Hướng dẫn giải các bài toán về phương trình lượng giác lớp 11 phần 6 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (366 KB, 41 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PH

ƯƠ

NG TRÌNH L

ƯỢ

NG GIÁC TH

ƯỜ

NG G P

Ặ

VẤN ĐỀ 3.1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ ( BẬC N) THEO MỘT

HSLG

A.

KI N TH C C B N

Ế

Ứ

Ơ Ả

Một số dạng cơ bản phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
2

.sin .sin 0,( 0)

a x b x c  a

.cos .cos 0,( 0)

a x b x c  a .

.tan .tan 0,( 0)

a x b x c  a

.cot .cot 0,( 0)

a x b x c  a

B.

PH

ƯƠ

NG PHÁP GI I TOÁN

Ả

 Bước 1 : Sử dụng các cơng thức lượng giác, có thể biến đổi phương trình lượng giác về dạng :

2 0 (1)

at   bt c hay at3bt2  ct d 0 (2)

trong đó t là một ẩn số phụ lượng giác.
Các ẩn số phụ thường gặp là :

 Đặt tsin , cos , cos 2 ,x x x với điều kiện 1  t 1
 Đặt t sin , cos ,2 x 2 x với điều kiện 0 t 1
 Đặt t tan , cotx x với điều kiện t   .

 Bước 2: Giải (1) hay (2) để tìm nghiệm t thỏa điều kiện. Suy ra nghiệm x .

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1) 2cos2x3.cosx 1 0 2) sin2x3sinx 2 0





tan x 3 1 tan x 3 0

4) cot2x4cotx 3 0

Lời giải

1) 2 cos2x3.cosx 1 0 (*)
Đặt t cos , 1x   t 1

(*)2t2  3 1 0t

1 ( )
1

( )
2

t N






 


3

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

 Với t  1 cosx  1 x k2 ,



k



 Với

1
2

t

1 3

cos cos cos ,( )

2 3

2
3

x k

x x k

x k

 



 

  



     

   




Vậy nghiệm của phương trình: x k 2;x 3 k2

 

 

;x 3 k2

 

  



k



2) sin2x3sinx 2 0 ( *)
Đặt tsin , 1x   t 1

(*)    t2 3t 2 0

1 ( )
2 ( )

t N

t L

 

   

 Với t 1 sinx 1 x 2 k2 ,



k



 

          

Vậy nghiệm phương trình : x 2 k2 ,



k



 

    

3)





tan x 3 1 tan x 3 0
(*)

Đặt t tanx . (*)





2 3 1 3 0 1

3
t

t t

t



      

 


 Với t 1 tanx 1 x 4 k ,



k



 

       

 Với t 3 tanx 3 x 3 k ,



k



 

          

Vậy nghiệm phương trình : x 4 k

 

 

; x 3 k ,



k



 

    
4) cot2 x4cotx 3 0 (*)

Đặt tcotx

(*)

2 4 3 0 1

t

t t

t

 


       



 Với t 1 cotx 1 x 4 k ,



k



 

          

 Với t  3 cotx   3 x arccot( 3) k ,  



k 



Vậy nghiệm phương trình : x 4 k

 

  

; x arc cot( 3) k ,  



k



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1) cos 2x3sinx  2 0 2) sin2x- cosx 1 0
3) 2

cot 3

sin x  x 4)

tan cot

x x

Lời giải

1) cos 2x3sinx 2 0

2 2

1 2sin x 3sinx 2 0 2sin x 3sinx 1 0

         (*)

Đặt tsin , 1x   t 1 .

(*)
2

1 ( )

2 3 1 0 1

( )
2

t N

t t

t N

 



    

  


 Với t 1 sinx 1 x 2 k2 ,



k



 

          

 Với

1 sin 1 sin sin 6 ,( )

2 2 6

x k

t x x k

x k

 



 

   


 

         

    





Vậy nghiệm của phương trình: x 2 k2

 

  

; x 6 k2

 

  

;

7
2
6

x  k 

, (k)

2) sin2x- cosx 1 0

2 2

1 cos x cosx 1 0 cos x cosx 2 0

         (*)

Đặt t cos , 1x   t 1

(*)

2 2 0 1 ( )

2 ( )

t N

t t

t L



       



 Với t  1 cosx  1 x k2 ,



k



Vậy nghiệm của phương trình: x k 2 ,



k 



3) 2
1

cot 3
sin x  x . (1)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

(1) 1 cot2xcotx 3 cot2xcotx 2 0 (*)

Đặt t cotx

(*)        t2 t 2 0 t 1 t 2

 Với t 1 cotx 1 x 4 k ,



k



 

         

 Với t 2 cotx  2 x arccot 2k,



k



Vậy nghiệm của phương trình: x 4 k

 

  

; x arc cot 2k,



k



4)

3
tan cot

x x

(1)

Điều kiện :

sin 0

sin 2 0

cos 0 2

x

x x k

x






   

 



(1)

1 3

tan 2 tan 3tan 2 0

tan 2

x x x

x

      

(*)

Đặt ttanx

(*)

2 1

2 3 2 0 2

t t t t

        

 Với t 2 tanx  2 x arctan 2 k , 



k



 Với





1 1 1

tan arctan ,

2 2 2

t   x   x  k k

  

Vậy nghiệm của phương trình: xarctan 2 k ;





arctan ,

x  k k

  

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

1) cos3x3cos2 x2cosx0 2) 23sinxsin 3x24

3) 2 cos 3 .cosx x4sin 22 x 1 0 4)

6 6 15 1

sin cos cos 2

8 2

x x x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1) cos3x3cos2x2cosx0 (*)
Đặt t cos , 1x   t 1

(*)

3 2

0 ( )

3 2 0 1 ( )

2 (L)

t N

t t t t N

t




     

  


 Với t 0 cosx 0 x 2 k ,



k



 

       

 Với t  1 cosx    1 x  k2 ,



k 



Vậy nghiệm của phương trình: x 2 k

 

 

; x  k2 ,



k



2) 23sinxsin 3x24

3 3

23sinx (3sinx 4sin ) 24x 4sin x 20sinx 24 0

        (*)

Đặt t cos , 1x   t 1

(*)4t320t24 0  t 1 ( )N

 Với t 1 sinx 1 x 2 k2 ,



k



 

      

Vậy nghiệm của phương trình: x 2 k2 ,



k



 

  

3) 2cos 3 .cosx x4sin 22 x 1 0

cos 4x cos 2x 2(1 cos 2 ) 1 0x 2cos 2x 3cos 2x 2 0

          (*)

Đặt tcos 2 , 1x   t 1

(*)
2

1
( )

2 3 2 0 2

2 ( )

t N

t t

t L

 


    


 


 Với





1 1

cos 2 cos 2 x cos ,

2 2 3 6

t  x       x  k k 

Vậy nghiệm của phương trình: x 6 k ,



k



 

   

4)

6 6 15 1

sin cos cos 2

8 2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

4 4 2 2 2

9cos x 2sin x 8sin .cosx x 23cos x 7

     (*)

Đặt tcos , 02 x   . Thay t 1 sin2x 1 t
(*)9t22(1 )t 28(1t t) 23t 7

3
( )

3 19 9 0 4

4 ( )

t N

t t

t L

 


    





 Với





cos 2

3 2 6 ,

4 3 5

cos 2

2 6

x x k

t k

x x k

 



    




  



     






Vậy nghiệm của phương trình: x 6 k2

 

  

;

5
2
6

x   k 



k



C.

BÀI T P T LU N

Ậ

Ự

Ậ

Câu 1. Giải phương trình:





4cos x2 1 3 cosx 3 0

Lời giải





4cos x2 1 3 cosx 3 0
(*)

Đặt tcos , 1x   t 1

(*)
2

1
( )
2
4 2(1 3) 3 0

3
( )
2

t N

t t

t N

 



     

 


 Với





1 1

cos 2 ,

2 2 3

t  x    x  k  k

 Với





3 3

cos k 2 ,

2 2 6

t  x    x   k 

Vậy nghiệm của phương trình: x 3 k2

 

  

; x 6 k 2 ,



k



 

    

Câu 2. Giải phương trình:5cos 2sin2 7 0

x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Lời giải
5cos 2sin 7 0

2
x

x   5(1 2sin2 ) 2sin 7 0 10sin2 2sin 12 0

2 2 2 2

x x x x

        

(*)

Đặt sin ,2 1

x

t t 

(*)

1 ( )

10 2 12 0 6

( )
5

t N

t t

t L





    

  


 Với 1 sin2 1 4 ,





x

t     x  k  k

Vậy nghiệm của phương trình: x  k4 ,



k



Câu 3. Giải phương trình:

cos 2 3cos 2 0

3 3

x  x 

      

   

   

Lời giải
2

cos 2 3cos 2 0

3 3

x  x 

      

   

   

2 2

2cos 1 3cos 2 0 2 cos 3cos 1 0

3 3 3 3

x  x  x  x 

       

                

        (*)

Đặt

cos , 1

t x t 

 

(*)

1 ( )

( )
2

t N

 




  


 Với





1 cos 1 2 2 ,

3 3 3

t   x     x   k   x  k  k

  

 Với

1
1 cos

3 2

t   x  

 





2
2

2 3 3

cos cos 3 ,

3 3 2

3 3

x k

   



 

    

    

  

  

      

          





Vậy nghiệm của phương trình:

2
2
3

x  k 

; x 3 k2

 

 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu 4. Giải phương trình:
2

cos 4cos 4

3 x 6 x

 

     

   

   

Lời giải

Nhận xét :

cos sin

3 x 6 x 2 6 x 3 x

    

            

       

       

Do đó :

cos 4cos 4

3 x 6 x

 

     

   

   

1 sin 4sin 4

3 x 3 x

 

   

       

    (*)

Đặt

sin , 1

t  x t 

 

(*)

2 4 3 0 1 ( )

3 ( )

t N

t t

t L



      



 Với t 1 sin 3 x 1 3 x 2 k2 x 6 k2 ,



k



     

 

            

  

Vậy nghiệm của phương trình: x 6 k2 ,



k



 

  

Câu 5. Giải phương trình: cos 4x12sin .cosx x  5 0

Lời giải

cos 4x12sin .cosx x 5 0  1 2sin 22 x6sin 2x  5 0 sin 22 x3sin 2x 2 0
(*)

Đặt t sin 2 ,x t 1

(*)

2 3 2 0 1 ( )

2 ( )

t N

t t

t L



      

 Với t 1 sin 2x 1 2x 2 k2 x 4 k ,



k



   

         

Vậy nghiệm của phương trình: x 4 k ,



k



 

  

Câu 6. Giải phương trình: 2

2 3 cot 6 0
sin x x 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Điều kiện sinx  0 x k k, 
2

2 3 cot 6 0

sin x x  3 1 cot



 2x



2 3 cotx  6 0 3cot2x2 3 cotx 3 0 (*)

Đặt t cotx

(*)
2

3 2 3 3 0 3

t

t t

t

 


     

 


 Với t 3 cotx 3 x 6 k ,



k



 

      

 Với





3 cot ,

3 3

t  x     x  k k

Vậy nghiệm của phương trình: x 6 k

 

 

; x 3 k ,



k



 

   

Câu 7. Giải phương trình:4cos 62



x 2



16cos (1 3 ) 132  x 

Lời giải

Đặt u3x 1





2 2

4cos 6x 2 16cos (1 3 ) 13 x  4cos 22 u16cos (2  u) 134cos 22 u16cos2u13

2 1 cos 2 2

4.cos 2 16. 13 4.cos 2 8cos 2 5 0

u

u  u u

      

1
cos 2 ( )

2
5
cos 2 ( )

u N

u L

 


 

  



 Với

1 6

cos 2 cos 2 cos

2 3

u k

u u

u k

 



 

  


    

   






3 1 .

6 3 18 3 ,

3 1 .

6 3 18 3

x k x k

k

x k x k

   

       

 

  

        

 

 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Vậy nghiệm của phương trình:
1

3 18 3

x  k 

;
1

. ,

3 18 3

x  k  k

Câu 8. Giải phương trình:

2
cos 2 3cos 4 cos

x

x x

Lời giải





2 2 1 cos

cos 2 3cos 4cos 2cos 1 3cos 4.

2 2

x x

x x  x  x 

cos ( )

2cos 5cos 3 0 2

cos 3 ( )

x N

x x

x L

  



    





 Với

1 2 2

cos cos cos 2 ,( )

2 3 3

x   x    x  k  k

Vậy nghiệm của phương trình:

2 ,( )
3

x   k  k

Câu 9. Giải phương trình:

sin 2 6sin cos 2 0

3 6 6

x  x  x 

         

     

     

Lời giải

2 2

sin 2 6sin cos 2 0 sin 2 3sin 2 2 0

3 6 6 3 3

x  x  x  x  x 

                 

         

         





sin 2 1 ( )

2 2 ,

3 2 12

sin 2 2 ( )

x N

x k x k k

x L



    


   

 

  



        

  

 

  




Vậy nghiệm của phương trình: x 12 k ,



k



 

  

Câu 10. Giải phương trình: cos5 .cosx xcos 4 .cos 2x x3cos2 x1

Lời giải

cos5 .cosx xcos 4 .cos 2x x3cos x1









2 2

1 1

cos 4 cos 6 cos 2 cos 6 3cos 1 cos 4 cos 2 6cos 2

2 x x 2 x x x x x x

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2 2

2cos 2x 1 cos 2x 3(1 cos 2 ) 2x 2cos 2x 4cos 2x 6 0

         

cos 2 1 ( )
cos 2 3 ( )

x N
x L
 

  



 Với cos 2x 1 2x k2 x 2 k ,



k





  

        

Vậy nghiệm của phương trình: x 2 k ,



k



 

  

D.

BÀI T P TR C NGHI M

Ậ

Ắ

Ệ

Câu 1.

Nghiệm của phương trình 2 sin2x- 3 sinx 1 0 là :

A. x 2 k

  
;
6
5
6
x k
x k
   




   

 B. x 2 k2


  
;
2
6 3
5 2
6 3
x k
x k
   



   

C. 
5
2 2

x  k 

;
1
6 2

5 1
6 2
x k
x k
   



   

 D. x 2 k2;

2
6
5
2
6
x k
x k
   



   

Lời giải:
Chọn D.

Đặt tsin , x t [ 1; 1], ta có phương trình :

2 1

2 3 1 0 1;

2
t     t 

* t 1 sinx 1 x 2 k2


      

1 1 6

sin sin

2 2 6

2
6

x k
t x
x k
   


     

   
 .

Câu 2.

Nghiệm của phương trình: 2 cos 2x3 sinx  là :1 0

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

C. 
2
2 3
1 2
arcsin( )
4 3
1 2
arcsin( )
4 3
x k
x k
x k
   


    



      
 D. 
2
2
1
arcsin( ) 2

4
1
arcsin( ) 2

4
x k
x k
x k
   


    


      

Lời giải:
Chọn D

Phương trình  4 sin2x3 sinx 1 0

2
sin 1

1
arcsin( ) 2
1

4
sin

4 1

arcsin( ) 2
4
x k
x
x k
x
x k
   


 


     
 
 

      

 .

Câu 3.

Nghiệm của phương trình: 3 cos 4xsin 22 xcos 2x 2 0 là

A. 
2
6
arccos
7
x k
x k
 
  


    
 B. 
2
2
6
arccos 2
7
x k
x k
 
  


    


C. 
3
6
arccos 2
7
x k
x k
 
  


    
 D. 
2
6
arccos 2
7
x k
x k
 
  


    

Lời giải:
Chọn D

Phương trình đã cho tương đương với

2 2

3(2 cos 2x  1) (1 cos 2 ) cos 2x  x 1 0

cos 2 1
7 cos 2 cos 2 6 0 6

cos 2
7
x
x x
x
  

    


2
6
arccos 2
7
x k
x k
   

 
    


Câu 4.

Giải phương trình : 4 cos .cos 2x x  1 0

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

C.

    




 

    



2
3

1 7

arccos 2

x k

D.

    




 

    



2
3

1 6

arccos 2

x k

Lời giải:

Chọn B

Phương trình 4 cos (2 cosx 2x  1) 1 0

3 2

8 cos x 4 cosx 1 0 (2 cosx 1)(4 cos x 2 cosx 1) 0

        

1 cos

cos 2

1 5
4 cos 2 cos 1 0 cos

8
x

x

x x x



  



 

 

 


  

 

 

2
3

1 5

arccos 2

x k

    






 

    

 .

Câu 5.

Họ nghiệm của phương trình : 16(sin8xcos8x) 17 cos 2 2 x là:

A.

8 4

x  k 

B.

8 4

x  k 

C.

8 4

x  k 

D. x 8 k4

 

 

Lời giải:

Chọn D

Ta có sin8xcos8x(sin4xcos4x)22 sin4xcos4x

2 4

1 1

1 sin 2 sin 2

2 x 8 x

 

   

  .

Nên đặt tsin 2 , 02 x   ta được phương trình:t 1
2

2 2

1 1

16 1 2 17(1 ) 2 1 0

2t t t 2

           

 

 

2 1 2

sin 2 1 2 sin 2 0 cos 4 0

2 8 4

x x x x  k

         

Câu 6.

Nghiệm của phương trình : cos4xcos 2x2 sin6x0

A. x k 2 B.

1
2

xk 

C.

2
3

xk 

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Lời giải:

Chọn D

Đặt tcos 2x   1 t 1

4 1 2 6 1 3

cos (1 ) ; sin (1 )

4 8

x t x t

    

Nên phương trình đã cho trở thành:

2 3 3 2

1 1

(1 ) (1 ) 0 4 5 2 0 1; 2

4 t  t 4  t  t      

1 cos 2 1

t  x    .x k

Câu 7.

Giải phương trình : cos2xcosx 1 0

A.

2
2 ,

2 3

x  k   x  k

, 2

2 3

x    k x k 

C.

2 7

3 ,

2 3 2

x  k   x k 

, 2

2 3

x     k x k 
Lời giải:

Chọn D

Phương trình

2 2

2 cos cos 0 , 2

2 3

x x x  k x  k

          

Câu 8.

Nghiệm của phương trình:

cos 2 3 cos 4 cos
2
x

x x

A.

2
3

x   k

B.

2 2

3 3

x  k 

C. x 3 k2

   

2
2
3

x  k 

Lời giải:

Chọn D

Phương trình2 cos2x 1 3 cosx2(1 cos ) x

2 1 2

2 cos 5 cos 3 0 cos 2

2 3

x x x x  k

           

Câu 9.

Giải phương trình: 6sin x 2sin 2x 2  2  5

A.

4 3

x  k 

B. x 4 k3

 

 

C. x 4 k4

 

 

D. x 4 k2

 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Lời giải:

Chọn D

Phương trình 3(1 cos 2 ) 2(1 cos 2 ) x   2 x 5

2 cos 2 3 cos 2 0

4 2

x x x  k

     

Câu 10.

Nghiệm của phương trình: 2 sin4x2 cos4x2 sin 2x1 là

A. x 4 k2

  

B.

2
4 3

x  k 

C.

4 2

x  k 

D. x 4 k

  

Lời giải:

Chọn D

Phương trình

1 1

1 sin 2 sin 2

2 x x 2

   

sin 2 2 sin 2 3 0 sin 2 1

x x x x  k

         

Câu 11.

Nghiệm của phương trình: 2

9 13 cos 0

1 tan
x

x

  

 là

A. x k 2 B. x k  C.

1
2

xk 

D.

2
3

xk 

Lời giải:

Chọn A

Phương trình 2

cos 0

cos 1
4 cos 13 cos 9 0

x

x x

 



  

  

  x k2

Câu 12.

Giải phương trình:





4 4

5 1 cos x  2 sin xcos x

A. x 3 k

   

B.

2
3 3
x   k 

C.

3 4

x   k 

D. x 3 k2

   

Lời giải:

Chọn D

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2 1

2 cos 5 cos 2 0 cos 2

2 3

x x x x  k

          

Câu 13.

Nghiệm của phương trình:

5 7

sin 2 3cos 1 2sin

2 2

x  x  x

      

   

    là :

A.





2
2 ;
6
5
6
x k

x k k

x k

 

 
    

 
  




B.





1
2
;
6
5
2
6
x k

x k k

x k
  



    

 
   


C.





2 ;

6
5
2
6
x k

x k k

x k

 

 
    

 
  



D.





2
2 ;
6
5
2
6
x k

x k k

x k

 

 
    

 
  



Lời giải:
Chọn C

Phương trình cos 2x3sinx 1 2 sinx 1 2 sin2x3sinx 1 2 sinx0





sin 0

2 sin sin 0 1 2 ;

6
sin
2 5

2
6
x k
x

x x x k k

x
x k

 

   
 
         


  
  




Câu 14.

Giải phương trình: 7 cosx4 cos3x4 sin 2x

A. 
2
2
5
,

6 6
x k

x k x k

 
  


 
      
 B. 
1
2 4
5

2 , 2

6 6

x k

x k x k

 
  


 
      


C. 
1
2 2
5
, 2
6 6
x k

x k x k

 
  


 
      
 D. 
2
5

2 , 2

6 6

x k

x k x k

 

  


 
      

Lời giải:
Chọn D

Phương trình





cosx 4 cos x 8 sinx 7 0

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>





2
cos 4 sin 8 sin 3 0

2 , 2

6 6

x k

x x x

x k x k

   


     

 

      



Câu 15.

Giải phương trình:cos 4xcos 32 x

A. B.

C. D.

Lời giải:

Chọn D

Phương trình 2 cos 4x 1 cos 6x

2 3

2(2cos 2x 1) 1 4cos 2x 3cos 2x

    

3 2

cos 2 1

4cos 2 4cos 2 3cos 2 3 0 3 5

;
cos 2

12 12

x x k

x x x

x k x k

x



   



  

 

      

      

 

 



Câu 16. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : sin 3xcos 2x2sin .cos 2x x thuộc khoảng
nào dưới đây?

0;
6



 
 

  B. 6 4;

 

 

 

  C. 4 3;

 

 

 

  D.

2
;
3 3

 

 

 

 

Lời giải:

Chọn D

Phương trình

sin 1 ( )

2sin sin 1 0 1

sin ( )

x N

x x

x N





    

  



2
2

2
6

x k

 

  





   


  


Nghiệm dương nhỏ nhất là 2



Câu 17. Cho phương trình :3cos 4x2 cos 32 x1 . Trên đoạn



0;



,tổng các nghiệm của phương
2

5
,

12 12

x k

x k x k

  

  

        

 12 12 , 512 12

x k

x k x k

  

  

        


5

3 , 3

12 12

x k

x k x k

  

  

        

 12 , 512

x k

x k x k

  

  

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

trình là :

A.0 B.  C. 2 D. 3

Lời giải:

Chọn C

Phương trình 3cos 4x 1 6 cos 6x 1 3(2cos 22 x  1) 2 (4cos 23 x3cos 2 ) 0x 

3 2

cos 2 1 ( )
1 21

4cos 2 6 cos 2 3cos 2 5 0 cos 2 ( )

4
1 21

cos 2 ( )

x N

x x x x N

x L



 






      





 



1 1 21

; , (cos )

2 4

x k x  k  

     

Vì

1 21

( 1;0)
4

  

, nên ta chọn

; ;

2 2 4 2

  

   

   

Trong đoạn



0,



, ta có các nghiệm

1 1

0, , ,

2 2

    

Tổng các nghiệm là 2

VẤN ĐỀ 3.2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ

COSX

A.

KI N TH C C B N

Ế

Ứ

Ơ Ả

Là phương trình có dạng: a .sinx b .cosx c (1) ; với , ,a b c  và a2b2  .0
Hoặc a .sinx b .cosx c ; a.cosx b .sinx c

B.

PH

ƯƠ

NG PHÁP GI I TOÁN

Ả

Cách 1:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

* Chia hai vế phương trình (1) cho a2b2 , ta được

2 2 sin 2 2 cos 2 2

a a c

x x

a b  a b  a b (*)

* Đặt 2 2

cos
a

a b   ; 2 2 sin

b

a b   với 



0, 2



(*) 2 2

sin .cosx cos .sinx c

a b

 

  







2 2

sin x c

a b



  

 : Phương trình lượng giác cơ bản.

Hoặc đặt 2 2

sin
a

a b   ; 2 2 cos

b

a b   với 



0, 2



Thì (*) 2 2

sin .sinx cos .cosx c

a b

 

  

 cos





2 2

c
x

a b



  


Cách 2: ( Thường dùng để biện luận)

* Đặt tan2

x

t

; thay

2 2

1 2

cos ;sin

1 1

t t

x x

t t



 

  .

Ta được phương trình bậc hai theo t

* Giải phương trình tìm t . Suy ra nghiệm x

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1) 3 sinxcosx 1 2) 3 sinxcosx 2

6
sin cos

x x

4) 5sin 2x12cos 2x13

Lời giải

1) 3 sinxcosx (1)1

Chia 2 vế phương trình (1) cho 2, ta được:

3 1 1

sin cos cos sin sin cos sin

2 x 2 x 2 6 x 6 x 6

  

    

2
2

6 6

sin sin 2 , k

6 6 2

2 3

6 6

x k

x k

x

x k

   

 



    

     



  

      

  

      




</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Vậy nghiệm phương trình : x k 2;

2
3

x  k 



k



2) 3 sinxcosx 2 (1)

Chia 2 vế phương trình (1) cho 2, ta được:

3 1 2

sin cos cos sin sin cos sin

2 x 2 x 2 6 x 6 x 4

  

    

2 2

6 4 12

sin sin , k

6 4

2 2

6 4 12

x k x k

x

x k x k

    

 

     

      

 

 

      

         

 





Vậy nghiệm phương trình :

5
2
12

x  k 

;

11
2
12

x  k 



k



3)

6
sin cos

x x

(1)

Cách 1: Chia 2 vế phương trình (1) cho 2 , ta được:

1 1 3

sin .cos cos sin sin cos sin

2 4 4 6

2 x 2 x x x

  

    

2 2

4 3 12

sin sin ,( )

4 3

2 2

4 3 12

x k x k

x k

x k x k

    

 

     

      

 

 

      

        

 





Vậy nghiệm phương trình : x 12 k2

 

 

5
2
12

x  k 

, (k)

Cách 2:

Nhận xét:

sin cos 2 sin
4

x x x 

 . Thay vào phương trình (1).

4) 5sin 2x12cos 2x13 (1)

Chia 2 vế phương trình (1) cho 13 , ta được:

5 12

sin 2 cos 1
13 x13 x (*)

Đặt

5 12

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

(*)cos .sin 2 xsin .cos 2 x 1 sin 2



x



1





2 2 ,

2 2 4

x   k  x   k k

         

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:





sin 2 3 sin 2 2

2 x x

 

    

 

 

2) 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin 33 x

3 sin 7 cos 7 2sin 5
6

x x  x 

 

Lời giải

1)





sin 2 3 sin 2 2

2 x x

 

    

 

 

cos 2 3 sin 2 2 sin cos 2 cos .sin 2 1

6 6

x x  x  x

     





sin 2 1 2 2 ,

6 6 2 6

x  x   k  x  k k

 

           

  

Vậy nghiệm phương trình : x 6 k ,



k



 

  

2) 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin 33 x

3sin 3x 4sin 3x 3 cos9x 1 sin 9x 3 cos9x 1

      

sin 9 .cos cos 9 .sin sin 9 sin

3 3 2 3 6

x  x   x   

      

 





9 2 .

3 6 18 9 ,

7 2

9 2 .

3 6 54 9

x k x k

k

x k x k

    

     

      

 

  

       

 

 



Vậy nghiệm phương trình :

2
.
18 9

x  k 

;

7 2

.
54 9

x  k 



k



3)

3 sin 7 cos 7 2sin 5
6

x x  x 

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

3 1

sin 7 cos 7 sin 5

2 x 2 x x 6



 

     

  sin 7 .cosx 6 cos 7 .sinx 6 sin 5x 6

    

     

 





7 5 2

6 6

sin 7 sin 5 ,

6 6 .

7 5 2 9 6

6 6

x k

x x k

x k

x x k

   

 

   

      



    

        

  

         






Vậy nghiệm phương trình : x k ; x 9 k.6

 

 



k



Ví dụ 3: Tìm m để phương trình :



m1 cos



x2sinx m 3 có nghiệm

Lời giải

Phương trình đã cho có nghiệm (m1)2  4 (m3)2

1
2

m

  
.

Vậy m  12 thỏa yêu cầu bài toán.

C.

BÀI T P T LU N

Ậ

Ự

Ậ

Câu 1. Giải phương trình sau:



3 1 sin



x



3 1 cos



x 1 3

Lời giải

Chia hai vế phương trình cho 2 2 , ta được

3 1 3 1 1 3 5 5 1 3

sin cos sin .cos cos .sin

12 12

2 2 x 2 2 x 2 2 x x 2 2

 

        





2
2

5 12 12 3

sin sin ,

5 3

12 12

2 2

12 12 2

x k

x k x k



   

 

     



      




   

       

           



 



Vậy nghiệm phương trình : x 3 k2

 

 

;

3
2
2

x  k 



k



Câu 2. Giải phương trình sau: 3sinx4cosx 5

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Chia hai vế phương trình cho 5, ta được

3 4

sin cos 1

5 x5 x (*) . Đặt

3 4

cos ; sin
5  5 

(*)sin .cosx cos .sinx   1 sin



x



1





2 2 ,

2 2

x   k  x   k  k

         

Vậy nghiệm phương trình : x 2 k2 ,



k



  

    

Câu 3. Giải phương trình sau: sin 8xcos 6x 3 sin 6



xcos8x



Lời giải





sin 8xcos 6x 3 sin 6xcos8x sin 8x 3 cos8x 3 sin 6xcos 6x (1)

Chia hai vế phương trình (1) cho 2, ta được

sin 8 .cos cos8 .sin sin 6 .cos cos 6 .sin

3 3 6 6

x   x   x   x 





8 6 2

3 6 4

sin 8 sin 6 ,

3 6

8 6 2

12 7

3 6

x x k x k

x x k

x k

x x k

    

 

   

       

 

   

        

            

 





Vậy nghiệm phương trình : x 4 k

 

 

;

5
.
12 7

x  k 



k



Câu 4. Giải phương trình sau: sinxcosx2 2 sin .cosx x

Lời giải
sin cos 2 2 sin .cos 2 sin 2 sin 2

x x x x x  x

 





2 2

4
4

sin 2 sin 2 ,

2
4

2 2

4 3

x k

x x k

x x k

x k

x x k



  



 



 



     




 

      

         



 



Vậy nghiệm phương trình : x 4 k2

 

 

;

4 3

x  k 

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Câu 5. Giải phương trình sau: 2sin2x 3 sin 2x 3

Lời giải

2sin2x 3 sin 2x3 1 cos 2x 3 sin 2x 3 3 sin 2xcos 2x (1)2

Chia hai vế phương trình (1) cho 2, ta được





sin 2 .cos cos 2 .sin 1 sin 2 1 2 2 ,

6 6 6 6 2 3

x   x     x   x    k    x  k k

  

Vậy nghiệm phương trình : x 3 k ,



k



 

  

Câu 6. Giải phương trình sau: 3 cos 2x sin 2x 2sin 2x 6 2 2



 

    

 

Lời giải
3 cos 2 sin 2 2sin 2 2 2

x x  x 

 

3 1

cos 2 sin 2 sin 2 2

2 x 2 x x 6



 

     

 

cos 2 .cos sin 2 .sin sin 2 2

6 6 6

x  x   x  

     

 

cos 2 sin 2 2 2 cos 2 2

6 6 6 4

x  x  x  

     

           

     





cos 2 1 2 2 ,

6 4 6 4 24

x   x   k  x  k k

 

            

  

Vậy nghiệm phương trình :





x  k k 

Câu 7. Giải phương trình sau:

cos 3 sin 2cos 2 0
3

x x  x 

 

Lời giải

Chia hai vế phương trình cho 2, ta được

cos .cos sin .sin cos 2

3 3 3

x   x     x 

 

cos cos 2 cos cos 2

3 3 3 3

x   x  x  x 

       

             

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>





4 5

2 2 2

3 3 3 ,

4 2

2 2 .

3 3 3

x x k x k

k

x x k x k

    

    

         

 

  

         

 

 



Vậy nghiệm phương trình :

5
2
3

x   k 

;

2
.

3
x   k 



k



Câu 8. Giải phương trình sau: 2cos 2x 6 4sin .cosx x 1 0



    

 

 

Lời giải
2cos 2 4sin .cos 1 0

x  x x

    

 

 

2 cos 2 .cos sin 2 .sin 2sin 2 1 0 3 cos 2 sin 2 1

6 6

x  x  x x x

 

        

  (1)

Chia hai vế phương trình (1) cho 2, ta được

cos 2 .cos sin 2 .sin cos 2 cos

6 6 2 6 3

x   x     x  

 





2 2

6 3 4 ,

2 2

6 3 12

x k x k

k

x k x k

    

      

 

  

        

 





Vậy nghiệm phương trình : x 4 k

 

 

; x 12 k

 

  



k



Câu 9. Giải phương trình sau: 3 cos5x2sin 3 .cos 2x xsinx [ĐH D09]0

Lời giải

3 cos 5x2sin 3 .cos 2x xsinx 0 3 cos 5x(sin 5xsin ) sinx  x0

3 cos5x sin 5x 2sinx

   (1) .

Chia hai vế phương trình (1) cho 2, ta được

sin cos 5 cos sin 5 sin

3 x 3 x x

 

  

5 2 .

3 18 3

sin 5 sin

5 2 .

3 6 2

x x k x k

x x

x x k x k

   



    

       

 

 

     

          

 

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Vậy nghiệm phương trình : x 18 k.3

 

 

; x 6 k.2

 

  



k



Câu 10. Giải phương trình sau:

sin cos 3 cos 2

2 2

x x

x

    

 

  [ĐH D07]

Lời giải

sin cos 3 cos 2 1 sin 3 cos 2

2 2

x x

x x x

        

 

 

sinx 3 cosx 1

   (1).

Chia hai vế phương trình (1) cho 2, ta được

sin .cos cos .sin

3 3 2

x  x 

  





2 2

3 6 6

sin sin ,

3 6

2 2

3 6 2

x k x k

x k

x k x k

    

 

     

       

 

     

 

         

 





Vậy nghiệm phương trình : x 6 k2

 

  

; x 2 k2

 

 



k



D.

BÀI T P TR C NGHI M

Ậ

Ắ

Ệ

Câu 1.

Giải phương trình 3 sin 2xcos 2x 1 0

A.





x k

k

x k

  

  

   




B.





2
2
3

x k

k

x k

  

  

   




C.





2
2

2
3

x k

k

x k

  

  

   




D.





2
3

x k

k

x k

  

  

   




Lời giải:

Chọn B.

Chia 2 vế phương trình cho 2, ta được

Phương trình

sin 2 2

6 2

x k

x

x k

  

   

      

   

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Câu 2.

Họ nghiệm của phương trình : sin 3x 3 cos 3x2 cos 5x là:
A.





5
48 5
5
12
k
x
k
x k
   




    


B.





48 4
5
2
12
k
x
k
x k
   




    


C.





5
48 4
5
12 2
k
x
k
x k
   




 
   


D.





5
48 4
5
12
k
x
k
x k
   




    


Lời giải:
Chọn D.
Phương trình

sin 3 sin 5

3 2
x x

     
      
   
5

3 5 2

3 2 48 4

3 5 2

3 2 12

k

x x k x

x x k x k

          
 
 
  
          
 


Câu 3.

Giải phương trình : 3(sin 2xcos 7 ) sin 7x  xcos 2x

A

.





2
10 5
7 2
54 9
x k
k
x k
     



 
  


B.





3
10 5
7
54 3
x k
k
x k
    




 
  


C.





10 5
7
54 9
x k
k
x k
  
 



 
  


D.





2
10 5
7 2
54 9
x k
k

x k
  
 



 
  


Lời giải:
Chọn D.

Phương trình  3 sin 2xcos 2xsin 7x 3 cos7x

10 5

sin 2 sin 7

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Câu 4.

Nghiệm của phương trình :





4 4

4 sin xcos x  3 sin 4x2
là:

A.





4 7

12 7

k
x

k
k
x

   





 

   




B.





4 5

12 5

k
x

k
k
x

  

 





 

   




C.





4 3

12 3

k
x

k
k
x

   





 

   




D.





4 2

12 2

k
x

k
k
x

   





 

   




Lời giải:

Chọn D.

Phương trình  4 2 sin 22 x 3 sin 4x2

1
cos 4 3 sin 4 1 cos 4

3 2

x x    x  

 

4 2

12 2

k
x

  

 


 

 

   

 .

Câu 5.

Khẳng định nào đúng về phương trình 2 2 sin



xcosx



cosx 3 cos 2x

A. Có một họ nghiệm B. Có hai họ nghiệm

C. Vơ nghiệm D. Có một nghiệm duy nhất

Lời giải:

Chọn C.

Phương trình  2 sin 2x 2(1 cos 2 ) 3 cos 2 x   x





2 sin 2x 2 1 cos 2x 3 2

    

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Câu 6.

Giải phương trình : 3 cos 4xsin 22 xcos 2x 2 0

A. x 2 k2 (k )


    

hoặc





6
arccos 2

x     k k

B. x 2 k2(k )

 

   

hoặc





6
arccos 2

x    k k

C. x 2 k (k )


   

hoặc





6
arccos 2

x  k  k

D. x 2 k (k )


   

hoặc





6
arccos

x    k k

Lời giải:

Chọn C.

Phương trình đã cho tương đương với

2 2

3(2 cos 2x  1) (1 cos 2 ) cos 2x  x 1 0

7 cos 2x cos 2x 6 0 cos 2x 1

       hoặc

6
cos 2

x 

x  k

   
hoặc

6
arccos 2

x   k

Câu 7.

Giải phương trình: cos2x 3 sin 2x 1 sin2x

A.





,
3

x k

k
x k

 



  

 







B.





2
,

x k

k
x k

 



  

 







C.





3 ,

x k

k
x k

 


  





 




D.





2
,
3

x k

k
x k

 



  

 







Lời giải:

Chọn A.

Phương trình

1
cos 2 3 sin 2 1 sin cos 2 cos .sin 2

6 6 2

x x  x  x

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>





2 2

6 6

sin 2 sin ,

6 6

2 2 3

6 6

x k

x k

   

 



    

     



  

      

  

      






Câu 8.

Giải phương trình: cos2x 3 sin .cosx x 1 0

A. x k2 ,x 3 k2 ,



k





 

   

B. x k. ,2 x 3 k. ,2



k



  

   

C. x k. ,3 x 3 k. ,3



k



  

   

D. x k. ,x 3 k. ,



k





 

    

Lời giải:

Chọn D.

2 3 1 1

cos 3 sin .cos 1 0 sin 2 cos 2

2 2 2

x x x   x x

sin 2 .cos cos 2 .sin sin 2 sin

6 6 2 6 6

3
x k

x x x

x k



   

 




  

       

  

 



Câu 9.

Nghiệm của phương trình : 2

cos 2sin .cos

3
2 cos sin 1

x x x

x x

 

 

A.

,
18 3

k

x   k 

B.

5 2

,
18 3

k

x   k

C.

5 4

,
18 3

k

x   k

D.

5 5

,
18 3

k

x   k

Lời giải:

Chọn B.

Điều kiện: 2 cos2xsinx 1 0

Phương trình cosxsin 2x 3 cos 2x 3 sinx

2
2

sin 2 sin( )

5 2

3 6

18 3

x k

x x

k
x

 

   


     

   

    



Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình.

5 2

,
18 3

k

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Câu 10.

Giải phương trình: 2

1 cos cos 2 cos 3 2

(3 3 sin )
3

2 cos cos 1

x x x

x

x x

    

 

A

.

x 2 k2 ,x 6 k2 ,



k



 

        

B. x 2 k x, 6 k ,



k



 

       

C. x 2 k3 ,x 6 k3 ,



k



 

        

D. x 2 k2 ,x 6 k2 ,



k



 

         

Lời giải:

Chọn A.

Điều kiện: 2 cos2xcosx 1 0

Phương trình





3 2

4 cos 2 cos 2 cos 2

3 3 sin
3

2 cos cos 1

x x x

x

x x

 

  

 

3
3cos 3 3 sin cos

6 2

x x x  

      

 

2
2

2
6

x k

   


 


    


Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x 2 k2 ,x 6 k2

 

      

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

VẤN ĐỀ 3.3. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ

COS

A.

KI N TH C C B N

Ế

Ứ

Ơ Ả

Phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng :





2 2 2 2

.sin .sin .cos .cos , 0

a x b x x c x d a c 

Phương trình đẳng cấp bậc ba có dạng :

3 3 2 2

.sin .cos .sin .cos .sin .cos .sin .cos 0,

a x b x c x x d x x e x f x

B.

PH

ƯƠ

NG PHÁP GI I TOÁN

Ả

 Giải phương trình :





2 2 2 2

.sin .sin .cos .cos , 0

a x b x x c x d a c 

(1)

Cách 1:

* Xét cosx 0 x 2 k k,

 

     

có là nghiệm của phương trình hay khơng.

* Xét cosx 0 x 2 k k,

 

    

Chia hai vế phương trình (1) cho cos x2 , ta được phương trình atan2x b tanx c d  (1 tan 2 x)

Cách 2:

Sử dụng công thức hạ bậc:

2 1 cos 2 2 1 cos 2

sin ; cos

2 2

x x

x  x 

(1)bsin 2x (c a) cos 2x2d a c  : phương trình bậc nhât đối với sin x và cos x .

 Giải phương trình: a.sin3x b .cos3x c .sin .cos2x x d .sin .cosx 2x e .sinx f .cosx0,

Chia hai vế phương trình cho cos x3 , ta được phương trình bậc ba theo tan x .

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x7sin .cosx xcos2x4
2) 3sin 22 xsin 2 .cos 2x x4cos 22 x2

2 2 1

sin sin 2cos

2 2 2

x x

x

  

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

1) 2sin2x7sin .cosx xcos2x4 (1)

* Nhận xét cosx 0 x 2 k

 

   

khơng là nghiệm của phương trình .
* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x2 , ta được phương trình:

2 2

2.tan x7 tanx 1 4(1 tan ) x





tan 1

2 tan 7 tan 5 0 5 ,

tan arctan

2 2

x k

x

x x k

x x k

 


  



 

 

      

     

    





Vậy nghiệm phương trình : x 4 k

 

 

;

5
arctan

x   k

  ,



k



2) 3sin 22 xsin 2 .cos 2x x4cos 22 x2 (1)

* Nhận xét cos 2x 0 x 4 k 2

 

   

không là nghiệm của phương trình .
* Chia hai vế phương trình (1) cho cos 2x2 , ta được phương trình:

2 2

3.tan 2xtan 2x 4 2(1 tan 2 ) x





arctan( 2)

tan 2 2 2

tan 2 tan 2 6 0 ,

tan 3 1

arctan 3
2

x k

x

x x k

x

x k



   


 


      



   





Vậy nghiệm phương trình :

arctan( 2)
2

x  k

;

arctan 3
2

x k



k



3)

2 2 1

sin sin 2cos

2 2 2

x x

x

  

2 2 1

sin 2sin .cos 2 cos

2 2 2 2 2

x x x x

   

(1)

* Nhận xét cos2 0 2
x

x  k 

   

khơng là nghiệm của phương trình .

* Chia hai vế phương trình (1) cho
2

cos
2
x

, ta được phương trình:

2 1 2

tan 2 tan 2 (1 tan )

2 2 2 2

x x x

   





tan 1

2
2

tan 4 tan 5 0 2 ,

2 2

2arctan 5 2

tan 5

x

x k

x x

k
x

x k

 



  

   

      

     



</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Vậy nghiệm phương trình : x 2 k2

 

 

; x2arctan 5k2 ,



k



Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

1) 3sin3x2sin .cos2x xsin .cosx 2 x 2) 6sinx2cos3x5sin 2 .cosx x
3) 3cos4 x4sin .cos2x 2xsin4 x0

Lời giải:

1) 3sin3x2sin .cos2x xsin .cosx 2 x (1)
* Nhận xét cosx 0 x 2 k

 

   

khơng là nghiệm của phương trình .
* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x3 , ta được phương trình:

3 2

3.tan x2 tan xtanx





3 2

tan 0

3tan 2 tan tan 0 tan 1 ,

4
1

1
tan

arctan
3

x k
x

x x x x x k k

x

x k



 




  

  

 

           

 

  

   

    





Vậy nghiệm phương trình : x k ; x 4 k

 

  

;

1
arctan

x   k

  ,



k



2) 6sinx2 cos3x5sin 2 .cosx x (1)

* Nhận xét cosx 0 x 2 k

 

   

không là nghiệm của phương trình .
* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x3 , ta được phương trình:

2 3

6 tan (1 tan ) 2 10 tanx  x   x3.tan x2 tanx  1 0





tan 1 ,

x x  k k

        

Vậy nghiệm phương trình : x 4 k

 

  

;



k



3) 3cos4 x4sin .cos2x 2xsin4 x0 (1)

* Nhận xét cosx 0 x 2 k

 

   

khơng là nghiệm của phương trình .
* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x4 , ta được phương trình:





2 4 tan 1 4

3 4 tan tan 0 ,

tan 3

x k

x

x x k

x x k

 

   


 


     

  

   



</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Vậy nghiệm phương trình : x 4 k

 

  

;x 3 k

 

  



k



C.

BÀI T P T LU N

Ậ

Ự

Ậ

Câu 1.

Giải phương trình:





2 2

3 sin x 1 3 sin .cosx xcos x 1 3 0

Lời giải:





2 2

3 sin x 1 3 sin .cosx xcos x 1 3 0
(1)

* Nhận xét cosx 0 x 2 k

 

   

khơng là nghiệm của phương trình .
* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x2 , ta được phương trình:

















2 2 2

3 tan x 1 3 tanx  1 1 3 1 tan x  0 tan x 1 3 tanx 3 0





tan 1 4

tan 3

x k

x

k

x x k

 

   


 


  

 

  





Vậy nghiệm phương trình : x 4 k

 

  

; x 3 k

 

 



k



Câu 2. Giải phương trình: 9sin2x30sin .cosx x25.cos2 x25

Lời giải:

2 2

9sin x30sin .cosx x25.cos x25(1)

* Nhận xét cosx 0 x 2 k

 

   

khơng là nghiệm của phương trình .
* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x2 , ta được phương trình:





2 2 2

9 tan x30 tanx25 25 1 tan  x 16 tan x30 tanx0





tan 0

,
15

arctan
tan

8
8

x k
x

k

x k

x














    

     



   

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Vậy nghiệm phương trình : x k  ;

15
arctan

x  k

  ,



k



Câu 3. Giải phương trình: sin 2x2sin2 x2 cos 2x

Lời giải

sin 2x2sin2 x2 cos 2x2sin.cosx2sin2 x2(cos2 xsin2x)
2

cos x sin .cosx x 0 cos (cosx x sin ) 0x

     

cos 0 cos 0 2

cos sin 0 tan 1

x k

x x

x x x

x k

 

  


 

 

   

  

    


Vậy nghiệm phương trình : x 2 k




 

; x 4 k




 



k



Câu 4. Giải phương trình: sinx4sin3xcosx0

Lời giải

sinx4sin xcosx0 (1)

* Nhận xét cosx 0 x 2 k

 

   

khơng là nghiệm của phương trình .
* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x3 , ta được phương trình:





3 2 3 2

tan 1 tanx  x 4 tan x 1 tan x  0 3 tan xtan xtanx 1 0





tan 1 ,

x x  k k

      

Vậy nghiệm phương trình : x 4 k ,



k



 

  

Câu 5. Giải phương trình: sin3xcos3xsinxcosx

Lời giải

3 3

sin xcos xsinxcosx (1)

* Nhận xét cosx 0 x 2 k




   

là nghiệm của phương trình .

* Xét cosx , chia hai vế phương trình (1) cho 0 cos x3 , ta được phương trình:





3 2 2 2

tan x 1 tan 1 tanx  x  1 tan xtan x t anx 2 0

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Vậy nghiệm phương trình : x 2 k ,



k



 

  

Câu 6. Giải phương trình: 4(sin3xcos ) sin3x  xcosx

Lời giải

3 3

4(sin xcos ) sinx  xcosx ( 1)

* Nhận xét cosx 0 x 2 k

 

   

khơng là nghiệm của phương trình .
* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x3 , ta được phương trình:





3 2 2 3 2

4(tan x  1) 1 tan x  3tan (1 tanx  x)tan xtan x3tanx 3 0

tan 1 4

tan 3

x k

x

x x k

 

  





  

  

   



Vậy nghiệm phương trình : x 4 k ,x 3 k ,



k



   

      

Câu 7. Giải phương trình:

2 2 cos 3cos sin 0
4

x  x x

    

 

 

Lời giải

2 2 cos 3cos sin 0
4

x  x x

    

 

 

2 cos 3cos sin 0

x  x x

  

      

 

 





cosx sinx 3cosx sinx 0

     (1)

* Nhận xét cosx 0 x 2 k

 

   

là nghiệm của phương trình .

* Xét cosx , chia hai vế phương trình (1) cho 0 cos x3 , ta được phương trình:









3 2 2

(1 tan ) 3 1 tan tan (1 tan ) 0 tan 1 ,
4

x x x x x x  k k

            

Vậy nghiệm phương trình : x 4 k ,x 2 k ,



k



 

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Câu 8. Giải phương trình: tan .sinx 2x2sin2 x3(cos 2xsin .cos )x x

Lời giải

Điều kiện cosx 0

2 2

tan .sinx x2sin x3(cos 2xsin .cos )x x tan .sinx 2 x2sin2x3 2cos



2x 1 sin .cosx x



* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x2 , ta được phương trình:

2 2 2

tan .tanx x2 tan x3(2 (1 tan  x) tan x

3 2

tan x tan x 3tanx 3 0

    

tan 1 4

tan 3

x k

x

x x k

 

   


 


  

  

   



Vậy nghiệm phương trình : x 4 k ,x 3 k ,



k



   

       

Câu 9. Giải phương trình: 2sin3xcosx

Lời giải

2sin xcosx( 1)

* Nhận xét cosx 0 x 2 k

 

   

không là nghiệm của phương trình .

* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x3 , ta được phương trình:

3 2 3 2

2 tan x 1 tan x2 tan xtan x 1 0





tan 1 ,

x x  k k

      

Vậy nghiệm phương trình : x 4 k ,



k



 

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Câu 10. Giải phương trình:

3 5sin 4 .cos

6sin 2 cos

2 cos 2

x x

x

 

Lời giải

Điều kiện : cos 2x 0

3 5sin 4 .cos 3 10sin 2 .cos 2 .cos

6sin 2cos 6sin 2cos

2cos 2 2cos 2

x x x x x

x x x x

x x

    

3 2

6sinx2cos x10sin .cosx x (1)

* Nhận xét cosx 0 x 2 k

 

   

khơng là nghiệm của phương trình .
* Chia hai vế phương trình (1) cho cos x3 , ta được phương trình:

2 3

6 tan (1 tanx  x) 2 10 tan  x6 tan x4 tanx  2 0





tan 1 ,

x x  k k

      

So sánh với điều kiện suy ra phương trình vơ nghiệm

D.

BÀI T P TR C NGHI M

Ậ

Ắ

Ệ

Câu 1.

Giải phương trình : 2 cos2x6 sin cosx x6 sin2x1

A.

; arctan

4 5

x     k x   k

 

B.

2 1 2

; arctan

4 3 5 3

x   k  x  k 

 

C.

1 1 1

; arctan

4 4 5 4

x   k  x  k 

 

D.

2 ; arctan 2

4 5

x   k  x  k 

 

Lời giải:

Chọn A

Phương trình 5 sin2x6 sin cosx xcos2x0

Giải ra ta được

1
; arctan

4 5

x     k x   k

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Câu 2.

Giải phương trình : cos2x 3 sin 2x 1 sin2x

A. 
2
2
3
x k
x k
  
 
   

 B. 3

x k
x k
  
 
   
 
C. 
2
3
2
3 3
x k
x k
  



   

 D. 
1
2
1
3 2
x k
x k
  



   

Lời giải:
Chọn B

Phương trình 2 sin2x2 3 sin cosx x0

sin 0
tan 3
3
x k
x
x k
x
  
  
    

 

Câu 3.

Giải phương trình 4 sin3x3 cos3x3 sinxsin2xcosx0

A. 
2
3
2
4
x k
x k
 
   



   
 B. 
1
3 2
1
4 2
x k
x k
 
   



   


C. 
3
4
x k
x k
 
   



   
 D. 
1
3 3
1
4 3
x k
x k
 
   



   

Lời giải:
Chọn C

Phương trình 4 tan3x 3 3 tan (1 tanx  2x) tan 2x0

3 2 tan 3

tan tan 3 tan 3 0

tan 1
x

x x x

x
 
      


3
4
x k
x k
    

 

   


Câu 4.

Giải phương trình 2 cos3xsin 3x

A.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

C.

1
arctan( 2)

3
1

4 3

x k



   






   

 D.

arctan( 2)
4

x k

    

 
   


Lời giải:

Chọn D

Phương trình 2 cos3x3 sinx4 sin3x

arctan( 2)
tan 2

2 3 tan tan

tan 1

x k

x

x x

x x k

    

   

     



   

 

Câu 5.

Giải phương trình









sin x tanx 1 3 sinx cosxsinx 3

A.

2
4

2
3

x k

    





    

 B.

4 2

3 2

x k

    






    


C.

4 3

3 3

x k

    






    

 D.

x k

    





    


Lời giải:

Chọn D

Phương trình đã cho tương đương với

2 2

tan x(tanx 1) 3 tan (1 tan ) 3(1 tanx  x   x)

3 2 4

tan tan 3 tan 3 0

x k

x x x

x k

 

   


      


    


Câu 6.

Giải phương trình





3 3 5 5

cos xsin x2 cos xsin x

A. x 4 k2

   

B. x 4 k

   

C.

4 3

x   k 

D.

4 2

x   k 

Lời giải:

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Vì cosx  khơng là nghiệm của phương trình nên ta có0





2 3 2 5

1 tan xtan x(1 tan x) 2 1 tan  x

5 3 2 2 3

tan x tan x tan x 1 0 (tan x 1)(tan x 1) 0

        

tan 1

x x  k

       

Câu 7.

Giải phương trình





sin x3 tanxcosx 4 sinxcosx

A. x 4 k2 ,x arctan



1 2



k2


       

B.





1 1

, arctan 1 2

4 2 2

x  k x k

        

C.





2 2

, arctan 1 2

4 3 3

x  k  x   k 

D. x 4 k x, arctan



1 2



k


        

Lời giải:

Chọn D

Phương trình tan2xtan (1 tanx  2x) 4 tan x1

3 2

tan x tan x 3 tanx 1 0

    

(tanx 1)(tan x 2 tanx 1) 0

    





, arctan 1 2
4

x  k x k

        

Câu 8.

Giải phương trình

2 2 cos ( ) 3cos sin 0
4

x  x x

A.

2
2

2
4

x k

 

  





   


B.

x k

 

  


</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

C.

2 3

4 3

x k

 

  






   


D.

2 2

4 2

x k

   






   


Lời giải:

Chọn B

Phương trình





sinx cosx 3 cosx sinx 0

    

3 2 2

(sinx cos )x (3 cosx sin )(sinx x cos x) 0

     

2 3 cos 0 2

sin cos cos 0

tan 1

x k

x

x x x

x

x k

   


 

     

  

   

 .

Câu 9.

Trong khoảng



 
 

  phương trình 2   2 

sin 4x 3 sin 4 .cos 4x x 4 cos 4x 0có :

A. Một nghiệm B. Hai nghiệm
C. Ba nghiệm D. Bốn nghiệm

Lời giải:

Chọn D

* Nhận xét cos 4x 0 x 8 k 4

 

   

khơng là nghiệm của phương trình .
* Chia hai vế phương trình (1) cho cos 4x2 , ta được phương trình:

tan 4x3 tan 4x 4 0





tan 4 1 16 4

tan 4 4 1

arctan( 4)

4 4

x k

x

k
x

x k

 


  






  

 

    





5 1 1

0; ; ; arctan( 4) ; arctan( 4)

2 16 16 4 4 4 2

x  x      

   

Câu 10.

Trong khoảng



0;2



phương trình cos3x4 sin3x3 cos .sinx 2xsinx0có bao 
nhiêu nghiệm?

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Lời giải:
Chọn A

* Nhận xét cosx 0 x 2 k

 

   

khơng là nghiệm của phương trình .
* Chia hai vế phương trình cho cos x3 , ta được phương trình:

3 2 2

1 4 tan x3tan xtan (1 tanx  x) 0

3 2

tan 1

3tan 3tan tan 1 0 3 ,

tan

3 6

x x k

x x x

x x k

 


 

    



       

     

 

</div>

Hướng dẫn giải các bài toán về phương trình lượng giác lớp 11 phần 6 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

<b> PH</b>

<b>ƯƠ</b>

<b>NG TRÌNH L</b>

<b>ƯỢ</b>

<b>NG GIÁC TH</b>

<b>ƯỜ</b>

<b>NG G P</b>

<b>Ặ</b>

<i><b>VẤN ĐỀ 3.1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ ( BẬC N) THEO MỘT</b></i>

<i><b>HSLG</b></i>

<b>A.</b>

<b>KI N TH C C B N</b>

<b>Ế</b>

<b>Ứ</b>

<b>Ơ Ả</b>

<b>B.</b>

<b>PH</b>

<b>ƯƠ</b>

<b>NG PHÁP GI I TOÁN</b>

<b>Ả</b>





<b>3</b>

<b>3</b>













































































































