bài tập chuyên đề số học

Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
1. LÝ THUYẾT CHIA HẾT
1. (Hanoi 2002). Cho
,
a b



sao cho
2 2
a b ab


. Tính
2 2
a b
A
ab

 .
2. (Kvant, Russia). Cho


1 2
*
, ,. 1 , ;1 ,
n
a na a   

và thỏa mãn

1 2 2 3 1

0
n
a a a a a a
   
.
Chứng minh rằng:
4
n

.
3. (IMO 2001). Cho
a b c d
  
là những số nguyên dương và giả sử




ac bd b d a c b d a c
       
.
Chứng minh rằng:
ab cd

không phải là số nguyên tố.
4. (Spanish MO 1996). Cho
,
a b



sao cho:
1 1
a b
b a
 



.
Chứng minh rằng ước chung lớn nhất của
a
và
b
không vượt quá
a b

.
5. (Russia 2001). Cho
,
a b


và
a
b

thỏa:



ab a b

chia hết cho
2 2
a ab b
 
.
Chứng minh rằng:
3
a b ab
  .
6. (HMMT 2002). Hãy tính


2 3
2002 2;2002 2;2002 2;

  
.
7. (K

u
rschák 1953). Cho
,
n d



sao cho

2
2
d n
. Chứng minh rằng
2
n d

không thể
là số chính phương.
8. (IMO 1960). Tìm tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 11 sao cho thương số trong
phép chia số đó cho 11 bằng tổng bình phương các chữ số.
9. (VMO 2007). Cho


\,
1
x y
 

sao cho
4 4
1 1
1 1
x y
y x
 

 



. Chứng minh rằng:
4 44
1 1
x y x
 

.
10. (IMO 1967). Cho
*
, ,
k m n


sao cho
1
m k
 
là số nguyên tố lớn hơn
1
n

. Đặt


1
s
c s s
 
. Chứng minh rằng:
 

1 2
1

n
n m i k
i
c c c c c




.
11. (Romania 1999). Cho
, ,
a b c
là những số nguyên khác không,
a
c

sao cho
2 2
2 2
a a b
c
c b



. Chứng minh rằng:
2 2 2

a b c
 
không phải là số nguyên tố.
12. (Romania 1999). Cho
, ,
p q r
là các số nguyên tố và
n
là một số nguyên dương sao
cho
2
n n
p q r
 
. Chứng minh rằng:
1
n

.
13. (IMO 1969). Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương
a
thỏa
4
z n a
 

không phải là số nguyên tố với mọi số nguyên dương
n
.
14. (IMO 1984). Tìm hai số nguyên dương

,
a b
thỏa mãn hai điều kiện:
(i).


ab a b

không chia hết cho 7 ; (ii).
 
7
7 7
a b a b
  
chia hết cho
7
7
.
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
15. (Vietnam 1983).Cho
,
3
n
n
 

. Chứng minh rằng nếu



2 10
0 10
n
a b b   

thì tích
ab
chia hết cho 6.
16.(Romania 2003). Cho
n
là một số nguyên dương chẵn và cho
,
a b
là hai số nguyên
dương nguyên tố cùng nhau. Tìm
a
và
b
nếu
n n
a b a b
 
.
17. Chứng minh rằng
5 6
4 5
3 4

là một tích của hai số nguyên mà mỗi số này lớn hơn
2002

10
.
18. Cho
2
p

là một số lẻ và
n
là một số nguyên dương. Chứng minh rằng
 
1 2
1
n
n n
p
p p
p p   
19. Tìm tất cả các cặp số nguyên


,
m n
sao cho những số
2 2 2 2 2 2
2 3 2, 2 3 2, 3 2 1
A n mn m B n mn m C n mn m
           

có một ước chung lớn hơn 1
20. Cho

M
là một tập hợp tất cả các giá trị ước chung lớn nhất của
d
của các số
2 3 13, 3 5 1, 6 8 1
A n m B n m C n m
        
với
,
m n
là những số nguyên
dương. Chứng minh rằng
M
là một tập hợp của tất cả các ước của một số nguyên
k
.
21. (St. Petersburg City MO 1998). Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên
n
, giữa
2
n

và
 
2
1
n  có thể tìm được ba số tự nhiên
, ,
a b c
sao cho

2 2
a b

chia hết cho
c
.
22. (India 1998). Tìm tất cả các bộ ba


, ,
x y n
nguyên dương sao cho


,
1 1
x n
 
và
1
1
n n
x y

  .
23. (APMO 1999). Tìm số nguyên lớn nhất chia hết cho tất cả các số nguyên dương bé
hơn căn bậc ba của nó.
24. (Russia 2001). Tìm số nguyên dương lẻ
1
n


sao cho
a
và
b
là hai ước nguyên tố
cùng nhau bất kì của
n
thì
1
a b
 
cũng là ước của
n
.
25. (Vietnam 1979). Cho
,
m n
là hai số nguyên tố cùng nhau. Hãy tìm


2 2
,
m n m n
 

26. Cho
, , ,
a b c d
là các số nguyên dương thỏa mãn

ab cd

. Chứng minh rằng
n n n n
A a b c d
   
là hợp số với mọi
n
nguyên dương.
27. Có tồn tại hay không 2013 số nguyên dương
1 2 2013
, , ,
a a a
sao cho các số
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 3 1 2 2013
, , ,
a a a a a a a a
      đều là số chính phương?
30. (Vietnam TST 1992). Chứng minh rằng:
125
25
5 1
5 1
N



không phải là số nguyên tố.
31. Cho

, ,
x y p
là các số nguyên và
1
p

sao cho mỗi số
2012
x
và
2013
y
đều chia hết cho
p
. Chứng minh rằng:
1
A x y
  
không chia hết cho
p
.
32. Tìm tất cả các số nguyên tố
p
sao cho tổng tất cả các ước số tự nhiên của
4
p
là một
số chính phương.
33. Chứng minh rằng một số nguyên tố tùy ý có dạng
2

2 1
,
n
n



không thể biểu diễn
được dưới dạng hiệu các lũy thừa bậc 5 của hai số tự nhiên.
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
34. Chứng minh rằng với
2
m

, giữa
m
và
!
m
có ít nhất một số nguyên tố. Từ đó suy
ra rằng có vô số số nguyên tố.
35. Có tồn tại một số tự nhiên
n
có thể viết dưới dạng:
! !
n x y
 
với
,

x y



và
x
y

bằng hai cách khác nhau hay không?
36. Chứng tỏ rằng số
444444 303030 3
 không thể biểu diễn dưới dạng


2
3
x y với
,x y


.
37. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
2
n

ta có:
 
1
2
1

2 1
0
.
n
n k
n n k
k
C C


 


chia hết cho
1
4
n

.
38. Tìm tất cả các số hữu tỉ dương
,
x y
sao cho
x y

và
1 1
x y

là các số nguyên.

39. Cho
p
là số tự nhiên lẻ và các số nguyên
, , , ,
a b c d e
thỏa mãn các điều kiện:
a b c d e
   
;
2 2 2 2
a b c d
  
đều chia hết cho
p
. Chứng minh rằng số
5 5 5 5 5
5
a b c d e abcde
    
cũng chia hết cho
p
.
40. Cho 5 số nguyên phân biệt tùy ý
1 2 3 4 5
, , , ,
a a a a a
. Xét tích sau đây:





















1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5
P a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
          
Chứng minh rằng:
P
chia hết cho 288.
41. Giả sử phương trình
2003 2
0
x ax bx c
   
với các hệ số nguyên
, ,

a b c
có ba
nghiệm nguyên
1 2 3
, ,
x x x
. Chứng minh rằng:
, ,
a b c
có ba nghiệm nguyên








1 2 2 3 3 1
1
a b c x x x x x x
     
chia hết cho
2003
.
42. Cho ba số nguyên dương khác nhau
, ,
x y z
. Chứng minh rằng:
     

5 5 5
x y y z z x
     chia hết cho






5
x y y z z x
  

43. Giả sử rằng số nguyên tố
p
có thể được viết thành hiệu hai lập phương của hai số
nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng khi đem
4
p
chia cho 3, nếu loại bỏ phần dư
đi thì sẽ nhận được số là bình phương của một số nguyên lẻ.
44. (Komal - Hungary C.640, 2001). Tìm tất cả các số tự nhiên thỏa mãn tính chất sau:
Nếu thay đổi hai chữ số cuối cùng của bình phương số tự nhiên đó, ta nhận được bình
phương của số tự nhiên liền sau nó.
45. (Komal - Hungary C.676, 2002). Tìm số nguyên
,
a b
sao cho
 
4

4 4
a a b b
  
là
số chính phương.
46. (Komal - Hungary B.3525, 2002). Chứng minh rằng trong dãy
1
;
31
;
331
;
3331
;

có
vô hạn các hợp số.
47. (Komal - Hungary B.3474, 2001).
Xác định chữ số thứ 73 tính từ bên phải của số :
 
2
112
111
1

.
48. (Komal - Hungary A.243, 2000). Xác định tất cả các số nguyên tố
,
p q
sao cho:

Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
2 1 3
1 1
1 1
n
p q
p q

 

 
với
1
,
n n



.
49.(Komal - Hungary A.244, 2000). Tìm tất cả các số nguyên dương
n
sao cho
2 2
n a b
 
với
,
a b
là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và

ab
chia hết cho
mọi số nguyên tố bé hơn hoặc bằng
n
.
50. (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1995). Chứng minh rằng với
mọi số nguyên dương
n
, mệnh đề sau đây đúng: “ Số 7 là một ước số của
3
3
n
n

nếu
chỉ nếu 7 là một ước số của
3
3 1
n
n

”.
51. (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1995).
Cho
2
1
4 4 1
A
x x


 
và
2
2 2
2 1
x
B
x x


 
. Tìm tất cả các giá trị nguyên của
x
sao
cho
2
3
A B
C

 là một số nguyên.
Giải
52. (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1996). Cho số nguyên dương
n
và số thực

sao cho
1
osc
n



. Tìm tất cả các số nguyên dương
k
sao cho
cos
k


là một số nguyên.
53. (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1997). Tìm tổng tất cả các số
tự nhiên dạng:
1 2 2

n
a a a
sao cho:
(i). Không có một chữ số
i
a
nào bằng 0.
(ii). Tổng
1 2 3 4 2 1 2

n n
a a a a a a

   là một số chẵn.
54.(The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1999). Tìm số tự nhiên
n

nhỏ nhất sao cho tổng bình phương các ước số của nó ( kể cả 1 và
n
) bằng
 
2
3
n  .
55.(The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 2000).
Chứng minh rằng chữ số hàng trăm của số
1999 2000 2001
2 2 2
 
là một số chẵn.
56. Viết tổng
2 3
2 2 2 2

1 2 3
n
n
    thành phân số tối giản
p
q
. Chứng minh rằng:
8
p


với mọi

4
n

.
57. (APMO 1999). Xác định tất cả các cặp số nguyên


;
a b
sao cho hai số
2
4
a b

và
2
4
b a

đều là những số chính phương.
58. (Singapore 1995-1996). Với mỗi số nguyên dương
k
. Hãy chứng minh rằng tồn tại
một số chính phương có dạng:
2 7
k
n

, trong đó
n

là số nguyên dương.
59. (Singapore 1996-1997). Ta viết bốn số nguyên
0 0 0 0
, , ,
a b c d
trên một đường tròn theo
chiều kim đồng hồ. Bước đầu tiên ta thay
0 0 0 0
, , ,
a b c d
bằng các số
1 1 1 1
, , ,
a b c d
với
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
, , ,
a a b b b c c c d d d a
       
. Ở bước tiếp theo ta thay
1 1 1 1
, , ,
a b c d

bằng các số
2 2 2 2
, , ,
a b c d
sao cho
2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1

, , ,
a a b b b c c c d d d a
       
.
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
Tổng quát ở bước thứ
k
, ta nhận được các số
, , ,
k k k k
a b c d
trên đường tròn sao cho:
1 1 1 1 1 1 1 1
, , ,
k k k k k k k k k k k k
a a b b b c c c d d d a
       
        .
Sau 1997 lần thay thế như trên ta đặt
1997 1997 1997 1997
, , ,
a a b b c c d d
    .
Hỏi tất cả các số , ,
bc ad ac bd ab cd
   có đồng thời là các số nguyên tố hay
không? Chứng minh cho câu trả lời.
60. (Hungary 2000). Tìm tất cả các số nguyên tố
p

sao cho với số
p
đó tồn tại các số
nguyên dương
, ,
n x y
thỏa
3 3
n
p x y
 
.
61. (China 2001). Cho 7 số nguyên tố khác nhau có thể được viết thành:
; ; ; ; ; ;
a b c a b c a b c a b c a b c
        

trong đó, hai trong ba số
; ;
a b c
có tổng bằng 800. Gọi
d
là khoảng cách giữa số lớn nhất
và số nhỏ nhất trong 7 số nguyên tố. Hỏi giá trị lớn nhất có thể có của
d
?
62. Cho đa thức


P x

có các hệ số nguyên, biết rằng tồn tại số nguyên dương
c
sao cho
không có số nào trong các số:






1 , 2 , ,
P P P c
chia hết cho
c
. Chứng minh rằng với
mọi số nguyên
b
, ta có:


0
P b

.
63.Chứng minh rằng nếu
2
2
x y

là một số chính phương với ,x y




thì
2
x y

là
tổng của hai số chính phương.
64. Tìm số nguyên tố
p
sao cho
2 1
p

là lập phương của một số tự nhiên.
65. Chứng minh rằng đa thức:


9999 8888 7777 6666 4444 3333 2222 1111
1
P x x x x x x x x x
        

chia hết cho đa thức:


9 8 7 6 5 4 3 2
1
Q x x x x x x x x x x

         
.
66. (Bulgaria MO 1995, Round 3 ).Tìm tất cả các số nguyên dương
,
x y
sao cho
2 2
x y
x y


là số nguyên và nó là ước của 1995.
67. (Bulgaria MO 1995, Round 4 ). Giả sử
;
x y
là các số thực khác nhau sao cho có bốn
số nguyên dương
n
liên tiếp nhau để
n n
x y
x y


là một số nguyên. Chứng minh rằng:
n n
x y
x y



là một số nguyên với mọi số nguyên dương
n
.
68. (Bulgaria MO 1996, Round 3). Chứng minh rằng với mọi số nguyên
3
n

, tồn tại
các số nguyên dương lẻ
n
x
và
n
y
sao cho:
2 2
7 2
n
n n
x y
 
.
69.(Bulgaria MO 1998,Round 4). Gọi
,
m n
là các số tự nhiên sao cho
 
3 1
3
n

m
A
m
 
 là số nguyên. Chứng minh rằng
A
là một số nguyên lẻ.
70. (diendantoanhoc.net). Cho
; ; ;
a b c d



thỏa mãn
2 2
ac bd a b
 

.
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
Chứng minh rằng:


2 2 2 2
;
1
a b c d
  
.

71. Tìm
n
nguyên dương sao cho:
33
3 3
1 2
2 4 7225
n n
 
   
     
   
 
.
72. Tính:


1999
45 1999
 

 
 
, trong đó:


a
là ký hiệu phần nguyên của số a.
73. Chứng minh rằng:



2 3
n
 

 
 
là số lẻ với mọi số tự nhiên
n
.
2. QUAN HỆ ĐỒNG DƯ

1. (Komal-Hungary C.691, 2002). Cho hình lập phương có ba cạnh là các số nguyên.
Tổng thể tích của chúng bằng 2002 đơn vị được không?
2. (Komal - Hungary A.271, 2001).
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố
5
p

, số
2
0
3
k
p
p
k
C
p
 


chia hết cho
p
.
3. (Komal - Hungary A.271, 2001).
Tìm các cặp số


;
a b
sao cho
,
a b



và
2 2
a ab b
 
là bội số của
5
7
.
4. Cho
p
là số nguyên tố lẻ. Chứng minh:
 
0
2 1

p
k k p
p p k
k
C C


 

chia hết cho
2
p
.
5. Chứng minh rằng số:
555 222
222 555
 chia hết cho 7.
6. Tìm bộ số nguyên dương


;
m n
sao cho
2 2
p m n
 
là số nguyên tố và
3 3
4
m n

 

chia hết cho
p

7. Chứng minh rằng:
2 1 3
2 1
0
2
n
k k
n
k
C




không chia hết cho 5 với mọi
n
là số tự nhiên.
8. Cho
p
là số nguyên tố khác 2 và
,
a b
là hai số tự nhiên lẻ sao cho
a b


chia hết cho
p
và
a b

chia hết cho
1
p

. Chứng minh rằng:
b a
a b

chia hết cho
2
p
.
9. Cho số nguyên tố
3
p

và m, n là hai số nguyên tố cùng nhau sao cho
 
2
2 2
1 1 1

1 2
1
m

n
p
   

. Chứng minh rằng
m
chia hết cho
p
.
10. (Baltic 2001). Cho
a
là số nguyên dương lẻ,
m
và
n
là hai số nguyên dương phân
biệt. Chứng minh rằng:


2 2 2 2
2 ;
2 1
n n m m
a a
  
.
11. Cho
5
n


là số tự nhiên. Chứng minh rằng:


1
!
n
n
 

 
 
 
chia hết cho
1
n

. Biết
a
 
 

là ký hiệu phần nguyên của
a
.
12. Tồn tại hay không một số nguyên
x
sao cho
2
1 2003
x x

 

?
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
13. Tìm tất cả các số nguyên dương
n
sao cho
n
là ước số của
12
3 1

nhưng
n
không
là ước số của
3 1
i

với mọi
1,2,3
,

,
11
i

. Có bao nhiêu số
n

chẵn và bao nhiêu số
n

lẻ?
14. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố
p
, tồn tại vô số số nguyên dương
n
thỏa
mãn:
2
n
n p


.
15. Tìm tất cả các số nguyên tố
p
sao cho


2
2
5 1 0 mod
p
p
 
.
16. Cho
;

a b
là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại các
số nguyên dương
,
m n
sao cho:
1
m n
a b ab
 

.
17. Cho
5
n

là số nguyên dương lẻ và có các số nguyên tố là
1 2
, , ,
k
p p p
. Chứng minh
rằng


2 1
n


có ước số nguyên tố không thuộc tập



1 2
; ; ;
k
p p p
.
18. (IMO 1978). Cho
m
và
n
là những số tự nhiên với
1
n m


. Trong cách viết thập
phân ba chữ số cuối cùng của
1978
m
theo thứ tự bằng ba chữ số cuối cùng của
1978
n
.
Tìm các số
m
và
n
sao cho tổng
m n


nhỏ nhất.
19. (VMO 2001 A). Cho số nguyên dương
n
và hai số nguyên tố cùng nhau
,
a b
lớn
hơn
1
. Giả sử
,
p q
là hai ước lẻ lớn hơn 1 của
6 6
n n
a b

. Hãy tìm số dư trong phép chia
6 6
n n
p q
 cho
6.12
n
.
20. (VMO 2008). Đặt
2008
2007
m


. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên
n
mà
n m

và




2 1 5 2
n n n
 
chia hết cho
m
.
21. Chứng minh rằng không tồn tại một dãy vô hạn tăng các số nguyên tố


n
p
thỏa mãn
1
2 1
n n
p p

 
với mọi

1
n

.
22. Cho
p
là số nguyên tố,


1 2
; ; ;
p
r r r
và


1 2
; ; ;
p
s s s
là các hệ thặng dư đầy đủ
modulo
p
. Hỏi tập hợp


1 1 2 2
; ; ;
p p
rs r s r s

có phải là một hệ thặng dư đầy đủ modulo
p

không?
23. Chứng minh rằng nếu
p
là một số nguyên tố thì


2 !
1
p p
 

nhưng nếu
5
p

thì


2 !
1
p
 
không phải là một lũy thừa của
p
.
24. Chứng minh rằng:
2013

5 7
n

chia hết cho 12 với mọi số tự nhiên
n
.
25. (Nordic 1998). Cho
n
là một số nguyên dương. Chứng minh rằng các số


0;1;2;
;
n
k 
thỏa mãn
k
n
C
lẻ là một lũy thừa của 2.
26. (Korea 1999). Tìm tất cả các số nguyên dương
n
sao cho
2 1 3
n


và
2 1
3

n

là ước
số của một số nguyên có dạng
2
4 1
m

.
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
27. (Bulgaria). Cho


7 4 3 ,
1
n
n
a n

 . Chứng minh rằng trong biểu diễn thập phân
của
n
a
có ít nhất
n
chữ số
9
nằm sau dấu phẩy.
28. (Ukraine 1976). Tìm bốn chữ số cuối cùng của số:





1976 1974 1975 1973
1976 1974 1976 1974a   
.
29. Tìm ba chữ số tận cùng của số
10000
1995
1994
1993
M


.

3. DÃY SỐ VÀ SỐ HỌC

1. Cho dãy số


n
u
xác định bởi :
1
1
1
3 3
1 2 , n

1
n n
u
u u
n n





 
    
 

 

.
Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số đều là số nguyên.
2. Cho dãy số


n
u
xác định như sau :
0 1 2
3 2
1
1
! , n
n n

n n
u u u
u u
n
u u
 

  



 



.
Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy đều nguyên.
3. Cho dãy số


n
u
xác định bởi :
2
4 4 1
, n
1
2 1 2 1
n
n n

u
n n
 
 
  
.
Chứng minh rằng :
1 2 40

u u u
  
là một số nguyên.
4. Cho dãy số vô hạn


n
u
xác định như sau :


2
3 7
n
u n n
  
,
*
n

.

Chứng minh rằng không có phần tử nào của dãy là lập phương của một số nguyên.
5. Cho dãy số


n
u
được xác định như sau:
3 5 3 5
2,
2 2
n n
n
u n
   
 
    
   
   
   


Chứng minh rằng
2 1
k
u

,
k



là một số chính phương.
6. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy


n
u
xác định bởi:
0
2
1
1
2 3 2
n n n
u
u u u





  


đều nguyên.
7. Cho m



. Dãy



n
u
được xác định theo công thức:
1
2
*
1
1
5 . 8
n n n
u
u u mu n





    



.
Tìm
m
để dãy


n
u

là một dãy số nguyên.
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
8. Dãy số


n
u
được xác định theo công thức:
1
3 2
1
2
3 2 9 9 3
2
n n
u
u u n n n n





      


.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố
p
thì dãy các tổng tương ứng:

1 2 1

p
u u u

   đều chia hết cho
p
.
9. (Putnam 1999). Dãy số nguyên


n
u
được xác định như sau:
1 2 3
2 2
1 3 1 2
2 3
1, 2, 24
6 8

4
n n n n
n
n n
u u u
u u u u
u n
u u
   

 
  




  


.
Chứng minh rằng
n
u
luôn là bội của
n
.
10. Dãy số


n
u
được xác định như sau:
1
1 1
7
4 5 1975
2
n n n
u
u u u n

 



    

.
Chứng minh rằng
1996
u
chia hết cho 1997.
11. Cho dãy số


n
u
xác định như sau:
 
1 2
1
2012, 2013
1 2
2
n n n
u u
u u u n

 




    


.
Chứng minh rằng số






2 2 2
1 2 2013
1 1
1 1
A u u u
    
là số chính phương.
12. Cho dãy số


n
u
xác định bởi:
1 1 1
os os os
7 7
3
7

5
n
n n n
u
c c c
  
   .
Chứng minh rằng
n
u
luôn là số nguyên và chia hết cho 8.
13. (VMO 1997). Cho dãy số nguyên


n
u
được xác định như sau:
0 1 2 1
1, 45, 45 7
n n n
u u u u u n
 
     

.
a) Tính số các ước dương của
2
1 2
n n n
u u u

 
 theo
n
.
b) Chứng minh rằng
2 1
1997 7 .4
n
n
u

 là số chính phương với mỗi
n
.
14. Cho dãy số


n
u
xác định bởi:
1 2
2
1
1
1
0
2 2

2
1

n n n
n
n
u u
u u u
u n
u



 


  

  



.
Chứng minh rằng
n
u
nguyên với mọi
n


.
15. Cho
*

k 

và dãy số


n
u
thỏa mãn điều kiện:
0 1 2 1
1; 1; 4
n n n
u u u u u
 
   
.
Chứng minh rằng:
3
k
n
u

khi và chỉ khi
3
k
n

.
16. Cho dãy số



n
u
được xác định bởi công thức:
1 2
3 2008
1 1
5, 7
6 3.2
n n n
u u
u u u
 
 



  


.
Chứng minh rằng


n
u
không thể biểu diễn được dưới dạng tổng lũy thừa bậc 6 của ba số
nguyên dương.
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
17 . Gọi


là nghiệm dương của phương trình:
2
2014 1 0
t t
  
và dãy


n
u
được xác định
như sau:


0 1
1,
n n
u u nu


   

, ở đây


x
là ký hiệu phần nguyên của số thực
x
. Tìm số

dư
2014
u
khi chia cho 2014.
18. Cho dãy số


n
u
xác định như sau:
     
2 2 2
2
*
1 2 3
n
u n n n n n        

.
Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 10.
19. Dãy số


n
u
xác định như sau:
2
n
u n n
 

  
 

. Chứng minh rằng có vô số số
hạng của dãy là số chính phương.
20. Cho dãy số




,
n n
u v
xác định bởi:
0 1 1 1
3, 2, 3 4
n n n
u u u u v
 
    ,
1 1
2 3
n n n
v u v
 
 
với mọi
*
n


. Chứng minh rằng dãy


n
w
xác định bởi
2 2
1 4
n n n
w u v
  không chứa các
số nguyên tố.
21. Cho dãy số


n
u
xác định bởi:
0 1
3
u u
 
,
1 1
7
1
n n n
u u u n
 
   

. Chứng minh
rằng
2
n
u

là một số chính phương
1
n


.
22. (VMO 2011).
Cho dãy số nguyên


n
u
xác định bởi:
0 1 1 2
1, 1, 6 5
2
n n n
u u u u u n
 
      
.
Chứng minh rằng:
2012
2010

u  chia hết cho
2011
.
23. Cho dãy số


n
u
xác định bởi:
0
2
1
1
7 45 36
,
2
n n
n
u
u u
u n





 
  




.
Chứng minh rằng:
a)
n
u
là số nguyên dương
n
 

.
b)
1
1
n n
u u


là số chính phương
n
 

.
24. Cho dãy số


n
u
xác định như sau:





2 3 2 3
,
2 3
n n
n
u n
  
  

.
a) Chứng minh rằng:
n
u
là số nguyên
n
 

.
b) Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 3
25. Cho




f x
x



thỏa






0 1
0 1 1, ,
n n
f f x x f x n

     
 
. Chứng minh
rằng với mọi , ,
n
m n m



ta luôn có:


,
1
m n
x x


.
26. Cho
*
k


, xét
 
2
*
2 1
n
n
f k n
   

. Chứng minh rằng
n
f
đôi một nguyên tố
cùng nhau.
27. (Journal of Mathematical youth ).
Cho dãy số


n
a
với
1 2
1

a a
 
và
2 1

1
n n n
a a a n
 
 

 . Tìm tất cả các cặp số nguyên
dương


;
a b
,
a b

thỏa 2
n
n
a na
 chia hết cho
b

1
n



.
28. Cho dãy số
2
4 38
n
x n n n
   

. Tìm


lim
n
n
x

,


x
là phần lẻ của
x
.
29. Xét dãy số




,

n n
u v
xác định bởi:
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
1 1
3, 2
u v
 
và
1
3 4
n n n
u u v

  ,
1
2 3
1
n n n
v u v n

   
.
Chứng minh rằng:
 
2 2
n n n n
u v u v
 

  
 

1
n
 
.
30. Cho dãy Fibonacci:
1 2 2 1
1,
n n n
u u u u u
 
   
. Chứng minh rằng với mọi
6
n

giữa
n
u
và
1
n
u

có một số chính phương.
31.(IMO 1994). Cho dãy số
 
2

0 1
: 1994;
( )
1
n
n n
n
a
a a a n N
a

  

. Chứng minh rằng khi
0 998
n
 
thì


1994
n
a n
 

32. (Bulgaria 1999). Cho dãy các số nguyên


n
a

thoả mãn
*
1
( 1) ( 1) 2( 1),
n n
n a n a n n

     

.
Biết
1999
a
chia hết cho 2000. Tìm số n nhỏ nhất sao cho
n
a
chia hết cho 2000


2
n


33. (Bulgaria 1978). Cho dãy số


n
a
xác định như sau:
2 2

1 2
1 2
1 2
, ,
a a a
a a
a a
 


;
*
0
n
na
  

và
2
*
1
2

n
n
n
a a
a n
a




  


(
a
là số cho trước ). Chứng minh rằng dãy số đã cho gồm toàn số nguyên.
34. ( Vietnam TST 1982). Cho
*
a

và


n
a
là dãy số xác định bởi:
 
0 1
1 1
0, 1
2 1
n n n
a a
a a a a
 
 




  


.
Với
0
p
là số nguyên cố định lớn hơn 2. Hãy tìm giá trị bé nhất của
a
sao cho hai khẳng
định sau đúng:
a) Nếu
p
là số nguyên tố,
0
p
p

thì
p
a p

.
b) Nếu
p
là số nguyên tố,
0
p p


thì
p
a
không chia hết cho
p
.
35. Cho dãy số


n
a
xác định bởi
0 1
0, 1
a a
 
và
 
1 1
3
1
2
n
n n n
a a a
 
 
 
với
*

n

.
Chứng minh
n
a
là số chính phương với mọi
0
n

.
36. Cho dãy số


n
a
xác định bởi:
0 1 2 3
0, 1, 2, 6
a a a a
   
và
4 3 2 1
2 2
n n n n n
a a a a a
   
   
với mọi
*

n

. Chứng minh rằng:
n
a
chia hết cho
n
,
1
n
 
.
37. Cho ,
1
k k
 

. Xét dãy số


n
a
xác định bởi:
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
 
 
2
2
0 1 2

1 1 1 2
4, 2
2 8
2
n n n n n n
a a a k
a a a a a a n
   

   


      


.
Chứng minh rằng: 2
n
a
 là số chính phương với mọi
0
n

.
38. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương
4
n

thì
1

n
F

không là số nguyên tố.
39. Cho dãy số nguyên


n
x
xác định bởi:
0 1
3;
11
x x
 
và
2 1
2 7
n n n
x x x n
 
   

.
Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ
a
sao cho với mọi
,
m n
nguyên dương tồn tại

k

nguyên dương mà
k
n
x a

chia hết cho
2
m
.
40. Cho dãy số nguyên


n
a
xác định bởi:
1 2
2;
7
a a
 
và
2
1
1
1
,
2
2

1
2
n
n
n
a
a
a
n


 
  

.
Chứng minh rằng:
n
a
là số lẻ với mọi
2
n

.
41. Cho
,
a b
là hai số thực khác 0. Xét dãy số


n

u
xác định
bởi:
0 1
2 1
0; 1

0
n n n
u u
u au bu n
 
 


   

.
Chứng minh rằng nếu có bốn số hạng liên tiếp của dãy


n
u
là số nguyên thì mọi số hạng
của dãy đều là số nguyên.
42. Cho dãy số nguyên


n
a

thỏa mãn điều kiện:
1 2
7 100
9, 0
n n n
a a a n
 
     
.
Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên
0
n
sao cho với mọi
0
n
n

thì
0
n
a

.
43. Cho dãy số


n
a
xác định bởi
0 1 2

3 2 1
29, 105, 381
3 2
0
n n n n
a a a
a a a a n
  
  


    

.
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương
m
luôn tồn tại số tự nhiên
n
sao cho các số
1 2
,
1, 2
n n n
a a a
 
 
đều chia hết cho
m
.
44. (BMO 2000, Round 3). Cho dãy số



n
a
xác định bởi :
1
43
a

,
2
142
a  và
1 1
3
n n n
a a a
 
  với mọi
2
n

.
a) Chứng minh rằng :


1
,
1
n n

a a


với mọi
1
n

.
b) Với mọi số tự nhiên
m
, tồn tại số tự nhiên
n
sao cho
1
n
a

và
1
1
n
a


đều chia hết
cho
m

Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443

45. (Slovenia 1999). Cho dãy các số thực
1 2
, , ,
a a thỏa mãn điều kiện:
1 2 3
2, 500, 2000
a a a   và
2 1 1
1 1 1
n n n
n n n
a a a
a a a
  
  




2
n

. Chứng minh rằng tất cả các số
hạng của dãy đều là số dương và
2000
a
chia hết cho
2000
2
.

46. (WMSETS 1999 - 2000). Giả sử
1 2
1 1 1

1
m
a a a
   
với các số
1 2
, , ,
m
a a a
nguyên
dương và đôi một khác nhau. Nếu các số lớn nhất trong các số
i
a
là
2
p
với
p
là số
nguyên tố nào đó, hãy tìm tập


1 2
, , ,
m
a a a

.
47. (WMSETS 2000 - 2001). Cho
1 2
14, 144
a a  và 1444
4
n
a  với
n
số 4. Tìm tất
cả các số nguyên dương
n
sao cho
n
a
là số chính phương.
48. (USAMTS 2000 - 2001). Xét dãy số thực
0 1 2
, , ,
s s s
thỏa mãn tính chất:
(i).
i j i j i j
s s s s
 
  với mọi số nguyên không
,
i j
sao cho
i

j


(ii).
12
i i
s s

 với mọi số nguyên không âm
i
;
0 1 2
0
s s s
  
.
Tìm ba số
0 1 2
, ,
s s s
.
49. (Putnam 1990). Xét dãy số 2,3,6,14,40,152,784

với số hạng đầu là
0
2
a

và số
hạng tổng quát





1 2 3
4 4 4 8
n n n n
a n a na n a
  
     với mọi
3
n

.
Chứng minh rằng mỗi số hạng của dãy trên có thể được viết thành tổng của các số hạng
tương ứng của hai dãy quen thuộc.
50. (Putnam 1991). Với mọi số nguyên dương
n
ta định nghĩa


2
d n n m
 
trong đó
m
là số nguyên lớn nhất sao cho
2
m
n


. Cho số nguyên dương
0
b
, ta thiết lập dãy
0 1
, , , ,
k
b b b với


1
k k k
b b d b

  . Những giá trị
0
b
như thế nào thì dãy trên có
i
b
là
hằng số với
i
đủ lớn?
51. (Putnam 1997). Cho dãy số


n
a

xác định bởi
1 1
1, 2
n
a
n
a a

  . Chứng minh rằng


1
mod
n n
a a n

 với
2
n

.
52. (Czech and Slovak Republic 2000). Chứng minh rằng tồn tại một dãy các số tự
nhiên tăng dần


n
a
với mọi
0
k


là dãy


n
k a

chỉ chứa một số hữu hạn số nguyên
tố.
53. (The Winter mathematical competitions in Bulgaria 1997).
Cho
 

là hai nghiệm của phương trình
2
0
x px q
  
. Với mọi số tự nhiên
n
ta
ký hiệu:
n
n
n
a
 
 



 .
a) Tìm
p
và
q
sao cho với mọi số tự nhiên
n
đẳng thức sau đây đúng:
Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
 
1 2 3
1
n
n n n n
a a a a
  
  
.
b) Chứng minh rằng với
,
p q
nói trên ta có:
1 2
n n n
a a a
 
  với mọi số tự nhiên.
c) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n

,
n
a
là số nguyên và nếu
3
n

thì
n
a
là số
chẵn.
54. (The Winter mathematical competitions in Bulgaria 1998).
Cho dãy số nguyên


m
a
mà khi viết trong hệ thập phân, các số hạng của dãy bao gồm
các chữ số chẵn


1 2 3
2, 4, 6,

a a a  
. Tìm tất cả các số nguyên
m
sao cho
12

m
a m
 .
55. Lập dãy


k
a
như sau:
0 1
1
;
1
a a
 
với
1
k

thì
1 1
2
k k k
a a qa
 
  trong đó
q
là số
nguyên tố cố định nào đó. Tìm
q

sao trong dãy có số hạng
3
n
a
nhận giá trị
1

.
56. Dãy


n
a
thỏa mãn tính chất sau:




11
5;7 , 5 ;
7
n n
a a
n
a a

  với
1
;
2

;

n


Tìm mọi giá trị có thể của hai chữ số cuối của
2011
a
.
57. (BMO 2001, Round 4). Cho dãy


n
a
thỏa mãn
0 1
4
;
22
a a
  và
1 2
6 0
n n n
a a a
 
  
với
2
n


. Chứng minh rằng tồn tại các dãy




,
n n
x y
gồm các số
nguyên dương sao cho
2
7
n
n
n n
y
a
x y



với mọi
0
n

.
58. (Romania 1996). Tìm số nguyên lớn nhất
n
để tồn tại

n
số nguyên không âm
1 2
; ; ;
n
x x x
không đồng thời bằng 0, sao cho với mọi dãy số
1 2
, , ,
n
  
gồm các phần
tử không đồng thời bằng 0 lấy từ tập


1;0;
1

ta có:
3
n
không chia hết
1 1 2 2

n n
x x x
  
   .
59. (BMO 1996, Round 4). Cho dãy số



n
a
xác định bởi:
1 1
1;
n
n
n
a
n
a a
n a

  
.
Chứng minh rằng:
2
n
a n
 

 
với
4
n

( ký hiệu
x
 

 
là phần nguyên của
x
).
60. Cho dãy số


n
u
xác định bởi:
1 2
2 1
0; 1
1
n n n
u u
u u u
 

 


  


.
Chứng minh rằng: Nếu
5
p


là số nguyên tố thì


1
p p
u u

chia hết cho
p
.
61. (St. Petersburg City MO 2002).Cho dãy số


n
a
xác định bởi:
1
1
,
2
2
,
1
1
1
n
n
n
n
n

n
a
if a
a
a
if a
a














Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia
Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443
Cho
0
a
là một số nguyên dương,
2
n
a


với mỗi
1
;
2
;

;
2011
n

và
2002
2
a

. Tính
0
?
a

62. Cho dãy số


n
x
xác định bởi:
0 1 2
0
;

1
;
0
x x x
  
và





 
2
2
3 2 1
1 1
1
1
n n n n
n n n
n
x x n n x x
n n
  
  

     .
Chứng minh rằng
n
x

là số chính phương với mọi
0
n

.
63. (VMO 1987). Cho dãy số




,
n n
x y
xác định bởi:


1986
0 1
365 ;
1 1622
n n n
x x x x

   
,
0
n



và
0
16
y

;


3
1
1 1952
n n n
y y y

  
,
0
n


.
Chứng minh rằng:
0
n k
x y
 
,
1
,
n k



.
64. (VMO 1995). Một dãy số


n
a
được xác định bởi:
1
0 1 2
1
9 ,
1, 3,
9 5 ,
n n
n
n n
a a if n is even
a a a
a a if n is odd






  






Chứng minh rằng:
a)
2000
2
1995
k
k
a


chia hết cho 20 ; b)
2 1
n
a

không phải là một số chính phương
*
n
 


65. (VMO 1998 A). Cho dãy số nguyên dương


0
n
n

a

xác định bởi:
0 1 2 1
20, 100, 4 5 20
n n n
a a a a a
 
    
với
0
n

.
Tìm số dương
h
nhỏ nhất có tính chất:
n h n
a a


chia hết cho 1998 với mọi
n


.
66. (VMO 1989). Xét dãy số Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13
,

Đặt


2
1985 1956 1960
f n n n  
.
a) Chứng rằng tồn tại vô hạn số
F
của dãy trên sao cho


f F
chia hết cho 1989.
b) Tồn tại hay không một số
G
của dãy sao cho


2
f G

chia hết cho 1989?