Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về hai mặt phẳng song song môn toán lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.2 MB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

06- HAI MẶT PHẲNG SONG SONG (P2)

Bài 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi , , , M N P Q là trung điểm của
, ,

BC AB SB và AD . Chứng minh rằng :



MNP





SAC



b) PQ //



SCD



c) Gọi I là giao điểm của AM và BD ; J là điểm thuộc SA sao cho AJ 2JS. Chứng minh

// ( )

IJ SBC .

d) Gọi K là điểm thuộc đoạn AC . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng



SKM



và



MNC



Lời giải

a) Ta có PN là đường trung bình SAB

Suy ra PN // SA .Tương tự MP // SC ; Suy ra



MNP





SAC



(hai mặt phẳng có cặp cạnh

song song cắt nhau)

b) Gọi R là trung điểm của SC

Ta có

//= //=

PR AD  PR QD

Suy ra PRDQ là hình bình hành.

Suy ra PQ // DR ; suy ra PQ //



SCD



c) Theo định lý Talet ta có:

1
2

MI BM

IA AD 

Mà

1
2

SJ MI SJ

JA  IA JA

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

d) Trong



ABCD



gọi NC cắt KM tại F .

Ta có M F, nằm trong hai mặt phẳng



SKM



và



MNC



Nên MF là giao tuyến của hai mặt phẳng



SKM



và



MNC



Bài 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi , , , , I J G P Q là trung điểm của

, , , ,

DC AB SB BG BI . Chứng minh rằng :



IJG





SAD



b) PQ //



SAD



c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng



SAC



và



IJG



d) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng



ACG



và



SAD



Lời giải

a) Ta có IJ là đường trung bình hbh ABCD
Suy ra IJ // AD (1)

JG là đường trung bình tam giác SAB

Suy ra JG // SA (2)

(1), (2) suy ra



IJG





SAD



b) Gọi K là trung điểm SA

Thì KG là trung bình tam giác SAB

Suy ra

1
//=

KG AB

mà

1
//=

ID AB

Suy ra IGKD là hình bình hành, suy ra IG // KD suy ra IG //



SAD



(3)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

c) Gọi O là giao của IJ và AC . Ta có SA JG // suy ra giao tuyến hai mặt phẳng là đường

thẳng qua // O SA JG //

d) Gọi CG cắt KD tại M thì ta có ngay MA là giao tuyến của



ACG



và



SAD



Bài 3. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C . Gọi I. ' ' ' và 'I là trung điểm của BC và ' 'B C
a) Chứng minh rằng :AI // ' 'A I

b) Tìm giao điểm của AI và



AB C' '



c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng



AB C' '



và



BA C' '



Lời giải

a) Ta có 'II là đường trung bình của hbh BCC B' '

Suy ra ' //= II BB , mà ' BB' //= AA'

suy ra ' //= II AA'
Suy ra ' 'II A A là hình bình hành, suy ra AI // ' 'A I

b) A là giao điểm AI và





' '

AB C

c) Gọi K là giao điểm của AB' và 'A B

Thì K nằm trong



AB C' '



và



BA C' '



Suy ra giao tuyến của



AB C' '



và



BA C' '



là 'C K

Bài 4. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C . Gọi H. ' ' ' là trung điểm của ' 'A B

a) Chứng minh rằng :CB' //



AHC'



b) Tìm giao điểm của AC' và



BCH



c) Mặt phẳng

 

 đi qua trung điểm của CC' và song song với AH CB . Xác định thiết , '

diện của

 

 và hình lăng trụ đã cho.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) Gọi H là trung điểm AB

Trong



ABC



dựng hbh AGCI , ta có CG // ' , // C H AI CG

Suy ra AI // 'C H , suy ra I



HAC'



Ta lại có ' //= B H AG //= CI (t/c hbh), suy ra HB CI là hình bình hành'

Suy ra CB' // IH , suy ra CB' //



AHC'



b) Gọi AI cắt BC tại K thì HK là giao tuyến của



HBC



và



AHC I'



Gọi KH cắt AC' tại O , ta được O là giao điểm của AC' và



BCH



c) Gọi M là trung điểm CC'

Dựng MQ // IC'



Q IC



thì MQ // AH

Dựng MN // 'B C thì ta được

  

  MNQ



Dựng QP // MN P A B



 ' '



Suy ra

 

 giao với



A B C' ' '



PN
Gọi T là giao của PN và ' 'A C

MT cắt AC tại D suy ra MD là giao tuyến của

 

 với



ACC A' '



D là trung điểm của AC suy ra , , Q D G thẳng hàng

Suy ra

 

 giao với



ABC



theo giao tuyến DG , nên thiết diện là hình MNPGD

Bài 5. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi , M N là trung điểm của SC AD . ,
Chứng minh rằng :



OMN





SBC



b) Tìm giao điểm I của ON và



SAB



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Lời giải

a) Do O và M lần lượt là trung điểm của AC và SA nên OM // SC

Mặt khác O và N lần lượt là trung điểm của BD và CD nên ON // BC

Do vậy



OMN





SBC



b) Gọi I ON AB khi đó I là giao điểm của ON và



SAB



c) Dễ thấy , G H lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SCD

Do đó

// // // ( )

SG SH

GH IN AD GH SAD

SI SN   

d) Do O và J lần lượt là trung điểm của AC và CD nên OJ // BC

Mặt khác O và M lần lượt là trung điểm của AC và SA nên OM // SC

Do vậy



OMJ





SCD



 OE // (SCD)

Bài 6. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi , , M N P là trung điểm của

, ,

BC CD SC .

a) Chứng minh rằng :



MNP





SBD



b) Tìm giao tuyến



SAB



và



SCD



c) Tìm giao tuyến



MNP



và



SAD



. Suy ra giao điểm của SA và



MNP



d) Gọi I AP SO J , AM SO . Chứng minh rằng IJ //



MNP



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a) Do N và M lần lượt là trung điểm của CD và BC nên MN // BD

Mặt khác P và N lần lượt là trung điểm của SC và CD nên NP // BC

Do vậy



MNP





SBD



b) Giao tuyến



SAB



và



SCD



là đường thẳng qua S và song song với AB và CD

c) Gọi E MN AD F; KPAS (với K là trung điểm của MN)

Khi đó giao tuyến



MNP



và



SAD



là EF

Dễ thấy , I J lần lượt là trọng tâm của tam giác SAC và SBC do đó:





// //

AI AJ

IJ MP IJ MNP

AP AM    .

Bài 7. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi , , I J K là trung điểm của
, ,

SA SB BC

a) Chứng minh rằng :IJ //



SCD

 

, IJK





SCD



b) Chứng minh rằng :



IJK



// SD.

c) Tìm giao điểm AD và



IJK



d) Xác định thiết diện hình chóp và



IJK



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

a) Do IJ là đường trung bình tam giác SAB nên IJ // AB . Mà AB // CD (t/c hbh)

Suy ra IJ // CD . suy ra IJ //



SCD



(1)

Do JK là đường trung bình tam giác SBC

Nên // IJ SC . Suy ra JK //



SCD



(2)

(1), (2) suy ra



IJK





SCD



b) Gọi L là trung điểm AD

Thì ta có là LK đường trung bình hình bình hành ABCD

Suy ra LK // AB // IJ

Suy ra L



IJK



Mà IL là đường trung bình tam giác SAD nên IL // SD

Suy ra SD //



IJKL



hay là



IJK



// SD

c) Theo câu b ta có L là giao điểm của AD với



IJK



d) Thiết diện hình chóp cắt bởi



IJK



chính là hình thang



IJKL



Bài 8. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang ( AB là đáy lớn) . Gọi M N, là trung điểm của
, ;

BC SB P AD sao cho 2PD PA

a) Chứng minh rằng :MN //



SCD



b) Tìm giao điểm SA và



MNP



c) Tìm giao điểm SO và



MNP



( với OACBD).

d) Gọi G là trọng tâm SAB . Chứng minh rằng GP //



SBD



.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

a) Ta có MN là đường trung bình tam giác SCB

Suy ra MN // SC , nên MN //



SCD



b) Trong



ABCD



gọi PM cắt AC tại Q

Trong



SAC



dựng QK // AC K SA







Suy ra QK // AC // MN

Mà Q PM nên KQ



MNP



Nên QK là giao tuyến của



SAC



và



MNP



Nên K là giao điểm SA và



MNP



c) Trong



SAC



, gọi KQ cắt SO tại E thì E là giao điểm của SO và



MNP



d) Ta có 2

AP AG

PD GN  . Suy ra PG // DN (Talet đảo). Mà DN 



SCD



nên GP //



SBD



Bài 9. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi , , , Q E F I là trung điểm của

, , ,

BC AD SD SB .

a) Chứng minh rằng :FO //



SBC



b) Chứng minh rằng :AI //



QEF



c) Tìm giao điểm J của SC và



QEF



. Chứng minh rằng :



IJE



// ABCD .

d) Tìm thiết diện hình chóp và



IJF



. Thiết diện là hình gì ?

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

a) Ta có OF là trung bình tam giác ADB nên OF song song với SB , mà SB



SBC



nên





FO SBC

b) Do EF

là trung bình tam giác SAD nên EF // , SA EQ // AB, suy ra









SAB QEF

Gọi J là trung điểm của SC , hơn nữa IJ là trung bình tam giác SBC nên IJ //= EA , suy

ra AEJI là hình bình hành nên AI // EJ

c) Dễ thấy FI và IJ tương ứng song song với DC và BC nên



IJE



// ABCD

d) Gọi H là trung điểm của J thì FH và IH song song với mặt ABCD , do đó thiết diện 

cần tìm là tứ giác HFJI là hình bình hành song song với ABCD

Bài 10. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi , M N là trung điểm của
,

SB SC ; lấy điểm P SA .

a) Tìm giao tuyến



SAB



và



SCD



b) Tìm giao điểm SD và



MNP



c) Tìm thiết diện hình chóp và



MNP



. Thiết diện là hình gì ?

d) Gọi JMN . Chứng minh rằng :OJ //



SAD



.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

a) Do AB // CD nên giao tuyến là đường thẳng d đi qua S và song song với mặt phẳng đáy ABCD

b) Trong mặt phẳng



SAB



, kéo dài PM cắt AB tại Q , trong mặt phẳng



PMNQ



, kéo dài QN

cắt SD tại R , giao điểm của SD và



MNP



là R

</div>