải phương trình </b>





2

x 2 x 2  1 x  x 1

Hướng dẫn: Liên hợp với nghiệm x 0 và xét hàm số tìm nghiệm cịn lại x1._{Đáp số: x 0}_{ ; x}1.

<b>Bài 72. Giải phương trình </b> 3

x 1 2 1
x 2
2x 1 3

 




 

Hướng dẫn: Xét hàm số f t

 

t3t đưa về









3

f x 1 f 2x 1 .

Đáp số: x 0;

1 5

x .

2



<b>Bài 73. Giải phương trình </b> 5x 1 39 x 2x23x 1.

Hướng dẫn: Liên hợp với nghiệm nguyên x 1. Đáp số: x 1.

<b>Bài 74. Giải phương trình </b>





2 2

2x 5 2x 3 x 1 x 1.

3 3

 

  _  _ 

 

Hướng dẫn: Phương trình đã cho trở thành





1 2

2x 5 2x 3 x 1

3 3

 

   _  _

 _









2 1 2

2x 5 4x 9

27

   

. Đáp số: x 3.

<b>Bài 75. Giải phương trình </b>

2 2

2 2 ₂

1 x 5 1 x x

2 0

x 1 x 2 x _{1 x}

 _ 

     

 

 _ _ _

Hướng dẫn: Đặt

2

2

1 x x

a

x _{1 x}



 

 _{quy về phương trình bậc hai theo ẩn a.} _{Đáp số:}

2

x .

2


<b>Bài 76. Giải phương trình </b>









2

2 x 2x 1  2 x 3x 1  2 x 3

Hướng dẫn: Nhân lượng liên hợp, nghiệm x . 2

<b>Bài 77. Giải phương trình </b>













2 2

3x 2 9x 3  4x 2 1  x  x 1 0

Hướng dẫn: Xét hàm số

 





2

f t t 2 t 3 .

Đáp số:

1

x .

5


<b>Bài 78. Giải phương trình </b>

x 2

2 x 7

x 3


  

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Hướng dẫn: Đặt

x 2

t 0.

x 3


 

 _{Suy ra}

2
2

2 3t

x .

t 1



 _{Thay vào phương trình đã cho ta được}

4 3 2

t  4t  7t 4t 1 0_{ } _{Đáp số:}

1 5 5
x

2



<b>Bài 79. Giải phương trình </b>

2
2

2x 9x 17
3 x

2x 6x 16 3x 1
 

 

   

Hướng dẫn: Nhân lượng liên hợp, đưa phương trình đã cho thành x2 3x 8 2 x 3 







3x 1 0 

Đáp số:

9 41

x .

2



<b>Bài 80. Giải phương trình </b>x 1  x 1  2 x x2 2
Hướng dẫn:

Phương trình đã cho viết lại thành





1 1

x 1 x 0.

2 x 1 x 1 2

 

 _   _ 

   

  _{Phươn trình trong ngoặc, ta}
lại biến đổi về một vế là hàm đồng biến, một vế là hàm nghịch biến. Đáp số: x 0; x 1.

<b>Bài 81. Giải phương trình </b>









2 ₃

3 _{3x 2}_ _ _{x 1 3x 2 3x 6 0}_ _ _ _ _

Hướng dẫn: Đặt t33x 2

3

t 2

x ,

3


 

phương trình đã cho tương đương với

3

2 t 2 3

t 1 t t 4 0

3
  

_  _   

   t43t33t25t 12 0 _



 



2 2

t 2t 3 t t 4 0

     

t 1
t 3



  _



Đáp số: x 1;

25

x .

3


<b>Bài 82. Giải phương trình </b>

2

4x 2x 3 20 2x 11 2x 3
2x

2x 2x 3

    



 

Hướng dẫn: Đặt 2x a; 2x 3 b  đưa về phương trình









3 2

b 2 b b  5b 4 0

<b>Bài 83. Giải phương trình </b>x2 3



2 x



2x2 3 x 1 4x
Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với



_2x2 ₃



2 _{2 2 x}





_2x2 _{3 3 2x 1 4x 0}

       





2

2
2x 3 x 1 4x .

    

Đáp số: x 2 5.

<b>Bài 84. Giải phương trình </b>3 x36x2 6x 1  x24x 1

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với





3









2

3 _{x 2}_ _ _{9 2x 1}_ _ _{x 2}_ _ ₃

Đáp số: x  



3 2 2 .



<b>Bài 85. Giải phương trình </b>





2 2

2x 5 2x 3 x 1 x 1

3 3

 

  _  _ 

 

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với





1 2

2x 5 2x 3 x 1

3 3

 

   _  _

 _









2 1 ₂

2x 5 4x 9

27

   

2

104x 540x 684 0

   _ _{Đáp số: x 3.}_

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài 87. Giải phương trình </b>



4x 1



x 2 



4x 1



x 2 21 
Hướng dẫn: Phương trình đã cho viết lại thành

17 4x 1 4x 1

x 4 0

5 3

4 _{x 1} _{x 2}

2 2

 

 _ _ 

 

 _   _

 

 _{ } _{ } _ _ _

  _{Đáp số:}

17

x .

4


<b>Bài 88. Giải phương trình </b>x2  x3 x2  x2 x

Hướng dẫn: Chia hai vế cho x sử dụng bất đẳng thức đánh giá VP 1.2 

Đáp số: Phương trình vơ nghiệm.

<b>Bài 89. Giải phương trình </b>



x 3 1 x x 4 x



   2x 3

Hướng dẫn: Phương trình đã cho trở thành



x 3





1 x 1 



x



4 x 1 



0

Đáp số: x 0; x 3;

3

x .

2


<b>Bài 90. Gải phương trình </b>



x 2



x2 2x 4 



x 1



x24x 7
Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với



 







2



2







2



2



x 2 x 1 0

x 2 x 2x 4 x 1 x 4x 7

   



 

      






 







2





2

x 2 x 1 0

3 x 2 3 x 1

  



 

  




Đáp số: Phương trình vơ nghiệm.

<b>Bài 91. Giải phương trình </b>









2 2 2

x 1 x   x 1 x 1 x  x 1 2x 

Hướng dẫn: Viết phương trình thành



2 2

 

2 2



2

x_ x   x 1 x  x 1 x   x 2 _ 0

  _{Đáp số: x 0;} x 1._

<b>Bài 92. Giải phương trình </b>



 



5 _4x2 _{82x 99} ₄_{4 x 1 x 17} ₁

     

Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ a5 4x2 82x 99; b44 x 1 x 17 .





 





<b>Bài 93. Giải phương trình </b>

9 2x 4x 3 15
2
4 x 4x 1

 

 

 

Hướng dẫn: t 2 4 x   4x 1_{ đưa về phương trình theo ẩn t.}

<b>Bài 94. Giải phương trình </b>2012x x2 1 2010x x2 1 2

Hướng dẫn: Ta có 2010x x2 1 2012x x21 từ đó suy ra

2012_x _x2 ₁ 2010_x _x2 _{1 2}

     

<b>Bài 95. Giải phương trình </b>

1 1

x 1 x x 1 x x

2 2

   

     

   

   

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với





1





x 1 x 1 x 1 x 1 x x

2

        





x

x 1 x 1 x x

1 x 1 x

     

   _{Đáp số: x 0;}_

10 2 5

x .

4



<b>Bài 96. Giải phương trình </b>



 



2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

2

2 3x x 2

2x 1

2 8x
 
 



Đồ thị hàm số 2x21;

2

3x x 2
2 8x

 

 _{cắt nhau tại x 0}_{ trong}

1

; .

4

 

  

 

  _{Đáp số: x 0.}_

<b>Bài 97. Giải phương trình </b>

3 3

3

2x 10 x

x   

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

3
3
3

3 10

2 1.

x

x   

Đặt 3

1
t

x


ta đưa phương trình đã cho về









2

t 1 27t 10t 1 0.

Đáp số: x3 77 20 13.
<b>Bài 98. Giải phương trình </b> 6x2 40x 150  4x2 60x 100 2x 10  

Hướng dẫn: Đặt y 6x2 40x 150 0,  z 4x2  60x 100 0. 

Thay vào phương trình ta được hệ









2

2 2

y z 2 x 5

y z 10 x 5
  





  



  3y210yz 3z 2 _0





z

y 3z y 0

3

 

  _  _

 

Đáp số: x 15.

<b>Bài 99. Giải phương trình </b>3 x36x2 6x 1  x24x 1

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với













3 2

3 _{x 2}_ _ _{9 2x 1}_ _ _{x 2}_ _ ₃

Đáp số: x  



3 2 2 .



<b>Bài 100. Giải phương trình </b>x312x 7 2 x 7 8 x    6x2_9

Hướng dẫn:

















2 7 x 1 7 x 1

x 1 x 7x 19 0

2 x 1 8 x 3

 

     

    _{Đáp số:}1.

<b>Bài 101. Giải phương trình </b>









2

3 2 3 3

x  2x 2x 1 2x 1   2x 1 1

Hướng dẫn: Đặt y3 2x 1.

Phương trình đã cho viết dưới dạng









3 2 2 3

x  2x y 2x 1 y   1 y  2x 1 0



_{x y x}





2 _{xy y}2



₀

    

<b>Bài 102. Giải phương trình </b>3 x24 x 1 2x 3  

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

3 _x2 _{4 x} _{x 1 1 x 2}

      





3 2

2 ₃

2 2 2

3

x x 4 x 2

x 2
x 1 1

x 4 x x 4 x

   

   

 

   

Đáp số: x 2.

<b>Bài 103. Giải phương trình </b>

6 2x 6 2x 8
3
5 x 5 x

 

 

 

Hướng dẫn: Đặt a 5 x _{; b} 5 x



a, b 0



_{khi đó ta có}









2 2

8
2ab a b 4 a b ab

3
a b 10



   




 _ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Hướng dẫn: Trục căn thức, đưa về xét một vế là hàm dồng biến, một vế là hàm hằng. Đáp số: x 2.

<b>Bài 105. Giải phương trình </b>

2 1 1

24x 60x 36

5x 7 x 1

   

 

Hướng dẫn: Xét hàm số f t

 

t2 t 1. Đáp số:

3

x .

2


<b>Bài 106. Giải phương trình </b>

3 2

3 7

x 1 x 4x 4x 1

4

     

Hướng dẫn: Trục căn thức xuất hiện

2 1

x x

4

 

nhận tử. Đáp số:

1 1

x ;

2 2

  x 1 1 .
2 2
 

<b>Bài 107. Giải phương trình </b>









2

3 2 3 3

x  2x 2x 1 2x 1   2x 1 1.

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với x3 2x 1_ x3 2x 1 0._{ }

Đáp số: x1;

1 5

x .

2



<b>Bài 108. Giải phương trình </b>









3 3

3

x 2 x 1 2 x 2 3x 4

Hướng dẫn: Ta có













3
3

2 3

x 2 1 1 x 1 1 x

2

  _  _   

_

_{ }

2

_

x 1 4x 7 0.

   

Suy ra

3 3x 5

VT x 0 2.

2


  

_

_x3 ₁

_

_{3x 4 3x 4 VP.}

      

Đáp số: x1.

<b>Bài 109. Giải phương trình </b>



x 2



x 1 



4x 5



2x 3 6x 23
Hướng dẫn: Đặt t x 1_ x t_{ }2 1



t 0 .



Phương trình đã cho trở thành





3 2 2 2

t 6t  t 17 4t 1 2t  1 0











2



2
2

t 2 3t 4t 8
t t 2

0
4t 1

2t 1 t 1

  



  



   _{Đáp số: x 3.}_

<b>Bài 110. Giải phương trình </b>

6 1 1

x 3  1 x  _{ }_{2 3 1 x}_

Hướng dẫn: Đặt

1 x a

2 3 1 x b
  




   






a, b 0



2
2

a x 1

b 3 1 x 2

  


 

  



  a2 b23a 



x 3 .



Ta có: 2 2

6 1 1

a  b 3a  a b  a3 b33a2 3ab ba 2 ab2 _0 



a b a





2b23a



0

Đáp số: x 0; x 3.

<b>Bài 111. Giải phương trình </b> x 1  x



x 1



x.
Hướng dẫn: Chia hai vế cho x đưa phương trình trở thành

1 1 1 1 1 1

1

x x x

x x x

   

    

   

   

Đặt

1 1

a

x
x

1 1

b

x
x


 






 




2 2

ab a 1

1 1

a b 1

4 4

 



 

   



</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Bài 112. Giải phương trình </b>



 



2 2

3 2x  1 1 x 1 3x 8 2x  1

Hướng dẫn: Phương trình đã cho trở thành

2 2 2

3x  x 8x 2x  1 3 2x   1 3 0

Khảo sát hàm số trên với x 0. Suy ra phương trình có một nghiệm duy nhất x 0. Đáp số: x 0.
<b>Bài 113. Giải phương trình 13 x 1 9 x 1 16x</b>   

Hướng dẫn: Phương trình đã cho viết lại thành





1





9

13 x 1 9 x 1 13.2 x 1 3.2 x 1

4 4

       13 x 1 1 3 x 1 9 16x

4 4

   

 _   _ _   _

   

Đáp số:

5

x .

4


<b>Bài 114. Giải phương trình </b>





3 4

2 x x 1  15 x 4 

Hướng dẫn: Ta chứng minh VT 2 VP.

<b>Bài 115. Giải phương trình </b>

3

3 1 x x 2 1

3   9 
Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với









2 2

2

2 ₃ 3 ₃ 3

9x 9x 2 9x 9x 2

0

2 ₁ ₁

9 x x _{3 1 x} _{1 x} _x _x

9 ₃ ₃

   

 

   

 

 

        _  _ 

     

  _{Đáp số:}

1

x ;

3

 x 2.

</div>

<!--links-->