Giáo án phụ đạo Hình học 8

Buổi 4:
-ÔN TẬP KIẾN THỨC QUAN TRỌNG LỚP 7
I.ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
1.Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:
Nếu một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có:
- Một cạp góc so le trong bằng nhau, hoặc
- Một cặp góc đồng vị bằng nhau, hoặc
- Một cặp góc so le ngoài bằng nhau, hoặc
- Một cặp góc trong cùng phía bù nhau, hoặc
- Một cặp góc ngoài cùng phía bù nhau
thì hai đường thẳng a và b song song với nhau.
2.Tiên đề Ơclit :
a) Tiên đề:
Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với
đường thẳng đó.
b) Hệ quả:
- Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt
đường thẳng còn lại.
- Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song
với nhau.
3.Tính chất của hai đường thẳng song song:
Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra:
- Hai góc so le trong bằng nhau;
- Hai góc đồng vị bằng nhau;
- Hai góc trong cùng phía bù nhau;
- Hai góc so le ngoài bằng nhau;
- Hai góc ngoài cùng phía bù nhau.
4.Quan hệ giữa vuông góc và song song:
ba
cb
ca

//
⇒



⊥
⊥
bc
ba
ac
⊥⇒



⊥
//
II.TAM GIÁC:
1.Liên hệ giữa các góc trong tam giác:
a) Tổng các góc của tam giác:
Tổng các góc của tam giác bằng 180
0
b) Liên hệ giữa góc ngoài và góc trong:
*Định lí: Trong một tam giác, góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
Hệ quả: Trong một tam giác, góc ngoài lớn hơn góc trong không kề với nó.
2.Liên hệ giữa các cạnh trong tam giác:
*Định lí: Trong một tam giác, mỗi cạnh thì lớn hơn hiệu nhưng nhỏ hơn tổng hai
cạnh còn lại. (Bất đẳng thức tam giác)
3.Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác:
*Định lí 1: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và
ngược lại.

*Định lí 2: Hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau nhưng cạnh thứ ba
không bằng nhau thì cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và ngược lại.
4.Các đường thẳng đồng quy trong tam giác:
a) Trung tuyến:
Trong một tam giác ba đường trung tuyến đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm
của tam giác. Điểm này cách đỉnh một đoạn bằng hai lần khoảng cách từ nó đến
trung điểm của cạnh đối diện.
b) Phân giác:
+ Tính chất tia phân giác của góc:
Một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc và
ngược lại, một điểm cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên tia phân giác của
góc ấy.
+ Người ta cũng nói: Tập hợp (hoặc quỹ tích) các điểm cách đều hai cạnh của góc
là tia phân giác của góc ấy.
+ Các tia phân giác của các góc trong của tam giác:
Trong một tam giác, các phân giác trong đồng quy tại một điểm ; điểm này cách
đều ba cạnh của tam giác. Người ta gọi điểm này là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác.
c) Đường cao:
19
Trong tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trực tâm của
tam giác.
d) Trung trực:
+ Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng:
Một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút
của đoạn thẳng đó. Ngược lại, một điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì
nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
+ Người ta cũng nói: Tập hợp (hay quỹ tích) các điểm cách đều hai đầu mút của
đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
+ Các đường trung trực của một tam giác:

Trong một tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm; điểm này cách
đều ba đỉnh của tam giác. Người ta cũng gọi giao điểm của ba đường trung trực là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
5.Các loại tam giác đặc biệt:
a) Tam giác vuông:
*Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông
*Tính chất:
+ Định lí 1:
Trong một tam giác vuông thì hai góc nhọn phụ nhau.
Trong một tam giác vuông thì cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông.
+ Định lí 2:
Trong một tam giác vuông thì trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh
huyền.
Ngược lại, một tam giác có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện thì tam
giác ấy là tam giác vuông.
*Định lí Pi-ta-go:
+Thuận: Trong một tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng các
bình phương của độ dài hai cạnh góc vuông.
+ Đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương
của hai cạnh còn lại thì tam giác ấy là tam giác vuông.
b)Tam giác cân:
*Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
*Tính chất:
20
+ Định lí 1:
- Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.
-Đảo lại, một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác ấy là tam giác cân.
+Định lí 2:
-Trong một tam giác cân thì đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao và
đường trung trực thuộc cạnh đáy là các đường trùng nhau.

-Ngược lại, một tam giác mà có hai trong bốn đường (trung tuyến, phân giác,
đường cao, trung trực) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
c) Tam giác đều:
*Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau
*Tính chất:
- Trong một tam giác đều, ba góc bằng nhau (và bằng 60
0
)
-Ngược lại, một tam giác có hai góc bằng 60
0
thì tam giác đó là một tam giác đều.
-Một tam giác cân có một góc bằng 60
0
là một tam giác đều.
-Trong một tam giác đều thì trọng tâm, trực tâm, giao điểm của các đường phân
giác trong, giao điểm của các đường trung trực là những điểm trùng nhau tại một
điểm mà người ta gọi là tâm của tam giác.
6.Các trường hợp bằng nhau của tam giác:
+ Cạnh – cạnh – cạnh
+Cạnh – góc – cạnh
+ Góc – cạnh – góc
21
HÌNH HỌC 8
CHỦ ĐỀ 1:
TỨ GIÁC
I.MỤC TIÊU:
- Học sinh được củng cố các khái niệm tứ giác, hình thang, hình thang cân, hình
bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
- Biết vận dụng thành thạo tính chất của các từ giác đặc biệt.
- Biết vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thang, hình

thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày lời giải một bài tập hình, kỹ năng
phân tích bài toán hình.
II.NỘI DUNG DẠY HỌC:
Bài 1:TỨ GIÁC
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1.Định nghĩa:
-Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA , trong đó bất kỳ hai
đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đường thẳng.
-Tứ giác lồi là tứ giác luôn nừm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thaengr
chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác.
2.Chú ý:
Từ nay khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thên thì ta hiểu đó là tứ giác lồi.
3.Tính chất:
-Trong một tứ giác lồi, hai đường chéo cắt nhau tại một điểm thuộc miền trong của
tứ giác.
- Tổng bốn góc của tứ giác bằng 360
0
-Tổng các góc ngoài của tứ giác lồi bằng 360
0
B.VÍ DỤ - BÀI TẬP MẪU:
1.Sử dụng tính chất về góc của tứ giác để tính góc:
Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD có
∠
B = 120
0
;
∠
C = 60
0

;
∠
D = 90
0
.
Tính góc A và góc ngoài của tứ giác tại đỉnh A?
22
x A D
B
C
120
0
60
0
90
0
Giải:
Tổng các góc trong của tứ giác ABCD:
∠
A +
∠
B +
∠
C +
∠
D = 360
0
∠
A = 360
0

– (
∠
B +
∠
C +
∠
D)
∠
A = 360
0
– (120
0
+ 60
0
+ 90
0
) = 90
0
∠
xAB là một góc ngoài của
∠
A , ta có:
∠
xAB +
∠
A = 180
0

∠
xAB = 180

0
-
∠
A = 180
0
– 90
0
= 90
0
*Bài tập 2:
a)Tính các góc ngoài của tứ giác ở hình 1.
b)Tính tổng các góc ngoài của tứ giác ở hình 2.
(Tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài)
Giải:
a)Tổng các góc trong tứ giác ABCD:
∠
A +
∠
B +
∠
C +
∠
D = 360
0

∠
D = 360
0
– (
∠

A +
∠
B +
∠
C) =
= 360
0
– (75
0
+ 90
0
+ 120
0
) = 75
0
a +
∠
A = 180
0

⇒
a = 180
0
-
∠
A = 180
0
– 75
0
= 105

0
b +
∠
B = 180
0

⇒
b = 180
0
-
∠
B = 180
0
– 90
0
= 90
0
c +
∠
C = 180
0

⇒
c = 180
0
-
∠
C = 180
0
– 120

0
= 60
0

d +
∠
D = 180
0

⇒
d = 180
0
-
∠
D = 180
0
– 75
0
= 105
0
b) Trong tứ giác ABCD:
∠
A +
∠
B +
∠
C +
∠
D = 360
0

a + b + c + d = (180
0
-
∠
A) + (180
0
-
∠
B) + (180
0
-
∠
C) + (180
0
-
∠
D)
= 720
0
– (
∠
A +
∠
B +
∠
C +
∠
D) = 720
0

– 360
0
= 360
0
2.Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán liên hệ đén các cạnh của
một tứ giác.
*Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:
a) AB < BC + CD + AD
b) AC + BD < AB + BC + CD + AD
Giải:
a)Chứng minh:
AB < BC + CD + AD
23
Hình 1
a
A
75
0
D
d
120
0
c
CB
b
90
0
d
D
a

A b B
C
c
Hình 2
B
C
A
Trong
∆
ACD có : AC < AD + CD
Trong
∆
ABC có : AB < BC + AC
Suy ra: AB < BC + AC < BC + CD + AD
AB < BC + CD + AD
b) Chứng minh: AC + BD < AB + BC + CD + AD
Trong
∆
ACD có : AC < CD + AD
Trong
∆
ABC có: AC < AB + BC
Cộng vế theo vế: 2AC < AB + BC + CD + AD
AC <
2
ADCDBCAB
+++
(1)
Trong
∆

ABD : BD < AB + AD
Trong
∆
BCD : BD < BC + CD
Cộng vế theo vế: 2BD < AB + BC + CD + AD
BD <
2
ADCDBCAB
+++
(2)
Cộng (1) và (2) với vế theo vế:
AC + BD < AB + BC + CD + AD (đpcm)
Buổi 5:
24
D
C.BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
*Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD có AB = AD; CB = CD ;
∠
C = 60
0
;
∠
A =
100
0
.
a) Chứng minh AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
b)Tính
∠
B;

∠
D ?
Giải:
a) Chứng minh AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD:
AB = AD (gt)
⇒
A thuộc đường trung trực của BD.
Có CB = CD (gt)
⇒
C thuộc đường trực của BD
Vậy AC là đường trung trực của BD.
b)Tính
∠
B;
∠
D :
∆
ABD cân tại A (AB = AD)
⇒
∠
ABD =
∠
ADB
∆
CBD cân tại C (CB = CD)
⇒

∠
CBD =
∠

CDB
∠
B =
∠
CBD =
∠
CBD +
∠
DBA
∠
D =
∠
CDA =
∠
CDB +
∠
BDA
Suy ra
∠
B =
∠
D
Trong tứ giác ABCD, ta có :
∠
A +
∠
B +
∠
C +
∠

D = 360
0

∠
B +
∠
D = 360
0
– (
∠
A +
∠
C) = 360
0
– (100
0
+ 60
0
) = 200
0
Do đó :
∠
B =
∠
D = 100
0
*Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD, phân giác trong của góc A và góc B cắt nhau
tại E; phân giác ngoài của góc A và góc B cắt nhau tại F.
Chứng minh:
∠

AEB =
2
DC
∠+∠
và
∠
AFB =
2
BA
∠+∠

Giải:
Trong tam giác AEB có:
∠
AEB = 180
0
– (
∠
EAB +
∠
EBA)
∠
AEB = 180
0
-
2
)(360
22
0
BABA

∠+∠−
=






∠
+
∠
Trong tứ giác ABCD:
∠
C +
∠
D = 360
0
– (
∠
A +
∠
B)
25
C
D
B
A
D
C
E

B
A
F
2
)(360
2
0
BADC
∠+∠−
=
∠+∠
Suy ra:
∠
AEB =
2
DC
∠+∠
.
Tương tự, ta chứng minh được
∠
AFB =
2
BA
∠+∠
*Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD,
∠
B +
∠
D = 180
0

; CB = CD. Trên tia đối của
tia DA lấy điểm E sao cho DE = AB. Chứng minh:
a)
∆
ABC =
∆
EDC.
b)AC là phân giác của góc A.
Giải:
a)Chứng minh
∆
ABC =
∆
EDC
Ta có: BA = ED(gt)
BC = DC(gt)
∠
B +
∠
ADC = 180
0

∠
EDC +
∠
ADC + 180
0
⇒
∠
B =

∠
EDC
Suy ra:
∆
ABC =
∆
EDC
b)Chứng minh AC là phân giác của góc A:
Ta có:
∆
ABC =
∆
EDC .
Suy ra AC = EC và
∠
BAC =
∠
DEC

∆
ACE cân tại C
⇒

∠
CAE =
∠
DAE
⇒

∠

BAC =
∠
CAE
Vậy AC là phân giác của góc A.
*Bài tập 4: Cho tứ giác ABCD, AB + BD ≤ AC + CD. Chứng minh: AB < AC
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong
∆
OAB có: OA + OB > AB
Trong
∆
ODC: OC + OD > CD
Cộng vế theo vế , ta được:
OA + OC + OB + OD > AB + CD
⇒
AC + BD > AB + CD
Ta có: AC + CD ≥ AB + BD (gt)
Cộng vế theo vế:
26
C
B
A
D
E
A B
C
D
O
2AC + BD + CD > 2AB + CD + BD

Suy ra: AC > ab
*Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a)Chứng minh:
ADCDBCABODOCOBOA
ADCDBCAB
+++<+++<
+++
2
b)Khi O là điểm bất kỳ thuộc miền trong của tứ giác ABCD. Kết luận trên có
đúng không?
Giải:
a)Chứng minh:
ADCDBCABODOCOBOA
ADCDBCAB
+++<+++<
+++
2
Ta có: OA + OB + OC + OD = AC + BD
Theo bài tập 3, ta có:
AC + BD < AB + BC + CD + AD.
Trong
∆
OAB : OA + OB > AB
Trong
∆
OCD: OC + OD > CD.
suy ra: AC + BD > AB + CD
Tương tự: AC + BD > AD + BC
Suy ra: AC + BD >
2

ADCDBCAB
+++
Vậy :
ADCDBCABODOCOBOA
ADCDBCAB
+++<+++<
+++
2
.
b)Khi O là điểm bất kỳ của miền trong tứ giác:
Trong
∆
OAB : OA + OB > AB .
Trong
∆
ODC: OD + OC > DC
Suy ra: OA + OB + OC + OD > AB + CD
Tương tự: OA + OB + OC + OD > AD + BC.
Suy ra:
OA + OB + OC + OD >
2
ADCDBCAB
+++
Vậy bất đẳng thức :
OA + OB + OC + OD >
2
ADCDBCAB
+++
đúng.
Xét bất đẳng thức:

27
A
B
C
D
O
A B
C
D
O
OA + OB + OC + OD < AB + BC + CD + DA
Vẽ
∆
ABO có: AB = 2cm; AO = 10cm; OB = 11cm;
Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OD = 1cm.
Ta có: AD < OA + OD = 11cm;
Lấy điểm C sao cho BD là đường
trung trực của đoạn thẳng AC.
Khi đó: BC = AB = 2cm;
CD = AD và OC = OA = 10cm;
Trong tứ giác ABCD:
OA + OB + OC + OD = 32cm;
AB + BC + AD + CD < 2 + 2 + 11 + 11 = 26cm.
AB + BC + CD + AD < 26cm;
Suy ra: OA + OB + OC + OD = 32cm > 26cm = AB + BC + CD + DA
Vậy : OA + OB + OC + OD < AB + BC + CD + DA sai.
Buổi 7:
28
B
A

C
D
O
HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
I.HÌNH THANG:
1.Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
2.Tính chất: Trong một hình thang, hai góc kề một cạnh bên thì bù nhau.
*Nhận xét:
+ Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai
cạnh đáy bằng nhau.
+ Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và
bằng nhau.
*Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là hình thang , ta c/m nó có hai cạnh đối song
song.
3.Hình thang vuông:
*Định nghĩa: Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông.
*Chú ý: Để c/m một hình thang là hình thang vuông, ta c/m nó có một góc vuông.
II.HÌNH THANG CÂN:
1.Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Tứ giác ABCD là hình thang cân
⇔
AB//CD và
DC
∠=∠
(hoặc
)BA
∠=∠
2.Tính chất:
- Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

-Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
-Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
3.Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
- Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.
-Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
III.ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG:
1.Đường trung bình của tam giác:
+ Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song
với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
+ Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh của tam giác.
29
+ Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng
nửa cạnh ấy.
2.Đường trung bình của hình thang:
+ Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song
song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
+ Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh bên của hình thang.
+ Định lý 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng
nửa tổng hai đáy.
B.VÍ DỤ - BÀI TẬP MẪU:
1.Tính các góc của hình thang:
Bài tập 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có
∠
A -
∠
D = 20
0
;

∠
B = 2
∠
C
. Tính các góc của hình thang.
Giải:
ABCD là hình thang, AB//CD
∠
A +
∠
D = 180
0
(Hai góc kề cạnh bên bù nhau)
∠
A -
∠
D = 20
0
(gt)
Suy ra:
∠
A = 100
0
và
∠
D = 80
0
∠
B +
∠

C = 180
0
(Hai góc kề cạnh bên)
∠
B = 2
∠
C(gt)
Suy ra:
∠
C = 60
0
và
∠
B = 120
0
Bài tập 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD);
∠
A = 130
0
;
∠
C = 70
0
.Tính số
đo
∠
B,
∠
C
Giải:

ABCD là hình thang, AB//CD.
∠
A +
∠
D = 180
0

⇒
∠
D = 180
0
-
∠
A
∠
D = 180
0
– 130
0
= 50
0
∠
B +
∠
C = 180
0

⇒

∠

B = 180
0
-
∠
C
∠
B = 180
0
– 70
0
= 110
0
2.Chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang vuông:
Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD, AB = BC và AC là tia phân giác của góc A .
Chứng minh ABCD là hình thang.
Giải:
30
A
B
CD
C
A B
D
130
0
70
0
Xét
∆
ABC có : AB = BC(gt)

Suy ra
∆
ABC cân tại B.
⇒

∠
BAC =
∠
BCA
Mà AC là phân giác của góc A, nên:
∠
BAC =
∠
CAD
Suy ra:
∠
BCA =
∠
CAD
Do đó: BC //AD.
Vậy tứ giác ABCD là hình thang.
*Bài tập 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho
AM =
2
1
BC; N là trung điểm cạnh AB. Chứng minh:
a)Tam giác AMB cân.
b)Tứ giác MNAC là hình thang vuông.
Giải:
a) Chứng minh

∆
AMB cân:
Ta có: AM =
BC
2
1
(gt); M thuộc canh BC.
Suy ra M là trung điểm BC.
⇒
AM = MB = MC =
BC
2
1
Suy ra
∆
AMB cân tại M.
b)Chứng minh tứ giác MNAC là hình thang vuông:
Trong
∆
AMB có AN = NB(gt)
Suy ra: MN
⊥
AB ; AC
⊥
AB (
∆
ABC vuông tại A)
⇒
MN//AC và
∠

CAN = 90
0
Suy ra: Tứ giác MNAC là hình thang vuông.
3.Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình thang cân trong tính toán và
chứng minh:
*Bài tập 5: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD; AB < CD) , kẻ các đường cao
AE; BF của hình thang. Chứng minh DE = CF.
Giải:
Xét hai tam giác vuông AED và BFC:
∠
D =
∠
C (ABCD là hình thang cân)
AD = BC (ABCD là hình thang cân)
31
A
D
B
C
A
B
C
M
N
A B
D E F C
Suy ra:
∆
AED =
∆

BFC (cạnh huyền – góc nhọn)
Do đó : DE = CF.
*Bài tập 6: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD)
a)Chứng minh:
∠
ACD =
∠
BDC
b)Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh EA = EB.
Giải:
ABCD là hình thang cân, AB//CD
Suy ra: AD = BC.
∠
ADC =
∠
BCD
DC là cạnh chung của hai tam giác ADC và BCD.
Suy ra:
BCDADC
∆=∆
(c.g.c)
⇒
∠
ADC =
∠
BDC
b)Chứng minh EA = EB
Ta có:
∠
ACD =

∠
BDC
⇒
∆
DEC cân tại E.
Suy ra: ED = EC .
Mặt khác: DB = AC (ABCD là hình thang cân)
DB = DE + EB và AC = EC + EA
Suy ra: EB = EA .
*Bài tập 7: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD; AB > CD). CD = a và
∠
A +
∠
B =
2
1
(
∠
C +
∠
D) . Đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC.
a)Tính các góc của hình thang.
b)Chứng minh AC là phân giác của
∠
DAB.
c)Tính diện tích của hình thang.
Giải:
a) Tính các góc của hình thang:
Ta có: ABCD là hình thang cân, AB//CD
Suy ra:

∠
A =
∠
B và
∠
C =
∠
D
Mà
∠
A +
∠
D = 180
0
Mặt khác :
∠
A +
∠
B =
2
1
(
∠
C +
∠
D)
Suy ra:
∠
A =
2

1
∠
D . Thay vào ta có:
∠
A + 2
∠
A = 180
0
.
32
A B
E
D C
A B
D E F C
⇒
∠
A = 60
0
=
∠
B và
∠
D =
∠
C = 120
0
.
b)Chứng minh AC là phân giác
∠

DAB.
Xét tam giác vuông ACB:
Có
∠
B = 60
0

⇒

∠
CAB = 90
0
-
∠
A = 90
0
– 60
0
= 30
0
∠
DAC =
∠
A -
∠
CAB = 60
0
– 30
0
= 30

0
Vậy :
∠
DAC =
∠
CAB (cùng bằng 30
0
)
⇒
AC là phân giác
∠
DAB.
c)Tính diện tích hình thang:
∠
DCA =
∠
C -
∠
ACB = 120
0
– 90
0
= 30
0
Suy ra:
∆
ADC cân tại D (
∠
DAC =
∠

DCA = 30
0
)
⇒
AD = DC = a.
Ta có:
∆=∆
DEA
CFB (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒
AE = FB và DC = EF .
Suy ra: AB = DC + 2AE
Xét
∆
DEA có
∠
A = 60
0
, DE
⊥
AE và AD = a
Suy ra:
∆
DAE là nửa tam giác đều cạnh AD.

⇒
AE =
2
1
AD =

2
a
.
Vậy AB = a + 2.
2
a
= 2a.
Áp dụng định lý Pi-ta-go: AD
2
= AE
2
+ DE
2
DE
2
= AD
2
– AE
2
= a
2
-
4
3
4
22
aa
=
DE =
2

3a
S
ABCD
=
4
33
2
3
.
2
2
.
2
2
aaaa
DE
DCAB
=
+
=
+
.
4.Chứng minh một tứ giác là hình thang cân:
- Chứng minh tứ giác đó là hình thang.
- Có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau (hoặc hai đường chéo bằng nhau)
*Bài tập 8: Cho tam giác ABC cân tại A, các phân giác BD, CE . Chứng minh
BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Giải:
Xét hai tam giác ADB và AEC :
33

A
E
B C
D
AB = AC (
∆
ABC cân tại A)
BABD
∠=∠
2
1
(BD là phân giác
∠
B)
∠
ACE =
2
1
∠
C (CE là phân giác
∠
C)
∠
B =
∠
C (
∆
ABC cân tại A)
⇒
∠

ABD =
∠
ACE và
∠
A chung.
Suy ra:
AECADB
∆=∆
(c.g.c)
⇒
AD = AE
⇒
AED
∆
cân tại A.
2
180
0
A
ADEAED
∠−
=∠=∠⇒
.
Trong
∆
ABC có :
∠
B =
2
180

0
A
∠−
.
Suy ra:
∠
AED =
∠
B
⇒
ED // BC
⇒
BEDC là hình thang
Hình thang BEDC có
∠
B =
∠
C nên là hình thang cân.
ED // BC
⇒

∠
EDB =
∠
DBC (so le trong)
Mặt khác:
∠
DBC =
∠
DBE (BD là phân giác

∠
B)
⇒
∠
DBE =
∠
EDB
∆⇒
BED cân tại E.
Suy ra: BE = ED .
*Bài tập 9: Cho hình thang ABCD (AB//CD);
∠
ACD =
∠
BDC . Chứng minh
ABCD là hình thang cân.
Giải:
Gọi E là giao điểm của AC và BD.
Xét
∆
ECD có
∠
ACD =
∠
BDC (gt)
⇒
∆
EDC cân tại E.
⇒
ED = EC . (1)

Ta có: AB // CD (gt)
Suy ra:
∠
BAC =
∠
ACD (so le trong)
∠
ABD =
∠
BDC (so le trong)

⇒

∠
BAC =
∠
ABD
∆⇒
AEB cân tại E.
⇒
EB = EA (2)
Từ (1) và (2) , cộng vế theo vế : ED + EB = EC + EA
⇒
BD = AC
34
A B
E
D C