Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên

NGÀNH TỐN HỌC

Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình tích phân
ngẫu nhiên
Study stability solution of random integral equations
Nguyễn Viết Tuân
Email:
Trường Đại học Sao Đỏ
Ngày nhận bài: 02/3/2020
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 28/3/2020
Ngày chấp nhận đăng: 30/3/2020
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tơi nghiên cứu về sự tồn tại, tính duy nhất, tính ổn định nghiệm của nghiệm
ngẫu nhiên của phương trình tích phân ngẫu nhiên bằng phương pháp “Lý thuyết chấp nhận được” và “lý
thuyết về toán tử co”. Bài báo cũng chỉ ra mối liên hệ về tính ổn định nghiệm giữa phương trình vi phân
ngẫu nhiên và phương trình tích phân ngẫu nhiên.
Từ khóa: Tích phân ngẫu nhiên; nghiệm ngẫu nhiên; khơng gian Banach; ổn định nghiệm.
Abstract
In this paper, we study the existence, uniqueness, stability of solutions of random solutions of random
integral equations by the method of “admissibility theory” and “theory of contraction”. The paper also shows
the relationship of root stability between random differential equations and random integral equations.
Keywords: Integral equation; random solution; Banach space; stable solution.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Nhiều vấn đề trong toán học cũng như các bài
toán thực tế của cơ học, vật lý, kỹ thuật dẫn đến
phương trình mà các hàm chưa biết nằm dưới
dấu tích phân, đó chính là dạng phương trình tích
phân. Đặc biệt khi cả hàm cần tìm và các yếu tố
đã cho trong phương trình tích phân đều chứa yếu
tố ngẫu nhiên thì được lớp phương trình tích phân
ngẫu nhiên.

Các lý thuyết cơ bản về phương trình tích phân đã
được trình bày trong [3, 5]. Một số kết quả về sự
tồn tại, tính duy nhất của phương trình tích phân
ngẫu nhiên có trong [4, 5].
Phương trình tích phân Volterra là dạng phương
trình tích phân đặc biệt với một cận tích phân chưa
xác định, hàm cần tìm nằm dưới dấu tích phân và
hàm cần tìm có thể xuất hiện bên ngồi dấu tích
phân. Phương trình tích phân Volterra có nhiều
ứng dụng trong vật lý như truyền năng lượng bức
xạ, dao động của dây, trục và màng mỏng và trong
các bài toán kỹ thuật…
Người phản biện: 1. PGS.TS. Khuất Văn Ninh
2. TS. Đào Trọng Quyết

Trong bài này, chúng tôi sử dụng một số nội dung
của phương pháp “Lý thuyết chấp nhận được” và
“Lý thuyết về toán tử co” để nghiên cứu về sự tồn
tại, tính duy nhất, tính ổn định nghiệm của nghiệm
ngẫu nhiên của phương trình tích phân ngẫu nhiên
Volterra có dạng.
t

ị

x ( t,w ) = h ( t,w ) + k ( t,s,w ) f ( s,x ( s,w ) ) ds

(1)

0

Trong đó:

t ≥ 0, ω là một điểm của Ω;
h(t,ω) là hàm ngẫu nhiên xác định với t ≥ 0, ω ∈ Ω;
x (t; ω) là hàm ngẫu nhiên chưa biết với t ≥ 0;

hạt nhân ngẫu nhiên k (t;t;ω) xác định với 0 ≤ t
t < ∞ và ω ∈ Ω.

≤

Ngồi ra, chúng tơi cũng chỉ ra mối liên hệ về tính
ổn định nghiệm giữa phương trình vi phân.
.

( ( ))

x t, w = A w x t, w + f t, x t, w , t ³ 0

( )

( ) ( )

và phương trình tích phân ngẫu nhiên (1).
2. MỘT SỐ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ
Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng một số ký
hiệu như:
- W , F , P là một khơng gian xác suất, đo được.

(

)

Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020

87


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
- L W , F , P là khơng gian các hàm đo được, bình
2

(

)

phương khả tích.

(

))

-C = C !
là không gian các
 + , L2 W , F , P
hàm liên tục, bị chặn trên  + với giá trị trong
L2 W , F , P .

(

(

)

(

))

- Cg = Cg !++, L2 W , F , P là không gian các hàm
liên tục từ  + vào L2 W , F , P thỏa mãn.

ìï
í x t, w
ỵïW

ị ( )

(

(

1
ü2

)

( )

Ở đây:

D

+ k f ( t, 0 )

B

£ r (1 - l k )

k là chuẩn của toán tử T .
Chứng minh:
Chúng ta định nghĩa một toán tử U từ S vào D
như sau:
t

(Ux )( t,w ) = h ( t,w ) + ò k ( t,s,w ) f ( s,x ( s,w ) ) ds

(2)

0

ï
dP w ý Ê zg t , t ẻ !
+
ỵù

2

l < k -1 , h ( t,w )

()

Ở đây:
z là một số dương và g(t) là một hàm liên tục,
dương trên  + .

Bây giờ chúng ta chứng minh rằng U là một tốn
tử co và U ( S ) Ì S . Xét một hàm y (t,w ) trong S .
Chúng ta có thể viết:
t

(Uy )( t,w ) = h ( t,w ) + ò k ( t,s,w ) f ( s, y ( s,w ) ) ds

(3)

0

- CC = CC !+ , L2 W , F , P là không gian các hàm
+
liên tục từ  + vào L2 W , F , P với tôpô hội tụ đều
trên đoạn [0,T] với T ˃ 0.

Trừ phương trình (2) cho phương trình (3), chúng
ta được.
t

Cho B và D là khơng gian Banach chứa trong
CC !++, L2 W , F , P và T là một tốn tử tuyến tính.

Từ U ( S ) Ì D và D là khơng gian Banach thì:

Định nghĩa 1. (Xem [3]) Tốn tử T được gọi là (B,D)
- Chấp nhận được nếu D Í T ( B ) .

Từ giả thiết (1, 2) suy ra éë f ( s,x ( s,w ) ) - f ( s, y ( s,w ) ) ùû Ỵ B
từ bổ đề (1) chúng ta thấy rằng T là toán tử liên tục
từ không gian Banach B vào D , nó có nghĩa rằng,
chúng ta có thể tìm được hằng số k > 0 thỏa mãn:
(Tx )( t ,w ) D £ k x ( t ,w ) B .

(

(

(

(

))

)

))

(

Trước hết, ta xét bổ đề sau.
Bổ đề 1. (Xem [4]) Cho T là một tốn tử tuyến
tính từ CC ( !++ ,L2 ( W , F ,P ) ) vào chính nó. Nếu B
và D là khơng gian Banach mạnh hơn CC và cặp

(B,D) là được chấp nhận đối với T thì T là một tốn
tử liên tục từ B vào D .
Tiếp theo, chúng ta phát biểu và chứng minh định
lý về điều kiện tồn tại và tính duy nhất nghiệm của
phương trình (1).
Đinh lý 1. Nếu có được các điều kiện sau:
1. B và D là không gian Banach mạnh hơn
CC ( !++ ,L2 ( W , F ,P ) ) mà (B,D) là chấp nhận được
đối với toán tử.
t

( )

0

( ( ))

{(

là toán tử liên tục trên

( ) D £ r}

S = x t, w : x t, w Ỵ D, x t, w

) ( )

trong B , cũng thỏa mãn

( ( )) - f (t, y (t, w ))

f t, x t, w

B

0

(Ux )(t,w ) - (Uy )(t,w ) Ỵ D

Khi đó:

(Ux )(t,w ) - (Uy )(t,w ) D £ k f (t,x (t,w )) - f (t,x (t,w )) B

Bây giờ, áp dụng điều kiện Lipschitz’s cho trong (2)
chúng ta có.

(Ux )( t,w ) - (Uy )( t,w ) D £ l k x ( t,w ) - y (t,w ) D
Sử dụng điều kiện l k < 1 thì U là tốn tử.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh
hàm x (t,w ) Ỵ S chúng ta có:

U (S ) Ì S

. Với mọi

t

ị

(4)

U ( x )( t,w ) = h ( t,w ) + k ( t,s,w ) f ( s,x ( s,w ) ) ds
0

(Tx )( t,w ) = ò k ( t,s,w ) x ( s,w ) ds
2. x t , w ® f t , x t , w

(Ux )( t,w ) - (Uy )( t,w ) = ò k ( t,s,w ) ëé f ( s,x ( s,w ) ) - f ( s, y ( s,w ) )ûù ds

với giá trị

£ l x t, w - y t, w

( ) ( )D

Với x t, w , y t, w Ỵ S và l là hằng số.

Áp dụng điều kiện (3) và bổ đề 1 chúng ta có thể
viết biểu diễn (4) như sau:

U ( x )( t,w ) D = h (t,w ) D + k f (t,x (t,w ) )
Trong (5), f ( t,x (t,w )) B có thể viết:
f ( t,x ( t,w ) )

B

(5)

B

= f ( t,x ( t,w ) ) - f ( t, 0 ) + f ( t, 0 )

£ f ( t,x ( t,w ) ) - f ( t, 0 )

B

+ f ( t, 0 )

B

B

( ) ( )
3. h ( t , w ) Ỵ D.

Sử dụng điều kiện Lipschitz’s chúng ta có:

Thì tồn tại duy nhất một nghiệm ngẫu nhiên của
phương trình tích phân ngẫu nhiên (1), với điều
kiện là:

Bây giờ chúng ta viết (5) dưới dạng:

f ( t,x (t,w ) ) £ l x (t,w ) - 0 D + f (t,0) B
B

U ( x )( t,w )

D

£ h ( t,w )

D

+ k l x ( t,w )

D

+ k f (t, 0 )

B

88 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020

(6)


NGÀNH TỐN HỌC
Từ

x ( t,w ) Ỵ S

U ( x )( t,w )

D

và

x ( t ,w )

£ h ( t,w )

D

£r

D

, (6) có thể viết là:

+ k lr + k f ( t, 0 )

B

(7)

( ( ) ) ( ( ) ) £ l g (t ) x (t, w ) - y (t, w )

f t, x t, w - f t, y t, w

Áp dụng điều kiện của định lý:
h ( t,w )

D

+ k f ( t, 0 )

B

£ r (1 - l k )

(7) trở thành U ( x )( t,w )

D

2. f (t,x) là hàm véctơ liên tục, có giá trị với t Ỵ !+ ,
+
x ( t, w ) £ r thỏa mãn f ( t , 0 ) Ỵ Cg ,

3. h(t,x) là hàm liên tục bị chặn trên  + có giá trị
trong L2 ( W , F , P ).

£ r (1 - l k ) + k lr

Hoặc U ( x )( t,w ) D £ r
Điều đó có nghĩa là U ( x )( t ,w ) D Ỵ S với mọi biến
ngẫu nhiên x (t,w ) Ỵ S hay U ( S ) Ì S .
Từ U là tốn tử co và U ( S ) Ì S , áp dụng định lý
Banach về điểm bất động, tồn tại duy nhất nghiệm
ngẫu nhiên x (t,w ) Ỵ S thỏa mãn:
t

(Ux )( t,w ) = h (t,w ) + ò k (t,s,w ) ´ f ( s,x ( s,w ) ) ds

Thì tồn tại duy nhất một nghiệm ngẫu nhiên x (t,w ) Ỵ S
của phương trình tích phân ngẫu nhiên (1) bị chặn
trên  + khi h ( t, w ) , l, f ( t, 0 ) C đủ nhỏ.
g

3. KẾT QUẢ CHÍNH

Trong phần này, chúng ta nghiên cứu các tính chất
ổn định của nghiệm phương trình (1). Tìm các điều
kiện để nghiệm ngẫu nhiên ổn định tiệm cận theo
hàm mũ.

0

3.1. Tính ổn định tiệm cận của nghiệm ngẫu nhiên

= x ( t,w )

Kết quả tổng quát của phương trình tích phân ngẫu
nhiên (1) đã được giải quyết.
Trong trường hợp đặc biệt, khi cụ thể hóa khơng
gian B, D chúng ta sẽ thu được một số hệ quả của
định lý 1.
Hệ quả 1. Xét phương trình tích phân ngẫu nhiên
(1) trong các điều kiện sau:
1) Tồn tại số A > 0 và hàm liên tục g(t) > 0 thỏa mãn.
t

ò k (t, s, w ) g ( s ) ds £ A,
0

( )

t Ỵ !
+

+

,

thỏa mãn f ( t, 0 ) Ỵ Cg ,

( ( ) ) ( ( ) ) £ l g (t ) x (t, w ) - y (t, w )

f t, x t, w - f t, y t, w

3) h ( t , x ) là hàm liên tục bị chặn trên  + có giá trị
trong L2 ( W , F , P ).
Thì tồn tại duy nhất một nghiệm ngẫu nhiên
x ( t,w ) Ỵ S của phương trình tích phân ngẫu nhiên (1)
thỏa mãn:
x t, w

( )C

ìï
= sup í x t , w
0Êt ù
ợW

Vi t ẻ ! +

+

ũ ( )

1

2

ỹù 2
dP w ý Ê r
ỵù

( )

v h t, w , l, f t, 0

( )

( ) C đủ nhỏ.
g

Hệ quả 2:

1. Tồn tại số A > 0 và hàm liên tục g(t) thỏa mãn

(

)

k t, s, w

(

£ Le

)

-a t - s

(

) với

0 £ s £ t < +¥ , L > 0, a > 0 .

2. f (t,x) là hàm liên tục từ  + ×฀  vào  thỏa mãn
f (t,0) = 0 và f ( t, x ) - f ( t, y ) £ l x - y .
3. h ( t, x ) £ r e- b t , ở đây
mãn 0 < b < a .

r, b

là các số dương thỏa

ì
ï
í x t, w
ï
ỵW

ị ( )

2

1/ 2

ỹ
ù
dP w ý
ù
ỵ

!+
Ê r e- b t , t Ỵ 

( )

Chứng minh:
Chúng ta phải chứng minh rằng, cặp không gian
Banach (Cg,Cg) với g (t ) = e-b t là chấp nhận được theo
điều kiện (1) và (2) của định lý.
Đó là (Cg,Cg) là chấp nhận được đối với toán tử
được định nghĩa bởi:
t

(Tx )(t, w ) = ò k (t, s, w ) x ( s, w ) ds

(8)

0

Chuẩn của (8) có thể được viết:
t

(Tx )(t, w ) £ ò k (t, s, w ) x ( s, w ) ds

(9)

0

Xét phương trình tích phân ngẫu nhiên (1) trong
các điều kiện sau:
k t, s, w £ A và

1.

Thì tồn tại duy nhất nghiệm ngẫu nhiên của phương
trình (1) thỏa mãn:

t Ỵ !++

2) f (t,x) là hàm véctơ liên tục, có giá trị với
x t, w £ r

Định lý 2. Chúng ta xét phương trình tích phân (1)
với các điều kiện:

t

ị g ( s ) ds £ ¥.
0

Áp dụng điều kiện (1) của định lý, chúng ta có:
t

(Tx )(t, w )
Do đó:

(Tx )(t, w )

ị

£L e

-a t - s

( ) x t, w ds
( )

(10)

0

t

ò

£L e
0

-a t - s

( ) é x t, w / g s ù g s ds
( ) () ()
ë

û

Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020

(11)

89


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Sử dụng điều kiện của chuẩn trên khơng C g , bất
đẳng thức (11) có thể viết:
t

ị

(Tx )( t, w )

£M e
t

-a t - s

( ) g s ds
()

( ) e- b s ds
= Mòe
= Me

(12)

é1 / a - b ự ổỗ e(a - b )t - 1ư÷
ë
ûè
ø

(

=M a -b

(

)

-1

)

(e

£M a -b

(


(

)

)

-1

-bt

(e

- e -a t

-b t

-1 - b t

e

- e-a t

)

, t Ỵ !+

+

Cg

ị ( )

2

£ l x t, w - y t, w

( ) ( )C .

£ r e- b t .

( )

ò ( )

2

2

1/ 2

ỹ
ù
dP w ý
ỵù

( )

}

ố

( )

( )

ứ

(14)

Tớch phõn t t0 đến t hai vế của (14) ta có:

ỉ - A(w )t
ử t
x t, w - ữ
- A(w ) s
ỗe
(15)
f s, x s, w ds
= e
ỗ - A(w )t0
ữ
ỗe
x t0 , w ÷ t
è
ø 0
Nhân phương trình (14) với e - A(w )t và đặt t0 = 0 nó
được biến đổi thành.

( )
( ) ò

x t, w = e

( )

( ( ))

t

Aw t

( ) x w + e A(w )(t - s ) f s, x s, w ds
( ( ))
0( )
ò

(16)

0

Ở đây: x0 (w ) = x ( 0, w ) . Do đó, nếu chúng ta đặt
A w t -s
và k ( t, s, w ) = e ( )( ) 0 £ s £ t < ¥ ,
đẳng thức (16) có thể viết thành.
Aw t

( )x w
0( )

( ) ò (

) ( ( ))

x t, w = h t, w + k t, s, w f s, x s, w ds

( )

0

Do đó, phương trình vi phân ngẫu nhiên (13) được
biến đổi thành phương trình tích phân ngẫu nhiên
(16), đây là một dạng đặc biệt của phương trình (1).
Bây giờ chúng ta chứng minh định lý sau:

Chú ý, với những điều kiện này được thỏa mãn thì
tồn tại nghiệm ngẫu nhiên của phương trình tích
phân ngẫu nhiên (1) ổn định tiệm cận theo hàm
mũ, tức là:
ì
ï
lim í x t, w
t đƠ
ợùW

( ) d / dt x t, w ö
(
) ( )÷
- A(w )t
÷
x t, w ÷
-A w e
-A w t

t

g

1/ 2

ỹ
ù
dP w ý
ù
ỵ

{

( )

Do ú, mi iu kin của định lý 2 đã được thỏa
mãn, điều đó có nghĩa rằng tồn tại duy nhất nghiệm
ngẫu nhiên của phương trình (1) thỏa mãn:
ì
ï
í x t, w
ïW
ỵ

ỉ

e
( d / dt ) e ( ) x (t, w ) = ỗỗ

ỗ
-A w t

h t, w = e

Áp dụng điều kiện 2) chúng ta được:

( ( )) ( ( ))

( ( ))

( d / dt ) {e- A(w )t x (t, w )} = e- A(w )t f (t, x (t, w ))

)

Điều đó có nghĩa rằng (Tx )( t, w ) Î Cg với hàm
x ( t , w ) Î Cg . Từ đó (C ,C ) là chấp nhận được đối với
g
g
-b t
toán tử T , ở đây g (t ) = e . Điều kiện 3) của định lý
có nghĩa rằng h ( t, w ) Ỵ Cg .

f t, x t, w - f t, y t, w

( )

ư
- A(w )t
÷

f t, x t, w
÷=e
÷
ø

Vì vậy:

Từ 0 < b < a , chúng ta có thể làm trội bất đẳng thức
(12) như sau:

(Tx )(t, w )

( )

Nhưng

-a t - s

-a t

ổ - A(w )t .
ỗe
x t, w
ỗ
-A w t
ỗ - A w e ( ) x t, w
è

( )

0

0

Nhân 2 vế của (13) với e - A(w )t , ta có:

Định lý 3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
với phương phương trình tích phân ngẫu nhiên (16).
1) Ma trận A (ω) là ổn định ngẫu nhiên, tức là tồn tại
số a > 0 thỏa mãn.

{

}

P w Re Y k w < -a , k = 1, 2,..., n = 1

=0

( )
Ở đây Y k (w ) , k = 1, 2,..., n

là giá trị riêng của ma trận

3.2. Mối liên hệ về tính ổn định nghiệm của
phương trình vi phân ngẫu nhiên và phương
trình tích phân ngẫu nhiên

A (ω).
n

n
2) f (t,x) là hàm liên tục từ  +×฀  ฀→  thỏa mãn
f ( t, x ) - f ( t , y ) £ l x - y ,với f ( t, 0 ) = 0 và l đủ nhỏ.

Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên sau:

Thì tồn tại duy nhất nghiệm ngẫu nhiên của phương
trình tích phân ngẫu nhiên (16) thỏa mãn:

.

( ( ))

x t, w = A w x t, w + f t, x t, w , t ³ 0

( )

( ) ( )

(13)

Trong đó:
1) x (t,ω) là véc tơ ngẫu nhiên chưa biết cấp n × 1;
2 ) A (ω) là ma trận cấp n × n mà các phần tử của nó
là các hàm đo được;
3) f ( t, x ) , t Ỵ !+ , x Ỵ ! + là một hàm véctơ.
+

Bây giờ chúng ta biến đổi phương trình vi phân (13)
thành phương trình tích phân dạng đặc biệt của

phương trình (1).

ìï
lim í x t , w
t đƠ
ợùW

ũ ( )

1

2

Chng minh:

ỹù 2
dP w ý = 0
ỵù

( )

Để chứng minh kết quả này, chúng ta chứng minh
rằng cặp không gian Banach (Cg,Cg) là chấp nhận
được dưới điều kiện 1) và 2) với g t = e-b t và sau
đó áp dụng định lý 2.

()

(

Ta có chuẩn của không gian Cg ! + , L2 ( W , F , P )
được định nghĩa bởi.

90 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020

)


NGÀNH TỐN HỌC
ìï
2
= sup é1 / g t ù í x t , w dP w
x t, w
ở
ỷ
Cg
tẻ!
ùợW
Vi mi hm x t, w Ỵ Cg ! ++ , L2 W , F , P

() ò ( )
( ) (
(

( )

định nghĩa tốn tử tích phân như sau:

1

(Tx )(t, w ) C

( )

ỹù 2
ý
ùỵ

))

chỳng ta

t

(Tx )(t, w ) = ũ k (t, s, w ) x ( s, w ) ds
0

Từ k ( t , s, w ) = e
(17) trở thành.
t

(17)

A w t -s

( )( ) , 0 £ s £ t < ¥

phương trình

A w t -s

(Tx )(t, w ) = ò e ( )( ) x ( s, w ) ds +
0

Hoặc

t

(Tx )(t, w ) £ ò e A(w )(t -s ) x ( s, w ) ds

(18)

0

Nó đã được chứng minh trong [2, 3] bởi Morozan
rằng tồn tại tập con D Ì W mà P ( D ) = 1 và
A w t -s

( )( ) £ ke-a (t - s )
e

(19)

Với w Ỵ D, k > 0 , đặt (19) vào bất đẳng thức (18)
chúng ta có:
t

(Tx )( t, w )
£ ke

ị

£k e

-a t - s

( ) x s, w ds
( )

( ) e-a ( t - s ) é x s, w / g s ù g s ds
( ) () ()
ò
ë

0

(20)

t

ò

£k e

-a t - s

( ) 1 / e- b t x s, w e- b t ds
( )

(

0

)

t

( )C

ò

e-a t e

£ k x t, w

g

0

£ k x t, w

( ) C (a - b )

s a -b

-1

g

(

(e

) ds

-bt

-e

(21)
-a t

(Tx )(t, w )

(

£ k x t, w

( ) C (a - b )

-1

x t, w

( )C

(
(

g

(

))

(

)

))

4. KẾT LUẬN
Bài báo trình bày được các điều kiện tồn tại nghiệm,
chứng minh sự duy nhất và tính ổn định nghiệm
của nghiệm ngẫu nhiên của phương trình tích phân
ngẫu nhiên. Cụ thể hóa được dạng nghiệm của
một số dạng đặc biệt của phương trình tích phân
ngẫu nhiên. Chỉ ra được sự liên hệ về tính ổn định
nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên và
phương trình tích phân ngẫu nhiên.
Một số hướng nghiên cứu tiếp theo như: Phương
trình tích phân ngẫu nhiên theo thang thời gian; Mơ
tả và giải quyết các bài tốn kỹ thuật bằng phương
trình tích phân.

[1]

Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng
cao, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

[2]

Cấn Văn Tuất (2005), Phương trình vi phân
tích phân, Nhà xuất bản Đại học sư phạm.

[3]

C. Cordeanu (1973), Integral Equations and
Stability of Feedback Systems, Academic
Press, New York.

[4]

Tsokos.C. (1969), On the Stochastic Intergral
Equation of the Volterra Type, Mathematical
Systems Theory.

[5]

Bharucha-Reid A.T (1972), Random Integral
Equations, Academic Press NewYork.

[6]

T.A.Burton (1983), Volterra Intergral and
Diferential Equations, Academic Press,
New York.

), t ³ 0

Bất đẳng thức (21) có thể được làm trội như sau:
-1

)

! + , L2 ( W , F , P )
Do đó, với x ( t, w ) Ỵ Cg 
ta có
+
TCg 
! + , L2 W , F , P Ì Cg 
! + , L2 W , F , P
và cặp
+
+
không gian Banach (Cg,Cg) là chấp nhận được.
Phần còn lại của chứng minh tương tự định lý 1.

û

Từ g (t ) = e-b t , 0 < b < a bất đẳng thức (20) trở thành:

(Tx )(t, w )

(

TÀI LIỆU THAM KHẢO

0
t

-a t - s

£k a -b
g

e

-b t

g

(22)

Bởi vì 0 < b < a . Chia bất đẳng thức (22) cho e- b t ,
chúng ta có:
THƠNG TIN VỀ TÁC GIẢ
Nguyễn Viết Tn

- Tóm tắt q trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo, nghiên cứu):
+ Năm 2006: Tốt nghiệp Đại học ngành Sư phạm Toán - Tin học, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2
+ Năm 2011: Tốt nghiệp Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
+ Năm 2019: Tiến sĩ, Tốn giải tích, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
- Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Sao Đỏ
- Lĩnh vực quan tâm: Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình trong cơ học
chất lỏng
- Email:
- Điện thoại: 0978 235 234

Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020

91