Bài tập có đáp án chi tiết về nhị thức niu tơn môn toán lớp 11 của thầy đặng việt hùng | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (133.03 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 1: Trong khai triển





2a b , hệ số của số hạng thứ 3 bằng:

A. 80. B. 80 . C. 10. D. 10 .

Lời giải
Chọn B

Ta có số hạng thứ 3  k  1 3 k .2

Khi đó số hạng thứ 3 là



 



3 2

2 3 2 3 2 3 2

5 2 . 2 . . .5 80

C a b  C a b  a b .

Vậy hệ số cần tìm là 80 .

Câu 2: Trong khai triển nhị thức





2 n

a 

 với n  . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n

bằng:

A. 17 . B. 11. C. 10 . D. 12 .

Lời giải
Chọn C

Ta có n  6 1 17 n10.

Câu 3: Trong khai triển





10
2

3x  y

được sắp xếp theo số mũ tăng dần của y , hệ số
của số hạng chính giữa là:

A. 3 .C4 104 . B. 
4 4

3 .C

 . C. 3 .C5 105 . D. 3 .C5 105 .

Lời giải
Chọn D

Ta có n   có 11 số hạng  số hạng đứng giữa là số hạng thứ10
6 k  1 6 k .5

Khi đó số hạng thứ 6 là









5 5

5 2 5 5 10 5

10. 3 . 3 . 10.

C x  y  C x y

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là 3 .C5 105 .

Câu 4: Trong khai triển





2x 5y , hệ số của số hạng chứa 5 3

x y là:

A. 224000. B. 40000. C. 8960. D. 4000.

Lời giải
Chọn A

Ta có số hạng tổng quát là













8 8 8

8 2 5 2 5 8 .

k k k

k k k k k

C x  y  C x y

   .

Theo đề bài ta có k  .3

Vậy hệ số cần tìm là





5 3

2 . 5 . C 224000.

Câu 5: Trong khai triển

x
x

 



 

  , hệ số của x3 với x  là:0

A. 60 . B. 80 . C. 160 . D. 240 .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ta có số hạng tổng quát là

1 6 3

6 6 2 2

6 6 6

. 2 . . . 2 . .

k

k k

k k k k k k k

C x C x x C x

x

 

   

 

 

  .

Theo đề bài ta có

6 3 2

2k k

   

Vậy hệ số cần tìm là 2 .2C 62 60.

Câu 6: Trong khai triển

7
2 1
a

b

 



 

  , số hạng thứ 5 là:

A. 35a b6 4. B. 35a b6 4. C. 35a b8 3. D. 35a b4 .

Lời giải
Chọn A

Ta có số hạng thứ 5 k  1 5 k .4

Khi đó số hạng thứ 5 là

 

4
3

4 2 6 4

. . 35

C a a b

b



 



 

  .

Câu 7: Trong khai triển của biểu thức





2a 1 , tổng ba số hạng đầu là:

A. 2a6 6a515a4. B. 2a615a530a4.

C. 64a6192a5480a4. D. 64a6192a5 240a4.

Lời giải
Chọn D













6 6 6 5 4

6
0

2 1 k 2 k 1 k 64 192 240 .... 1

k

a C a  a a a



 



     

.
Vậy tổng của ba số hạng đầu là : 64a6192a5240a4.

Câu 8: Trong khai triển của biểu thức





16
x y

, tổng của hai số hạng cuối là:

A. 16x y15 y8. B. 16x y15 y4. C. 16xy y 4. D. 16xy15y8.

Lời giải
Chọn A





16 16 16





6 15

16
0

15 8

16 ....

k
k k

k

x y

x y C x  y x x y y



 



     

Vậy tổng của hai số hạng cuối là: 16x y15 y8.

Câu 9: Trong khai triển

9
2

x
x

 



 

  , số hạng không chứa x là:

A. 84 . B. 672 . C. 43008 . D. Khơng tồn tại

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ta có:

9 9 3

1 9 2 9

.( ) .8 .

k k k k k k

k

T C x C x

x

 

  

Để số hạng khơng chứa x thì k 3

Vậy số hạng cần tìm là C93.83 43008.

Câu 10: Trong khai triển





2 –1x , hệ số của số hạng chứa x8

là:

A. –11520 . B. 45 . C. 90 . D. 11520

Lời giải
Chọn D

Ta có:









10
10

1
0
10

2 – 1 1 2 k.( 2) .k k

k

x

x C x



  





Để số hạng chứa x8thì k 8
Hệ số cần tìm là C108.( 2) 8 11520.

Câu 11: Trong khai triển





– 2 b

a , hệ số của số hạng chứa a b4 4

là:

A. 1120 . B. 45 . C. 256 . D. 11520.

Lời giải
Chọn A

8 8

1 8 .(2 ) 8.a .2 .b

k k k k k k k
k

T C a  b C 

  

Hệ số của a b4 4 khi k  là 4 C84.24 1120.

Câu 12: Trong khai triển





3 –x y , số hạng chứa 4 3
x y là:

A. –2835 . B. –2835x y .4 3 C. 2835 . D. 2835x y4 3

Lời giải
Chọn B

Ta có số hạng tổng quát : 1 7.(3 ) .(7 ) 7.37 7 .( )

k k k k k k k

k

T C x  y C  x  y

    

Để số hạng chứa x y thì 4 3 k 3

Số hạng cần tìm là T4 C73.34x y4. 3 2835 .x y4 3

Câu 13: Hệ số của x y trong khai triển 3 3



 



6 6

1x 1y là số nào sau đây?

A. 20 . B. 800 . C. 36 . D. 400 .

Lời giải
Chọn D

Ta có



 



6 6 6 6

6 6

6 6 6 6

0 0 0 0

1 1 k k i i k i k i

k i k i

x y C x C y C C x y

   

  





 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Vậy hệ số của x y là 3 3 C C 63. 63 400.

Câu 14: Số hạng chính giữa của khai triển





3x2y là số hạng nào sau đây?

A. C x y .42. .2 2 B.



 



2 2

4. 3x . 2y . C. 2 2 2

6 . .C x y . D. 2 2 2

36 . .C x y .

Lời giải
Chọn D

Ta có











 



4 4

4
0

3 2 k 3 k 2 k 0 4

k

x y C x  y k



 



 

, có 5 số hạng.

Số hạng đứng giữa là số hạng thứ 3 ứng với k  .2

Suy ra số hạng đó là

  



2 2

4. 3 . 2

C x y 2 2 2

36 . .C x y

 .

Câu 15: Trong khai triển





x y , hệ số của số hạng chứa x y là số nào sau đây?8 3

A. C113. B. 
3
11

C

 . C. C115. D.

8
11

C .

Lời giải
Chọn B

Ta có

















11 11

11 11 11

11 11

0 0

1 0 11

k k

k k k k k

k k

x y C x  y C x  y k

 

 



 



  

Ứng với x y ta có 8 3

11 8

3
3

k

k
k

 



 




 . Vậy hệ số là





3 3

11 1 11
C  C

Câu 16: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức:

  



1 2

f x   x .

A. 15360. B. 15360 . C. 15363. D. 15363

Lời giải
Chọn A

Ta có

  











10
10

10
0

1 2 k 2 k k 0 10

k

f x x C x k



  



  

, ứng với x7 suy ra k  .7

Vậy hệ số của x7 là





7
7

10 2 15360

C   .

Câu 17: Tìm hệ số của x7 trong khai triển của biểu thức

 





2 3

h x x  x .

A. 489889 . B. 489887 . C. 489888. D. 489888 .

Lời giải
Chọn D

Ta có

 









9 9

9 9 9 1

9 9

0 0

2 3 k2 3k k k k2 3k k k 0 9

k k

h x x x x C  x C  x  k

 

  







 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Câu 18: Tìm hệ số của x7 trong khai triển của biểu thức:

  











9
g x  x   x  x .

A. 137 . B. 30 . C. 31. D. 132 .

Lời giải
Chọn A

Ta có

  















7 8 9

7 8 9 9

7 8 9

0 0 0

1 1 2 k k i 1 i i j2 j j

k i j

g x x x x C x C x C  x

  

      







 



Ứng với x7 ta có k i  j 7, suy ra hệ số của x7 là





7 7 7 2

7 1 8 92 137
C   C C  .

Câu 19: Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức

  



3 2

f x   x

A. 103680 . B. 1301323 . C. 414720 . D. 1031831.

Lời giải
Chọn C

Ta có

  







10 10

10 10 10

10 10

0 0

3 2 k3 k 2 k k3 k k k2

k k

f x x C  x C  x

 

  







, ứng với x7 suy ra k  .7
Vậy hệ số của x7 là C1073 23 7 414720.

Câu 20: Xác định hệ số của x7 trong khai triển biểu thức

 





1 2

h x x  x

A. 5376. B. 5376 . C. 4618. D. 4618 .

Lời giải
Chọn B

Ta có

 

















9 9

9 1

9 9

0 0

1 2 1 k k 2 k 1k k2k k

k k

h x x x x C x C x 

 

 

      









, ứng với x7 suy ra

k  .

Vậy hệ số của x7 là





6 6 6
9

1 C 2 5376

  .

Câu 21: Xác định hệ số của x8 trong khai triển biểu thức

 





10
2

3 1

f x  x 

A. 17010 . B. 21303 . C. 20123 . D. 21313 .

Lời giải
Chọn A

Ta có

 









10 10

2 2 10 20 2

10 10

0 0

3 1 k 3 k k3 k k

k k

f x x C x  C  x 

 

  







</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Vậy hệ số của x8 là C10634 17010.

Câu 22: Xác định hệ số của x8 trong khai triển biểu thức

 

8
3

2
5

f x x

x

 

  

  ?

A. 1312317. B. 76424. C. 427700. D. 700000.

Lời giải
Chọn D

Ta có

 













8 8 8 8 8

3 3 8 4 8

8 8

0 0

2 2 2

5 1 5 1 2 5

k k

k

k k k k k k k

k k

f x x C x C x

x x x

 

 

     

          

 



 



  , ứng

với x8 suy ra 4k 8 8  k  .4

Vậy hệ số của x8 là





4 4 4 4
8

1 C 2 5 700000

 

Câu 23: Xác định hệ số của x8 trong khai triển biểu thức

 

3
2

x
f x

x

 

  

 

A.

297

512. B.

51. C.

52 . D.

97
12.

Lời giải
Chọn A

Ta có

 

12 12 12 12 12

2 12

12 12

0 0

3 3 3

2 2 2

k k k

k k k

k

k k

x x

f x C C x

x x

 



 

     

        

 



   



, ứng với x8 suy ra

2k12 8  k10.

Vậy hệ số của x8 là

2
10
12 10

3 297

2 512

C 

Câu 24: Xác định hệ số của x8 trong các khai triển sau

 





10
2

1 2

f x   x x

A. 37845. B. 14131. C. 324234. D. 131239.

Lời giải
Chọn A.

Ta có

 





10
2

1 2

f x   x x









10 10

2
10

. 1 . 2

k k

k
k

k

C x x

 







Trong khai triển có các số hạng có chứa x8 là:

+ TH1:













6 6

6 2 6 4 8

10. 1 . 2 10. 1 .2 .

C x x C x x

 Hệ số của x8 là C106.1.24 3360.

+ TH2:













7 7

7 2 7 3 6

10. 1 . 2 10. 1 .2 .

C x x C x x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

+ TH3:













8 8

8 2 8 2 4

10. 1 . 2 10. 1 .2 .

C x x C x x

 Hệ số của x8 là C C108. .284 2 12600.

+ TH4:













9 9

9 2 9 2

10. 1 . 2 10. 1 .2.

C x x C x x

 Hệ số của x8 là C C109. .2 168096  .

+ TH5:













10 10

10 2 10

10. 1 . 2 10. 1

C x x C x

 Hệ số của x8 là C C 1010. 108 45.

Vậy tổng các hệ số của x8 là 3360 20160 12600 1680 45 37845     .

Câu 25: Xác định hệ số của x8 trong khai triển sau

 

8 1 8





8 9 1 9





9 10 1 10





f x   x   x   x

A. 8. .8C80 8 C91.9810.C108.108. B.

0 8 1 8 8 8
8.8 9.9 10.10

C  C C .

C. C80.88 9. .9C91 810.C108.108. D.

0 8 1 8 8 8

8 9 10

8. .8C  9. .9C 10.C .10 .

Lời giải
Chọn D.

Ta có:

 













8 9

8 1 8 9 1 9 10 1 10

f x   x   x   x

8 9 10

8 8 9 9 10 10

8 9 10

0 0 0

8. .8 . 9. .9 . 10 .10 .

k k k

k k k k k k k k k

k k k

C x C x C x

  

     

  













Suy ra hệ số của x8 là 8. .8C80 8 9. .9C91 810.C108.108.

Câu 26: Tìm hệ số của x8 trong khai triển của biểu thức sau

 

8 1





8 9. 1 2





9 10 1 3





10
g x  x   x   x

A. 22094. B. 2973194. C. 13282. D. 21031.

Lời giải

Chọn B.

Hệ số của x8 trong khai triển của biểu thức đã cho là tổng của hệ số của x8

trong từng khai triển





8 1 x , 9. 1 2x







9, 10 1 3x







10.





8 1 x

8
8
0

8. .

k

k k

k

C x








. Suy ra hệ số của x8 là 8.C 88 8.





9. 1 2x

9
9
0

9. .2 .

k

k k k

k

C x








. Suy ra hệ số của x8 là 9. .2C98 8.





10 1 3x

10
10
0

10 .3 .

k

k k k

k

C x








. Suy ra hệ số của x8 là 10.C108.38.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu 27: Hệ số đứng trước x y trong khai triển 25. 10





15
3

x xy

là

A. 2080 . B. 3003 . C. 2800. D. 3200 .

Lời giải
Chọn B.

Ta có





15
3

x xy





15
3

15
0

. .

k

k
k k

k

C x xy










2 15 15
15

. .

k

k k k

k

C x y



 






Số hạng có chứa x y ứng với 25. 10

2 15 25

15 10

k
k

 




 

  k .5

Suy ra hệ số đứng trước x y là 25. 10 C 155 3003.

Câu 28: Số hạng không chứa x trong khai triển

18
3

x
x

 



 

  là

A. C189 . B. 
10
18

C . C. 8

C . D. 3

C .

Lời giải
Chọn A.

Ta có

18
3

x
x

 



 

 

 

18
18

18 3

. .

k

k k

k

C x
x






 

  

 



3 3 54
18

. .

k

k k k

k

C x x










6 54
18
0

k

k k

k

C x










Số hạng không chứa x ứng với 6k  54 0  k  .9

Vậy số hạng không chứa x là C189 .

Câu 29: Khai triển





1 x hệ số đứng trước x7

là

A. 330 . B. 33. C. 72. D. 792.

Lời giải
Chọn D

Số hạng thứ k  của khai triển 1





1 x là Tk1C12k



 x



k  





kC x12k. k. Hệ số

đứng trước x7 là C127 792.

Câu 30: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển sau:

 





f x x x

x

 

   

  .

A. 59136 . B. 213012 . C. 12373 . D. 139412 .

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta có

 





12 12 12 12

12 2 12

12 12

0 0

2 2

. 2

k

k k

k k k

k k

x C x C x

x x



 

 

   

    

   

 



 



.

Xét phương trình 2k12 0  k .6

Từ đó suy ra, số hạng khơng chứa x trong khai triển là:





6 6
12

2 .C 59136

 

Câu 31: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển sau:

 





12
3
4
3 2

g x x x

x

 

   

 

A. 24310 . B. 213012 . C. 12373 . D. 139412 .

Lời giải
Chọn. A

Ta có

 

17 2 3 51 17

17 17 17 17 17

3 3

4 4 3 4 4 12

12 12 12

3 2 3 2

0 0 0

1 1 k k k k k

k k k

x C x C x x C x

x x

   

  

   

   

   

 



 



.

Xét phương trình

51 17

0 9

4  12k   k .

Từ đó suy ra, số hạng không chứa x trong khai triển là: C 179 24310.

Câu 32: Tìm hệ số của số hạng x8 trong khai triển biểu thức:

5
3

1 n

x
x

 



 

  biết





4 3 7 3

n n

C  C n

     .

A. 495 . B. 313 . C. 1303 . D. 13129 .

Lời giải
Chọn A

Điều kiện n  .0

Ta có 14 3 7





n n

C  C n

    

















4 ! 3 !

7 3

1 !.3! !.3!

n n

n

n n

 

   





n 4

 

n 3

 

n 2

 

n 3

 

n 2

 

n 1





n 3



         



n 4

 

n 2

 

n 2

 

n 1



42 3n 36 n 12

           .

Khi đó





12 12 12 12 5 12 36 11

5 5 36 3 2 2

12 12 12

3 3

0 0 0

1 1 k k k k

k k k k

k k k

x C x C x x C x

x x



 
 

  

   

   

   

 



 



.

Xét phương trình

36 8 8

2 k k

    

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Câu 33: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức





1 n

x x
x

 

 

 

  với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn32n A n21 ( ,

k k
n n

C A tương

ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử)

A. 98. B. 98 . C. 96. D. 96 .

Lời giải
Chọn A

Điều kiện n  .3

Ta có Cn32n A n21













1 !
!

3 !.3! 1 !

n
n

n

n n



  

 



 



12 6





n n n n n n

     



 







 

2 1

1 2 12 6 1 9 8 36

n l

n n n n n

n n




           



 .

Khi đó

















8 8 8 8 8

2 2 2

8 8

0 0

1 1 1

k k

k k k

k k

x x C x x C x x

x x x

 

 

     

           

 

 



 



 

















8 8 8

8 2 8 8

8 8 8

0 0 0 0 0

1 1 1 1

k k

k k k k k k k k l l k k k l l k

k k

k k l k l

C x x x C x  C x C C x 

    





  









 



Xét phương trình l k 8 0



  l k 8



suy ra



l k ,







0;8 ; 1;7 ; 2;6 ; 3;5 ; 4; 4

 





Từ đó suy ra, số hạng không chứa x trong khai triển là: 98 .

Câu 34: Trong khai triển

40
2

x
x

 



 

  , hãy tìm hệ số của x31

A. 9880 . B. 1313 . C. 14940 . D. 1147 .

Lời giải
Chọn A

40 40 40

40 40 3

40 40

2 2

0 0

1 1

k

k k k k

k k

x C x C x

x x

 

 

   

  

   

 



 



.

Ta có 40 3 k 31 k  .3

Hệ số của x31 trong khai triển là:C 403 9880.

Câu 35: Hãy tìm trong khai triển nhị thức

18
3

x
x

 



 

  số hạng độc lập đối với x

A. 9880. B. 1313. C. 14940. D. 48620.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Chọn D.

 

18 18 18

3 3 54 6

18 18

3 3

0 0

1 1

k
k

k k k

k k

x C x C x

x x



 

   

  

   

 



 



Ta có 54 6 k 0 k9.

Số hạng độc lập đối với x là C 189 48620.

Câu 36: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển

3
3

x
x

 



 

 

A.

9 . B.

2 . C.

621

113 . D.

1412
3123 .

Lời giải
Chọn A.

3
3

x
x

 



 

 





12 12

2 12 12 2

12 12

0 0

. 3 1

k
k

k

k k k k

k k

x

C C x

x



 

 

   

      

   



Ta có 12 2 k  4 k  .4

Hệ số của số hạng chứa x4 là

4 4
12

55
3

C 



Câu 37: Tính hệ số của x y trong khai triển 25 10





15
3

x xy

A.

300123

. B.

121148

. C.

3003

. D.

1303

Lời giải
Chọn C.





 





15 15

3 3 45 2

15 15

0 0

. .

k k

k k k k

k k

x xy C x  xy C x  y

 

 







Ta có

45 2 25

10
10

k

k
k

 



 





Hệ số của x y trong khai triển là 25 10 C 1510 3003.

Câu 38: Cho đa thức

  











2 20

1 2 1 ... 20 1

P  x  x   x có dạng khai triển là

 

2 20

0 1 2 ... 20

P a a x a x  a x . Hãy tìm hệ số a .15

A. 400995 . B. 130414 . C. 511313 . D. 412674 .

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Xét khai triển





1 n n n k k

n
k

n x n C  x



 



Ta có a15 15C150 16C161 17C172 18C183 19C194 20C205 400995.

Câu 39: Xác định hệ số x4 trong khai triển sau:





100
2

( ) 3 2 1

f x  x  x

A. 8089 . B. 8085 . C. 1303 . D. 11312 .

Lời giải
Chọn B.

Ta có

(

)

(

)

2 10 2

10 3 2 .1 10 3 2

k k

k k k

C x + x - =C x + x

Hệ số của

2
3
4

k

x k

k

é =
ê
ê

Þ ê= Þ

ê =

ë số hạng

( )

2 2 4

2 2 3 2 2 4

10 3 10. . 33 . 2 10 2

C x +C C x x +C x Þ

hệ số
8085.

Câu 40: Tìm hệ số x7 trong khai triển thành đa thức của





2 3 x n, biết n là số

nguyên dương thỏa mãn: 21 1 23 1 21 1 25 1 ... 22 11 1024

n

n n n n n

C C C C C 

          

A. 2099529 . B. 2099520. C. 2099529. D. 2099520 .

Lời giải
Chọn B.

Ta có

(

)

2 1 2 1

0 0

1 1 .1 .1

n n

n k k n k k

n n

k k

C C

+ +

+ +

-+ +

= =

+ =

å

(

)

2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

0 0

1 1 .( 1) .1 ( 1)

n n

n k k n k k k

n n

k k

C C

+ +

+ +

-+ +

= =

- =

å

- =

å

-Do đó

(

)

2 1 1 3 2 1

2 1 2 1 2 1

2 n 0 2 ... n 2.1024 5

n n n

C C C n

+ +

+ + +

- = + + + = Þ =

(

)

10 10 10

10 10 10

2 3x Ck.( 3 )x k Ck.( 3) .2k -k.xk k 7 Ck.( 3) .2k -k 2099520

Þ - = - = - Þ = Þ - =- .

Câu 41: Tìm hệ số x9 trong khai triển:













9 10 14

( ) 1 1 ... 1

f x  x  x   x

A. 8089 . B. 8085 . C. 3003 . D. 11312 .

Lời giải
Chọn C.

Ta có

(

)

n

n k k

n
k

x C x

+ =

å

hệ số C99+C109 + +... C149 =3003.

Câu 42: Tìm hệ số x5 trong khai triển đa thức của









5 2 10

1 2 1 3

x  x x  x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Lời giải
Chọn A.

Ta có

(

)

(

)

5
5

5
0

1 2 k 2 k

k

x x x C x

- =

å

- Þ

hệ số x5 là C54.( 2)- 4=80

(

)

10 10

( )

2 2

10
0

1 3 k 3 k

k

x x x C x

+ =

å

hệ số x5 là C103.33 =3240Þ Hệ số cần tìm 80 +

3240 = 3320.

Câu 43: Tìm hệ số x8 trong khai triển đa thức





8
2

( ) 1 1

f x   x  x 

A. 213. B. 230 . C. 238 . D. 214 .

Lời giải
Chọn C.

Ta có

(

)

2 3
8

3
4

k

k k

C x x

k

é =
ê

- Þ Þ

ê =

ë Số hạng

( )

2
4 8 3 2 3
8. 8.3 .

C x +C x x Þ

</div>

Bài tập có đáp án chi tiết về nhị thức niu tơn môn toán lớp 11 của thầy đặng việt hùng | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện







 







































 

















<sub></sub>













<sub></sub>













<sub></sub>











 





 



<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>







 













 



<sub></sub>

  









