Bài 10. Bài tập có đáp án chi tiết về xác suất của thầy Huỳnh Đức Khánh | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (213.4 KB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

DẠNG 2. BÀI TỐN BỐC SỐ

A – CƠ BẢN

Bài 1. Cho tập hợp A =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5

}

. Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau
được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để
số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.

Lời giải

Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc. Trong đó
, ,

; ;

a b c A
a

a b b c c a

ỡ ẻ

ùù
ùù ạ
ớù

ùù ạ ạ ạ
ùợ

Khi ú

S cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì a¹ 0.
● Số cách chọn chữ số b có 5 cách chọn vì b a¹ .

● Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì c a¹ và c b¹ .
Do đó tập S có 5.5.4 100= phần tử.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C1001 =100.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn có chữ số cuối gấp đơi chữ số đầu''. Khi đó ta có
các bộ số là 1 2b hoặc 2 4b thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có 4 cách chọn nên
có tất cả 8 số thỏa yêu cầu.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 8.

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =1008 =252.

Bài 2. Cho tập hợp A =

{

2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

}

. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số
đơi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ

S, tính xác suất để số được chọn mà trong mỗi số ln ln có mặt hai chữ số chẵn và
hai chữ số lẻ.

Lời giải
Số phần tử của tập S là A =74 840.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C8401 =840.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn ln ln có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ''.
● Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số 2; 4; 6; 8 là C =42 6 cách.

● Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ số 3; 5; 7 là C =32 3 cách.

● Từ bốn chữ số được chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập
tương ứng với một hoán vị của 4 phần tử nên có 4! cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C C42. .4! 432.32 =

Vậy xác suất cần tính P X

( )

= WWX =840432=1835.

Bài 3. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đơi một khác nhau được lập thành từ
các chữ số 1; 2; 3; 4; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác xuất để số được chọn chia
hết cho 3.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C601 =60.

Gọi A là biến cố ''Số được chọn chia hết cho 3 ''. Từ 5 chữ số đã cho ta có 4 bộ
gồm ba chữ số có tổng chia hết cho 3 là

(

1; 2; 3

)

(

1; 2; 6

)

(

2; 3; 4

)

và

(

2; 4; 6

)

. Mỗi bộ
ba chữ số này ta lập được 3! 6= số thuộc tập hợp S.

Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 6.4 24= .

Vậy xác suất cần tính P A

( )

=WWA =2460=25.

Bài 4. Cho tập hợp A =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

}

. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ
số đơi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số
từ S, tính xác xuất để số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba ln chia
hết cho 6.

Lời giải

Gọi số cần tìm của tập S có dạng a a a a a a1 2 3 4 5 6. Khi đó

● Số cách chọn chữ số a1 có 7 cách chọn vì a ¹1 0.

● Số cách chọn thứ tự cho a a a a a2; ; ; ; 3 4 5 6 trong tập A\

{ }

a1 có A75 cách.

Do đó tập S có 7.A =75 17640 phần tử.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C176401 =17640.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba ln chia
hết cho 6 ''. Suy ra a Ỵ6

{

1; 3; 5; 7

}

và a Ỵ3

{

0; 6

}

. Ta có các trường hợp thuận lợi cho

biến cố X như sau:

● Trường hợp 1. Với a =3 0: chữ số a6 có 4 cách chọn, a1 có 6 cách chọn, ba

chữ số cịn lại có A53 cách chọn. Do đó trong tường hợp này có 4.6. A53 số .

● Trường hợp 2. Với a =3 6: chữ số a6 có 4 cách chọn, a1 có 5 cách chọn, ba

chữ số cịn lại có A53 cách chọn. Do đó trong tường hợp này có
3
5
4.5. A số .

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 4.6.A53 4.5.+ A53= 2640.

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =17640 1472640= 22.

Bài 5. Cho tập hợp A =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

}

. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số
đơi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ

S, tính xác suất để số được chọn là số có tổng các chữ số là một số lẻ.
Lời giải

Gọi số cần tìm của tập S có dạng a a a1 2 3. Khi đó

● Số cách chọn chữ số a1 có 6 cách chọn vì a ¹1 0.

● Số cách chọn thứ tự cho a a2; 3 trong tập A\

{ }

a1 có A62 cách.

Do đó tập S có 6.A =62 180 phần tử.

Khơng gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C1801 =180.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn có tổng các chữ số là một số lẻ''. Ta có các trường
hợp thuận lợi cho biến cố X như sau:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chọn một chữ số lẻ trong 3 chữ số lẻ nên có C13 cách, chọn hai chữ số

chẵn trong 4 chữ số chẵn có C42. Do đó có tất cả C C31. .3!42 số thỏa mãn

biến cố X bao gồm chữ số 0 đứng đầu.

Bây giờ ta tính riêng số các chữ số thỏa mãn biến cố X nhưng có số 0
đứng đầu, suy ra số đó có dạng 0a a2 3. Chọn một chữ số lẻ trong 3 chữ

số lẻ nên có C31 cách, chọn thêm một chữ số chẵn trong 3 chữ số chẵn

cịn lại có C13 cách. Do đó có C C31. .2!13 số.

Suy ra trong trường hợp này có C C13. .3!42 - C C31. .2! 9031 = số.

● Trường hợp 2. Gồm ba chữ số lẻ.

Chọn ba chữ số lẻ trong 3 chữ số lẻ nên có C33 cách.

Suy ra trong trường hợp này có C33.3! 6= số.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 90 6 96.+ =

Vậy xác suất cần tính P X

( )

= WWX =158.

Bài 6. Cho tập hợp A =

{

1; 2; 3; 4; 5

}

. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất

3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A. Chọn
ngẫu nhiên một số từ S, tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10.

Lời giải

Ta tính số phần tử thuộc tập S như sau:

● Số các số thuộc S có 3 chữ số là A53.

● Số các số thuộc S có 4 chữ số là A54.

● Số các số thuộc S có 5 chữ số là A55.

Suy ra số phần tử của tập S là A53+A54+A55=300.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C3001 =300.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 ''. Các tập con của A có
tổng số phần tử bằng 10 là A =1

{

1; 2; 3; 4

}

, A =2

{

2; 3; 5

}

, A =3

{

1; 4; 5

}

● Từ A1 lập được các số thuộc S là 4!.

● Từ A2 lập được các số thuộc S là 3!.

● Từ A3 lập được các số thuộc S là 3!.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W = + + =X 4! 3! 3! 36.

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =30036 =253.

Bài 7. Cho tập hợp A =

{

0; 1; 2; 3; 4

}

. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số
đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A. Chọn ngẫu nhiên 3 số bất
kì trong tập S, tính xác suất để trong 3 số được lấy ra có đúng 1 số có chữ số 3.

Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc. Khi đó

● Số cách chọn chữ số a có 4 cách chọn vì a¹ 0.

● Số cách chọn thứ tự cho b c; trong tập A\

{ }

a có A42 cách.

Do đó tập S có 4.A =42 48 phần tử.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Gọi X là biến cố '' 3 số được lấy ra có đúng 1 số có chữ số 3 ''. Để tìm số phần tử
của biến cố X ta làm như sau:

● Lập luận tương tự như trên ta được trong S có 3.A =32 18 số khơng có chữ

số 3. Suy ra có 48 18 30- = số có chữ số 3.
● Số cách lấy 1 số ln có chữ số 3 là C =301 30 cách.

● Số cách lấy 2 số không có chữ số 3 là C =182 153 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 30.153 4590.=

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =172964590=22958648.

Bài 8. Cho tập hợp A =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5

}

. Gọi S là tập hợp các số lẻ có 4 chữ số đơi một
khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S,
tính xác suất để lấy được một số nhỏ hơn 2015.

Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcd. Khi đó

● Số cách chọn chữ số d Ỵ

{

1; 3; 5

}

có 3 cách chọn.
● Số cách chọn chữ số a AỴ \ 0;

{

d

}

có 4 cách chọn.
● Số cách chọn thứ tự b c, trong tập A\

{

a d;

}

có A42 cách.

Do đó tập S có 3.4.A =42 144 phần tử.

Khơng gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C1441 =144.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn nhỏ hơn 2015 ''. Có hai trường hợp thuận lợi cho
biến cố X là chữ số a=2 hoặc a=1.

● Nếu a=2 thì chỉ có 1 số duy nhất là số 2013.
● Nếu a=1 thì số đó có dạng 1bcd

Chọn d Î

{

3; 5

}

có 2 cách chọn.

Chọn thứ tự b c, trong tập A\ 1;

{

d

}

có A42 cách.

Suy ra số các số thuộc dạng 1bcd có 2.A =42 24 số.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W = +X 1 24 25= .

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =14425.

Bài 9. Một hộp đựng 10 chiếc thẻ được đánh số từ 0 đến 9. Lấy ngẫu nhiên ra 3 chiếc
thẻ, tính xác suất để 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia
hết cho 5.

Lời giải

Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên 3 chiếc thẻ từ 10 chiếc thẻ.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C103 .

Gọi A là biến cố '' 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số
chia hết cho 5 ''. Để cho biến cố A xảy ra thì trong 3 thẻ lấy được phải có thẻ mang chữ
số 0 hoặc chữ số 5. Ta đi tìm số phần tử của biến cố A, tức 3 thẻ lấy ra khơng có thẻ
mang chữ số 0 và cũng khơng có thẻ mang chữ số 5 là C83 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C103- C83.

Vậy xác suất cần tính

( )

3 3

10 8
3
10

8.
15

A C C

P A

C

-= = =

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 10. Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 8 tấm thẻ, tính
xác suất để có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm
thẻ mang số chia hết cho 10.

Lời giải

Không gian mẫu là cách chọn 8 tấm thể trong 20 tấm thẻ.
Suy ra số phần tử của không mẫu là W=C208 .

Gọi A là biến cố '' 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có
đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 ''. Để tìm số phần tử của A ta làm như sau:

● Đầu tiên chọn 3 tấm thẻ trong 10 tấm thẻ mang số lẻ, có C103 cách.

● Tiếp theo chọn 4 tấm thẻ trong 8 tấm thẻ mang số chẵn (khơng chia hết cho

10), có C84 cách.

● Sau cùng ta chọn 1 trong 2 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, có C21 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C C C103. .84 21.

Vậy xác suất cần tính

( )

3 4 1
10 8 2

. . 560

4199

A C C C

P A

C

= = =

W .

B – NAÂNG CAO

Bài 11. Cho tập hợp A =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

}

. Gọi S là tập hợp các số chẵn có 5 chữ số
khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính
xác suất để số được chọn có tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng nghìn bằng 5.

Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde.

● Trường hợp 1. Nếu e=0 thì có 1 cách chọn.
Số cách chọn chữ số a có 6 cách chọn.

Chọn thứ tự cho b c d, , trong tập A\

{

a; 0

}

có A53 cách chọn.

Do đó trường hợp này có 6.A53 số.

● Trường hợp 2. Nếu

{

2; 4; 6

}

thì có 3 cách chọn.
Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì a¹ 0 và a e¹ .
Chọn thứ tự cho b c d, , trong tập A\

{

a e;

}

có A53 cách chọn.

Do đó trường hợp này có 3.5.A53 số.

Suy ra tập S có 6.A53+3.5.A53=1260 phần tử.

Khơng gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C12601 =1260.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn có tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng nghìn
bằng 5''. Để b c+ =5, suy ra

{ } {

b c =; 0; 5 , 1; 4 , 2; 3

} {

}

● Trường hợp 1. Nếu

{ } {

b c =; 0; 5

}

+) Có 2 cách chọn b c; .

+) e chẵn nên có 3 cách chọn chữ số

{

2; 4; 6

}

.
+) Có A42 cách chọn a d; .

Suy ra có 2.3.A =42 72 số thỏa mãn.

● Trường hợp 2. Nếu

{ } {

b c =; 1; 4

}

+) Có 2 cách chọn b c; .

+) Với e=0 thì có A42 cách chọn a d; . Với

{

2; 6

}

thì có 2 cách chọn

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

● Trường hợp 3. Nếu

{ } {

b c =; 2; 3

}

thì tương tự như trường hợp 2 có 60 số
thỏa mãn.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 72 60 60 192+ + = .

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =1260192 =10516.

Bài 12. Cho tập hợp A =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

}

. Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác
nhau được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên hai số từ S, tính xác suất
để mỗi số được chọn có tổng các chữ số bằng 7.

Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc. Khi đó

● Số cách chọn chữ số a có 6 cách chọn vì a¹ 0.
● Số cách chọn chữ số b có 6 cách chọn vì b a¹ .

● Số cách chọn chữ số c có 5 cách chọn vì c a¹ và c b¹ .
Do đó tập S có 6.6.5 180= phần tử.

Khơng gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C1802 .

Gọi X là biến cố ''Hai số được chọn mà mỗi số có tổng các chữ số bằng 7 ''. Ta có
các bộ 3 chữ số có tổng các chữ số bằng 7 gồm:

{

0;1;6 , 0;2;5 , 0;3;4 , 1;2;4

} {

}

● Mỗi bộ trong các bộ

{

0;1;6 , 0;2;5 , 0;3;4

} {

}

có số cách lập là 3! 1.2! 4- = số.

● Bộ

{

1;2;4

}

có số cách lập là 3! 6= số.

Do đó có tất cả 3.4 6 18+ = số có tổng ba chữ số bằng 7.
Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C182.

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =16110 1790153 = 17 .

Bài 13. Cho tập hợp A =

{

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

}

. Gọi S là tập hợp các số có 6 chữ số
khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính
xác suất để số được chọn thỏa mãn tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn
bằng 8.

Lời giải
Số phần tử của tập S là A =96 60480.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C604801 =60480.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn thỏa mãn tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm,
hàng ngàn bằng 8 ''. Gọi số được chọn có dạng a a a a a a1 2 3 4 5 6.

Theo giả thiết

{

}

{

}

3 4 5

, , 1; 2; 5
8

, , 1; 3; 4
a a a

a a a

a a a

é Ỵ

+ + = ị ờ ẻ

ờ

ở .

Trng hp 1. Vi a a a Ỵ3, ,4 5

{

1; 2; 5

}

, ta có 6 cách chọn a1; 5 cách chọn a2

; 3! cách chọn a a a3, ,4 5 và 4 cách chọn a6. Do đó có 6.5.3!.4 720= số.

● Trường hợp 2. Với a a a Ỵ3, ,4 5

{

1; 3; 4

}

. Tương tự có 720 số.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 720 720 1440.+ =

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 14. Cho tập hợp A =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

}

. Gọi S là tập hợp các số có 4 chữ số khác
nhau được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác
suất để số được chọn là số chẵn đồng thời số hàng đơn vị bằng tổng các số hàng chục,
hàng trăm và hàng nghìn.

Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcd. Khi đó

● Số cách chọn chữ số a có 6 cách chọn vì a ¹1 0.

● Số cách chọn thứ tự cho b c d; ; trong tập A\

{ }

a có A63 cách.

Do đó tập S có 6.A =63 720 phần tử.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C7201 =720.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn là số chẵn đồng thời số hàng đơn vị bằng tổng các
số hàng chục, hàng trăm và hàng nghìn''.

Số được chọn thỏa mãn biến cố X nếu d

{

0;2;4;6

}

d

{

4;6

}

d a b c d a b c

ỡ ỡ

ù ẻ ù ẻ

ù ị ù

ớ ớ

ù = + + ï = + +

ï ï

ỵ ỵ .

● Số có dạng abc4, suy ra a b c+ + =4 nên tập

{

a b c; ;

}

là

{

0;1;3

}

.
Do đó trường hợp này có 3! 1.2! 4- = số.

● Số có dạng abc6, suy ra a b c+ + =6 nên tập

{

a b c; ;

}

là

{

0;1;5

}

{

0;2;4

}

{

1;2;3

}

.

Do đó trường hợp này có 2 3! 1.2!

(

)

+ =3! 14 số.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W = +X 4 14 18.=

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =72018 =401.

Bài 15. Cho tập hợp A =

{

1; 2; 3; 4; 5; 6

}

. Gọi S là tập hợp các số có 2 chữ số khác
nhau được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên 2 số từ S, tính xác suất
để 2 số được chọn có các chữ số khác nhau và có tổng bằng 18.

Lời giải
Số phần tử của tập S là A =62 30.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C302 .

Gọi X là biến cố '' 2 số được chọn có các chữ số khác nhau và có tổng bằng 18 ''. Từ

tập đã cho A chỉ có một bộ số duy nhất

{

3; 4; 5; 6

}

thỏa mãn 3 4 5 6 18+ + + = .

● Có A =42 12 số có 2 chữ số khác nhau được lập thành từ tập

{

3; 4; 5; 6

}

● Giả sử ta chia 12 số đó thành 2 nhóm như sau:
+) Nhóm I gồm các số có chứa chữ số 3, có 6 số.
+) Nhóm II gồm các số khơng chứa chữ số 3, có 6 số.

Khi đó ứng với mỗi số ab ở nhóm I, có 2 số cd ở nhóm II thỏa mãn

a b c d+ + + = .

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 6.2 12= .

Vậy xác suất cần tính

( )

2
30

12 4

.
145

X

P X

C
W

= = =

Bài 16. Chọn ngẫu nhiên mợt số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đơi mợt. Tính xác suất
để số được chọn thỏa mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Gọi số cần tìm có dạng a a a a a1 2 3 4 5. Khi đó

● Số cách chọn chữ số a1 có 9 cách chọn vì a ¹1 0.

● Chọn 4 chữ số từ tập

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 \ a

} { }

1 để xếp vào 4 vị trí

2 3 4 5

a a a a có A94 cách.

Do đó có 9.A =94 27216 số.

Khơng gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số trong 27216 số.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C272161 =27216.

Gọi A là biến cố ''Số có năm chữ số được chọn thoả mãn chữ số đứng sau lớn hơn
chữ số đứng trước''. Vì chữ số 0 không thể đứng trước bất kỳ số nào nên xét tập hợp

{

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

}

X = . Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách
sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C95=126.

Vậy xác suất cần tính P A

( )

= WWA =27216126 =2161 .

Bài 17. Chọn ngẫu nhiên mợt số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đơi mợt. Tính xác suất
để số được chọn thỏa mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước hoặc chữ số
đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước.

Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng a a a a a1 2 3 4 5. Khi đó

● Số cách chọn chữ số a1 có 9 cách chọn vì a ¹1 0.

● Chọn 4 chữ số từ tập

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 \ a

} { }

1 để xếp vào 4 vị trí

2 3 4 5

a a a a có A94 cách.

Do đó có 9.A =94 27216 số.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số trong 27216 số.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C272161 =27216.

Gọi A là biến cố ''Số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước
hoặc chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước''. Ta xét hai trường hợp:

● Trường hợp 1. Số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền
trước nên các số được chọn thuộc tập X =

{

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

}

. Mỗi bộ

gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách sắp xếp theo thứ tự tăng
dần. Do đó trường hợp này có C =95 126 số.

● Trường hợp 2. Số được chọn có chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng liền
trước nên các số được chọn thuộc tập X =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

}

. Mỗi
bộ gồm 5 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách sắp xếp theo thứ tự
giảm dần. Do đó trường hợp này có C =105 252 số.

Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 126 252 378.+ =

Vậy xác suất cần tính P A

( )

=WWA =27216378 =721.

Bài 18. Chọn ngẫu nhiên mợt số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một và thỏa mãn
chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. Tính xác suất để số được chọn là số
chẵn.

Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng abc.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

● Mỗi bộ gồm 3 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách xếp thỏa a b c< < .
Do đó có C =93 84 số.

Khơng gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số trong 84 số.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C841 =84.

Gọi A là biến cố ''Số được chọn là số chẵn''. Ta có các trường hợp sau:

● Nếu c=4 thì ta chọn 2 chữ số trong 3 chữ số

{

1; 2; 3

}

để xếp vào hai vị trí

a b nên có 2
3

C cách.

● Nếu c=6 thì ta chọn 2 chữ số trong 5 chữ số

{

1; 2; 3; 4; 5

}

để xếp vào hai
vị trí a b, nên có C52 cách.

● Nếu c=8 thì ta chọn 2 chữ số trong 7 chữ số

{

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

}

để xếp
vào hai vị trí a b, nên có C72 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C32+C52+C72=34.

Vậy xác suất cần tính P A

( )

= WWA =3484=1742.

Bài 19. Cho tập hợp A =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

}

. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số
được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để
số được chọn có tất cả các chữ số đều phân biệt và chữ số lớn nhất nằm ở hàng đơn vị,
chữ số nhỏ nhất nằm ở hàng trăm.

Lời giải
Số phần tử của tập S là 6.74.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=6.7 .4

Gọi X là biến cố ''Số được chọn có tất cả các chữ số đều phân biệt và chữ số lớn
nhất nằm ở hàng đơn vị, chữ số nhỏ nhất nằm ở hàng trăm''. Mỗi bộ gồm 5 chữ số khác
nhau lấy ra từ A

● Luôn chọn được số lớn nhất cho hàng đơn vị, số nhỏ nhất cho hàng trăm nên
có C75 cách.

● Ba vị trí cịn lại có 3! cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C75.3!.

Vậy xác suất cần tính

( )

5
7
4

.3! 3 .

343
6.7

X C

P X =W = =

Bài 20. Cho tập hợp A =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

}

. Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số
được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để
số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng liền trước.

Lời giải

Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc.
Khi đó

● Số cách chọn chữ số a có 9 cách vì a¹ 0.
● Số cách chọn chữ số b có 10 cách.

● Số cách chọn chữ số c có 10 cách.
Do đó tập S có 9.10.10 900= phần tử.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Gọi X là biến cố ''Số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng
liền trước''. Có nghĩa là a b c£ £ , ta mô tả các kết quả thuận lợi cho biến cố X như sau.

● Trường hợp 1. a b c< < tức a b c, , đơi một khác nhau và có sự sắp xếp.
Vì a¹ 0 và a b c< < nên b¹ 0 và c¹ 0. Cứ mỗi bộ gồm 3 chữ số khác
nhau lấy ra từ

{

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

}

ln có một cách sắp xếp thỏa mãn

a b c< < .

Suy ra trường hợp này có C93 số thỏa mãn.

● Trường hợp 2. a b c= = . Vì a¹ 0 và a b c= = nên b¹ 0 và c¹ 0.
Suy ra trường hợp này có C91 số thỏa mãn.

● Trường hợp 3. a b c= < . Vì a¹ 0 và a b c= < nên b¹ 0 và c¹ 0.

Cứ mỗi bộ gồm 2 chữ số khác nhau lấy ra từ

{

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

}

ln
có một cách sắp xếp thỏa mãn a b c= < .

Suy ra trường hợp này có C92 số thỏa mãn.

● Trường hợp 4. a b c< = . Vì a¹ 0 và a b c< = nên b¹ 0 và c¹ 0.

Cứ mỗi bộ gồm 2 chữ số khác nhau lấy ra từ

{

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

}

ln
có một cách sắp xếp thỏa mãn a b c< = .

Suy ra trường hợp này có C92 số thỏa mãn.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C93+C91+C92+C92=165.

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =165900=1160.

Bài 21. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đơi một khác nhau. Chọn
ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn ln có mặt 2 chữ số lẻ và 3 chữ
số chẵn.

Lời giải
Đặt A =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

}

Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde với a b c d e A, , , , ẻ v aạ 0.
S cỏch chn chữ số a có 9 cách chọn.

● Số cách chọn thứ tự cho b c d e, , , từ tập A\

{ }

a có A94 cách.

Do đó tập S có 9.A94 phần tử.

Khơng gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=9. .A94

Gọi X là biến cố ''Số được chọn luôn có mặt 2 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn''. Ta mô
tả không gian của biến cố X như sau:

● Trước hết ta đếm các số dạng abcde có 2 chữ số lẻ 3 và chữ số chẵn phân
biệt tính cả trường hợp a=0. Khi đó ta chọn ra 2 chữ số lẻ 3 và chữ số
chẵn phân biệt từ tập A rồi hốn vị các chữ số đó, có C C52. .5!53 số.

● Tiếp theo ta xét các số có dạng 0bcde trong đó b c d e, , , gồm 2 chữ số lẻ và

2 chữ số chẵn (khác 0) phân biệt. Khi đó ta chọn ra 2 chữ số lẻ 2 và chữ số
chẵn (khác 0) phân biệt từ tập A rồi hoán vị các chữ số đó, có C C52. .4!42 số.

Suy ra số phần tử của biến cố X là C C53. .5!52 - C C42. .4! 10560.52 =

Vậy xác suất cần tính

( )

4
9

10560 220
.
567
9.

X

P X

A
W

= = =

Bài 22. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu
nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn có số chữ số chẵn bằng số chữ số lẻ.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Đặt A =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

}

Gọi số cần tìm của tập S có dạng a a a a a a1 2 3 4 5 6 với a a a a a a1, , , , , 2 3 4 5 6ẻ A v a1ạ 0.

Số cách chọn chữ số a1 có 9 cách chọn.

● Số cách chọn thứ tự cho a a a a a2, , , , 3 4 5 6 từ tập A\

{ }

a1 có A95 cách.

Do đó tập S có 9.A95 phần tử.

Khơng gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=9. .A95

Gọi X là biến cố ''Số được chọn ln có số chữ số chẵn bằng số chữ số lẻ, tức là có

3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ''. Ta đi tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố X như sau:
● Trong 10 số từ 0 đến 9 có 5 số chẵn, 5 số lẻ.

● Số các số có 3 số chẵn, 3 số lẻ (kể cả số 0 đứng đầu) là C C53. .6!53 .

● Số các số có 3 số chẵn, 3 số lẻ (số 0 đứng đầu) là 1. . .5!C C42 53 .

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C C53. .6!53 - C C42. .5!53 .

Vậy xác suất cần tính

( )

=WW = - =

3 3 2 3

5 5 4 5

5
9

. .6! . .5! 10

21
9.

X C C C C
P X

A .

Bài 23. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau mà mỗi chữ số
đều lớn hơn 4. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn có 3 chữ số
lẻ đứng kề nhau.

Lời giải

Vì số tự nhiên cần tìm có các chữ số đều lớn hơn 4 nên số tự nhiên cần tìm được
thành lập từ tập A= 5; 6; 7; 8; 9

{

}

Suy ra số phần tử của tập S là A55=120.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C1201 =120.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn có 3 chữ số lẻ đứng kề nhau''. Vì 3 chữ số lẻ đứng
kề nhau nên gom chúng thành chữ số M .

● Bước 1. Xếp M và hai chữ số chẵn cịn lại có 3! cách xếp.

● Bước 2. Ứng với mỗi cách ở Bước 1, có 3! cách xếp các phần tử trong M .
Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 3!.3! 36= .

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =120 1036 = 3.

Bài 24. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu
nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn và ln có mặt các chữ số 8
và 9.

Lời giải
Đặt A =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

}

Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcd với a b c d A, , , Ỵ và a¹ 0.
● Số cách chọn chữ số a có 9 cách chọn.

● Số cách chọn thứ tự cho b c d, , từ tập A\

{ }

a có A93 cách.

Do đó tập S có 9.A93 phần tử.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=9. .A93

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

● Trường hợp 1. d =0.

Chọn 2 vị trí trong 3 vị trí cịn lại để xếp hai chữ số 8 và 9, có A32 cách.

Chọn 1 chữ số trong 7 chữ số còn lại để xếp vào vị trí cịn lại, có C71 cách.

Do đó trường hợp này có 1. .A C32 71=42 số.

● Trường hợp 2. d =8.

+) Có 3 vị trí để xếp chữ số 9. Chọn 2 chữ số trong 8 chữ số còn lại
để xếp vào 2 vị trí cịn lại, có A82 cách. Do đó có 3.A82=168 số (kể

cả số 0 đứng đầu).

+) Xét riêng trường hợp chữ số 0 ở vị trí đầu tiên. Khi đó chữ số 9 có

2 cách xếp, chọn 1 chữ số trong 7 chữ số còn lại để xếp vào vị trí
cịn lại có C17 cách. Suy ra có =

1
7

2.C 14 số.
Tóm lại trong trường hợp này có 168 14 154- = số.
● Trường hợp 3. dỴ 2; 4; 6

{

}

nên d có 3 cách chọn.

+) Chọn 2 vị trí trong 3 vị trí cịn lại để xếp hai chữ số 8 và 9, có A32

cách. Chọn 1 chữ số trong 7 chữ số còn lại để xếp vào vị trí cịn lại,
có C71 cách. Do đó có =

2 1
3 7

3. .A C 126 số (kể cả số 0 đứng đầu).

+) Xét riêng trường hợp chữ số 0 ở vị trí đầu tiên. Khi đó có 2! cách
xếp hai chữ số 8 và 9 cho 2 vị trí cịn lại. Suy ra có 3.2! 6= số.
Tóm lại trong trường hợp này có 126 6 120- = số.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 42 154 120 316.+ + =

Vậy xác suất cần tính

( )

3
9

316 79 .

1134
9.

X
P X

A

= = =

Bài 25. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 7 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu
nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn có chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số

1 và 3.

Lời giải
Số phần tử của tập S là 9.A96.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=9. .A96

Gọi X là biến cố ''Số được chọn có chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 ''. Do
đó số cần tìm phải chứa bộ M=123 hoặc N= 321.

● Trường hợp 1. Số cần tìm chứa bộ M =123.

+) Chọn thêm tùy ý 4 số từ tập

{

0; 4; 5; 6; 7; 8; 9

}

có C74cách. Cho 4

số vừa chọn và bộ M hoán vị nên có 5! cách. Suy ra có

=
4

7.5! 4200

C số (kể cả số 0 đứng đầu).

+) Xét riêng trường hợp số 0 đứng đầu, chọn thêm tùy ý 3 số từ tập

{

4; 5; 6; 7; 8; 9

}

có 3

C cách. Cho 3 số vừa chọn và bộ M hốn vị

nên có 4! cách. Suy ra có C63.4! 480= số có chữ số 0 đứng đầu.

Do đó trường hợp này có 4200 480 3720- = số.

● Trường hợp 2. Số cần tìm chứa bộ N= 321. Tương tự có 3720 số.
Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 3720 3720 7440.+ =

Vậy xác suất cần tính

( )

6
9

7440 31
.
2266
9.

X

P X

A
W

= = =

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

tính xác suất để số được chọn là số chẵn đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó
đứng cạnh nhau.

Lời giải
Số phần tử của tập S là 6.A64.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=6. .A64

Gọi X là biến cố ''Số được chọn là số chẵn đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ
số lẻ đó đứng cạnh nhau''. Vì 2 chữ số lẻ đứng kề nhau nên ta gom 2 số lẻ thành số M ,
có C =32 3 bộ M . Khi đó biến cố X trở thành ''Số được chọn là số chẵn có các chữ số

được lập thành từ tập

{

0; 2; 4; 6; M

}

và bắt buộc phải có chữ số M ''. Gọi số cần chọn
thỏa mãn biến cố X có dạng abcd với d Ỵ

{

0; 2; 4; 6

}

` ● Trường hợp 1. d =0, suy ra d có 1 cách chọn.

+) Có 3 vị trí để xếp chữ số M , ứng với mỗi cách xếp M có 2! cách
xếp hai phần tử trong M .

+) Chọn thứ tự 2 chữ số từ tập

{

2; 4; 6

}

để xếp vào 2 vị trí trống cịn

lại, có A32 cách.

Do đó trường hợp này có 1.3.2!.A =32 36 số.

● Trường hợp 2. d Ỵ

{

2; 4; 6

}

, suy ra d có 3 cách chọn.

+) Nếu xếp M vào vị trí đầu tiên nên có 1 cách, ứng với cách xếp này

có 2! cách xếp hai phần tử trong M . Chọn 2 chữ số từ tập 3 chữ số
còn lại để xếp vào 2 vị trí trống cịn lại, có A32 cách. Suy ra có tất cả

2
3

3.1.2!.A =36 số.

+) Nếu xếp M vào vị trí thứ 2 hoặc thứ 3 thì có 2 cách, ứng với cách
xếp này có 2! cách xếp hai phần tử trong M . Chọn 2 chữ số từ tập

3 chữ số còn lại để xếp vào 2 vị trí trống cịn lại, có A32 cách. Do đó
2

3.2.2!.A =72 số (kể cả số 0 đứng đầu). Xét riêng trường hợp chữ

số 0 đứng đầu thì có 3.2.2!.A =21 24 số. Suy ra có 72 24 48- = số.

Do đó trường hợp này có 36 48 84+ = số.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 3. 36 84

(

)

=360.

Vậy xác suất cần tính

( )

4
6

360 1

6
6.

X
P X

A

= = =

Bài 27. Cho tập hợp A =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

}

. Gọi S là tập hợp các số có 6 chữ số khác
nhau được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác
suất để số được chọn là số chẵn đồng thời phải có mặt ba chữ số 0; 1; 2 và chúng đứng
cạnh nhau.

Lời giải
Số phần tử của tập S là 7.A75.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=7. .A75

Gọi X là biến cố ''Số được chọn là số chẵn đồng thời phải có mặt ba chữ số 0; 1; 2
và chúng đứng cạnh nhau''. Gọi số cần tìm thỏa biến cố X có dạng a a a a a a1 2 3 4 5 6.

● Trường hợp 1. a =6 0, suy ra a6 có 1 cách chọn.

+) Xếp các chữ số 1; 2 vào vị trí a4 và a5 có 2 cách.

+) Chọn thứ tự a a a1, , 2 3 từ tập

{

3; 4; 5; 6; 7

}

có A53 cách.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

● Trường hợp 2. a =6 2. Tương tự như trường hợp 1 nên có 120 số.

● Trường hợp 3. a Ỵ6

{

4; 6

}

, suy ra a6 có 2 cách chọn.

+) Xếp các chữ số 0; 1; 2 đứng cạnh nhau có 3.3! 2! 16- = cách.

+) Chọn thứ tự hai chữ số từ tập

{

3; 4; 5; 6; 7 \ a

} { }

6 để xếp vào hai vị

trí cịn lại có A42 cách.

Do đó trường hợp này có 2.16.A =42 384 số.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 120 120 384 624.+ + =

Vậy xác suất cần tính

( )

5
7

624 26
.
735
7.

X

P X

A
W

= = =

Bài 28. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau. Chọn
ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn thỏa mãn phải có ba chữ số

3 ;4; 5 đứng liền với nhau và hai chữ số 7; 9đứng liền với nhau.
Lời giải

Số phần tử của tập S là 9.A96.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=9. .A96

Gọi X là biến cố ''Số được chọn thỏa mãn phải có ba chữ số 3 ;4; 5 đứng liền với
nhau và hai chữ số 7; 9đứng liền với nhau''. Gọi M là nhóm gồm ba chữ số 3 ;4; 5 và

N là nhóm gồm hai chữ số 7; 9. Ta xét các trường hợp:

● Chọn thêm hai chữ số từ

{

0; 1; 2; 6; 8

}

có C52 cách. Hai chữ số vừa chọn

cùng với M và N có 4! cách xếp thứ tự. Ứng với mỗi cách ấy trong M có

3! cách xếp vị trí cho 3 ;4; 5, trong N có 2! cách xếp vị trí cho 7; 9. Do đó
có tất cả C52.4!.3!.2! số (kể cả số 0 đứng đầu).

● Xét riêng trường hợp số 0 đứng đầu. Ta chọn thêm một chữ số từ

{

1; 2; 6; 8

}

có 1

C cách. Chữ số vừa chọn cùng với M và N có 3! cách xếp
thứ tự. Ứng với mỗi cách ấy trong M có 3! cách xếp vị trí cho 3 ;4; 5, trong

N có 2! cách xếp vị trí cho 7; 9. Do đó có C14.3!.3!.2! số có số 0 đứng đầu.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C52.4!.3!.2!- C14.3!.3!.2! 2592= .

Vậy xác suất cần tính

( )

6
9

2592 1 .

210
9.

X
P X

A

= = =

Bài 29. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số
từ tập hợp S. Tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.

Lời giải
Số phần tử của tập S là 9.10 90= .

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C902 =4005.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau''. Ta mô tả khơng
gian của biến cố X nhưu sau:

● Có 10 cách chọn chữ số hàng đơn vị (chọn từ các chữ số

{

0; 1; 2; 3;...; 9

}

● Có C92 cách chọn hai chữ số hàng chục (chọn từ các chữ số

{

1; 2; 3;...; 9

}

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 10.C92=360.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài 30. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một
số từ S, tính xác suất để chọn được một số gồm 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa
hai chữ số lẻ (hai số hai bên chữ số 0 là số lẻ).

Lời giải
Số phần tử của tập S là 9.A98.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=9.A98.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn gồm 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai

chữ số lẻ''. Do số 0 luôn đứng giữa 2 số lẻ nên số 0 khơng đứng ở vị trí đầu tiên và vị
trí cuối cùng. Ta có các khả năng

● Chọn 1 trong 7 vị trí để xếp số 0, có C71 cách.

● Chọn 2 trong 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí cạnh số 0 vừa xếp, có A52 cách.

● Chọn 2 số lẻ trong 3 số lẻ còn lại và chọn 4 số chẵn từ

{

2; 4; 6; 8

}

sau đó

xếp 6 số này vào 6 vị trí trống cịn lại có C C32. .6!44 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C A C C71. . . .6!52 32 44 .

Vậy xác suất cần tính

( )

=WW = =

1 2 2 4

7 5 3 4
8
9

. . . .6! 5

.
54
9.

X C A C C

P X

A

Bài 31. Cho tập hợp A= 1; 2; 3; 4; 5

{

}

. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số
trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số cịn lại có mặt khơng q một lần.
Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3.

Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde.

● Sắp chữ số 3 vào ba vị trí, có C =53 10 cách.

● Cịn lại hai vị trí, chọn 2 chữ số trong 4 chữ số

{

1; 2; 4; 5

}

xếp vào hai vị trí

đó, có A42=12 cách.

Do đó tập S có 10.12 120= phần tử.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C1201 =120.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn chia hết cho 3 ''. Có hai trường hợp xảy ra:
● Trường hợp 1. Hai chữ số cịn lại là 1 và 5, có C53.2! 20= số.

● Trường hợp 2. Hai chữ số còn lại là 2 và 4, có C53.2! 20= số.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 20 20 40+ = .

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =12040 =13.

Bài 32. Cho tập hợp A= 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

{

}

. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ
số đơi một khác nhau và ln có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ số thuộc tập A. Chọn
ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn chia hết cho 5.

Lời giải
Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde.

● Ta có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5, bốn chữ số cịn lại có A64 cách chọn

nên có 5A64 số ln có mặt chữ số 5 (kể cả chữ số 0 ở vị trí đầu tiên).

● Xét các số có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên, khi đó có 4 cách chọn vị trí cho chữ
số 5, ba chữ số cịn lại có A53 cách chọn nên có 4A53 số.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C15601 =1560.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn chia hết cho 5 ''. Ta có các trường hợp:

● Trường hợp 1. e=0. Khi đó có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5, ba chữ số
cịn lại có A53 cách nên có

3
5
4.A số.

● Trường hợp 2. e=5. Khi đó a có 5 cách chọn; b, c, d có A53 cách chọn

nên có 5.A53 số.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 4.A53+5.A53=540.

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =1560540=269.

Bài 33. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu
nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn chia hết cho 25.

Lời giải
Đặt A =

{

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

}

Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcd.

● Số cách chọn chữ số a có 9 cách chọn vì a¹ 0.

● Số cách chọn thứ tự cho b c d, , trong tập A\

{ }

a có A93 cách.

Do đó tập S có 9.A93=4536 phần tử.

Khơng gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C45361 =4536.

Gọi X là biến cố ''Số được chọn chia hết cho 25 ''. Do a b c d, , , đôi một khác nhau
và abcdM25 nên cdM25, suy ra cdỴ 25; 50; 75

{

}

● Nếu cd= 50 thì a có 8 cách chọn, b có 7 cách chọn. Do đó có 8.7 56= số.
● Nếu cdỴ 25; 75

{

}

thì có 2 cách, a có 7 cách chọn, b có 7 cách chọn. Do đó

có 2.7.7 98= số.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 56 98 154+ = .

Vậy xác suất cần tính P X

( )

=WWX =5436154 =32411.

Bài 34. Cho tập hợp A= 0; 2; 3; 5; 6; 8

{

}

. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số
đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ

S, tính xác suất để số được chọn có hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau.
Lời giải

Gọi số cần tìm của tập S có dạng a a a a a a1 2 3 4 5 6.

● Số cách chọn chữ số a1 có 5 cách chọn vì a1¹ 0.

● Số cách chọn thứ tự cho a a a a a2; ; ; ; 3 4 5 6 trong tập A\

{ }

a1 có A55 cách.

Do đó tập S có 5.A55 phần tử.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=5.A55.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

● Trong a a a a a a1 2 3 4 5 6 có 5 vị trí để chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau trong đó vị

trí đầu bên trái chỉ có một khả năng là 50a a a a3 4 5 6, các vị trí cịn lại có thể

hốn vị 0 và 5cho nhau. Do đó có tất cả 9 cách.

● Sau khi chọn được vị trí để hai chữ số 0 và 5đứng cạnh nhau, ta chọn một
số hoán vị của các chữ số cịn lại, tức là có 4! cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W = 9.4!X .

Suy ra số phần tử của biến cố X là W = W- W =X X 5.A55- 9.4!.

Vậy xác suất cần tính

( )

= WW = - =

5
5

5. 9.4! 16.

25
5.

X A

P X

A

Bài 35. Cho tập hợp A= 1; 2; 3; 4; 5

{

}

. Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số
gồm 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập A. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng
một số có chữ số 5.

Lời giải

Số các số tự nhiên có 3 chữ số đơi một khác nhau thuộc tập A là A53=60. Trong đó

số các số khơng có mặt chữ số 5 là A43=24, suy ra số các số ln có mặt chữ số 5 là

- =

60 24 36.

Khơng gian mẫu là viết ngẫu nhiên lên bảng 2 số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi
một khác nhau thuộc tập A.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C C601. 601 .

Gọi X là biến cố ''Hai số được viết lên bảng có đúng một số có chữ số 5 ''. Ta có hai
trường hợp xảy ra biến cố X như sau:

● Trường hợp 1. Lần thứ nhất viết số có chữ số 5, lần thứ hai viết số khơng có
chữ số 5 nên có C C361. 241 cách.

● Trường hợp 2. Lần thứ nhất viết số khơng có chữ số 5, lần thứ hai viết số có
chữ số 5 nên có C C241. 361 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C C361. 241 +C C241. 361 .

Vậy xác suất cần tính

( )

=WW = + =

1 1 1 1

36 24 24 36
1 1

60 60

. . 12

.
25
.

X C C C C

P X

</div>