Tải Sáng kiến kinh nghiệm - Một số phương pháp giải phương trình có ẩn dưới dấu căn ở đại số lớp 10 - Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (204.98 KB, 33 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU
CĂN Ở ĐẠI SỐ LỚP 1O

I. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Dạy học theo hướng đổi mới là học sinh làm trung tâm, giáo viên chủ đạo;
các em học sinh tự giác tích cực tìm hiểu và lĩnh hội kiến thức.

Số lượng công thức và
dạng tốn học trong hệ thống mơn

Tốn ở trường phổ thơng là rất lớn. Vì vậy giáo viên truyền thụ kiến thức cho học
sinh phải làm cho học sinh thấy được dạng tốn nào là cơ bản, có những định
hướng, nguyên tắc biến đổi như thế nào để học sinh thấy khơng có q nhiều dạng
bài tập, giáo viên có vai trị để học sinh thấy được học sinh cần nắm được đâu là
bài toán cơ bản, khi học sinh gặp một bài tập khó thì bài tốn đó cái gốc ban đầu là
từ đâu, tư đó phát triển tư duy sáng tạo của học sinh, đối với dạng tốn phương
trình vơ tỷ, dạng cơ bản là (1), sau khi đặt điều kiện cho hai vế không âm, bình
phương hai vế của phương trình, sẽ dẫn đến các phương trình bậc nhất, bậc hai
một ẩn, phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đều biến đổi về phương trình dạng (1).

Trong q trình dạy Tốn ở trường Trung học phổ thơng nói chung, dạy
tốn đại số lớp 10 nói riêng, tơi cố gắng truyền thụ kiến thức Tốn một cách đơn
giản nhất cho học sinh, trong đó cố gắng tránh sự áp đặt và truyền thụ máy móc,
hướng dẫn học sinh thuộc và nhớ cơng thức tốn mà giảm tối đa phương pháp học
thuộc lịng. Học sinh khơng cần nhớ nhiều dạng toán, mà từ dạng toán này ta cần
biết biến đổi về bài toán gốc ban đầu của nó, bài tốn cơ bản nào mà ta cần hướng
đến, làm sao để học sinh thấy thú vị khi giải các bài tốn dù khó, nhưng khi hiểu
được ngun tắc cơ bản của nó thì bài tốn trở nên đơn giản.

Riêng chương III đại số lớp 10 (ban cơ bản) là một chương rất thuận lợi cho việc
dạy và học theo xu hướng trên. Đã nhiều năm, tôi thực hiện theo cách này. Nay
ghi lại gọi là chút kinh nghiệm, giải bày cùng đồng nghiệp và quí bạn đọc. Đề tài

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

được gọi tên là: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ ẨN
DƯỚI DẤU CĂN Ở ĐẠI SỐ LỚP 1O”.

2.

ĐỀ TÀI : 
a. Mục tiêu :

Giáo viên làm nỗi bật được vấn đề là phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
ln biến đổi về dạng gốc, bài tốn cơ bản, để học sinh chủ động lĩnh hội kiến
thức chương phương trình một cách đơn giản, nhanh chóng và đầy đủ.

Dạy - học bảo đảm nội dung kiến thức cần truyền thụ của chương, sau đó
học sinh sẽ lĩnh hội được dạng bài tập khó.

b. N hiệm vụ :

Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ dạy học và nâng cao chất lượng
giáo dục, giúp cho học sinh hình thành tư duy lơgic kỹ năng phân tích để đi đến
một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài tốn giải phương trình vơ tỷ từ phức
tạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và giải được một cách dễ dàng.

Giải quyết được một số dạng bài tập phương trình chứa ẩn dưới dấu căn,
mà với phương pháp giải chỉ cần đến kiến thức lớp 10 là giải quyết được mà chưa
cần đến kiến thức lớp 12. Tức là học sinh tự tìm ra cách biến đổi để đưa về dạng
cơ bản đã được học, ở phần này có những phương pháp cần đến kiến thức lớp 12,

tuy nhiên các dạng toán đều giải được với kiến thức đã học ở lớp 10.

Trong bài viết này, tơi trình bày chi tiết và đầy đủ các cách giải một bài
tốn, sau đó tơi trình bày theo phương pháp mà tơi lựa chọn và có các bài tốn giải
theo phương pháp đó được tơi trình bày một cách chi tiết, sau đó có bài tập được
giải bằng phương pháp đã nêu.

Đề tài được sử dụng phù hợp để bồi dưỡng cho học sinh khối 10 có học lực
khá trở lên.

Bài viết có ba phần chính:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2. Giải phương trình chứa nhiều căn bậc hai bằng phương pháp nhẩm nghiệm
nguyên, sau đó đưa về phương trình tích.

3. Phương trình chứa ba căn bậc hai, trong đó có một căn bậc hai là tích của hai
căn bậc hai còn lại.

3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU :

Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :

a. Nghiên cứu lý thuyết:

Cơ sở để tìm hiểu chương phương trình trong Tốn lớp 10 là đại số cao cấp
Tìm hiểu phương pháp dạy học, chuẩn kiến thức kỹ năng mơn tốn ở

trường phổ thơng, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên - Toán lớp 10, Sách giáo viên đại
số 10, Sách giáo khoa Đại số 10...

b. Nghiên cứu thực tế:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

II. NỘI DUNG 
1. THỰC TRẠNG :

1.1. Thuận lợi:

- Các kiến thức không phức tạp, dễ tiếp thu, kiến thức gắn liền với phương trình
đại số mà học sinh đã được học ở các lớp dưới, ở đây chỉ thông qua các phép biến
đổi tương đương để giải các phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, căn
bậc ba

2. Khó khăn:

Bài tập này để rèn luyện cho học sinh khá, giỏi
1.2. GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP :

a. Nội dung giải pháp: Giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.

Dạng 1: Giải phương trình dạng:
(1)

Giải phương trình (1) bằng cách sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc biến đổi
hệ quả

Giải phương trình (1) bằng phép biến đổi tương đương như sau:

(1)

Ở dạng cơ bản này g(x) là hàm số
bậc nhất, sau khi thực hiện phép

biến đổi tương đương học sinh dễ dàng giải được phương trình (1). Một vấn đề
được đặt ra là khi gặp dạng mà g(x) là hàm số bậc hai nếu sau khi đặt điều kiện
cho hai vế của phương trình khơng âm và bình phương hai vế của phương trình sẽ
gặp phương bậc cao, rất khó giải nếu nghiệm của phương trình là nghiệm vơ tỉ;

( ) ( )
f x g x

 

( ) 0
( )
g x

f x g x


 

  

  



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

sau đây tơi trình bày một ví dụ thể hiện nhiều cách giải, bằng kinh nghiệm nhỏ tơi
trình bày phương pháp giải phương trình dạng (1) bằng cách đổi biến khơng hồn
tồn.

Bài tốn 1: Giải phương trình sau:
(1)

Giải:

Phương pháp 1:
Phương trình (1)

Vậy: S= là nghiệm của
phương trình

Phương pháp 2:

Sử dụng máy tính ta sẽ tìm được
một nghiệm ngun

. Khi đó ta thực hiện như
sau:

Phương trình (1) được viết
như sau: (1)

Đk:

(1)

Giải phương trình (2): Đặt
Phương trình (2) có dạng:

2 4 3 5

x  x  x





2
2

4 3 0

5 4 3

x x

x x x

   


 

   



4 3 2

2 7

8 10 23 4 0

x
x

x x x x

  


   

    




 







2 7

1 4 5 1 0

x
x

x x x x

  


  

    

2 7
2 7
1
4
5 29
2
x
x
x
x
x
  

  



  






 

 


5 29
1;
2
  
 
 
 
 
1

x 





2 4 3 ( 1) 5 2

x  x  x x 



 



5 2 1 5

x   x x

5
x 



 



1
1 5
5 2
x
x x
x

   
 
1
1
5 (2)
5 2
x
x
x
 


   
  

 5 2 0

5
t
t x
t x


   
 

2
1
10
2 t
t  

3 2

2 10 21 0

t t t

    

3
1 29
t 



 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

So sánh với điều kiện:
Với ta có:

Phương pháp 3: Đk:
Phương trình (1)
Đặt:

Ta có hệ phương
trình:

Phương pháp 4: Đặt

Phương trình (1) có
dạng:

Với ta có:

1 29
2
t 

1 29
2
t5 29

x 

5
x 





2 7 5

x x

    

2 5

y  x





2
2 5
y
y x


 
  










2
2
0
2 5
2 5
y
x y
y x
 
   


  








 



2
2
2 5
3 0
y
x y

x y x y



   
    












2
2
2 5
2 5
3
2
x y
y x
x y
y x
y
   




   


  


 



5 29
2
1

x
x
 


 
 

5
t x

2
0
5
t
t x


 
 
2
0
2 3
t
t x


 
  


2
0
3 2
t
t x


 
  


2 2 3 2 0

t   t x x 

2
1
t x
t x
 

    
 1

t  5 x 1
x   x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Với ta có:

Nhận xét thơng qua các phương pháp giải của bài toán 1 như sau:Phương pháp

1: Dạng cơ bản quen thuộc đối với học sinh, học sinh theo phương pháp 1, tuy
nhiên sau khi bình phương hai vế của phương trình sẽ dẫn đến phương trình bậc
cao, nếu nghiệm vơ tỷ, rất khó khăn khi giải. Phương pháp 2: Sau khi sử dụng
máy tính tìm được nghiệm ngun ta có thể giải bài tốn 1 trên bằng cách đưa về
phương trình tích, phương pháp 2 là một cách khá hay, tơi sẽ trình bày ở dạng toán
2. Phương pháp 3: Sau khi đặt ẩn phụ một cách thích hợp ta chuyển bài tốn
phương trình chứa căn bậc thành hệ phương trình đối xứng loại hai, tuy nhiên việc
chuyển về hệ phương trình đối xứng loại 2 nhiều bài toán đưa về hệ khá phức tạp.
Phương pháp 4: Giải bằng “phương pháp đổi biến không hoàn toàn”, ở phương
pháp này sau khi đặt ẩn phụ ta được một phương trình theo ẩn phụ, tuy nhiên data
phải là một hằng đẳng thức, ở đây học sinh phải khéo léo để tách, sau đó giải theo
ẩn chính và gặp phương trình cơ bản có phương pháp giải đưa về phương trình bậc
nhất, phương trình bậc hai một ẩn. Sau đây tơi trình bày một số bài tốn mà khi
giải theo phương pháp 4 đổi biến khơng hoàn toàn sẽ giải ngắn gọn và dễ dàng mà
chưa cần đến kiến thức lớp 12.

Bài toán 2: Giải phương trình sau
(1)

Giải:
Đặt:
(*)

Vấn đề đặt ra ở dạng này là biến

đổi: 7 = 8 – 1 hoặc 7 = 6 + 1. Ở đây ta nên biến đổi 7 = 6 + 1 để hệ số của và t2 trái

2
t x 5 2
x  x

5 1 0
x

x x



 

  


5 29
2

x 

 

7 4 1

x  x x

7
t x

0
7
t

t x


 

 
 2

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

dấu với nhau khi đó bài tốn hầu hết được giải quyết được, bài toán được giải như
sau:

(*)

Phương trình (1) có dạng:

Với ta có:

Vậy: là tập nghiệm của
phương trình.

Bài toán 3: Giải phương sau:
(1)

Giải:
(1)
Đặt

(*)

Để hệ số của t2 và x2 trái dấu ta sẽ

tách: 4= 12 – 8 hay 8 = 12 – 4
(*)
2
0
6 1
t
t x


 
  


2
0
1 6
t
t x


 
  


2 4 2 6

t x  x t  x

2 2 5 6 0

t t x x

     
2
3
t x
t x
 

    
 2

t x 7 2

x  x

2
3 3 0
x
x x
 

 
  
 2
3 21
2
3 21
2
x
x
x
 


 
 
 
  
 



3
t  x

5 2 0
x
x x
 

 
  
 3
5 17
2
5 17
2
x
x
x
 


 
 
 
  
 




3 21 5 17

;

2 2

S     

 

 

2 3x  1 x 5x8

12x 4 x 5x 8

    

12 4
t x

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Khi đó phương trình (1) có dạng:

Với ta có:

(ptvn)
Vậy: Tập nghiệm của phương
trình là:

Bằng cách đặt ẩn phụ để đưa về phương trình ẩn mới giải đơn giản hơn, tương tự
biến đổi trên tơi trình bày thêm một số bài toán như sau

Bài toán 4: Giải phương trình sau:
(1)

Giải:
Đặt:

Phương trình (1) có dạng:

Với t = x ta có : (ptvn)
Với t = 3 ta có:

2 5 12 2 12

t x  x  t x

2 2 7 12 0

t t x x

     

3
4
t x
t x

 


    

 3

t x 
12x  4 x 3

6 5 0
x

x x

 

 

  

 3

1
5
x

x
x

 


 


 

 4

t  x
12x   4 x 4

4 12 0
x

x x

 

 

  

 S

 

1;5

2 2

3 1 ( 3) 1

x  x  x x 

2 1

t x 

2 2

0
1
t

t x



 

 






2 3 3 0

t  x t x

3
t x
t



  



2 1

x  x

2 1 3

x  

2 8

x
 

2 2
x

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài tốn 5: Giải phương trình:
(1)

Giải:
Đặt:

(*) Để phương trình (1)
giải bằng phương pháp trên ta
tách: 7 = 4+ 3

(*)

Phương trình (1) có dạng:

Với ta có:

Vậy: Tập nghiệm của
phương trình là:

Bài tốn 6: Giải phương trình:
(1)

Giải:
Đặt

2 7

3 6 3

3
x
x  x  

7
3
x
t 

2
0
3 7
t
t x


 
 


2
0

3 4 3

t
t x


 
  

2
0

3 3 4

t
t x


 
  

2 2

3t  t 3x 7x 4 0
1
4
3

t x
t x
 



  
t x 7 1 1

3
x
x
  
2
1

3 5 4 0

x
x x
 

 
  
 1
5 73
6
5 73
6
x

x
x
 


  
 
 
  
 


4
3
t  x

4
3

9 21 5 0

x
x x
 

 
   

 4
3
7 69
6
7 69
6
x
x
x
 



  


  





7 69 5 73

;

6 6

S     

 

 



4x3 . 4



x 3 2x211x6

4 3
t x

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Phương trình (1) có dạng:

Với ta có:

Vậy: Tập nghiệm của phương
trình là :

Bài tốn 7: Giải phương trình:

Giải:
Đặt

Phương trình có dạng:

Với ta có :
Với ta có: (ptvn)

Vậy: Tập nghiệm của phương trình
là:



2 8 6

t
t x



 




4x3



t2x22t23x





2 2

2t 4x 3 t 2x 3x 0

     
3
2
t x
t x

  




t x
4x 3 x

4 3 0
x
x x


 
  
 0
2 7
2 7
x
x
x



  


  

3
2
t x  3
4 3

2
x  x

3
2

4 4 3 0

x
x x
 

 
   
 3
2
1
2
3
2
x

x
x
 



  

 


3
2 7 ;

2
S   

 



4x1



x2 1 2x22x1
2

1
t x 

2 2

2 2 2

t
t x


 
 

 2 2

2 2 2

t
x t


 
 




4x1



t2t2 2 2x1





2t 4x 1 t 2x 1

    
2 1
1
2
t x
t
 



 
 2 1
t x

1 2 1

x   x

1
2

3 4 0

x
x x
 


 
  

1
2
0
4
3
x
x
x
 


 



 


1
2
t

2 1 1

2
x  

4
3
S    

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài tốn 8: Giải phương trình:

Giải:
Đặt

Phương trình có dạng:

Với ta có:

Phương trình (2) vơ nghiệm
Vậy: Tập nghiệm của phương
trình là:

Bài tốn 9: Giải phương trình:
(1)

Giải:

Cách 1: Đặt:

Phương trình (1) trở thành hệ
phương trình:

Phương trình (1) là bài tốn gốc
để biến đổi thành hệ đối xứng

loại 2, tuy nhiên bài toán này giải được bằng phương pháp đổi biến khơng hồn
tồn một cách dễ dàng và ngắn gọn

3 1 2 23 1

x   x

3 2 1

t x

2 1

t x

  

3 2 3 2 0

t   t x x

2 2

2 0(2)
t x

t xt x




     
 3 t x

2x 1 x

3 2 1 0

x x

   









1 . 1 0

x x x

    

1 5

2
x
x





  

 


1 5

1;
2
S    

 

 

8 6 2

x  x x

3 8

y  x





3 8

y

y x



 

  











2
2

3 8

y

y x

x y

 


   



  

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Cách 2: Đặt

Phương trình có dạng:

Với ta có:

Vậy: Tập nghiệm của phương
trình là:

Bài tốn 10: Giải phương trình: 
(1)

Giải:
(1)

Đặt:

Phương trình (1) có dạng:

Với ta có :

8
t x

6 2
t

t x


 

  


2 6

t

t x


 

  


2 2 5 6 0

t   t x x 
2
3
t x
t x

  


   

 3

t x 8 3
x  x

7 1 0
x

x x



 

  

 3

7 45
2
x
x




   

t  8 x 2 2
x   x

5 3 0
x

x x



 

  

 2

5 37
2
x
x




   



7 45 5 37

;

2 2

S    

 

 





4x   x x 1 2x 1 0

8x 2x (2x 1) 2x 1 2x 1 0

       

2 1
t x

0
2 1
t

t x



 

 



3 3

8 2 0

t  t x  x



t 2x t





2 2xt 4x2 1 0



     

2 2

2 4 1 0 (2)
t x

t xt x




     

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Vậy: Tập nghiệm phương trình là:
Bài tốn 11: Giải phương trình:

(1)
Giải:

Phương trình (1)

Đặt:

Khi đó phương trình (1) có
dạng:

Phương trình (2) vơ
nghiệm

Với ta có:

Vậy: Tập nghiệm phương trình
là:

Dạng 2: Dạng nhiều căn bậc hai:

Phương pháp giải:

Đặt điều kiện cho các căn có nghĩa:
Chuyển vế cho các vế khơng âm,
sau đó thực hiện phép biến đổi

4 2 1 0

x

x x



 

  

 0

1 5

2
x
x





  
 1 5

2
S   

 

 

3 2 3 2

4 5 6 7 9 4

x  x  x  x  x







2



3 2

1 1 7 9 4 7 9 4

x x x x x x

         

37 9 4

t x  x

3 7 2 9 4

t x x

   





3 1 ( 1) 0

t   t x   x

2 2

( 1) ( 1) 1 0(2)
t x

t x t x

 


       



t x 

37x 9x  4 x 1

3 4 2 6 5 0

x x x

    

1 5

2
x
x




  

 
5; 1 5

2
S    

 

 

( ) ( ) ( ) (1)
f x  g x  h x

 

0
0
0
f x
g x
h x








 



</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

tương đương bằng cách bình phương hai vế của phương trình đưa về dạng cơ bản
đã biết cách giải

Dạng tốn phương trình (1) nếu

là hàm số bậc hai chúng ta có thể đặt ẩn phụ để đưa về dạng (1) với là hàm số bậc
nhất khi đó sẽ được giải bằng phương pháp trên

Bài tốn 1: Giải phương trình:
(1)

Giải:
Đk:
Phương trình (1)

So sánh với điều kiện: Vậy
x = 8 là nghiệm của phương
trình

Bài tốn 2: Giải phương trình
(1)

Giải:

Phương pháp 1:

Đk:

Phương trình (1)

Vậy: Tập nghiệm của phương trình là:
( ); ( ); ( )
f x g x h x( ); ( ); ( )
f x g x h x

1 8 3 1

x   x

1
3
x 

1 3 1 8

x x

    

8
2

128 960 0
x

x

x x

 

  



   



2x 1 x   3 4 x

1
4
2 x



2x 1





x2 3



7 5x

    

1
x
 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Phương pháp 2:

Đk:

Sử dụng máy tính ta tìm được một nghiệm nguyên x = 1. Khi đó chúng ta
thực hiện như sau:

4 – x = -(x - 1) + 3

Phương trình (1) được viết lại như sau:

Sau đó số 3 được tách một cách hợp lý sao cho sau khi nhân lượng liên hợp
phương trình đưa được về phương trình tích có nghiệm x = 1

(2)

Đk: phương trình (2) vơ
nghiệm

Vậy: là nghiệm của phương trình

Nhận xét thơng qua hai phương pháp giải như sau: Ở dạng 2, tơi sẽ trình bày

phương pháp giải phương trình chứa nhiều căn bằng cách sử dụng máy tính tìm
nghiệm ngun sau đó đưa được về phương trình tích, những bài tốn này sẽ có
nhiều cách giải, tuy nhiên với cách giải này sẽ cho chúng ta giải một số bài toán
dạng chứa nhiều căn bậc hai mà giải theo phương pháp 2 sẽ giải được đơn giản, tơi
trình bày một số bài tốn mà cách giải bằng cách nhẩm nghiệm nguyên sau đó
nhân lượng liên hợp và đưa được về phương trình tích.

Bài tốn 3: Giải phương trình
(1)

Giải:
TXĐ:

Phương trình (1)

1
2
x

2x 1 x     3 (x 1) 3





2 2 1 1 0

2 1 1 3 2

x
x

x x

  

 

    

     

 

2 1

1 0

2 1 1 3 2

x

x x




 

    

    



1
2
x

1
x

2 12 5 3 2 5

x    x x 

D 

2 2

12 5 3 5

x x x

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Với là nghiệm phương trình:

Phương trình (2) vô
nghiệm

Vậy: là nghiệm của phương trình
Bài tốn 4: Giải phương trình:

Giải:
Đk:

Sử dụng máy tính chúng

ta có là nghiệm của phương trình:
Phương trình có dạng:

Ta có:

Vậy nghiệm của
phương trình là:

Bài tốn 5: Giải phương trình:

2
x

3x 5 3(x 2) 1

2 12 4 3 2 5 3 6

x     x   x



2 3



2 2 2 2 0

5 3 12 2

x x

x

x x

   

 

    

     

 

2 2

3 0(2)

5 3 12 2

x

x x




  

    

    



2
x
 

2
x

3x 1 6 x 3x 14x 8 0

1
6
3 x
  

5
x

3x 14x  8 (x 5).(3x 1) 3

3x 1 6  x (x 5)(3x  1) 3 0





3x 1 4 1 6 x x 5 (3x 1) 0

         





3 1 3 1 0

3 1 4 1 6

x x

 

      

   

 

3 1

3 1 0(2)

3 1 4 1 6

x

x x





     

    



3 1 1

3 1 0 ;6

3x 1 4 1 6 x x x

 

       

     

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

(1)
Giải:
Đk:

Sử dụng máy tính ta
được là nghiệm của

phương trình, khi đó: . Phương trình (1) được biến đổi như sau:

Ta có:
Vậy nghiệm của
phương trình là

Bài tốn 6: Giải phương trình:
(1)

Giải:
Đk:

Sử dụng máy tính ta được

và là nghiệm của phương trình. Khi đó ta biến đổi:
Phương trình (1)

Ta có:

Vậy nghiệm của
phương trình làvà

Bài tốn 7: Giải phương trình:

4 6 2 13 17

x   x x  x

4 x 6
5
x

2xx 413x  617 (  x (xx 5)(25)(2xx  3) 23) 2



4 1 6 1 ( 5)(2 3)
x      x x x





1 1 (2 3) 0

4 1 6 1

x x

 

      

   

 5 

1 1

(2 3) 0

4 1 6 1

x

x x





     

    



 

1 1

(2 3) 0 4;6

4 1 6 1 x x

x    x     
5

x

3x 1 5x 4 3x  x 3

1
3
x 

1
x0
x

2 2

3x   x 3 3(x  x) 2x3

3x 1 (x 1) 5x 4 (x 2) 3(x x)

         





1 1

3 0

1 3 1 2 5 4

x x

x x x x

 

     

     

 

2 0

1 1

3 0(2)

1 3 1 2 5 4

x x

x x x x

  


    

      

 1 1 1

3 0

1 3 1 2 5 4 x

x x x x

     

     

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

(1)
Giải:

Đk của phương trình là:
Phương trình (1)

Vậy tập nghiệm phương trình là:
Bài tốn 8: Giải phương trình:

(1)
Giải:
Đk:

Ta có x = 0 là nghiệm của phương trình
Phương trình (1)

Ta có:
Vậy nghiệm của
phương trình là:

Bài tốn 9: Giải phương trình: 
(1)

Giải:

1
3

2 1

x x

x
  



1 1

; ;

2 2

     

   

   

1
3

2 1

x x

x

   



2 2

3 1

3 2 1

x x x

 

  

2 2

3 2x 1 x 3 x

    

2 2

2x x 3 16x 12

   





2 2 2

4 (x x 3) 16x 12

   

1
2

7
x
x

 


  

1; 2
7
S  

 

4x 1 9x  4 3 3x

1
4
x 

4x 1 1 9x 4 2 3x

       

4 9

3 0

4 1 1 9 4 2

x

x x

 

    

   

 0 

4 9

3 0

4 1 1 9 4 2

x

x x





    

    



4 9 1

3 0

4
4x 1 1 9x 4 2    x

0
x

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Đk:

Sử dụng máy tính chúng ta

được là nghiệm của phương trình, khi đó ta biến đổi:
Phương trình (1)

Ta có:

Vậy nghiệm của phương
trình là:

Dạng 3: Phương trình chứa ba căn bậc hai trong đó có một căn bậc hai là tích của
hai căn bậc hai cịn lại, ở dạng tốn này chúng ta có các cách giải khác nhau, ở
dạng bài tập này tơi trình bày theo nhiều cách giải sau đó sẽ đưa ra cách giải mà
thông thường học sinh thường lựa chọn và đưa ra nhận xét để nhận dạng bài tập
dạng này:

Dạng: (1)

Đặt: khi đó ta biểu thị căn bậc
hai cịn lại theo , phương trình

(1) sẽ đưa về phương trình bậc hai theo, sau khi giải được, sẽ quay lại cách đặt giải
ẩn .

Bài toán 1: Giải phương trình:
(1)

Giải:

Cách 1: Đk:

Đặt:

(1)

1
x

2
x

2 3 ( 2)( 1) 1

x x x x

       

1 1 ( 2)( 1)

x x x

      





1 1 0

1 1

x x

x

 

     
 

 2 

1 0
1 1

x

x
x





    

  


1 0 1

1 1 x x

x      
2

x

 

( ). ( ) ( )
f x  h x  f x h x g x

 

t f xtttx h x

1 3 2

1 3 x x

x  x   
1 x 3

  

1 3 ; 2;2 2

t x  x t  

2 2

2 3 2x x t 4

    

 2

2 2 3 2

1 3 x x

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Phương trình (1) có dạng:

Với ta có:

Vậy: Tập nghiệm của phương trình
là:

Cách 2: Đặt:

Phương trình trở thành:

Ta có:

Vậy: Tập nghiệm của phương trình
là:

Nhận xét thông qua hai cách giải như sau: Với cách giải 1, sau khi đặt ẩn phụ,

phải tìm điều kiện của ẩn phụ với bài toán phức tạp học sinh khối 10 chưa làm
được, đối với bài tốn có chứa tham số giải theo cách 1 là hợp lý, cách 2, phương
trình một ẩn, sau khi đặt ẩn phụ ta chuyển phương trình có hai ẩn , tuy nhiên ẩn

2
t
t  



t 2





t2 2t 2



0

    

3 2 4 0

t t
   

2
t
 

2
t

1 3 2

x   x

 2

2 3 2 x x 0
1
3
x
x

 

  





1;3



S 



2 2



1 0

3 0

x a

a b
x b

   

  



  

 2 2

4
a b

  

1 a b.
a b  

2 2ab
a b

  



2 2

a b ab

a b

    







2( ) 4 0

a b a b

     

2
a b
  

 2

2 3 2 x x 0
1
3
x
x

 

  

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

này dễ dàng biễu diễn qua ẩn kia mà khơng cần tìm điều kiện của ẩn phụ phức tạp,
từ một phương trình chứa ba căn bậc hai sau khi đặt ẩn phụ đưa bài tốn về giải
phương trình chứa hai căn bậc hai, sau đó biến đổi tương đương về phương trình
bậc nhất, bậc hai một ẩn . Vì vậy tơi sẽ trình bày giải cụ thể một số phương trình
dạng này theo cách 2 như sau:

Bài toán 2: Giải phương trình:
(1)

Giải:
Đk:
Đặt:

Phương trình (1)

Với ta có:

vơ nghiệm

Vậy: Tập nghiệm của phương trình là:
Bài tốn 3: Giải phương trình:

(1)
Giải:

Đặt:

Giáo Viên: Nguyễn Thị Phượng. T Toánổ Trường : Thpt Yjut.Trang 22

3 2 x 6 2 x 4 4x  10 3x

2 x 2
  

3 2 0

6 2 0

x a
x b

   




  

 2 2 2

9 9

a b

a b ab 

   



 



9 a b a b

   

9
a b
a b


   

a b
3 2 x 6 2x



3 2 x 6 2x
6
5
x
 

9
a b 

3 2 x 6 2 x 9
2 x 3 2 2 x

    

12 2 x 5x 15
   x 



2; 2





6
5
S    

 

3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x2

3
1

2
x
 

3 2 0

1 0

x a

x b

   




</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Phương trình (1) có dạng:

Với Ta có :

Vậy phương của trình là:
Bài tốn 4: Giải phương trình:

(1)
Giải:
Đk:

Đặt:

Phương trình (1) có dạng:

Với . Ta có:

Bài tốn 5: Giải
phương trình:

2 2 3 4

a b x

   

2 2 3 9 2

a b a     b ab





( ) 6 0

a b a b

     

3
2
a b

a b

 


    

 3

a b 

3x 2 x 1 3

3x 5x 2 6 2x

    

2
29 34 0

x

x x




  

  

 x2

2x 3 x 1 3x 16 2 2x 5x3

1
x 

2 3 0

1 0

x a

x b

   




  
a2 b2 4 3x

   

2 2

4 16 2
a b a     b ab





( ) 20 0

a b a b

     

5
4
a b
a b

 


    

 5

a b 

2x 3 x 1 5

2 2x 5x 3 21 3x

    

146 417 0
x

x x




    


7

73 4 307
73 4 307

x

x
x




   

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Giải:
Đk:

Phương trình (1)
Đặt:

Phương trình (1) trở thành:

Với ta có:

Vậy: Tập nghiệm của phương trình
là:

a. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp

Đối với học sinh có học lực khá trở lên sẽ dễ dàng tiếp thu các phương pháp giải
các dạng bài tập trên, thông qua các phương pháp trên học sinh sẽ giải được các
phương trình chứa ẩn dưới dấu căn một cách ngắn gọn.

b. Quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp

Thông qua các phương pháp mà tơi trình bày, học sinh sẽ thấy được một bài tốn
có rất nhiều cách giải, với từng tốn thì nên lựa chọn cách nào giải là phù hợp nhất
3 KẾT QUẢ THU ĐƯỢC :

Mặt mạnh: Thông qua phương pháp giải một số dạng toán học sinh sẽ giải được
một dạng bài tập tương đối khó

Mặt yếu: Các dạng bài tập chỉ phù hợp với học sinh khá, giỏi, học sinh trung
bình, yếu khó tiếp thu





( x 3 x1) x 3 x 2x 3 4(1)

1
x



4(x 3 x 2x 3) 4( x 3 x1)

3 0

1 0

x a

x b

   




  


2 2 2 2

a b x

   

2 2 2

3
2

a b

ab a b
 

   





( ) 8 0

a b a b

     

4
2
a b
a b

 


    

 4

a b3  1 4
x  x 

2 2 3 7

x x x

    

7
14

3
x
x



  

 13
4
S    

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

III. KẾT LUẬN
1 KẾT LUẬN :

1. Giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bằng phương pháp đổi biến khơng hồn
tồn.

2. Giải phương trình chứa nhiều căn bậc hai bằng cách nhẩm nghiệm nguyên, sau
đó đưa về phương trình tích

3. Phương trình chứa ba căn bậc hai, trong đó có một căn bậc hai là tích của hai
căn bậc hai còn lại.

Sáng kiến kinh nghiệm: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
CĨ ẨN DƯỚI DẤU CĂN Ở ĐẠI SỐ LỚP 1O” là một kinh nghiệm tổng hợp và
giảng dạy nhỏ của bản thân, giúp cho học sinh có thêm tài liệu để tham khảo, từ đó
các em có những cách giải hợp lý trong q trình ơn tập và luyện thi. Sáng kiến
kinh nghiệm này không tránh khỏi thiếu sót, rất mong sự góp ý chân thành từ đồng

nghiệp và các bạn đọc giúp tơi hồn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.

2 KIẾN NGHỊ:

</div>

Tải Sáng kiến kinh nghiệm - Một số phương pháp giải phương trình có ẩn dưới dấu căn ở đại số lớp 10 - Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

 







 







<sub></sub>

<sub></sub>



 





 

























 



<sub></sub>

<sub></sub>





<sub> </sub>









































































 

 

 











