Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp nguyên hàm từng phần | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (166.49 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG III

Dạng 4. Phương pháp nguyên hàm từng phần
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Định lí:

Nếu hai hàm số u u x

 

và v v x

 

có đạo hàm liên tục trên K thì

   

u x v x dx u x v x  u x v x dx



. Viết gọn:



udv uv 



vdu

2. Cách đặt:



p x

  

ln ax b dx



 uln



ax b



 









 

sin

. cos d

ax b

p x ax b x u p x
e 






  







3. Chú ý: Nhất lốc, nhì đa.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ:

Ví dụ 1. Tính



xlnxdx.

A.

2 2

1 1

2x x 4x C. B.

2 2

1 1

2x x 2x C. C.

3 2

1 1

2 x  4x C.

D.

1 1

2x x 2x C .

Lời giải

Đặt

dx
du

u x x

dv xdx x

v






 



 



  



 . Do đó

2 2 2

1 1 1 1

ln d ln d ln

2 2 2 4

x x x x x x x x x x C



Vậy chọn đáp án A

Ví dụ 2. Tính





x1



e dxx .

A.



x1



exexC. B. xex exC. C. xexC. D.



x 2



exC.

Lời giải

Đặt

x x

u x du dx

dv e dx v e

  

 



 

 

  .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ví dụ 3. Tính



xsin 2xdx.

A.

1 1

cos 2 sin 2

2x x 4 x C

  

. B. xcos 2xsin 2x C .

C.

1 1

cos 2 sin 2

2x x 4 x C

  

. D.

1 1

cos 2 sin 2

2x x 2 x C

  

Lời giải

Đặt

1
sin 2 cos 2

du dx
u x

dv xdx v x





 



 

 

 

 .

Do đó

1 1 1 1

sin 2 cos 2 cos 2 d cos 2 sin 2

2 2 2 4

x xdx x x x x x x x C



Vậy chọn đáp án C

Ví dụ 4. Tính



cos xdx

A. 2 xsin x 2cos x C . B. 2 xsin x2cos x C .

C. 2 xsin x2cos x C . D. 2 xsin x 2cos x C .
Lời giải

Đặt t x  t2  x 2tdt dx . Ta được



cos xdx



2 cost tdt.

Đặt

2 2

cos sin

u t du dt

dv tdt v t

 

 



 

 

  .

Do đó



2 cost tdt2 sint t 2 sin



tdt 2 sint t2 cost C 2 xsin x2 cos x C

Vậy chọn đáp án. B.

Ví dụ 5. Tính I 





1 sin xsin2xsin3x...



dx

A.

1
tan

cos

I x C

x

  

. B.

tan

cos

I x C

x

  

C. I  



1 sinx



tanx cosx C . D. I  



1 sinx



tanxcosx C .

Lời giải

Vì sinx 1 nên 2

1 1 sin

1 sin cos

x

I dx dx

x x



 





Đặt 2

1 sin

cos
1

tan
cos

u x

du xdx

v x

dv dx

x

 









 



 



 . Do đó



1 sin



tan sin



1 sin



tan cos

I   x x



xdx  x x x C

Vậy chọn đáp án D.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Câu 1. [2D3-1] Cơng thức tính ngun hàm từng phần là:

A.



udv uv 



vdu. B.



udv uv 



vdu.C.



udu uv 



vdv. D.



udu uv 



vdv.

Câu 2. [2D3-1] Khi tính



xlog2xdx bằng phương pháp ngun hàm từng phần

thì cách đặt nào sau đây là hợp lý?

A.

log

u x

dv dx







 . B. log2

u x

dv xdx







 .

C. log2

du dx
v x x







 . D. log2

du dx

v x







 .

Câu 3. [2D3-1] Khi tính



sin .x e dxx bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
thì cách đặt nào sau đây là đúng nhất?

A.

sin

x

u x

u e







 . B. usinx.

C. u e x. D. usin .x ex.

Câu 4. [2D3-1] Thí sinh Nguyễn Văn Mít thực hiện tính



ln 2x 1 dx







như sau:

(I) Đặt





ln 2 1 2 1

1
2

du dx

u x x

dv dx v x





 



  



 




   




(II)









2 1

ln 2 1 .ln 2 1

x

x dx  x  dx



(II)









2 1

ln 2 1 .ln 2 1

x

x dx  x  x C



Theo các bạn, bài giải trên đúng hay sai?. Nếu sai thì sai từ bước nảo?
A. Đúng. B. Sai ở (I). C. Sai ở (II). D. Sai ở (III).

Câu 5. [2D3-2] Tính



ln xdx.

A. x



lnx1



C. B. I xlnx x C. C.

ln
4

x x

I   x C

.D. xlnx C .

Câu 6. [2D3-2] Tính



xcos dx x.

A. xsinxcosx C . B. xsinx cosx C .C. xsinxsinx C . D. xsinx sinx C .

Câu 7. [2D3-2] Tính





x1 e d



x x. Kết quả nào sau đây không đúng?

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

C.



x1





ex1



 ex x C . D.



x1



ex exC.

Câu 8. [2D3-3]. Tìm nguyên hàm của hàm số ( )

( )

ln ln
.

x

f x

x

A.

( ) ( )

ln ln

d ln .ln ln .

x

x x x C

x = +

ò

. B. ln ln( x)dx ln .ln lnx ( x) lnx C.

x = + +

ò

.

C.

( )

ln ln

d ln .ln ln ln .

x

x x x x C

x = - +

ò

. D. ln ln( x)dx ln ln( x) lnx C.

x = + +

ị

Lời giải.

Đặt

d
ln d x
t x t

x

= Þ =

. Suy ra

( )

ln ln

d ln d

x

x t t

x =

ò

ị

.

Đặt

d
ln d
d d

t

u t u

t
v t v t

ìïï

ì = =

ù ù

ù ị

ớ ớ

ù = ù
ùợ ù =ùợ

Khi ú

ò

ln dt t=t tln -

ò

dt=t t t Cln - + =ln .ln lnx ( x)- lnx C+ . Chọn C.

Câu 9. [2D3-3] Tìm I 





3x2 x1



e dxx

A. I 



3x2 7x8



exC. B. I 



3x2 7x e



xC.

C. I 



3x2 7x8



exC. D. I 



3x2  7x3



exC.
Lời giải

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Đặt u3x2 x1 và dv e dx x ta có du



6x1



dx và v e x. Do đó:



3 2 1



x



3 2 1



x



6 1



x

I 



x  x e dx x  x e 



x e dx

Đặt u1 6x1 và 1

x

dv e dx ta có du1 6dx và v1 ex. Do đó:



6x 1



e dxx



6x 1



ex 6 e dxx



6x 1



ex 6ex C

       



.

Từ đó suy ra:



3 2 1



x



3 2 1



x



6 7



x



3 2 7 8



x

I 



x  x e dx x  x e  x e C  x  x e C

Vậy chọn đáp án. A.

Câu 10. [2D3-4] Tìm 





 2 sin



2 .

dx

I x x

cos x

A.   2  

1 2

tan

cos

I x x C

x

cos x . B.    

2
tan ln

cos

I x x cosx C

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

C.    
2
tan ln

cos

I x x cosx C

x . D.   2  

1 2

tan

cos

I x x C

x
cos x

Lời giải

Ta có



2sin



2 2 2sin . 2 .

dx dx dx

x x x x

cos x cos x cos x

  



+ Xét 1 cos2 .

dx

I x

x





Đặt ; cos2 ,

dx
u x dv

x

 

ta có du dx v ; tan .x

sin
tan tan tan x .

I x x xdx x x dx

cosx

 



 



Đặt t cosx  dt sinxdx.

Ta có
sin

ln ln .

x dt

dx t C cosx C

cosx  t    



Vậy I1 xtanxln cosx C 1.

+ Xét 2 2

2sin .

I x dx

cos x





Đặt z cosx  dzsinxdx.

2 2 2

1 2 2

2 C C .

I dz

z z cosx

 



   

Từ đó





2 1 2

2sin tan ln .

cos

dx

I x x I I x x cosx C

cos x x





      

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Câu 11. Nguyên hàm I 



xln



x1



dx bằng

A.





2 1 2

ln 1

2 4 2

x x x

x C



   

. B.





2 1 2 2

ln 1

2 4

x x x

x C

 

  

C.





2 1 2

ln 1

2 4

x x

x x C



   

. D.





2 2

ln 1

2 4 2

x x x

x   C

Câu 12. Gọi F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

 x ln



x1



. Biết

 

0 1

F  , vậy F x

 

bằng:

A.



 



2 2

1 ln 1 1
2

x x



   

. B.





2 2

ln 1 1
2

x x
x x

  
.

C.



 



1 ln 1 1
2

x x



   

. D.









1 ln 1 1

2
x x
x x

   
.

Câu 13. Nguyên hàm của hàm số





ln x 2

y
x


bằng:
A.



 



ln 2 ln 2

x x x

C

x
 
 
. B.



 



ln 2 ln 2

x x x

C
x x
 
 
.
C.



 



ln 2 ln 2

2 2

x x x

C
x
 
 

. D.





ln ln 2

2
x x
C
x

 
.

Câu 14. Giả sử F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

1
ln

f x x x

x

 

  

  . Biết

 

1 0

F 

. Vậy F x

 

bằng:

A.

2 2 ln2 ln2 1

4 2 4

x  x x x

 

. B.

2 2 ln2 ln2 1

4 2 4

x x x x

 

C.

2 2 ln2 ln2 1

4 2 4

x x x x

 

 

. D.

2 2 ln2 ln2 1

4 2 4

x x x x

 

 

Câu 15. Hàm số f x

 

xex có các nguyên hàm là:

A. F x

 

xexexC. B. F x

 

x e2 xC.

C.

 

1
1

x

F x x e C

x

 

 

 . D. F x

 

e xx



1



C.

Câu 16. Hàm số f x

  

 x1 sin



x có các nguyên hàm là:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Câu 17. Hàm số f x

 

lnx có các nguyên hàm là:

A. F x

 

x



lnx1



C. B.

 

F x C

x

 

C.

 

ln
2

x

F x  C

. D. F x

 

x



lnx1



C.

Câu 18. Gọi hàm số F x

 

là một nguyên hàm của f x

 

xcos3x, biết F

 

0 1.
Vậy F x

 

là:

A.

 

1 1

sin 3 cos 3

3 9

F x  x x x C

. B.

 

1 1

sin 3 cos3 1

3 9

F x  x x x

C.

 

sin 3
6

F x  x x

. D.

 

1 1 8

sin 3 cos 3

3 9 9

F x  x x x

Câu 19. Nguyên hàm F x

 

của f x

 

xex thỏa mãn F

 

0 1 là:

A. F x

 





x1



ex1. B. F x

 





x1



ex2.

C. F x

  

 x1



ex1. D.

  



x 2

F x x e

   .

Câu 20. Kết quả nào sai trong các kết quả sau?

A.

.cos
sin

x x
x xdx C



. B.



xsinxdxcosxsinx C

C.



xcosxdx x sinxcosx C . D.

.cos 2 1

sin 2 sin 2

2 4

x x

x xdx  x C



.

Câu 21. Kết quả nào sai trong các kết quả sau?

A.

3 1 3

3 8

x

x xe x

xe dx  e C



. B. xe dx x ex . x ex C

  



.

C.

.
2

x x x

xe dx e C



. D. x x 1x

x x

dx C

e e e



  



.

Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 





x2 1



ex

A.

 





1 x

f x dx x e C



. B. f x

  

x 1



ex C

   .

C.



f x dx

 





x2 2x2



exC. D.



f x dx

 





x2 2x 2



exC.

Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

x2



3.lnx1



A.

 

3. ln1 1

f x dx x C

x

 

   

 



. B.

 

3 ln 1

f x dx x  x C

 



</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

C.



f x dx x

 

 3.lnx C . D.

 

3.ln1

f x dx x C
x

 



.

Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số

 

ln x

f x
x



qua phép đặt t x là

A. F t

 

2 lnt 2t 4t C . B. F t

 

2 lnt 2t4t C .
C. 2 lnt t24t C . D. 2 lnt t2 4t C .

Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số

 





ln 1 x

f x

x




là:

A. F x

 

2



x1 ln 1

 

x



2x C . B. F x

 

2



x1 ln 1

 

x



 x C.

C.

 





.ln 1 ln

x

F x x x C

x



   

. D.

 





.ln 1 ln

x

F x x x C

x



   

Câu 26. Tìm nguyên hàm H của hàm số f x

 





3x21 ln



x

A.





3
2 1 ln

x

H x x  x  x C

. B.

3
3ln

x

H x x  x C

C.





3
2 1 ln

x

H x x  x C

. D.

3
3ln

x

H x x C

Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

cos x sau phép đặt t x x



0



là:

A. F t

 

2 cost t2sint C . B. F t

 

2 sint t2cost C .
C. F t

 

2 cost t2sint C . D. F t

 

2 sint t 2cost C .

Câu 28. Nguyên hàm của hàm số 3

sin
cos

x x
y

x



bằng

A. 2

tan

2 cos 2

x x

C
x



 

. B.

tan

2 cos 2

x x

C
x  .

C. 2cos2 tan

x

x C
x



 

. D. 2cos2 tan

x

x C
x



 

Câu 29. Tìm nguyên hàm H của hàm số f x

 

 xlnx

A.



3ln 2



x x x

H   C

. B.



2ln 3



x x x

H   C

C.



6ln 4



x x x

H   C

. D.



4ln 6



x x x

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Đáp án

11-A 12-A 13-C 14-B 15-D 16-B 17-A 18-D 19-A 20-A

21-A 22-A 23-C 24-D 25-C 26-A 27-B 28-B 29-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT.

Câu 11. Đáp án A.

Ta có









 









2 2 2

1 1 1

ln 1 ln 1 ln 1 ln 1

2 2 2

x x dx x d x  x x  x d x











2 2

1 1 1 1 1

ln 1 ln 1 1

2 2 1 2 2 1

x

x x dx x x x dx

x x

 

         

   















2 2

1 1 1 1

ln 1 ln 1 ln 1

2 2 2 2 4 2

x x x

x x  x x x   x C

           

  .

Câu 12. Đáp án A.

Ta có

 

















2 2

1 1

ln 1 ln 1 ln 1 ln 1

2 2

F x 



x x dx x 



x dx x x x 



xd x













2 2

1 1

ln 1 ln 1 ln 1

2 1 2

x

x x x dx x x x x x

x

         







 



1 ln 1
2

x x

x x C





    

Câu 13. Đáp án C.

Ta có

















ln 2 1 ln 2 1

ln 2 ln 2

x x

dx x d d x

x x x x

   

     

 











ln 2

x dx

x x x

 

 

























ln 2 1 2 ln 2 1 1

ln ln 2

2 2 2 2

x x x x

dx x x C

x x x x

   

      







 



ln 2 ln 2

x x x

C

x x

 

  

Câu 14. Đáp án B.

Ta có

 





1 ln 1

ln ln ln ln ln

x

x xdx x dx dx xd x xd x

x x

 

    

 

 







2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

ln ln ln ln ln

2x x 2 x d x 2 x 2x x 2 x 2 xdx

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

2 2 2

1 1 1 2 ln ln

ln ln

2 2 4 4 2

x x x x

x x x x   C

     

Mà

 

2 2 2

1 2 ln ln

1 0

4 4 2

x x x x

F   C   F x    C

Câu 15. Đáp án D.

Ta có



xe dxx 



xd e

 

x xex



e dx xex  x exC.

Câu 16. Đáp án B.

Ta có





x1 sin



xdx



xsinxdx



sinxdx



xd



cosx



 cosx

cos cos cos

x x xdx x

 



  xcosxsinx cosx C 



x1 cos



xsinx C .

Câu 17. Đáp án A.

Ta có



lnxdx x lnx



xd



lnx



xlnx



dx x lnx x C  x



lnx1



C.
Câu 18. Đáp án D.

Ta có





1 1 1

cos3 sin 3 sin 3 sin 3

3 3 3

x xdx xd x  x x xdx



13xsin 3x19cos 3x C

 

8 1 1 8

0 1 sin 3 cos3

9 3 9 9

F   C  F x  x x x

Câu 19. Đáp án A.

Ta có:



xe dxx 



xd e



x



xex



e dxx xex exC



x1



exC

Mà F

 

0  1 C  1 F x

 





x1



ex1.
Câu 20. Đáp án A.

Ta có



xsinxdx



xd



cosx



 xcosx



cosxdxxcosxsinx C .
Câu 21. Đáp án A.

Ta có

 

3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

3 3 3 3 9

x x x x x x

xe dx xd e  xe  e dx xe  e C



.

Câu 22. Đáp án A.

Đặt

2 1 2

x
x

du xdx

u x

v e dx
dv e dx


   



 



 

 . Suy ra



f x dx

 





x21



ex



2 .x e dxx

Đặt

2 2

x x

u x du dx

dv e dx v e dx

   



 

  

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Suy ra

 













2 1 x 2 . x 2 1 x 2 . x 2. x

f x dx x  e  x e dx x  e  x e  e dx





x2 1



ex 2 .x ex 2.ex C



x 1



2ex C

       

Cách khác: Đối với nguyên hàm từng phần dạng

 

. x

 

. x

 

. x

 

. x ... . x

f x e dxf x e  f x e  f x e  k e C



.



x2 1



e dxx



x2 1



ex 2xex 2.ex C



x2 2x 1 .



ex C

         



.

Câu 23. Đáp án C.

Đặt

2 3

3
3ln 1

du dx

u x x

dv x dx x

v

 



   

 



 



  

 



Suy ra













3 3 3

2 3.ln 1 . 3ln 1 2 . 3ln 1

3 3 3

x x x

x x dx x  x dx x  C



x3.lnx C

  .

Câu 24. Đáp án D.

Đặt t x  2tdt dx

Suy ra

 









. 2 4 ln . 4 ln 4 . ln 4 ln 4

t

f x dx tdt t dt t t t d t t t dt

t

     



4 lnt t 4t C

  

Quan sát các đáp án ta thấy D đúng, vì 2 lnt t2 4t C 4 lnt t 4t C .

Câu 25. Đáp án C.

Đặt





1
ln 1

1 1 1

du dx

u x

x
x

dv dt v

x x x





   

  



 




    

 



Suy ra

 









1 1 1

.ln 1 ln 1 ln

x x

F x x dx x x C

x x x

 

  



   

Câu 26. Đáp án A.

Đặt









3 2

1
ln

3 1

u x du dx

x

dv x dt

v x x x x



 



 



 

 

 

     

Suy ra

 













3
2 1 ln 2 1 2 1 ln

x

F x x x  x



x  dx x x  x  x C

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Câu 27. Đáp án B.

Đặt t x  2tdt dx . Suy ra F t

 





2 cost tdt

Đặt

 

2 2

2 sin 2cos

cos sin

u t du dt

F t t t t C

dv tdt v t

 

 

    

 

 

  .

Câu 28. Đáp án B.

Đặt





3 3

cos 1

sin

2.cos

cos cos

u x du dx

d x

x v

dv dx

x

x x



  

 



 



 

 



Suy ra

 

2 2 2

1 1 tan

2 cos 2 cos 2cos 2

x x x

F x dx C

x x x

 



  

Câu 29. Đáp án C.

Đặt

1
ln

2
3

du dx

u x x

dv xdx v x x

 



  

 



 



  



 



2 2 2 4

ln ln

3 3 3 9

H x x x xdx x x x x x C

  



  



6 ln 4



x x x

C



</div>

Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp nguyên hàm từng phần | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

 

 

   

   

   





<sub></sub>

<sub></sub>



  







 









 

































































<sub></sub>



















































