Chuyên đề hàm số lượng giác-Phương trình lượng giác lớp 11 - ÔN THI TOÁN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (554.66 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chủ đề:

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I- LÝ THUYẾT:

0. Giới thiệu tổng quan về các hàm số lượng giác: 
" Ỵ - £ £ - £ £

x R: 1 sinx 1, 1 cosx 1

(

)

(

)

(

)

(

)

p p

" Ỵ + = + =

: sin 2 sin cos 2 cos
: tan tan cot cot

x R x k x x k x

x D x k x x k x

* Các giá trị đặc biệt:

p p

p p p

p p p p p

p p

= Û = = - Û = - + = Û = +

= Û = + = Û = = - Û = +

= Û = = Û = +

1. sin 0 2. sin 1 2 3. sin 1 2

2 2

4. cos 0 5. cos 1 2 6. cos 1 2
2

7. tan 0 8. tan 1 9
4

x x k x x k x x k

x x k x x k p p

p p p p p p

= - Û = - +

= Û = + = Û = + = - Û = - +

. tan 1

10. cot 0 11. cot 1 12. cot 1

2 4 4

x x k

x x k x x k x x k

---

1. Hàm số y = sin x:

* TXĐ: D=R * Tập giá trị: " Ỵx R: 1 sin- £ x£1.
* Hàm số y = sin x là hàm số lẽ. * Tuần hoàn với chu kỳ: T=2p .
Đồ thị:

2. Hàm số y = cos x:

* TXĐ: D=R * Tập giá trị: " Ỵx R: 1- £cosx£1.
* Hàm số y = cos x là hàm số chẵn. * Tuần hoàn với chu kỳ: T=2p .

Đồ thị:

y

x

-p

2
-p

2 O

y

x

-1

-p

2 p

-p

O a

cotang
tang
sin

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

3. Hàmsố y = tan x:

* TX: = ỡớp + p ẻ ỹý

ợ ỵ

\ ,

D R k k Z * Tập giá trị: " Ỵx D: tanxỴR.
* Hàm số y = tan x là hàm số lẽ. * Tuần hoàn với chu kỳ: T =p.
Đồ thị:

3. Hàm số y = cot x:

* TXĐ: D=R \

{

kp, kỴZ

}

* Tập giá trị: " Ỵx D: co txỴR.
* Hàm số y = cot x là hàm số lẽ. * Tuần hoàn với chu kỳ: T =p.
Đồ thị:

Dạng toán 1: TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

*Nhắc lại: M ột số dạng tìm Tập xác định hm s thng gp:

ỡ

= ớ

ợ

ỡ

ị = ớ

ợ
ẻ
ỡ

= ớ

ợ

( ) 0

1) ( ) ( ) §iỊu kiƯn:

§ iỊu kiƯn ( ) cã nghÜa
( ) 0
Tỉng qu¸t: ( ) ( ) §iỊu kiƯn:

§ iỊu kiƯn ( ) cã nghÜa
( )

2) ( ) ( ) §iỊu kiƯn:

§ iỊu kiƯn ( ) cã nghÜa
n

A x

f x A x

A x
A x

x A x

A x

A x R

f x A x

A x

O

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

+ ỡ ẻ
ị = ớ
ợ
ạ
ỡ
= ớ
ợ

2 1 ( )

Tổng quát: ( ) ( ) Điều kiện:

§ iỊu kiƯn ( ) cã nghÜa
( ) 0

( )

3) ( ) §iỊu kiƯn:

( ) § iỊu kiƯn ( ), ( ) cã nghÜa

n A x R

x A x

A x
B x

A x
f x

B x A x B x

( )

= ¹ Û ¹ +

4) ( ) tan §iỊu kiƯn: cos 0

2
k

f x u x u x u x π kπ

( )

= ¹ Û ¹

5) ( )f x cotku x §iỊu kiƯn: sinu x 0 u x kπ

Bài tập 1: (Mức độ cơ bản) Tìm TXĐ của các hàm số sau:

a) 4tan 2 b) 2tan2 cot 2 sin 7
4

tan sin2 3

c) d)

1 sin 1 cos

y x y x x x

x x
y y
x x
p
ổ ử
= ỗ - ữ = -
-ố ø
+
= =
-
-Hướng dẫn: 
3 3

cos 2 2 \

4 4

cos2 0

sin 4 4 \

sin2 0

cos 0

cos . \

sin 1 2

x x k x k D R k

x

x x k x k D R k

x
x

x x k D R

x

p p p p p p p p

p p
p
p p
ỉ - ư¹ Û - ¹ + Û ¹ + = ì + ü
í ý
ỗ ữ
ố ứ ợ ỵ
ạ
ỡ ạ ạ ạ = ỡ ỹ
ớ ạ ớ ý
ợ ỵ
ợ
ạ
ỡ ạ ạ + =
ớ ạ
ợ

a) Đk: 0 . VËy

2 8 2 8 2

b) §k: 0 . VËy

4 4

c) §k: 0 VËy

{ }

sin2 3 0 sin2 3 0

1 cos 1 cos 0

cos 1

cos 2 . \ 2

k

x x x R

x

x x k D R k

p p
p p
ỡ + ỹ
ớ ý
ợ ỵ
+

ỡ ỡ + " ẻ

-ớ ớ - " ẻ

ợ

ù ạ

ợ

ạ ạ =

d) Đk: Do

Nên ®iỊu kiƯn lµ: 1 VËy

Bài tập 2: (Mức độ trung bình) Tìm TXĐ của các hàm số sau:

2 2

3 3 2

a) b) c)

sin cos 2sin 1 cos cos3

= = =

- -

-y y y

x x x x x

Hướng dẫn: 
2
3 3
sin
2 \
2
1 5

2sin 1 sin \ 2 , 2

5
2
2
3 2
cos3 cos
3 2

p p p p p p

p p

p p p p

p p
p

p
= =

-ì ü
¹ Û ¹ + Û ¹ + = í + ý
ợ ỵ
ỡ ạ +
ùù ỡ ỹ
ạ ạ ớ = ớ + + ý
ợ ỵ
ù ạ +
ùợ
ạ
ạ +
ỡ
ạ ớ ạ - +
ợ
2
a)
cos cos2

Đk: cos2 0 . VËy

2 4 2 4 2

b) §k: . VËy

6 6

c) §k:
y

x x x

x x k x k D R k

x k

x x D R k k

x k

x k
x x k

x x

x x k . \ 4

4
p
p
p
ỡ
ù = ỡ ỹ
ớ ạ ớ ý

ợ ỵ

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Dạng tốn 2: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HSLG

Phương pháp:

Bước 1: Sử dụng các kỹ năng biến đổi để có các BĐT và kết luận GTLN- GTNN. 
Bước 2: Chỉ rõ GTLN- GTNN xãy ra trong trường hợp nào?

Bài tập 1: (Mức độ cơ bản) Tìm GTLN- GTNN của các hàm số sau:

2
2

a) 2 4cos2 b) 3sin 2 4
c) 4cos 2 1 d) 2 cos3 4

y x y x

= - =

-= + =

-Hướng dẫn:

: 1 cos2 1

4 4cos2 4

2 2 4cos2 6

2 6

6 2 4cos2 6 cos2 1

x R x

x
x
y

y x x x p kp

" Ỵ - £ £

Û ³ - ³

-Û - £ - £

Þ - £ £

= - = Û = - Û = - +

Vậy max đạt được khi
và min

2
2

2 2 4cos2 2 cos2 1

: 0 sin 2 1
0 3sin 2 3

4 3sin 2 4 1

4 1

y x x x k

x R x

x
x
y
y

= - - = - Û = Û =

" Î £ £

Û £ £

Û - £ £
Þ £ £
=

-R

đạt được khi
b)

Vậy max đạt 2 2

2 2

2
2
2

3sin 2 4 1 sin 2 1 cos2 0

4 2

4 3sin 2 4 4 sin 2 0

2
: 0 cos 2 1

0 4cos 2 4
1 4cos 2 1 5
1 4cos

x x x x k

y x x x k

x R x

x
x

p p

- = - Û = Û = Û = +

= - - = - Û = Û =

" Ỵ £ £

Û £ £

Û £ + Ê

được khi

v min đạt được khi

2 2

2 1 5

1 5

5 4cos 2 1 5 cos 2 1 sin2 0

1 4cos 2 1 1 cos2 0

4 2

x
y

y x x x x k

y x x x k

p p

+ £
Þ £ £

= + = Û = Û = Û =

= + = Û = Û = +

Vậy max đạt được khi

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

: 0 cos3 1
0 2 cos3 2

4 2 cos3 4 2

4 2

2 2 cos3 4 2 cos3 1 sin3 0

4 2 cos3 4 4 cos3

x R x

x
x
y

y x x x x k

y x x

" Ỵ £ £

Û £ £

Û - £ £

Þ £ £

-= - - = - Û = Û = Û =

= - - = - Û

Vậy max đạt được khi

và min đạt được khi 1 cos3 0

4 2

x x p kp

= Û = Û = +

Bài tập 2: (Mức độ trung bình) Tìm GTLN- GTNN của các hàm số sau:

2 4 4

a) 2sin cos2 b) sin cos 4 c) cos cos

ổ ử

= - = + + = + ỗ - ÷

è ø

y x x y x x y x x

Hướng dẫn:

2
2

4 2 2

2sin

2sin 1 2

1 1

sin 4 1 sin 2 4 5 sin 2

2 2

3 6

p p

-= - Û =

-= + + Û = - + =

-ổ ử ổ ử

= + ỗ - ữ= ỗ - ÷

è ø è ø

a) cos2

Ta cã: cos2 cos2 ... và tiếp tục như bài tập trên.

b) cos ... và tiếp tục như bài tập trên.

c) cos cos cos c

y x x

y x x y x

y x x y x x

y x x x 3 3 3

6 6

p = ổ -p ửị - Ê Ê

ỗ ữ

ố ứ

os cos

... và tiếp tục như bài tập trên.

x y

Bài tập 3: (Mức độ khá) Tìm GTLN- GTNN của các hàm số sau:

(

)

2 2

a) 3 sin cos 2 b) 2sin 2 sin 2 4cos 2
2 cos

c) 3sin 5cos 8sin cos 2 d)

sin cos 2

= - + =

= + - - =

+ +

y x x y x x x

x

y x x x x y

x x

Hướng dẫn:

Chú ý: Điều kiện để phương trình y=asint+bcost có nghiệm là: a2+b2³c 2
a) y= 3 sinx-cosx+ Û2 3 sinx-cosx= -y 2 (*)

Miền giá trị của hàm số trên là " Ỵy R sao cho phương trình sau: 
3 sinx-cosx= -y 2 có nghiệm x R Ỵ

(

)

2 2

3 1 2 4 0 0 4

4 3 sin cos 2

sin 1 2 2

6 6 2 3

0 3 sin cos 2

p p p p p p

Û + ³ - Û - Ê Ê Ê

= - =

ổ ử

ỗ - ÷= Û - = + Û = +

è ø

= - =

-R

Vậy max đạt được khi

và min đạt được khi

y y y y

y x x

x x k x k

y x x

sin 1 2 2

6 6 2 3

p p p p p p

æ ử

ỗ - ữ= - - = - + Û = - +

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Hướng khác:

Hướng 2: 3 sin cos 2 2 3sin 1cos 2 2sin 2

2 2 6

ổ ử ổ ử

= - + = ỗ - ữ+ = ỗ - ữ+

ố ứ

y x x x x x

... và tiếp tục như bài tập trên.
Hướng 3:

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

3 sin cos 3 1 sin cos 4

2 4 2 2 2 0 4

- £ + + =

Þ - £ Û - £ - £ Û £ £

Theo B§T Bunhicopski: x x x x

y y y

... vµ tiÕp tơc nh bài tập trên.

(

)

1 cos 4

2sin 2 sin 2 4cos 2 2sin 2 8sin 2 cos 2 2 4sin 4

2
4sin 4 cos 4 1

1 1

3sin 5 8sin 2 3

-ổ ử

= - = - = ỗ ữ

-ố ø

Û = - - +

- +

ỉ ư ỉ ư

= + - - = ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

... và tiếp tục như bài tập trên.

cos2 cos2

c) cos cos +5

2 2

x

y x x x y x x x x

y x x

x x

y x x x x y

(

)

(

)

4sin 2 2

2 cos

sin cos 2 2 cos sin 1 cos 2 2

sin cos 2

= Û + + = + Û + - =

-+ +

... vµ tiÕp tục như bài tập trên.
d)

x

y y x x x y x y x y

x x

Với điều kiện có nghiệm 2

(

) (

)

1 2 2

+ - ³

-y y y

... và tiếp tục như bài tập trên.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

2 2 2

1 4cos

1) 2 4cos 2) 3 8sin .cos 3) 4) 2sin cos2
3

5) 3 2 sin 6) cos cos 7) cos 2cos2 8) 5 2sin .cos
3

x

y x y x x y y x x

y x y x x p y x x y x x

= + = - = =

-ổ ử

= - = + ỗ - ÷ = + =

-è ø

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

(

)

2 2 2

2 2 2 2

4 4

1) sin 4sin 2 2) sin cos 0
3) 3sin 5cos 8sin cos 2 4) 2sin 4cos 8sin cos 1
5) sin cos

y x x y a x b x a b

y x x x x y x x x x

y x x

= - - = + + >

= + - - = - +

-= + 6 6

6) y=sin x+cos x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài tập: Tìm tập xác định của các hàm số:

1
1) sin 3 2) cos 3) sin 4) cos

3 1

7 cot sin 2

5) 6) cot 2 7) 8)

2cos 4 cos 1 cos 1

9) cos 1

-= = = =

+
+

ổ ử

= = ỗ - ữ = =

- +

ố ứ

= +

x x

y x y y x y

x

x x

y y x y y

x x x

y x 10) 2 3 2 11) 2 12) tan cot

sin cos cos cos3

= = = +

-y y y x x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Dạng tốn 3: XÁC ĐỊNH TÍNH CHẴN LẺ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số y= f x( ), lúc đó:

+ Nếu D l tp i xng (tc l " ẻ ị - Ỵx D x D ), ta thực hiện bước 2. 
+ Nếu D không là tập đối xứng ($ Î Þ - Ïx0 D x0 D ), ta kết luận hàm số
( )

y= f x không chẵn cũng không lẻ.
Bước 2: Xác định f(-x . Lúc ) đó:

- = =

ê - = - =

( ) ( ) : Hµm sè ( ) là hàm chẵn
( ) ( ) : Hàm số ( ) là hàm lẻ

f x f x y f x

Lưu ý: Về mặt hình học:

1. Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. 
2. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng. 
Nhận xét: Với các hàm số lượng giác cơ bản, ta có:

a. Hm s y=cos là hàm số chẵnx .

b. Hàm số y=sin , x y=tan , x y=cot là các hàm số lẽx .

Bi tp 1: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số:

3
4

3 sin

a) 1 cos3 b) 1 cos sin 2 c) sin 3 d)

2 cos2

-ỉ ư

= + = + ỗ - ữ = =

ố ứ

x x

y x x y x x y x x y

x

Hướng dẫn:

a) TX: D R . Ta cú: = " ẻ ị - Ỵx D x D

( )

1 1

- = + - - = - ạ

- ạ - ị

cos3 cos3

v Hàm số đã cho là hàm không chẵn không lẻ trên R.

y x x x x x y x

y x y x

b) 1 sin 3 2 1 cos cos 2

ổ ử

= + ỗ - ữ=

-ố ứ

cos

y x x x x

TXĐ: D R . Ta có: = " ẻ ị - ẻx D x D

( )

- = -1 cos

( )

- cos 2

( )

- =1 cos- cos 2 =

( )

ị Hàm số đã cho là hàm chẵn trên R.

y x x x x x y x

c) TXĐ: D R . Ta có: = " ẻ ị - ẻx D x D

( ) ( )

( )

4

( )

sin 3 sin 3

- = - - =- = - ị Hàm số đã cho là hàm lẻ trên R.

y x x x x x y x

d) TXĐ: \

4 2

p p

ì ü

= ớ + ý

ợ ỵ

D R k . Ta cú: " Î Þ - Îx D x D

( ) ( )

- = - 3-sin

( )

( )

- - +3 sin = - 3 -sin = -

( )

- = Hàm số đã cho là hàm lẻ trên D.

cos2 cos2 cos2

x x x x x x

y x y x

x x x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài tập: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số: 
3
3

2000

sin cos2

1) cos3 3) sin 3 4) 5)
cos2

1 cos

6) sin 2 7) 1 cos 8) 9) sin cos2
1 cos

10)

-= = = =

= - = - = = +

x x x

y x x y x x y y

x x

x

y x x y x y y x x

x
x

y

2 sin2010 2010

11) 12) sin 2

sin tan cos

= =

x

y y x x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Dạng toán 4: XÁC ĐỊNH TÍNH TUẦN HỒN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Phương pháp:

1. Chứng minh hàm số y= f x( ) tuần hoàn

Xét hàm số y= f x( ), tập xác định D, ta dự đốn có số thực dương T sao cho: 0

(

)

" Ỵ - Ỵ + Ỵ
ìï

í + =

ùợ

0 0

: và (1)

( ) (2)

x D x T D x T D

f x T f x

2. Chứng minh T là chu k0 ỳ của hàm số ( nghĩa là T d0 ương nhỏ nhất thoả mãn hệ (1) và
(2)). Thực hiện bằng phản chứng.

Bước 1: Giả sử có số T sao cho 0< <T T tho0 ả mãn các tính chất (1) và (2):

(

)

" ẻx D: f x+T = f x( )...ị Mâu thn víi gi¶ thiÕt 0< <T T0

Bước 2: Mâu thuẩn này chứng tỏ T là s0 ố dương nhỏ nhất thoả mãn (2).
Kết luận: Vậy T là chu k0 ỳ của hàm số y= f x( ).

3. Xét tính tuần hồn các các hàm số lượng giác, ta sử dụng một số kết quả:
a. Hàm số y=sin , x y =cos tuần hoàn với chu kỳ 2x p .

b. Hàm số y=tan , x y=cot tuÇn hoµn víi chu kú x p .
M ở rộng: (cm)

c. Hàm số y=sin

(

ax+b

)

, y=cos

(

ax+b

)

(a>0) tuÇn hoµn víi chu kú 2p
a .
d. Hàm số y=tan

(

ax+b

)

, y=cot

(

ax+b

)

(a>0) tuần hoàn với chu kỳ p

a.

nh lý: Cho cặp hàm số ( ), ( )f x g x tuần hoàn trên tập M có các chu kỳ lần lượt là và a b

ẻ
với a Q

b . Khi ú, cỏc hàm số: F x( )= f x( )+g x( ), ( )G x = f x g x c( ) ( ) ũng tuần hoàn trên M.

Hệ quả:

Hàm số F x( )=mf x( )+ng x tu( ) ần hoàn với chu kỳ T là bội chung nhỏ nhất của µ a v b .

Bài tập 1: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau là một hàm số tuần hoàn và hãy tìm chu kỳ của 
nó:

1) 2sin 2) cos 5 3) tan 4) cos2

4 3 4

5) cos 6) sin cos 7) sin cos 8) 4sin
2 4

y x y x y x y x

x

y y x x y x x y x

y

p p p

æ ử ổ ử ổ ử

= ỗ + ữ = - ỗ - ữ+ = ỗ + ữ =

ố ứ ố ứ ố ứ

ổ ử

= ỗ + ữ = + = =

è ø

= 1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

SAI LẦM Ở ĐÂU?

Xét bài tốn:

Tìm chu kỳ của hàm số: f x( ) sin=

(

ax b+

)

; (a¹0)

( Trắc nghiệm Nghuyễn Văn Nho ĐHSP2006 và nhiều sách khác) 
Một học sinh giải như sau:

Bước 1: Gọi T là chu kỳ của hàm số đã cho. 
Bước 2: Lúc đó:

(

)

(

)

( + )= ( )Ûsinéë + + ù =û sin +

f x T f x a x T b ax b

(

)

(

)

sin sin

Û ax b aT+ + = ax b (*) +

Bước 3: Do hàm số y=sinx tuần hoàn với chu kỳ T =2p
Từ (*)Û aT =2p T 2

a

Û =
Vậy chu kỳ của hàm số đã cholà T 2

a

= . (ycbt)

Bài giải của học sinh trên đã đúng chưa? Nếu chưa thì sai ở bước nào?
*Lưu ý:

Nhìn tổng thể thì bài giải có vẻ đúng nhưng bản chất thì...sai. Sai vì chưa hiểu rõ thế 
nào là chu kỳ của một hàm số.

Nhắc: T được gọi là chu kỳ của hàm số y= f x( )khi chỉ khi:
+ f x T( + )= f x( ) (*)

+ T là số dương nhỏ nhất thoả (*)

Như vậy đối với bài giải trên, chỉ đúng khi a>0. Vậy trong trường hợp tổng quát thì sao? Ta
giải như sau:

TH1: a>0 giải như trên.

TH2: a<0. Thực hiện phép biến đổi: sin

(

ax b+

)

= -sin

(

- -ax b . Lúc này ta đưa bài

)

tốn về TH1.

Bài tập: Tìm chu kỳ của các hàm số sau:

a) y=cos 2

(

x-4

)

b) y=cot 3

(

- +x 1

)

c) tan 2 1
3

æ ử

= ỗ - ữ

ố ứ

x

y c) y=sin 4

(

- +x 2

)

Bài toán: Cho hàm số ( )f x =asinux b+ sinvx, trong đó , , ,a b u v là các số thực khác 0.

a) Chứng minh rằng: Nếu hàm số y= f x( ) tuần hồn thì u

v là số hữu tỉ.
b) Ngược lại nếu u

v là số hữu tỉ thì hàm số y= f x( ) tuần hoàn.

Chứng minh:

a) Giả sử hàm số y= f x( ) tuần hồn với chu kì T. Ta có: "x f x T:

(

)

= f x( ).
Cho x=0, ta có: f T

( )

= f(0)ÛasinuT b+ cosvT =b (1).

Cho x= -T, ta có: f

( )

-T = f(0)Û -asinuT b+ cosvT =b (2).

Từ (1) và (2) suy ra : 1 2 2 2

sin 0

p p

= =

ỡ ỡ

ị = = ẻ

ớ = í =

ỵ ỵ

cosvT vT k vT k v k

Q

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

b) Giả sử v = mỴQ

u n với , m n là các số nguyên khác 0. Chọn

2 m 2 n
T

u v

p p

= = .

Khi đó:

(

)

= sin ổỗ +2p ữử+ ỗổ +2p ửữ

ố ứ cos è ø

m n

f x T a u x b v x

u v

(

)

(

)

( )

sin 2p cos 2p sin cos ( )

=a ux+ m +b vx+ n =a ux +b vx = f x

Vậy hàm số y= f x( ) tuần hoàn (đ.p.c.m)

Định lý: Cho cặp hàm số ( ), ( )f x g x tuần hoàn trên tập M có các chu kỳ lần lượt là

ẻ
và với a

a b Q

b . Khi đó, các hàm số: F x( )= f x( )+g x( ), ( )G x = f x g x c( ) ( ) ũng tuần hoàn
trên M.

Hệ quả:

Hàm số F x( )=mf x( )+ng x tu( ) ần hoàn với chu kỳ T là bội chung nhỏ nhất của µ a v b .

Ví dụ minh họa 1: Xác định chu kì của các hàm số sau: 
2

1) tan 3 2) 2cos 2 3) sin sin 2

6 3 2

1 1

4) sin sin 2 sin 3 5) 2 tan 3tan 6) cos 2cos

2 3 2 3

y x y x y x x

x x

y x x x y y x x

p p

ỉ ư ỉ ư

= ỗ + ữ = ỗ + ữ = +

ố ứ è ø

= + + = - = +

Giải:

4) Ta có:

Hàm số y=sinx tuần hồn chu kì 2p .

Hàm số y=sin 2x tuần hồn chu kì p .
Suy ra, hàm số sin 1sin 2

y= x+ x tuần hồn với chu kì T =2p .

Hàm số y=sin 3x tuần hồn chu kì 2

p .

Vậy hàm số sin 1sin 2 1sin 3

2 3

y= x+ x+ x tuần hồn với chu kì 2p

Ví dụ minh họa 2: Cho hàm số ( ) cosf x = x . Chứng minh rằng hàm số trên khơng tuần 
hồn phải.

Giải: Giả sử hàm số đã cho là tuần hồn phải. Khi đó có tồn tại số dương T sao cho: 
0 : cos cos

x x T x

" ³ + =

Cho x=0, ta có: cos T = Û1 T =k2p (1)
Cho x T= , ta có: cos 2T =cos T = Û1 2T =m2p (2)
Lập tỉ số (1) (2) , ta được: 2 = k ỴQ

m . Mâu thuẩn. Vậy hàm số đó khơng tuần hồn phải.

Ví dụ minh họa 3:

Tìm tất cả các số nguyên n khác 0 để hàm số: y f x( ) cos .sinnx 5x
n

= = tuần hồn với chu kì
3p .

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

5( 3 ) 5

: ( 3 ) ( ) cos ( ).sin x cos .sin x

x f x f x n x nx

n n

p p +

" + = Û + =

Thay x=0 ta được: sin15 0 15 k 15 kn

n n

p = Û p = p Û = . Tức là

n là ước của 15, do 
đó: nỴ ±

{

1; ±3; ±5; ±15

}

Đảo lại:" Ỵ ±n

{

1; ±3; ±5; ±15

}

thì: f x( ) cos (n x ).sin5(x 3 ) cos .sinnx 5x

n n

p +

= + =

Thật vậy, vì 3n và 15

n là các số nguyên lẻ nên :

cos ( ) cos( ) cos .

5( 3 ) 5 15 5

sin sin sin

n x nx n nx

x x x

n n n n

p p

+ = + =

-+ = ổ + ử=

-ỗ ữ

ố ứ

Do ú cỏc giỏ trị n cần tìm là nỴ ±

{

1; ±3; ±5; ±15

}

(y.c.b.t) 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài tập: Xác định chu kỳ của các hàm số: 
2

1) tan 3 2) 2cos 2 3) sin sin 2

6 3 2

1 1

4) sin sin 2 sin 3 5) 2 tan 3tan 6) cos 2cos

2 3 2 3

y x y x y x x

x x

y x x x y y x x

p p

ổ ử ổ ử

= ỗ + ữ = ỗ + ữ = +

ố ứ ố ø

</div>

Chuyên đề hàm số lượng giác-Phương trình lượng giác lớp 11 - ÔN THI TOÁN

<b>Chủ đề:</b>

<b> </b>

<b>HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC</b>

(

)

(

)

(

)

(

)

{

}

( )

( )

( )

( )

( )

( )

{ }

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

<sub>( )</sub>

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<b>SAI LẦM Ở ĐÂU? </b>

(

)

(

)

(

)