Chuyên đề Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông

c
b
a
B
A
C
c
b
a
h
B
A
C
H
Ngày soạn : / . / 2009
Ngày giảng:.. / .. / 2009
CH 1:
Hệ thức lợng trong tam giác vuông
I./ Mục tiêu:
* Giúp học sinh củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác vuông, các tỉ
số lợng giác.
* Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, t duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển
nâng cao
* Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động, t duy độc lập sáng tạo.
II/ Nội dung:
I. Kiến thức cơ bản:
1) Các hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
- Định lí 1: b
2
= a. c ; c
2

= a .c
- Định lí 2: h
2
= b .c
- Định lí 3: b.c = a.h `
- Định lí 4:
2
1
h
=
2
1
b
+
2
1
c
2) Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
b = a.SinB = a.CosC
c = a.SinC = a.CosB
b= c.TgB= c.CotgC
c = b.TgC = b.CotgB
- Nếu biết 1 góc nhọn

thì góc còn lại là 90
0
-

- Nếu biết 2 cạnh thì tìm 1 tỉ số LG của góc

Tìm góc đó bằng cách tra bảng
- Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuôn
- Từ hệ thức :
b = a.SinB = a . CosC

a =
SinB
b
=
CosC
b
c = a. SinC = a . CosB


a =
SinC
C
=
CosB
C
30 Ví dụ minh hoạ
Ví dụ1:
Cho

vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4 . Khi đó độ dài các cạnh huyền là
A. 4 B. 5 C. 6 D. một gía trị khác
Ví dụ2:
Với đề bài nh bài tập 1 và kẻ đờng cao ứng với cạnh huyền . Khi đó độ dài đờng cao là
A. 1,3 B. 2 C. 2,4 D. 1 giá trị khác
Ví dụ3: Cho

có các độ dài các cạnh nh sau.

nào là

vuông ?
A. ( 2,3,4) B. ( 6,9,10) C. ( 7,24,25) D. ( 3,5,6 )
Ví dụ4: Cho

ABC (
A

= 1v), AH

BC ; AB = 6, AC = 8
Tính AH = ? HB = ? HC = ?
1
H
B
A
C
25
16
B
A
C
H
3 4
B
A

C
H
Theo pi ta go :
∆
ABC (
A
ˆ
= 1v)
BC =
22
ACAB
+
=
22
86
+
=
100
= 10
- Tõ ®/lÝ 3: AH. BC = AB . AC

⇒
AH =
BC
ACAB.
=
10
8.6
= 4,8
Tõ ®/lÝ 1:

AB
2
= BC. HB

⇒
HB =
BC
AB
2
=
10
6
2
= 3,6
AC
2
= BC . HC

⇒
HC =
BC
AC
2
=
10
8
2
= 6,4
VÝ dô5:

∆
ABC(
A
ˆ
= 1v) ; AH
⊥
BC
GT AH = 16 ; HC = 25
KL AB = ? ; AC = ? ; BC = ? ; HB = ?
Híng DÉn

- Pi ta go
∆
AHC (
H
ˆ
= 1v)
AC =
22
HCAH
+
=
22
2516
+
=
881
= 29,68
Tõ ®/lÝ 1: AC
2

= BC.HC
BC =
HC
AC
2
=
25
)68,29(
2

≈
35,24
Pi ta go
∆
ABC (
A
ˆ
= 1v)
AB =
22
ACBC
−
=
22
68,2924,35
−

≈
18,99
Tõ ®/lÝ 2: AH

2
= HB.HC

⇒
HB =
HC
AH
2
=
25
16
2
= 10,24
VÝ dô6:
Cho
∆
ABC (
A
ˆ
= 1v) ; AB = 3 ; AC = 4
a) TÝnh tØ sè lîng gi¸c cña
C
ˆ
b) Tõ KQ ( a)
⇒
c¸c tØ sè lîng gi¸c cña gãc B
Híng DÉn
a. Theo Pi ta go
∆
ABC (

A
ˆ
= 1v)
BC =
22
ACAB
+
=
22
43
+
=
25
= 5
SinC =
BC
AB
=
5
3
; CosC =
BC
AC
=
5
4
; tgC =
AC
AB
= ;

4
3
CotgC =
AB
AC
=
3
4
Do
B
ˆ
vµ
C
ˆ
lµ hai gãc phô nhau
SinB = cosC =
5
4
; cosB = sinC =
4
3
gB = cotgC =
3
4
; cotgB = tgC =
4
3
2
6

C
A
B
C
D
A
B
H K
60
C
B
A
P
Ví dụ7: Cho

ABC (
A

= 1v) ; AB = 6 ;
B

=

tg

=
12
5
. Tính
a) AC = ?

b) BC = ?
a. tg

=
AB
AC
=
12
5


AC =
AC
AB.5
=
12
5.6
= 2,5 (cm)
b) Pi ta go

ABC (
A

= 1v)
BC =
22
ACAB
+
=
22

)5,2(6
+
=
25,42
= 6,5 (cm)
Bài tập về nhà : Đơn giản biểu thức
1). 1 Sin
2


= ?
2). (1 - cos

).(1+ cos

) = ?
3). 1+ sin
2


+ cos
2


= ?
4). sin

- sin

.cos

2


= ?
5). sin
4


+ cos
4


+ 2sin
2


.cos
2


= ?
6).Không dùng bảng số và máy tinh. Hãy so sánh các tỉ số LG theo thứ tự từ lớn đến
nhỏ: Cotg25
0
; tg32
0
; cotg18
0
; tg44
0

; cotg62
0

Gợi ý
a) sin
2


+ cos
2


= 1 thay vào và thu gọn Đs : cos
2


b) Dùng A
2
-B
2
và gợi ý phần a) Đs : = sin
2


c) Đs : = 2
d) đặt thừa số chung Đs : sin
3

e) HĐT : ( A+B )
2
Đs: = 1
Ví dụ8: Tính S hình thang cân . Biết hai cạnh đáy là 12cm và 18cm . góc ở đáy bằng 75
0

Hớng Dẫn
Kẻ AH ; BK

CD
Ta có : AB = KH = 12 (cm)

DH + KC = DC HK = 18 12 = 6
DH =
2
6
= 3 (cm)
AH = DH.tgD = 3 . 3,732 = 11,196
S
ABCD
=
2
).( AHDCAB
+
=
2
196,11).1812(
+
= 167,94 (cm)
Ví dụ9: Cho

ABC có góc A = 20
0
;
B

= 30
0
; AB = 60cm . Đờng cao kẻ từ C đến AB cắt
AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm
a) AP ? ; BP ?
b) CP ?
3
60
C
B
A
P
H
x
?
9
20
H
C
B
A
Híng DÉn
a) KÎ AH
⊥

BC ;
∆
AHB
⊥
t¹i H

⇒
AH = AB . SinB
= 60.Sin30
0
= 60.
2
1
= 30
∆
AHC (
H
ˆ
= 1v)
AH = AC. Cos40
0


⇒
AC =
0
40Cos
AH
=
7660,0

30
= 39,164
∆
APC cã (
P
ˆ
= 1v)
AP = AC.Cos 20
0

= 39,164 . 0,9397 = 36,802
PB = AB – AP
= 60 – 36,802 = 23, 198
b)
∆
APC (
P
ˆ
= 1v)
CP = AC. Sin20
0

= 39,164 . 0,342 = 13, 394
HỆ THỨC LƯỢNG
CÁC BÀI TOÁN HAY GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ
(Đề sưu tầm từ các vòng thi Olypic đầu tiên- lớp 9)
Bài 1:Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm.
Tính độ dài AH.
Lời giải sơ lược:
4

x
2x
8cm
60
°
H
C
B
A
10 cm
1cm
D
C
B
A
x
4 10
4
D
C
B
A
10cm
X
X
H
K
D
C
B

A
Đặt BH = x. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
ABC vuông ở A, có đường cao AH ta được:
AB
2
= BH. BC hay 20
2
= x(x + 9).
Thu gọn ta được phương trình : x
2
+ 9x – 400 = 0
Giải phương trình này ta được x
1
= 16; x
2
= –25 (loại)
Dùng định lý Pitago tính được AH = 12cm
Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh.
Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết qu
Bài 2: Cho tam giác ABC ,
µ
0
60B =
, BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB.
Lời giải sơ lược:
Kẻ AH
⊥
BC. Đặt AB = 2x. Từ đó tính được BH = x và
AH = x 3 ; HC = 8 – x
Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vuông tại H

Ta có: AC =
( )
( )
2
2
3 8x x+ − =
2
4 16 64x x− +
Do AB + AC = 12 nên 2x +
2
4 16 64x x− +
= 12
Giải PT trên ta được : x = 2,5
AB = 2.2,5 = 5cm
Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm .
Diện tích tam giác ABC = 10 3 cm.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác. Biết rằng AD = 1cm;
BD = 10 cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)
Bài giải sơ lược
Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm.
Đặt BC = x , dùng Pitago tính được AC =
2
9x −
.
Do AD = 1 nên DC =
2
9x −
– 1 x
Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên :

AB AD
BC DC
=
hay
2
3 1
9 1
x
x
=
− −
. Từ đó ta được phương trình 8x
2
– 6x – 90 = 0
Xử dụng máy tính tìm được x = 3,75cm
Trả lời : BC = 3,75cm
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A; BD là phân giác . Biết AD = 4cm;
BD = 4 10 cm . Tính diện tích tam giác ABC.
(Nhập kết quả dưới dạng phân số)
- Hướng dẫn: Giải giống như bài 3. Chú ý nhập kết quả
theo yêu cầu.
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường
cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao
của
hình thang cân đó.
Bài giải sơ lược:
Kẻ AH
⊥
CD ; BK
⊥

CD. Đặt AH = AB = x
⇒
HK = x
5
2x
12
15,6
//
//
K
H
C
B
A

∆
AHD =
∆
BKC (cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra : DH = CK =
10
2
x−
.
Vậy HC = HK + CK = x +
10
2
x−
=
10

2
x +
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH
Ta có : AH
2
= DH . CH hay
2
10 10
.
2 2
x x
x
− +
=

⇔
5x
2
= 100
Giải phương trình trên ta được x = 2 5 và x = – 2 5 (loại)
Vậy : AH = 2 5
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài
15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy
BC.
Bài giải sơ lược:
Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x
Áp dụng định lí Pitago tính được AC =
2 2
15,6 x+
Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được:

BC KB
AC AH
=
hay
2 2
2 12
15,6
15,6
x
x
=
+
Đưa về phương trình 15,6
2
+ x
2
= 6,76x
2
Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5
Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm)
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức :
A = cos
2
1
0
+ cos
2
2
0

+ cos
2
3
0
+ . . . . + cos
2
87
0
+ cos
2
88
0
+ cos
2
89
0
–
1
2
Hướng dẫn:
α
+
β
= 90
0

⇒
sin
α
= cos

β
; cos
α
= sin
β
; ..... và cos45
0
=
2
2
ta được:
A = cos
2
1
0
+ cos
2
2
0
+ cos
2
3
0
+ . . . . + cos
2
87
0
+ cos
2
88

0
+ cos
2
89
0
–
1
2
= (cos
2
1
0
+ cos
2
89
0
) + (cos
2
2
0
+ cos
2
88
0
) + ....+(cos
2
44
0
+ cos
2

46
0
)+cos
2
45
0
–
1
2

= (cos
2
1
0
+ sin
2
1
0
) + (cos
2
2
0
+ sin
2
2
0
) + .... + (cos
2
44
0

+ sin
2
44
0
) +
2
2
2
 
 ÷
 ÷
 
–
1
2

= 1.44 = 44
Bài tập tương tự: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) B = sin
2
1
0
+ sin
2
2
0
+ sin
2
3
0

+ . . . . + sin
2
87
0
+ sin
2
88
0
+ sin
2
89
0
–
1
2
.
b) C = tg
2
1
0
. tg
2
2
0
. tg
2
3
0
. . . . tg
2

87
0
. tg
2
88
0
. tg
2
89
0
.
c) D = (tg
2
1
0
: cotg
2
89
0
) + (tg
2
2
0
: cotg
2
88
0
) + . . . . + (tg
2
44

0
: cotg
2
46
0
) + tg
2

45
0
.
Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 108cm
2
. Biết AB – BC = 3cm. Tính chu
vi
của hình chữ nhật ABCD ?
6
y
x
108 cm
2
108cm
2
D
C
BA
=
=
//
//

F
E
D
C
B
A
b
c
a
//
//
2
1
1
M
D
I
C
B
A
Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) và BC = y(cm) với x >y. Tính x và y rồi suy
ra chu vi của hình chữ nhật bằng 2(x + y)
Cách 1: Ta có S
ABCD
= x.y hay x.y = 108
Từ x – y = 3 . Suy ra (x – y)
2
= 9 hay (x + y)
2
– 4xy = 9 (1)

Thay xy = 108 vào (1) ta được (x + y)
2
= 441
⇒
x + y = 21
Kết hợp với giả thiết x – y = 3 ta được kết quả x = 12 và y = 9
Vậy chu vi của hình chữ nhật là 2(12 + 9) = 42 cm
Cách 2: Từ x – y = 3
⇒
y = x – 3 thay vào đẳng thức x. y = 108 ta được phương
trình:
x (x – 3) = 108
⇔
x
2
– 3x – 108 = 0 (1)

⇔
x
2
– 12x + 9x – 108 = 0

⇔
( x – 12)(x + 9) = 0
Nghiệm dương của phương trình x = 9. Từ đó tìm y và trả lời kết quả.
Lưu ý: Giải phương trình (1) trên máy tính để đưa ra kết quả nhanh hơn.
Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích 504 dm
2
.
Biết AB – AC = 47dm.

Tính độ dài AB và AC.
Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 và x.y = 1008 . Từ đó ta được phương
trình:
x
2
– 47x – 1008 = 0. Nghiệm dương trên máy tính x = 63
Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3 5 cm. Hình vuông ADEF cạnh bằng 2
cm có
D
∈
AB , E
∈
BC , F
∈
AC. Biết AB > AC và
4
9
ADEF ABC
S S=
. Tính AB ; AC.
Hướng dẫn: Đặt AB = x , AC = y( x > y > 0). Ta có x
2
+ y
2
=
( )
2
3 5
= 45. (1)

Hình vuông ADEF có cạnh bằng 2 nên
4
ADEF
S =
Mà
4
9
ADEF ABC
S S=
nên S
ABC
= 9.Do đó: x.y = 18 hay 2xy =36(2)
Từ (1) và (2) suy ra: (x + y)
2
= 81 và (x – y)
2
= 9
Do x > y > 0 nên x + y = 9 và x – y = 3
Vậy x = 6 và y = 3. Trả lời: AB = 6 (cm) và AC = 3 (cm)
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân
giác ,
M là trung điểm BC. Cho biết
·
0
90BIM =
.
Tính BC : AC : AB ?
Hướng dẫn: Chú ý
·
0

90BIM =
; I là giao điểm các đường phân giác
ta tính được
·
0
45DIC =
, từ đó chứng minh được BC = 2CD
và AB = 2AD. Xử dụng tính chất đường phân giác BD
kết hợp với định lý pitago ta tìm được mối quan hệ giữa
ba cạnh tam giác.
Lời giải:
Đặt BC = a ; AC = b ; AB =c ; D = BI
I
AC .
7
A
/
/
//
//
6
9
N
M
C
B
//
//
10
13

K
H
CB
A

µ
µ
µ
2 1 1
I B C= +
(góc ngoài tam giác BIC)
=
·
·
( )
1
2
ABC ACB+
=
0 0
1
.90 45
2
=
(do BI và CI là phân giác của các góc B và C và
∆
ABC
vuông ở A); kết hợp với giả thiết
·
0

90BIM =
ta được
µ
0
1
45I =
. Vậy
∆
CIM =
∆
CID (g.c.g)
Do đó : CM = CD mà BC = 2CM nên BC = 2CD hay a = 2CD. (1)
BD là phân giác của tam giác ABC nên
AB AD
BC DC
=
hay
AB BC
AD CD
=
= 2.
Vậy AB = 2AD hay c = 2AD. (2)
Từ (1) và (2) ta được a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3)
Mà a
2
– c
2
= b
2
hay (a – c)(a + c) = b

2
kết hợp với a + c = 2b ta được a

– c =
2
b
(4)
Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được 2a =
5
2
b
. Vậy a =
5
4
b
. Do đó c =
3
4
b
.
Vậy a : b : c =
5 3
: :
4 4
b b
b
=
5 3
:1:
4 4

= (
5
.4
4
): (1.4) : (
3
4
.4) = 5 : 4 : 3
Trả lời: BC : AC : AB = 5 : 4 : 3
Lưu ý: Bài toán này được trích từ Quyển “Nâng cao và phát triển Toán 9- Vũ Hữu Bình” có sửa
đổi để phù hợp với đề thi trắc nghiệm.
Bài 11: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và
BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm.
Hướng dẫn:
Đặt AB = x ; AN = y
⇒
AC = 2y.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được
BC = 2AM = 2.6 = 12 cm
Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A
Ta được: x
2
+ 4y
2
= 144 (1) và x
2
+ y
2
= 81
⇔

y
2
= 81 – x
2
(2)
Thay (2) vào (1) ta được phương trình :
x
2
+ 4( 81 – x
2
) = 144
Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x
2
= 180
Nghiệm dương của phương trình : x =
2 5
Trả lời: AB =
2 5
cm
Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm ; BC = 10cm . Tính cos A .
Hướng dẫn: Kẻ các đường cao AH và BK . Từ tính chất của tam giác cân
và định lí Pi ta go ta tính được CH = 5cm ; AH = 12 cm
Xử dụng cặp tam giác đồng dạng KCB và HCA ta tính được
CK =
50
13

⇒
AK =
119

13
Vậy cos A =
AK
AB
=
119
13
: 13 =
119
169
Trả lời: cos A =
119
169

CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN NÂNG CAO HÌNH 9
CHỦ ĐỀ : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
• Hệ thức lượng trong tam giác vuông
A- Nhắc lại lí thuyết :
8
Cho tam giác ABC có Â = 90
0
, gọi AB = c , AC = b , BC = a . Ta có một số công thức như sau:
c
b
c'
h
b'
b
2
= ab'

c
2
= ac'

bc = ah
h
2
= b'c'

1
h
2
=
1
b
2
+
1
c
2
H
B
C
A
B- Một số bài tập áp dụng:
BT1 : ( SBT Toán 9 Tập 1 )Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là
1 cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hãy tính các cạnh góc của tam
giác này?
HD:
b a

c
c-1=a;a+b-c=4; a
2
+b
2
=c
2
Suy ra b =5 ; Thay a = c-1 & b =5
→
(c-1)
2
+5
2
=c
2
A
B
C
Từ đó có c = 13cm và a = 12 cm
BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30 cm và
chu vi tam giác ACH là 40 cm. Tính chu vi tam giác ABC
HD: Gọi chu vi
, ,AHB CHA CAB∆ ∆ ∆
lần lượt là p
1
,p
2
, p
3
AHB

∼
CHA
→

p
1
p
2
=
AB
AC
=
3
4
=.....=
BC
5
Suy ra
AB
3
=
AC
4
=
BC
5
& AHB
∼
CHA
∼

CAB
H
B
C
A
Từ đó tính được chu vi
ABC∆
bằng 50 cm.
BT 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có dường phân giác trong AF. Biết BD = 3cm, DC = 4
cm. Tính các cạnh của tam giác ABC ?
HD: Theo tính chất của đường phân giác trong thì
2 2 2
3 49
4 3 4 9 16 25 25
AB DB AB AC AB AC BC
suyra
AC DC
= = = = = = =
. Từ đó tính được AB, BC, AC .
Đáp số AB = 4,2cm; AC = 5,6 cm; BC = 7 cm
BT 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E . Chứng minh:
CD
2
+ BE
2
= CB
2
+ DE
2
.

HD: Áp dụng Pytago cho các tam giác ADC, ABE
9