Tài liệu Các phương pháp giải phương trình vô tỷ 1 pdf

http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh
Bài viết của em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế
.nickname nguyenphihung
Những phương pháp giải PT vô tỷ
1.Phương pháp đặt ẩn phụ
Vi dụ 1:Giải phương trình : 15x- -5=
Pương trình trên tương đương với:
( -15x+5) + Ta đặt t= 0 . Ta có
+t-6=0 =2; =-3(loại)
Với t=2, ta có: =2
2 -15x+7=0
=7; = . Sau khi thử lại ta thấy =7 và = đúng là nghiệm của phương trình đã cho.
Nếu không dùng phương pháp đặt ẩn phụ thì các bạn sẽ phải bình phương một đa thức và
giải phương trình bậc 4.
Ví dụ 2:Giải phương trình + =2
Ta có: + =2
Đặt t= 0, ta sẽ viết được:
+ =2 + =2
Ở đây vì t dương nên (t+1),(t+3) cũng đều dương và ta có: (t+1)+(t+3)=2 t=-1
Như vậy phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3: - 3 + 2 -6x=0 (1)
Lời giải:ĐK:x -2 (*).Phương trình (1) được viết lại:
- 3x(x+2) + 2 =0 (2)
Đặt t= 0.Lúc này (2) trở thành:
-3x +2 =0 (x+2y)=0
Do đó x=y hoặc x=-2y.
Với x=y ta có:
x= x=2(thỏa mãn)
Với x=-2y ta có:
x=-2 x=2-2 (thỏa (*)).
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:x=2 và x=2-2

Ví dụ 4:Giải phương trình sau: x+ =6
Lời giải:
ĐK: 1 x 6 (1).Đặt y= ,y 0 (2) thì phương trình trở thành: + =5 (3)
-10 -y+20=0
( +y-4)( -y-5)=0
http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh
Bài viết của em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế
.nickname nguyenphihung
Gi
ả
i ra có:
= ; = ; = ; = ;
Lo
ạ
i và vì trái đi
ề
u ki
ệ
n (2).
Thay , vào (2) đ
ượ
c:
= ; = .
Lo
ạ
i vì v
ế
trái đi
ề
u ki

ệ
n (1).
Th
ử
l
ạ
i th
ấ
y đúng.V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t = .
2.Phương pháp phản chứng
Các bạn đã biết phương pháp phản chứng từ khi học lớp 6.Dùng phương pháp phản chứng
giải phương trình vô tỷ nhiều khi khá tốt.Chẳng hạn trong các ví dụ sau:
Chúng ta thử giải ví dụ 2 bằng phương pháp trên:
Đ
ầ
u tiên ta nh
ậ
n th
ấ
y : N
ế
u ph

ươ
ng trình có nghi
ệ
m là thì 2 đ
ể
cho - 2 0(s
ố
d
ướ
i
căn b
ậ
c 2)
Ta có:
+ > Mà > và >2 nghĩa
là:
+ >2
Đi
ề
u này tr
ở
nên vô lý, vì n
ế
u là nghi
ệ
m thì v
ế
trái c
ủ
a ph

ươ
ng trình ph
ả
i b
ằ
ng v
ế
ph
ả
i
nghĩa là b
ằ
ng 2.Do đó ph
ươ
ng trình đã cho vô nghi
ệ
m.
Ở
PP ph
ả
n ch
ứ
ng tuy r
ấ
t hay nh
ư
ng nó có m
ộ
t h
ạ

n ch
ế
là h
ầ
u nh
ư
ch
ỉ
dùng đ
ể
ch
ứ
ng minh
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m
3.Phương pháp hệ:
Ph
ươ
ng pháp h
ệ
dùng đ
ể
gi
ả
i ph
ươ
ng trình vô t

ỉ
có d
ạ
ng:
=k (1)
Ta có th
ể
th
ử
đ
ượ
c d
ễ
dàng đ
ẳ
ng th
ứ
c sau đây:
( = =( +(a-c)( - ) (2)
Nh
ư
v
ậ
y,vi
ệ
c gi
ả
i (1) t đ
ượ
c đ

ư
a đ
ế
n vi
ệ
c gi
ả
i h
ệ
:

Ta s
ẽ
tìm đ
ượ
c ax+b ho
ặ
c cx+d và do đó s
ẽ
xác đ
ị
nh đ
ượ
c x.Trong th
ự
c hành,khi đã quen thì
vi
ệ
c thành l
ậ

p (2) khá nhanh g
ọ
n.
Ví dụ 5:Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: + =4.
( + =( . + . -3,5=16.
T
ừ
đó,ta vi
ế
t đ
ượ
c:
http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh
Bài viết của em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế
.nickname nguyenphihung
. + . = .
Sau khi nhân c
ả
2 v
ế
v
ớ
i ,ta có:
+ + =
4+ = x=52-8 .
Th

ử
l
ạ
i vào ph
ươ
ng trình đã cho không có nghi
ệ
m nào khác n
ữ
a vì:
. + . =-
là ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m(t
ổ
ng c
ủ
a 2 s
ố
d
ươ
ng không th
ể
là s
ố
âm).
Ví dụ 6:Gi
ả

i ph
ươ
ng trình : + =4.
Đây là tr
ườ
ng h
ợ
p a=c,nên ta có:
=4 - =1.
C
ộ
ng v
ế
v
ớ
i v
ế
ph
ươ
ng trình này v
ớ
i ph
ươ
ng trình đã cho,ta có:
2 =5 x=
4.Phương pháp Bất Đẳng Thức
Gi
ả
i ph
ươ

ng trình có d
ạ
ng:
A=B.N
ế
u A C; B C thì pt . Nhi
ề
u khi dùng PP này các b
ạ
n s
ẽ
có m
ộ
t cách làm
hay, ng
ắ
n g
ọ
n mà h
ầ
u nh
ư
ko th
ể
s
ử
d
ụ
ng b
ằ

ng cách khác.Các b
ạ
n s
ẽ
th
ấ
y đi
ề
u đó trong m
ộ
t
s
ố
ví d
ụ
sau:
*BĐT Đại số:
Ví dụ: Gi
ả
i phuong trình
a) + = - 8x + 18 (1)
b) + = 2
Loi giải :
a) ĐK : 3 x 5 (*)
Ta có: Theo BDT quen thu
ộ
c 2( + )
( 2(x - 3 + 5 - x) = 4
Do đó VT = + 2
M

ạ
t khác ta có :
VP = - 8x + 18 = + 2 2
Dâú "=" trong phuong trình (1) đã cho x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi VT = VP = 2
Khi đó x = 4 , tho
ả
mãn điêù ki
ệ
n (*) .V
ậ
y x = 4 là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t cu
ả
phuong trình.
b) Áp d
ụ
ng BĐT Cauchy_Schwarz ta có :
( x + + x + )( + ) = 4
Dâú "=" xãy ra khi và ch
ỉ
khi = = 1
x = x = x = 1 tgx = 1 x = + k (k Z)
http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh

Bài viết của em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế
.nickname nguyenphihung
Ví dụ 7(THTT10-2005)Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:13 +9 =16x (1)
Lời giải: ĐK:x 1
Áp d
ụ
ng BĐT AM_GM ta có:
VT(1)=13.2. +3.2. 13(x-1+)+3(x+1+ )=16x
V
ậ
y:(1) x= (th
ỏ
a mãn)
Ví dụ 8(THTT-3.2005)Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:16 +5=6 (1)
Lời giải:
Vì +5>0 nên >0
Do đó x>0. Áp d
ụ
ng BDT AM_GM cho 3 s
ố
d
ươ

ng 4x,4 +1,2 ta có:
6 =3 4x+4 +1+2=4 +4x+3 (2)
T
ừ
(1)và(2) suy ra:
16 +5 4 +4x+3 (2 +2x+1) 0
(2x-1)^{2} 0 (3) (Vì 2 +2x+1>0 x)
L
ạ
i vì: 0 x nên t
ừ
(3) suy ra 2x-1=0 x= (th
ỏ
a (1))
Ví dụ 9:Gi
ả
i ph
ươ
ntg trình + = (1)
Lời giải:
V
ớ
i x>0, Áp d
ụ
ng BĐT CauChy_Schwarz cho 2 c
ặ
p
2 ; và ; ta có:
= (8+x+1)( + )= x+9
V

ậ
y (1) = : x= (th
ỏ
a mãn x 0)
Ví dụ 10:Gi
ả
i ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác sau:
cosx + cos3x =1 (1)
Lời giải:
ĐK:cosx>0, cos3x>0 (*)
V
ớ
i ĐK(*) ta có:
(1) + =1 (2)
Áp d
ụ
ng BĐT AM_GM cho 2 s
ố
d
ươ
ng cosx và 1-cosx ta có:
cosx- x=cosx(1-cosx) = .
T
ươ
ng t
ự

ta có . V
ậ
y VT(1) 1
D
ấ
u "=" x
ả
y ra nghĩ là (2) có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi:
http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh
Bài viết của em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế
.nickname nguyenphihung
(3)
Ta có: cos3x=-3cosx + 4 x
Khi cosx=thì cos3x= +4. = -1
(3) vô nghi
ệ
m t
ứ
c là (1) vô nghi
ệ
m.
Bài toán tự sáng tác.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau:

6 + = ( + )
Lời giải:
ĐK: x (*)
Áp d
ụ
ng các BDT quen thu
ộ
c (Cauchy_Schwarz ; AM_GM) liên ti
ế
p ta có:
VT= 3 + = = 2.

( + 22x - 3)= (11x + ) =VP
D
ấ
u "=" x
ả
y ra x = (th
ỏ
a (*))
* BĐT Véc tơ
Ví dụ 11(PH) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
+ =
Lời giải: G
ọ
i

=(4-x; 2 ) ||=
=(5+x;3 ) ||=
Ta có: +=(9;5 ) |+|= . Mà:|+| ||+ ||
+
D
ấ
u"=" xãy ra = x=