Bài tập về phép biến hình

Dưới đây là một số bài tập về phép biến hình mà các bạn học sinh lớp 11B5 niên khóa 20132014 sưu tầm và được Tổ toán trường THPT Nam Đông biên tập lại. Các bài tập khá phong
phú về dạng và đều ở mức độ dành cho học sinh khá giỏi. Các em có nhu cầu có thể tải về để
luyện tập thêm. Mọi thắc mắc về các bài tốn trong tài liệu này, các em có thể liên hệ với các
thầy cơ Tổ tốn để được giải đáp.
A. Bài tập: Phép tịnh tiến:
Bài 1. Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O). Điểm A di động trên (O).
Chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một
đường tròn cố định.
Bài 2. Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, góc BAC =  khơng đổi và BC = v khơng đổi.
Tìm tập hợp điểm B.
Bài 3. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên (O), một điểm B di động trên (O). Các tiếp
tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C. Tìm quỹ tích trực tâm của tam giác ABC.
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(4;5), B(-4;1) và C(5;-2).
Tìm ảnh của trực tâm H của tam giác ABC qua phép tịnh tiến vectơ AB .
Viết phương trình đường thẳng (d) là ảnh của đường thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ
v = AB + 2 AC
Viết phương trình đường tròn (I’) là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua phép
tịnh tiến theo vectơ u = AB + 2BC + 3CA
Bài 5. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngồi của tam giác ABC các tam giác vuông cân tại
A là BAE và CAF. Gọi I, M và J lần lượt là trung điểm của EB, BC và CF. Chứng minh rằng:
tam giác IMJ vuông cân.
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d:3x-5y+3=0 và d’:3x-5y+24=0.
Tìm tọa độ vectơ v biết v = 13 và Tv (d ) = d ' .
Bài 7. Cho đoạn thẳng AB cố định và một đường tròn cố định (O). Gọi C là điểm di động
trên (O). Vẽ hình bình hành ABCD.
Tìm tập hợp những điểm D. Vẽ hình tập hợp này.
Vẽ tam giác đều CDE. Tìm tập hợp những điểm E này và vẽ tập hợp này.
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C nằm trong tam giác MBD. Giả sử
MBC = MDC . Chứng minh rằng AMD = BMC
Bài 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm. Gọi A là một giao điểm. Một
đường thẳng (d) di động qua A và gặp lại hai đường tròn trên tại M và N. Trên hai tia AM và

MN
AN lấy hai điểm B và C sao cho BA = AC =
. Tìm tập hợp các điểm B và C.
2
Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P, trên tia đối của tia CD
lấy điểm Q. Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN+QM
nhỏ nhất.
Bài 11. Cho đoạn thẳng AB và đường trịn(O;r) nằm về một phía của AB. Lấy M trên (O).
Dựng ABMM’ là hình bình hành. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (O).
Bài 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) và AD=R. Dựng các hình bình hành
DABM, DACM. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN nằm trên đường
tròn (O;R).
Bài 13. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’, lấy hai điểm A và B không thuộc hai đường
thẳng đó sao cho đường thẳng AB khơng song song với d và d’. Hãy tìm M trên d và M’ trên
d’ sao cho tứ giác ABMM’ là hình bình hành.


Bài 14. Biết rằng tồn tại một phép tịnh tiến biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) với
(C ) : x 2 + y 2 − 4 x + 2my + m2 − 1 = 0 và (C ') : x 2 + y 2 + 2(m − 2) − 6 y + 12 + m2 = 0 . Tìm m để
có phép tịnh tiến đó.
Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm P thay đổi trên BC vẽ PE ⊥ AB, PF ⊥ AC .
ME 1
= .
Tìm tập hợp điểm M sao cho
MF 3
Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;2), đường trịn (C) có tâm I(1;-2), bán
kính R=3 và đường trịn (C’):x2+y2-2x-4=0. Tìm các điểm M và N lần lượt trên (C) và (C’)
sao cho MN = IA .
Bài 17. Cho hai địa điểm A và B ở hai bên bờ của một dịng sơng có hai bờ song song với
nhau. Hãy dựng cây cầu MN vng góc với bờ song sao cho quãng đường từ A đến B là ngắn

nhất.
Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho d:3x-y-9=0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có giá
song song hoặc trùng với trục hoành để biến d thành d’ đi qua gốc tọa độ. Viết phương trình
d’.
Bài 19. Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngồi tam giác một hình chữ nhật BCDE. Các đường
cao xuất phát từ D và E lần lượt vng góc với AB và AC và cắt nhau tại I. Chứng minh rằng
AI và BC vng góc nhau.
Bài 20. Cho tam giác ABC. Gọi A1, B2 và C3 lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB. Gọi
O1, O2, O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và I1, I2, I3 lần lượt là tâm đường tròn nội
tiếp của các tam giác AB1C1, BA1C1, CA1B1. Chứng minh rằng hai tam giác O1O2O3 và I1I2I3
bằng nhau.
Bài 21. Cho hai đường tròn (O,R), (O’,R’) và đường thẳng  . Dựng d//  cắt (O) tại B vàC,
cắt (O’) tại B’ và C’ sao cho BC − B ' C ' = v ( v cho trước và có giá song song với  ).
Bài 22. Cho tam giác tam giác ABC có trực tâm H. Vẽ hình thoi BCDE. Gọi D1, E1 lần lượt
là hình chiếu của D, E lên AB, AC. Gọi M là giao điểm của DD1 và EE1.
a. Chứng minh rằng: DM = v khơng đổi.
b. Tìm tập hợp điểm M.
Bài 23. Cho đường trịn (O) và hai điểm A, B khơng đổi. Điểm M chạy trên (O). Tìm quỹ
tích điểm M’ sao cho MM ' + MA = MB .
Bài 24. Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,
DA. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
1
PM + NQ = ( AB + BC + CD + DA) .
2
Bài 25. Cho hình bình hành ABCD, biết AB cố định. Dựng tam giác đều MBC. Tìm quỹ tích
M biết:
a. C chạy trên một đường thẳng cố định.
b. C chạy trên một đường tròn.
Bài 26. Cho hai đường tròn bằng nhau (O,R) và (O’,R) và cắt nhau tại A và B. Một đường
thẳng d vng góc với AB , cắt (O) tại C, D, cắt (O’) tại E, F với CD và EF cùng phương.

a. Chứng minh rằng độ lớn của CAE khơng phụ thuộc vào vị trí của d.
b. Tính độ dài đoạn CE theo R.
Bài 27. Cho đường thẳng d cố định, hai điểm B và C cố định nằm cùng phía của d và khơng
thuộc d. Tìm quỹ tích điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành với A di động trên d.
Bài 28. Cho hai đường thẳng d:x+y+6=0 và d’:x+y-4=0. Biết rằng tồn tại một phép tịnh tiến
có giá của vectơ tịnh tiến song song hoặc trùng với đường thẳng m:x-y=0. Tìm vectơ của
phép tịnh tiến đó.


B. Bài tập: Phép quay:
Bài 1. Chứng minh rằng hợp thành của hai phép quay có cùng tâm quay là một phép quay.
Bài 2. Cho tam giác ABC. Gọi P và Q là hai điểm di động trên AB và AC sao cho AP=CQ.
a. Xác phép quay biến AP thành CQ .
b. Chứng minh rằng đường trịn (APQ) ln đi qua một điểm cố định khác A.
Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Cho biết BC cố định, A di động trên cung
lớn BC. Trên tia CA lấy đoạn CM=BA. Tìm tập hợp điểm M.
Bài 4. Cho đường trịn tâm A bán kính R và một điểm cố định O. Ứng với mỗi điểm M lưu
động trên (A;R) ta dựng tam giác đều OMN theo chiều dương. Tìm tập hợp điểm N.
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là A(a;0) và B(0;a) với a>0 cho
trước. Trên tia Ox lấy điểm M, trên tia Oy lấy điểm N sao cho OM+ON=2a.
a. So sánh AM và BN.
b. Chứng minh rằng trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định I. Tam
giác IMN là tam giác gì? Vì sao?
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là A(a;0) và B(0;a) với a>0 cho
trước. Một đường thẳng lưu động song song với AB cắt Oy tại N và cắt đường thẳng có
phương trình y=a tại M. Chứng minh rằng đường cao xuất phát từ M trong tam giác AMN đi
qua một điểm cố định.
Bài 7. Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm M thuộc miền trong của tam giác này kẻ các
đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC và cắt các cạnh tại P, L, N, Q, H, K
với PL//AB, P  AC, L  BC, QH//AC, Q  AB, H  BC, NK//BC, N  AC, K  AB.

a. Chứng minh rằng QL=KH
b. Gọi I=QL  HK. Chứng minh rằng tứ giác BKIL nội tiếp đường tròn.
Bài 8. Cho tam giác giác ABC có các đỉnh được kí hiệu theo hướng âm, dựng bên ngồi tam
giác này hai hình vng ABDE và BCKF. Gọi P là trung điểm cạnh AC, H là điểm đối xứng
của D qua B, M là trung điểm đoạn FH.
a. Xác định ảnh của hai vectơ BA và BP qua phép quay tâm B góc quay 900.
b. Chứng minh rằng DF=2BP và DF vng góc với BP.
Bài 9. Cho hai đường thẳng d1 và d2, hai điểm A và G không thuộc d1, d2. Hãy dựng tam giác
ABC có trọng tâm G và hai đỉnh B, C lần lượt nằm trên d1, d2.
Bài 10. Về phía ngồi hình bình hành ABCD dựng các hình vng có cạnh lần lượt là AB,
BC, CD, DA. Chứng minh rằng bốn tâm của hình vng đó là bốn đỉnh của một hình vng.
Bài 11. Cho hai đường trịn (O1;R) và (O2;R). M và N lưu động lần lượt trên (O1;R) và (O2;R)
sao cho (O1M , O2 M ) =  (theo chiều dương). Chứng minh rằng trung trực MN qua một điểm
cố định.
Bài 12. Cho tam giác ABC đều. Lấy E trên cạnh AB, F trên cạnh AC sao cho AE=CF. Hãy
dùng phép quay biến AE thành CF. Chứng minh rằng trung trực của EF luôn đi qua một điểm
cố định.
Bài 13. Cho tam giác ABC. Vẽ phía ngồi tam giác này hai tam giác vuông cân tại A là ABE
và ACF. Gọi M là trung điểm của BC và AM cắt EF tại H. Chứng minh rằng AH là đường
cao của tam giác AEF.
Bài 14. Cho đường tròn (O), đường thẳng d và điểm I. Tìm điểm A trên (O) và điểm B trên d
sao cho I là trung điểm AB.
Bài 15. Cho tam giác ABC. Dựng bên ngoài tam giác này hai hình vng ABDE và ACMN.
Kẻ trung tuyến AF của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a. AF ⊥ MN
b. NE=2AF


Bài 16. Cho hai tam giác vuông cân là OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên
đoạn AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’B. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác

OAA’ và OBB’. Chứng minh rằng GOG’ là tam giác vuông cân.
Bài 17. Cho hai tam giác OAB và OA’B’ vuông cân tại O. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm
của tam giác OAA’ và OBB’. Chứng minh rằng OG=OG’.
Bài 18. Trên các cạnh của tam giác ABC dựng các tam giác đều BAC’ và CAB’ nằm ngoài
của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a. AA’=BB’=CC’
b. Ba đường AA’, BB’, CC’ đồng quy tại O.
Bài 19. Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C với điểm B nằm giữa A và C. Dựng về một phía của
đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF.
a. Chứng minh rằng AF=EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC là 600.
b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và FC. Chứng minh rằng tam giác
BMN đều.
Bài 20. Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính BC. Điểm A chạy trên nữa đường trịn này.
Dựng phía ngồi tam giác ABC hình vng ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa
đường tròn cố định.
Bài 21. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngồi tam giác các hình vuông BCIJ, ABEF,
ACMN và gọi O, P, Q lần lượt là tâm của chúng. Gọi D là trung điểm AB.
a. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D
b. Chứng minh rằng AO ⊥ PQ và AO=PQ
Bài 21. Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi điểm A nằm trên a ta
dựng tam giác ABC có trọng tâm G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a.
Bài 22. Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b, C<1200. Tìm điểm M nằm trong tam giác ABC
sao cho MA+MB+MC nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 23. Cho tam giác ABC. Vẽ bên ngồi tam giác các hình vng ABDK, BCEF, CAGH lần
lượt có tâm O1, O2, O3.
a. Chứng minh rằng BG=KC và BG ⊥ KC.
b. Chứng minh rằng IO1=IO3 ( I trung điểm BC )
c. Chứng minh rằng AE=BH và AE ⊥ BH.
Bài 24. Điểm M chạy trên cung lớn AB của đường tròn tâm O, với A và B cố định. Trên
đoạn BM lấy N sao cho BN=AM. Tìm quỹ tích điểm N.

Bài 25. Cho hình vng ABCD và M nằm trên AB. Đường thẳng qua C vng góc với CM,
cắt AB và AD tại E và F. Gọi N là giao điểm của CM và AD. Chứng minh rằng:
a. CM+CN=EF
1
1
1
+
=
b.
2
2
CM
CN
AB 2
Bài 26. Cho đường thẳng  và một điểm A cố định, A không nằm trên  . M là điểm di động
trên  , dựng tam giác AMN vng cân tại A. Tìm quỹ tích điểm N.
Bài 27. Về phía ngồi tam giác ABC vẽ các hình vng BCMN và ACPQ có tâm O và O’.
a. Chứng minh rằng khi cố định điểm A, B và cho điểm C thay đổi thì đường thẳng
NQ ln đi qua một điểm cố định.
b. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng IOO’ là tam giác vuông cân.
Bài 28. Cho tam giác đều ABC. Gọi QA, QB là các phép quay góc 600 lần lượt có tâm ở A và
B. Gọi F là hợp thành của QA, QB.
a. F biến các điểm A, B, C thành các điểm nào ?
b. F là phép gì ?


Bài 29. Cho tam giác ABC có góc A=  và một điểm M nằm trên cạnh AB. Hãy dựng trên
các đường thẳng BC, CA các điểm N, P tương ứng sao cho MP=MN và đường tròn đi qua A,
M, P tiếp xúc với MN.
Bài 30. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1;2), B(3;4) và

3
3
cos A =
, cos B =
5
10
Bài 31. Cho tam giác đều ABC. Tìm tập hợp điểm M trong tam giác ABC sao cho
MA2+MB2=MC2.
Bài 32. Cho hai đường tròn đồng tâm. Hãy dựng hình vng sao cho hai đỉnh liên tiếp của nó
nằm trên đường tròn thứ nhất và hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn thứ hai.
Bài 33. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O. Lấy M thuộc cung nhỏ BC. Chứng
minh rằng AM=MB=MC.
Bài 34. Cho tam giác ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P
AM BN CP
=
=
sao cho:
. Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của AN và CM , AN và BP, MC
MB NC PA
và BP. Chứng minh rằng IJK là tam giác đều.
Bài 35. Cho hình vng ABCD có tâm O. Lấy M và N sao cho MA=MB, NO=NA. Tìm ảnh
của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc quay 900.
Bài 36. Cho đường trịn O có đường kính AB cố định và đường kính MN thay đổi. Các
đường thẳng AM, AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt tại P, Q. Tìm quỹ tích trực tâm các tam
giác MPQ và NPQ.
Bài 36. Cho hình bình hành ABCD. Hai đỉnh A, B cố định, tâm I thay đổi di động trên đường
tròn (K). Tìm quỹ tích trung điểm M của BC.