Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về xác suất của thầy Huỳnh Đức Khánh | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

DẠNG 10. MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC

<b>Bài 1. Trong trị chơi "Chiếc nón kì diệu" có tất cả </b>10 ơ. Một người quay chiếc kim có thể dừng
lại một trong các vị trí: 2 ơ 10 điểm, 2 ô 20 điểm, 2 ô 30 điểm, 2 ô mất điểm, 1 ô gấp đôi, 1
ô phần thưởng với khả năng như nhau. Tính xác suất để sau 2 lần quay liên tiếp người đó được

60 điểm.

<i><b>Lời giải</b></i>

Khơng gian mẫu là 2 lần quay ngẫu nhiên liên tiếp.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=10.10 100= .

Gọi <i>A</i> là biến cố ''Sau 2 lần quay liên tiếp người đó được 60 điểm''. Ta có các khả năng
thuận lợi cho biến cố <i>A</i> như sau:

● <b>Trường hợp 1. Lần quay thứ nhất được </b>30 điểm, có 2 khả năng.
Lần quay thứ hai được 30 điểm, có 2 khả năng.

Do đó trường hợp này có 2.2 4= khả năng xảy ra.

● <b>Trường hợp 2. Lần quay thứ nhất được </b>30 điểm, có 2 khả năng.
Lần quay thứ hai được ơ nhân đơi, có 1 khả năng.

Do đó trường hợp này có 2.1 2= khả năng xảy ra.
Suy ra số phần tử của biến cố <i>A</i> là W = + =<i>A</i> 4 2 6.

Vậy xác suất cần tính <i>P A</i>

( )

=W_W<i>A</i> =₁₀₀6 =₅₀3.

<b>Bài 2. Một hộp có </b>10 phiếu, trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt lấy ngẫu
nhiên mỗi người 1 phiếu. Tính xác suất người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng.

<i><b>Lời giải</b></i>

Không gian mẫu là mỗi người lấy ngẫu nhiên 1 phiếu.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=10!.

Gọi <i>A</i> là biến cố ''Người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng''. Ta mô tả khả năng thuận
lợi của biến cố <i>A</i> như sau:

● Người thứ ba có <i>C =</i>21 2 khả năng lấy được phiếu trúng thưởng.

● 9 người cịn lại có số cách lấy phiếu là 9!.
Suy ra số phần tử của biến cố <i>A</i> là W =<i>A</i> 2.9!.

Vậy xác suất cần tính <i>P A</i>

( )

= W_W<i>A</i> =2.9!_10!=1₅.

<b>Bài 3. Tại một địa điểm thi của kì thi THPT Quốc Gia có 10 phịng thi, gồm 6 phịng (mỗi phịng</b>
25 Thí sinh) và 4 phịng (mỗi phịng có 26 Thí sinh). Sau mỗi buổi thi, phóng viên truyền hình
chọn ngẫu nhiên 10 thí sinh trong các thí sinh dự thi để phỏng vấn. Giả sử khả năng được chọn
để phỏng vấn của các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 10 thí sinh được chọn phỏng vấn
khơng có 2 thí sinh nào thuộc một phịng thi.

<i><b>Lời giải</b></i>

Tổng cộng có 10 phịng thi với 6.25 4.26 254+ = thí sinh.

Vì khả năng được chọn của các thí sinh là như nhau nên khơng gian mẫu là số cách chọn
ngẫu nhiên 10 trong 254 thi sinh cóW=<i>C</i>25410 .

Gọi <i>A</i> là biến cố ''Chọn được 10 thí sinh mà khơng có 2 thí sinh nào thuộc một phịng thi'',

tức là mỗi phịng chọn ra một thí sinh có W =<i>A</i>

( ) ( )

<i>C</i>251 6.<i>C</i>126 4.

Vậy xác suất cần tính

( )

( ) ( )

6 4

1 1

25 26 4

10
254

.

4,33.10

<i>A</i> <i>C</i> <i>C</i>

<i>P A</i>

<i>C</i>

-W

= = »

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 4. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, mỗi lớp thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp vào 24 bàn khác</b>

nhau. Bạn Nam là một thí sinh dự thi, bạn đăng ký 4 môn thi và cả 4 lần thi đều thi tại một
phòng duy nhất. Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên, tính xác xuất để
trong 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí.

<i><b>Lời giải</b></i>

Khơng gian mẫu là số cách ngẫu nhiên chỗ ngồi trong 4 lần thi của Nam.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=244.

Gọi <i>A</i> là biến cố ''4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí''. Ta mô tả
không gian của biến cố <i>A</i> như sau:

● Trong 4 lần có 2 lần trùng vị trí, có <i>C</i>42 cách.

● Giả sử lần thứ nhất có 24 cách chọn chỗ ngồi, lần thứ hai trùng với lần thứ nhất có
1 cách chọn chỗ ngồi. Hai lần cịn lại thứ ba và thứ tư không trùng với các lần trước
và cũng khơng trùng nhau nên có 23.22 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố <i>A</i> là W =<i>A</i> <i>C</i>42.24.23.22.

Vậy xác suất cần tính

( )

2 2

4 4

4 3

.24.23.22 .23.22 253_.
1152

24 24

<i>A</i> <i>C</i> <i>C</i>

<i>P A</i> =W = = =

W .

<b>Bài 5. Một lớp học có 48 học sinh trong đó có 2 bạn Việt và Nam, cơng việc trực nhật hàng ngày</b>
trên lớp được phân công cho mỗi cặp 2 học sinh thực hiện. Tính xác suất để Việt và Nam không
thực hiện công việc trực nhật cùng nhau, biết rằng công việc trực nhât được phân công theo
tháng với 24 ngày học chính trên lớp và trong một tháng mỗi học sinh chỉ thực hiên công việc
trực nhật một lần.

<i><b>Lời giải</b></i>

Không gian mẫu là chia 48 học sinh thành 24 cặp để trực nhật 24 ngày.
Chọn hai người phân cơng trực nhật ngày thứ 1 có <i>C</i>482 cách.

…
…

Chọn hai người phân công trực nhật ngày thứ 24 có <i>C</i>482 cách.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=<i>C C</i>482. 462...<i>C</i>22.

Gọi <i>A</i> là biến cố ''Việt và Nam khơng trực cùng nhau''. Để tìm số kết quả thuận lợi cho <i>A</i>,
ta tìm số kết quả thuận lợi của <i>A</i> tức là chia 48 học sinh thành 24 cặp trong đó có một cặp là Việt
và Nam.

● Để Việt và Nam thành 1 cặp thì có 1 cách. Trong 24 ngày khác nhau nên sẽ có 24
cách để Việt và Nam thực hiện trực nhật.

● Cịn 46 người cịn lại có <i>C</i>462...<i>C</i>22 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố <i>A</i> là W =<i>A</i> 24.<i>C</i>462...<i>C</i>22.

Suy ra số phần tử của biến cố <i>A</i> là W = W- W =<i>A</i> <i>A</i> <i>C C</i>482. 462...<i>C</i>22- 24.<i>C</i>462...<i>C</i>22.

Vậy xác suất cần tính

( )

2 2 2 2 2

48 46 2 46 2
2 2 2
48 46 2

. ... 24. ... 46
47
. ...

<i>A</i> <i>C C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>

<i>P A</i>

<i>C C</i> <i>C</i>

W

-= = =

W .

<b>Bài 6. Phân phối 60 thùng hàng giống hệt nhau cho 6 cửa hàng sao cho mỗi cửa hàng nhận được</b>
ít nhất một thùng hàng. Tính xác suất để mỗi cửa hàng nhận được ít nhất 6 thùng hàng.

<i><b>Lời giải</b></i>

Không gian mẫu là phân 60 phần tử của tập hợp thùng hàng thành 6 phần.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu W=<i>C</i>595 .

Gọi <i>A</i> là biến cố '' mỗi cửa hàng nhận được ít nhất 6 thùng hàng''. Để tìm số phần tử của

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

● Phân phối đều cho mỗi cửa hàng 5 thùng thì hết 30 thùng.
● Cịn lại 30 thùng chia mỗi cửa hàng ít nhất một thùng.
Suy ra số phần tử của biến cố <i>A</i> là W =<i>A</i> <i>C</i>295 .

Vậy xác suất cần tính

( )

5
29
5
59

585
24662

<i>A</i> <i>C</i>

<i>P A</i>

<i>C</i>

W

= = =

W .

<b>Bài 7. Thầy giáo có 7 quyển sách Tốn, 8 quyển sách Vật Lí và 9 quyển sách Hóa Học (các quyển</b>
sách cùng loại là giống nhau) dùng để làm phần thưởng cho 12 học sinh, sao cho mỗi học sinh
được 2 quyển sách khác loại. Trong số 12 học sinh đó có bạn An và bạn Bình. Tính xác suất để
bạn An và bạn Bình có phần thưởng giống nhau.

<i><b>Lời giải</b></i>

Khơng gian mẫu là số cách chọn 2 phần thưởng trong số 12 phần thưởng.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=<i>C</i>122 =66.

Gọi <i>A</i> là biến cố ''Bạn An và bạn Bình có phần thưởng giống nhau''. Để tìm số phần tử của

<i>A</i>, ta làm như sau:

Gọi <i>x</i> là cặp số gồm 2 quyển Tốn và Vật Lí;

<i>y</i>_{là số cặp gồm 2 quyển Tốn và Hóa Học;}
<i>z</i>_{là số cặp gồm 2 quyển Vật Lí và Hóa Học.}

Ta có hệ phương trình

12

3
7

4
9

5
8

<i>x y z</i>

<i>x</i>
<i>x y</i>

<i>y</i>
<i>y z</i>

<i>z</i>
<i>z x</i>

ì + + =

ïï _{ì =}_ï

ï _ï

ï + = ï

ïï _Û ï ₌

í í

ï + = ï

ï ï

ï ï =_ïỵ

ï + =
ïïỵ

.

Suy ra số phần tử của biến cố <i>A</i> là W =<i>A</i> <i>C</i>32+<i>C</i>42+<i>C</i>52.

Vậy xác suất cần tính

( )

2 2 2
3 4 5

2
12

19
66

<i>A</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>

<i>P A</i>

<i>C</i>

W + +

= = =

W .

<b>Bài 8. Có </b>2 thầy giáo và <i>n</i> hc sinh xp thnh hng ngang

(

<i>nẻ Ơ</i>*

)

. Kớ hiu <i>S</i>1 là số cách xếp

hàng ngang sao cho có đúng một học sinh đứng giữa 2 thầy giáo; <i>S</i>2 là số cách xếp hàng ngang

sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau; <i>S</i>3 là số cách xếp hàng ngang sao cho giữa 2 thầy giáo có

ít nhất 1 học sinh. Tỡm <i>n</i> v <i>k</i>

(

<i>k ẻ Ơ</i>*

)

sao cho <i>S</i>1, <i>S</i>2 và

(

<i>S</i>3+<i>k</i>

)

theo thứ tự lập thành cấp số

cộng.

<i><b>Lời giải</b></i>

● Số phần tử của <i>S</i>1.

+) Đầu tiên chọn 1 học sinh trong <i>n</i> học sinh để xếp giữa 2 thầy giáo, có <i>n</i> cách.
+) Ứng với mỗi cách ở bước trên có 2 cách xếp thầy giáo.

+) Ta coi 2 thầy giáo và 1 học sinh đứng giữa như 1 bộ cùng với <i>n-</i> 1 học sinh còn lại
hốn đổi vị trí cho nhau, có <i>n</i>! cách.

Do đó số phần tử của <i>S</i>1 là <i>n n</i>.2. !.

● Số phần tử của <i>S</i>2.

+) Ta coi 2 thầy giáo như 1 bộ cùng với <i>n</i> học sinh còn lại hốn đổi vị trí cho nhau, có

(

<i>n+</i>1 !

)

_cách.

+) Ứng với mỗi cách ở bước trên có 2 cách xếp thầy giáo.
Do đó số phần tử của <i>S</i>2 là

(

<i>n+</i>1 !.2

)

.

● Số phần tử của <i>S</i>3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Suy ra số phần tử của <i>S</i>3 là

(

<i>n</i>+2 !

) (

- <i>n</i>+1 !.2

)

.

Theo giả thiết, ta có <i>S</i>1+

(

<i>S</i>3+ =<i>k</i>

)

2<i>S</i>2

(

) (

)

(

)

(

) (

)

.2. ! 2 ! 1 !.2 2. 1 !.2
6 1 ! 2 ! 2 . !.

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>k</i> <i>n</i>

<i>k</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>nn</i>

é ù é ù

Û +_ë + - + + =_û _ë + _û

Û = + - +

-Vỡ <i>nẻ Ơ</i>* nờn vi <i>n=</i>1, suy ra <i>k =</i>4; <i>n=</i>2, suy ra <i>k =</i>4; <i>n³</i> 3, suy ra <i>k <</i>0(khơng
thỏa).

Vậy có hai cặp

(

<i>n k</i>;

)

thỏa mãn bài toán là

(

<i>n k =</i>;

) (

1;4 , 2;4

) (

)

.

<b>Bài 9. Có hai hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang một màu đen hoặc trắng. Lấy ngẫu nhiên từ</b>
mỗi hộp đúng 1 viên bi. Biết tổng số bi trong hai hộp là 20 và xác suất để lấy được hai viên bi

đen là 55₈₄. Tính xác suất để lấy được hai viên bi trắng.

<i><b>Lời giải</b></i>

Giả sử hộp thứ nhất có <i>x</i> viên bi, trong đó có <i>a</i> viên bi đen;
hộp thứ hai có <i>y</i> viên bi, trong đó có <i>b</i> viên bi đen.

Điều kiện: <i>x y a b</i>, , , là các số nguyên dương và <i>x</i>³ <i>y</i>, <i>a x</i>£ , <i>b y</i>£ .

Theo giả thiết, ta có

( )

( )

20 1
55 ₂
84

<i>x y</i>

<i>ab</i>
<i>xy</i>

ìïï
ïïí
ïï
ïïỵ

+ =

= .

Từ

( )

2 Û 55<i>xy</i>=84<i>ab</i>, suy ra <i>xy</i> chia hết cho 84.

Mặt khác, ta có

(

)

( )1
2

1 ₁₀₀

4

<i>xy</i>£ <i>x y</i>+ = nên <i>xy=</i>84.

( )

3

Từ

( )

1 và

( )

3 , ta được ì =ïïíï =<i>x_y</i> 14₆
ïỵ .

Từ

( )

3 và

( )

2 , suy ra <i>ab=</i>55 nên <i>a</i> là ước của 55. Lại có 55 55₆£ <i>_b</i> = £<i>a</i> 14 nên <i>a=</i>11.
Với <i>a=</i>11, ta được <i>b=</i>5.

Vậy xác suất để được 2 bi trắng là

(

14 11 6 5

) (

.

)

1.

14 6 28

</div>

<!--links-->