ÔN TẬP HÈ TOÁN 7 LÊN 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

ƠN TẬP TỐN 7 LÊN 8

A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM HÌNH HỌC

1. Nêu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, hai tam giác vng? Vẽ hình, ghi
giả thiết kết luận cho từng trường hợp?

* Trường hợp bằng nhau của tam giác:
a) Trường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnh:

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng
nhau.

GT AB DF
AC DE
BC EF





KL ABC DFE c c c( - - )

b) Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnh

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam
giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

GT

 
AB DF
A D
AC DE






</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

c) Trường hợp 3: góc – cạnh – góc

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác
kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

GT  
 
A D
AB DF
B F





KL ABC DFE g c g( - - )

* Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông:

a) Các trường hợp bằng nhau đã biết của tam giác vng

• Nếu hai cạnh góc vng của tam giác vng này lần lượt bằng hai cạnh góc vng
của tam giác vng kia thì hai tam giác đó bằng nhau (cạnh – góc – cạnh).

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

b) Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền, cạnh góc vng

GT 


, 90

, 90
,
ABC A
DEF D

BC EF AC DF

  

  

 

KL ABC DFE

2. Nêu định nghĩa, tính chất của tam giác cân, tam giác đều.

* Tam giác cân:
a. Định nghĩa

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

b. Tính chất

Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
* Tam giác đều

a.Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau: ABC đều

AB BC AC

  

b.Tính chất: Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60o_{: ABC}_ _{đều ⇔}   60_{A B C}_{   }

3. Nêu định lý Pytago thuận và đảo, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận của cả hai định lý?

+ Định lý Pytago thuận: Trong một tam giác vng, bình phương của cạnh huyền bằng
tổng bình phương của hai cạnh góc vng.

- Giả thiết: Tam giác ABC vuông tại A .
- Kết luận: _BC2_ _AB2__AC2_.

+ Định lý Pytago đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các
bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vng.

- Giả thiết: Tam giác ABC có _BC2_ _AB2__AC2_.

- Kết luận: Tam giác ABC vuông tại A .

4. Nêu định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, vẽ hình, ghi giả
thiết, kết luận.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

+ Giả thiết: ABC AC,  AB.
+ Kết luận:  B C .

5. Nêu quan hệ giữa đường vng góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, vẽ
hình, ghi giả thiết, kết luận cho từng mối quan hệ.

+ Quan hệ giữa đường vng góc và đường xiên: Trong các đường xiên và đường vng

góc kẻ từ một điểm ở ngồi một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc
là đường ngắn nhất.

+ Giả thiết: A d ; AH là đường vng góc; AB là đường xiên.
+ Kết luận AH AB .

+ Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm
ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn;
b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn;

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

+ Giả thiết: ABC ; H là hình chiếu của A lên BC .
a) HB HC .

b) AB AC .
c) HB HC .
+ Kết luận: a) AB AC .
b) HB HC .
c) AB AC .

6. Nêu định lý về bất đẳng thức trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận.

+ Định lý về bất đẳng thức trong tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất
kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

+ Giả thiết: ABC .

+ Kết luận: AB AC BC  ; AB BC AC  ; AC BC AB  .

7. Nêu tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận.

+ Tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác: Ba đường trung tuyến của một tam
giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

+ Giả thiết: ABC ; các đường trung tuyến AD ; BE ; CF .
+ Kết luận: AD ; BE ; CF cắt nhau tại G ; 2

3
GA GB GC
DA EB  FC  .

8. Nêu tính chất đường phân giác của một góc, tính chất 3 đường phân giác của tam
giác, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận.

+ Định lý thuận: Điểm nằm trên tia phân giác của một tóc thì cách đều hai cạnh của góc
đó.

+ Giả thiết: xOy; Oz là tia phân giác; M Oz ; A , B lần lượt là hình chiếu của M lên Ox
, Oy .

+ Kết luận: MA MB .

+ Định lý đảo: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên
tia phân giác của góc đó.

+ Giả thiết: xOy; Oz là tia phân giác; A , B lần lượt là hình chiếu của M lên Ox Oy, ;
MA MB .

+ Kết luận: M Oz .

+ Tính chất 3 đường phân giác trong tam giác: Ba đường phân giác của một tam giác
cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

+ Kết luận: AD BE CF; ; đồng quy tại I ; I các đều 3 cạnh AB , BC , AC .

9. Nêu tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, tính chất 3 đường trung trực
của tam giác, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận.

+ Định lý thuận: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai
đầu mút của đoạn thẳng đó.

+ Giả thiết: d là đường trung trực của đoạn AB ; M d .
+ Kết luận: MA MB .

+ Định lý đảo: Điểm cách đều hai đầu mót của một đoạn thẳng thì nằm trên đường
trung trực của đoạn thẳng đó.

+ Giả thiết: A B , MA MB .

+ Kết luận: M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB .

+ Tính chất ba đường trung trực của tam giác: Ba đường trung trực của một tam giác
cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

+ Giả thiết: ABC ; b là đường trung trực của AC ; c là đường trung trực của AB ; b và
c cắt nhau tại O .

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

CÁC DẠNG BÀI TỐN ƠN LUYỆN
I. PHẦN ĐẠI SỐ.

Bài 1. Thu gọn đa thức, tìm bậc của đa thức.

2 3 2 3 2 2 3 2 2 3

15 7 8 12 11 12

A x y  x  x y  x  x y  x y .

Bài 2. Tính giá trị biểu thức ₂_x3_₅_{tại x thỏa mãn}_x2_{ }_x ₀_.

Bài 3. Tính giá trị của đa thức _M__x3_ _{x y}2 _₂_x2_ _{xy y}_{ }2 ₃_{y x}_{ }₁_với_x _ _y _{ }₂ ₀_.

Bài 4. Cho hai đa thức

2 2

4 5 3

A x  xy y . _B_₃_x2_₂_{xy y}_ 2_.

Tính A B ; A B . Tìm đa thức C sao cho C  2B  A.

Bài 5. Tìm đa thức ;M N biết

a) _M_



₅_x2_₂_xy



_₆_x2_₉_{xy y}_ 2_. _b)₃_xy_₄_y2__N __x2_₇_xy _₈_y2_.

Bài 6. Cho đa thức

4 3 3 2

( ) 3 2 3

4

A x  x  x  x  . _{( )} ₈ 4 1 3 ₉ 2

5 5

B x  x  x  x  .
Tính:

a) ( )A x B x( ) .
b) ( )A x B x( ) .

c) ( )B x A x( ).

Bài 7. Cho các đa thức _{P x}_{( )}_{ }_x ₂_x2_₃_x5_{  }_x4 _x ₁_và_{Q x}_{( ) 3 2}_{ } _x_₂_x2_{ }_x4 ₃_x5_{ }_x4 ₄_x2
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính ( )M x P x( )Q x( ); ( )N x P x( )Q x( ).
c) Tính giá trị của ( )M x tại 1

2
x .

Bài 8. Cho hai đa thức_{A x}_{( ) 2}_ _x3_₅_x2_₃_x_₃_và_{B x}_{( ) 2}_ _x3_₄_x2_₃_x_₁
a) Tìm đa thức ( )C x sao cho ( )C x B x( )A x( ).

b) Tìm nghiệm của đa thức ( )C x .

Bài 9. Cho hai đa thức:

5 3 2 3

( ) 2 7 1 8 6 8

A x  x x  x    x x x 

và _{B x}_{( )}_{ }₄_x2_{ }_x3 ₇_x_{ }₃ _x4_₅_x3_{ }_{14 2}_x

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

c)Chứng tỏ x_{ là nghiệm của ( )}2 N x nhưng không phải là nghiệm của ( )M x .

Bài 10. Chứng tỏ đa thức _{h x}_{( )}__x2_₄_và _{f x}_{( )}_



_x_₂



2_₁_{khơng có nghiệm.}

Bài 11. Cho hai đa thức _{P x}

 

_₂_x3_₁₀_x2_₆_x_₇_và_{Q x}

 

_{ }₂_x3_₈_x2_₆_x_₇

a)Tính P x

 

Q x P x

   

, Q x

 

.

b)Chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của x để hai đa thứcP x

 

vàQ x

 

cùng có
giá trị âm.

Bài 12. Cho đa thức P x

 

mx3.Xác định m biết rằngP

 

 1 2

Bài 13. Cho đa thức_{Q x}

 

_{ }₂_x2__mx_₇_m_₃_{.Xác định m biết rằng}_{Q x}

 

_{có nghiệm là 1}_ _.

Bài 14. Xác định hệ số a để đa thức _{f x}

 

__ax2_₄_x_₆_{có nghiệm là 3}_

Bài 15. Cho đa thức_{P x}

 

__ax2__{bx c}_{ }₀_.

Chứng tỏ rằng nếu 5a b 2c0thì P

   

2 . 1P 0

II. PHẦN HÌNH HỌC.

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A ; đường cao AH . Biết AB5cm; BC 6cm.
a).Tính độ dài các đoạn thẳng BH AH; .

b).Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng ba điểm ; ;A G H thẳng
hàng.

c).Chứng minh rằng: ‘ ABG ACG .

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC .
a).Chứng minh rằng: ABM  ACM.

b).Từ M vẽ MH AB ; MK AC . Chứng minh rằng: BH CK .

Bài 3. Cho ABC vuông tại A . Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH AC . Trên tia
đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI HK . Chứng minh:

a).AB HK//
b). AKI cân.
c).  BAK  AIK
d). AIC  AKC

Bài 4. Cho ABC cân tại _{A A}



_₉₀0



_{, vẽ BD AC}_ _{và CE AB}_ _{. Gọi H là giao điểm của BD}

và CE .

a).Chứng minh: ABD  ACE
b).Chứng minh AED cân.

c).Chứng minh AH là đường trung trực của ED.

d).Trên tia đối của tia cho DK DB . Chứng minh ECB DKC  .

Bài 5. Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D , trên tia đối của tia CA lấy
điểm E sao cho BD CE . Vẽ DH và EK cùng vng góc với đường thẳng BC . Chứng
minh:

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

c).HK DE//

d). AHE  AKD

e).Gọi I là giao điểm của DK và EH . Chứng minh AI DE .

Bài 6. Cho tam giác ABC có  90B  , vẽ trung tuyến AM . Trên tia đối của tia MA lấy điểm

E sao cho MA ME . Chứng minh:
a). ABM  ECM .

b). AC CE .
c).BAM MAC  .
d).BE AC// .
e). EC BC .

Bài 7. Cho tam giác ABC cân ở A có ABAC5 cm, kẻ AH BC



H BC



.
a).Chứng minh: BH HC và BAH CAH  .

b).Tính độ dài BH biết AH 4 cm.

c).Kẻ HD AB



dAB



, kẻ EH AC



E AC



. Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao?

Bài 8. Cho ABC vuông tại A



AB AC



, BE là đường phân giác. Trên cạnh BC lấy điểm
Dsao cho BD BA .

a).Chứng minh: ABD cân và BE AD .

b).Chứng minh EAD cân.

c).Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF DC . Chứng minh rằng EFC cân.
d).Chứng minh: D , E , F thẳng hàng.

Bài 9. Cho ABC có  90A . Đường trung trực của AB cắt AB tại E và cắt BC tại F .
a).Chứng minh: FA FB .

b).Từ F vẽ FH AC H



AC



. Chứng minh FH EF .
c).Chứng minh FH AE .

d).Chứng minh: 1 ; //
2

EH  BC EH BC. 1 ; //
2

EH  BC EH BC.

Bài 10. Cho ABC



AB AC



có AM là phân giác của A



M BC



. Trên AC lấy điểm D sao
cho AD AB .

a).Chứng minh: BM MD .

b).Gọi K là giao điểm của AB và DM . Chứng minh: DAK  BAC.
c).Chứng minh rằng AKC cân.

d).So sánh: BM và CM .

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I. PHẦN ĐẠI SỐ.
Bài 1. Thu gọn đa thức, tìm bậc của đa thức.

2 3 2 3 2 2 3 2 2 3

15 7 8 12 11 12

A x y  x  x y  x  x y  x y .

Lời giải

+) Thu gọn đa thức.

2 3 2 3 2 2 3 2 2 3

15 7 8 12 11 12

A x y  x  x y  x  x y  x y .



₁₅ 2 3 ₁₂ 2 3

 

₈ 3 2 ₁₁ 3 2

 

₇ 2 ₁₂ 2



A x y  x y   x y  x y  x  x .

2 3 ₃ 3 2 2

3 5

A x y  x y  x .

+) Bậc của đa thức A là 5 .

Bài 2. Tính giá trị biểu thức 2x35 tại x thỏa mãn _x2_{ }_x ₀_.

Lời giải

+) Ta có _x2_{ }_x ₀
( 1) 0
x x
  

0
1 0
x
x


  _{ }


0
1
x
x



  _



+) Thay x 0 vào biểu thức ₂_x3_₅_{ta được:}_2.03 _{ }_{5 5}_.
Vậy tại x 0thì giá trị của biểu thức ₂_x3_₅_{bằng 5 .}
+) Thay x 1 vào biểu thức ₂_x3_₅_{ta được:}_2.13 _{ }₅ ₇_.
Vậy tại x 1 thì giá trị của biểu thức ₂_x3_₅_{bằng7 .}

Bài 3. Tính giá trị của đa thức _M__x3_ _{x y}2 _₂_x2_ _{xy y}_{ }2 ₃_{y x}_{ }₁_với_x _ _y _{ }₂ ₀_.

Lời giải

Ta có _M _{ }_x3 _{x y}2 _₂_x2_{    }_{xy y}2 ₃_{y x} ₁_.

3 2 ₂ 2 2 ₂ _{2 1}

M x x y x       xy y y x y .



3 2 ₂ 2

 

2 ₂





_{2 1}



</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.



 

 



2 ₂ ₂ _{2 1}

M x x y  y x y     x y .

Mà x  y  2 0 ,nên ta thay vào M ta được: M  x.0y.0 0 1 1   .
Vậy với x  y  2 0 thì giá trị của biểu thức M bằng 1.

Bài 4. Cho hai đa thức

2 2

4 5 3

A x  xy y ; _B_₃_x2_₂_{xy y}_ 2_.

Tính A B ; A B . Tìm đa thức C sao cho C2BA.

Lời giải

+) Tính A B .

2 2 2 2

4 5 3 3 2

A B  x  xy y  x  xy y .



₄_x2 ₃_x2





₅_xy ₂_xy





₃_y2 _y2



       .

2 2

7x 3xy 2y

   .

+) Tính A B .





2 2 2 2

4 5 3 3 2

A B  x  xy y  x  xy y .

2 2 2 2

4x 5xy 3y 3x 2xy y

      .



₄_x2 ₃_x2





₅_xy ₂_xy





₃_y2 _y2



       .

2 ₇ ₄ 2

x xy y

   .

+) Tìm đa thức C sao cho C  2B  A.
ĐểC  2B  A.



2 2



2 2

2 3 2 4 5 3

C x xy y x xy y

       .

2 2 2 2

6 4 2 4 5 3

C x xy y x xy y

       .





2 2 2 2

4 5 3 6 4 2

C x xy y x xy y

       .

2 2 2 2

4 5 3 6 4 2

C x xy y x xy y

       .



₄ 2 ₆ 2





₅ ₄





₃ 2 ₂ 2



C x x xy xy y y

        .

2 2

2 9 5

C x xy y

     .

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

Bài 5. Tìm đa thức ;M N biết

a) _M_



₅_x2_ ₂_xy



_₆_x2_₉_{xy y}_ 2_. _b)₃_xy_₄_y2__N __x2_₇_xy _₈_y2_.

Lời giải

a) _M_



₅_x2_ ₂_xy



_₆_x2_₉_{xy y}_ 2_.





2 2 2

6 9 5 2

M x xy y x xy

      .

2 2 2

6 9 5 2

M x xy y x xy

      .

2 ₁₁ 2

M x xy y

    .

Vậy _M __x2 _₁₁_{xy y}_ 2_.

b) ₃_xy_₄_y2__N __x2_₇_xy _₈_y2_.



₃ ₄ 2

 

2 ₇ ₈ 2



N xy y x xy y

      .

2 2 2

3 4 7 8

N xy y x xy y

     

2 2

10 12

N xy y x

    .

Vậy _N _₁₀_xy_₁₂_y2__x2 _.

Bài 6. Cho đa thức

4 3 3 2

( ) 3 2 3

4

A x  x  x  x  ; _{( )} ₈ 4 1 3 ₉ 2

5 5

B x  x  x  x  .
Tính

a) ( )A x B x( ) . b) ( )A x B x( ) . c) ( )B x A x( ).

Lời giải

a) ( )A x B x( ) .
Cách 1.

 

 

₃ 4 3 3 ₂ 2 ₃ ₈ 4 1 3 ₉ 2

4 5 5

A x B x _ x  x  x   _{ } x  x  x  _

   .

 

 

₃ 4 3 3 ₂ 2 _{3 8} 4 1 3 ₉ 2

4 5 5

A x B x  x  x  x   x  x  x .



₃ 4 ₈ 4



3 3 1 3 ₂ 2 ₉ ₃ 2

4 5 5

x x  x x  x x  

   _  _     _ _

   .

4 11 3 2 13

11 2 9

20 5

x  x x x

     .

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

4 3 2

4 3 2

4 3 2

3

3 2 0 3

4

1 2

8 0 9

5 5

11 13

11 2 9

20 5

x x x x

x x x x

x x x x

   



   

   

Vậy

 

 

₁₁ 4 11 3 ₂ 2 ₉ 13

20 5

A x B x  x   x  x  x .
Hay

 

 

₁₁ 4 11 3 ₂ 2 ₉ 13

20 5

A x B x  x  x  x  x
b) ( )A x  B x( ) .

Cách 1.

4 3 3 2 4 1 3 2

( ) ( ) 3 2 3 8 9

4 5 5

A x B x _ x  x  x  _{ }  x  x  x _

   .

4 3 3 2 4 1 3 2

3 2 3 8 9

4 5 5

x x x x x x

        .



₃ 4 ₈ 4



3 3 1 3 ₂ 2 ₉ ₃ 2

4 5 5

x x  x x  x x  
   _  _    _ _

   .

4 19 3 2 17

5 2 9

20 5

x  x x x 

     

4 19 3 2 17

5 2 9

20 5

x x x x

     .
Cách 2.

4 3 2

4 3 2

4 3 2

3

3 2 0 3

4

1 2

8 0 9

5 5

19 17

5 2 9

20 5

x x x x

x x x x

x x x x

   



   

    

Vậy

 

 

₅ 4 19 3 ₂ 2 ₉ 17

20 5

A x B x   x  x  x  x
c) ( )B x  A x( ).

Cách 1.

4 1 3 2 4 3 3 2

( ) ( ) 8 9 3 2 3

5 5 4

B x A x _ x  x  x  _{ } x  x  x  _

   .

4 1 3 2 4 3 3 2

8 9 3 2 3

5 5 4

x x x x x x

        .



₈ 4 ₃ 4



1 3 3 3 ₂ 2 ₉ 2 ₃

5 4 5

x x  x x  x x  
  _  _  _  _

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

4 19 3 2 17

5 2 9

20 5

x x x x

     .
Cách 2.





( ) ( ) ( ) ( )

B x A x   A x B x .

4 19 3 2 17

5 2 9

20 5

x  x x x 

 

  _     _

 .

4 19 3 2 17

5 2 9

20 5

x x x x

     .
Vậy ₅ 4 19 3 ₂ 2 ₉ 17

20 5

( ) ( )

B x  A x  x  x  x  x .

Bài 7. Cho các đa thức _{P x}_{( )}_{ }_x ₂_x2_₃_x5_{  }_x4 _x ₁_và_{Q x}_{( ) 3 2}_{ } _x_₂_x2_{ }_x4 ₃_x5_{ }_x4 ₄_x2
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính ( )M x P x( )Q x( ); ( )N x P x( )Q x( ).
c) Tính giá trị của ( )M x tại 1

2
x .

Lời giải

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến
Ta có _{P x}_{( )}_{ }_x ₂_x2_₃_x5_{  }_x4 _x ₁





5 4 2

( ) 3 2 1

P x  x x  x   x x

5 4 2

( ) 3 2 2 1

P x  x  x x  x

Ta có _{Q x}_{( ) 3 2}_{ } _x_₂_x2_{ }_x4 ₃_x5_{ }_x4 ₄_x2





5 4 4 2 2

( ) 3 ( ) 2 4 2 3

Q x   x  x x   x  x  x

5 2

( ) 3 2 2 3

Q x   x  x  x

b) Tính ( )M x P x( )Q x( ); ( )N x P x( )Q x( ).
Tính ( )M x P x( )Q x( ).

5 4 2

5 2

4

( ) 3 2 2 1

( ) 3 2 2 3

( ) 2

P x x x x x

Q x x x x

M x x

    


    

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

5 4 2

5 2

5 4 2

( ) 3 2 2 1

( ) 3 2 2 3

( ) 6 4 4 4

P x x x x x

Q x x x x

N x x x x x

    



    

    

c) Tính giá trị của ( )M x tại 1
2
x .

Ta có 1 1 4 2 1 2 33

2 2 16 16

M_  _{ }  _    
   

Vậy giá trị của ( )M x tại 1
2
x  là 33

16.

Bài 8. Cho hai đa thức _{A x}_{( ) 2}_ _x3_₅_x2_₃_x_₃_và_{B x}_{( ) 2}_ _x3_₄_x2_₃_x_₁_.
a) Tìm đa thức ( )C x sao cho ( )C x B x( ) A x( ).

b) Tìm nghiệm của đa thức ( )C x .

Lời giải

a)Tìm đa thức ( )C x sao cho ( )C x B x( )A x( ).
( ) ( ) ( )

C x B x  A x C x( ) A x( )B x( )

3 2

3 2

2

( ) 2 5 3 3
( ) 2 4 3 1

( ) 2

A x x x x
B x x x x

C x x

   


   

  

b)Tìm nghiệm của đa thức ( )C x
Cho ( ) 0C x  _{   }_x2 _{2 0}

__x2_₂

 x 2hoặc x  2

Vậy nghiệm của đa thức ( )C x là x 2; x  2.

Bài 9. Cho hai đa thức

5 3 2 3

( ) 2 7 1 8 6 8

A x  x x  x   x x x 

2 3 4 3

( ) 4 7 3 5 14 2

B x   x  x x  x x   x.

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính ( )M x  A x( )B x( ); ( )N x  A x( )B x( ).

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

Lời giải

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

5 3 2 3

( ) 2 7 1 8 6 8

A x  x x  x    x x x 







 



5 3 3 2

( ) 2 7 6 8 1 8

A x  x  x  x x  x x   

5 3 2

( ) 2 7 9

A x  x   x x x

2 3 4 3

( ) 4 7 3 5 14 2

B x   x  x x  x x   x







 



4 3 3 2

( ) 5 4 7 2 3 14

B x x   x x  x  x x   

4 3 2

( ) 4 4 5 11

B x x  x  x  x .

b) Tính ( )M x  A x( )B x( ); ( )N x  A x( )B x( ).
Tính ( )M x  A x( )B x( )

5 3 2

4 3 2

5 4 3 2

( ) 2 7 9

( ) 4 4 5 11

( ) 2 5 3 2 2

A x x x x x

B x x x x x

M x x x x x x

    



    

     

Tính ( )N x  A x( )B x( )

5 3 2

4 3 2

5 4 3 2

( ) 2 7 9

( ) 4 4 5 11

( ) 2 3 5 12 20

A x x x x x

B x x x x x

N x x x x x x

    



    

     

c) Chứng tỏ x2là nghiệm của ( )N x nhưng không phải là nghiệm của ( )M x .
Có _N_{(2) 2.2}_ 5_{ }₂4 _3.23__5.22__{12.2 20}_

(2) 2.32 16 3.8 5.4 12.2 20
N       0
Có _M_{(2) 2.2}_ 5_{ }₂4 _5.23__3.22__{2.2 2}_

(2) 2.32 16 5.8 3.4 2.2 2

M       106 0

Vậy x2là nghiệmcủa ( )N x nhưng không phải là nghiệm của ( )M x .

Bài 10. Chứng tỏ đa thức _{h x}_{( )}__x2_₄_và





2

( ) 2 1

f x  x  khơng có nghiệm.

Lời giải

2

( ) 4

h x x 

Ta có _x2_₀_{với mọi x R}_

2 _{4 4}

x

   _{với mọi x   .}

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.





2

( ) 2 1

f x  x 

Ta có





2

2 0

x  _{với mọi x  }





2

2 1 1

x

    _{với mọi x   .}
Vậy





2

( ) 2 1

f x  x  khơng có nghiệm.

Bài 11. Cho hai đa thức _{P x}

 

_₂_x3_₁₀_x2_₆_x_₇_và_{Q x}

 

_{ }₂_x3_₈_x2_₆_x_₇

a) Tính P x

 

Q x P x

   

, Q x

 

.

b) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của x để hai đa thứcP x

 

vàQ x

 

cùng
có giá trị âm.

Lời giải
a)

 

 

 

 

3 2
3 2
2

2 10 6 7

2 8 6 7

2

P x x x x

Q x x x x

P x Q x x

   

    

 

 

 

 

 

3 2
3 2
3 2

2 10 6 7

2 8 6 7

4 18 12 14

P x x x x

Q x x x x

P x Q x x x x

   



    

    

b)Ta có _{P x}

 

__{Q x}

 

_₂_x2_.

Vì ₂_x2_{  }_0, _x

nên khơng tồn tại giá trị x nào để₂_x2_₀_{hay để hai đa thức}_{P x}

 

_và

 

Q x cùng có giá trị âm.

( Hai đa thức P x

 

và Q x

 

cùng có giá trị âm thì tổng giá trị của chúng phải là số
âm).

Bài 12. Cho đa thức P x

 

mx3. Xác định m biết rằngP

 

 1 2.

Lời giải

Ta có P

 

 1 2 hay

 

 

 

. 1 3 2

. 1 2 3
. 1 5

5
m
m
m
m

  
   
  
  
.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

Bài 13.

Cho đa thức_{Q x}

 

_{ }₂_x2__mx_₇_m_₃_{. Xác định m biết rằng}_{Q x}

 

_{có nghiệm là 1}_ _.

Lời giải

Vì Q x

 

có nghiệm là 1 nên ta cóQ

 

 1 0_hay

 

2

 

2. 1 . 1 7 3 0
2 7 3 0

8 1 0
8 1

1
8

m m

m m
m

m
m

      
     

   
   
 
Vậy 1

8
m .

Bài 14. Xác định hệ số a để đa thức _{f x}

 

__ax2_₄_x_₆

có nghiệm là 3 .

Lời giải

Đa thức _{f x}

 

__ax2_₄_x_₆

có nghiệm là 3 hay f

 

 3 0
Hay

 

2

 

3 4 3 6 0

9 12 6 0

9 18 0

9 18

2
a

a
a
a
a

    

   

  

  

  
Vậya 2.

Bài 15. Cho đa thức_{P x}

 

__ax2__{bx c}_{ }₀_.

Chứng tỏ rằng nếu 5a b 2c0thì P

   

2 . 1P 0.

Lời giải

Ta có

   

2

 

2 2 2 4 2

P  a     b c a b c ;_P

 

₁ __a_.12__b_.1_{   }_{c a b c}

 

2

 

1 4 2 5 2

P P a b c a b c a b c

           

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

II. PHẦN HÌNH HỌC.

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A ; đường cao AH . Biết AB5cm; BC6cm.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH AH; .

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng ba điểm ; ;A G H thẳng
hàng.

c) Chứng minh rằng:  ABG ACG .

Lời giải

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH AH;
Ta có: ABC cân tại A (gt)

mà AH là đường cao (gt)

nên AH là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

 H là trung điểm của BC (định nghĩa đường trung tuyến) 1
2
BH BC

  .

Mà BC6cm(gt) BH 3 cm

 

Vì AH BC (gt) nên  90AHB  AHB vuông tại H .
Xét AHB vng tại H ta có:

_AB2_ _AH2__BH2_{(định lý Pitago)}

Thay số: ₅2_₃2__AH2

 _AH2_₅2_₃2 _ _AH2 _₁₆_ _AH __4cm_do_AH

> 0

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng ba điểm ; ;A G H thẳng
hàng.

Ta có: AH là đường trung tuyến của ABC (gt)
G là trọng tâm ABC (gt)

Nên G AH .

Vậy ba điểm ; ;A G H thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng:  ABG ACG .

Gọi BM CN; lần lượt là hai đường trung tuyến.

Ta có: ABC cân tại A (gt) nên AB AC (tính chất tam giác cân).
Lại có: 1

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

1
2

AN AB ( N là trung điểm AB )
AM AN

  .

Xét ABM và ACN ta có:
AB AC (cmt)



BAM chung
AM  AN (cmt)





ABM ACN c g c

     

 ABM ACN

  (2 góc tương ứng bằng nhau)
Hay  ABG ACG .

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC .
a) Chứng minh rằng: ABM  ACM.

b) Từ M kẻ MH AB ; MK AC . Chứng minh rằng: BH CK .

Lời giải

a) Chứng minh rằng: ABM  ACM .

 Vì M là trung điểm của BC (gt) nên MB MC .

 Vì ABC cân tại A (gt) nên AB AC (tính chất tam giác cân)
Xét ABM và ACM ta có:

AB AC (cmt)
MB MC (cmt)
AM chung





ABM ACM c c c

     

b) Từ M kẻ MH AB ; MK AC . Chứng minh rằng: BH CK .
Vì MH AB (gt) nên BHM 90 

BHM

  vng tại H .

Vì MK  AC (gt) nên MKC 90 
MKC

  vuông tại K .

Xét BHM _{vuông tại H và CKM} _{vng tại K ta có:}
MB MC (cmt)

 

HBM KCM (t/c  cân)





BHM CKM ch gn

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

Bài 3. Cho ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH AC . Trên tia
đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI=HK. Chứng minh:

a) AB HK// .
b) AKI cân.
c)  BAK  AIK_.
d) AIC AKC_.

Lời giải

a) Chứng minh AB HK//
Ta có: _{BAC KHC} _ _₉₀0

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
//

AB HK

 .

b) AKI cân.

Xét AKI , ta có HK HI nên AH là đường trung tuyến của AKI .
Lại có AH KI tại H

Suy ra AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của AKI .
Do đó AKI cân tại A (đpcm).

c)  BAK  AIK_.
AKI

 cân tại A  AKI AIK

 

1

Mặt khác: AB HK// BAK AKI

 

2 (2 góc sole trong bằng nhau)
Từ

 

1 và

 

2 BAK AIK(đpcm)

d) AIC AKC

Ta có AKI cân tại A nên AH là đường trung tuyến cũng là đường phân giác nên
 

KAH HAI KAC CAI 
Xét AIC và AKC ta cú:

AI AK AIKcân tạiA

KAC CAI  KAC CAI
Cạnh AC chung.

Do đó AIC  AKC (c-g-c).

Bài 4. Cho ABC cân tại _{A A}



_₉₀0



_{, vẽ BD AC}_ _{và CE AB}_ _{. Gọi H là giao điểm của BD}

và CE . Chứng minh:

a) Chứng minh: ABD  ACE
b) Chứng minh AED cân.

c) Chứng minh AH là đường trung trực của ED.

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

a) Chứng minh ABD  ACE.
Xét ABD và ACE , có:

ABAC (Vì ABC cân tại A )

  ₉₀0

ADB AEC 

A là góc chung
ABD ACE

    (cạnh huyền – góc nhọn)
b) Chứng minh AED _cân.

Vì ABD  ACE (cmt) nên AD AE _{(hai cạnh tương ứng).}
Suy ra AED cân tại A .

c) AH là đường trung trực của ED.
ABC

 có hai đường cao BD CE, cắt nhau tại H suy ra H là trực tâm của ABC nên
AHlà đường cao hạ từ A . Mà ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là phân giác
A .

AED

 _{cân tại A nên đường phân giác AH cũng là đường trung trực.}
AH

 _{là đường trung trực của ED .}

Bài 5. Cho ABC cân tại A . Trên tia đối của tia BA lấy điểm D , trên tia đối của tia CA lấy
điểm E sao cho BD CE . Vẽ DH và EK cùng vng góc với đường thẳng BC .
Chứng minh:

a) HB CK
b)  AHB AKC
c) HK DE//

d) AHE AKD

e) Gọi I là giao điểm của DK và EH . Chứng minh AI DE .

Lời giải

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

Ta có ABC cân tại A  ABC ACB _.
Ta lại có    ABC HBD ACB KCE ;  _{(đối đỉnh).}
Suy ra HBD KCE  _.

Xét HBD và KCE , có :

  ₉₀0

BHD CKE  

BD CE (gt)
 

HBD KCE _(cmt)

HBD KCE

    _{(cạnh huyền – góc nhọn).}
HB CK

  _{(Hai cạnh tương ứng).}
b) Chứng minh  AHB AKC

Vì ABC cân tại A nên  ABC ACB (*)

Ta có :  ABC ABH 1800

 _{ACB ACK}_ _₁₈₀0

Mà  ABC ACB (theo *) nên  ABHACK
Xét ABH và ACK , có :

AB AC_{( vì ABC} _{cân tại A )}
 ABH ACK_(cmt)

HB CK _{(câu a)}
ABH ACK

    _(c-g-c)

 AHB AKC

  _{(hai góc tương ứng).}
c) Chứng minh HK DE//

Ta có AB AC , BD CE  AD AE  ADE cân tại A .
Suy ra  180 

2
A

ADE    , mặt khác ABC cân tại A nên  180 ˆ
2

A

ABC

_



Do đó  ADE ABC , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HK DE// .
d) Chứng minh AHE  AKD

Xét AHE và AKD , có :
HEDK

 AHE AKD
AH  AK

AHE AKD

    _(c-g-c)

e).Gọi I là giao điểm của DK và EH . Chứng minh AI DE .
Theo câu a: AHE  AKDHEKD

Có KHI  DEI  KI DI
Tương tự IH ID , mà HE KD .
Xét AID và AIE , có:

AI: chung.
AD AE.
ID IE .



. .



ADI AEI c c c

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

 
DAI EAI

  .

AI

 là tia phâm giác của DAE trong AED .
Mặt khác AD AE .

Do đó: ADE cân tại A .

Suy ra : AI cũng là đường cao của ADE .
AI DE

  (đpcm).

Bài 6. Cho tam giác ABC có  90B  , vẽ trung tuyến AM . Trên tia đối của tia MA lấy điểm

E

sao cho MA ME . Chứng minh:

a) ABM  ECM.

b) AC CE .
c) BAM MAC  .
d) BE AC// .
e) EC BC .

Lời giải

a) Chứng minh ABM  ECM .
Xét ABM và ECM ta có:

MB MC (vì AM là trung tuyến)
 AMB EMC (đối đỉnh)

MA ME (theo giả thiết)

Do đó ABM  ECM (c – g – c) (điều phải chứng minh)
b) AC CE .

Có ABM  ECM  ABEC, có AB AC (cạnh góc vng nhỏ hơn cạnh huyền).
CE AC

 

c) BAM MAC  .

Có BAM CEA  , mà CEA MAC  (do AC CE ).
 

BAM MAC

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

Có AMC  EMB (c.g.c)CAM BEM. Mà chúng có vị trí so le.
//

BE AC


e) EC BC .

Có AMB  EMC (c.g.c)BAM CEM  , mà chúng có vị trí so le.
//

AB CE

 , có AB BC .
EB BC

 

Bài 7. Cho tam giác ABC cân ở A có AB AC5 cm, kẻ AH BC



H BC



.
a) Chứng minh: BH HC và BAH CAH  .

b) Tính độ dài BH biết AH 4 cm.

c) Kẻ HD AB



dAB



, kẻ EH AC



E AC



. Chứng minh DE BC// .
d) Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao?

Lời giải

a) Chứng minh: BH HC và BAH CAH  .
Xét ABH và ACH có:

 AHB AHC  90 (vì AH BC )
AB AC (vì ABC cân ở A )
 ABH ACH (vì ABC cân ở A )
Suy ra ABH  ACH (g – c – g)

Do đó BH HC và BAH CAH  (đpcm)
b) Tính độ dài BH biết AH 4 cm.
Trong ABH vng ta có

2 2 2

AB AH BH (theo định lí Pitago)

2 2 2 ₅2 ₄2 ₉

BH AB AH

     

3
BH

  cm

c).Kẻ HD AB



DAB



, kẻ EH AC



E AC



. Chứng minh DE BC// .
ADH AEH

   (g-c-g)
AD AE

  , HD HE .
AH

 là trung trực của DE .
AH DE

  , mà AH BC .

E
D

H C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

//
DE BC

 .

d) Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao?
BDH CEH

   (ch – gn)  BD CE  AD AE
Do đó tam giác ADE là tam giác cân tại A .

Bài 8. Cho ABC vuông tại A



AB AC



, BE là đường phân giác. Trên cạnh BC lấy điểm
Dsao cho BD BA .

a) Chứng minh: ABD cân và BE AD .
b) Chứng minh EAD cân.

c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF DC . Chứng minh rằng EFC cân.
d) Chứng minh: D , E , F thẳng hàng.

Lời giải

a) Chứng minh: ABD cân và BE AD .
Ta có BD BA (gt) nên ABD cân tại B .

Lại có BE là đường phân giác của ABC (gt) hay BE là phân giác của ABD cân tại
B

 BE là đường trung trực của ABD (Trong tam giác cân đường phân giác ứng với
cạnh đáy đồng thời là đường trung trực).

 BEAD.

b) Chứng minh EAD cân.

Có BE là đường trung trực của ABD (chứng minh trên)  BE là đường trung trực
của AD

 EA ED (tính chất của điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng).
EDA

  cân.

c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF DC . Chứng minh rằng EFC cân.
Ta có:

BD BA (gt) và AF DC (gt), suy ra BD DC BA AF BF BC.
Xét BEF và BEC có:

BFBC (chứng minh trên)
 

EBF EBC (do BE là phân giác của ABC )
BE là cạnh chung

 BEF  BEC(c-g-c)

 EF EC (Hai cạnh tương ứng)
F

D

E

A C

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

 EFC cân.

d) Chứng minh: D , E , F thẳng hàng.
Xét EAF và EDC có:

 

AFDC gt

EF EC(hai cạnh tương ứng của BEF  BEC)
AEDE (chứng minh trên)

Suy ra EAF  EDC (c-c-c)
 

AEF DEC

  (Hai góc tương ứng)
Mà có   180AED DEC  (Hai góc kề bù)

  180AED AEF

     180DEF hay D , E , F thẳng hàng.

Bài 9. Cho ABC có  90A . Đường trung trực của AB cắt AB tại E và cắt BC tại F .
a) Chứng minh: FA FB .

b) Từ F vẽ FH AC H



AC



. Chứng minh FH EF .
c) Chứng minh FH AE .

d) Chứng minh: 1 ; / /
2

EH  BC EH BC.

Lời giải

a) Chứng minh: FA FB .

Ta có EF là đường trung trực của AB

 

gt FA FB (tính chất của điểm nằm trên
đường trung trực của đoạn thẳng).

b) Từ F vẽ FH AC H



AC



. Chứng minh FH EF .
Có EF là trung trực của AB  EF  AB, mà AC AB .

//
EF AC

 , có FH AC .
FH EF

 

c) Chứng minh FH AE .

Ta có FE HA// ( cùng vng góc với AB )   EFA FAH ( hai góc so le trong).
//

EA FH( cùng vng góc với AC )  EAF HFA ( hai góc so le trong).

Xét AEF và FHA có  EFA FAH ,  EAF HFA (chứng minh trên) và cạnh AF
chung nên AEF  FHA



g c g 



 FH AE ( hai cạnh tương ứng).

d) Chứng minh: 1 ; //
2

EH  BC EH BC.

H

F

E

A

C

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

C

ó

cơ

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

Có AEF  HFE (g-c-g) AF EH
FAB

 cân tại F , FAC cân tại F (chứng minh trên)

FA FB FA FC ,  1

2
FA FB FC BC

    .

Suy ra 1
2
EH  BC

Có BEF  HFE BFE HEF  , mà BFE và HEF là hai góc so le trong nên
/ /

EH BC.

Bài 10. Cho ABC



AB AC



có AM là phân giác của A



M BC



. Trên AC lấy điểm D sao
cho AD AB .

a) Chứng minh: BM MD .

b) Gọi K là giao điểm của AB và DM . Chứng minh: DAK  BAC.
c) Chứng minh rằng AKC cân.

d) So sánh: BM và CM .

Lời giải

a) Chứng minh: BM MD .
Xét AMB và AMD có:

 

AB AD gt

 

MAB MAD (do AM là phân giác của BAC)
AM là cạnh chung

 AMB AMD c g c



 



 BM MD (hai cạnh
tương ứng).

b) Gọi K là giao điểm của AB và DM . Chứng
minh: DAK  BAC.

Xét DAK và BAC có:


KAC chung

 

AB AD gt

 

ABC ADK (hai góc tương ứng của AMB  AMD )

 DAK  BAC (g-c-g).
c) Chứng minh rằng AKC cân.

Ta có DAK  BAC ( chứng minh trên)
 AK AC (hai cạnh tương ứng)
 AKC cân tại A .

d) So sánh BM và CM .

Ta có AMB  AMD (chứng minh trên)  BM MD

 

1 (hai cạnh tương ứng).
Ta có   KDC KAD AKD  (tính chất góc ngồi của tam giác) mà  AKD ACB (Hai góc
tương ứng của DAK  BAC)   KDC ACB KAD ACB   hay  MDC DCM

CM MD

 

 

2 (Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)
Từ

 

1 và

 

2  BM CM .

 HẾT 

D

K

M

B

_C

</div>

<!--links-->