phân dạng và 100 bài tập tọa độ trong mặt phẳng download các bài giảng bất đẳng thức cauchy nguyễn vũ lương download chuyên đề bđtlê xuân đại download kỹ thuật sử dụng bđt cauchy download ôn tập

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁC</b>

<b>I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC </b>

<b>Bài 201: Tính các góc của </b>ΔABC nếu :

(

)

(

)

(

)

3

( )

sin B C sin C A cos A B *
2

+ + + + + =

Do A B C+ + = π

Neân:

( )

* sin A sin B cosC 3

2

⇔ + − =

+ − ⎛ ⎞

⇔ _{− ⎜} _⎟

⎝ ⎠

−

⇔ − =

−

⇔ − + =

− −

⎛ ⎞

− =

⇔_⎜ − _⎟ + −

⎝ ⎠

− −

⎛ ⎞

⇔_⎜ − _⎟ + =

⎝ ⎠

−

⎧ ₌

⎪⎪

⇔ ⎨ ₋

⎪ ₌

⎪⎩

= =

⇔

2

2

2

2

2

2

2

=

A B A B C 3

2 sin cos 2 cos 1

2 2 2

C A B C 1

2 cos cos 2 cos

2 2 2 2

C C A B

4 cos 4 cos cos 1 0

2 2 2

C A B A B

2 cos cos 1 cos 0

2 2 2

C A B A B

2 cos cos sin 0

2 2 2

C A B

2 cos cos

2 2

A B

sin 0

2
C

2 cos cos 0 1

2
A

2

⎧ _⎧ _π

⎪ ₌

⎪ _⇔ ⎪

⎨ ₋ ⎨

⎪ ₌ _{⎪ =}_⎩

⎪⎩

π
⎧ = =
⎪⎪

⇔ ⎨ _π

⎪ =
⎪⎩

C

2 3

B ₀ _{A B}

2
A B

6
2
C

3

Baøi 202: Tính các góc của ΔABC biết:

(

)

5

cos 2A 3 cos 2B cos 2C 0 (*)
2

+ + + =

Ta coù:

( )

_* _{2 cos A 1 2 3 cos B C cos B C}2

(

)

(

)

5

2 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⇔ − − + =

⎡ ⎤

⇔ _⎣ − − _⎦ + − −

⎡ ⎤

⇔ _⎣ − − _⎦ + − =

− =

⎧ ⎧ − =

⎪ ⎪

⇔ _⎨ ⇔ _⎨

=

= −

⎪ _⎪⎩

⎩
⎧ =
⎪
⇔ ⎨

= =

⎪⎩

2

2 ₂

2 ₂

0

0

4 cos A 4 3 cos A.cos B C 3 0

2 cos A 3 cos B C 3 3 cos B C 0

2 cos A 3 cos B C 3sin B C 0

sin B C 0 B C 0

3

3 _{cos A}

cos A cos B C

2
2

A 30
B C 75

=

<b>Bài 203: Chứng minh </b>ΔABC có _{C 120}₌ 0nếu :

A B C

sin A sin B sin C 2sin sin 2sin (*)

2 2 2

+ + − ⋅ =

Ta coù

A B A B C C A B C

(*) 2sin cos 2sin cos 2sin sin 2sin

2 2 2 2 2 2

C A B C C A B A

2cos cos 2sin cos 2cos 2sin sin

2 2 2 2 2 2

C A B C A B

cos cos sin cos cos

2 2 2 2 2

C A B A B A B

cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2

C A B A B

2cos cos cos cos cos

2 2 2 2 2

+ −

⇔ + =

− +

⇔ + = +

−

⎛ ⎞

⇔ _⎜ + _⎟ = ⋅

⎝ ⎠

− +

⎡ ⎤

⇔ _⎢ + _⎥ =

⎣ ⎦

⇔ =

2
B
2
+

C 1

cos
2 2

⇔ = (do cosA 0

2 > và
B

cos 0

2 > vì

A B

0 ;

2 2 2
π
< < )

⇔ _{C 120}= 0

<b>Bài 204: Tính các góc của </b>ΔΑΒ biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và C

3 3

sin A sin B sin C

2
+

+ + =

Không làm mất tính chất tổng qt của bài tốn giả sử A B C< <
Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B

Maø A B C+ + = π nên B

3
π
=

Lúc đó: sin A sin B sin C 3 3

2
+

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3 3

sin A sin sin C

3 2

3
sin A sin C

2

A C A C 3

2sin cos

2 2 2

B A C 3

2cos cos

2 2 2

3 A C 3

2. cos

2 2 2

C A 3

cos cos

2 2 6

π +

⇔ + + =

⇔ + =

+ −

⇔ =

−

⇔ =

⎛ ⎞ ₋

⇔ _⎜_⎜ _⎟_⎟ =

⎝ ⎠

− π

⇔ = =

Do C > A nên ΔΑΒC có:

− π π

⎧ ₌ ⎧ ₌

⎪ ⎪

⎪ ⎪

π π

⎪ ₊ ₌ _⇔ ⎪ ₌

⎨ ⎨

⎪ ⎪

π π

⎪ ₌ ⎪ ₌

⎪ _⎪⎩

⎩

C A _C

2 6 2

2

C A A

3 6

B B

3 3

Bài 205: Tính các góc của ΔABCnếu

( )

( )

⎧ + ≤

⎪
⎨

+ + = +

⎪⎩

2 2 2

b c a 1

sin A sin B sin C 1 2 2

Áp dụng định lý hàm cosin: cos A b2 c2 a
2bc

+ −

= 2

2

Do (1): _b2 ₊_c2 _≤ _a nên co_{s A 0}_≤

Do đó: A A

2 4

π π

≤ < π ⇔ ≤ <

2 2

π

Vaäy cosA cos 2

( )

2 4 2

π

≤ = ∗

Mặt khác:sin A sin B sinC+ + sin A 2sinB CcosB C

2 2

+ −

= +

A B C

sin A 2cos cos

2 2

−

= +

2

1 2 1

2
⎛ ⎞
≤ + ⎜_⎜ ⎟_⎟⋅

⎝ ⎠

( )

−

⎛ _≤ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

B C
do * và cos 1

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Dấu “=” tại (2) xaûy ra
⎧

=
⎪

⎪
⎪

⇔ _⎨ =

⎪

−

⎪ ₌

⎪⎩

sin A 1

A 2

cos

2 2

B C

cos 1

2

π
⎧ =
⎪⎪

⇔ ⎨ _π

⎪ = =
⎪⎩

A
2
B C

4

<b>Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004) </b>

Cho ΔABC không tù thỏa điều kiện

( )

cos2A 2 2 cos B 2 2 cosC 3+ + = *

Tính ba góc của ΔABC

<b>* Cách 1: Ñaët M = </b>cos2A 2 2 cosB 2 2 cosC 3+ + −
Ta coù: M = _{2cos A 4 2 cos}2 B C_cosB C ₄

2 2

+ −

+ −

⇔ M = _{2 cos A 4 2 sin cos}2 A B C ₄

2 2

−

+ −

Do sinA 0

2 > và

B - C

cos 1

2 ≤

Nên _{M 2 cos A 4 2 sin}2 A ₄

2

≤ + −

Maët khác: ΔABCkhông tù nên 0 A
2
π
< ≤

⇒ ≤ ≤

⇒ 2 ≤

0 cos A 1
cos A cos A

Do đó: M 2 cos A 4 2 sinA 4

2

≤ + −

2

2

2

A A

M 1 2sin 4 2 sin

2 2

A A

M 4 sin 4 2 sin 2

2 2

A

M 2 2 sin 1 0

2

⎛ ⎞

⇔ ≤_⎜ − _⎟+ −

⎝ ⎠

⇔ ≤ − + −

⎛ ⎞

⇔ ≤ − _⎜ − _⎟ ≤

⎝ ⎠

4

Do giaû thiết (*) ta có M=0

Vaäy:

2

0

0
cos A cos A

A 90
B C

cos 1

2 B C 45

A 1

sin

2 2

⎧

⎪ ₌

⎪ _{⎧ =}

−

⎪ ₌ _⇔ ⎪

⎨ ⎨

= =
⎪⎩

⎪

⎪ ₌

⎪⎩

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

(

)

(

)

(

)

(

)

2
2
2
2
2
2
2

B C B C

cos A 2 2 cos cos 2 0

2 2

A B C

cos A cos A cos A 2 2 sin cos 2 0

2 2

A A B C

cos A cos A 1 1 2sin 2 2 sin cos 2 0

2 2 2

A B C B C

cos A cos A 1 2 sin cos 1 cos 0

2 2 2

A B C B

cos A cos A 1 2 sin cos sin

2 2
+ −
⇔ + − =
−

⇔ − + + − =
−
⎛ ⎞
⇔ − +_⎜ − _⎟+ −
⎝ ⎠
− −
⎛ ⎞ ⎛
⇔ − −_⎜ − _⎟ −_⎜ −
⎝ ⎠ ⎝
− −
⎛ ⎞
⇔ − −_⎜ − _⎟ −
⎝ ⎠
=
⎞ =
⎟
⎠
C 0 (*)

2 =

Do ΔABC không tù nên cos A 0≥ và cos A 1 0− <
Vậy vế trái của (*) luôn ≤ 0

Dấu “=” xảy ra

cos A 0

A B C

2 sin cos

2 2
B C
sin 0
2
⎧
⎪ =
⎪ ₋
⎪
⇔ _⎨ =
⎪
−
⎪ ₌
⎪⎩

⎧ =
⎪
⇔ ⎨
= =
⎪⎩
0
0
A 90
B C 45

Bài 207: Chứng minh ΔABCcó ít nhất 1 góc 600_{khi và chỉ khi}

sin A sin B sin C _{3 (*)}
cos A cos B cosC

+ + ₌

+ +

Ta coù:

(

) (

) (

)

(*) ⇔ sin A− 3 cos A + sin B− 3 cosB + sin C− 3 cosC = 0

sin A sin B sin C 0

3 3 3

A B A B

2sin cos sin C 0

2 3 2 3

π π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔ _⎜ − _⎟+ _⎜ − _⎟+ _⎜ − _⎟=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ π − π
⎛ ⎞ ⎛
⇔ _⎜ − _⎟ + _⎜ −
⎝ ⎠ ⎝ ⎞ =⎟⎠

C A B C C

2sin cos 2sin cos 0

2 2 3 2 2 6 2 6

C A B C

2sin cos cos 0

2 6 2 2 6

⎡ π⎛ ⎞ π⎤ − ⎛ π⎞ ⎛ π⎞
⇔ _⎢_⎜ − _⎟− _⎥ + _⎜ − _⎟ _⎜ − _⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
π ⎡ − π ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⇔ _⎜ − _⎟_⎢− + _⎜ − _⎟_⎥ =
⎝ ⎠⎣ ⎝ ⎠⎦
=
π − π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⇔ _⎜ − _⎟= ∨ = _⎜ − _⎟= _⎜ −
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

C A B C

sin 0 cos cos cos

2 6 2 2 6 3 2

+ ⎞
⎟
⎠
A B

π − π + − + π +

⇔ C = ∨ A B = − A B∨ A B = − A

2 6 2 3 2 2 3 2

B



π π

⇔C= ∨A = ∨B =

3 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Bài 208: Cho </b>ΔABC và V = cos2_{A + cos}2_{B + cos}2_{C – 1. Chứng minh:}

a/ Nếu V = 0 thì ΔABC có một góc vuông
b/ Nếu V < 0 thì ΔABC có ba góc nhọn
c/ Nếu V > 0 thì ΔABC có một góc tù

Ta có: _V 1

(

_{1 cos 2A}

)

1

(

_{1 cos 2B}

)

_{cos 1}2

2 2

= + + + + −

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

1

V cos 2A cos 2B cos C

2

)

V cos A B .cos A B cos C

V cosC.cos A B cos C

V cosC cos A B cos A B

V 2cosC cos A cos B

⇔ = + +

⇔ = + − +

⇔ = − − +

⇔ = − ⎡_⎣ − + + ⎤_⎦

⇔ = −

Do đó:

a / V 0= ⇔ cos A 0 cosB 0 cosC 0= ∨ = ∨ =

⇔ΔABC⊥ taïi A hayΔABC⊥ taïi B hayΔABC⊥ taïi C
b / V 0< ⇔ cos A.cosB.cosC 0>

⇔ΔABC coù ba góc nhọn

( vì trong 1 tam giác khơng thể có nhiều hơn 1 góc tù nên
khơng có trường hợp có 2 cos cùng âm )

c / V 0> ⇔ cos A.cosB.cosC 0<

cos A 0 cosB 0 cosC 0

⇔ < ∨ < ∨ <

⇔ ΔABC có 1 góc tù.

<b>II. TAM GIÁC VUÔNG </b>

Bài 209: Cho ΔABC coù cotg B = a c+

2 b

Chứng minh ΔABC vng

Ta có: cotgB a c

2 b

+
=

+ +

⇔ = =

B

cos _{2R sin A 2R sin C} _{sin A sin C}

2

B 2R sin B sin B

sin
2

+ −

⇔ =

B A C A

cos 2 sin .cos

2 2

B B

sin 2 sin .cos

2 2

C
2
B
2

−

⇔_cos2 B = _{cos .cos}B A C _{(do sin}B > ₀₎

2 2 2 2

−

⇔cosB =cosA C (do cosB >0)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

− −

⇔ = ∨ =

⇔ = + ∨ = +

B A C B C A

2 2 2 2

A B C C A B

π π

⇔ = ∨ =

⇔ Δ Δ

A C

2 2

ABC vuông tại A hay ABC vuông tại C

<b>Bài 210: Chứng </b>minh ΔABC vuông tại A nếu

b c a

cos B cosC+ = sin Bsin C

Ta coù: b c a

cos B cosC+ = sin Bsin C

⇔ + =

+

⇔ =

2R sin B 2R sin C 2R sin A
cos B cosC sin Bsin C
sin B cosC sin C cos B sin A

cos B.cosC sin Bsin C

(

+

)

⇔ =

⇔ =

sin B C sin A
cos B.cosC sin Bsin C

cos B cosC sin Bsin C (do sin A 0)>

(

)

⇔ −

⇔ + =

π

⇔ + =

⇔ Δ

cos B.cos C sin B.sin C 0

cos B C 0

B C
2

ABC vuông tại A

=

<b>Bài 211: Cho </b>ΔABC có:

A B C A B C 1

cos cos cos sin sin sin (*)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2

Chứng minh ΔABC vuông

Ta coù:

⇔ = +

+ − + −

⎡ ⎤ ⎡

⇔ _⎢ + _⎥ = − _⎢ −

⎣ ⎦ ⎣

⎤
⎥⎦

A B C 1 A B C

(*) cos cos cos sin sin sin

2 2 2 2 2 2 2

1 _cosA B _cosA B _cosC 1 1 _cosA B _cosA B _sin

2 2 2 2 2 2 2 2

C
2

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⇔ _⎢ + _⎥ = −_⎢ − _⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −

⇔ + = − 2 + = − 2 +

C A B C C A B C

sin cos cos 1 sin cos sin

2 2 2 2 2 2

C C A B C C C C A B

sin cos cos cos 1 sin cos 1 sin cos sin

2 2 2 2 2 2 2 2

C
2

− −

⇔_{sin cos}C C+_cosA B_cosC = _cos2 C+_cosA B_sinC

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⇔ _⎢ − _⎥ = _⎢ − _⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⇔ _⎢ − _{⎥ ⎢} − _⎥ =

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

C C C A B C C

cos sin cos cos sin cos

2 2 2 2 2 2

C C C A B

sin cos cos cos 0

2 2 2 2

−

⇔ = ∨ =

− −

⇔ = ∨ = ∨ =

π

⇔ = ∨ = + ∨ = +

π π π

⇔ = ∨ = ∨ =

C C C A

sin cos cos cos

2 2 2 2

C C A B C B

tg 1

2 2 2 2 2

C _{A B C B A C}

2 4

C A B

2 2 2

B

A

<b>Bài 212: Chứng </b>minh ΔABC vuông nếu:

3(cos B 2sin C) 4(sin B 2cosC) 15+ + + =
Do bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có:

2 2

3cosB 4 sin B+ ≤ 9 16 cos B sin B 15+ + =

vaø _{6sin C 8cosC}₊ _≤ _{36 64 sin C cos C 10}₊ 2 ₊ 2 ₌

neân: 3(cos B 2sin C) 4(sin B 2cosC) 15+ + + ≤

Dấu “=” xảy ra

cos B sin B _tgB 4

3 4

sin C cosC _cotgC=4

6 8

⎧ ₌ ⎧ ₌

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⇔ _⎨ ⇔ _⎨

⎪ ₌ ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎩

3

3

⇔ =

π

⇔ + =

tgB cotgC

B C
2

⇔ ΔABCvuông tại A.

<b>Bài 213: Cho </b>ΔABC coù: sin 2A sin 2B 4sin A.sin B+ =

Chứng minh ΔABC vng.

Ta có: sin 2A sin 2B 4sin A.sin B+ =

[

]

[

]

⇔ + − = − + − −

⇔ + = − + −

2 sin(A B) cos(A B) 2 cos(A B) cos(A B)
cos(A B) 1 sin(A B) cos(A B)

[

]

⇔ −cos C= 1 sin C cos(A B)− −

⇔ −_{cos C(1 sin C) (1 sin C).cos(A B)}+ = − 2 −
⇔ −_{cos C(1 sin C) cos C.cos(A B)}+ = 2 −

⇔ cos C 0 hay= −(1 sin C) cos C. cos(A B)+ = − (*)
⇔ cos C 0=

( Do sin C 0> neân − +(1 sin C)< −1

Mà cosC.cos(A B)− ≥ −1.Vậy (*) vơ nghiệm.)
Do đó ΔABC vng tại C

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Bài 214:Chứng minh nếu </b>ΔABC có tgA tgB 2cotgC
2

+ =

thì là tam giác cân.

Ta có: tgA tgB 2cotgC
2

+ =

C
2cos

sin(A B) ₂

C

cos A.cos B _sin

2

C
2cos

sin C ₂

C

cos A.cos B _sin

2

C C C

2sin cos 2cos

2 2

C

cos A cos B _sin

2
+

⇔ =

⇔ =

⇔ = 2

⇔_sin2C _{cos A.cos B do cos}C ₀

2 2

⎛ ⎞

= _⎜ > _⎟

⎝ ⎠

(

)

(

)

(

(

)

(

)

⇔ − = ⎡_⎣ + + − ⎤_⎦

⇔ − = − + −

⇔ − =

⇔ =

1 _{1 cosC} 1 _{cos A B} _{cos A B}

2 2

1 cosC cosC cos A B

cos A B 1

)

A B

ABC

⇔ Δ cân tại C.

<b>Bài 215: Chứng </b>minh ΔABC cân nếu:

3 3

A B B

sin .cos sin .cos

2 2 = 2 2

A

Ta coù: _{sin .cos}A 3B _{sin .cos}B 3

2 2 = 2 2

A

2 2

A B

sin ₁ sin ₁

2 2

A A B B

cos cos cos cos

2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⇔_⎜ _⎟ =_⎜ _⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(do cosA

2 >0 vaø
B
cos

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

2 2

3 3

2 2

A A B B

tg 1 tg tg 1 tg

2 2 2 2

A B A B

tg tg tg tg 0

2 2 2 2

A B A B A B

tg tg 1 tg tg tg .tg 0 (*)

2 2 2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ _⎜ + _⎟ = _⎜ + _⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔ − + − =

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

⇔_⎜ − _{⎟ ⎢} + + + _⎥ =

⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⇔ tgA = tgB

2 2

( vì

2 2

A B A B

1 tg tg tg tg 0

2 2 2 2

+ + + > )

⇔ A B =

⇔ ΔABC cân tại C

<b>Bài 216: Chứng </b>minh ΔABC cân nếu:

(

)

2 2

2 2

2 2

cos A cos B _{1 cotg A cotg B (*)}

sin A sin B 2

+

= +

+
Ta coù:

(*) cos A cos B2₂ 2₂ 1 1₂ 1₂ 2

sin A sin B 2 sin A sin B

+ ⎛ ⎞

⇔ = _⎜ + _⎟

+ ⎝ − ⎠

2 2

2 2 2 2

cos A cos B ₁ 1 1 1

sin A sin B 2 sin A sin B

+ ⎛ ⎞

⇔ + = _⎜ + _⎟

+ ⎝ ⎠

⎛ ⎞

⇔ = _⎜ + _⎟

+ ⎝ ⎠

2 2 2 2

2 1 1 1

2

sin A sin B sin A sin B

(

)

⇔_{4 sin A sin B}2 2 = _{sin A sin B}2 + 2 2

(

2 2

)

0 sin A sin B

sin A sin B

⇔ = −

⇔ =

Vậy ΔABC cân tại C

<b>Bài 217: Chứng </b>minh ΔABC cân nếu:

(

)

C

a b tg atgA btgB (*)
2

+ = +

Ta coù: a b tgC

(

atgA btgB

)

2

+ = +

(

)

⇔ a b cotg+ C = atgA btgB+
2

⎡ ⎤ ⎡

⇔ _⎢ − _⎥+ _⎢ −

⎣ ⎦ ⎣

C C

a tgA cotg b tgB cotg 0

2 2⎤ =⎥⎦

+ +

⎡ ⎤ ⎡

⇔ _⎢ − _⎥+ _⎢ −

⎣ ⎦ ⎣ ⎤ =⎥⎦

A B A

a tgA tg b tgB tg 0

2 2

B

− −

⇔ +

+ + =

A B B A

a sin b sin

2 2 ₀

A B A B

cos A.cos cos B.cos

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

−

⇔sinA B =0 hay a − b = 0

2 cos A cos B

⇔ A B hay= 2R sin A = 2R sin B
cos A cos B

⇔ A B hay tgA tgB= = ⇔ ΔABC cân tại C

<b>IV. NHẬN DẠNG TAM GIÁC </b>

<b>Bài 218: Cho </b>ΔABC thỏa:a cos B b cos A a sin A b sin B (*)− = −

Chứng minh ΔABC vng hay cân

Do định lý hàm sin: a 2R sin A, b 2R sin B= =

Neân (*) _⇔_{2R sin A cos B 2R sin B cos A 2R sin A sin B}₋ ₌

(

2 ₋ 2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

sin A cos B sin B cos A sin A sin B

1 1

sin A B 1 cos 2A 1 cos 2B

2 2

1

sin A B cos 2B cos 2A

2

sin A B sin A B sin B A

sin A B 1 sin A B 0

sin A B 0 sin A B 1

A B A B
2

⇔ − = −

⇔ − = − − −

⇔ − = −

⇔ − = −⎡_⎣ + − ⎤_⎦

⇔ − ⎡_⎣ − + ⎤_⎦ =

⇔ − = ∨ + =

π

⇔ = ∨ + =

vaäy ΔABC vuông hay cân tại C
Cách khác

(

)

− = −

⇔ − = + −

2 2

sin A cos B sin B cos A sin A sin B

sin A B ( sin A sin B) ( sin A sin B)

(

)

+ − + −

⇔sin A B− =( 2 sin A BcosA B) (2 cosA BsinA B)

2 2 2 2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⇔ − = + −

⇔ − = ∨ + =

π

⇔ = ∨ + =

sin A B sin A B sin A B

sin A B 0 sin A B 1

A B A B
2

<b>Baøi 219 </b>ΔABC là tam giác gì nếu

(

_a2 ₊_{b sin A B}2

)

(

₋

)

₌

(

_a2 ₋_{b sin A B (*}2

)

(

₊

)

₎

Ta coù: (*)

(

_{4R sin A 4R sin B sin A B}2 2 2 2

)

(

)

_{4R sin A sin B sin A B}2

(

2 2

)

(

)

⇔ + − = − +

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

sin A sin A B sin A B sin B sin A B sin A B 0

⇔ ⎡_⎣ − − + ⎤_⎦+ ⎡_⎣ − + + _⎤⎦ =

=

( )

2 2

2sin A cos A sin B 2sin Bsin A cosB 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

sin A cos A sin BcosB 0

⇔ − + = (do sin A 0> vaø sin B 0> )

sin 2A sin 2B

2A 2B 2A 2B

A B A B
2

⇔ =

⇔ = ∨ = π −

π

⇔ = ∨ + =

Vaäy ΔABC cân tại C hay ΔABC vuông tại C.

<b>Bài 220: </b> ΔABClà tam giác gì nếu:

2 2

a sin 2B b sin 2A 4ab cos A sin B (1)

sin 2A sin 2B 4 sin A sin B (2)

⎧ + =

⎨

+ =

⎩
Ta coù:

(1) _⇔ _{4R sin A sin 2B 4R sin B sin 2A 16R sin A sin B cos A}2 2 ₊ 2 2 ₌ 2 2

(

)

2 2 2

2 2

sin A sin 2B sin Bsin 2A 4 sin A sin B cos A

2sin A sin B cos B 2sin A cos A sin B 4 sin A sin B cos A
sin A cos B sin B cos A 2sin B cos A (do sin A 0,sin B 0)
sin A cos B sin B cos A 0

sin A B 0

A B

⇔ + =

⇔ + =

⇔ + = >

⇔ − =

⇔ − =

⇔ =

2

>

Thay vào (2) ta được
_{sin 2A 2sin A}₌ 2

(

)

2
2sin A cos A 2sin A
cos A sin A do sin A 0
tgA 1

A
4

⇔ =

⇔ = >

⇔ =

π

⇔ =

Do đó ΔABC vuông cân tại C

<b>V. TAM GIÁC ĐỀU </b>

<b>Bài 221: Chứng </b>minh ΔABCđều nếu:

(

)

bc 3 R 2 b c= ⎡_⎣ + −a (*)⎤_⎦

Ta coù:(*) ⇔

(

2R sin B 2R sin C 3 R 2 2R sin B 2R sin C

)(

)

= ⎡_⎣

(

+

)

−2R sin A⎤_⎦

(

)

(

)

⇔2 3 sin B sin C 2 sin B sin C= + −sin B C+

(

)

⇔ 2 3 sin B sin C 2 sin B sin C= + −sin B cos C sin C cos B−

⎡ ⎤ ⎡

⇔ _⎢ − − _⎥ + _⎢ − −

⎣ ⎦ ⎣

1 3 1 3

2 sin B 1 cos C sin C 2 sin C 1 cos B sin B 0

2 2 2 2

⎤
=
⎥
⎦

⎡ ⎛ π ⎤⎞ ⎡ ⎛ π ⎤⎞

⇔ _⎢ − _⎜ − _⎟_⎥+ _⎢ − _⎜ − _⎟_⎥ =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

sin B 1 cos C sin C 1 cos B 0 (1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Do sin B 0> vaø 1 cos C 0
3
π

⎛ ⎞

− _⎜ − _⎟

⎝ ⎠ ≥

sinC 0> và 1 cos B 0
3
π

⎛ ⎞

− _⎜ − _⎟

⎝ ⎠≥

Nên vế trái của (1) luôn ≥ 0

Do đó, (1)

cos C 1

3

cos B 1

3

⎧ ⎛ ₋ π⎞ ₌

⎜ ⎟

⎪⎪ ⎝ ⎠

⇔ ⎨

π

⎛ ⎞

⎪ _⎜ ₋ _⎟ ₌

⎪ _⎝ _⎠

⎩

C B
3
π

⇔ = = ⇔ ΔABC đều.

<b>Bài 222: Chứng </b>minh ΔABC đều nếu ₃ ₃ ₃

2

3

sin Bsin C (1)

4

a b c

a (

a b c

⎧ ₌

⎪⎪
⎨

− −

⎪ ₌

⎪ _{− −}

⎩ 2)

Ta coù: (2) _⇔ _a3 ₋_{a b a c a}2 ₋ 2 ₌ 3 ₋_b3 ₋_c3

_⇔ _{a b c}2

(

₊

)

₌ _b3 ₊_c3

2

(

) (

)

(

2

)

2 2 2

a b c b c b bc c

a b bc c

⇔ + = + − +

⇔ = − +

2

c

_⇔ _b2 ₊_c2 ₋_{2bc cos A} ₌ _b2 ₊_c2 ₋_b (do đl hàm cosin)

⇔ =

π

⇔ = ⇔ =

2bc cos A bc
1

cos A A

2 3

Ta coù: (1) ⇔ 4sin Bsin C 3=

(

)

(

)

⇔2 cos B C⎡_⎣ − −cos B C+ ⎤_⎦ =3

(

)

⇔2 cos B C⎡_⎣ − +cos A⎤_⎦ =3

(

)

⎛ ⎞ ⎛ π⎞

⇔ − + _{⎜ ⎟} = _⎜ = _⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

2 cos B C 2 3 do (1) ta coù A

2 3

(

)

⇔cos B C− = ⇔1 B C =

Vậy từ (1), (2) ta có ΔABCđều

<b>Bài 223: Chứng </b>minh ΔABC đều nếu:

sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C+ + = + +

Ta coù: sin 2A sin 2B 2sin A B cos A B+ =

(

+

)

(

−

)

=2sin Ccos A B

(

−

)

≤ 2sin C (1)

Dấu “=” xảy ra khi: cos A B

(

−

)

=1

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Dấu “=” xảy ra khi: cos A C

(

−

)

=1

Tương tự: sin 2B sin 2C 2sin A+ ≤ (3)

Dấu “=” xảy ra khi: cos B C

(

−

)

=1

Từ (1) (2) (3) ta có: 2 sin2A sin2B sin2C

(

+ +

)

≤2 sinC sinB sinA

(

+ +

)

Dấu “=” xảy ra

(

)

(

)

(

)

− =

⎧
⎪

⇔ _⎨ − =

⎪ ₋ ₌

⎩

cos A B 1

cos A C 1

cos B C 1

⇔ A = B C =

⇔ ΔABCđều

<b>Bài 224: </b> Cho ΔABC có:

2 2 2

1 1 1 1 _(*)

sin 2A sin 2B sin C+ + = 2cos A cos B cosC

Chứng minh ΔABC đều

Ta coù: (*) ⇔_{sin 2B.sin 2C sin 2Asin 2C sin 2Asin 2B}2 2 + 2 2 + 2 2

(

)

(

)

sin 2A.sin 2B.sin 2C sin2Asin2Bsin2C
2cos A cos B cosC

4 sin A sin Bsin C sin 2A sin 2Bsin 2C

= ⋅

=

Maø: 4 sin A sin B sin C 2 cos A B= _⎣⎡

(

−

)

−cos A B sin A B

(

+

)

⎤_⎦

(

+

)

)

+

(

)

(

)

(

= ⎡_⎣ − + ⎤_⎦

= + −

= + +

2 cos A B cos C sin C

2 sin C cos C 2 cos A B sin A B
sin 2C sin 2A sin 2B

Do đó,với điều kiện ΔABC khơng vng ta có

(*) _⇔ _{sin 2B sin 2C sin 2A sin 2C sin 2A sin 2B}2 2 ₊ 2 2 ₊ 2 2

(

)

(

)

(

)

= + +

= + +

⇔ − + −

2 2 2

2 2

sin 2A.sin 2B.sin 2C sin 2A sin 2B sin 2C

sin 2A sin 2B sin 2C sin 2B sin 2A sin 2C sin 2C sin 2A sin 2B
1 _{sin 2B sin 2A sin 2B sin 2C} 1 _{sin 2A sin 2B sin 2A sin 2C}

2 2

(

)

2

1 sin2Csin2A sin2Csin2B 0
2

+ − =

sin 2Bsin 2A sin 2Bsin 2C
sin 2A sin 2B sin 2A sin 2C
sin 2A sin 2C sin 2Csin 2B

=
⎧

⎪

⇔ _⎨ =

⎪ ₌

⎩

=
⎧

⇔ ⎨ ₌

⎩

sin 2A sin 2B

sin 2B sin 2C ⇔ A B C= = ⇔ ABC đều

<b>Bài 225: Chứng minh </b>ΔABC đều nếu:

a cos A b cos B c cosC _{2p (*)}
a sin B bsin C c sin A 9R

+ + ₌

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Ta coù: a cos A bcosB c cosC+ +

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2R sin A cos A 2R sin B cos B 2R sin C cosC
R sin 2A sin 2B sin 2C

R 2sin A B cos A B 2sin C cosC

2R sin C cos A B cos A B 4R sin Csin A sin B

= + +

= + +

⎡ ⎤

= _⎣ + − + _⎦

⎡ ⎤

= _⎣ − − + _⎦ =

<b>Caùch 1: </b>a sin B bsin C c sin A+ +

(

)

(

)

2 2 2

3

2R sin A sin B sin Bsin C sin Csin A
2R sin A sin Bsin C do bñt Cauchy

= + +

≥

Do đó vế trái : a cos A b cos B c cosC 2 sin AsinBsinC3
a sin B b sin C c sin A 3

+ +

≤

+ + (1)

Mà vế phải: 2p = a b c+ + = 2 sin A sinB sinC

(

+ +

)

9R 9R 9

3

2 sin AsinBsinC

3

≥ (2)

Từ (1) và (2) ta có

( * )⇔sin A sin B sin C= = ⇔ ΔABC đều

<b>Cách 2: Ta có: (*) </b> 4R sin A sin Bsin C a b c
a sin B bsin C c sin A 9R

+ +

⇔ =

+ +

a b c

4R

a b c

2R 2R 2R

b c ca 9R

a b

2R 2R 2R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{+ +}

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔ =

⎛ ⎞₊ ⎛ ⎞₊

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

)(

)

9abc a b c ab bc ca

⇔ = + + + +

Do bất đẳng thức Cauchy ta có

3

2 2 2
3

a b c abc

ab bc ca a b c
+ + ≥

+ + ≥

Do đó:

(

a b c ab bc ca+ +

)(

+ +

)

≥9abc
Dấu = xảy ra ⇔ = =a b c ⇔ ΔABC đều.

Bài 226: Chứng minh ΔABC đều nếu

A B C

_{( )}

cot gA cot gB cot gC tg tg tg *

2 2 2

+ + = + +

Ta coù: cot gA cot gB sin A B

(

)

sin C

sin A sin B sin A sin B
+

+ = =

2

sin C
sin A sin B

2
≥

+

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

2 2 2

C C C

2sin cos 2sin

2 2 2

A B A B C A

sin .cos cos cos

2 2 2

= = _B

2

+ − −

C
2tg

2

≥ (1)

Tương tự: cot gA cot gC 2tgB
2

+ ≥ (2)

cot gB cot gC 2tgA
2

+ ≥ (3)

Từ (1) (2) (3) ta có

(

)

A B C

2 cot gA cot gB cot gC 2 tg tg tg

2 2 2

⎛ ⎞

+ + ≥ _⎜ + + _⎟

⎝ ⎠

Do đó dấu “=” tại (*) xảy ra

− − −

⎧ ₌ ₌

⎪
⇔ ⎨

⎪ ₌ ₌

⎩

=

A B A C B C

cos cos cos 1

2 2 2

sin A sin B sin C

A B C
ABC đều.

⇔ = =

⇔ Δ

<b>BÀI TẬP </b>

1. Tính các góc của ΔABC biết:
a/ cos A sin B sin C= + − 3

2 (ÑS:

2

B C , A

6 3

π π

= = = )

b/ sin 6A sin 6B sin 6C 0+ + = (ÑS: A B C
3
π
= = = )

c/ sin5A sin5B sin 5C 0+ + =
2. Tính góc C của ΔABC biết:
a/

(

1 cot gA 1 cot gB+

)

(

+

)

=2

b/ A,B nhoïn₂ ₂ ₉

sin A sin B sin C
⎧⎪

⎨

+ =

⎪⎩

3. Cho ΔABC coù: ⎧_⎨ + + <

+ + =

⎩

2 2 2

cos A cos B cos C 1
sin 5A sin 5B sin 5C 0
Chứng minh Δ có ít nhất một góc 36 0_.

4. Biết _{sin A sin B sin C m}2 ₊ 2 ₊ 2 ₌ . Chứng minh
a/ m =2 thì ΔABC vng

b/ m > 2 thì ΔABC nhọn
c/ m <2 thì ΔABC tù.

5. Chứng minh ΔABC vuông nếu:
a/ cos B cosC b c

a
+

+ =

b/ b c a

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

c/ sin A sin B sin C 1 cos A cosB cosC+ + = − + +

d/

(

)

(

)

2

2

2 1 cos B C
b c

b 1 cos2B

⎡ − − ⎤

− _⎣ _⎦

=

−

6. Chứng minh ΔABC cân nếu:

a/

2 2

1 cos B 2a c

sin B _a _c

+ ₌ +

−

b/ + + =

+ −

sin A sin B sin C _{cot g} A_{.cot g} B

sin A sin B sin C 2 2

c/ _{tgA 2tgB tgA.tg B}₊ ₌ 2

d/ a cot gC tgA b tgB cot gC

2 2

⎛ ₋ ⎞₌ ⎛ ₋

⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞
⎟
⎠

e/

(

p b cot g

)

C ptgB

2 2

− =

f/ a b tgC

(

atgA btgB

)

2

+ = +

7. ΔABC là Δ gì nếu:

a/ atgB btgA

(

a b tg

)

A B
2
+

+ = +

b/ c c= cos2B bsin 2B+
c/ sin 3A sin 3B sin 3C 0+ + =
d/ 4S=

(

a b c a c b+ −

)(

+ −

)

8. Chứng minh ΔABC đều nếu

a/ 2 a cos A b cosB c cosC

(

+ +

)

= + +a b c
b/ _{3S 2R sin A sin B sin C}= 2

(

3 + 3 + 3

)

c/ sin A sin B sinC 4sin A sin BsinC+ + =

d/ m_a m_b m_c 9R

2

+ + = với m , m , m_a _b _c là 3 đường trung tuyến

</div>

<!--links-->