Bài 8. Bài tập có đáp án chi tiết về xác suất của thầy Huỳnh Đức Khánh | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

DẠNG 5. BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ THI

<b>Bài 1. Từ một ngân hàng </b>20 câu hỏi, trong đó có 4 câu hỏi khó người ta xây dựng thành
hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu và các câu trong một đề được đánh số thứ tự từ Câu 1
đến Câu 10. Tính xác suất để xây dựng được hai đề thi mà mỗi đề thi đều gồm 2 câu hỏi
khó. Khơng gian mẫu là số cách xây dựng hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu được chọn ra
từ ngân hàng 20 câu hỏi.

<i><b>Lời giải</b></i>

Không gian mẫu là số cách xây dựng hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu được chọn ra
từ ngân hàng 20 câu hỏi.

● Chọn ra 10 câu hỏi cho đề thứ nhất, sau đó sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1 đến
Câu 10 có <i>C</i>2010.10! cách.

● 10 câu còn lại lấy làm đề thứ hai và sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10
có 10! cách.

Suy ra số phân tử của không gian mẫu là W=<i>C</i>2010.10!.10!=

(

10! .

)

2<i>C</i>1020.
Gọi <i>A</i> là biến cố ''Xây dựng được hai đề thi mỗi đề gồm 2 câu hỏi khó''.

● Chọn ra 2 câu hỏi khó trong 4 câu và 8 câu hỏi dễ trong 16 câu cho đề thứ
nhất, sau đó sắp xếp 10 câu này theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 có

2 8
4. 16.10!
<i>C C</i> _cách.

● 10 câu còn lại lấy làm đề thứ hai và sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10
có 10! cách.

Suy ra số phần tử của biến cố <i>A</i> là W =<i>A</i> <i>C C</i>42. 168.10!.10!=

(

10! . .

)

2<i>C C</i>42 168.

Vậy xác suất cần tính

( )

(

)

(

)

2 ₂ ₈

4 16
2 10

20

10! . . 135

323
10! .

<i>A</i> <i>C C</i>

<i>P A</i>

<i>C</i>

W

= = =

W .

<b>Bài 2. Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp </b>12 mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15
câu dễ, 10 câu trung bình và 5 câu khó. Một đề thi được gọi là''Tốt'' nếu trong đề thi có
cả ba câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ khơng ít hơn 2. Lấy ngẫu nhiên một
đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi ''Tốt''.

<i><b>Lời giải</b></i>

Số phần tử của không gian mẫu là W=<i>C</i>305 =142506.
Gọi <i>A</i> là biến cố ''Đề thi lấy ra là một đề thi ''Tốt'' ''.

Vì trong một đề thi ''Tốt'' có cả ba câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ
khơng ít hơn 2 nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố <i>A</i>.

● Đề thi gồm 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó: có <i>C C C</i>15 10 53 1 1 đề.
● Đề thi gồm 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó: có <i>C C C</i>15 10 53 1 1 đề.
● Đề thi gồm 2 câu dễ, 1 câu trung bình và 2 câu khó: có <i>C C C</i>15 10 52 1 2 đề.
Suy ra số phần tử của biến cố <i>A</i> là

3 1 1 3 1 1 2 1 2

15 10 5 15 10 5 15 10 5 56875

<i>A</i> <i>C C C</i> <i>C C C</i> <i>C C C</i>

W = + + = _.

Vậy xác suất cần tính <i>P A</i>

( )

=W_W<i>A</i> =_{142506 1566}56875 = 625 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i><b>Lời giải</b></i>

Không gian mẫu là số cách chọn tùy ý 3 phiếu câu hỏi từ 50 phiếu câu hỏi.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W =<i>A</i> <i>C</i>503 .

Gọi <i>X</i> là biến cố ''Thí sinh <i>A</i> chọn được 3 phiếu câu hỏi khác nhau''.

Để tìm số phần tử của <i>X</i> ta tìm số phần tử của biến cố <i>X</i> , lúc này cần chọn được 1
cặp trong 4 cặp phiếu có câu hỏi giống nhau và chọn 1 phiếu trong 48 phiếu còn lại.

Suy ra số phần tử của biến cố <i>X</i> là W =<i>X</i> <i>C C</i>41. 481.

Vậy xác suất cần tính

( )

3 1 1

50 4 48
3
50

. 1213

.
1225

<i>X</i> <i>X</i> <i>C</i> <i>C C</i>

<i>P X</i>

<i>C</i>

W- W

W

-= = = =

W W

<b>Bài 4. Một ngân hàng đề thi gồm </b>20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên
từ ngân hàng đề thi. Thí sinh <i>A</i> đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi. Tính xác
suất để thí sinh <i>A</i> rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc.

<i><b>Lời giải</b></i>

Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên 4 câu hỏi từ ngân hàng 20 câu hỏi.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=<i>C</i>204 =4845.

Gọi <i>A</i> là biến cố ''Thí sinh <i>A</i> rút được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc''.
● Thí sinh <i>A</i> rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 2 câu đã thuộc.

Trường hợp này có <i>C C =</i>102. 102 2025 khả năng thuận lợi cho biến cố.
● Thí sinh <i>A</i> rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 3 câu đã thuộc.

Trường hợp này có <i>C C =</i>103. 101 1200 khả năng thuận lợi cho biến cố.
● Thí sinh <i>A</i> rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 4 câu đã thuộc.

Trường hợp này có <i>C =</i>104 210 khả năng thuận lợi cho biến cố.
Suy ra số phần tử của biến cố <i>A</i> là W =<i>A</i> 2025 1200 210 3435+ + = .

Vậy xác suất cần tính <i>P A</i>

( )

=W_W<i>A</i> =3435₄₈₄₅=229₃₂₃.

<b>Bài 5. Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi </b>4 mơn trong đó
có 3 mơn bắt buộc là Tốn, Văn, Ngoại ngữ và 1 mơn do thí sinh tự chọn trong số các
mơn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Một trường THPT có 40 học sinh đăng
kí dự thi, trong đó 10 học sinh chọn mơn Vật lí và 20 học sinh chọn mơn Hóa học. Lấy
ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ của trường, tính xác suất để trong 3 học sinh đó ln có
học sinh chọn mơn Vật lí và học sinh chọn mơn Hóa học.

<i><b>Lời giải</b></i>

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong số 40 học sinh.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=<i>C</i>403 .

Gọi <i>A</i> là biến cố ''3 học sinh được chọn luôn có học sinh chọn mơn Vật lý và học
sinh chọn mơn Hóa học'' nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố <i>A</i>.

● Có 1 học sinh chọn mơn Vật lí, 2 học sinh chọn mơn Hóa học.
Trường hợp này có <i>C C</i>101. 202 khả năng thuận lợi cho biến cố.
● Có 2 học sinh chọn mơn Vật lí, 1 học sinh chọn mơn Hóa học.

Trường hợp này có <i>C C</i>102. 201 khả năng thuận lợi cho biến cố.

● Có 1 học sinh chọn mơn Vật lí, 1 học sinh chọn mơn Hóa học, 1 học sinh
chọn các mơn khác (Sinh học, Lịch sử và Địa lí).

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Vậy xác suất cần tính

( )

1 2 2 1 1 1 1

10 20 10 20 10 20 10

3

40

. . . . 120

247

<i>A</i> <i>C C</i> <i>C C</i> <i>C C C</i>

<i>P A</i>

<i>C</i>

W + +

= = =

W .

<b>Bài 6. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả</b>
lời. Tính xác suất để một học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi.

<i><b>Lời giải</b></i>
Không gian mẫu là số phương án trả lời của bài thi.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=410.

Gọi <i>A</i> là biến cố ''Học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi'' nên ta có các trường
hợp sau đây thuận lợi cho biến cố <i>A</i>.

● Học sinh làm được 8 câu hỏi, tức là làm đúng 8 câu và sai 2 câu. Mỗi câu
đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời.

Trường hợp này có <i>C</i>108. 3

( )

2 khả năng thuận lợi cho biến cố.
● Học sinh làm được 9 câu hỏi, tức là làm đúng 9 câu và sai 1 câu.

Trường hợp này có <i>C</i>109.3 khả năng thuận lợi cho biến cố.

● Học sinh làm được 10 câu hỏi, tức là làm đúng hết 10 (không sai câu nào).
Trường hợp này có <i>C</i>1010 khả năng thuận lợi cho biến cố.

Suy ra số phần tử của biến cố <i>A</i> là W =<i>A</i> <i>C</i>108. 3

( )

2+<i>C</i>109.3+<i>C</i>1010=436.

Vậy xác suất cần tính

( )

10

436 109

262144
4

<i>A</i>

<i>P A</i> =W = =

W .

<b>Bài 7. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh </b><i>A</i> dự thi hai mơn thi trắc nghiệm Vật lí và
Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn;
trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Mỗi mơn thi thí sinh
<i>A</i> đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu cịn lại thí sinh <i>A</i> chọn

ngẫu nhiên. Tính xác suất để tổng điểm 2 mơn thi của thí sinh <i>A</i> khơng dưới 19 điểm.

<i><b>Lời giải</b></i>

Thí sinh <i>A</i> khơng dưới 19 điểm khi và chỉ khi trong 10 câu trả lời ngẫu nhiên ở cả
hai mơn Vậy lí và Hóa học thì phải đúng ít nhất 5 câu.

Không gian mẫu là số phương án trả lời 10 câu hỏi mà thí sinh <i>A</i> chọn ngẫu nhiên.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=410.

Gọi <i>X</i> là biến cố ''Thí sinh <i>A</i> làm được ít nhất 5 câu trong 10 được cho là chọn
ngẫu nhiên'' nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố <i>X</i> .

● Thí sinh <i>A</i> làm được 5 câu, tức là làm đúng 5 câu và sai 5 câu. Mỗi câu đúng
có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời.

Trường hợp này có <i>C</i>105. 3

( )

5 khả năng thuận lợi cho biến cố.

● Thí sinh <i>A</i> làm được 6 câu. Trường hợp này có <i>C</i>106. 3

( )

4 khả năng thuận lợi.

● Thí sinh <i>A</i> làm được 7 câu. Trường hợp này có <i>C</i>107. 3

( )

3 khả năng thuận lợi.

● Thí sinh <i>A</i> làm được 8 câu. Trường hợp này có <i>C</i>108. 3

( )

2 khả năng thuận lợi.

● Thí sinh <i>A</i> làm được 9 câu. Trường hợp này có <i>C</i>109.3 khả năng thuận lợi.
● Thí sinh <i>A</i> làm được 10 câu. Trường hợp này có <i>C</i>1010 khả năng thuận lợi.
Suy ra số phần tử của biến cố <i>X</i> là

( )

5

( )

4

( )

3

( )

2

5 6 7 8 9 10

10. 3 10. 3 10. 3 10. 3 10.3 10 81922

<i>X</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>C</i>

W = + + + + + = .

Vậy xác suất cần tính

( )

10

81922 _0,078
4

<i>X</i>

<i>P X</i> =W = »

W .

<b>Cách 2. Xác suất trả lời đúng </b>1 câu hỏi là 1

4, trả lời sai là
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

● Xác suất thí sinh <i>A</i> trả lời đúng 5 trên 10 câu l

5 5

5
10

1 3

. ;

4 4

<i>C</i> ổ ử ổ ửỗỗ_ỗ_{ố ứ ố ứ}ữữ_ữỗỗ_ỗ ữữ_ữ

Xỏc sut thớ sinh <i>A</i> trả lời đúng 6 trên 10 câu là

6 4

6
10

1 _. 3 _;

4 4

<i>C</i> ổ ử ổ ửỗỗ_ỗ_{ố ứ ố ứ}ữữ_ữỗỗ_ỗ ữữ_ữ

Xỏc sut thớ sinh <i>A</i> trả lời đúng 7 trên 10 câu là

7 3

7
10

1 3

. ;

4 4

<i>C</i> ổ ử ổ ửỗỗ_ỗ_{ố ứ ố ứ}ữữ_ữỗỗ_ỗ ÷÷_÷

● Xác suất thí sinh <i>A</i> trả lời đúng 8 trên 10 câu là

8 2

8
10

1 _. 3 _;

4 4

<i>C</i> ổ ử ổ ửỗỗ_ỗ_{ố ứ ố ứ}ữữ_ữỗỗ_ỗ ữữ_ữ

Xác suất thí sinh <i>A</i> trả lời đúng 9 trên 10 câu là
9
9
10

1 3

. ;

4 4

<i>C</i> æ ửỗ ữ_{ỗ ữ}ữ

ỗố ứ

Xỏc sut thớ sinh <i>A</i> trả lời đúng 10 trên 10 câu là

10
10
10

1
4

<i>C</i> ổ ửỗ ữ_{ỗ ữ}ữ

ỗố ứ .
Cng cỏc xỏc sut trờn ta được xác suất cần tính <i>P »</i> 0,078.

<b>Bài 8. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm </b>2016 có mơn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh.
Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D. Mỗi câu
trả lời đúng được cộng 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học
rất kém mơn Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Tính xác xuất để bạn Hoa
đạt được 4 điểm môn Tiếng Anh trong kỳ thi trên.

<i><b>Lời giải</b></i>

Gọi <i>x</i> là số câu trả lời đúng, suy ra <i>50 x</i>- là số câu trả lời sai.
Ta có số điểm của Hoa là 0,2.<i>x</i>- 0,1. 50

(

- <i>x</i>

)

= Û4 <i>x</i>=30.
Do đó bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu.

Không gian mẫu là số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên.
Mỗi câu có 4 phương án trả lời nên có ₄50_{khả năng.}

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=450.

Gọi <i>X</i> là biến cố ''Bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu''. Vì mỗi câu đúng có

1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. Vì vậy có <i>C</i>5030. 3

( )

20 khả năng
thuận lợi cho biến cố <i>X</i> .

Suy ra số phần tử của biến cố <i>X</i> là W =<i>X</i> <i>C</i>5030. 3

( )

20.

Vậy xác suất cần tính

( )

( )

20
30

0 7

50

5.3 _1,3._{10 .}
4

<i>X</i>

<i>P X</i> ₌W ₌<i>C</i>

</div>

<!--links-->