ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 HKI/ 10-11

Trng THCS Tõn Li cng ễn thi Hc k I,toỏn 9-nm hc 2010-2011
Đại số
CHủ đề 1: Căn thức rút gọn biểu thức
I.Cn thc:
Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiện tồn tại :
A
Có nghĩa

0

A
2. Hằng đẳng thức:
AA
=
2
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng:
BABA ..
=

)0;0(

BA
4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:
B
A
B
A
=

)0;0(

>
BA
5. Đa thừa số ra ngoài căn:
..
2
BABA
=

)0(

B
6. Đa thừa số vào trong căn:
BABA .
2
=

)0;0(

BA

BABA .
2
=

)0;0(
<
BA
7. Khử căn thức ở mẫu:
B
BA

B
A .
=

)0(
>
B
8. Trục căn thức ở mẫu:
BA
BAC
BA
C

=

)(
Bài tập:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1)
32
+
x
2)
2
2
x
3)
3
4
+

x
4)
6
5
2
+

x
5)
43
+
x
6)
2
1 x
+
7)
x21
3

8)
53
3
+

x
Rỳt gn biu thc
1)
483512
+

2)
4532055
+
3)
18584322
+
4)
485274123
+
5)
277512
+
6)
16227182
+
7)
54452203
+
8)
222)22(
+
9)
15
1
15
1
+


10)

25
1
25
1
+
+

11)
234
2
234
2
+


12)
21
22
+
+
13)
877)714228(
++
14)
286)2314(
2
+
15)
120)56(
2

16)
24362)2332(
2
++
17)
22
)32()21(
++
18)
22
)13()23(
+
19)
22
)25()35(
+
20)
)319)(319(
+
21)
)2()12(4
2
+
xxx
22)
57
57
57
57

+

+

+
23)
)2()44(2
222
yxyxyxyx
++
Gii phng trỡnh:
1)
512
=
x
2)
35
=
x
3)
21)1(9
=
x
4)
0502
=
x
5)
0123
2

=
x
6)
9)3(
2
=
x
7)
6144
2
=++
xx
8)
3)12(
2
=
x
9)
64
2
=
x
10)
06)1(4
2
=
x
11)
21
3

=+
x
12)
223
3
=
x
II. Các bài toán rút gọn:
A.các b ớc thực hiên :
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khụng cú bi toỏn no khụng gii c. Chỳng ta phi bit v s bit.(David Hilbert )
1
Trng THCS Tõn Li cng ễn thi Hc k I,toỏn 9-nm hc 2010-2011
Quy đồng, gồm các bớc:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng.
+ Nhân nhân tử phụ với tử Giữ nguyên mẫu chung.
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên).
Rút gọn.
B.Bài tập luyện tập:
Bi 1 Cho biu thc : A =
2
1
x x x
x x x

vi ( x >0 v x 1)
1) Rỳt gn biu thc A.
2) Tớnh giỏ tr ca biu thc A ti
3 2 2x = +
Bi 2. Cho biu thc : P =
4 4 4
2 2
a a a
a a
+ +
+
+
( Vi a

0 ; a

4 )
1) Rỳt gn biu thc P.
2) Tỡm giỏ tr ca a sao cho P = a + 1.
Bi 3: Cho biu thc A =
1 2
1 1
x x x x
x x
+ +
+
+
1/.t iu kin biu thc A cú ngha

2/.Rỳt gn biu thc A
3/.Vi giỏ tr no ca x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biu thc A =
(1 )(1 )
1 1
x x x x
x x
+
+
+
( Vi
0; 1x x
)
a) Rỳt gn A
b) Tỡm x A = - 1
Bài 5 : Cho biểu thức : B =
x
x
xx

+
+


1
22
1
22
1

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B
b; Tính giá trị của B với x =3
c; Tìm giá trị của x để
2
1
=
A
Bài 6: Cho biểu thức : P =
x
x
x
x
x
x

+
+
+
+

+
4
52
2
2
2
1
a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2

Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1

+


+


a
a
a
a
aa
a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b; Tìm a để Q dơng
c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4
5
Bài 8: Cho biểu thức: M =

+

+










112
1
2
a
aa
a
aa
a
a

a/ Tìm ĐKXĐ của M.

b/ Rút gọn M
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khụng cú bi toỏn no khụng gii c. Chỳng ta phi bit v s bit.(David Hilbert )
2
Trng THCS Tõn Li cng ễn thi Hc k I,toỏn 9-nm hc 2010-2011
Tìm giá trị của a để M = - 4
----------------------------------
CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I. Hàm số :
Khái niệm hàm số
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị t-
ơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.
II. Hàm số bậc nhất :
Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất có dạng:
baxy
+=
Trong đó a; b là các hệ số
0

a
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng:
baxy
+=
là hàm số bậc nhất là:
0

a

Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 - m) x - 2 (1)
Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất.
Giải: Hàm số (1) là bậc nhất

3003

mm
Tính chất:
+ TXĐ:
Rx

+ Đồng biến khi
0
>
a
. Nghịch biến khi
0
<
a
Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 m) x - 2 (2)
Tìm các giá trị của m để hàm số (2):
+ Đồng biến trên R
+ Nghịch biến trên R
Giải: + Hàm số (1) Đồng biến

3003
<>
mm
+ Hàm số (1) Nghịch biến

3003
><
mm
Đồ thị:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
a
b

.
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ:
x 0 -b/a
y b 0
Vẽ đờng thẳng qua hai điểm: -b/a ( ở trục hoành) và b ( ở trục tung)
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1
Giải:

x 0 - 0,5
y 1 0

Điều kiện để hai đờng thẳng: (d
1
): y = ax + b; (d
2
): y = a
,
x + b
,
:
+ Cắt nhau: (d

1
) cắt (d
2
)
,
aa

.
*/. Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cân thêm điều kiện
'
bb
=
.
*/. Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau thì :
.1.
'
=
aa
+ Song song với nhau: (d
1
) // (d
2
)
',
; bbaa
=
.
+ Trùng nhau: (d
1
)

(d
2
)
',
; bbaa
==
.
Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (3 m) x + 2 (d
1
)
V y = 2 x m (d
2
)
a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khụng cú bi toỏn no khụng gii c. Chỳng ta phi bit v s bit.(David Hilbert )
3
Trng THCS Tõn Li cng ễn thi Hc k I,toỏn 9-nm hc 2010-2011
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau
c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Giải:
a/ (d
1
)//(d
2
)

{
1

2
1
2
23
=




=





=
m
m
m
m
m
b/ (d
1
) cắt (d
2
)

123 mm
c/ (d
1

) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục tung

22
==
mm
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a.
+ Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác
atg
=

Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn.
Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù (


0
180
)
Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox
Giải:
Ta có:
.63632
00
===

TgTg
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là:
.63
0

=

Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox.
Ta có:
.11763)180(632)180(
00000
====

TgTg
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là:
.117
0
=

Các dạng bài tập th ờng gặp:
-Dng 3: Tớnh gúc

to bi ng thng y = ax + b v trc Ox
Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:
Ph ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x
1
; y
1
) có thuộc đồ thị không?
Thay giá trị của x
1
vào hàm số; tính đợc y
0
. Nếu y

0
= y
1
thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y
0

y
1
thì điểm M
không thuộc đồ thị.
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x
0
; y
0
) và điểm Q(x
1
; y
1
).
Ph ơng pháp: + Thay x
0
; y
0
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
0
= ax
0
+ b (1)
+ Thay x

1
; y
1
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
1
= ax
1
+ b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b.
+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm.
-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khụng cú bi toỏn no khụng gii c. Chỳng ta phi bit v s bit.(David Hilbert )
4
- Dng1: Xỏc dnh cỏc giỏ tr ca cỏc h s hm s ng bin, nghch bin, Hai ng thng
song song; ct nhau; trựng nhau.
Phơng pháp: Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dng 2: V th hm s y = ax + b
Xem lại các ví dụ ở trên.
Xỏc nh to giao im ca hai ng thng (d
1
): y = ax + b; (d
2
): y = a
,
x + b
,
Ph ơng pháp: Đặt ax + b = a
,
x + b

,
giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x vào (d
1
) hoặc
(d
2
) ta tính đợc giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.
Tớnh chu din tớch ca cỏc hỡnh to bi cỏc ng thng:
Ph ơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết
trực tiếp đợc. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.
+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S
Trng THCS Tõn Li cng ễn thi Hc k I,toỏn 9-nm hc 2010-2011
Ví dụ: Cho các đờng thẳng :
(d
1
) : y = (m
2
-1) x + m
2
-5 ( Với m

1; m

-1 )
(d
2
) : y = x +1
(d
3
) : y = -x +3

a) C/m rằng khi m thay đổi thì d
1
luôn đi qua 1điểm cố định .
b) C/m rằng khi d
1
//d
3
thì d
1
vuông góc d
2

c) Xác định m để 3 đờng thẳng d
1
;d
2
;d
3
đồng qui
Giải:
a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d
1
đi qua là A(x
0
; y
0
) thay vào PT (d
1
) ta có :
y

0
= (m
2
-1 ) x
0
+m
2
-5 Với mọi m
=> m
2
(x
0
+1) -(x
0
+y
0
+5) =0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :
x
0
+ 1 =0
x
0
+y
0
+5 = 0 suy ra : x
0
=-1
Y
0
= - 4

Vậy điểm cố định là A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B của (d
2
) và (d
3
)

:
Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1
Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2)
Để 3 đờng thẳng đồng qui thì (d
1
)

phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d
1
) ta có:
2 = (m
2
-1) .1 + m
2
-5
m
2
= 4 => m = 2 và m = -2
Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đờng thẳng trên đồng qui.
Bài tập:
Bi 1: Cho hai ng thng (d
1
): y = ( 2 + m )x + 1 v (d

2
): y = ( 1 + 2m)x + 2
1) Tỡm m (d
1
) v (d
2
)

ct nhau .
2) Vi m = 1 , v (d
1
) v (d
2
)

trờn cựng mt phng ta Oxy ri tỡm ta giao im
ca hai ng thng (d
1
) v (d
2
)

bng phộp tớnh.
Bi 2: Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s ng
bin hay nghch bin trờn R ? Vỡ sao?
Bi 3: Cho hm s bc nht y = (1- 3m)x + m + 3 i qua N(1;-1) , hm s ng bin hay nghch bin
? Vỡ sao?
Bi 4: Cho hai ng thng y = mx 2 ;(m
)0

v y = (2 - m)x + 4 ;
)2(

m
. Tỡm iu kin ca m
hai ng thng trờn:
a) Song song.
b) Ct nhau .
Bi 5: Với giỏ tr no ca m thỡ hai ng thng y = 2x + 3+m v y = 3x + 5- m ct nhau ti mt
im trờn trc tung .Vit phng trỡnh ng thng (d) bit (d) song song vi
(d): y =
x
2
1

v ct trc honh ti im cú honh bng 10.
Bi 6: Vit phng trỡnh ng thng (d), bit (d) song song vi (d) : y = - 2x v i qua im
A(2;7).
Bi 7: Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im A(2; - 2) v B(-1;3).
Bi 8: Cho hai ng thng : (d
1
): y =
1
2
2
x +
v (d
2
): y =
2x

+
a/ V (d
1
) v (d
2
) trờn cựng mt h trc ta Oxy.
b/ Gi A v B ln lt l giao im ca (d
1
) v (d
2
) vi trc Ox , C l giao im ca (d
1
) v (d
2
) Tớnh chu vi
v din tớch ca tam giỏc ABC (n v trờn h trc ta l cm)?
Bi 9: Cho các đờng thẳng (d
1
) : y = 4mx - (m+5) với m

0
(d
2
) : y = (3m
2
+1) x +(m
2
-9)
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khụng cú bi toỏn no khụng gii c. Chỳng ta phi bit v s bit.(David Hilbert )

5