Bài 3. Bài tập có đáp án chi tiết về nhị thức niu tơn môn toán lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Bài 5. CÁC DẠNG TOÁN VỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN (P3)</b>

<b>A. LÝ THUYẾT</b>

<b>Công thức khai triển nhị thức Newton:</b>

0 1 1

0 0

( )<i>n</i> <i>_n</i> <i>n</i> <i>_n</i> <i>n</i> ... <i>_nk</i> <i>n k</i> <i>k</i> ... <i>_nn</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>k</i> <i>n k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>n k</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>k</i> <i>k</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>C a</i> <i>C a</i> <i>b</i> <i>C a</i> <i>b</i> <i>C b</i>

<i>C a</i> <i>b</i> <i>C a b</i>

 

 

 

      



_



_

<b>Hệ quả</b>

0 1 2

... <i>n</i> 2<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i> 

0 1 2 3

... ( 1)<i>k</i> <i>k</i> ... ( 1)<i>n</i> <i>n</i> 0

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>  <i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i>    <i>C</i>    <i>C</i>  <b></b>

<b>B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN</b>

<b>Bài 1.</b> Tìm hệ số của số hạng chứa 21

<i>x</i> _{trong khai triển nhị thức Niu-tơn}

3

2 2

<i>n</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

 



 

 _{ ;}<i>x </i>0_biết

0 1 2 3

2 1 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 1024

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>  <i>C</i>  <i>C</i>  <i>C</i>   <i>C</i>  

Đ/s: <i>a </i>21 3640

<b>Bài 2.</b> Tìm hệ số của số hạng chứa 20

<i>x</i> _{trong khai triển nhị thức Newtơn biểu thức}

 

2
3

1 <i>n</i>

<i>P x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 

_  _

 

<i>với n nguyên dương thỏa mãn: </i> 2 11 2 21 ... 22 1 2100 1.

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _ <i>C</i> _  <i>C</i> _  

Đ/s: <i>a</i>20<i>C</i>5034

<b>Bài 3.</b> Cho khai triển





2

3 2 .<i>n</i>

<i>x</i>  <i>x</i>

Tìm hệ số chứa 2

<i>x</i> _{trong khai triển đó, biết}

2 4 2 19

2 2 ... 2 2 1.

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i>  

Đ/s: <i>a </i>2 67840

<b>Bài 4.</b> Tìm hệ số của số hạng chứa <i>_x</i>20

trong khai triển nhị thức Newtơn của

7
4

1 <i>n</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

 _{ , biết rằng}

1 2 20

2 1 2 1 ... 2 1 2 1.

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _ <i>C</i> _  <i>C</i> _  

Đ/s: <i>C </i>104 210

<b>Bài 5.</b> Cho <i>x </i>0_và 2 11 2 21 2 31 ... 22 11 22 1 22 11 2 .36

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _  <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ 

<i>Tìm số hạng không phụ thuộc x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của </i>

5 1 _.

<i>n</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

 

 

ĐS: <i>C</i>183( 1) 3 816

<b>Bài 6.</b> Cho đẳng thức 2 11 2 21 2 31 ... 22 11 22 1 28 1.

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Tìm hệ số của số hạng chứa 10

<i>x</i> _{trong khai triển}





3 4

1 <i>x</i><i>x</i>  <i>x</i> <i>n</i>.

ĐS: <i>a </i>10 10

<b>Bài 7.</b> Tìm hệ số của 4

<i>x</i> _{trong khai triển biểu thức}





2

1 <i>x</i> 2<i>x</i> <i>n</i>

<i> biết n là số nguyên dương thỏa mãn</i>

0 2 4 2

2 2 2 ... 2 512.

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i> 

ĐS: <i>a </i>4 105

<b>Bài 8.</b> Tìm hệ số của 5

<i>x</i> _{trong khai triển biểu thức}





3
2

1 2 <i>x</i>4<i>x</i> <i>n</i>

<i> biết n là số nguyên dương thỏa </i>
mãn 20142 20144 20146 ... 20141006 2503 1.

<i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i>  

ĐS: <i>n</i> 4 <i>a</i>599264

<b>Bài 9.</b> <i>Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của </i>

2
3

2

,
<i>n</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

  _{biết rằng}

1 2 28

2 1 2 1 ... 2 1 2 1.

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _ <i>C</i> _  <i>C</i> _  

ĐS: <i>n</i>14 <i>a</i>0 372736

<b>Bài 10.</b> Tìm số hạng chứa <i>x</i>14_{trong khai triển}





2

1 <i>x</i> 3<i>x</i> <i>n</i>,

<i> biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn</i>

1 2

... <i>n</i> 256.

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i> 

ĐS: <i>n</i> 8 <i>a</i>1437908

<b>C. LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN</b>

<b>Bài 1.</b> Tìm hệ số của số hạng chứa 21

<i>x</i> _{trong khai triển nhị thức Niu-tơn}

3

2 2

<i>n</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

 



 

 _{ ;}<i>x </i>0_biết

0 1 2 3

2 1 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 1024

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>  <i>C</i>  <i>C</i>  <i>C</i>   <i>C</i>  

<b>Lời giải</b>

Ta có khai triển:





2 1 ₀ ₁ ₂ _{1 2} ₁

2 1 2 1 2 1

1<i>x</i> <i>n</i> <i>C_n</i>_ <i>C_n</i>_<i>x</i> .. <i>C</i> <i>_nn</i>_<i>x</i> <i>n</i>

Cho <i>x </i>1_{ta được:}





2 1 0 1 2 1 0 1 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 <i>n</i> <i>C_n</i>_ <i>C</i> <i>_n</i>_  .. <i>C</i> <i>_nn</i>_ 2 <i>C</i> <i>_n</i>_ <i>C</i> <i>_n</i>_ <i>C</i> <i>_n</i>_ ...<i>Cn_n</i>_

vì 2 1 22 11

<i>k</i> <i>n</i> <i>k</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _ <i>C</i> _ 

Do đó: 102422<i>n</i>  <i>n</i>5.

Khi đó:

 





15 ₁₅ ₁₅

15

2 2 30 3

15 15

0 0

2 2

2
<i>k</i>

<i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i> <i>k</i>

<i>A</i> <i>x</i> <i>C</i> <i>x</i> <i>C x</i>

<i>x</i> <i>x</i>





 

   

_  _  _ _  

 



 



Cho 30 3 <i>k</i>21 <i>k</i>3_.

Hệ số của số hạng chứa 21

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 2.</b> Tìm hệ số của số hạng chứa 20

<i>x</i> _{trong khai triển nhị thức Newtơn biểu thức}

 

2
3

1 <i>n</i>

<i>P x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 

_  _

 

<i>với n nguyên dương thỏa mãn: </i> 2 11 2 21 ... 22 1 2100 1.

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _ <i>C</i> _  <i>C</i> _  

<b>Lời giải</b>

2 1

2 1 1

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>C</i>   và 0

; 2

<i>n</i>

<i>k</i> <i>n k</i> <i>k</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>k</i>

<i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i>





_



. Ta có:

1 2 2 100

2 1 2 1 ... 2 1 2 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>  <i>C</i>  <i>C</i>

       

0 1 1 2 1 101

2 1 2 1 ... 2 1 ... 2 1 2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i> 

   

      

2 1 101

2 <i>n</i> 2 <i>n</i> 50

   

Với <i>n </i>50

 

50 ₅₀

2 5 150

50
3

0

1 <i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i>

<i>P x</i> <i>x</i> <i>C x</i>

<i>x</i>





 

 _  _ 

 



Số hạng này chứa <i>x</i>20 5<i>k</i>15020 <i>k</i>34

Vậy hệ số của số hạng chứa 20

<i>x</i> _là<i>C</i>5034

<b>Bài 3.</b> Cho khai triển





2 ₃ _{2 .}<i>n</i>

<i>x</i>  <i>x</i>

Tìm hệ số chứa <i>x</i>2_{trong khai triển đó, biết}

2 4 2 19

2 2 ... 2 2 1.

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i>  

<b>Lời giải</b>

Xét :





2

2 ₀ ₁ ₂ ₂

2 2 2 2 2

0

1 1 ...

<i>n</i>

<i>n</i> <i>_k</i> <i>_n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>k</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>



 

_

    





 

2

2 ₀ ₁ ₂ ₂

2 2 2 2 2

0

1 1 1 ...

<i>n</i>

<i>n</i> <i>_k</i> <i>k</i> <i>_n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>k</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>



 

_

     

Cộng hai vế của chúng lại ta có:





2 0 19

2

2 <i>n</i> 2<i>C</i> <i>_n</i><i>P</i> 2 2 2 1  <i>n</i>10

Ta có:







 



 





10 10

10 ₁₀ ₁₀ ₁₀ ₁₀

2

10 10

0 0

3 2 1 2 1 <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>. 2 <i>i</i> <i>i</i> <i>i</i>

<i>k</i> <i>i</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>  <i>C x</i>  <i>C x</i>

 

     









Khi đó hệ số chứa 2

<i>x</i> _{trong khai triển là}

 

10 10





10 10
;

1 <i>k</i> <i>k</i> 2 <i>i</i> <i>i</i>
<i>i k</i>

<i>C</i> <i>C</i>

 



 



thỏa mãn

1

2 0; 2

2; 0

<i>k</i> <i>i</i>

<i>i</i> <i>k</i> <i>i</i> <i>k</i>

<i>i</i> <i>k</i>

 




   _  

  



Khi <i>k</i> <i>i</i> 1_{hệ số sẽ là:}

 





9 ₁ 9 ₁ ₁₀ ₁

10 10 10

1 <i>C</i> 2 <i>C</i> 2 <i>C</i>

  

Khi <i>i</i>0;<i>k</i>_{ hệ số sẽ là:}2

 

18<i>C</i>102



2



10<i>C</i>100 210<i>C</i>102

Khi <i>i</i>2;<i>k</i>0 hệ số sẽ là:

 





10 ₀ 8 ₂ ₈ ₂

10 10 10

1 <i>C</i> 2 <i>C</i> 2 <i>C</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Vậy hệ số trong khai triển là: 210<i>C</i>101 210<i>C</i>102 28<i>C</i>102 67840

<b>Bài 4.</b> Tìm hệ số của số hạng chứa 20

<i>x</i> _{trong khai triển nhị thức Newtơn của}

7
4

1 <i>n</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

 _{ , biết rằng}

1 2 20

2 1 2 1 ... 2 1 2 1.

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i>  <i>C</i>   <i>C</i>   

<b>Lời giải</b>

Sử dụng khai triển sau:





2 1 ₀ ₁ ₂ ₂ ₂ ₁ ₂ ₁

2 1 2 1 2 1 2 1

1<i>x</i> <i>n</i> <i>C</i> <i>_n</i>_ <i>C</i> <i>_n</i>_<i>x</i><i>C_n</i>_<i>x</i> ...<i>C</i> <i>_nn</i>_<i>x</i> <i>n</i>

Cho <i>x </i>1_{ta có:}22 1 20 1 12 1 22 1 ... 22 11

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>

 

   

    

Mặt khác ta có cơng thức: <i>Cnk</i> <i>Cnn k</i>





Do vậy:









2 1 0 1 2 20

2 1 2 1 2 1 2 1

2 <i>n</i> 2 <i>C_n</i>_ <i>C_n</i>_ <i>C</i> <i>_n</i>_ ...<i>Cn_n</i>_ 2 1 2 1  <i>n</i>10

Xét khai triển:

 

10 ₁₀ ₁₀

10

7 7 70 11

10 10

4 4

0 0

1 <i>_k</i> 1 <i>k</i> <i>k</i> <i>_k</i> <i>_k</i>

<i>k</i> <i>k</i>

<i>x</i> <i>C</i> <i>x</i> <i>C x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 _

 

   

  

   

 



 



Ứng với số hạng chứa 26

<i>x</i> _{ta có:}70 11 <i>k</i>26 <i>k</i>4

Vậy hệ số của số hạng chứa 26

<i>x</i> _là<i>C </i>104 210

<b>Bài 5.</b> Cho <i>x </i>0_và 2 11 2 21 2 31 ... 22 11 22 1 22 11 2 .36

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _  <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ 

<i>Tìm số hạng không phụ thuộc x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của </i>

5 1 _.

<i>n</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

 

  
<b>Lời giải</b>

Ta có 2 1 22 11 : 0 2 1

<i>k</i> <i>n</i> <i>k</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _ <i>C</i> _  <i>k</i>  <i>k</i> <i>n</i> _nên

1 2 3 2 1 2 2 1

2 1 2 1 2 1 ... 2 1 2 1 2 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _  <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _



0 1 2 2 1 2 2 1



2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1

...
2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _

      

Mà (1 1)2 1 20 1 21 1 22 1 ... 22 11 22 1 22 11.

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>

  

     

       

Suy ra

36 1 2 1

2 2 18.

2
<i>n</i>

<i>n</i>



  

18 18

6 18

18 18

5

5 5 5

18 18

0 0

1 1 1

( ) ( 1) ( )

<i>n</i> <i>k</i>

<i>k</i>

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i> <i>k</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>C</i> <i>x</i> <i>C</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>





 

     

      

     

     

   



 



<i>Số hạng không phụ thuộc x ứng với </i>

6 18

0 3

5
<i>k</i>

<i>k</i>


  

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài 6.</b> Cho đẳng thức 2 11 2 21 2 31 ... 22 11 22 1 28 1.

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _  <i>C</i> _ <i>C</i> _  

Tìm hệ số của số hạng chứa 10

<i>x</i> _{trong khai triển}





3 4

1 <i>x</i><i>x</i>  <i>x</i> <i>n</i>.

<b>Lời giải</b>

Đặt 2 11 2 21 2 31 ... 22 11 22 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>S</i><i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _  <i>C</i> _ <i>C</i> _

Ta có (1 1) 2<i>n</i>1





0 1 2 1 1 2 2 2 1

2 1 2 1 2 1 ... 2 1 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 2 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _

          



0 2 1



1 2 1



1 2 2



2 1 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 2 1 2 1 2 1 ... 2 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _ <i>C</i> _

          

2 1 2 2 8

2 <i>n</i> 2 2<i>S</i> 2 <i>n</i> 1 <i>S</i> 2 <i>n</i> 2 <i>n</i> 4

         _



₃ ₄



_





₃

_

4





4

_

₃

_

4

1 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>n</i> 1 <i>x</i> <i>x</i> (1 <i>x</i>) 1 <i>x</i> 1 <i>x</i>

          



0 1 2 2 3 3 4 4

 

0 1 3 2 6 3 9 4 12



4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

<i>C</i> <i>C x</i> <i>C x</i> <i>C x</i> <i>C x</i> <i>C</i> <i>C x</i> <i>C x</i> <i>C x</i> <i>C x</i>

        

Ta có hệ số của 10

<i>x</i> _là<i>C C</i>14 43<i>C C</i>44 42 10

<b>Bài 7.</b> Tìm hệ số của <i>x</i>4_{trong khai triển biểu thức}





2

1 <i>x</i> 2<i>x</i> <i>n</i>

<i> biết n là số nguyên dương thỏa mãn</i>

0 2 4 2

2 2 2 ... 2 512.

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i> 

<b>Lời giải</b>

Xét các khai triển sau: (1 )2 20 21 22 2 ... 22 2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>x</i> <i>C</i> <i>C x</i> <i>C x</i> <i>C x</i>

     

Với 1 22 20 21 22 ... 22 (1)

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>x</i>  <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i>

2 0 1 2 2 2 2

2 2 2 2

(1 <i>x</i>) <i>n</i> <i>C</i> <i>_n</i> <i>C x_n</i> <i>C x_n</i>  ...<i>C x_nn</i> <i>n</i>

Với 1 0 20 21 22 ... 22 (2)

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>x</i>  <i>C</i>  <i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i>

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được





2 0 2 4 2

2 2 2 2

2 <i>n</i> 2 <i>C_n</i><i>C</i> <i>_n</i><i>C_n</i>...<i>C_nn</i> 512.21024 <i>n</i>5

Xét khai triển









10 2

2 0 5 1 4 2 2 3 2

5 5 5

1 <i>x</i> 2<i>x</i> <i>C</i> (1<i>x</i>) <i>C</i> (1<i>x</i>) 2<i>x</i> <i>C</i> (1<i>x</i>) 2<i>x</i> ...

Các số hạng chứa 4

<i>x</i> _{trong các số hạng trên là:}

0 5 0 1 4

5(1 ) 5 5

<i>C</i> <i>x</i>  <i>C C x</i>

1 4 2 1 2 2 2

5(1 ) 2 5 4 2

<i>C</i> <i>x</i> <i>x</i>  <i>C C x</i> <i>x</i>





2

2 3 2 2 0 4

5(1 ) 2 5 41.4

<i>C</i> <i>x</i> <i>x</i>  <i>C C</i> <i>x</i>

Suy ra hệ số của <i>x</i>4_là<i>C C</i>50 51<i>C C</i>51 42.2<i>C C</i>52 40.4105

<b>Bài 8.</b> Tìm hệ số của 5

<i>x</i> _{trong khai triển biểu thức}





3
2

1 2 <i>x</i>4<i>x</i> <i>n</i>

<i> biết n là số nguyên dương thỏa </i>
mãn 20142 20144 20146 ... 20141006 2503 1.

<i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Lời giải</b>
Xét khai triển

2014 0 1 2 2 2014 2014

2014 2014 2014 2014

(1<i>x</i>) <i>C</i> <i>C</i> <i>x</i><i>C</i> <i>x</i> ...<i>C</i> <i>x</i>

Với <i>x</i> 1 22014<i>C</i>20140 <i>C</i>20141 <i>C</i>20142 ...<i>C</i>20142014 (1)

2014 0 1 2 2 2014 2014

2014 2014 2014 2014

(1 <i>x</i>) <i>C</i>  <i>C</i> <i>x</i><i>C</i> <i>x</i>  ...<i>C</i> <i>x</i>

Với <i>x</i> 1 0<i>C</i>20140  <i>C</i>20141 <i>C</i>20142  ...<i>C</i>20142014 (2)

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được





2014 0 2 2014 2 4 2012 2013

2014 2014 2014 2014 2014 2014

2 2 <i>C</i> <i>C</i> ...<i>C</i>  <i>C</i> <i>C</i> ... C 2  2

Ta có <i>C</i>20142 <i>C</i>20144 <i>C</i>20146 ... C 10062014 <i>C</i>20142012<i>C</i>20142010... C 10082014

2 4 6 2012 2013

2 4 6 1006 2014 2014 2014 2014

2014 2014 2014 2014

... 2 2

...

2 2

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>     

      

2012

2 1

 

503 2012

2 <i>n</i> 1 2 1 <i>n</i> 4

     _

Xét khai triển













12 2

2 12 12 11 11 2 10 10 2

12 12 12

3

9 9 2

12

1 2 4 (1 2 ) (1 2 ) 4 (1 2 ) 4

(1 2 ) 4 ...

<i>x</i> <i>x</i> <i>C</i> <i>x</i> <i>C</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>C</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>C</i> <i>x</i> <i>x</i>

       

  

Các số hạng chứa 5

<i>x</i> _là:

12 12 12 5 5 5 5

12(1 2 ) 12 12( 2 ) 32 12

<i>C</i>  <i>x</i>  <i>C C</i>  <i>x</i>  <i>C x</i>

11 11 2 11 3 3 2 3 5

12(1 2 ) 4 12 11( 2 ) 4 32.12. 11

<i>C</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>C C</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>C x</i>





2





2

10 10 2 10 1 1 2 2 5

12(1 2 ) 4 12 10( 2 ) 4 32.10. 10

<i>C</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>C C</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>C x</i>

 _{Hệ số của} 5

<i>x</i> _là32.<i>C</i>125  32.12.<i>C</i>113  32.10.<i>C</i>1210109824

<b>Bài 9.</b> <i>Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của </i>

2
3

2

,
<i>n</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

  _{biết rằng}

1 2 28

2 1 2 1 ... 2 1 2 1.

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> _ <i>C</i> _  <i>C</i> _  

<b>Lời giải</b>

Xét khai triển (1 )2 1 20 1 21 1 22 1 2 ... 22 11 2 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>x</i>  <i>C</i> _ <i>C</i> _<i>x</i> <i>C</i> _ <i>x</i> <i>C</i> _<i>x</i> 

     

Với <i>x </i>1 22 1 2 21 1 22 1 ... 22 1 21 1 22 1 ... 22 1 22 1 2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>

 

     

            _{Ta có}

1 2 2 2 1 1

2 1 2 1 ... 2 1 2 1 2 1 ... 2 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i> 

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

1 2 1 2

1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

2 1

2

... C ...

...

2

2 2

2 1
2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>

<i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>



    

  



     

    



  

28 2

2 1 2 <i>n</i> 1 <i>n</i> 14

     

Xét khai triển

14
2
3

2
<i>x</i>
<i>x</i>

 



 

 _{ có số hạng tổng quát là}



2



14 14

 

2 14

14 ₃ 14 ₃

2 1

( 1) 2 .

<i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>k</i>

<i>a</i> <i>C</i> <i>x</i> <i>C</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 



   

 _ _    _ _

   

<i>Xét phần tử có bậc của x bằng 0 thì sẽ có </i>

 





28 2
14

2

3 ₃

1

1 1 0 12

<i>k</i> <i>_k</i>

<i>k</i>

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>k</i>

<i>x</i> <i>_x</i>




 

      

 
 

Suy ra hệ số của <i>x</i>0_là212<i>C</i>1412 372736

<b>Bài 10.</b> Tìm số hạng chứa 14

<i>x</i> _{trong khai triển}





2

1 <i>x</i> 3<i>x</i> <i>n</i>,

<i> biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn</i>

1 2

... <i>n</i> 256.

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>C</i> <i>C</i>  <i>C</i> 

<b>Lời giải</b>

Xét khai triển (1<i>x</i>)<i>n</i> <i>Cn</i>0<i>C x</i>1<i>n</i> <i>C xn</i>2 2...<i>C xnn</i> <i>n</i>

Với <i>x</i> 1 2<i>n</i> <i>Cn</i>0<i>C</i>1<i>n</i>...<i>Cnn</i> 256 <i>n</i>8

Xét khai triển









8 8

2 8 8 7 7 2 0 2

8 8 8

1 <i>x</i> 3<i>x</i> <i>C</i> (1<i>x</i>) <i>C</i> (1<i>x</i>) 3<i>x</i> ...<i>C</i> 3<i>x</i>

Xét số hạng tổng quát là





8

2 8 16 2

8 3 8 3

<i>k</i>

<i>k</i> <i>i</i> <i>i</i> <i>k</i> <i>i</i> <i>k</i> <i>k i</i>

<i>k</i> <i>k</i>

<i>C C x</i> <i>x</i>  <i>C C</i>  <i>x</i>  

Số hạng chứa 14

<i>x</i> _{thì thỏa mãn 16 2} <i>k</i> <i>i</i> 14 <i>i</i> 2<i>k</i> 22(<i>k</i>1)

Với <i>k </i>8<i>_{và i k}</i> <i>_{và ,ik   ta có}</i>

0 2

2( 1) 2 0 1 0

2 2

<i>k</i> <i>i</i>

<i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>i</i>

<i>k</i> <i>i</i>

  




        



   


Thay hai trường hợp thỏa mãn vào ta được hệ số của <i>_x</i>14

là <i>C C</i>81 1038 1 <i>C C</i>82 2238 2 37908

 

</div>

<!--links-->