Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình mặt phẳng | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (443.54 KB, 45 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHỦ ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. TỔNG HỢP LÝ THUYẾT

I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 Vectơ n  0 là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n vng góc với mặt
phẳng ( )

 Chú ý:

 Nếu n là một VTPT của mặt phẳng ( ) thì kn (k 0) cũng là một VTPT
của mặt phẳng( ) .

 Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và
một VTPT của nó.

 Nếu u v , có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) thì n[ , ]u v  là
một VTPT của ( ) .

II. Phương trình tổng qt của mặt phẳng

 Trong khơng gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:

Ax By Cz D    vớiA2 B2 C2 0

  

 Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình Ax By Cz D   0 thì nó có một

VTPT là n A B C( ; ; ).

 Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và nhận vectơ

( ; ; )
n A B C


khác 0 là VTPT là: A x x(  0)B y y(  0)C z z(  0) 0 .

 Các trường hợp riêng

Xét phương trình mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0 với A2 B2 C2 0

  

 Nếu D 0thì mặt phẳng ( ) đi qua gốc tọa độ O.

 Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Ox.
 Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oy. 
 Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oz.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chú ý:

 Nếu trong phương trình ( ) khơng chứa ẩn nào thì ( ) song song hoặc
chứa trục tương ứng.

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

 

: x y z 1

ab c 

 . Ở đây ( ) cắt
các trục tọa độ tại các điểm



a;0;0





0; ;0b





0;0;c



với abc 0.

III.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

 Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x ; ; )0 y z0 0 và mặt phẳng

 

 :Ax By Cz D   0

Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) được tính:

0 0 0

0 2 2 2

| |

( ,( )) Ax By Cz D

d M

A B C

+ + +

a =

+ +

IV. Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

 :A x B y C z D1  1  1  1 0 và

 

 :A x B y C z D2  2  2  2 0.

Góc giữa

 

 và

 

 bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT               n n, . Tức là:

   









1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

cos , cos ,

. .

n n A A B B C C
n n

n n A B C A B C

 

 

    

   

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

V. Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp
tuyến của nó.

Phương pháp giải

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng

 

 đi qua 1 điểm M x y z0



0; ;0 0



và song

song với 1 mặt phẳng

 

 :Ax By Cz D   0cho trước.

Phương pháp giải

Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:
1. VTPT của

 

 là n  



A B C; ;



 

 //

 

 nên VTPT của mặt phẳng

 

 là n n 



A B C; ;



.
 

 

3. Phương trình mặt phẳng

 

 :A x x



 0



B y y



 0



C z z



 0



0.

Cách 2:

1. Mặt phẳng

 

 //

 

 nên phương trình

 

P có dạng: Ax By Cz D   0(*), với

D  .D

2. Vì

 

P qua 1 điểm M x y z0



0; ;0 0



nên thay tọa độ M x y z0



0; ;0 0



vào (*) tìm

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng

 

 đi qua 3 điểm A , B , C không
thẳng hàng.

Phương pháp giải

1. Tìm tọa độ các vectơ:               AB AC, .

2. Vectơ pháp tuyến của

 

 là : n AB AC, .

 

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C).

4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT .n 

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng

 

 đi qua điểm M và vng góc với
đường thẳng 

Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của  là .u



2. Vì

 

   nên

 

 có VTPT n   u.

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1
VTPT .n 

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng

 

 chứa đường thẳng  , vng góc với
mặt phẳng

 

 .

Phương pháp giải

1. Tìm VTPT của

 

 là n .

2. Tìm VTCP của  là u .

3. VTPT của mặt phẳng

 

 là: n n u; .

 

  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  

 

4. Lấy một điểm M trên .

5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1
VTPT.

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng

 

 qua hai điểm A , B và vng góc
với mặt phẳng

 

 .

Phương pháp giải

1. Tìm VTPT của

 

 là n .

2. Tìm tọa độ vectơ AB.

3. VTPT của mặt phẳng

 

 là: n n AB, .

 

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

 

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1

VTPT.

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng

 

 chứa đường thẳng  và song song

với  (  ,  chéo nhau).
Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của  và  là u



và u'.



2. VTPT của mặt phẳng

 

 là: n u u, .

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1
VTPT.

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng

 

 chứa đường thẳng  và 1 điểm
M

Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của  là u , lấy 1 điểm N trên  . Tính tọa độ MN .
2. VTPT của mặt phẳng

 

 là: n u MN; .

 

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  



3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1
VTPT.

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng

 

 chứa 2 đường thẳng cắt nhau 

và .

Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của  và  là u



và u'.



2. VTPT của mặt phẳng

 

 là: n u u; '.

 

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  



3. Lấy một điểm M trên .

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1
VTPT.

Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng

 

 chứa 2 song song  và .

Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của  và  là u



và u , lấy M ,N .

2. VTPT của mặt phẳng

 

 là: n u MN; .

 

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  
  
  
  



3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1
VTPT.

Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng

 

 đi qua một điểm M và song song

với hai đường thẳng  và  chéo nhau cho trước.
Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của  và  ’ là u  và u'.



2. VTPT của mặt phẳng

 

 là: n u u; .

  
  
  
  
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  



3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1
VTPT.

Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng

 

 đi qua một điểm M và vng góc
với hai mặt phẳng

   

P , Q cho trước.

Phương pháp giải

1. Tìm VTPT của

 

P và

 

Q là n P và n Q.

2. VTPT của mặt phẳng

 

 là: n n nP; Q.

 

  
  
  
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  



3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1
VTPT.

Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng

 

 song song với mặt phẳng

 

 và

cách

 

 :Ax By Cz D   0 một khoảng k cho trước.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1. Trên mặt phẳng

 

 chọn 1 điểm M.

2. Do

 

 //

 

 nên

 

 có phương trình Ax By Cz D   0 ( D  ).D
3. Sử dụng công thức khoảng cách d



   

 , 



d M



 





k để tìm D.

Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng

 

 song song với mặt phẳng

 

 :Ax By Cz D   0cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.
Phương pháp giải

1. Do

 

 //

 

 nên

 

 có phương trình Ax By Cz D   0 ( D  ).D
2. Sử dụng công thức khoảng cách d M



 





k để tìm D.

Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng

 

 tiếp xúc với mặt cầu

 

S .

Phương pháp giải

1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu

 

S .

2. Nếu mặt phẳng

 

 tiếp xúc với mặt cầu

 

S tại M 

 

S thì mặt

phẳng

 

 đi qua điểm M và có VTPT là MI .

3. Khi bài tốn khơng cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của
bài tốn tìm được VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có
dạng: Ax By Cz D   0 ( D chưa biết).

Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d I



 





R để tìm D .

Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng

 

 chứa một đường thẳng  và tạo

với một mặt phẳng

 

 :Ax By Cz D   0cho trước một góc  cho trước.

Phương pháp giải

1. Tìm VTPT của

 

 là n .
2. Gọi n A B C ( ; ; ).  

3. Dùng phương pháp vô định giải hệ: ( ; )n n n

n u

 



 

 










 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1
VTPT.

VI. Các ví dụ

Ví dụ 1. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua

điểm A(1;0; 2) và có vectơ pháp tuyến n(1; 1; 2) .
Lời giải

Mặt phẳng ( )P đi qua điểm A(1;0; 2) và có vectơ pháp tuyến n(1; 1; 2) có
phương trình là: 1(x1) 1( y 0) 2( z2) 0  x y 2z 3 0.

Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là: x y 2z 3 0.

Ví dụ 2. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( )P đi qua

điểm M(0;1;3)và song song với mặt phẳng( ) : 2Q x 3z 1 0.

Lời giải

Mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng( ) : 2Q x 3z 1 0nên mặt phẳng( )P

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Mặt phẳng ( )P đi qua điểm M(0;1;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương
trình mặt phẳng phải thỏa mãn. Ta được: 2.0 3.3 D 0 D9(thỏa mãn

D  ).

Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là: 2x 3z 9 0.

Ví dụ 3. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba
điểm A(1;0; 2), B(1;1;1), C(0; 1; 2) .

Lời giải

Ta có: AB(0;1;3), AC ( 1; 1: 4)  AB AC,  (7; 3;1)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)ta có
n AB

n AC
 







 

  nên n cùng phương với AB AC, 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Chọn n  (7; 3;1) ta được phương trình mặt phẳng (ABC)là:

7(x1) 3( y 0) 1( z2) 0
7x 3y z 5 0

     .

Ví dụ 4. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua

điểm O và vng góc với đường thẳng : 1 2
2 .

x t

d y t

z t





 


  


Lời giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: u  d (1; 2;1).

Mặt phẳng( ) vng góc với đường thẳng dnên ( ) có một vectơ pháp
tuyến là: n   ud (1; 2;1).

Đồng thời ( ) đi qua điểm O nên có phương trình là: x2y z 0.

Ví dụ 5. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa

đường thẳng : 1 2
2 .

x t

d y t

z t

 




 


  


và vng góc với

 

 :x2y z  1 0.

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm A



0; 1; 2



và có VTCP là: u   d ( 1; 2;1).

Mặt phẳng

 

 có VTPT là n  



1; 2; 1



Mặt phẳng( ) chứa đường thẳng dvà vng góc với

 

 nên ( ) có một
vectơ pháp tuyến là: n u nd,   



4;0; 4



4 1;0;1





 

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  .

Phương trình mặt phẳng

 

 là: x z  2 0 .

Ví dụ 6. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua
điểm A(1;2; 2), (2; 1;4) B  và vng góc với

 

 :x 2y z  1 0.

Lời giải

Có AB  



1; 3;6



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Mặt phẳng( ) chứa A , B và vng góc với

 

 nên ( ) có một vectơ pháp
tuyến là: n AB n,  



15;7;1



 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  .

Phương trình mặt phẳng

 

 là: 15x7z 1 27 0 .

Ví dụ 7. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( )P chứa

đường thẳng 1

1
: 1 2

1
x

d y t

z t



 

  


và song song với đường thẳng 2

1 1

1 2 2

x y z

d     .

Lời giải

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u1(0; 2;1)



.
Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(1;0;1) vectơ chỉ phương u2(1; 2; 2)



.
Ta có u u1, 2   ( 6;1; 2)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
.

Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng( )P , ta có:

1
2
n u
n u
 






 

  nên n cùng phương với u u1, 2

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
.

Chọn n   ( 6;1; 2).

Mặt phẳng( )P đi qua điểm M1(1;1;1) và nhận vectơ pháp tuyến n  ( 6;1; 2)


có
phương trình:

6(x 1) 1(y 1) 2(z 1) 0

      

6x y 2z 3 0

      .

Thay tọa độ điểm M2vào phương trình mặt phẳng ( )P thấy không thỏa
mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng ( )P là:6x y 2z 3 0.

Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( ) chứa

đường thẳng

1
: 1 2

1
x

d y t

z t



 

  


và điểm M ( 4;3;2).

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm N(1;1;1) vectơ chỉ phương u d(0; 2;1) .



5; 2; 1 .



MN   



Mặt phẳng( ) chứa đường thẳng d và điểm M nên ( ) có một vectơ pháp
tuyến là: n u MNd,  



4;5;10



  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 .

Phương trình mặt phẳng

 

 là: 4x5y10z19 0 .

Ví dụ 9. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( )P chứa

đường thẳng 1

1
: 1 2

1
x

d y t

z t



 

  


và 2

1 3
: 1 2 .

x t

d y t

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u1(0; 2;1)



.
Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(1;1;1) vectơ chỉ phương u2(3; 2;1)



.
Ta có u u1, 2 



0;3;6



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

, M M 1 2



0;0;0





Do M M u u1 2 1, 2  0

  

nên đường thẳng d d cắt nhau.1, 2

Mặt phẳng( ) chứa đường thẳng d d cắt nhau nên 1, 2 ( ) có một vectơ pháp
tuyến là: n u u1, 2 



0;3;6



3 0;1; 2





  

 .

Phương trình mặt phẳng

 

 là: y2z 3 0 .

Ví dụ 10. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa

đường thẳng 1

1
: 1 2

1
x

d y t

z t



 

  


và 2

: 3 4

1 2
x

d y t

z t



 

  

Lời giải

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u1(0; 2;1)



.
Đường thẳng d2 đi qua điểm M2



4;3;1



vectơ chỉ phương u2



0; 4;2





.
Ta có u u1, 2  0

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

, M M 1 2



3; 2;0 .





Do u u1, 2  0

  

nên đường thẳng d d song song1, 2

Mặt phẳng( ) chứa đường thẳng d d song song nên 1, 2 ( ) có một vectơ
pháp tuyến là: n u M M1, 1 2  



2;3;6







2; 3; 6 



  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 .

Phương trình mặt phẳng

 

 là: 2x 3y 6z 7 0.

Ví dụ 11. Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng( )P đi qua

điểm A(1;0; 2) và ( )P song song với hai đường thẳng 1

1
: 1 2

1
x

d y t

z t



 

  

và
2
1 1
:

1 2 2

x y z

d     .

Lời giải

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u1(0; 2;1)



.
Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(1;0;1) vectơ chỉ phương u2(1; 2; 2)



.
Ta có u u1, 2   ( 6;1; 2)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.

Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng( )P , ta có:

1
2
n u
n u
 







 

  nên n cùng phương với u u1, 2

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.

Chọn n   ( 6;1; 2) ta được phương trình mặt phẳng ( )P là:

6(x 1) 1(y 0) 2(z 2) 0

      

6x y 2z 10 0

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ví dụ 12 : Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua
điểm M( ; ; )1 2 5 và vng góc với hai mặt phẳng ( ) :Q x2y 3z 1 0 và

( ) : 2R x 3y z  1 0.

Lời giải

VTPT của ( )Q là n Q(1;2; 3) , VTPT của ( )R là n R(2; 3;1).

Ta có n nQ, R   ( 7; 7; 7) 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

nên mặt phẳng ( )P nhận n(1;1;1) là một VTPT và

( )P đi qua điểm M( ; ; )1 2 5 nên có phương trình là: xy z  2 0 .

Ví dụ 13: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P song
song với mặt phẳng ( ) :Q x2y 2z 1 0 và cách ( )Q một khoảng bằng 3.

Lời giải

Trên mặt phẳng ( ) :Q x2y 2z 1 0chọn điểm M( ; ; )1 0 0 .

Do ( )P song song với mặt phẳng ( )Q nên phương trình của mặt phẳng (P)

có dạng: x2y 2z D 0với D¹ .1

Vì d P Q(( ), ( ))=3Û d M P( , ( ))=3 2| 12 | 2 3

1 2 ( 2)
D
- +

Û =

+ + - Û - +| 1 D| 9=

8
10
D
D
é
=-ê
Û

ê =

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x2y 2z 8 0 và

2 2 10 0

x y z  .

Ví dụ 14 : Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P song

song với mặt phẳng ( ) :Q x2y 2z 1 0 và ( )P cách điểm M( ; ; )1 2 1 một

khoảng bằng 3.
Lời giải

Do ( )P song song với mặt phẳng ( )Q nên phương trình của mặt phẳng (P)

có dạng: x2y 2z D 0với D¹ .1

Vì d M P( , ( ))=3 |1 4 22 2 |2 3

1 2 ( 2)
D
- - +

Û =

+ + - Û - +| 5 D| 9=

14
D
D
é
=-ê
Û

ê =
ë

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x2y 2z 4 0 và

2 2 14 0

x y z  .

Ví dụ 15: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P song
song với mặt phẳng ( ) :Q x2y 2z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu

2 2 22  4  2  3 0

S x y z x y z

( ) :

Lời giải

Mặt cầu ( )S có tâm I( 1; 2;1)- và bán kính R= -( 1)2+ + + =22 12 3 3

Do ( )P song song với mặt phẳng ( )Q nên phương trình của mặt phẳng (P)

có dạng: x2y 2z D 0với D¹ .1

Vì ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( )S nên d I P( ,( ))= =R 3 | 1 4 22 2 2| 3

1 2 ( 2)
D
- + - +

Û =

+ +

-|1 D| 9

Û + = 10

8
D
D
é
=-ê
Û

ê =
ë

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x2y 2z10 0 và

2 2 8 0

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz, cho mặt phẳng

 

P và đường thẳng d

lần lượt có phương trình

 

P x: 2y z  5 0 và : 1 1 3
2

x

d     y z . Viết

phương trình mặt phẳng

 

Q chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng

 

P một góc 600.

Lời giải

Giả sử mặt phẳng ( )Q có dạng Ax By Cz D   0



A2B2C2 0 .



Chọn hai điểm M



1; 1;3 ,



N



1;0; 4



d.

Mặt phẳng

 

Q chứa d nên M N, 

 

Q

 

. 1 1 .3 0 2

7 4
.1 .0 .4 0

A B C D C A B

D A B

A B C D

         



   

 

   

 



Suy ra mặt phẳng có phương trình là Ax By  



2A B z



7A4B0 và có

VTPT n Q 



A B; ; 2 A B



 

Q tạo với mặt phẳng

 

P một góc 600

2 2 2

2 2 1

cos(60 )
2
(2 ) 1 2 ( 1)

(4 2 3) B

A B A B

A

  

  

     

  

Cho B  ta được1 A  (4 2 3).
Vậy có 2 phương trình mặt phẳng









(4 2 3) 9 4 3 32 14 3 0

x y z

       

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

B. BÀI TẬP

Câu 1. Chọn khẳng định sai

A. Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì k n k ( ) cũng là

một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

B. Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và
một vectơ pháp tuyến của nó.

C. Mọi mặt phẳng trong không gian Oxyz đều có phương trình dạng:

2 2 2

0 ( 0)

Ax By Cz D    A B C  .

D. Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình dạng:

2 2 2

0 ( 0)

Ax By Cz D    A B C  đều là phương trình của một mặt phẳng

nào đó.

Câu 2. Chọn khẳng định đúng

A. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt
phẳng đó song song.

B

. Nếu hai mặt phẳng song song thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng cùng
phương.

C. Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng bằng
nhau.

D. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt
phẳng đó trùng nhau.

Câu 3. Chọn khẳng định sai
A

. Nếu hai đường thẳngAB,CD song song thì vectơ AB CD, 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

là một vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng ( ABCD).

B. Cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng, vectơ AB AC, 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

là một vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng( ABC).

C. Cho hai đường thẳng AB,CD chéo nhau, vectơ AB CD, 

 

 

là một vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với đường
thẳng CD.

D. Nếu hai đường thẳng AB,CD cắt nhau thì vectơ AB CD, 

 

 

là một vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng ( ABCD).

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 :Ax By Cz D   0.

Tìm khẳng định sai trong các mệnh đề sau:

A. A0,B0,C0,D0 khi và chỉ khi

 

 song song với trục Ox.
B. D 0 khi và chỉ khi

 

 đi qua gốc tọa độ.

C. A0,B0,C0,D0 khi và chỉ khi

 

 song song với mặt phẳng



Oyz



D. A0,B0,C 0,D0 khi và chỉ khi

 

 song song với mặt phẳng



Oxy



.
Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A a



;0;0



, B



0; ;0b



, C



0;0;c





abc 0



. Khi đó phương trình mặt phẳng



ABC



là:

A

. x y z 1

a b c . B. 1

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

C. x y z 1

ac b  . D. 1

x y z
cb a  .

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 : 3x z 0. Tìm

khẳng định đúng trong các mệnh đề sau:

A.

 

 / /Ox. B.

 

 / / xOz





C.

 

 / /Oy. D.

 

 Oy.

Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Mặt phẳng (P) là x3z 2 0 có

phương trình song song với:
A

. Trục Oy. B. Trục Oz. C. Mặt phẳng Oxy. D. Trục Ox.

Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình

3x2y z  1 0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:

A. n(3; 2;1). B. n ( 2;3;1). C. n(3; 2; 1) . D. n(3; 2; 1)  .

Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình

2x 2y z 3 0

     . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:

A.n(4; 4;2) . B. n ( 2;2; 3) . C. n ( 4;4; 2). D. n(0;0; 3) .

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A



1; 2;1



, B 



1;3;3





2; 4; 2



C  . Một vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng



ABC



là:

A. n 



9; 4; 1



. B. n 



9; 4;1



C. n 



4;9; 1



. D. n  



1;9;4



Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
(P) 2x y  5 0

A. ( 2;1;0) . B.( 2;1; 5)  . C. (1;7;5). D. ( 2; 2; 5)  .

Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua

điểm A ( 1;2;0) và nhận n ( 1;0;2) là VTPT có phương trình là:
A. x2y 5 0 B. x2z 5 0

C. x2y 5 0 D .  x2z1 0

Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A



3; 2; 2 



, B



3; 2;0



,



0; 2;1



C . Phương trình mặt phẳng



ABC



là:

A.2x 3y6z0. B. 4y2z 3 0 .

C. 3x2y 1 0. D. 2y z  3 0 .

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm
)

1
;

1
;
2
(
),
1
;
0
;
1

( B 

A . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
A.x y 2 0. B.x y1 0. C . x y  2 0. D. xy2 0.
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Mặt phẳng (P) đi qua các điểm

( 1;0;0)

A  , B(0; 2;0), C(0;0; 2) có phương trình là:

A. 2x y z   2 0 . B. 2x y z   2 0.

C

. 2x y z   2 0 . D. 2x y z   2 0.

Câu 16. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A 



1;2;1



và hai mặt
phẳng

 

 : 2x4y 6z 5 0 và

 

 :x2y 3z0. Tìm khẳng định đúng?

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

B. Mặt phẳng

 

 đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng

 

 ;
C. Mặt phẳng

 

 không đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng

 

 ;

D. Mặt phẳng

 

 không đi qua điểm A và song song với mặt phẳng

 

 ;
Câu 17. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M



2; 1;3



và các mặt

phẳng:

 

 :x 2 0 ,

 

 :y 1 0,

 

 :z 3 0 . Tìm khẳng định sai.

A.

 

 / /Ox. B.

 

 đi qua M .

C.

 

 / / xOy





. D.

   

   .

Câu 18. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Phương trình mặt phẳng qua



2;5;1



A và song song với mặt phẳng



Oxy



là:
A. 2x5y z 0. B. x  2 0 .

C. y  5 0. D. z  1 0.

Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Mặt phẳng đi qua M



1;4;3



và
vng góc với trục Oy có phương trình là:

A. y  4 0 . B. x  1 0.

C. z  3 0. D. x4y3z0.

Câu 20. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 : 6x 3y 2z 6 0 . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Mặt phẳng

 

 có một vectơ pháp tuyến là u 



6,3, 2



B

. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng

 

 bằng 6
8.
C. Mặt phẳng

 

 chứa điểm A



1, 2, 3



D. Mặt phẳng

 

 cắt ba trục Ox Oy Oz, , .

Câu 21. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Biết A B C, , là số thực khác 0, mặt
phẳng chứa trục Ozcó phương trình là:

A.Ax Bz C  0. B. Ax By 0

C.By Az C  0. D. Ax By C  0.

Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm
)

6
;
0
;
4
(

),
4
;
0
;
5
(
),
6
;
2
;
1
(
),
3
;
1
;
5

( B C D

A . Viết phương trình mặt phẳng qua D

và song song với mặt phẳng ( ABC).
A

. xyz10 0. B.xyz 9 0.
C.xyz 8 0. D. x2yz100.

Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm
)

6
;
0
;
4
(
),
4
;
0
;
5
(
),
6
;
2
;
1
(
),
3
;
1
;
5

( B C D

A . Viết phương trình mặt phẳng chứa

AB và song song với CD.

A.2x5y z 18 0 . B.2x y3z60.
C.2x yz40. D.x y z   9 0 .

Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (P)là mặt phẳng chứa trục
Ox và vng góc với mặt phẳng (Q):xyz 30. Phương trình mặt phẳng

)
(P là:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Phương trình của mặt phẳng

chứa trục Ox và qua điểm I



2; 3;1



là:

A. 3y z 0. B. 3x y 0. C. y 3z0. D. y3z0.

Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A

(

2; 1;1 ,-

) (

B 1;0; 4

)

và

(

0; 2; 1

)

C - - . Phương trình mặt phẳng qua A và vng góc với đường thẳng

BC là:

A.2x+ +y 2z- 5=0. B.x- 2y+ -3z 7=0.
C. x+2y+ -5z 5=0. D.x+2y+ + =5z 5 0.

Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 đi qua



2; 1;4



A  , B



3;2; 1



và vuông góc với mặt phẳng

 

Q x y:  2z 3 0 . Phương

trình mặt phẳng

 

 là:

A. 5x3y 4z 9 0. B. x3y 5z21 0 .

C. x y 2z 3 0 . D. 5x3y 4z0.

Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng

 

 đi qua M



0; 2;3



song song với đường thẳng : 2 1

2 3

x y

d    z

 và vng góc với mặt phẳng

 

 :x y z  0 có phương trình:

A. 2x 3y 5z 9 0 . B. 2x 3y5z 9 0 .

C. 2x3y5z 9 0. D. 2x3y5z 9 0 .

Câu 29. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Tọa độ giao điểm M của mặt

phẳng

 

P : 2x3y z  4 0 với trục Ox là ?

A.M



0,0, 4



. B. 0, ,04
3
M  

 . C.M



3,0,0



. D. M



2,0,0



Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi

( )

a là mặt phẳng qua các hình
chiếu của A

(

5; 4;3

)

lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng

( )

a là:
A. 12x+15y+20z- 60=0 B.12x+15y+20z+60=0.

C. 0

5 4 3
x y z

+ + = . D. 60 0

5 4 3
x y z

+ + - = .

Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 đi qua hai điểm

(

5; 2;0

)

A - , B

(

- 3;4;1

)

và có một vectơ chỉ phương là ar

(

1;1;1

)

. Phương trình của
mặt phẳng

 

 là:

A. 5x+9y- 14z=0. B.x- y- 7=0.

C. 5x+9y- 14z- 7=0. D.- 5x- 9y- 14z+ =7 0.

Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng song

song với mặt phẳng ( ) :P x y z   6 0 và tiếp xúc với mặt cầu

12
:

)

( 2 2 2



y z

x

S ?

A. 2 B. Khơng có. C . 1. D. 3.

Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 mặt phẳng

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

A.2. B. 3. C.0. D.1.

Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

 : 3x



m1



y4z 2 0 ,

 

 :nx



m2



y2z 4 0. Với giá trị thực của m n,

bằng bao nhiêu để

 

 song song

 



A. m3;n6. B. m3;n6. C. m3;n6 D.m3;n6.

Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

P x my:  



m1



z 2 0,

 

Q : 2x y 3z 4 0 . Giá trị số thực m để hai mặt

phẳng

   

P , Q vng góc

A.m 1 B. 1

m  C.m 2 D. 1

2
m 

Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho hai mặt phẳng

 

 :x 2y2z 3 0 ,

 

 :x 2y2z 8 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

   

 ,  là bao nhiêu ?

A.



   



5
3

d    B.



   



d    C.d



   

 , 



5 D.



   



3
d   

Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P x: 2y z  1 0.

Gọi mặt phẳng

 

Q là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng

 

P qua trục
tung. Khi đó phương trình mặt phẳng

 

Q là ?

A.x2y z 1 0 B.x 2y z  1 0 C.x2y z  1 0 D.x 2y z 1 0

Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P : 2x 3y5z 4 0 . Gọi mặt phẳng

 

Q là mặt phẳng đối xứng của mặt

phẳng

 

P qua mặt phẳng (Oxz). Khi đó phương trình mặt phẳng

 

Q là ?
A.

 

P : 2x 3y 5z 4 0 B.

 

P : 2x 3y5z 4 0

C.

 

P : 2x3y5z 4 0 D.

 

P : 2x 3y5z 4 0

Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,

( )

a là mặt phẳng đi qua điểm A

(

2; 1;5-

)

và vng góc với hai mặt phẳng

( )

P : 3x- 2y+ + = vàz 7 0

( )

Q : 5x- 4y+ + = . Phương trình mặt phẳng 3z 1 0

( )

a là:

A. x+2y+ - =z 5 0. B.2x- 4y- 2z- 10=0.
C.2x+4y+2z+ =10 0. D.x+2y z- + =5 0.

Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,tọa độ điểm M nằm trên trục Oy và
cách đều hai mặt phẳng:

 

P x y z:    1 0 và

 

Q x y z:    5 0 là:

A.M



0; 3;0



. B.M



0;3;0



. C.M



0; 2;0



. D. M



0;1;0



Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi

 

 là mặt phẳng qua G



1; 2;3



và

cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại các điểm A B C, , (khác gốc O ) sao cho G là
trọng tâm của tam giác ABC . Khi đó mặt phẳng

 

 có phương trình:

A.3x6y2z18 0 . B.6x3y2z18 0 .

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Câu 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi

 

 là mặt phẳng song song với
mặt phẳng

 

 : 2x 4y4z 3 0 và cách điểm A



2; 3; 4



một khoảng k 3.
Phương trình của mặt phẳng

 

 là:

A.2x 4y4z 5 0 hoặc 2x 4y4z13 0 .

B. x 2y2z 25 0 .

C.x 2y2z 7 0 .

D.x 2y2z 25 0 hoặc x 2y2z 7 0 .

Câu 43. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hai đường thẳng d d lần lượt có1, 2

phương trình 1

2 2 3

2 1 3

x y z

d      , 2: 1 2 1

2 1 4

x y z

d     

 . Phương trình mặt
phẳng

 

 cách đều hai đường thẳng d d là:1, 2

A.7x 2y 4z0. B.7x 2y 4z 3 0.

C. 2x y 3z 3 0. D.14x 4y 8z 3 0.

Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A



1;0;0



, B



0; ;0b



, C



0;0;c ,





b0,c0



và mặt phẳng

 

P y z:   1 0. Xác định b và c biết mặt phẳng



ABC vng góc với mặt phẳng



 

P và khoảng cách từ O đến



ABC bằng



1
3.

A. 1 , 1

2 2

b c B. 1, 1

b c C. 1, 1

2 2

b c D. 1, 1
2
b c

Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,mặt phẳng

( )

a đi qua điểm M

(

5; 4;3

)

và
cắt các tia Ox,Oy, Oz các đoạn bằng nhau có phương trình là:

A.x+ + -y z 12=0 B.x+ + =y z 0

C.5x+4y+ -3z 50=0 D.x- y+ =z 0

Câu 46. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (P)là mặt phẳng chứa trục
Oy và tạo với mặt phẳng yz1 0 góc 600. Phương trình mặt phẳng (P)
là:

A.









0
0

z
x

B.









0
0

y
x

C.










0
0
1

z
x

D.









0
0
2

z
x

Câu 47. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình cầu

  

S : x1



2



y 2



2



z 3



2 1. Phương trình mặt phẳng

 

 chứa trục Oz và
tiếp xúc với

 

S

A.

 

 : 4x 3y 2 0. B.

 

 : 3x4y0.

C.

 

 : 3x 4y0. D.

 

 : 4x 3y0.

Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tam giác ABC cóA



1, 2, 1



,B 



2,1,0





2,3, 2



C . Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC . Khoảng cách từ A đến 
mặt phẳng



OGB bằng bao nhiêu ?



A.3 174

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình cầu

  

S : x1



2



y 2



2



z 3



2 16. Phương trình mặt phẳng

 

 chứa Oycắt
hình cầu

 

S theo thiết diện là đường trịn có chu vi bằng 8

A.

 

 : 3x z 0 B.

 

 : 3x z 0
C.

 

 : 3x z  2 0 D.

 

 :x 3z0

Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (P)là mặt phẳng song song
với mặt phẳng Oxz và cắt mặt cầu ( 1)2 ( 2)2 2 12






 y z

x theo đường trịn có

chu vi lớn nhất. Phương trình của (P) là:

A.x 2y10. B.y 2 0. C.y1 0. D.y2 0.

Câu 51. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Gọi ( ) là
mặt phẳng chứa trục Oy và cách M một khoảng lớn nhất. Phương trình của

( ) là:

A.x3z0. B.x2z0. C. x 3z0. D.x 0.

Câu 52. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu

  

S : x1



2



y 2



2



z 3



2 9, điểm A



0;0; 2



. Phương trình mặt phẳng

 

P đi

qua A và cắt mặt cầu

 

S theo thiết diện là hình trịn

 

C có diện tích nhỏ
nhất ?

A.

 

P x: 2y3z 6 0 . B.

 

P x: 2y z  2 0 .
C.

 

P : 3x2y2z 4 0 . D.

 

P x:  2y3z 6 0 .

Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N



1;1;1



. Viết phương trình
mặt phẳng

 

P cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , (không trùng với
gốc tọa độO) sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A.

 

P x y z:    3 0 . B.

 

P x y z:    1 0.
C.

 

P x y z:    1 0. D.

 

P x: 2y z  4 0 .

Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng

 

P đi
qua hai điểm A(1;1;1), B



0; 2; 2



đồng thời cắt các tia Ox Oy, lần lượt tại hai

điểm M N, (không trùng với gốc tọa độO) sao cho OM 2ON

A.

 

P : 2x3y z  4 0 . B.

 

P x: 2y z  2 0 .
C.

 

P x:  2y z  2 0. D.

 

P : 3x y 2z 6 0 .

Câu 55. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh



1; 2;1



A , B 



2;1;3



, C



2; 1;3



và D



0;3;1



. Phương trình mặt phẳng

 

 đi qua

A B đồng thời cách đều C D,

A.

 

P1 : 4x2y7z15 0;

 

P2 :x 5 y z10 0 .

B.

 

P1 : 6x 4y7z 5 0;

 

P2 : 3x y 5z10 0 .

C.

 

P1 : 6x 4y7z 5 0;

 

P2 : 2x3z 5 0 .

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A



2;1;3 ;



B



3;0; 2 ;



C



0; 2;1



.

Phương trình mặt phẳng

 

P đi qua A B, và cách C một khoảng lớn nhất ?
A.

 

P : 3x2y z 11 0 . B.

 

P : 3x y 2z13 0 .

C.

 

P : 2x y 3z12 0 . D.

 

P x y:   3 0 .

Câu 57. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

( )

a đi qua điểm

(

1;2;3

)

M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B ,C ( khác gốc toạ độ O )
sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Mặt phẳng

( )

a có phương trình là:

A.x+2y+ -3z 14=0. B. 1 0
1 2 3

x y z

+ + - = .
C.3x+2y+ -z 10=0. D.x+2y+ +3z 14=0.

Câu 58. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm G(1;4;3). Viết phương
trình mặt phẳng cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho G là

trọng tâm tứ diện OABC?

A. 0

4 16 12
x y z

   . B. 1

12
16

4  

z
y
x

. C. 1

9
12

3  

z
y
x

. D. 0

9
12

3  

z
y
x

.
Câu 59. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Mặt phẳng

)

(P qua M cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A B C, , sao cho thể tích khối tứ
diện OABC nhỏ nhất có phương trình là:

A.6x3y2z0. B.6x3y2z180.
C.x2y3z 140. D.xyz 6 0.

Câu 60. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương
trình

 

P x2y2z1 0

 

Q x: 2y z  3 0 và mặt cầu

  

S : x 1





y 2



2 z2 5

     .Mặt phẳng

 

 vuông với mặt phẳng

   

P , Q đồng
thời tiếp xúc với mặt cầu

 

S .

A. 2x y  1 0; 2x y  9 0. B. 2x y 1 0;2 x y  9 0.

C.x 2y 1 0;x 2y 9 0 . D.2x y  1 0; 2x y  9 0 .

Câu 61. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P x: 2y 2z 1 0
, 2 điểm A



1;0;0 , ( 1; 2;0)



B 

  







2 2

: 1 2 25

S x  y z  . Viết phương trình mặt

phẳng

 

 vuông với mặt phẳng

 

P , song song với đường thẳng AB , đồng
thời cắt mặt cầu

 

S theo đường trịn có bán kính bằng r 2 2

A. 2x2y3z11 0; 2 x2y3z 23 0 .

B. 2x 2y3z11 0; 2 x 2y3z 23 0 .

C. 2x 2y3z11 0; 2 x 2y3z23 0 .

D. 2x2y3z11 0; 2 x2y3z23 0 .

Câu 62. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho 3 điểm A



1;1; 1



,B



1;1; 2



,



1; 2; 2



C   và mặt phẳng

 

P x:  2y2z 1 0. Lập phương trình mặt phẳng

 

 đi qua A , vng góc với mặt phẳng

 

P cắt đường thẳng BC tại I sao
cho IB2IC biết tọa độ điểm I là số nguyên

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

C.

 

 : 6x2y z  9 0 . D.

 

 : 2x3y2z 3 0 .

Câu 63. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

P

3 0

x y z    ,

 

Q : 2x3y4z1 0 . Lập phương trình mặt phẳng

 

 đi qua



1;0;1



A và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng

   

P , Q ?

 

 : 2x3y z  3 0 . B.

 

 : 7x8y9z16 0 .
C.

 

 : 7x8y9z17 0 . D.

 

 : 2x 2y z  3 0 .

Câu 64. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho 2 đường thẳng 1

1
:

2 1 1

x y z

d   


1 1

1 2 1

x y z

d     .Viết phương trình mặt phẳng

 

 vng góc với d ,cắt Oz1

tại A và cắt d tại B ( có tọa nguyên ) sao cho 2 AB 3.

A.

 

 :10x 5y5z 1 0. B.

 

 : 4x 2y2z 1 0.
C.

 

 : 2x y z   1 0. D.

 

 : 2x y z   2 0.

Câu 65. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có điểm



1;1;1 ,





2;0; 2



A B ,C



1; 1;0 ,



D



0;3; 4



. Trên các cạnh AB AC AD, , lần lượt lấy

các điểm B C D', ', ' thỏa : 4

' ' '

AB AC AD

AB  AC  AD  . Viết phương trình mặt phẳng



B C D biết tứ diện ' ' '



AB C D' ' ' có thể tích nhỏ nhất ?

A.16x40y 44z39 0 . B.16x40y44z 39 0 .

C.16x 40y 44z39 0 . D.16x 40y 44z 39 0 .

Câu 66. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho

 

P x: 4y 2z 6 0 ,

 

Q x:  2y4z 6 0 . Lập phương trình mặt phẳng

 

 chứa giao tuyến của

   

P , Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, , sao cho hình chóp .O ABC
là hình chóp đều.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

A A B C A B

II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn khẳng định sai

A. Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì k n k ( ) cũng là

một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

B. Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và
một vectơ pháp tuyến của nó.

C. Mọi mặt phẳng trong không gian Oxyz đều có phương trình dạng:

2 2 2

0 ( 0)

Ax By Cz D    A B C  .

D. Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình dạng:

2 2 2

0 ( 0)

Ax By Cz D    A B C  đều là phương trình của một mặt phẳng

nào đó.

Câu 2. Chọn khẳng định đúng

A. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt
phẳng đó song song.

B. Nếu hai mặt phẳng song song thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng cùng
phương.

C. Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng bằng
nhau.

D. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt
phẳng đó trùng nhau.

Câu 3. Chọn khẳng định sai

A. Nếu hai đường thẳngAB,CD song song thì vectơ AB CD, 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

là một vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng ( ABCD).

B. Cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng, vectơ AB AC, 

 

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

là một vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng( ABC).

C. Cho hai đường thẳng AB,CD chéo nhau, vectơ AB CD, 

 

 

là một vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với đường
thẳng CD.

D. Nếu hai đường thẳng AB,CD cắt nhau thì vectơ AB CD, 

 

 

là một vectơ

pháp tuyến của mặt phẳng ( ABCD).

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 :Ax By Cz D   0.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

A. A0,B0,C0,D0 khi và chỉ khi

 

 song song với trục Ox.
B. D 0 khi và chỉ khi

 

 đi qua gốc tọa độ.

C. A0,B0,C0,D0 khi và chỉ khi

 

 song song với mặt phẳng



Oyz



D. A0,B0,C 0,D0 khi và chỉ khi

 

 song song với mặt phẳng



Oxy



.
Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A a



;0;0



, B



0; ;0b



, C



0;0;c





abc 0



. Khi đó phương trình mặt phẳng



ABC



là:

A. x y z 1

a b c . B. 1

x y z
b a c   .
C. x y z 1

ac b  . D. 1

x y z
cb a  .

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 : 3x z 0. Tìm

khẳng định đúng trong các mệnh đề sau:

A.

 

 / /Ox. B.

 

 / / xOz





C.

 

 / /Oy. D.

 

 Oy.

Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Mặt phẳng (P) là x3z 2 0 có

phương trình song song với:

A. Trục Oy. B. Trục Oz. C. Mặt phẳng Oxy. D. Trục Ox.

Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình

3x2y z  1 0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:

A. n(3; 2;1). B. n ( 2;3;1). C. n(3; 2; 1) . D. n(3; 2; 1)  .

Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình

2x 2y z 3 0

     . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:

A.n(4; 4;2) . B. n ( 2;2; 3) . C. n ( 4;4; 2). D. n(0;0; 3) .

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A



1; 2;1



, B 



1;3;3





2; 4; 2



C  . Một vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng



ABC



là:

A. n 



9; 4; 1



. B. n 



9; 4;1



C. n 



4;9; 1



. D. n  



1;9;4



Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận

Ta có AB  



2;5; 2



, AC  



1; 2;1







, 9; 4; 1
n AB AC

   

 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
   

.
Phương pháp trắc nghiệm
Sử dụng MTBT tính tích có hướng.
Có AB  



2;5; 2



, AC  



1; 2;1



Chuyển sang chế độ Vector: Mode 8.

Ấn tiếp 1 – 1: Nhập tọa độ AB vào vector A.

Sau đó ấn AC. Shift – 5 – 1 – 2 – 1 Nhập tọa độ AC vào vector B.

Sau đó ấn AC.
Để nhân AB AC, 

 

 

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
(P) 2x y  5 0

A. ( 2;1;0) . B.( 2;1; 5)  . C. (1;7;5). D. ( 2; 2; 5)  .

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, nếu điểm nào làm cho

vế trái bằng 0 thì đó là điểm thuộc mặt phẳng.

Phương pháp trắc nghiệm

Nhập phương trình mặt phẳng (P) vào máy tính dạng sau: 2X Y 0A 5 0 ,

sau đó dùng hàm CALC và nhập tọa độ ( ; y; )x z của các điểm vào. Nếu bằng 0
thì điểm đó thuộc mặt phẳng.

Câu 12. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua
điểm A ( 1;2;0) và nhận n ( 1;0;2) là VTPT có phương trình là:

A. x2y 5 0 B. x2z 5 0

C. x2y 5 0 D.  x2z1 0

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A ( 1; 2;0) và nhận n ( 1;0; 2) là VTPT có phương
trình là: 1(x1) 0( y 2) 2( z 0) 0  x 1 2z0  x2z1 0 .

Vậy x2z1 0 .

Phương pháp trắc nghiệm (nên có)

Từ tọa độ VTPT suy ra hệ số B=0, vậy loại ngay đáp án x2y 5 0 và

2 5 0

x y

   

Chọn 1 trong 2 PT còn lại bằng cách thay tọa độ điểm A vào

Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A



3; 2; 2 



, B



3; 2;0



,



0; 2;1



C . Phương trình mặt phẳng



ABC



là:

A.2x 3y6z0. B. 4y2z 3 0 .

C. 3x2y 1 0. D. 2y z  3 0 .

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận



0;4; 2



AB 



, AC  



3; 4;3





ABC



qua A



3; 2; 2 



và có vectơ pháp tuyến AB AC,  



4; 6;12



2 2; 3;6







 



ABC



: 2x 3y 6z 0

   

Phương pháp trắc nghiệm
Sử dụng MTBT tính tích có hướng.

Hoặc thay tọa độ cả 3 điểm A, B, C vào mặt phẳng xem có thỏa hay khơng?
Câu 14. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm

)
1
;
1
;
2
(
),
1
;
0
;
1

( B 

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận

+) AB  ( 1;1;0).

+) Trung điểm I của đoạnAB là ( 3 1; ;1)
2 2

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Mặt phẳng trung trực của đọan AB là ( 3) ( 1) 0

2 2

x y

     hay x y  2 0.

Phương pháp trắc nghiệm

 

 là mặt phẳng trung trực của AB nên

 

  AB

Kiểm tra mặt phẳng

 

 nào có n  k AB và chứa điểm

I

Cả 4 đáp án đều thỏa điều kiện n k AB

 

Cả 4 PT đều chung dạng: x–y+0z+D=0, nên để kiếm tra PT nào thỏa tọa độ

điểm I ta bấm máy tính: trong đó nhập A, B, C là tọa độ
I, còn D là số hạng tự do từng PT, nếu cái nào làm bằng 0 thì chọn.

Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Mặt phẳng (P) đi qua các điểm

( 1;0;0)

A  , B(0; 2;0), C(0;0; 2) có phương trình là:

A. 2x y z   2 0 . B. 2x y z   2 0.

C. 2x y z   2 0 . D. 2x y z   2 0.

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận

Theo công thức phương trình mặt chắn ta có: 1
1 2 2
x y z

  

 

2x y z 2 0

      .

Vậy 2x y z   2 0 .

Phương pháp trắc nghiệm

Nhập phương trình mặt phẳng (P) vào máy tính, sau đó dùng hàm CALC và

nhập tọa độ ( ; y; )x z của các điểm vào. Nếu tất cả các điểm đều cho kết quả
bằng 0 thì đó đó là mặt phẳng cần tìm. Chỉ cần 1 điểm làm cho phương
trình khác 0 đều loại.

Câu 16. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A 



1;2;1



và hai mặt
phẳng

 

 : 2x4y 6z 5 0 và

 

 :x2y 3z0. Tìm khẳng định đúng?

A. Mặt phẳng

 

 đi qua điểm A và song song với mặt phẳng

 

 ;

B. Mặt phẳng

 

 đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng

 

 ;
C. Mặt phẳng

 

 không đi qua điểm A và không song song với mặt phẳng

 

 ;

D. Mặt phẳng

 

 không đi qua điểm A và song song với mặt phẳng

 

 ;
Hướng dẫn giải

Có n 



2; 4; 6





, n 



1; 2; 3





 

 / /

 





Và A

 



Câu 17. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M



2; 1;3



và các mặt

phẳng:

 

 :x 2 0 ,

 

 :y 1 0,

 

 :z 3 0 . Tìm khẳng định sai.

A.

 

 / /Ox. B.

 

 đi qua M .

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Câu 18. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Phương trình mặt phẳng qua



2;5;1



A và song song với mặt phẳng



Oxy



là:
A. 2x5y z 0. B. x  2 0 .

C. y  5 0. D. z  1 0.

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận

Mặt phẳng qua A



2;5;1



và có vectơ pháp tuyến k 



0;0;1



có phương trình:

1 0

z   .

Phương pháp trắc nghiệm

Mặt phẳng qua A và song song với



Oxy



có phương trình z z A.

Câu 19. Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Mặt phẳng đi qua M



1;4;3



và
vng góc với trục Oy có phương trình là:

A. y  4 0 . B. x  1 0.

C. z  3 0. D. x4y3z0.

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận

Mặt phẳng qua M



1; 4;3



và có vectơ pháp tuyến j 



0;1;0



có phương trình

4 0

y   .

Phương pháp trắc nghiệm

Mặt phẳng qua M và vng góc với trục Oy có phương trình yyM.

Câu 20. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 : 6x 3y 2z 6 0 . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Mặt phẳng

 

 có một vectơ pháp tuyến là u 



6,3, 2



B. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng

 

 bằng 6
8.
C. Mặt phẳng

 

 chứa điểm A



1, 2, 3



.

D. Mặt phẳng

 

 cắt ba trục Ox Oy Oz, , .

Hướng dẫn giải:



 



6 6

7
36 9 4

d O   

  .

Câu 21. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Biết A B C, , là số thực khác 0, mặt
phẳng chứa trục Ozcó phương trình là:

A.Ax Bz C  0. B. Ax By 0

C.By Az C  0. D. Ax By C  0.

Hướng dẫn giải

Trục Oz là giao tuyến của 2 mặt phẳng



Ozx

 

, Oyz



nên mặt phẳng chứa Oz

thuộc chùm mặt phẳng tạo bởi 2 mặt



Ozx

 

, Oyz



 Ax By 0

Vậy Ax By 0.

Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm
)

6
;
0

;
4
(
),
4
;
0
;
5
(
),
6
;
2
;
1
(
),
3
;
1
;
5

( B C D

A . Viết phương trình mặt phẳng qua D

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

A.xyz10 0. B.xyz 9 0.
C.xyz 8 0. D. x2yz100.

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận

+)AB ( 4;1;3), AC(0; 1;1)  AB AC,   (4; 4; 4)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

+) Mặt phẳng đi qua D có VTPT n  (1;1;1)có phương trình: xyz10 0.
+) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng thấy khơng thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: xyz10 0.
Phương pháp trắc nghiệm

Gọi phương trình mặt phẳng( ABC) có dạng Ax By Cz D   0.

Sử dụng MTBT giải hệ bậc nhất 3 ẩn, nhập tọa độ 3 điểmA B C, , vào hệ, chọn

D  ta được 1, 1, 1

9 9 9

A B C . (Trong trường hợp chọn D 1 vô nghiệm ta
chuyển sang chọn D 0).

Suy ra mặt phẳng( ABC) có VTPT n  (1;1;1)

Mặt phẳng đi qua D có VTPT n  (1;1;1)có phương trình: xyz10 0.
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn.
Vậy chọn A.

Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm
)

6
;
0
;
4
(
),
4
;
0

;
5
(
),
6
;
2
;
1
(
),
3
;
1
;
5

( B C D

A . Viết phương trình mặt phẳng chứa

AB và song song với CD.

A.2x5y z 18 0 . B.2x y3z60.
C.2x yz40. D.x y z   9 0 .

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận

+) AB ( 4;1;3), CD ( 1;0; 2)                AB CD,  (2;5;1).

+) Mặt phẳng đi quaA có VTPT n  (2;5;1)có phương trình là: 2x5y z 18 0

+) Thay tọa độ điểm C vào phương trình mặt phẳng thấy khơng thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2x5y z 18 0

Phương pháp trắc nghiệm

+) Sử dụng MTBT kiểm tra tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình hay
khơng? thấy đáp án B, C khơng thỏa mãn.

+) Kiểm tra điều kiện VTPT của mặt phẳng cần tìm vng góc với véctơ CD
ta loại được đáp D.

Vậy chọn A.

)
(P là:

A.yz0. B.y z0. C.y z 1 0. D.y 2 z 0.
Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận

+) Trục Ox véctơ đơn vị i (1;0;0).

Mặt phẳng ( )Q có VTPT n( )Q (1;1;1)



</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Mặt phẳng (P)chứa trục Ox và vng góc với (Q):xyz 30nên (P) có
VTPT ni n, ( )Q  (0; 1;1)

 
 

Phương trình mặt phẳng (P) là: y z0.
Phương pháp trắc nghiệm

+) Mặt phẳng (P)chứa trục Ox nên loại đáp án C.

+) Kiểm tra điều kiện VTPT của mặt phẳng ( )Q vng góc với VTPT của (P)
ta loại tiếp được đáp án B, D.

Vậy chọn A.

Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Phương trình của mặt phẳng

chứa trục Ox và qua điểm I



2; 3;1



là:

A. 3y z 0. B. 3x y 0. C. y 3z0. D. y3z0.

Hướng dẫn giải
Trục Ox đi qua A



1;0;0



và có i 



1;0;0



Mặt phẳng đi qua I



2; 3;1



và có vectơ pháp tuyến ni AI,  



0;1;3



 

 
 

có
phương trình y3z0.

Vậy y3z0.

Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A

(

2; 1;1 ,-

) (

B 1;0; 4

)

và

(

0; 2; 1

)

C - - . Phương trình mặt phẳng qua A và vng góc với đường thẳng

BC là:

A.2x+ +y 2z- 5=0. B.x- 2y+ -3z 7=0.
C. x+2y+ -5z 5=0. D.x+2y+ + =5z 5 0.

Hướng dẫn giải
Ta có: CBuur

(

1; 2;5

)

Mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BCcó một VTPT là

(

1; 2;5

)

CBuur nên có phương trình là: x+2y+ -5z 5=0.
Vậy x+2y+ -5z 5=0.

Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 đi qua



2; 1;4



A  , B



3;2; 1



và vuông góc với mặt phẳng

 

Q x y:  2z 3 0 . Phương

trình mặt phẳng

 

 là:

A. 5x3y 4z 9 0. B. x3y 5z21 0 .

C. x y 2z 3 0 . D. 5x3y 4z0.

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận



1;3; 5



AB  



, n Q



1;1;2



Mặt phẳng

 

 đi qua A



2; 1;4



và có vectơ pháp tuyến









, Q 10; 6;8 2 5;3; 4

AB n

      

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

có phương trình: 5x3y 4z 9 0.

Vậy 5x3y 4z 9 0.

Phương pháp trắc nghiệm
Do

   

  Q  n n. Q0

 

, kiểm tra mp

 

 nào có n n. Q 0
 

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng

 

 đi qua M



0; 2;3



,

song song với đường thẳng : 2 1

2 3

x y

d    z

 và vng góc với mặt phẳng

 

 :x y z  0 có phương trình:

A. 2x 3y 5z 9 0 . B. 2x 3y5z 9 0 .

C. 2x3y5z 9 0. D. 2x3y5z 9 0 .

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận

Ta có u d



2; 3;1





, n 



1;1; 1





Mặt phẳng

 

 đi qua M



0; 2;3



và có vectơ pháp tuyến n u nd,  



2;3;5



  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

 

 : 2x 3y 5z 9 0

     .

Phương pháp trắc nghiệm

 

   

/ /

. 0

Q

n kn
d

Q n n






 


 



 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  kiểm tra mp

 

 nào thỏa hệ

Vậy chọn A.

Câu 29. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Tọa độ giao điểm M của mặt

phẳng

 

P : 2x3y z  4 0 với trục Ox là ?

A.M



0,0, 4



. B. 0, ,04
3
M  

 . C.M



3,0,0



. D. M



2,0,0



.
Hướng dẫn giải:

Gọi M a



,0,0



là điểm thuộc trục Ox. Điểm M

 

P  2a 4 0  a2 .

Vậy M



2,0,0



là giao điểm của

 

P Ox, .
Phương pháp trắc nghiệm

Giải hệ PT gồm PT của (P) và của (Ox):

2 3 4 0

0
0
x y z
y

z

   





 


; bấm máy tính.

Câu 30. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi

( )

a là mặt phẳng qua các hình
chiếu của A

(

5; 4;3

)

lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng

( )

a là:
A. 12x+15y+20z- 60=0 B.12x+15y+20z+60=0.

C. 0

5 4 3
x y z

+ + = . D. 60 0

5 4 3
x+ + -y z

= .
Hướng dẫn giải

Gọi M N P, , lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm A trên trục Ox Oy Oz, , .
Ta có: M

(

5;0;0

)

, N

(

0; 4;0

)

, P

(

0;0;3

)

Phương trình mặt phẳng

( )

a qua M

(

5;0;0

)

, N

(

0; 4;0

)

, P

(

0;0;3

)

là:
1 12 15 20 60 0

5 4 3
x y z

x y z

+ + = Û + + - = .

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 đi qua hai điểm

(

5; 2;0

)

A - , B

(

- 3;4;1

)

và có một vectơ chỉ phương là ar

(

1;1;1

)

. Phương trình của
mặt phẳng

 

 là:

A. 5x+9y- 14z=0. B.x- y- 7=0.

C. 5x+9y- 14z- 7=0. D.- 5x- 9y- 14z+ =7 0.
Hướng dẫn giải

Ta có: uuurAB

(

- 8;6;1

)

Mặt phẳng

 

 đi qua hai điểm A

(

5; 2;0-

)

, B

(

- 3; 4;1

)

và có một vectơ chỉ

phương là ar

(

1;1;1

)

nên có một VTPT là: nr=ëêéuuur rAB a, ùúû=

(

5;9; 14-

)

Mặt phẳng

 

 đi qua điểm A

(

5; 2;0-

)

và có một VTPT nr=

(

5;9; 14-

)

có phương
trình là:

5x+9y- 14z- 7=0.
Vậy 5x+9y- 14z- 7=0.

Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng song

song với mặt phẳng ( ) :P x y z   6 0 và tiếp xúc với mặt cầu

12
:

)

( 2 2 2



y z

x

S ?

A. 2 B. Khơng có. C. 1. D. 3.

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận

+) Mặt phẳng ( )Q song song với mặt phẳng ( )P có dạng:

0 ( 6)

x y z D    D .

+) Do mặt phẳng ( )Q tiếp xúc với mặt cầu ( ): 2 2 2 12


y z

x

S nên d I Q( ;( ))R

với I là tâm cầu, R là bán kính mặt cầu.

Tìm được D 6 hoặc D 6(loại) Vậy có 1 mặt phẳng thỏa mãn.

Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 mặt phẳng

 

P x:  2y4x 3 0 ,

 

Q  2x4y 8z 5 0,

 

R : 3x 6y12z10 0 ,



W : 4



x8y8z12 0 . Có bao nhiêu cặp mặt phẳng song song với nhau.

A.2. B. 3. C.0. D.1.

Hướng dẫn giải:
Hai mặt phẳng song song khi

' ' ' '

a b c d

a b c d
Xét

 

P và

 

Q : 1 2 4 3

2 4 8 5

 

  

  

   

P  Q

Xét

 

P và

 

R : 1 2 4 3
3 6 12 10

 

  

  

   

P  R

   

Q R

 

Xét

 

P và

 

W : 1 2 4

4 8 8



 



Xét

 

Q và

 

W : 2 4 8

4 8 8

 

 


Xét

 

R và

 

W : 3 6 12

4 8 8



 

 .

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

 : 3x



m1



y4z 2 0 ,

 

 :nx



m2



y2z 4 0. Với giá trị thực của m n,

bằng bao nhiêu để

 

 song song

 



Hướng dẫn giải:

Để

 

 song song

 

 3 1 4 4 3; 6

2 2 2

m

m n

n m


      

  .

Vậy m3;n6.

Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

P x my:  



m1



z 2 0,

 

Q : 2x y 3z 4 0 . Giá trị số thực m để hai mặt

phẳng

   

P , Q vng góc

A.m 1 B. 1

m  C.m 2 D. 1

2
m 

Hướng dẫn giải:

Để 2 mặt phẳng

   

P , Q vng góc



 



. 0 1.2 . 1 1 .3 0

p Q

n n m m m

            .

Vậy 1
2
m  .

Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho hai mặt phẳng

 

 :x 2y2z 3 0 ,

 

 :x 2y2z 8 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

   

 ,  là bao nhiêu ?

A.



   



5
3

d    B.



   



d    C.d



   

 , 



5 D.



   



3
d   
Hướng dẫn giải:

Lấy M



1,0,1



thuộc mặt phẳng

 

 .Ta có

   







 







2 2

5 5

, ,

1 2 2

d   d M   

   .

Vậy



   



5
3
d    .

Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P x: 2y z  1 0.

Gọi mặt phẳng

 

Q là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng

 

P qua trục
tung. Khi đó phương trình mặt phẳng

 

Q là ?

A.x2y z 1 0 B.x 2y z  1 0 C.x2y z  1 0 D.x 2y z 1 0

Hướng dẫn giải:

Gọi M x y z( , , ) là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng

 

P . Điểm M'



x y z, ,



là điểm

đối xứng của M qua trục tung 

 

Q :x2y z  1 0 là mặt phẳng đi qua M'

và là mặt phẳng đối xứng của

 

P

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P : 2x 3y5z 4 0 . Gọi mặt phẳng

 

Q là mặt phẳng đối xứng của mặt

phẳng

 

P qua mặt phẳng (Oxz). Khi đó phương trình mặt phẳng

 

Q là ?
A.

 

P : 2x 3y 5z 4 0 B.

 

P : 2x 3y5z 4 0

C.

 

P : 2x3y5z 4 0 D.

 

P : 2x 3y5z 4 0

Hướng dẫn giải

Gọi M x y z( , , ) là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng

 

P . Điểm M x y z' ,



 ,



là điểm

đối xứng của M qua trục tung 

 

Q : 2x3y5z 4 0 là mặt phẳng đi qua
'

M và là mặt phẳng đối xứng của

 

P .

Vậy

 

P : 2x3y5z 4 0 .

Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,

( )

a là mặt phẳng đi qua điểm A

(

2; 1;5-

)

và vng góc với hai mặt phẳng

( )

P : 3x- 2y+ + = vàz 7 0

( )

Q : 5x- 4y+ + = . Phương trình mặt phẳng 3z 1 0

( )

a là:

A. x+2y+ - =z 5 0. B.2x- 4y- 2z- 10=0.
C.2x+4y+2z+ =10 0. D.x+2y z- + =5 0.

Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (P) có một VTPT là n P



3; 2;1





Mặt phẳng (Q) có một VTPT làn Q



5; 4;3





Mặt phẳng

( )

a vng góc với 2 mặt phẳng

( )

P : 3x- 2y+ + = ,z 7 0

( )

Q : 5x- 4y+ + = nên có một VTPT là3z 1 0 nP n nP, Q  



2; 4; 2 



 

  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  

.
Phương trình mặt phẳng

( )

a là: x+2y+ -z 5=0

Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,tọa độ điểm M nằm trên trục Oy và
cách đều hai mặt phẳng:

 

P x y z:    1 0 và

 

Q x y z:    5 0 là:

A.M



0; 3;0



. B.M



0;3;0



. C.M



0; 2;0



. D. M



0;1;0



.
Hướng dẫn giải

Ta có M Oy  M



0; ;0m



Giả thiết có d M P



 



d M Q



 



1 5

3 3

m m

   m3

Vậy M



0; 3;0



Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi

 

 là mặt phẳng qua G



1; 2;3



và
cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại các điểm A B C, , (khác gốc O ) sao cho G là
trọng tâm của tam giác ABC . Khi đó mặt phẳng

 

 có phương trình:

A.3x6y2z18 0 . B.6x3y2z18 0 .

C.2x y 3z 9 0 . D.6x3y2z 9 0.

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận

Gọi A a



;0;0



, B



0; ;0b



, C



0;0;c là giao điểm của mặt phẳng



 

 các trục

, ,

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Phương trình mặt phẳng

 

 :x y z 1

a b c 



a b c , , 0



Ta có G là trọng tâm tam giác ABC

1
3 3
2 6
3
9
3
3
a

a
b
b
c
c






 
     
  






 

: 1 6 3 2 18 0

3 6 9
x y z

x y z


        

Câu 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi

 

 là mặt phẳng song song với
mặt phẳng

 

 : 2x 4y4z 3 0 và cách điểm A



2; 3; 4



một khoảng k 3.
Phương trình của mặt phẳng

 

 là:

A.2x 4y4z 5 0 hoặc 2x 4y4z13 0 .

B. x 2y2z 25 0 .

C.x 2y2z 7 0 .

D.x 2y2z 25 0 hoặc x 2y2z 7 0 .

Hướng dẫn giải
Vì

 

 / /

 

 

 

 : 2x 4y4z m 0



m 3



Giả thiết có d A  



 



3 32 3
6

m



  14

50
m
m


  


Vậy

 

 :x 2y2z 7 0 ,

 

 :x 2y2z 25 0

Câu 43. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hai đường thẳng d d lần lượt có1, 2

phương trình 1

2 2 3

2 1 3

x y z

d      , 2: 1 2 1

2 1 4

x y z

d     

 . Phương trình mặt
phẳng

 

 cách đều hai đường thẳng d d là:1, 2

A.7x 2y 4z0. B.7x 2y 4z 3 0.

C. 2x y 3z 3 0. D.14x 4y 8z 3 0.

Hướng dẫn giải
Ta có d đi qua 1 A



2; 2;3



và có u d1



2;1;3





, d đi qua 2 B



1; 2;1



và có





2 2; 1; 4

d

u  





1;1; 2 ;



d1; d2



7; 2; 4



AB   u u    

 
  
  
  
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  
;

1; 2 1 0

d d

u u AB

 

    

  

nên d d chéo nhau.1, 2

 

 cách đều d d nên 1, 2

 

 song song với d d1, 2 n u ud1; d2 



7; 2; 4 



  
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  

 



 có dạng 7x 2y 4z d 0

Theo giả thiết thì d A



 





d B



 





2 1 3
2
69 69
d d
d
 
   

 

 :14x 4y 8z 3 0

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A



1;0;0



, B



0; ;0b



, C



0;0;c ,





b0,c0



và mặt phẳng

 

P y z:   1 0. Xác định b và c biết mặt phẳng



ABC vng góc với mặt phẳng



 

P và khoảng cách từ O đến



ABC bằng



1
3.

A. 1 , 1

2 2

b c B. 1, 1

b c C. 1, 1

2 2

b c D. 1, 1
2
b c
Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng



ABC có dạng



1 0
1

x y z

bcx cy bz bc
b c

       

Theo giả thiết:



  









 

2 2 2 4 2

0
1 1
1
, 3
3
3 2

c b b c

ABC P

bc b

d O ABC

bc c b b b

 
  




  
 
   


  
 
   

2 4 2

3b b 2b

   8 4 2 2 1

b b b

    1

2
c
 

Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,mặt phẳng

( )

a đi qua điểm M

(

5; 4;3

)

và
cắt các tia Ox,Oy, Oz các đoạn bằng nhau có phương trình là:

A.x+ + -y z 12=0 B.x+ + =y z 0

C.5x+4y+ -3z 50=0 D.x- y+ =z 0

Hướng dẫn giải

Gọi A a

(

;0;0 ,

) (

B 0; ;0 ,a

) (

C 0;0;a

)



a  là giao điểm của mặt phẳng0



( )

a và các tia

Ox Oy, Oz .

Phương trình mặt phẳng

( )

a qua A, B, C là:x y z 1
a+ + = .a a
Mặt phẳng

( )

a qua điểm M

(

5; 4;3

)

Þ a=12

Ta có 1 12 0

12 12 12

x y z

+ + = Û + + - =

A.






0
0
z
x
z
x
B.






0
0
y
x
y
x
C.








0
0
1
z
x
z
x
D.






0
0
2
z
x
z
x

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận

+) Mặt phẳng (P)chứa trục Oy nên có dạng: Ax Cz 0 (A2 C2 0)

    .

+) Mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng yz1 0 góc 600nên

( ) ( )
0
( ) ( )
.
cos 60
.
P Q
P Q
n n
n n

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
  .
2 2
2 2
1
2

2 . 2

C

A C C

A C

    



2 2 0 A C

A C
A C


    


Phương trình mặt phẳng (P) là: 

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Phương pháp trắc nghiệm

+) Mặt phẳng (P)chứa trục Oy nên loại đáp án B, C.

+)Còn lại hai đáp án A, D chung phương trình thứ hai nên ta thử điều kiện
về góc đối với phương trình thứ nhất của đáp án A thấy thỏa mãn.

Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình cầu

  

S : x1



2



y 2



2



z 3



2 1. Phương trình mặt phẳng

 

 chứa trục Oz và
tiếp xúc với

 

S

A.

 

 : 4x 3y 2 0. B.

 

 : 3x4y0.
C.

 

 : 3x 4y0. D.

 

 : 4x 3y0.

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng

 

 chứa trục Oz có dạng : Ax By 0



A2B2 0



Ta có : d I



 



3 A2 2B2 1
A B

    



4AB B 0 4A B 0

      . Chọn A3,B 4

 

 : 3x 4y0

Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tam giác ABC cóA



1, 2, 1



,B 



2,1,0



,



2,3, 2



C . Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC . Khoảng cách từ A đến 
mặt phẳng



OGB bằng bao nhiêu ?



A.3 174

29 B. 17429 C. 2 17429 D. 4 17429

Hướng dẫn giải
Do G là trọng tâm tam giác 1, 2,1

3 3
ABC G 

   

 

Gọi n là một vtpt của mặt phẳng



OGB



1, 2 13,

3 3 3

n OG OB  

      

 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  

Phương trình mặt phẳng



OGB x



: 2y13z0



,





3 174

29
d A OGB 

Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình cầu

  

S : x1



2



y 2



2



z 3



2 16. Phương trình mặt phẳng

 

 chứa Oycắt
hình cầu

 

S theo thiết diện là đường trịn có chu vi bằng 8

A.

 

 : 3x z 0 B.

 

 : 3x z 0
C.

 

 : 3x z  2 0 D.

 

 :x 3z0

Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt phẳng

 

:Ax Cz 0



A2 C2 0



    

Ta có : 2r8  r4. Mà

 

S có tâm I



1, 2,3 ,



R 4
Do R r  4 I

 

  A3C0

Chọn A3,C 1

 

 : 3x z 0






 y z

x theo đường trịn có

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

A.x 2y10. B.y 2 0. C.y1 0. D.y2 0.
Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu ( 1)2 ( 2)2 2 12






 y z

x theo đường trịn có chu vi
lớn nhất nên mặt phẳng (P) đi qua tâm I(1; 2;0) .

Phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng Oxz có dạng :

Ay B 

Do ( )P đi qua tâm I(1; 2;0) có phương trình dạng: y2 0.
Phương pháp trắc nghiệm

+) Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxz nên lọai đáp án D.

+) Mặt phẳng (P)đi qua tâm I(1; 2;0) nên thay tọa độ điểm I vào các
phương trình loại được đáp án B,C.

( ) là:

A.x3z0. B.x2z0. C. x 3z0. D.x 0.

Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận

+) Gọi H K, lần lượt là hình chiếu
vng góc của M trên mặt
phẳng( ) và trục Oy.

Ta có : K(0;2;0)
( ,( ))

d M  MH MK

Vậy khoảng cách từ M đến mặt
phẳng( ) lớn nhất khi mặt
phẳng( ) qua K và vng góc
vớiMK.

Phương trình mặt phẳng:
3 0

x z

Oy
M

K H

Câu 52. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu

  

S : x1



2



y 2



2



z 3



2 9, điểm A



0;0; 2



. Phương trình mặt phẳng

 

P đi

qua A và cắt mặt cầu

 

S theo thiết diện là hình trịn

 

C có diện tích nhỏ
nhất ?

A.

 

P x: 2y3z 6 0 . B.

 

P x: 2y z  2 0 .
C.

 

P : 3x2y2z 4 0 . D.

 

P x:  2y3z 6 0 .

Hướng dẫn giải:
Mặt cầu

 

S có tâm I



1, 2,3 ,



R  . 3

Ta có IA R nên điểm Anằm trong mặt cầu.

Ta có : d I P



,

 



R2 r2

 

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Do d I P



 



IA maxd I P



 



IA Khi đó mặt phẳng

 

P đi qua A và nhận

IA



làm vtpt

 

P x: 2y z 2 0

    

Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N



1;1;1



. Viết phương trình
mặt phẳng

 

P cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , (không trùng với
gốc tọa độO) sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A.

 

P x y z:    3 0 . B.

 

P x y z:    1 0.
C.

 

P x y z:    1 0. D.

 

P x: 2y z  4 0 .

Hướng dẫn giải:

Gọi A a



;0;0 ,



B



0; ;0 ,b



C



0;0;c lần lượt là giao điểm của



 

P với các trục

, ,

Ox Oy Oz



 

P :x y z 1 , ,



a b c 0



a b c  

Ta có:

 

1 1 1
1

1 1 3 3 0

1 1

N P a b c

NA NB a b a b c x y z

NA NC a c



  



 




             

 

     

 



Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng

 

P đi
qua hai điểm A(1;1;1), B



0; 2; 2



đồng thời cắt các tia Ox Oy, lần lượt tại hai
điểm M N, (không trùng với gốc tọa độO) sao cho OM 2ON

A.

 

P : 2x3y z  4 0 . B.

 

P x: 2y z  2 0 .
C.

 

P x:  2y z  2 0. D.

 

P : 3x y 2z 6 0 .

Hướng dẫn giải:

Gọi M a



;0;0 ,



N



0; ;0b



lần lượt là giao điểm của

 

P với các tia Ox Oy,



a b , 0



Do OM 2ON  a2b  MN



2 ; ;0b b



b



2; 1;0



.Đặt u



2; 1;0



Gọi n là môt vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

P  nu AB,   



1; 2;1



 

 
 

Phương trình măt phẳng

 

P x:  2y z  2 0.

Câu 55. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh



1; 2;1



A , B 



2;1;3



, C



2; 1;3



và D



0;3;1



. Phương trình mặt phẳng

 

 đi qua

A B đồng thời cách đều C D,

A.

 

P1 : 4x2y7z15 0;

 

P2 :x 5 y z10 0 .

B.

 

P1 : 6x 4y7z 5 0;

 

P2 : 3x y 5z10 0 .

C.

 

P1 : 6x 4y7z 5 0;

 

P2 : 2x3z 5 0 .

D.

 

P1 : 3x5y7z 20 0;

 

P2 :x3y3z10 0 .

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>



6; 10; 14



2 3;5;7





P

n AB CD     
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

 

P : 3x 5y 7z 20 0

    

Trường hợp 2:

 

P đi qua trung điểm I



1;1; 2



của CD



1;3;3



 

: 3 3 10 0

P

n AB AI   P x y z 
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A



2;1;3 ;



B



3;0; 2 ;



C



0; 2;1



Phương trình mặt phẳng

 

P đi qua A B, và cách C một khoảng lớn nhất ?
A.

 

P : 3x2y z 11 0 . B.

 

P : 3x y 2z13 0 .

C.

 

P : 2x y 3z12 0 . D.

 

P x y:   3 0 .

Hướng dẫn giải:

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu C của lên
mp

 

P và doạn thẳng AB

Ta có : CH d I P



 



CK  d C P



 



lớn

nhất khi H K . Khi đó mặt phẳng

 

P đi
qua A B, và vng với mặt phẳng



ABC



Ta có np AB AC,  AB 



9, 6, 3 



 

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

 

P : 3x 2y z 11 0

    

Câu 57. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

( )

a đi qua điểm

(

1;2;3

)

M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B ,C ( khác gốc toạ độ O )
sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Mặt phẳng

( )

a có phương trình là:

A.x+2y+ -3z 14=0. B. 1 0

1 2 3
x y z

+ + - = .
C.3x+2y+ -z 10=0. D.x+2y+ +3z 14=0.

Hướng dẫn giải

Cách 1:Gọi H là hình chiếu vng góc của C trên AB , K là hình chiếu vng
góc B trên AC . M là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M =BK CHÇ
Ta có : AB CH AB

(

COH

)

AB OM(1)

AB CO
ỹ
^ ùù ị

^ ị ^

ý
ù

^ ùỵ (1)

Chứng minh tương tự, ta có: AC^OM (2).
Từ (1) và (2), ta có: OM ^

(

ABC

)

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Mặt phẳng

( )

a đi qua điểmM

(

1;2;3

)

và có một VTPT là OMuuur

(

1; 2;3

)

nên có
phương trình là:

(

x- 1

)

(

y- 2

)

(

z- 3

)

= Û +0 x 2y+ -3z 14= .0
Cách 2:

+) Do A,B,C lần lượt thuộc các trục Ox,Oy,Oznên A a( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )B b C c

(a b c , , 0).

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng( ABC)là: x y z 1
a b c   .

+) Do M là trực tâm tam giác ABC nên

. 0

( )

AM BC
BM AC

M ABC

 







 



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

. Giải hệ điều kiện trên

ta đượca b c, ,

Vậy phương trình mặt phẳng:x2y3z14 0 .

trọng tâm tứ diện OABC?

A. 0

4 16 12
x y z

   . B. 1

12
16

4  

z
y
x

. C. 1

3  

z
y
x

. D. 0

9
12

3  

z
y
x

.
Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận

+) Do A,B,C lần lượt thuộc các trục Ox,Oy,Oznên A a( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )B b C c

+) Do G là trọng tâm tứ diện OABC nên

O A B C

G

O A B C

G

O A B C

G

x x x x

x

y y y y

y

y y y y

z

  






  






  





suy raa4,b16,c12.

+) Vậy phương trình đoạn chắn của mặt phẳng( ABC)là: 1
12
16

4   

z
y

x

Câu 59. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Mặt phẳng
)

(P qua M cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A B C, , sao cho thể tích khối tứ

diện OABC nhỏ nhất có phương trình là:

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận

+) Mặt phẳng(P) cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A B C, , nên

( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )

A a B b C c (a b c , , 0).

Phương trình mặt phẳng (P) x y z 1
a b c   .
+) Mặt phẳng(P) qua M nên 1 2 3 1

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Ta có 1 1 2 3 33 6 abc 162

a b c abc

     

+) Thể tích khối tứ diện OABC bằng 1 27
6

V  abc .

Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất khi 1 2 3 1
3

a   b c suy ra a3,b6,c9.
Phương trình mặt phẳng(P) 1

3 6 9
x y z

   hay 6x3y2z 180.

Câu 60. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương
trình

 

P x2y2z1 0

 

Q x: 2y z  3 0 và mặt cầu

  

S : x 1





y 2



2 z2 5

     .Mặt phẳng

 

 vuông với mặt phẳng

   

P , Q đồng
thời tiếp xúc với mặt cầu

 

S .

A. 2x y  1 0; 2x y  9 0. B. 2x y 1 0;2 x y  9 0.

C.x 2y 1 0;x 2y 9 0 . D.2x y  1 0; 2x y  9 0 .

Hướng dẫn giải
Mặt cầu

  







2 2

: 1 2 5

S x  y z  có tâm I



1; 2;0



và bán kính R  5
Gọi n  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 



Ta có : n nP nQ n  



6;3;0



3 2; 1;0







3n1



   

       

Lúc đó mặt phẳng

 

 có dạng :2x y m  0.

Do mặt phẳng

 

 tiếp xúc với mặt cầu

 

S



 



5 4 5
5

m

d I  

   

1
9
m
m



  



Vậy phương trình mặt phẳng

 

 :2x y  1 0hoặc 2x y  9 0 .

Câu 61. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P x: 2y 2z 1 0
, 2 điểm A



1;0;0 , ( 1; 2;0)



B 

  

S : x 1





y 2



2 z2 25

     . Viết phương trình mặt

phẳng

 

 vuông với mặt phẳng

 

P , song song với đường thẳng AB , đồng
thời cắt mặt cầu

 

S theo đường trịn có bán kính bằng r 2 2

A. 2x2y3z11 0; 2 x2y3z 23 0 .

B. 2x 2y3z11 0; 2 x 2y3z 23 0 .

C. 2x 2y3z11 0; 2 x 2y3z23 0 .

D. 2x2y3z11 0; 2 x2y3z23 0 .

Hướng dẫn giải 
Mặt cầu

  

S : x 1





y 2



2 z2 5

     có tâm I



1; 2;0



và bán kính R  5

Gọi n  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 


Ta có : n n ABP,   n 



4;4;6



2 2; 2;3





2n1



   

      

Lúc đó mặt phẳng

 

 có dạng :2x2y3z m 0

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Ta có :R2 r2 IJ2 IJ2 17

     d I



 





 17  6m 17 m11hoặc m 23

Vậy phương trình mặt phẳng

 

 :2x2y3z11 0 hoặc 2x2y3z 23 0

Câu 62. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho 3 điểm A



1;1; 1



,B



1;1; 2



,



1; 2; 2



C   và mặt phẳng

 

P x:  2y2z 1 0. Lập phương trình mặt phẳng

 

 đi qua A , vuông góc với mặt phẳng

 

P cắt đường thẳng BC tại I sao
cho IB2IC biết tọa độ điểm I là số nguyên

A.

 

 : 2x y  2z 3 0 . B.

 

 : 4x3y 2z 9 0 .
C.

 

 : 6x2y z  9 0 . D.

 

 : 2x3y2z 3 0 .

Hướng dẫn giải :

Do I B C, , thẳng hàng và IB2IC



3;3; 6



1 5 2
; ;
2

3 3 3
I

IB IC

I
IB IC

  

  

     

 



  

  




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

 

Vì tọa độ điểm I là số nguyên nên I 



3;3; 6



Lúc đó mặt phẳng

 

 đi qua A I ,



3;3; 6



và vng góc với mặt phẳng

 

P

 

 : 2x y 2z 3 0

     .

Câu 63. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

P

3 0

x y z    ,

 

Q : 2x3y4z1 0 . Lập phương trình mặt phẳng

 

 đi qua



1;0;1



A và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng

   

P , Q ?

A.

 

 : 2x3y z  3 0 . B.

 

 : 7x8y9z16 0 .
C.

 

 : 7x8y9z17 0 . D.

 

 : 2x 2y z  3 0 .

Hướng dẫn giải:

Gọi M N, là các điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng

   

P , Q .

M N thỏa hệ phương trình : 3 0
2 3 4 1 0

x y z
x y z

   




   


Cho 7 4 3

3 4 13 1

y z y

x

y z z

  

 

    

  

 

(7; 3; 1)

M

   .

Cho 6 3

3 4 11

y z
x

y z
 


  

 


1
2
y
z



 









6; 1; 2
N

   .

Lúc đó mặt phẳng

 

 chứa 3 điểm A N M, , 

 

 : 7x8y9z16 0 .

Câu 64. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho 2 đường thẳng 1

1
:

2 1 1

x y z

d   



1 1

1 2 1

x y z

d     .Viết phương trình mặt phẳng

 

 vng góc với d ,cắt Oz1

tại A và cắt d tại B ( có tọa nguyên ) sao cho 2 AB 3.

A.

 

 :10x 5y5z 1 0. B.

 

 : 4x 2y2z 1 0.
C.

 

 : 2x y z   1 0. D.

 

 : 2x y z   2 0.

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Do mặt phẳng

 

 vng góc với d1 2x y z m   0.

Mặt phẳng

 

 cắt Oz tại A



0;0;m



, cắt d2tại B m



1, 2 ,m m1





1, 2 , 2 1



AB m m m

     9 2 2 2 3 9 2 2 7 0 1, 7

m m m m m m

           .

Vậy mặt phẳng

 

 : 2x y z   1 0.

Câu 65. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho tứ diện ABCD có điểm



1;1;1 ,





2;0; 2



A B ,C



1; 1;0 ,



D



0;3; 4



. Trên các cạnh AB AC AD, , lần lượt lấy

các điểm B C D', ', ' thỏa : 4

' ' '

AB AC AD

AB  AC  AD  . Viết phương trình mặt phẳng



B C D biết tứ diện ' ' '



AB C D' ' ' có thể tích nhỏ nhất ?

A.16x40y 44z39 0 . B.16x40y44z 39 0 .

C.16x 40y 44z39 0 . D.16x 40y 44z 39 0 .

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM GM ta có : 4 33 . .

' ' ' '. '. '

AB AC AD AB AC AD
AB AC AD AB AC AD

   

'. '. ' 27

. . 64

AB AC AD
AB AC AD

   ' ' ' '. '. ' 27

. . 64

AB C D

ABCD

V AB AC AD

V  AB AC AD  ' ' '

27
64

AB C D ABCD

V V

 

Để VAB C D' ' ' nhỏ nhất khi và chỉ khi

' ' ' 3

4
AB AC AD

AB AC  AD 

3 7 1 7

' ' ; ;

4 4 4 4

AB AB B  

    

 

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Lúc đó mặt phẳng



B C D song song với mặt phẳng ' ' '





BCD và đi qua



7 1 7
' ; ;

4 4 4
B  

 



B C D' ' ' :16



x 40y 44z 39 0

     .

Câu 66. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho

 

P x: 4y 2z 6 0 ,

 

Q x:  2y4z 6 0 . Lập phương trình mặt phẳng

 

 chứa giao tuyến của

   

P , Q và cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, , sao cho hình chóp .O ABC
là hình chóp đều.

A.x y z   6 0. B.x y z   6 0 . C.x y z   6 0 . D. x y z   3 0 .

Hướng dẫn giải

Chọn M



6;0;0 ,



N



2; 2; 2



thuộc giao tuyến của

   

P , Q

Gọi A a



;0;0 ,



B



0; ;0 ,b



C



0;0;c lần lượt là giao điểm của



 

 với các trục

, ,

Ox Oy Oz



 

:x y z 1 , ,



a b c 0



a b c

    

 

 chứa M N,

6
1
2 2 2

1
a

a b c






 

   


</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41></div>

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình mặt phẳng | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

 













 

 

 

 

 

   









 

<sub></sub>

<sub></sub>

 

 

<sub></sub>

<sub></sub>

 

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

 

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

 

<sub> </sub>

<sub> </sub>

 

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

 

 

 

 

<sub> </sub>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

<sub> </sub>

 

 

<sub> </sub>

 

 

 

<sub> </sub>

<sub> </sub>