Bài tập có đáp án chi tiết về dãy số môn toán lớp 11 của thầy Nguyễn Thanh Tùng | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (123.45 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

DÃY SỐ - TƯ LIỆU BÀI GIẢNG - GV : NGUYỄN THANH TÙNG
I. Định nghĩa

Tập hợp các số tuân theo 1 quy luật nhất định tạo thành dãy số.

Định nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương *

 được gọi là 1 dãy số
vô hạn.

Mỗi số hạng của u được gọi là 1 số hạng của dãy số. u

 

1 u u1,

 

2 u2.

Ký hiệu dãy số: u n

 

un, và un gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: nếu là n hữu hạn thì gọi là dãy số hữu hạn.
II. Cách cho 1 dãy số

Cách 1. Cho dãy số theo kiểu tường minh, khai triển.
Cách 2. Cho theo công thức tổng quát

Cách 3. Cho theo kiểu hệ thức truy hồi.

Cách 4. Cho theo cách diễn đạt bằng lời cách xác định số hạng của dãy số.

VD1. Cho các dãy số sau, cho theo số hạng tổng quát và truy hồi.

1




n

n
u

n b/





1
1 .
  n

n

u

n c/

1 2 *

1 2

2,
 

 


  



 





n n n

u u

n n

u u u

1. Tìm 4 số hạng đầu tiên của dãy số.

2. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số.

Lời giải
1. Tìm 4 số hạng đầu tiên của dãy số.

n 1 2 3 4 Kết quả

1




n

n
u

n

1
2

2
3

3
4

 

1 2 3 4
: ; ; ; ; ...

2 3 4 5

n

u





1
1 .
  n

n

u

n 1

1
4

1
9

 1

 

1 1 1
: 1; ; ; ; ...

4 9 16

 

n

u

Với 1 2 *

1 2

2,
 

 


  



 





n n n

u u

n n

u u u ta có u3 u2 u1   1 1 2

4  3 2   2 1 3

u u u . Vậy

 

un :1; 1; 2; 3; ...

2. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số.

Với

1




n

n
u

n ta có 10

10 10
10 1 11

 



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Với





2
1
1 .
  n

n

u

n ta có





10 2

1 1

1 .

10 100

  

u .

Với 1 2 *

1 2

2,
 

 


  



 





n n n

u u

n n

u u u ta có

 

un :1; 1; 2; 3; 5, 8; 13; 21; 34; 55...Vậy u10 55.

VD2. Cho dãy số sau dưới dạng truy hồi 1 *
1

2





 







n n

u

n

u u . Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Lời giải
Ta có: 1

1 2 2
u

2
2 2 12.2 4 2 

u u

3
32 2 2.4 8 2 

u u

4
4 2 32.8 16 2 

u u

5
5 2 4 2.16 32 2 

u u

…
2
 n

n

u

III. Dãy số tăng và dãy số giảm

 

un được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un un1.

 

un được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un un1.

Phương pháp làm bài tập.

Xét hiệu số A u n1 un

Nếu A0 thì dãy số tăng.
Nếu A0 thì dãy số giảm.

Nếu dãy số dương thì xét thương số  n1

n

u
B

u

Nếu B1 thì dãy số tăng.
Nếu B1 thì dãy số giảm.

VD3. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau: a/ n 1

n
u

n


 b/ 1

2
 

n n

u n

Lời giải

a/ n 1

n
u

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Xét hiệu số







 











2
1

1 1 1 2 1 1

1 1 1



      

      

  

n n

n n n n n

A u u

n n n n n n

Vì A u n1 un  0 un1un nên dãy số giảm.

b/ 1

2
 

n n

u n

Vì 1 0, *

     

n n

u n n nên xét thương số 1

 n

n

u
B

u





1 1





1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 1 1 2 1

1 1 2 2 2 2 1

1 : :

2 2 2 2 2 2 2 1 1

    

        

   

         

  

     

n n n n n

n n n n n n

n n n n

n n

Ta thấy 2 1 1, * 2 1 2 1 1 2 1 1 1, *
          

n n n n n n n n

suy ra 1 1
 n 

n

u
B

u nên dãy số tăng.

IV. Dãy số bị chặn

+) Cho dãy số

 

un được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại 1 số M sao cho mọi

*:
 n 

n u M.

+) Cho dãy số

 

un được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại 1 số m sao cho mọi

*:
 n 

n u m.

+) Cho dãy số

 

un được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới,

nghĩa là tồn tại số M và m sao cho mọi *:

  n 

n m u M .

PHẦN 1. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 1: Cho các dãy số sau.





1
2

n

u

n n


 2/

2 1
2 1

n

n n

u  



3/ 2

n

n
u

n


 4/

2 2

sin cos

4 3

n

n n

u    

1. Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên ?
2. Xác định số hạng thứ 10 trong dãy số trên ?
Câu 2: Cho các dãy số sau:

1/ 1

1
3

n n

u
u  u





 

 2/

1
1

3
4

n n

u

u  u








Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số, từ đó tìm số hạng tổng quát của dãy số
Câu 3: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau

1/ 1

n

n
u

n



 2/ n 4n

n

u  3/un  n 1 n

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a/ 2 2 1

n

u  n  b/





1
2

n

u

n n


 c/un sinncosn
HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho các dãy số sau.





1
2

n

u

n n


 2/

2 1
2 1

n

n n

u  



3/ 2

n

n
u

n


 4/

2 2

sin cos

4 3

n

n n

u    

1. Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên ?
2. Xác định số hạng thứ 10 trong dãy số trên ?

Lời giải:

1.Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên ?

1/ 1 1, 2 1, 3 1 , 4 1

3 8 15 24

u  u  u  u  .

2/ 1 2 3 4

1 3 7 15

, , ,

3 5 9 17

u  u  u  u  .

3/ 1 2 3 4

1 2 3 4

, , ,

2 5 10 17

u  u  u  u  .

4/ 1 0, 2 1, 3 3, 4 1

2 2 2

u  u  u  u  .

2. Xác định số hạng thứ 10 trong dãy số trên ?

1/ 10 1
120

u  . 2/ 10

10
101

u  . 3/ 10 1023

1025

u  . 4/ 10 1

2
u  .

Câu 2: Cho các dãy số sau.

1/ 1
1

1
3

n n

u
u  u





 

 2/

1
1

3
4

n n

u

u  u








Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số, từ đó tìm số hạng tổng qt của dãy số

Lời giải:

1/ Ta thấy

2
3
4

1 3.1 4
2 3.2 4

3 4
5 3.3 4

8 3.4 4

n

u
u

u n

u
u

   

   

  


   


   

2/ Ta thấy

0
1

2 1

2
3

3
4

3 3.4
12 3.4

3.4
48 3.4

192 3.4

n
n

u

u
u

u




 



  

 



  



  

Câu 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau

1/ 1

n

n
u

n



 2/ n 4n

n

u  3/un  n 1 n

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1/ Ta xét



 



1 2

2 1 2 1

n n

A u u

n n n n





      

    dãy số tăng.

2/ Ta xét

1 4 1 1 3

1 1 . 1 1 0 1

4 4 4

n
n

u n n n

B B

u n n n



  

            dãy số giảm.

3/ Ta xét



 



1 2 1 1 2 0

n n

A u   u  n  n  n  n  n  n  dãy số tăng.

Câu 4: Xét tính bị chặn của các dãy số sau

a/ 2 2 1

n

u  n  b/





1
2

n

u

n n


 c/un sinncosn

Lời giải:

a/ Nhận thấy, vì n * 2n2 2.12 2 2n2 1 1

         do đóu  n 1 dãy số bị chặn dưới

bởi 1 .

b/ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

+ Dễ thấy un 0,  n *.



2



3, * 1

n

n n   n   u  .

1
0

n

u
   .

c/Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới vì sin cos 2 sin 2 2

4 n

n n n   u 

  .

*
2 un 2, n
      

PHẦN 2. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. [1D3-2.2-2] Cho dãy số

 

u với n





1 2
1 n cos

n

u

n



  . Khi đó u12 bằng

A. 1

2. B.

2 . C.

1
2

 . D. 3

2
 .

Lời giải
Chọn D.

Ta có 12





12 1cos2 3
12 2

u  

  

Câu 2. [1D3-2.5-2] Dãy số 1
1

n

u
n


 là dãy số có tính chất?

A. Tăng. B. Giảm.

C. Không tăng không giảm. D. Tất cả đều sai.
Lời giải

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ta có



 



1 1 1 1 1

1 1 1 2 1 1 2

n n

u u

n n n n n n





      

      

Suy ra dãy số

 

u giảm.n

Câu 3. [1D3-2.3-2] Cho dãy số 2
2

n

n
u

n


 . Số
9

41 là số hạng thứ bao nhiêu.

A. 10 . B. 9 . C. 8 . D. 11.

Lời giải
Chọn D.

Ta có 2 2

9 2 9

9 82 9 0 1

41 1 41

n

n
n

u n n

n n





       



 


Vì *

9
n  n .

Câu 4. [1D3-2.4-2] Cho dãy số 1
1

1
1

n n

u
u  u





 

 . Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
A. un  1 n. B. un  1 n. C.





2
1 1 n

n

u    . D. un n.

Lời giải
Chọn .

Ta có u 1 1, u2 2,u3 3,… nên un n.

Câu 5. [1D3-2.4-2] Trong các dãy số sau, dãy số nào thỏa mãn u 0 1, u 1 2, un 3un1 2un2, n 
.

A. 1; 2; 4;8;16;36;.... B. 1; 2;8;16; 24;54;.... C. 2n 1

n

u   . D. 2 ;n *

n

u  n  .
Lời giải

Chọn D.

Ta có u 0 1, u 1 2, u34, u4 8, u 5 32 nên loại đáp án A, B, C

Câu 6. [1D3-2.4-2] Cho dãy số 1
1

n n

u

u  u n






 


. Số hạng tổng quát của dãy số trên là?

A.





n

n n

u   . B. 5





n

n n

u    .

C. 5





n

n n

u    . D. 5



 



n

n n

u     .

Lời giải
Chọn B.

Ta có u15,u2   5 2 7
Loại đáp án A vì u 2 1.
Loại đáp án C vì u 2 8.
Loại đáp án D vì u 2 11.

Câu 7. [1D3-2.4-2] Tính tổng S n

 

 1 2 3 4 ...   



2n1



 2n



2n1



là

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Chọn A.

Ta có tổng S        3 1 2 3 4 5 6 7 4
Loại đáp án B vì S

 

3 3.

Loại đáp án C vì S

 

3 6.

Loại đáp án D vì S

 

3 3.

Câu 8. [1D3-2.4-1] Cho tổng Sn    1 2 3 ...n. Khi đó S3 là bao nhiêu?

A. 3 . B. 6 . C. 1. D. 9 .

Lời giải
Chọn B.

Ta có S    3 1 2 3 6.

Câu 9. [1D3-2.5-2] Dãy số 3 1
3 1

n

n
u

n



 là dãy số bị chặn trên bởi?

A. 1

2. B.

3. C. 1. D. Tất cả đều sai.
Lời giải

Chọn .

Ta có 3 1 1
3 1

n
n




 nên dãy số bị chẵn trên bởi 1.

Câu 10. [1D3-2.3-2] Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi 1
1

1
2

n n

u
u  u






 


. Hỏi số 33 là số hạng

thứ mấy?

A. u15. B. u17. C. u14. D. u16

Lời giải
Chọn B.

Ta có u11,u2   3 1 1.2,u3   5 1



3 1 .2



, u   4 7 1



4 1 .2



Dự đoán un  1



n1 .2 2



 n1

Dùng phương pháp quy nạp chứng minh đẳng thức đúng.

</div>

Bài tập có đáp án chi tiết về dãy số môn toán lớp 11 của thầy Nguyễn Thanh Tùng | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

<sub> </sub>

<sub> </sub>

 





 





 

 









 

 

 







 



















 

 

 















 





 











 





<sub></sub>

<sub></sub>



 



 



















 



 









 

 

 



