file word Các phương pháp giải PT - BPT - HPT Mũ và Logarit - Nguyễn Trung Kiên | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (722.93 KB, 54 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PH

ƯƠ

NG TRÌNH- B T PH

Ấ

ƯƠ

NG TRÌNH- H MŨ- LÔGARIT

Ệ

CHƯƠNG I:

PH

ƯƠNG PHÁP GI I PHẢ ƯƠNG TRÌNH- B T PHẤ ƯƠNG TRÌNH- H MŨỆ
BIÊN SO N GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088Ạ Ễ

CH Đ I:PH Ủ Ề ƯƠNG TRÌNH MŨ

BÀI TỐN 1: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP BI N Đ I TẾ Ổ ƯƠNG ĐƯƠNG
I. Phương pháp:

Ta s d ng phép bi n đ i tử ụ ế ổ ương đương sau:

( ) ( )

0 1

f x g x

a
a

a a

f x g x

=


 < ≠

= ⇔ 

  =



ho c ặ

(

) ( ) ( )

1 0

a

a f x g x

>


 −  − =

  



II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i phả ương trình:

(

2+ − x x2

) (

sin = + −2 x x2

)

2− 3 cosx

Gi i: Phả ương trình được bi n đ i v d ng: ế ổ ề ạ

(

)

(

)

2
2

1 2(*)

2 0

1 0(1)

2 1 sin 2 3 cos 0

sin 3 cos 2(2)

x
x x

x x

x x x x

x x

− < <


 + − > 

 ⇔  − − =

 + − − − + = 



 

  + =

Gi i (1) ta đả ược 1,2 1 5
2

x = ± tho mãn đi u ki n (*)ả ề ệ

Gi i (2): ả 1sin 3cos 1 sin 1 2 2 ,

2 x 2 x x x 3 x 3 2 k x 6 k k Z

π π π π π π

 

+ = ⇔  + = ⇔ + = + ⇔ = + ∈

 

Đ nghi m tho mãn đi u ki n (*) ta ph i có:ể ệ ả ề ệ ả

1 1

1 2 2 1 2 0,

6 k 2 6 k 2 6 k k Z

π π π π

π π

   

− < + < ⇔  − −  < <  − ⇔ = ∈

    khi đó ta nh n đậ ược 3

x =π

V y phậ ương trình có 3 nghi m phân bi t ệ ệ 1,2 1 5; 3

2 6

x = ± x = π .

VD2: Gi i phả ương trình:

(

x− 3

)

3x2− +5x 2 =

(

x2− +6x 9

)

x2+ −x 4

Gi i: Phả ương trình được bi n đ i v d ng: ế ổ ề ạ

(

)

(

)

(

)

2 4 2

3 5 2 2 2( 4)

3 x x 3 x x 3 x x

x− − + =   x−  + − = −x + −

2 2 2

3 1 4

0 3 1 3 4

3 5 2 2 2 8 7 10 0

x x

x

x x

x

x x x x x x

− = =

 

=


 < − ≠  < ≠

⇔   ⇔   ⇔

  

  − + = + −  − + =

 

V y phậ ương trình có 2 nghi m phân bi t x=4, x=5.ệ ệ

BÀI TOÁN 2: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP LÔGARIT HOÁ VÀ Đ A V CÙNG C SƯ Ề Ơ Ố
I. Phương pháp:

Đ chuy n n s kh i s mũ lu th a ngể ể ẩ ố ỏ ố ỹ ừ ười ta có th logarit theo cùng 1 c s c 2 v c aể ơ ố ả ế ủ
phương trình, ta có các d ng:ạ

D ng 1:ạ Phương trình:

( )

0 1, 0

log

f x

a

a b

f x b

< ≠ >


= ⇔  =

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

D ng 2:ạ Phương trình :

( ) ( ) log ( ) log ( ) ( ) ( ).log

f x g x f x f x

a a a

a = b ⇔ a = b ⇔ f x =g x b

ho c ặ log f x( ) log g x( ) ( ).log ( ).

ba = bb ⇔ f x ba g x=

II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i phả ương trình:

2 2 2 3
2

x − x=

Gi i: L y logarit cả ấ ơ s 2 hai v phố ế ương trình ta được:

2 2 2 2 2 2 2 2

log 2 log 2 log 3 1 2 1 log 3 0

x− x = ⇔ − = x x − ⇔ − + − x x =

Ta có ,

2 2

1 1 log 3 log 3 0

∆ = − + = > suy ra phương trình có nghi mệ

x = 1± log 3. 2

VD2: Gi i phả ương trình:

5 .8 500.

x
x x

−

Gi i: Vi t l i phả ế ạ ương trình dướ ại d ng:

1 1 3

3 3 2 3

5 .8 500 5 .2 5 .2 5 .2 1

x x x

x − = ⇔ x x− = ⇔ x− x− =

L y logarit c s 2 v , ta đấ ơ ố ế ược:

( )

(

)

3 3

2 2 2 2 2

log 5 .2 0 log 5 log 2 0 3 .log 5 log 2 0

x x

x x x x x x

x

− −

  = ⇔ +   = ⇔ − + − =

   

   

(

)

3
1

3 log 5 0 1

log 5

x
x

=


  

⇔ −  +  = ⇔  = −

 



V y phậ ương trình có 2 nghi m phân bi t:ệ ệ

1
3;

x

log 5

x

= = −

Chú ý: Đ i v i 1 phố ớ ương trình c n thi t rút g n trầ ế ọ ước khi logarit hoá.

BÀI TOÁN 3: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 1Ặ Ẩ Ụ Ạ
I. Phương pháp:

Phương pháp dùng n ph d ng 1 là vi c s d ng 1 n ph đ chuy n phẩ ụ ạ ệ ử ụ ẩ ụ ể ể ương trình ban đ uầ
thành 1 phương trình v i 1 n ph .ớ ẩ ụ

Ta l u ý các phép đ t n ph thư ặ ẩ ụ ường g p sau:ặ

D ng 1: ạ Phương trình ( 1)

1 1 0

k x. x 0

k k a a

α α − α α

−

+ + =

Khi đó đ t ặ t a= xđi u ki n t>0, ta đề ệ ược: 1

1 1 00

k k

kt k t t

α α − α α

−

+ + =

M r ng: N u đ t ở ộ ế ặ t a= f x( ),đi u ki n h p t>0. Khi đó:ề ệ ẹ a2 ( )f x = t a2, 3 ( )f x = t3,...,akf x( ) =tk

Và a f x( ) 1

t
− =

D ng 2:ạ Phương trình 1 2 3 0

x x

a

α + α a + =α v i a.b=1ớ
Khi đó đ t ặ t a= x,đi u ki n t<0 suy ra ề ệ bx 1

t

= ta được: 2 2

1t t 3 0 1t 3t 2 0

α + + = ⇔ α α + α α+ =

M r ng: V i a.b=1 thì khi đ t ở ộ ớ ặ t a= f x( ),đi u ki n h p t>0, suy ra ề ệ ẹ bf x( ) 1

t

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

D ng 3:ạ Phương trình 2

( )

1 2 3 0

x

x x

a ab b

α + α + α = khi đó chia 2 v c a phế ủ ương trình cho b >0 2 x

( ho c ặ a2x, .

( )

a b ), ta đx ược:

1 2 3 0

x x

a a

b

α α

  +   + =

   

   

Đ t ặ ,

x

a
t

b

 

=    đi u ki n t<0, ta đề ệ ược: 2

1t 2 3 0

α + α αt+ =

M r ng: V i phở ộ ớ ương trình mũ có ch a các nhân t : ư ử a2f,b2f, .

( )

a b , ta th c hi n theo các bf ự ệ ước

- Chia 2 v phế ương trình cho b2f >0 (ho cặ a2f, .

( )

a b )f

- Đ tặ

f

a
t

b

 

=    đi u ki n h p t>0ề ệ ẹ
D ng 4: Lạ ượng giác hố.

Chú ý: Ta s d ng ngơn t đi u ki n h p t>0 cho trử ụ ừ ề ệ ẹ ường h p đ t ợ ặ t a= f x( )vì:

- N u đ t ế ặ t a= xthì t>0 là đi u ki n đúng.ề ệ

- N u đ t ế ặ 2 1
2x

t= + thì t>0 ch là đi u ki n h p, b i th c ch t đi u ki n cho t ph i là ỉ ề ệ ẹ ớ ự ấ ề ệ ả t≥ 2.
Đi u ki n này đ c bi t quan tr ng cho l p các bài tốn có ch a tham s .ề ệ ặ ệ ọ ớ ứ ố

II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i phả ương trình: cot 2 12

sin

4 g x+ 2 x − =3 0 (1)
Gi i: Đi u ki n ả ề ệ sinx≠ ⇔ ≠ 0 x k k Zπ, ∈ (*)
Vì 12 1 cot 2

sin x = + g xnên phương trình (1) được bi t dế ướ ại d ng:

cot 2 cot 2

4 g x+ 2.2 g x − =3 0 (2)
Đ t ặ cot 2

2 g x

t= đi u ki n ề ệ t≥1 vì cotg x2 ≥ ⇔ 0 2cotg x2 ≥ =20 1
Khi đó phương trình (2) có d ng:ạ

2 2 3 0 1 2cot 1 cot 2 0

cot 0 ,

g x

t

t t g x

t

gx x π πk k Z

=


+ − = ⇔  = − ⇔ = ⇔ =



⇔ = ⇔ = + ∈ tho mãn (*)ả

x =t2

Khi đó phương trình tương đương v i:ớ

( )

(

)

2 3 2

1
3

2 0 2 3 0 1 3 0

3 0( )

t

t t t t t t

t t t vn

=


− + = ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ 

+ + =


(

2 3

)

x 1 x 0

⇔ + = ⇔ =

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Nh n xét: ậ Nh v y trong ví d trên b ng vi c đánh giá: ư ậ ụ ằ ệ

(

)

(

)(

)

7 4 3 2 3

2 3 2 3 1

+ = +

+ − =

Ta đã l a ch n đự ọ ượ ẩc n ph ụ t= +

(

2 3

)

x cho phương trình

Ví d ti p theo ta s miêu t vi c l a ch n n ph thông qua đánh giá m r ng c a a.b=1, đó là:ụ ế ẽ ả ệ ự ọ ẩ ụ ở ộ ủ

. a b. 1

a b c

c c

= ⇔ = t c là v i các phứ ớ ương trình có d ng: ạ A a. x+B b. x+ =C 0

Khi đó ta th c hi n phép chia c 2 v c a phự ệ ả ế ủ ương trình cho cx ≠0, đ nh n để ậ ược:

. 0

x x

a b

A B C

c c

  +   + =

   

    t đó thi t l p n ph ừ ế ậ ẩ ụ , 0

x

a

t t

c

 

=  >

  và suy ra

x

b

c t

  =
 
 

VD3: Gi i phả ương trình: 2 2 1 2 2 2
2 x + −9.2x +x+2 x+ =0
Gi i: Chia c 2 v phả ả ế ương trình cho 22x+2 ≠0 ta được:

2 2 2 2

2 2 1 2 2 1 2 2 9

2 9.2 1 0 .2 .2 1 0

2 4

x − −x − x − −x + = ⇔ x− x− x −x+ =

2 2

2.2 x − x 9.2x −x 4 0

⇔ − + =

Đ t ặ 2
2x x

t= − đi u ki n t>0. Khi đó phề ệ ương trình tương đương v i:ớ

2 2

2
1

4 2 2 2 1

2 9 4 0 1

2
1

2 2

x x

t x x x

t t

x

t x x

−
− −

  =  − =  = −



− + = ⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ =

− = −


 =  




V y phậ ương trình có 2 nghi m x=-1, x=2.ệ

Chú ý: Trong ví d trên, vì bài tốn khơng có tham s nên ta s d ng đi u ki n cho n ph ch làụ ố ử ụ ề ệ ẩ ụ ỉ
t>0 và chúng ta đã th y v i ấ ớ 1

t= vô nghi m. Do v y n u bài tốn có ch a tham s chúng ta c n xácệ ậ ế ứ ố ầ
đ nh đi u ki n đúng cho n ph nh sau: ị ề ệ ẩ ụ ư

2 1

2 4

1 1 1 1

2 2

2 4 4 2

x x

x − =x x−  − ≥ − ⇔ − ≥ ⇔ ≥t

 

VD4: Gi i phả ương trình: 23 6.2 3(11) 12 1

2
2

x x

x
x−

− − + =

Gi i: Vi t l i phả ế ạ ương trình có d ng:ạ

3
3

2 2

2 6 2 1

2 2

x x

 − −  − =

   

  (1)

Đ t ặ

3
3

3 3

2 2 2 2

2 2 2 3.2 2 6

2 2 2 2

x x x x x

x x x x

t= − ⇒ − = −  +  − = +t t

   

Khi đó phương trình (1) có d ng: ạ 3 6 6 1 1 2 2 1

x
x

t + − = ⇔ = ⇔t t t − =

Đ t ặ u=2 ,x u>0 khi đó phương trình (2) có d ng: ạ

2 1(1)

1 2 0 2 2 2 1

2
2

x

u
u

u u u u x

u

= −


− = ⇔ − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =



V y phậ ương trình có nghi m x=1ệ

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

VD5: Gi i phả ương trình: 1+ 1 2− 2x = +

(

1 2 1 2− 2x

)

.2x

Gi i: Đi u ki n ả ề ệ 1 2− 2x ≥ ⇔0 22x≤ ⇔ ≤1 x 0

Nh v y ư ậ 0 2< x≤1, đ t ặ 2 sin , 0;
2

x = t t  π 

∈ 

Khi đó phương trình có d ng: ạ

(

)

(

)

2 2

1 1 sin sin 1 2 1 sin 1 cos 1 2cos sin

3 3

2 cos sin sin 2 2 cos 2sin cos 2 cos 1 2 sin 0

2 2 2 2 2 2

cos 0(1) 1

2 1

2 6 2

3 2 2 1

sin

2 2

x
x

t t t t t t

t t

t

t x

x

t t

π
π

+ − = + − ⇔ + = +

 

⇔ = + ⇔ = ⇔  − =

 

 =  = 

   =  = −



⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =

 =  =  = 

 



V y phậ ương trình có 2 nghi m x=-1, x=0.ệ

BÀI TOÁN 4: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 2Ặ Ẩ Ụ Ạ
I. Phương pháp:

Phương pháp dùng n ph d ng 2 là vi c s d ng 1 n ph chuy n phẩ ụ ạ ệ ử ụ ẩ ụ ể ương trình ban đ u thành 1ầ
phương trình v i 1 n ph nh ng các h s v n còn ch a x.ớ ẩ ụ ư ệ ố ẫ ứ

Phương pháp này thường s d ng đ i v i nh ng phử ụ ố ớ ữ ương trình khi l a ch n n ph cho 1 bi uự ọ ẩ ụ ể
th c thì các bi u th c cịn l i không bi u di n đứ ể ứ ạ ể ễ ược tri t đ qua n ph đó ho c n u bi u di nệ ể ẩ ụ ặ ế ể ễ
được thì cơng th c bi u di n l i quá ph c t p.ứ ể ễ ạ ứ ạ

Khi đó thường ta được 1 phương trình b c 2 theo n ph ( ho c v n theo n x) có bi t s ậ ẩ ụ ặ ẫ ẩ ệ ố ∆ là
m t s chính phộ ố ương.

II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i phả ương trình: 32x−

(

2x+9 .3

)

x+9.2x =0

Gi i: Đ t ả ặ t =3x, đi u ki n t>0. Khi đó phề ệ ương trình tương đương v i:ớ

(

)

(

)

(

)

2 2 9 9.2 0; 2 9 4.9.2 2 9 9

x x x x x

x

t

t t

t

=


− + + = ∆ = + − = + ⇒ 

=


Khi đó:

+ V i ớ t= ⇔9 3x = ⇔ =9 t 2

+ V i ớ 2 3 2 3 1 0

x

x x x

t= ⇔ = ⇔   = ⇔ =x

 

V y phậ ương trình có 2 nghi m x=2, x=0.ệ

VD2: Gi i phả ương trình: 9x2 +

(

x2−3 3

)

x2−2x2+ =2 0

Gi i: Đ t ả ặ 2
3x

t = đi u ki n ề ệ t≥1 vì x2≥ ⇔0 3x2 ≥30 =1

Khi đó phương trình tương đương v i: ớ t2+

(

x2−3

)

t−2x2+ =2 0

(

2

) (

2 2

) (

2

)

3 4 2 2 1

t

x x x

t x

=


∆ = − − − + = + ⇒ 

= −


Khi đó:

+ V i ớ 2 2

3 3

2 3x 2 log 2 log 2

t= ⇔ = ⇔x = ⇔ = ±x

+ V i ớ 2 2 2

1 3x 1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1 1 3 1

1 1 1 1

x

VT VT

x

VP VP x



≥ = =

 ⇒ ⇔ ⇔ =

 ≥  = 

− =

  

V y phậ ương trình có 3 nghi m ệ x= ± log 2;3 x=0

BÀI TOÁN 5: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 3Ặ Ẩ Ụ Ạ
I. Phương pháp:

Phương pháp dùng n ph d ng 3 s d ng 2 n ph cho 2 bi u th c mũ trong phẩ ụ ạ ử ụ ẩ ụ ể ứ ương trình và
khéo léo bi n đ i phế ổ ương trình thành phương trình tích.

II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i phả ương trình: 2 3 2 2 6 5 2 2 3 7
4x − +x +4x+ +x =4 x + +x +1

Gi i: Vi t l i phả ế ạ ương trình dướ ại d ng: 2 3 2 2 2 6 5 2 3 2 2 2 6 5
4x − +x +4 x + +x =4x − +x .4 x+ +x +1

Đ t ặ

3 2
2 6 5

, , 0

x x
x x

u

u v
v

− +
+ +

 =

 >


=


Khi đó phương trình tương đương v i:ớ

(

) (

)

1 1 1 0

u v uv+ = + ⇔ u− − =v

3 2 2

2
2 6 5

1 4 1 3 2 0 2

1 4 1 2 6 5 1

x x

x

u x x x

v x x x

x
− +

+ +

=



 

= = − + = =

 

⇔ = ⇔ ⇔ + + ⇔ = −



  = 

 = −



V y phậ ương trình có 4 nghi m.ệ

VD2: Cho phương trình: m.2x2− +5x 6+21−x2 =2.26 5− x+m(1)

a) Gi i phả ương trình v i m=1ớ

b) Tìm m đ phể ương trình có 4 nghi m phân bi t.ệ ệ
Gi i: Vi t l i phả ế ạ ương trình dướ ại d ng:

( )

2 2

2 2 2 2

( 5 6) 1

5 6 1 7 5 5 6 1

5 6 1 5 6 1

.2 2 2 .2 2 2

.2 2 2 .2

x x x

x x x x x x x

x x x x x x

m m m m

m m

− + + −

− + − − − + −

− + − − + −

+ = + ⇔ + = +

⇔ + = +

Đ t: ặ

5 6
1

, , 0

x x
x

u

u v
v

− +
−

 =

 >


=

 . Khi đó phương trình tương đương v i:ớ

(

) (

)

5 6
1

1 2 1

1 0 2

2 (*)

x x
x

x

x
u

mu v uv m u v m x

v m m

m

− +

−

 =


= = 



+ = + ⇔ − − = ⇔ = ⇔ ⇔ =



  = 

=


V y v i m i m phậ ớ ọ ương trình ln có 2 nghi m x=3, x=2ệ

a) V i m=1, phớ ương trình (*) có d ng: ạ 1 2 2 2

2−x = ⇔ −1 1 x = ⇔0 x = ⇔ = ±1 x 1
V y v i m=1, phậ ớ ương trình có 4 nghi m phân bi t: x=3, x=2, x=ệ ệ ±1

b) Đ (1) có 4 nghi m phân bi tể ệ ệ ⇔(*)có 2 nghi m phân bi t khác 2 và 3.ệ ệ

(*) 2 2

2 2

0 0

1 log 1 log

m m

x m x m

> >

 

⇔ ⇔

− = = −

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

( )

2
2
2

0 2

1 log 0 1 1 1

0; 2 \ ;

1 log 4 8 8 256

1 log 9

256

m

m m

m

m
m

m

>



 <



 − >

 ⇔ ⇔ ∈  

 − ≠  ≠  

 

 

 − ≠ 

 ≠



V y v i ậ ớ

( )

0; 2 \ 1 1;
8 256

m∈  

  tho mãn đi u ki n đ u bài.ả ề ệ ầ

BÀI TOÁN 6: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 4Ặ Ẩ Ụ Ạ

I. Phương pháp:

Phương pháp dùng n ph d ng 4 là vi c s d ng k n ph chuy n phẩ ụ ạ ệ ử ụ ẩ ụ ể ương trình ban đ u thành 1ầ
h phệ ương trình v i k n ph .ớ ẩ ụ

Trong h m i thì k-1 thì phệ ớ ương trình nh n đậ ượ ừc t các m i liên h gi a các đ i lố ệ ữ ạ ượng tươ ng
ng.

ứ

Trường h p đ c bi t là vi c s d ng 1 n ph chuy n phợ ặ ệ ệ ử ụ ẩ ụ ể ương trình ban đ u thành 1 h phầ ệ ươ ng
trình v i 1 n ph và 1 n x, khi đó ta th c hi n theo các bớ ẩ ụ ẩ ự ệ ước:

Bước 1: Đ t đi u ki n có nghĩa cho các bi u tặ ề ệ ể ượng trong phương trình.
Bước 2: Bi n đ i phế ổ ương trình v d ng: ề ạ f x ,ϕ

( )

x  = 0

Bước 3: Đ t ặ y=ϕ

( )

x ta bi n đ i phế ổ ương trình thành h :ệ

( )

(

;

)

y x

f x y

ϕ
 =


 =



II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i phả ương trình: 81 2 1 181

2 1 2 2 2 2 2

x

x− + + x+ = x− + −x+

Gi i: Vi t l i phả ế ạ ương trình dướ ại d ng: 81 1 1 1 181
2x− +1 2+ −x+1 2= x− +2−x+2
Đ t: ặ

1
1

2 1

, , 1

2 1

x
x

u

u v
v

−
−

 = +

 >



= +



Nh n xét r ng: ậ ằ u v. =

(

2x−1+1 . 2

) (

1−x+ =1

)

2x−1+21−x+ = +2 u v
Phương trình tương đương v i h :ớ ệ

8 1 18 8 18 2

9
9;

u v
u v

u v u v

u v uv u v

u v uv

= =

 + =  + = 

 + ⇔ ⇔

  + =  = =


 + =

 

+ V i u=v=2, ta đớ ược:

1
1

2 1 2

x

x x

−
−

 + =

 ⇔ =



+ =


+ V i u=9 và ớ 9
8

v= , ta được:

1
1

2 1 9

4
9

2 1

x

x x

−
−

 + =

 ⇔ =

 + =



V y phậ ương trình đã cho có các nghi m x=1 và x=4.ệ

VD2: Gi i phả ương trình: 22x− 2x+ =6 6

Gi i: Đ t ả ặ u=2x, đi u ki n u>0. Khi đó phề ệ ương trình thành: u2− u+ =6 6

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Khi đó phương trình được chuy n thành h :ể ệ

(

) (

)

2 2

6 0

1 0
6

u v u v

u v u v u v u v

u v
v u

 = +  − =

 ⇔ − = − − ⇔ − + = ⇔

  + + =

= +

 



+ V i u=v ta đớ ược: 2 6 0 3 2 3 8

2(1)

x

u

u u x

u

=


− − = ⇔ = − ⇔ = ⇔ =



+ V i u+v+1=0 ta đớ ược:

1 21

21 1 21 1

5 0 2 log

2 2

1 21

(1)
2

x

u

u u x

u

 = − +

 − −



+ − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

 − −

=


V y phậ ương trình có 2 nghi m là x=8 và x=ệ log2 21 1.
2

−

BÀI 7: S D NG TÍNH CH T Đ N ĐI U C A HÀM SÔỬ Ụ Ấ Ơ Ệ Ủ
I. Phương pháp:

S d ng các tính ch t c a hàm s đ gi i phử ụ ấ ủ ố ể ả ương trình là d ng tốn khá quen thu c. Ta có 3ạ ộ
hướng áp d ng:ụ

Hướng1: Th c hi n các bự ệ ước sau:

Bước 1: Chuy n phể ương trình v d ng: f(x)=kề ạ

Bước 2: Xét hàm s y=f(x). Dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s đ n đi u( gi s đ ngố ậ ậ ẳ ị ố ơ ệ ả ử ồ
bi n)ế

0 =kdo đó phương trình vơ nghi m.ệ

V y ậ x x= 0 là nghi m duy nh t c a phệ ấ ủ ương trình.

Hướng 2: Th c hi n theo các bự ệ ước:

Bước 1: Chuy n phể ương trình v d ng: f(x)=g(x)ề ạ

Bước 2: Xét hàm s y=f(x) và y=g(x). Dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s y=f(x) là ố ậ ậ ẳ ị ố
Là đ ng bi n còn hàm s y=g(x) là hàm h ng ho c ngh ch bi nồ ế ố ằ ặ ị ế

Xác đ nh ị x sao cho 0 f x

( )

0 =g x

( )

Bước 3: V y phậ ương trình có nghi m duy nh t ệ ấ x x= 0

Hướng 3: Th c hi n theo các bự ệ ước:

Bước 1: Chuy n phể ương trình v d ng: f(u)=f(v) (3)ề ạ

Bước 2: Xét hàm s y=f(x). Dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s đ n đi u ( gi s ố ậ ậ ẳ ị ố ơ ệ ả ử
đ ng bi n)ồ ế

Bước 3: Khi đó: (3)⇔ =u v v iớ ∀u v D, ∈ f

II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i phả ương trình: x+2.3log2x =3 (1)

Gi i: Đi u ki n x>0. Bi n đ i phả ề ệ ế ổ ương trình v d ng: ề ạ 2.3log2x = −3 x (2)
Nh n xét r ng: ậ ằ

+ V ph i c a phế ả ủ ương trình là m t hàm ngh ch bi n.ộ ị ế
+ V trái c a phế ủ ương trình là m t hàm đ ng bi n.ộ ồ ế

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

V y x=1 là nghi m duy nh t c a phậ ệ ấ ủ ương trình.

VD2: Gi i phả ương trình:

(

)

3 1

2
3

log 3 2 2 2

x x

x x

− −

 

− + + +  =

  (1)

Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ 2 3 2 0 1
2

x

x x

x

≤


− + ≥ ⇔  ≥

Đ t ặ u= x2− +3x 2, đi u ki n ề ệ u≥0 suy ra: x2− + =3x 2 u2 ⇔3x x− − = −2 1 1 u2

Khi đó (1) có d ng: ạ

(

)

1
3

log 2 2

u

−

 

+ +  =

 

Xét hàm s : ố

(

)

(

)

3 3

1 1

( ) log 2 log 2 .5

5 5

x

f x x x x

−

 

= + +  = + +

 

+ Mi n xác đ nh ề ị D=

[

0;+∞)

+ Đ o hàm: ạ f =

(

x+2 ln 3 51

)

+1.2 .5 .ln 3 0,x x2 > ∀ ∈x D. Suy ra hàm s tăng trên Dố
M t khác ặ

( )

(

)

1 log 1 2 .5 2.

f = + + =

Do đó, phương trình (2) được vi t dế ướ ại d ng:

( )

1 1 2 3 2 1 3 5

f u = f ⇔ = ⇔u x − + = ⇔ =x x ±

V y phậ ương trình có hai nghi m ệ 3 5
2

x= ±

VD2: Cho phương trình: 2 224 2

2 2 2

5x + mx+ −5 x+mx+ =x +2mx m+
a) Gi i phả ương trình v i ớ 4

m= −

b) Gi i và bi n lu n phả ệ ậ ương trình

Gi i: Đ t ả ặ t =x2 +2mx+2 phương trình có d ng: ạ 5t+ =t 52t m+ −2 + + −2t m 2 (1)

Xác đ nh hàm s ị ố f t

( )

= +5t t

+ Mi n xác đ nh D=Rề ị

+ Đ o hàm: ạ f =5 .ln 5 1 0,t + > ∀ ∈ ⇒x D hàm s tăng trên Dố

V y (1) ậ ⇔ f t

( )

= f

(

2t m+ − ⇔ = + − ⇔ + − = ⇔2

)

t 2t m 2 t m 2 0 x2+2mx m+ =0 (2)
a) V i ớ 4

m= − ta được: 2 2

8 4

0 5 8 4 0 2

5 5

x

x x x x

x

=



+ − = ⇔ − − = ⇔

 = −


V y v i ậ ớ 4
5

m= − phương trình có 2nghi m ệ 2; 2
5

x= x= −

b) Xét phương trình (2) ta có: ∆ =' m2−m

+ N u ế ∆ < ⇔' 0 m2− < ⇔ < <m 0 0 m 1. Phương trình (2) vơ nghi mệ ⇔phương trình (1) vơ

nghi m.ệ

+ N u ế ∆ = ⇔' 0 m=0 ho c m=1.ặ

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

+ N u ế ' 0 1
0

m
m

>


∆ > ⇔  < phương trình (2) có 2 nghi m phân bi t ệ ệ 2

1,2

x = − ±m m −m đó cũng là

nghi m kép c a (1)ệ ủ
K t lu n: ế ậ

V i m=0 phớ ương trình có nghi m kép x=0ệ

V i m=1 phớ ương trình có nghi m kép xệ 0=-1

V i 0<m<1 phớ ương trình vô nghi mệ

V i m>1 ho c m<0 phớ ặ ương trình có 2 nghi m ệ 2
1,2

x = − ±m m −m

BÀI TOÁN 8: S D NG GIÁ TR L N NH T VÀ NH NH T C A HÀM SỬ Ụ Ị Ớ Ấ Ỏ Ấ Ủ Ố
I. Phương pháp:

V i phớ ương trình có ch a tham s : f(x,m)=g(m). Chúng ta th c hi n các bư ố ự ệ ước sau:

Bước 1: L p lu n s nghi m c a (1) là s giao đi m c a đ th hàm s (C): y=f(x,m) và đậ ậ ố ệ ủ ố ể ủ ồ ị ố ườ ng
th ng (d): y=g(m).ẳ

Bước 2: Xét hàm s y=f(x,m)ố
+ Tìm mi n xác đ nh Dề ị

+ Tính đ o hàm y’ rịi gi i phạ ả ương trình y’=0
+ L p b ng bi n thiên c a hàm sậ ả ế ủ ố

Bước 3: K t lu n:ế ậ

+ Phương trình có nghi m ệ ⇔min f x m

(

)

≤g m( ) max≤ f x m x D

(

)

( ∈ )
+ Phương trình có k nghi m phân bi tệ ệ ⇔(d) c t (C) t i k đi m phân bi tắ ạ ể ệ
+ Phương trình vơ nghi m ệ ⇔

( ) ( )

d I C = ∅

II. VD minh ho :ạ

VD1: Cho phương trình: 2 2( 2 2 2)

2 2 2

3x − +x +2 x − +x + −x 2x m= −2
a) Gi i phả ương trình v i m=8ớ

b) Gi i phả ương trình v i m=27ớ
c) Tìm m đ phể ương trình có nghi mệ

Gi i: Vi t l i phả ế ạ ương trình dướ ại d ng: 2 2 2 2 2 2 2

3x− +x +4x − +x + −x 2x+ =2 m
S nghi m c a phố ệ ủ ương trình là s giao đi m c a đ th hàm s :ố ể ủ ồ ị ố

y=3x2− +2x 2+4x2− +2x 2+ −x2 2x+2 v i đớ ường th ng y=mẳ

Xét hàm s ố 2 2 2 2 2 2 2

3x x 4x x 2 2

y= − + + − + + −x x+ xác đ nh trên D=Rị
Gi i h n: ớ ạ lim y= +∞

B ng bi n thiên: vì 3>1, 4>1 nên s bi n thiên c a hàm s ph thu c vào s bi n thiên cc a hàmả ế ự ế ủ ố ụ ộ ự ế ủ
s ố t=x2−2x+2 ta có:

a) V i m=8 phớ ương trình có nghi m duy nh t x=1ệ ấ

b) V i m=27 phớ ương trình có 2 nghi m phân bi t x=0 và x=2ệ ệ
c) Phương trình có nghi m khi m>8ệ

VD2: V i giá tr nào c a m thì phớ ị ủ ương trình:

2 4 3

4 2

1
5

x x

m m

− +

  = − +

 

  có 4 nghi m phân bi tệ ệ

Gi i: Vì ả m4−m2 + >1 0 v i m i m do đó phớ ọ ương trình tương đương v i:ớ

2 1

(

4 2

)

4 3 log 1

x − x+ = m −m +

Đ tặ 1

(

4 2

)

log m −m + =1 a, khi đó: x2−4x+ =3 a

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

⇔đường th ng y=a c t đ th hàm s ẳ ắ ồ ị ố y= x2−4x+3 t i 4 đi m phân bi tạ ể ệ
Xét hàm s : ố

2
2

4 3 1 3

4 3

4 3 1 3

x x khix hoacx

y x x

x x khi x

 − + ≤ ≥



= − + = 

− − + ≤ ≤



Đ oạ hàm: ' 2 4 1 3

2 4 1 3

x khix hoacx
y

x khi x

− < >



= − + < <



B ng bi n thiên:ả ế

T đó, đừ ường th ng y=a c t đ th hàm sẳ ắ ồ ị ốy= x2−4x+3 t i 4 đi m phân bi t ạ ể ệ

(

4 2

)

4 2

1
5

0 1 0 log 1 1 1 1 0 1

a m m m m m

⇔ < < ⇔ < − + < ⇔ < − + < ⇔ < <

V y v i ậ ớ 0< m <1 phương trình có 4 nghi m phân bi t.ệ ệ

VD3: Gi i và bi n lu n theo m s nghi m c a phả ệ ậ ố ệ ủ ương trình: 2x+ =3 m 4x+1

Gi i: Đ t ả ặ t =2 ,x t >0phương trình được vi t dế ướ ại d ng: 
3 2 1 2 3

t

t m t m

t

+ = + ⇔ =

+ (1)

S nghi m c a (1) là s giao đi m c a đ th hàm s (C): ố ệ ủ ố ể ủ ồ ị ố 2 3
1

t
y

t

+
=

+ v i đớ ường th ng (d):y=mẳ

Xét hàm s : ố 2 3
1

t
y

t

+ xác đ nh trên ị D

(

0;+∞

)

+ Đ o hàm: ạ

(

)

1 3 1

' ; ' 0 1 3 0

1 1

t

y y t t

t t

−

= = ⇔ − = ⇔

+ +

+ Gi i h n: ớ ạ limy=1

(

t→ +∞

)

+ B ng bi n thiên:ả ế

Bi n lu n: ệ ậ

V i ớ m≤1 ho c ặ m> 10 phương trình vơ nghi mệ

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

CH Đ II:B T PHỦ Ề Ấ ƯƠNG TRÌNH MŨ

B ÀI TỐN I: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP BI N Đ I TẾ Ổ ƯƠNG ĐƯƠNG

I. Phương pháp:

Ta s d ng các phép bi n đ i tử ụ ế ổ ương đương sau:

D ng 1:ạ V i b t phớ ấ ương trình: ( ) ( )

( )

0 1

f x g x

a

f x g x

a a

a
f x g x

 >

 <




< ⇔ 

< <



 >


ho c ặ

(

) ( )

( )

1 0

a

a f x g x

>


 −  − <

  



D ng 2:ạ V i b t phớ ấ ương trình: ( ) ( )

( )

1
1

0 1

f x g x

a

f x g x

a a a

a
f x g x

 >

 ≤





≤ ⇔ =

 < <

 ≥





ho c ặ

(

) ( )

( )

1 0

a

a f x g x

>


 −  − ≤ 

  



Chú ý: C n đ c bi t l u ý t i giá tr c a c s a đ i v i b t phầ ặ ệ ư ớ ị ủ ơ ố ố ớ ấ ương trình mũ.

II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i các b t phả ấ ương trình:

a) 2

1
2

1
2
2

x
x x

−
− ≤

(

10 3

) (

13 10 3

)

x x

− +

+ < +

Gi i: ả

a) Bi n đ i tế ổ ương đương b t phấ ương trình v d ng:ề ạ

(

)

2 2 1 2

2
2

1 0

2 0

1 1

2 1 2

1 0

2 2

2 1

x x x

x

x x

x x x x

x

x x x

− −

 − ≤

 − ≥




  ≤  ⇔ − ≥ − ⇔ ⇔ ≥

     − >

    

 − ≥ −



V y nghi m c a b t phậ ệ ủ ấ ương trình là x≥2

Chú ý: Đ tránh sai sót khơng đáng có khi bi n đ i b t phể ế ổ ấ ương trình mũ v i c s nh h n 1 cácớ ơ ố ỏ ơ
em h c sinh nên l a ch n cách bi n đ i: ọ ự ọ ế ổ

2 2

1 2 1 2 2

2 2 2 2 1 2 1 2

x x x x

x x x x x x x x x

− − − −

− ≤ ⇔ ≤ ⇔ − − ≤ − ⇔ − ≥ − ⇔ ≥

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Khi đó b t phấ ương trình được vi t dế ướ ại d ng:

(

) (

)

(

)

(

) (

)

3 1 3 1

1 3 1 3

10 3 10 3 10 3 1

3 5

3 1 5

0 0

1 3 1 3 1 5

x x x x

x

x x x

x x x x x

− + − + +

− + − +

+ ≤ + ⇔ + <

− < < −

− + −

⇔ − + + < ⇔ − + < ⇔ 

< <


V y nghi m c a b t phậ ệ ủ ấ ương trình là:

(

− −3; 5

) ( )

∪ 1; 5

BÀI TOÁN 2: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ VÀ Đ A V CÙNG C SƯ Ề Ơ Ố
I. Phương pháp:

Để chuy n n s kh i s mũ lu th a ngể ẩ ố ỏ ố ỹ ừ ười ta có th logarit hố theo cùng 1 c s c hai v c aể ơ ố ả ế ủ
b t phấ ương trình mũ. Chúng ta l u ý 1 s trư ố ường h p c b n sau cho các b t phợ ơ ả ấ ương trình mũ:

D ng 1ạ : V i b t phớ ấ ương trình: af x( )<b( v i b>0)ớ

( )

1
log

0 1

log

a

f x b

a

f x b

 >

 <



⇔  < <



 >


D ng 2ạ : V i b t phớ ấ ương trình:

( )

1
0
0

1
( ) log

0 1

( ) log

f x

a

a
f x
b

a b a

f x b

a

f x b

 >

 ≠



 <


> ⇔  > 

  >
 
 < <

 <


D ng 3ạ : V i b t phớ ấ ương trình: af x( )>bg x( ) ⇔lgaf x( ) >lgbg x( ) ⇔ f x( ).lga g x> ( ).lgb ho c có thặ ể

s d ng logarit theo c s a hay b.ử ụ ơ ố

II. VD minh ho : ạ

VD: Gi i b t phả ấ ương trình: 2

49.2x >16.7x

Gi i: Bi n đ i tả ế ổ ương đương phương trình v d ng: ề ạ 2x−4 >7x−2

L y logarit c s 2 hai v phấ ơ ố ế ương trình ta được:

2 4 2 2

(

)

2 2 2 2 2

log 2x − log 7x− x 4 x 2 log 7 f x( ) x xlog 7 2log 7 4 0

⇔ > ⇔ − > − ⇔ = − + − >

Ta có: 2

(

) (

)

2 2 2 2

log 7 8log 7 16 log 7 4 4 log 7

∆ = − + = − = − . Suy ra f(x)=0 có nghi m:ệ

1,2 2

(

)

2 2 1

2
log 7 4 log 7

log 7 2
2

x
x

x x

± − 

= ⇔  =

− <


V y b t phậ ấ ương trình có nghi m x>2 ho c ệ ặ x<log 7 22 −

BÀI TOÁN 3: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 1Ặ Ẩ Ụ Ạ
I. Phương pháp:

M c đích chính c a phụ ủ ương pháp này là chuy n các bài toán đã cho v b t phể ề ấ ương trình đ i sạ ố
quen bi t đ c bi t là các b t phế ặ ệ ấ ương trình b c 2 ho c các h b t phậ ặ ệ ấ ương trình.

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

1 2 1 2 1 1 3 1

1 3 1 0 1 1 3 0

t t t t t t

+ − < + + − ⇔ − < + −

 

⇔ − − + − < ⇔ −  + − + <

(

) (

)

(

)

1 2 2 0 1 1

2x 1 1 2x 2 1

t t t t

x

⇔ − − < ⇔ − ⇔ <

⇔ − < ⇔ < ⇔ <

V y nghi m c a b t phậ ệ ủ ấ ương trình là

[

0;1)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)(

)

3
3

2
2

9 3 11 2 3 2 3 2

5 2 6 3 2 3 2

3 2 3 2 3 2 3 2 1

x

x x

x

x x

x

x x

   

+ = +  = + 

   

   

+ = +  = + 

   

 

+ − = + −  =

Do đó n u đ t ế ặ t=

(

3+ 2

)

x, đi u ki n t>0 thì ề ệ

(

3 2

)

x 1

t

− =

Khi đó b t phấ ương trình tương đương v i: ớ

(

) (

)

(

)

3 2 4 3

2 2 1 2 2 1

1 2 1 0 2 1

t t t t t

t

t t t t t

+ − < ⇔ + − − <

⇔ − + + + < ⇔ − < <

K t h p v i đi u ki n c a t ta đế ợ ớ ề ệ ủ ược: 0< < ⇔ +t 1

(

2 3

)

x< ⇔ <1 x 0
V y nghi m c a b t phậ ệ ủ ấ ương trình là x<0.

VD3: Gi i b t phả ấ ương trình:

(

5+ 21

) (

x+ −5 21

)

x≤2x+log 52

Gi i: Chia 2 v b t phả ế ấ ương trình cho 2x >0ta được: 5 21 5 21 5

2 2

x x

 +   − 

+ ≤

   

   

Nh n xét r ng: ậ ằ 5 21 . 5 21 1

2 2

x x

 +   − 

   

   

Nên n u đ t ế ặ 5 21
2

x

t=  + 

  đi u ki n t>0 thì ề ệ

5 21 1

x

t

 − 

 

  . Khi đó b t phấ ương trình có d ng:ạ

1 5 21 5 21

5 5 1 0

2 2

5 21 5 21 5 21

1 1

2 2 2

x

t t t t

t

x

− +

+ ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤

 

− + +

⇔ ≤  ≤ ⇔ − ≤ ≤

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

V y nghi m c a phậ ệ ủ ương trình là:

[

−1;1

]

VD4: Gi i b t phả ấ ương trình : 5 2.52 3 5

5 4

x
x

x

+ >

−

Gi i: Đi u ki n ả ề ệ 2

5 5

5 x− > ⇔4 0 2x>log 4⇔ >x log 2
(*)
Đ tặ u=5x, đi u ki n u>2, khi đó b t phề ệ ấ ương trình có d ng: ạ

3 5
4

u
u

u

+ >

− (1)

Bình phương 2 v phế ương trình (1) ta được:

2 2 2 2

2 2 2 2

4 4

45 4. 45

4 4 4 4

u u u u

u

u u u u

+ + > ⇔ + >

− − − − (2)

Đ tặ

2 4, 0

u

t t

u

= >

− . Khi đó b t phấ ương trình (2) có d ng:ạ

2 4 2

2 5

4 45 0 5 5 25 100 0

log 20

20 20 5 20(*)

5 5 5 5 log 5

x
x

u

t t t u u

u

x

u u

u u x

+ − > ⇔ > ⇔ > ⇔ − + >

−

 >

 

 > > > 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

< < <

  <  >

   

V y nghi m c a b t phậ ệ ủ ấ ương trình là 5

(

)

log 2; log 20;

x∈ ∪ +∞

 

BÀI TOÁN 4: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 2Ặ Ẩ Ụ Ạ
I. Phương pháp:

Phương pháp này gi ng nh phố ư ương trình mũ.

II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i b t phả ấ ương trình: 1 2
4x−2x+ +4x ≤0
Gi i: Đ t ả ặ t =2x đi u ki n t>0ề ệ

Khi đó b t phấ ương trình có d ng: ạ 2 2

2 4x 0

t − +t ≤ . Ta có: 2

' 1 4x 0

∆ = − ≤

Do đó:

2
2

' 0

4 1

1 4 0

(2) 0

1 2 1

x
x

x

x
b

x

t t

a

∆ =

  − =  =  =

  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ =

= −  =  = 

  

1

)

0

f t = −t x+ t+ x+ ≥ . Ta có ∆ = +'

(

x 5

)

2−9 2

(

x+ = −1

) (

x 4

)

2.
Do đó f(t)=0 có 2 nghi m t=9 ho c t=2x+1ệ ặ

Do đó b t phấ ương trình có d ng: ạ

(

t−9

) (

t−2x− ≥1

)

3 9

9 0 2

2 1 0 3 2 1 0 1 2

0 1

9 0 3 9 2

2 1 0 3 2 1 0 1

x
x
x
x

t x

t x x Bemouli x x x

x

t x

t x x x

 ≥

 − ≥   ≥

 

 − − ≥  ≥ +  ≤ ∨ ≥  ≥

  

 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

≤ ≤

− ≤ ≤

  ≤  

  



− − ≤ ≤ ≤

 ≤ + 

  

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

BÀI TOÁN 5: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 3Ặ Ẩ Ụ Ạ
I. Phương pháp:

S d ng 2 n ph cho 2 bi u th c mũ trong b t phử ụ ẩ ụ ể ứ ấ ương trình và khéo léo bi n đ i b t phế ổ ấ ươ ng
trình thành phương trình tích, khi đó l u ý: ư

0
0

. 0

0
0

A
B
A B

A
B

 >

 >



> ⇔  <

 <



và

0
0

. 0

0
0

A
B
A B

A
B

 >

 <



< ⇔  <

 >



II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i b t phả ấ ương trình : 6x+2x+2 ≥4.3x+22x

Gi i: Vi t l i b t phả ế ạ ấ ương trình dướ ại d ng: 2 .3x x+4.2x−4.3x−22x ≥0

Đ tặ 3
2

x
x

u
v

 =



 đi u ki n u,v>0. khi đó b t phề ệ ấ ương trình có d ng:ạ

(

) (

)

4 4 0 4 0

3 2

0 0

4 0 2 4 2

0 3 2 0

4 0 2 4 2

x x

x

x x

x

uv v u v u v v

u v x

v x

u v x

v x

+ − − ≥ ⇔ − − ≥

 ≥

 − ≥   ≥



 

 − ≥  ≥  ≥



  

 

⇔ ⇔ ⇔

− ≤ ≤

  ≤ 

  

− ≤ ≤

 ≤ 

  

V y b t phậ ấ ương trình có nghi m ệ x≥2 ho c ặ x≤0

VD2: Gi i b t phả ấ ương trình : 2x+ 2x+ <1 22x+1+4x+2

Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ 2 1 0 1
2

x+ ≥ ⇔ ≥ −x

Vi t l i b t phế ạ ấ ương trình dướ ại d ng: 2x+ 2x+ <1 2.22x+2 2

(

x+1

)

Đ tặ 2

2 1

x

u

v x

 =



= +

 đi u ki n u>0 và ề ệ v≥0. Khi đó b t phấ ương trình được bi n đ i v d ng:ế ổ ề ạ

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2

2 2 2 2 0

2x 2 1

u v u v u v u v u v

u v x

+ < + ⇔ + < + ⇔ − >

⇔ ≠ ⇔ ≠ +

Ta xét phương trình: 2

2 0

2 2 1 2 2 1 1

2 1

x x

x
x

x x

=

=

 

= + ⇔ = + ⇔ ⇔

= =

 

V y b t phậ ấ ương trình có nghi m ệ 1; / 0;1

2 2

x∈ − +∞    

   

VD3:B t phấ ương trình : 5x− + − ≥1 5x 3 52x+log 25 −2.5x+1+16 có nghi m là ệ

a) x≤1

b) x>1

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

(

) (

)

2 1

5 1 5 3 2.5 10.5 16

5 1 5 3 2 5 3 2 5 1

x x x x

− + − ≥ − +

⇔ − + − ≥ − + −

Đi u ki n: ề ệ 5 1 0x− ≥ ⇔ ≥x 0. Đ t ặ 5 1 0

5 3

x
x

u
v

 = − ≥




= −

 . B t phấ ương trình được bi n đ i v d ng:ế ổ ề ạ

(

)

(

)

2 2

2 2 2 2

0 0

2 2 5 1 5 3

2 2 0

5 3 0 5 3

5 7.5 10 0

5 1 5 3

x x

u v u v

u v u v u v

x

+ ≥ + ≥

 

 

+ ≥ + ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ − = −

+ ≥ + − ≤

 

 

 − ≥  ≥

 

⇔ ⇔ ⇔ =

− + =


− = −

 



V y b t phậ ấ ương trình có nghi m x=1.ệ

CÁC B T PHẤ ƯƠNG TRÌNH MŨ ĐƯỢC GI I B NG NHI U CÁCHẢ Ằ Ề
I. Đ T V N Đ :Ặ Ấ Ề

Nh v y thông qua các bài toán trên, chúng ta đã bi t đư ậ ế ược các phương pháp c b n đ gi i b tơ ả ể ả ấ
phương trình mũ và thơng qua các ví d minh ho chúng ta cũng có th th y ngay m t đi u r ng,ụ ạ ể ấ ộ ề ằ
m t b t phộ ấ ương trình có th để ược th c hi n b ng nhi u phự ệ ằ ề ương pháp khác nhau. Trong m c nàyụ

s minh ho nh ng ví d đẽ ạ ữ ụ ược gi i b ng nhi u phả ằ ề ương pháp khác nhau v i m c đích c b n là:ớ ụ ơ ả
+ Giúp các em h c sinh đã ti pọ ế nh n đ y đ ki n th c toán THPT tr nên linh ho t trong vi c l aậ ầ ủ ế ứ ở ạ ệ ự
ch n phọ ương pháp gi i.ả

+ Giúp các em h c sinh l pọ ớ 10 và 11 l a ch n đự ọ ược phương pháp phù h p v i ki n th c c a mình.ợ ớ ế ứ ủ

II. VD minh ho : ạ

VD: Tìm m dương đ b t phể ấ ương trình sau có nghi m:ệ

(

)

(

)

2 2 2 1 2 2 2 1

2+ 3 x+ x m m− + + +m + −2 3 x+ x m m− + + −m ≤ +8 4 3
Gi i: Nh n xét r ng: ả ậ ằ

(

2+ 3 . 2

) (

− 3

)

Nên n u đ t ế ặ

(

)

2 2 2

2 3 x x m m m

u= + + − + + đi u ki n u>1ề ệ

Thì

(

)

2 2 2
1

2 3 x x m m m

u
+ − + +

− = . Khi đó b t phấ ương trình có d ng: ạ

Ta có th l a ch n 1 trong 2 cách gi i sau:ể ự ọ ả

Cách 1: S d ng phử ụ ương pháp đ t n ph .ặ ẩ ụ

Đ tặ t=x-m, b t phấ ương trình có d ng: ạ t2+2

(

t +mt

)

+2m2+ − ≤m 1 0

(2)
+ V i ớ t≥0 thì (2)⇔ f t

( )

= +t2 2

(

m+1

)

t+2m2+ − ≤m 1 0 (3)

V y (2) có nghi m ậ ệ ⇔(3) có ít nh t 1 nghi m ấ ệ t≥0
f(t)=0 có ít nh tấ 1 nghi m ệ t≥0 (0 t≤ ≤1 t2 ho c ặ t1≤ ≤0 t2)

(

)

(

)

(

)

2 2

2
2

2 2

2 3

2 3 4 2 3 4 1 0

2 3 2 3 2 3 x x m m m 2 3 2 1(1)

u u u

u

u + − + + x x m m m

+ + ≤ + ⇔ − + ≤

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

(

)

2 2
2

1 2

1 2 1 0

' 0

2 1 0

(0) 0 1

1
1

1 0 2

0 1

2 1 0 1

(0) 0 1

m

m m m m

m m

af

m
m

m

s

m

m m

af m

 − ≤ ≤

  + − − + ≥ 

∆ ≥   ≥

 ≥  + − ≥ 






 

⇔ ⇔− − ≥ ⇔  ≤ − ⇔ − ≤ ≤




 ≥

   ≤ −

  + − ≤ 



 ≤ 

 − ≤ ≤

+ V i ớ t≤0 thì (2)⇔g t( )= +t2 2

(

m−1

)

t+2m2+ − ≤m 1 0 (3)
V y (2) có nghi m ậ ệ ⇔(3) có ít nh t 1 nghi mấ ệ t≤0

⇔phương trình g(t)=0 có ít nh t (1) nghi m ấ ệ 1 2

1 2

0
0

t t
t

t t

 ≤ ≤ 

≤  ≤ ≤ 



 

(

)

2 2

2
2

1 2

1 2 1 0

' 0 1

2 1 0

(0) 0 2 1 1

1 0 1 2

2 1

2 1 0 1

(0) 0 2

m

m m m

m

m m

ag

m
m

s m

m m m

ag

 − ≤ ≤

  − −

− + ≥ 

∆ ≥  

 ≥  + − ≥  ≥

 

⇔ ⇔− − ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤

 

 ≤

 



  + − ≥

− ≤ ≤




 ≤

 

V y b t phậ ấ ương trình có nghi m khi ệ 0 1
2

m

< ≤

Cách 2: S d ng phử ụ ương pháp đ t n phặ ẩ ụ

Đ tặ t = −x m , đi u ki n ề ệ t≥0. B t phấ ương trình có d ng:ạ h t( )= + +t2 2t 2mx m+ − ≤1 0 (4)

V y b t phậ ấ ương trình có nghi mệ ⇔min ( ) 0(h t ≤ t≥0) (5)

Nh n xét r ng h(t) là 1 Parabol có đ nh t=-1<0, do đó ậ ằ ỉ min ( )h t =h(0)(t≥0). Do đó:

2 1

(5) 2 1 0 1

m m m

⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ .V y b t phậ ấ ương trình có nghi m khi ệ 0 1

m

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

CH Đ 3: H PHỦ Ề Ệ ƯƠNG TRÌNH MŨ
BÀI TOÁN 1: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PHẶ Ẩ Ụ

I. Phương pháp:

Phương pháp đượ ử ục s d ng nhi u nh t đ gi i các h mũ là vi c s d ng các n ph . Tuỳ theoề ấ ể ả ệ ệ ử ụ ẩ ụ
d ng c a h mà l a ch n phép đ t n ph thích h p.ạ ủ ệ ự ọ ặ ẩ ụ ợ

Ta th c hi n theo các bự ệ ước sau:

Bước 1: Đ t đi u ki n cho các bi u th c trong h có nghĩaặ ề ệ ể ứ ệ

Bước 2: L a ch n n ph đ bi n đ i h ban đ u v các h đ i s đã bi t cách gi i ( h b cự ọ ẩ ụ ể ế ổ ệ ầ ề ệ ạ ố ế ả ệ ậ
nh t 2 n, h đ i x ng lo i I, h đ i x ng lo i II và h đ ng c p b c 2)ấ ẩ ệ ố ứ ạ ệ ố ứ ạ ệ ẳ ấ ậ

Bước 3: Gi i h nh n đả ệ ậ ược

Bước 4: K t lu n v nghi m cho h ban đ u.ế ậ ề ệ ệ ầ

II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i h phả ệ ương trình:

2 2 2 2

3 2 17

2.3 3.2 8

x y

+ +

 + =




+ =

 (I)

Gi i: Đ t ả ặ 3
2

x
y

u
v

 =



 đi u ki n u, v>0. Khi đó h (I) đề ệ ệ ược bi n đ i v d ng:ế ổ ề ạ

2 2 9 6 1 0 1 3 1 1

9 4 17

3
3

8 6 1

6 3 8 2 2 2

x
y

u u u x

u v

u y

u v v v

 − + =   = = −

 + = ⇔ ⇔ = ⇔ ⇔

 + =  = −    =



   =  =

V y h có c p nghi m (-1;1)ậ ệ ặ ệ

VD2: Cho h phệ ương trình:

1
1

3 2 2

3 2 1

x y

m m

+
+

 + =




+ = +



a) Tìm m đ h có nghi m duy nh t.ể ệ ệ ấ

b) Tìm m nguyên đ nghi m duy nh t c a h là nghi m nguyên.ể ệ ấ ủ ệ ệ
Gi i: Đ t ả ặ

3
2

x
y

u
v

 =



 đi u ki n uề ệ ≥3 và v>0. Khi đó h (I) đệ ược bi n đ i v d ng:ế ổ ề ạ

mu v m

u mv m

+ =


 + = +

 (II). Ta có:

m

D= 1 m2 1

m = − ;

2
1

u

m
D

m

2 1;

v

m

m m D

m = − − =

2
1

m

m m

m+ = −

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

0 1 0

2 1

3 3 2 1 2 1

1 0

0
1

u

v

D m

m

D m

u m m

D m

m m

D m

v

D m






 ≠ − ≠ ≠ ±




 +

 = ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≤ < − ⇔ − ≤ ≤ −

  + 

   < − ∨ ≥

 =  >

 

  +

V y h có nghi m khi ậ ệ ệ − ≤ < −2 m 1.

a) V i m nguyên ta có m=-2 khi đó h có nghi m là:ớ ệ ệ

3 3 3 1 1 0

2 2 2 1 1

x
y

u x x

v y y

 

= = =

 ⇔ ⇔ + = ⇔

 =    =

= 

   

V y v i m=-2 h có nghi m nguyên (0;1)ậ ớ ệ ệ

VD3: Cho h phệ ương trình:

2cot sin
sin cot

9 3

9 81 2

gx y

y gx m

 =




− =



a) Gi i h phả ệ ương trình v im=1ớ

b) Tìm m đ h có c p nghi m (x;y) tho mãn ể ệ ặ ệ ả 0

y π

≤ ≤

Gi i: Bi n đ i h v d ng: ả ế ổ ệ ề ạ 2

. 3

u v m

u v

+ =


 = −



Khi đó u, v là nghi m c a phệ ủ ương trình f t( )= −t2 2mt− =3 0 (1)

a) V i m=1 ta đớ ược:

sin
0; 0

2cot

1 3 9 3

2 3 0

3 1 9 1

y
u v

gx

t u

t t

t v

> < 

= − = =

  

− − = ⇔ = ←→ ⇔

= − − = −

  

2
6

1 ; 2

sin 5 2 2 6 ; ,

5
6

cot 0 ; 2

2 6

y k

x l y y k

y

k l Z

y k

gx x l y y k

x l

π π

π π π π

π π

π π π π

π π

 = +

 

 = + = = +

 = 

  

⇔ ⇔ = + ⇔ ∈

 =   = + = = +

  

= +


V y v i m=1 h có 2 h c p nghi m.ậ ớ ệ ọ ặ ệ

VD4: Gi i h phả ệ ương trình:

2 2

2 2 2

4 2 4 1

2 3.2 16

x x y y

y x y

− +

+ +

 − + =




− =



Gi i: Vi t l i h phả ế ạ ệ ương trình dướ ại d ng: ( )

2 2

2 1 1 2

2 1

4 4.4 .2 2 1

2 3.4 .2 4

x x y y

y x y

− −

−

 − + =




 − =



(I)

Đ t ặ

2 1
4
2

x
y

u
v

−

 =



 đi u ki n ề ệ

1
4

u≥ và v>0.

Khi đó h (I) đệ ược bi n đ i v d ng: ế ổ ề ạ

2 2

4 1(1)

4 4(2)

u uv v
v uv

 − + =




− =

 (II)

Đ gi i h (II) ta có th s d ng 1 trong 2 cách sau:ể ả ệ ể ử ụ

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Đ t u=tv, khi đó: ặ 2

(

)

(3) 4 13 3 0 1

t

v t t

t

=



⇔ − + = ⇔

 =


+ V i t=3 ta đớ ược u=3v do đó: (2)⇔ −8v2 =4 vơ nghi m.ệ

+ V iớ 1
4

t= ta được 1 4

u= v⇔ =v u do đó: (2)⇔4u2 = ⇔ =4 u 1

2 1 2

1 4 1 1 0 1

4 2 4 2 2

x
y

u x x

v y y

−



= =  − = = ±

  

⇒ ⇔ ⇔ ⇔

= = = =

   

V y h phậ ệ ương trình có 2 c p nghi m (1;2) và (-1;2)ặ ệ
Cách 2: Nh n xét r ng n u (u;v) là nghi m c a h thì ậ ằ ế ệ ủ ệ u≠0
T (2) ta đừ ược 2 4

v
u

v

−

= (4). Thay (4) vào (1) ta được: 2v4−31v2− =16 0 (5)

Đ t ặ t v t= 2, >0 ta được: 2 2

16 1

(5) 2 31 16 0 1 16 4

4
(1)

t u

t t v v

v
t

  =



⇔ − − = ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇒ =

= − 



2 1 2

1
1 0

4 1

2
2

2 4

x
y

x
x

y
y

−

 =  − =  = ±



⇔ ⇔ ⇔ =

= 

 



V y h phậ ệ ương trình có 2 c p nghi m (1;2) và (-1;2)ặ ệ

VD5: Gi i h phả ệ ương trình:

2 1 2

2
2

2 3.2 2

2 3 2 2

x x

x

y

y y

 = = −




− = −



Gi i: Đ t ả ặ u=2x đi u ki n ề ệ u≥1. H có d ng:ệ ạ

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

2 2

2 2 2 2

2 2

2 3 2

2 3

2 3 2

3 1 0

u u y

u y u y u y

y y u

u y
u y u y

y u

 − = −

 ⇒ − − − = − −



− = −



=


⇔ − + − = ⇔ 

= −


+ V i u=y, h phớ ệ ương trình tương đương v i:ớ

2 2 2

2 1 0

1 1

1
2

2 3 2 3 2 0 2 2 1

2
2

x

y y

u y u y u y

u y

u u u u u x

y
y

 =  =

 =  =

= = = =

 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 − = −  − + =  = =   = ±



   = 



 =  =



+ V i y=1-u, h phớ ệ ương trình tương v i: ớ

(

)

2 2

1 1

3 1 0

2 3 1 2

y u y u

u u

u u u

= −

  = −

 ⇔

 − = − −  − + =

 

 vơ nghi mệ

V y h có 3 c p nghi m là (0;1), (1;2) và (-1;2).ậ ệ ặ ệ

VD6: Gi i phả ương trình:

( )

( )

(

) (

)

2 log 3

log

2 2

9 3 2 (1)

1 1 1(2)

xy xy

x y

 − =



+ + + =



Gi i: Đi u ki n xy>0ả ề ệ

+ Gi i (1): Đ t ả ặ log2

( )

t

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

( )

log 32 2 2

9t − =3 2 2t ⇔3 t− =3 2.3t ⇔3t −2.3t− =3 0 (3)
Đ t ặ u=3 ,t u>0, khi đó phương trình (3) có d ng: ạ

2 2 3 0 1(1) 3 3 1 2

t

u

u u t xy

u

= −


− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =



)

2 3 0

x y x y

⇔ + + + − = (4)

Đ t v=x+y, khi đó phặ ương trình (4) có d ng:ạ

2 2 3 0 1 1

3 3

v x y

v v

v x y

= + =

 

+ − = ⇔ ⇔

= − + = −

 

V i x+y=1 ta đớ ược: 1
2

x y

xy

+ =

 =


Khi đó x, y là nghi m c a phệ ủ ương trình:X2− + =X 2 0 vô nghiêm

V i x+y=-3, ta đớ ược: 3
2

x y
xy

+ = −


 =


Khi đó x, y là nghi m c a phệ ủ ương trình : 2 3 2 0 1 1

2 2

X x

X X

X y

= =

 

− + = ⇔ = ⇔ 

  và

2
1

x
y

=

 =


V y h có 2 c p nghi m (1;2) và (2;1)ậ ệ ặ ệ

VD7: Gi i h phả ệ ương trình:

3 1 2 3

2 2 3.2 (1)

3 1 1(2)

x y y x

x xy x

+ − +

 + =




+ + = +



Gi i: ả

Phương trình (2) 2

(

)

1 0

1
1 0

0 1

3 1 0

3 1 1

3 1 0 1 3

x x

x
x

x x

x x y

x xy x

x y y x

≥ − =

 

≥ −

+ ≥ 

   

⇔ + + = + ⇔ + − = ⇔ = ⇔ ≥ −



 

   + − =  = −

+ V i x=0 thay vào (1) ta đớ ược: 2

8 8

2 2 3.2 8 2 12.2 2 log

11 11

y− y y y y y

+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =

+ V i ớ 1
1 3

x

y x

≥ −


 = −

 thay y=1-3x vào (1) ta được:

3 1 3 1

2 x+ +2− −x =3.2 (3)
Đ t ặ t=23x+1 vì t≥ −1 nên 1

t≥

(

)

(

)

2 3 1

2 2

3 8(1)
1

(3) 6 6 1 0 2 3 8

3 8

log 3 8 1 2 log 3 8

x

t

t t t

t t

x y

 = −

⇔ + = ⇔ − + = ⇔  ⇔ = +

= +


 

⇔ =  + − ⇒ = − +

V y h phậ ệ ương trình có 2 nghi m: ệ

8
log

x
y

=


 =

 và

(

)

(

)

2
2

log 3 8 1

2 log 3 8

x
y

 =  + − 

  



 = − +



</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Ta th c hi n theo các bự ệ ước sau:

Bước 1: Đ t đi u ki n cho các bi u th c trong h có nghĩa.ặ ề ệ ể ứ ệ

Bước 2: T h ban đ u chúng ta xác đ nh đừ ệ ầ ị ược 1 phương trình h qu theo 1 n ho c c 2 n,ệ ả ẩ ặ ả ẩ
gi i phả ương trình này b ng phằ ương pháp hàm s đã bi tố ế

Bước 3: Gi i h m i nh n đả ệ ớ ậ ược

II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i h phả ệ ương trình: 32 3 2 (1)
12(2)

x y y x

x xy y

 − = −




+ + =



Gi i: Xét phả ương trình (1) dướ ại d ng: 3x+ = +x 3y y (3)

Xét hàm s ố ( ) 3f t = +t t đ ng bi n trên R. ồ ế

V y phậ ương trình (3) được vi t dế ướ ại d ng:f x

( )

= f y

( )

⇔ =x y. Khi đó h có d ng:ệ ạ

2 2 2

2 2

12 3 12

x y x y x y x y

x x y

x xy y x

= = = = =

 ⇔ ⇔ ⇔

 + + =  =  = ±  = = −

 

 

V y h phậ ệ ương trình có 2 c p nghi m (2;2) và (-2;-2)ặ ệ

VD2: Gi i h phả ệ ương trình: 2 2 3

2 2 3

x
y

x y

y x

 + = +




+ = +



Gi i: Bi n đ i tả ế ổ ương đương h v d ng: ệ ề ạ 2 2 3 2 3 3 2 3 3

3 2 2

x

x y

y

x y

 + = +

 ⇒ + + = + +



+ = +

 (1)

Xét hàm s ố f t

( )

= + +2t 3t 3

là hàm đ ng bi n trên R.ồ ế

V y phậ ương trình (1) được vi t dế ướ ại d ng: f x

( )

= f y

( )

⇔ =x y.
Khi đó h thành: ệ

2x 2 3 2x 3 (2)

x y x y

x y x

= =

 

⇔

 + = +  = −

  (II)

+ Gi i (2): Ta đốn đả ược x=1 vì 21= −3 1. V trái là m t hàm đ ng bi n còn v trái là hàm sế ộ ồ ế ế ố

ngh ch bi n do v y x=1 là nghi m duy nh t c a phị ế ậ ệ ấ ủ ương trình này. Khi đó h (II) tr thành:ệ ở

x y

x y
x

 ⇔ = =

 =


V y h đã cho có nghi m x=y=1.ậ ệ ệ

VD3: Gi i h phả ệ ương trình: 22 22

(

) (

2 (1)

)

2(2)

x y y x xy

x y

 − = − +




+ =



Gi i: Thay (2) vào (1) ta đả ược:

(

)

(

2 2

)

3 3

2 2 2 2

2 2 (3)

x y x y

x y

y x x y xy y x

x y

− = − + + ⇔ − = −

⇔ − = −

Xét hàm s ố f t

( )

= +2t t3

đ ng bi n trên R.ồ ế

V y phậ ương trình (3) được vi t dế ướ ại d ng: f x

( )

= f y

( )

⇔ =x y. Khi đó h có d ng:ệ ạ

2 2 2

1 1

2 2 2

x y x y x y x y

x x y

x y x

= = = = =

 ⇔ ⇔ ⇔

 + =  =  = ±  = = −

 

V y h có 2 c p nghi m (1;1) và (-1;-1)ậ ệ ặ ệ

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Nhi u bài toán b ng cách đánh giá tinh t d a trên các:ề ằ ế ự
+ Tam th c b c haiứ ậ

+Tính ch t hàm s mũấ ố
+B t đ ng th cấ ẳ ứ
+……..

Ta có th nhanh chóng ch ra để ỉ ược nghi m c a h ho c bi n đ i h v d ng đ n gi n h n.ệ ủ ệ ặ ế ổ ệ ề ạ ơ ả ơ

II. VD minh ho :ạ

VD: Gi i h phả ệ ương trình:

2 2

1 1

2 3 2 2 3

2 .3 1

x y x y

x y

− −

−

 − + = +





 =



Gi i: Đ t ả ặ 2 1
2x
y

u
v −

 =



 đi u ki n u>0 và ề ệ

1
3

v≥ . H có d ng: ệ ạ 2(1)

1(2)

u v u v
uv

 − + + =



=

 (I)

Bi n đ i (1) v d ng:ế ổ ề ạ

(

) (

2 2

2 0

2 1 0 0

1 0 1

3 1

x
y

u v

x x

u v u v

y y

uv −

 − =

  =  =  =

 = ⇔ = = ⇔ ⇔ ⇔

   − =  = ±

  

 = 



</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

CH Đ 4: H B T PHỦ Ề Ệ Ấ ƯƠNG TRÌNH MŨ
BÀI TỐN 1: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP BI N Đ I TẾ Ổ ƯƠNG ĐƯƠNG

I. Phương pháp:

D a vào các phép toán bi n đ i tự ế ổ ương đương cho các b t đ ng th c trong h b t phấ ẳ ứ ệ ấ ương trình, ta
có th tìm để ược nghi m c a h . Phép toán thệ ủ ệ ường đượ ử ục s d ng là: A B A C B D

C D
+

 → + > +

 >


Vi c l a ch n phệ ự ọ ương pháp bi n đ i tế ổ ương đương đ gi i h b t phể ả ệ ấ ương trình mũ thường đượ c
th c hi n theo các bự ệ ước sau:

Bước 1: Đ t đi u ki n đ các bi u th c c a h có nghĩaặ ề ệ ể ể ứ ủ ệ

Bước 2: Th c hi n các phép bi n đ i tự ệ ế ổ ương chuy n h v 1 b t phể ệ ề ấ ương trình đ i s đã bi t cáchạ ố ế
gi i.ả

Bước 3: Ki m tra tính h p l cho nghi m tìm để ợ ệ ệ ược, t đó đ a ra l i k t lu n cho h .ừ ư ờ ế ậ ệ
V i h b t phớ ệ ấ ương trình mũ ch a tham s thứ ố ường được th c hi n theo các bự ệ ước sau:

Bước 1: Đ t đi u ki n đ các bi u th c c a h có nghĩaặ ề ệ ể ể ứ ủ ệ

Bước 2: Th c hi n các phép bi n đ i tự ệ ế ổ ương đương ( phương pháp th đế ượ ử ục s d ng khá nhi uề
trong phép bi n đ i tế ổ ương đương ) đ nh n để ậ ượ ừ ệc t h 1 b t phấ ương trình 1 n ch a tham s .ẩ ư ố

Bước 3: Gi i và bi n lu n theo tham s b t phả ệ ậ ố ấ ương trình nh n đậ ược.

Bước 4: Ki m tra tính h p l cho nghi m tìm để ợ ệ ệ ược, t đó đ a ra k t lu n cho h .ừ ư ế ậ ệ

Chú ý: Đ i v i h b t phố ớ ệ ấ ương trình mũ 1 n thẩ ường được gi i t ng b t phả ừ ấ ương trình c a h , r iủ ệ ồ
k t h p các t p nghi m tìm đế ợ ậ ệ ược đ đ a ra k t lu n v nghi m cho h b t phể ư ế ậ ề ệ ệ ấ ương trình.

II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i h b t phả ệ ấ ương trình:

2 2

2 1 2 2

2 9.2 2 (1)

2 5 4 3(2)

x x x x

x x x

+ + +

 − +




− < − + −



Gi i: ả

Gi i (1): ả 2 2 2 2 2 2

2.2 x −9.2x +x+4.2 x = ⇔0 2.2x−x− +9 4.2x x− =0
Đ t ặ 2

2x x

t= − đi u ki n ề ệ 41
2

t≥ . Khi đó phương trình có d ng:ạ

2 2

4
4

2 9 0 2 9 4 0 1 2 4

(1)
2
1

2 2 0 (3)

x x

t

t t t

t t

x

x x x x

x

−

=



+ − = ⇔ − + = ⇔ ⇔ =

 =


= −


⇔ − = ⇔ − − = ⇔  =

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Gi i (2): ả

(

)

2
2

5 5

2 5 0 2

4 3 0 1 3 5 14

2 5 0 5 2 5

14
2

4 3 2 5 2

5 24 28 0

x x

x

x x x

x
x

x

x x x x

x x

 < 

≤ <


 − <  



− + − ≥  ≤ ≤ 

 

 ⇔ ⇔ ≥ ⇔ ≤ <

 − ≥  

 

  ≥ 



− + − > −   < <

  − + < 




(4)

K t h p (3) và (4) ta đế ợ ược nghi m c a h là x=2.ệ ủ ệ

BÀI TOÁN 2: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PHẶ Ẩ Ụ
I. Phương pháp:

Vi c l a ch n đ t n ph thích h p cho h phệ ự ọ ặ ẩ ụ ợ ệ ương trình mũ, ta có th chuy n h v các h đ iể ể ệ ề ệ ạ
s đã bi t cách gi i. C th ta thố ế ả ụ ể ường th c hi n theo các bự ệ ước sau:

Bước 1: Đ t đi u ki n cho các bi u th c c a h có nghĩa.ặ ề ệ ể ứ ủ ệ

Bước 2: L a ch n n ph cho h và đi u ki n cho các n ph .ự ọ ẩ ụ ệ ề ệ ẩ ụ

Bước 3: Gi i h nh n đả ệ ậ ượ ừc t đó suy ra nghi m x; yệ

Bước 4: Ki m tra tính h p l cho nghi m tìm để ợ ệ ệ ược, t đó đ a ra l i k t lu n cho h .ừ ư ờ ế ậ ệ

II. VD minh ho : ạ

VD: Gi i h b t phả ệ ấ ương trình:

(

)

2 2

2 2 2 1

log 2 2 0

x y

 − = −




− ≤

 (I)

Gi i: Đ t ả ặ 2
2

x
y

u
v

 =


 =

 ; u, v<0. Khi đó h (I) có d ng:ệ ạ

(

)

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

3
3

2 1 2 1 2 1(1)

log 0 ; 1(2)

log 0

u v u v u v

u v u v u v

u v

 − = −  − = −  − = −

 ⇔ ⇔

  

− ≤ ≠ − ≤

− ≤

  



Gi i (1) ta bi n đ i: ả ế ổ

(

)

2 2 2

1 0 1

2 3(3)

2 1

v v

u v v

u v

− ≥

  ≥

 ⇔

 − = −  − = − +

 



Gi i (2) b ng cách thay (3) vào (2) ta đả ằ ược:

3 3

2 3 0 2 log

2 2

2 3 1

1 2 1 2 2 0 1

y
y

v v y

v

v y



 

− + ≠

 ≠ ≠ ≠

 ⇔ ⇔ ⇔

− + ≤   

  ≤ ≤  ≤ ≤  ≤ ≤

V y nghi m c a h là là các c p s (x;y) tho mãn h : ậ ệ ủ ệ ặ ố ả ệ

(

)

2
2

log ;1 2

1 2

y y

x y

 ≠ ≤ ≤




 = ± − +



BÀI TOÁN 3: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP ĐI U KI N C N VÀ ĐỀ Ệ Ầ Ủ
I. Phương pháp:

Trong ph n này chúng ta s d ng phầ ử ụ ương pháp c n và đ đã bi t đ gi i các h b t phầ ủ ế ể ả ệ ấ ương trình
ch a d u tr tuy t đ i.ứ ấ ị ệ ố

II. VD minh ho : ạ

VD: Tìm m đ h sau có nghi m duy nh tể ệ ệ ấ .

2 2 1

2 x 2 y 2y+ m 1

 + + ≤ −

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Gi i: Trả ước h t c n ế ầ m− > ⇔ >1 0 m 1
Đ t: ặ 2

x
y

u
v

 =



 , đi u ki n u, v>0. H đề ệ ệ ược bi n đ i v d ng:ế ổ ề ạ

(

)

(

)

2
2

2 2

2 2 2 2

1 (1)

2 1

2 1 1 (2)

u v m

u v v m

u v u m v u m

 + + ≤
 + + + ≤

 ⇔

 

+ + + ≤

  + + ≤

  (I)

Đi u k n c n: Gi s h có nghi m (uề ệ ầ ả ử ệ ệ 0;v0) suy ra (v0;u0) cũng là nghi m c a h . V y đ h cóệ ủ ệ ậ ể ệ

nghi m duy nh t thì đi u ki n c n là uệ ấ ề ệ ầ 0=v0.

Khi đó: 2

(

)

2 2

0 0 1 2 0 2 0 1 0

u + u + ≤ ⇔m u + u − + ≤m (1)

Ta c n (1) ph i có nghi m duy nh tầ ả ệ ấ 0 1
2

m

⇔ ∆ = ⇔ =

V y đi u ki n c n đ h có nghi m duy nh t là m=1/2ậ ề ệ ầ ể ệ ệ ấ
Đi u ki n đ : V i ề ệ ủ ớ 1

m= h có d ng: ệ ạ

(

)

(

)

2
2

1
1

2
1
1

u v

v u

 + + ≤




 + + ≤


(II)

(

) (

)

2 2 2 2

2 2

1 1 1 2 2 2 2 1 0

2 2 1

2 2 0

2 2 2

u v u v u u v v

u v u v

⇒ + + + + + ≤ ⇔ + + + + ≤

   

⇔ +   + +  ≤ ⇔ = = −

   

Nh n xét r ng ậ ằ 1
2

u v= = − tho mãn h (II) suy ra x=y=-1ả ệ
V y h có nghi m duy nh t khi m=1/2.ậ ệ ệ ấ

BÀI TOÁN 4: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
I. Phương pháp:

Nhi u b t phề ấ ương trình đánh giá tinh t d a trên:ế ự
+ Tam th c b c 2ứ ậ

+ Các b t đ ng th c c b n nh : Cơsi, Bunhiacơpxki……ấ ẳ ứ ơ ả ư
+ Tính ch t tr tuy t đ iấ ị ệ ố

………

Ta có th nhanh chóng ch ra để ỉ ược nghi m c a nó.ệ ủ

II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i h b t phả ệ ấ ương trình: 2 1 2 2 (1)

2 2 2 2 1(2)

x y y y

+
+

 + − ≤




− + = −

 (I)

Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ

(

)

2 1

1 2 0 2 1 0

2 2 1 0

2 2 0 2 1

y

y y

y x

x y y x

y
x
+

 ≤

 − ≥  ≤  ≤

 ⇔ ⇔ ⇔

  − ≥   ≥

− ≥ ≥

   

   (*)

Gi i (1): ả 2 1 2 1 (*) 2 1 0

2 1 2 0

x
y

x

y y x y

 =

− 

⇔ + ≤ ←→ ⇔ = =

− =

 (3)

Thay (3) vào (2) th y tho mãn. V y h có nghi m duy nh t x=y=0.ấ ả ậ ệ ệ ấ

VD2: Gi i h phả ệ ương trình:

( )

(

)

2 3 log 5 4

3 5 (1)

4 1 3 8(2)

x x y

y y y

− − − − +

 =




− − + + ≤

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Gi i: ả

Gi i (1) ta đả ược: 5− +(y 4) =3x2− − −2x 3 log 53 ≥3−log 53 =5−1⇒ − + ≥ − ⇔ ≤ −

(

y 4

)

1 y 3 (3)

Gi i (2) v i ả ớ y≤ −3ta được: − + − + +4y

(

y 1

) (

y 3

)

2 ≤ ⇔8 y2+3y≤ ⇔ − ≤ ≤0 3 y 0 (4)

T (3) và (4) suy ra y=-3, khi đó h thành:ừ ệ

2 2 3 0 1 1; 3

3; 3

x

x y

x x

x

x y

y

 = − = − = −

 − − = ⇔ = ⇔

 = −   = = −



  = −



V y h phậ ệ ương trình có 2 c p nghi m (-1;-3) và (3;-3).ặ ệ

CHƯƠNG II:

PHƯƠNG PHÁP GI I PHẢ ƯƠNG TRÌNH-B T PHẤ ƯƠNG TRÌNH- H LƠGA RIT.Ệ

CH Đ 1: PHỦ Ề ƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

BÀI TỐN 1: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP LƠGARIT HỐ VÀ Đ A V CÙNG C SƯ Ề Ơ Ố

I. Phương pháp:

Đ chuy n n s kh i lôgarit ngể ể ẩ ố ỏ ười ta có th lơgarit hố theo cùng 1 c s c 2 v c a phể ơ ố ả ế ủ ươ ng
trình, b t phấ ương trình. Chúng ta l u ý các phép bi n đ i c b n sau:ư ế ổ ơ ả

D ng 1:ạ Phương trình: loga f x( ) b 0

( )

a 1b
f x a

< ≠


= ⇔  =



D ng 2:ạ Phương trình: log

( )

log

( )

( )

a a

a

f x g x

< ≠


= ⇔ 

= >



Chú ý: Vi c l a ch n đi u ki n f(x)>0 ho c g(x)>0 tuỳ thu c vào đ ph c t p c a f(x) và g(x).ệ ự ọ ề ệ ặ ộ ộ ứ ạ ủ

II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i phả ương trình: 2 log

(

9x

)

2 =log .log3x 3

(

2x+ −1 1

)

Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ
0

2 1 0 0

2 1 1 0

x

x x

x

 >

 + ≥ ⇔ >



 + − >



. Phương trình được vi t dế ướ ại d ng:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

3 3 3 3 3 3

3 3

1 1

2 log log .log 2 1 1 log log .log 2 1 1

2 2

log 2log .log 2 1 1 log 2log 2 1 1 log 0

log 0 1

log 2log 2 1 1 0 2 1 2 2 1 1

1
1

4 2 1 2

2 2 1 2

x

x x x x x x

x x

x x x x x

x
x

x x

  = + − ⇔ = + −

 

 

 

⇔ = + − ⇔ − + −  =

  =



⇔ ⇔ 

− + − = = + − + +

 



=
=



⇔ ←→

+ = +
+ = +



0
2

1 1

4 0

x

x x

x

x x





= =

 

⇔ ←→ =

− = 



</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

VD2: Gi i phả ương trình: log3x+log4 x=log5 x

Gi i: Đi u ki n x>0. Ta bi n đ i v cùng c s 3:ả ề ệ ế ổ ề ơ ố

4 4 3

5 5 3

log log 3.log
log log 3.log

x x

= khi đó phương trình có d ng:ạ

(

)

3 4 3 5 3

3 4 5 3

log log 3.log log 3.log

log 1 log 3 log 3 0 log 0 1

x x x

+ =

⇔ + − = ⇔ = ⇔ =

V y phậ ương trình có nghi m x=1.ệ

BÀI TỐN 2: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 1Ặ Ẩ Ụ Ạ
I. Phương pháp:

Phương pháp đ t n ph d ng 1 là vi c s d ng 1 n ph đ chuy n phặ ẩ ụ ạ ệ ử ụ ẩ ụ ể ể ương trình ban đ u thànhầ
1 phương trình v i 1 n ph .ớ ẩ ụ

Ta l u ý các phép đ t n ph thư ặ ẩ ụ ường g p sau:ặ

D ng 1: N u đ t ạ ế ặ t=loga x v i x>0 thì: ớ log k k;log 1

a x t xa

t

= = v i ớ 0< ≠x 1

D ng 2: Ta bi t r ng: ạ ế ằ alogbc =clogba do đó n u đ t ế ặ t a= logbx thì t=xlogba. Tuy nhiên trong nhi u bàiề

tốn có ch a ứ alogbx, ta thường đ t n ph d n v i ặ ẩ ụ ầ ớ log

b

t= x.

VD minh ho :ạ

VD1: Cho phương trình: log 52

(

1 .log 2.5

)

(

)

x− x− =m

(1)
a) Gi i phả ương trình v i m=1ớ

b) Xác đ nh m đ phị ể ương trình có nghi m ệ x≥1
Gi i: Bi n đ i phả ế ổ ương trình v d ng: ề ạ

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2

log 5 1 .log 2 5 1 log 5 1 . 1 log 5 1 2

x−  x− = ⇔m x−  + x− = m

   

Đi u ki n: ề ệ 5 1 0x− > ⇔5x > ⇔ >1 x 0

Đ t ặ t=log 52

(

x−1

)

. Khi đó phương trình có d ng: ạ t

(

1+ =t

)

2m⇔ f t

( )

= + −t2 t 2m=0 (2)

a) V i m=1 ta đớ ược:

(

)

(

)

2
2

log 5 1 1

1 5 1 2

2 0

2 log 5 1 2 5 1 2

x x

x
x

t
t t

t −

 − = 

= − =

 

+ − = ⇔ = − ⇔ ⇔ 

 − = −  − =

  

5
5

log 3

5 3

5 log

4
4

x
x

 = 

 

⇔ ⇔

 =
=

 



V y v i m=1 phậ ớ ương trình có 2 nghi m ệ 5 5

5
log 3; log

x= x=

b)V i ớ 1 5 1 5 1 4 log 52

(

)

log 4 22 2

x x

x≥ ⇒ − ≥ − = ⇔ − ≥ = ⇔ ≥t

V y đ phậ ể ương trình (1) có nghi m ệ x≥1⇔(2)có nghi m ệ t≥2 1 2

1 2

2 (*)

t t

≤ ≤


⇔  ≤ ≤ (lo i (*))ạ

⇔a f.

( )

2 ≤ ⇔ + −0 4 2 2m≤ ⇔ ≥0 m 3.
V y v i ậ ớ m≥3tho mãn đi u ki n đ u bài.ả ề ệ ầ

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ

2
2
2

1 0

1 0 1

1 0

x

x x x

x x

 − ≥

 − − > ⇔ ≥




+ − >



Nh n xét r ng: ậ ằ

(

x− x2−1

)(

x+ x2− = ⇒ −1

)

1

(

x x2− = +1

) (

x x2−1

)

−1

Khi đó phương trình được vi t dế ướ ại d ng:

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

1 1

2 2 2

2 3 6

2 2 2

2 3 6

log 1 .log 1 log 1

x x x x x x

− −

+ − + − = + −

⇔ + − + − = + −

)

(

)

2 6 3 6 6

log 6.log x+ x −1 .log 6.log x+ x − =1 log x+ x −1 (1)
Đ t ặ t=log6

(

x+ x2−1

)

. Khi đó (1) có d ng: ạ

(

2 3

)

2 3

0
log 6.log 6. 1 0

log 6.log 6. 1 0

t

t t

t

=


− = ⇔  − = +

V i t=0 ớ

(

)

2 2

log 1 0 1 1 1

x x

x x x x x

x x

 + −



⇒ + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =

− −



+ V i ớ log 6.log 6. 1 02 3 t− =

(

)

(

)

(

)

(

)

6 6

2 2

2 3 6 2 3

log 2

2 2

3 6

log 2
2

log 2 log 2
log 2

log 6.log 6.log 1 0 log 6.log 1 1

log 1 log 2 1 3

1 3 1

3 3

2
1 3

x x x x

x x

x

x x

−
−

+ − = ⇔ + − =

⇔ + − = ⇔ + − =

 + − =



⇔ ⇔ = +

− − =



V y phậ ương trình có nghi m x=1 và ệ 1

(

3log 26 3 log 26

)

x= + −

BÀI TOÁN 3: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 2Ặ Ẩ Ụ Ạ
I. Phương pháp:

Phương pháp dùng n ph d ng 2 là vi c s d ng 1 nph chuy n phẩ ụ ạ ệ ử ụ ẩ ụ ể ương trình ban đ u thànhầ
phương trình v i 1 n ph nh ng các h s v n còn ch a x.ớ ẩ ụ ư ệ ố ẫ ứ

Phương pháp này thường đượ ử ục s d ng đ i v i nh ng phố ớ ữ ương trình khi l a ch n n ph cho 1ự ọ ẩ ụ
bi u th c thì các bi u th c cịn l i khơng bi u di n để ứ ể ứ ạ ể ễ ược tri t đ qua n ph đó ho c n u bi uệ ể ẩ ụ ặ ế ể
di n đễ ược thì cơng th c bi u di n l i quá ph c t p.ứ ể ễ ạ ứ ạ

Khi đó thường ta được 1 phương trình b c hai theo n ph ( ho c v n theo n x ) có bi t s ậ ẩ ụ ặ ẫ ẩ ế ố ∆ là 1
s chính phố ương.

II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i phả ương trình: lg2x−lg .log 4x 2

( )

x +2log2 x=0

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Bi n đ i phế ổ ương trình v d ng: ề ạ lg2x− +

(

2 lg2x

)

lgx+2lg2x=0

Đ t t=lgx, khi đó phặ ương trình tương đương v i: ớ 2

(

)

2 2

2 log . 2log 0

t − + x t+ x=

Ta có: ∆ = +

(

2 log2x

)

2−8log2x= −

(

2 log2x

)

2 suy ra phương trình có nghi mệ

lg 2

2 lg 2 100

lg
lg

log lg 0 1

lg 2

x

t x x

x
x

t x x x

=


= = =

 ⇔ ⇔ ⇔

 =  =  =  =

 

V y phậ ương trình có 2 nghi m x=100 và x=1ệ

BÀI TOÁN 4: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 3Ặ Ẩ Ụ Ạ
I. Phương pháp:

Phương pháp dùng n ph d ng 3 s d ng 2 n ph cho 2 bi u th c lôgarit trong phẩ ụ ạ ử ụ ẩ ụ ể ứ ương trình và
bi n đ i phế ổ ương trình thành phương trình tích.

II. VD minh ho :ạ

)

1 0

0 1

x x

x x

 − >

 > ⇔ >



 − >


. Bi n đ i phế ổ ương trình v d ng:ề ạ

(

)

(

)

(

)

(

)

2
2

2 2 2

2 2

2 2 2

log log .log 2 0

2log log .log 2 0

x x

x x x

x

x x x x x

−

+ − − =

⇔ − + − − =

Đ t ặ

(

)

2
2
2

log
log

u x x

v x

 = −




 . Khi đó phương trình tương đương v i:ớ

(

) (

)

(

)

2
2

2 2 0 1 2 0

2
1( )

log 1 2 0

2
4

log 2 4

u

u v uv u v

v

x L

x x x x

x
x

x x

=


+ − − = ⇔ − − = ⇔  =


= −


 − =  − − = 

⇔ ⇔ ⇔ =

=
=

 

  =

V y phậ ương trình có 2 nghi m x=2 và x=4.ệ

BÀI TỐN 5: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 4Ặ Ẩ Ụ Ạ
I. Phương pháp:

Phương pháp đ t n ph d ng 4 là vi c s d ng k n ph chuy n phặ ẩ ụ ạ ệ ử ụ ẩ ụ ể ương trình ban đ u thành 1ầ
h phệ ương trình v i k n ph .ớ ẩ ụ

Trong h m i thì k-1 phệ ớ ương trình nh n đậ ượ ừc t các m i liên h gi a các đ i lố ệ ữ ạ ượng tương ngứ

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

VD1: Gi i phả ương trình:

(

)

(

)

2 2

log x− x − +1 3log x+ x − =1 2

Gi i: Đi u ki n ả ề ệ

2
2
2

1 0

1 0 1

1 0

x

x x x

x x

 − ≥

 − − > ⇔ ≥




+ − >



Đ t ặ

(

)

(

)

2
2

log 1

u x x

v x x

 = − −




 = + −



Nh n xét r ng: ậ ằ

(

)

(

)

2 2

log 1 log 1

u v+ = x− x − + x+ x −

=log2

(

x− x2−1 .

) (

x+ x2− =1

)

log 1 02 =

Khi đó phương trình được chuy n thành:ế

(

)

(

)

2
2

log 1 1

0 1

3 2 2 2 1 log 1 1

1 5

4
1 2

x x

u v u v u

u v v v x x

x x

x

x x

 − − = −

+ = = − = −

 ⇔ ⇔ ⇔

 + =  =  = 

    + − =



 − − =



⇔ ⇔ =

 + − =



V y phậ ương trình có nghi m x=5/4.ệ

VD2: Gi i phả ương trình:

(

)

(

)

2 2

3 log+ x −4x+ +5 2 5 log− x −4x+5 =6 (1)

Gi i: Đi u ki n ả ề ệ

(

)

(

)

2 2 5 2

2
2
2

4 5 0

3 log 4 5 0 4 5 2 2 4

5 log 4 5 0

x x

x x x x x

x x

 − + >

 + − + ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ −




− − + ≥



⇔ −2 29≤ ≤ +x 2 29(*)

Đ t ặ

(

)

(

)

2
2

3 log 5

5 log 5

u x x

v x x

 = + − +




 = − − +



</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2

2
2

6 2
6 2

2 6 6 2 2

8 6 2 8 5 24 28 0 14

3 log 4 5 2

5 log 4 5 2 log

2; 2

14 2 14

; 3 log 4 5

5 5 5

5 log 4 5

u v

u v u v v

u v v v v v

v

x x

v u

v v x x

x x

= −


= −



+ = = −

 ⇔ ⇔ ⇔ =

 + =  − + =  − + = 



    =




 + − + =





 − − + =



= =

 

 

⇔ ⇔ ⇔

= = + − + =

 

 



 − − + =




(

)

(

)

2
2

2 2

121 121

2 25 2 25

121
25

4 5 1

121

log 4 5

4 5 2 4 3 0

4 5 2 4 5 2 0

2 2 1

x x

x x

x x x x

x

x x x x

x

 − + =



 − + =




=


 − + =  − + = 

 

⇔ ⇔ ⇔ =

 − + =  − + − = 

 

 = ± −



V y phậ ương trình có 4 nghi m phân bi t.ệ ệ

BÀI TOÁN 6: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 5Ặ Ẩ Ụ Ạ
I. Phương pháp:

Phương pháp đ t n ph d ng 5 là vi c s d ng 1 n ph chuy n phặ ẩ ụ ạ ệ ử ụ ẩ ụ ể ương trình ban đ u thành 1ầ
h phệ ương trình v i 1 n ph và 1 n x.ớ ẩ ụ ẩ

Ta th c hi n theo các bự ệ ước sau:

Bước 1: Đ t đi u ki n có nghĩa cho các bi u th c trong phặ ề ệ ể ứ ương trình

Bước 2: Bi n đ i phế ổ ương trình v d ng: ề ạ f x ,ϕ

( )

x =0

Bước 3: Đ t ặ y=ϕ

( )

x , ta bi n đ i phế ổ ương trình thành h : ệ

( )

(

;

)

y x

f x y

ϕ
 =



=


II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i phả ương trình: 2

2 2

log x+ log x+ =1 1 (1)

Gi i: Đ t ả ặ u=log2x. Khi đó phương trình thành: u2+ u+ =1 1 (2)

Đi u ki n: ề ệ 1 02 1 1

1 0

u

u
u

+ ≥


⇔ − ≤ ≤

 − ≥



Đ t ặ v= u+1 đi u ki n ề ệ 0≤ ≤v 2 ⇒v2 = +u 1

Khi đó phương trình được chuy n thành h :ể ệ

(

) (

)

2 2

1 0

1 0
1

u v u v

u v u v u v u v

u v

v u

 = −  + =

 ⇒ − = − + ⇔ + − + = ⇔

  − + =

= +

 



</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

+ V i v=-u ta đớ ược:

1 5

2 2

1 5

1 0 log 2

1 5

(1)
2

u

u u x x

u

−

 −

 −



− − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

 +

=


+ V i u-v+1=0 ta đớ ược: 2 2

log 0

0 1

1 log 1

x
x

u
u u

u x x

=

=

= 

 

+ = ⇔ ⇔ ⇔

= − = − =

  

V y phậ ương trình có 3 nghi m.ệ

BÀI TỐN 7: S D NG TÍNH CH T ĐÔN ĐI U C A HÀM SỬ Ụ Ấ Ệ Ủ Ố
I. Phương pháp:

S d ng tính ch t đ n đi u c a hàm s đ gi i phử ụ ấ ơ ệ ủ ố ể ả ương trình là d ng tốn khá quen thu c. Ta có 3ạ ộ
hướng p d ng sau:ấ ụ

Hướng 1: Th c hi n theo các bự ệ ước:

Bước 1: Chuy n phể ương trình v d ng: f(x)=k (1)ề ạ

Bước 2: Xét hàm s y=f(x). Dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s đ n đi u (gi s đ ng bi n)ố ậ ậ ẳ ị ố ơ ệ ả ử ồ ế

0 =k do đó phương trình vơ nghi m.ệ

V y x=xậ 0 là nghi m duy nh t c a phệ ấ ủ ương trình

Hướng 2: Th c hi n theo các bự ệ ước:

Bước 1: Chuy n phể ương trình v d ng: f(x)=g(x) (2)ề ạ

Bước 2: Xét hàm s y=f(x) và y=g(x). Dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s y=f(x) là đ ng bi n cònố ậ ậ ẳ ị ố ồ ế

hàm s y=g(x) là hàm h ng ho c ngh ch bi n.ố ằ ặ ị ế

Xác đ nh xị 0 sao cho f(x0)=g(x0)

Bước 3: V y phậ ương trình có nghi m duy nh t x=xệ ấ 0

Hướng 3: Th c hi n theo các bự ệ ước:

Bước 1: Chuy n phể ương trình v d ng: f(u)=f(v) (3)ề ạ

Bước 2: Xét hàm s y=f(x). Dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s đ n đi u (gi s đ ng bi n)ố ậ ậ ẳ ị ố ơ ệ ả ử ồ ế

Bước 3: Khi đó (3)⇔ =u v v i ớ ∀u v D, ∈ f

II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i phả ương trình: log2

(

x2− + =4

)

x log 82

(

x+2

)



Gi i: Đi u ki n ả ề ệ

2 4 0

2
2 0

x

x
x

 − > ⇔ >

 + >

 . Vi t l i phế ạ ương trình dướ ại d ng:

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2

log 4 log 2 3 log 3 log 2 3

x

x x x x x x

x

−

− − + = − ⇔ = − ⇔ − = −

Nh n xét r ng: ậ ằ

+ Hàm s ố y=log2

(

x−2

)

là hàm đ ng bi nồ ế

+ Hàm s y=3-x là hàm ngh ch bi nố ị ế

+ V y phậ ương trình n u có nghi m thì nghi m đó là duy nh tế ệ ệ ấ
+ Nh n xét r ng x=3 là nghi m c a phậ ằ ệ ủ ương trình

V y phậ ương trình có nghi m x=3.ệ

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ

2
2

2 3 0 1 5

2 4 0 1 5

x x x



 − − > < −

 ⇔ 



− − >

  > +

  . Vi t l i phế ạ ương trình dướ ại d ng:

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2
5

2 2

5 4

log 2 3 log 2 4

log 2 3 log 2 4 (1)

x x x x

− − = − −

⇔ − − = − −

Đ tặ t=x2−2x−4 khi đó (1)

(

)

5 4

log t 1 log t

⇔ + = (2)

Đ tặ y=log4t⇒ =t 4y phương trình (2) được chuy n thành h :ể ệ

4 4 1

4 1 5 1

5 5

1 5

y y

y

y y

y

t
t

 =

 ⇒ + = ⇔  +  =

 + =      

 (3)

Hàm số

( )

4 1

5 5

y y

f y =   +  

    là hàm ngh ch bi nị ế

Ta có:

+ V i y=1, f(1)=1 do đó y=1 là nghi m c a phớ ệ ủ ương trình (3)
+ V i y>1, f(y)<f(1)=1 do đó phớ ương trình (3) vơ nghi m.ệ
+ V i y<1, f(y)>f(1)=1 do đó phớ ương trình (3) vơ nghi mệ
V y y=1 là nghi m duy nh t c a phậ ệ ấ ủ ương trình (3)

Suy ra: 1 4 2 2 4 4 2 2 8 0 4

x

y t x x x x

x

=


= ⇔ = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔  = −



V y phậ ương trình có nghi m x=4; x=-2ệ

VD3: Gi i phả ương trình: x2+3log2x =xlog 52 (1)
Gi i: Đ t ả ặ t =log2 x⇒ =x 2t.

Khi đó phương trình có d ng: ạ

( )

log 52

2t + =3t 2t ⇔ + =4t 3t 5t

Chia c 2 v cho ả ế 5t ≠0 ta được: 4 3 1

5 5

t t

   + =

   

    (2)

Nh n xét r ng: ậ ằ

+ V trái c a phế ủ ương trình là m t hàm ngh ch bi nộ ị ế
+ V ph i c a phế ả ủ ương trình là m t hàm h ngộ ằ

+ Do v y n u phậ ế ương trình có nghi m thì nghi m đó là duy nh tệ ệ ấ
+ Nh n xét r ng t=2 là nghi m c a phậ ằ ệ ủ ương trình (2) vì

2 2

4 3

5 5

   + =

   
   

V i ớ t= ⇔2 log2x= ⇔ =2 x 4

V y x=4 là nghi m duy nh t c a phậ ệ ấ ủ ương trình

VD4: Gi i phả ương trình:

(

)

3 1

2
3

log 3 2 2 2

x x

x x

− −

 

− + + +  =

  (1)

Gi i: Đi u ki n ả ề ệ 2 3 2 0 1
2

x

x x

x

≤


− + ≥ ⇔  ≥

Đ tặ u= x2− +3x 2;u≥ ⇒0 x2− + =3x 2 u2 ⇔3x x− − = −2 1 1 u2

Khi đó (1) có d ng: ạ

(

)

1
3

log 2 2

u

−

 

+ +  =

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Xét hàm s ố

( )

(

)

(

)

3 3

1 1

log 2 log 2 .5

5 5

u

f u u u

−

 

= + +  = + +

 

Mi n xác đ nh ề ị D=

[

0;+∞

)

Đ oạ hàm: f u

( ) ( )

= u+12 ln 3 5+1.2 .5 .ln 5 0,u u2 > ∀ ∈u D.
Suy ra hàm s đ ng bi n trên Dố ồ ế

M t khác ặ

( )

(

)

1 log 1 2 .5 2

f = + + =

Khi đó (2)

( )

1 1 2 3 2 1 3 5

f u f u x x x ±

⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ =

V y phậ ương trình có 2 nghi m ệ 3 5
2

x= ±

BÀI TOÁN 8: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
I. Phương pháp:

II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i phả ương trình : log3 2

(

4− +x x+5

x x

x

− = + ⇔ = − là nghi m duy nh tệ ấ

Cách 2: Theo b t đ ng th c Côsi ta cóấ ẳ ứ :

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

3 2

4 5 4 5 2 4 5 9 4 5 18

4 5 3 2 log 4 5 1

x x x x x x x x

x x x x

− + + = − + + + − + + ≤ + − + + =

⇔ − + + ≤ ⇔ − + + ≤

V y phậ ương trình có nghi m khi và ch khi:ệ ỉ
1

4 5

x x x

− = + ⇔ = − là nghi m duy nh t c a phệ ấ ủ ương trình

CH Đ 2: B T PHỦ Ề Ấ ƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

BÀI TOÁN 1: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP BI N Đ I TẾ Ổ ƯƠNG ĐƯƠNG
I. Phương pháp:

Để chuy n n s kh i loga ngể ẩ ố ỏ ười ta có th mũ hoá theo cùng 1 c s c 2 v b t phể ơ ố ả ế ấ ương trình.
Chúng ta l u ý các phép bi n đ i c b n sau:ư ế ổ ơ ả

D ng 1: V i b t phạ ớ ấ ương trình: loga f x

( )

<loga g x

( )

(

) ( )

( )

0 1

0
0

0 1

1 0

a
a

f x
f x g x

g x
a

f x g x a f x g x

< ≠

 >



 < < >

 



⇔ ⇔  >

< <

 

 

 > −  − <

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

D ng 2: V i b t phạ ớ ấ ương trình:

( )

1
0
log

0 1

b
a

b

a

f x a
f x b

a
f x a

 >

 < <


< ⇔  < <


 >


D ng 3: V i b t phạ ớ ấ ương trình:

( )

1
log

0 1

b
a

b

a

f x a
f x b

a

f x a

 >

 >



> ⇔  < <



 < <


II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i b t phả ấ ương trình: log 3x

(

x− >1

)

logx

(

x2+1

)

Gi i: B t phả ấ ương trình tương đương v i:ớ

2
2

1
1

1 1 2

3 2 0 1 2

3 1 1 0 1

0 1 1

3 1 0

0 3 1 1

3 2 0 2 1

x

x x

x x x

x

x
x

x x

x x x x

 >

 > 

 >  − + <  < <

 − > +   < <  < <

 ⇔ < < ⇔ ⇔

 < <    < <

  − >  > 

 < − < +  

  − + > 

  > ∨ <

V y b t phậ ấ ương trình có nghi m ệ 1; 2 \ 1

{ }

x∈ 

 

VD2: Gi i b t phả ấ ương trình: log 5x

(

x2− + >8x 3

)

2
Gi i: ả

Cách 1: B t phấ ương trình tương đương v i:ớ

2 2

1 3

4 8 3 0

5 8 3 2

0 1

1 3

0 1

5 8 3 0 2 5

0 5 8 3

4 8 3 0

x
x

x x x

x x x

x

x x

x x

x x x

x x

 >

 >  − + > 

 − + >   >



 ⇔ < < ⇔

 < <  

  − + >  < <

 < − + < 

 − + <




V y b t phậ ấ ương trình có nghi m ệ 1 3; 3;

2 5 2

x∈   ∪ +∞

   

Cách 2: B t phấ ương trình tương đương v i: ớ log 5x

(

x2− + >8x 3

)

logxx2

(

)

2
2

2 2

0 1

5 8 3 0 2

0 1 3

2 5

1 5 8 3 0

x

x x

x

x x x x

< ≠

 

 − + >  >



⇔ > ⇔ 



 < <



 −  − + − < 

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

V y b t phậ ấ ương trình có nghi m ệ 1 3; 3;

2 5 2

x∈   ∪ +∞

   

BÀI TOÁN 2: S D NG CÁC PHÉP BI N Đ I LÔGARITỬ Ụ Ế Ổ
I. Phương pháp:

II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i b t phả ấ ương trình: 2lg 5

(

x−1

)

>lg 5

(

− +x

)

1
Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ 1 0 1 5

5 0

x

x
x

− >

 ⇔ < <

 − >

 (*)

Bi n đ i tế ổ ương đương b t phấ ương trình v d ng:ề ạ

(

)

(

)

(

)

(

)

lg 5 1 lg 10. 5 5 1 10. 5

9 3 3 5

x x x x

x x x

 − >  − ⇔ − > −

 

⇔ > ⇔ > ⇔ < <

V y nghi m c a b t phậ ệ ủ ấ ương trình là 3< <x 5

VD2: Gi i b t phả ấ ương trình:

(

)

(

)

3
3

log 35

3
log 5

x
x

−
>
−

Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ 0

(

)

0 1

log 5a 0 4

a a

x x

< ≠

  < ≠

 ⇔

 − ≠  ≠

 



B t phấ ương trình tương đương v i: ớ

(

)

log −x 35−x >3

(

)

(

)

2
3

3
3

5 1

5 6 0

35 5

4 5 2 3

0 5 1

0 35 5

5 6 0

x
x

x x

x

x x

 <

 − > 

 − > −  − + <

  < <

⇔ ⇔ ⇔ < <

< − <

 

  <

 < − < − 






  − + >

V y b t phậ ấ ương trình có nghi m 2<x<3.ệ

VD3: Gi i b t phả ấ ương trình: 1 1

(

)

3 3

log log 1 1

2 x< + x− (1)

Gi i: Đi u ki n x>0. Bi n đ i b t phả ề ệ ế ổ ấ ương trình v d ng:ề ạ

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

0 1 1 0

3 3 3

1 1

3 3

2 2

3 3 3 3

log log 1 1 1 1 1 1

1 2 1 1 1 1 2 1 0(2)

x x

x x x x x x

> → + − >

> + − ⇔ > + − ←→ > + −

⇔ > + − + − ⇔ − − − − − >

Đ tặ t= 3 x− → > −1 x>0 t 1. Khi đó b t phấ ương trình (2) có d ng:ạ

(

)

(

) (

)

1 0

(

)

3 2 2

0
3

2 0 2 0 1 2 0 2 0

2 1 2 1 8 9

0 1 0 1 0 0 1

t

x

t t t t t t t t t t t

t x x x

t x x x

+ >

− − > ⇔ − − > ⇔ + − > ←→ − >



> − > − > >

  

⇔ ⇔ ⇔ ←→

< − < − < < <

   

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

BÀI TOÁN 3: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 1Ặ Ẩ Ụ Ạ
I. Phương pháp:

II. VD minh ho : ạ

Gi i b t phả ấ ương trình:

( )

4 2 2

2 1 2 2 1

2 2

log log 9log 4log

x

x x

x

   

−  +  <

 

Gi i: Đi u ki n x>0. Bi n đ i b t phả ề ệ ế ổ ấ ương trình v d ng:ề ạ

( )

[

]

[

]

( )

1 1

4 2 2

2 2 2 2 2

4 3 2 2

2 2 2 2 2 2

4 2

2 2 2 2

log log 9log 4log

log log log 8 9 log 32 log 4log

log 3log 3 9 5 2log 4log

x

x x

x

x x x x

− −

   

−  +  <

 

   

⇔ − −  +  − <

⇔ − − + − <

Đ tặ t=log2x ta được:

(

)

(

)

4 2 4 2 2

2
2

3 3 9 5 2 4 13 36 0 4 9

1 1

3 log 2

3 2

8 4

2 3 3 log 2 4 8

t t t t t t t

x

t x

t x x

− − + − < ⇔ − + < ⇔ < <



− < < −

− < < −  < <

 

⇔ ⇔ ⇔

< < < <

   < <

V y nghi m c a b t phậ ệ ủ ấ ương trình là 1 1;

( )

4;8
8 4

x∈ ∪

 

Chú ý: Trong ví d trên các em c n l u ý khi th c hi n các phép bi n đ i cho 2 toán t :ụ ầ ư ự ệ ế ổ ử

( )

2 2 2

3 3 3 3 2

2 3

1 1 1 2 2 2

2 2 2

1 1 2 2

2 2

log log log log log log 8

8 8 8 8

log log log log

x x x x

x

x x x x

     

         

=  = −  =  = −

         

          

 

=  = −  =

 

BÀI TOÁN 4: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 2Ặ Ẩ Ụ Ạ

I. Phương pháp:
II. VD minh ho :ạ

Gi i b t phả ấ ương trình: log32 x−log 8 .log2

( )

x 3x+log2 x3 <0 (1)

3 log2x

)

2−12log2x= −

(

3 log2 x

)

2. Do đó f(t)=0 có nghi m: ệ

3
log

t

t x

=

 =


</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

3 3

3 2 3 2

3 3

3 2 3 2

log 3 0 log 3 27

log log 0 log log 1 27

0 1

log 3 0 log 3 27

0 1

log log 0 log log

x x x

x x x x x x

x

x x x

x

x x x x

 − >  >  >

 

 − <  <  >  >

  

  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 

< <

− < < <

   

  

< <

− > >

  

 

V y b t phậ ấ ương trình có nghi m là t p ệ ậ

( ) (

0;1 ∪ 27;+∞

)

BÀI TOÁN 5: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 3Ặ Ẩ Ụ Ạ
I. Phương pháp:

S d ng 2 n ph cho 2 bi u th c mũ trong b t phử ụ ẩ ụ ể ứ ấ ương trình và bi n đ i b t phế ổ ấ ương trình thành
b t phấ ương trình tích, khi đó l u ý:ư

0
0

. 0

0
0

A
B
A B

A
B

 >

 >



> ⇔  <

 <



và

0
0

. 0

0
0

A
B
A B

A
B

 >

 <




< ⇔  <

 >



II. VD minh ho :ạ

Gi i b t phả ấ ương trình: log .log3 2 2 log3 log2

x
x x< x−

Gi i: Đi u ki n x>0 (*)ả ề ệ

Vi t l i b t phế ạ ấ ương trình dướ ại d ng: log .log3x 2x−2log3x−log2 x− <2 0

Đ tặ 3

log
log

u x

v x

=

 =

 . Khi đó b t phấ ương trình có d ng:ạ

(

) (

)

3
2
3
2

2 2 0 1 2 0

log 1

1 0 3

log 2

2 0 4

3 4

1 0 log 1 3

2 0 log 2 4

uv u v u v

x

u x

x

v x

x

u x x

v x x

− − − < ⇔ − − <

 >

 − >   >




 

 − < <  <

  

 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <

− < < <

  

  

− >  > >

  

  

tho mãn (*)ả

V y b t phậ ấ ương trình có nghi m 3<x<4.ệ

BÀI TOÁN 6: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
I. Phương pháp:

II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i b t phả ấ ương trình: 2

(

)

log 2 4 log 8

x

 

− + ≤  + 

−

  (1)

Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ 2 0 2
1 0

x

x
x

− ≥

 ⇔ ≥

 − >

 (*)

Ta có nh n xét sau: ậ

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

3 3

1 1

2 1 1 1 1 1 8 9

1 1

log 8 log 9 2 2

x x x

x x

VP
x

≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ⇔ + ≤

− −

 

⇔  + ≤ = ⇔ ≤

−

 

Do đó b t phấ ương trình có nghi m khi và ch khi:ệ ỉ

2 2 0 2

2 2

VT x

x

VP x


=

 ⇔ − = ⇔ =

 =  =



 

V y b t phậ ấ ương trình có nghi m duy nh t x=2.ệ ấ

VD2: Gi i b t phả ấ ương trình: 2

(

)

1
1

3
3

1 1

log 1

log 2x − +3x 1 > x+

Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ

1 1 0

1 1

2 2

0 2 3 1 1

0 3

0 1 1

2
3

3
2

1 0

x x

x x

x

x
x

x

x
x

 > − < <

 

 <  < <

 

 < − + ≠ ⇔ ≠ ⇔

 < + ≠   < <

  

 ≠ 

 >



− < ≠ 



Ta có: 1 2 2

log 2 3 1 0 2 3 1 1

A= x − + > ⇔x x − + <x

2 3

2 3 1 1 0

x x x

⇔ − + < ⇔ < <

(

)

1
3

log 1 0 1 1 0

B= x+ > ⇔ + < ⇔ <x x

T đó ta có b ng xét d u sau:ừ ả ấ

+ V i -1<x<0; VT<0; VP>0. B t phớ ấ ương trình (1) sai
+ V i 0<x<1/2; VT>0; VP<0. B t phớ ấ ương trình (1) đúng
+V i 1<x<3/2; VT>0; VP<0. B t phớ ấ ương trình (1) đúng.

+ V i x>3/1; VT<0; VP<0. B t phớ ấ ương trình (1) tương đương v i:ớ

(

)

(

)

2 2

1 1

3 3

2 2

log 2 3 1 log 1 2 3 1 1 0

1 0 1 1 0

5 0

2 3 1 1

x x x x x x

x x x

x

x x

x x x

− + < + ⇔ − + > + >

+ >

  > − − < <



⇔ ⇔ ⇔ >

− >

− + > + 

 



K t h p v i trế ợ ớ ường h p đang xét ta đợ ược x>5

V y b t phậ ấ ương trình có nghi m: ệ 0;1 1;3

(

)

2 2

  ∪ ∪ +∞

   

   

CH Đ 3: H PHỦ Ề Ệ ƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

BÀI TỐN 1: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP BI N Đ I TẾ Ổ ƯƠNG
I. Phương pháp:

Ta th c hi n theo các bự ệ ước sau:

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Bước 2: S d ng các phép th đ nh n đử ụ ế ể ậ ượ ừ ệc t h 1 phương trình theo n x ho c y (đơi khi có thẩ ặ ể
là theo c 2 n x, y)ả ẩ

Bước 3: Gi i phả ương trình nh n đậ ược b ng các phằ ương pháp đã bi t đ i v i phế ố ớ ương trình ch aứ
căn th cứ

Bước 4: K t lu n v nghi m cho h phế ậ ề ệ ệ ương trình.

II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i h phả ệ ương trình:

(

)

3 4

1 3 (1)

log 1(2)

y x

x

y x

 + = −




 + =



Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ

1 0

4 0 0 4

x

x x

x

+ ≥


 − ≥ ⇔ < ≤


 >


T phừ ương trình (2) ta được: 3

1 log

3 log

3 3

1 log 3 3

x
y

x

y x

x
−

= − ⇔ = = = (3)

Th (3) vào (1) ta đế ược:

(

)

(

)

2 2

3 3 4

1 1 1 1 4 1 4 1

2 0 2

4 2 3 0

3 0

4 2

x

x x x x x

x x

x x x y

x x

−

+ − = ⇔ + − = − ⇔ + = − +

− ≥

  ≥



⇔ − = − ⇔  ⇔ ⇔ = ⇒ =

− =

− = −

 



V y h phậ ệ ương trình có 1 c p nghi m (3;0).ặ ệ

VD2: Gi i h phả ệ ương trình:

(

)

(

)

2 2

2 3

4 2

log 2 log 2 1

x y

x y x y

 − =



 + − − =



Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ 2 0

2 0

x y
x y

+ >


 − >

 (*)

T phừ ương trình th nh t c a h l y lôgarit c s 2 hai v ta đứ ấ ủ ệ ấ ơ ố ế ược:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2 2 2 2

2 2

log 4 log 2 log 2 log 2 1

log 2 1 log 2

x y x y x y

x y x y

− = ⇔ + + − =

⇔ + = − −

Th vào phế ương trình th hai ta đứ ược:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 3 2 3 2

1 log 2 log 2.log 2 1 1 log 2 log 2 0

log 2 0 2 1

x y x y x y

x y x y

− − − − = ⇔ + − =

⇔ − = ⇔ − =

V y ta đậ ược h m i: ệ ớ

2 2

4 2 4

2 1 1

2 1

x
x y

x y

x y

x y y

 =

+ =

 − = ⇔ ⇔

 − =  − = 



  =



tho mãn đi u ki n (*)ả ề ệ
V y h phậ ệ ương trình có 1 nghi m.ệ

BÀI TỐN 2: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PHẶ Ẩ Ụ
I. Phương pháp:

Phương pháp đượ ử ục s d ng nhi u nh t đ gi i các h lôgarit là vi c s d ng các n ph . Tuỳề ấ ể ả ệ ệ ử ụ ẩ ụ
theo d ng c a h mà l a ch n phép đ t n ph thích h p.ạ ủ ệ ự ọ ặ ẩ ụ ợ

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Bước 1: Đ t đi u ki n cho các bi u th c c a h có nghĩa.ặ ề ệ ể ứ ủ ệ

Bước 2: L a ch n n ph đ bi n đ i h ban đ u v các h đ i s đã bi t cách gi i (h đ i x ngự ọ ẩ ụ ể ế ổ ệ ầ ề ệ ạ ố ế ả ệ ố ứ
lo i I, lo i II và h đ ng c p b c hai)ạ ạ ệ ẳ ấ ậ

Bước 3: Gi i h nh n đả ệ ậ ược

Bước 4: K t lu n v nghi m cho h ban đ u.ế ậ ề ệ ệ ầ

II. VD minh ho :ạ
Gi i h phả ệ ương trình:

(

)

(

)

3 3

4 32

log 1 log

x y
y x

x y x y

 =



 − = − +



Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ

0
0

; 0

x y
x y
x y

− >

 + >


 ≠



Bi n đ i h phế ổ ệ ương trình v d ng: ề ạ

(

2 2

)

2 2

2 5 2 5(1)

log 1 3(2)

x y x y

y x y x

x y x y

  + =   

+ =

     

⇔

 

   

 − =  − =




Gi i (1): Đ t ả ặ t x y 1

y x t

= ⇒ = . Khi đó (1) có d ng: ạ

2 2

2 5 2 5 2 0 1

2
2

t x y

t t t

y x

t t

  =

 + = ⇔ − + = ⇔ ⇔

   =  =

   

+ V i x=2yớ (2) 4 2 2 3 1 2

1 2(1)

y x

y y

y x

= ⇒ =


⇒ ⇔ − = ⇔  = − ⇒ = −



+ V i y=2xớ ⇒(2)⇔x2−4y2 =3 vô nghi mệ

V y h phậ ệ ương trình có 1 c p nghi m (2;1)ặ ệ

BÀI TOÁN 3: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
I. Phương pháp

Ta th c hi n theo các bự ệ ước sau:

Bước 1: Đ t đi u ki n cho 2 bi u th c c a h có nghĩaặ ề ệ ể ứ ủ ệ

Bước 2: T h ban đ u chúng ta xác đ nh đừ ệ ầ ị ược 1 phương trình h qu theo 1 n ho c theo c 2ệ ả ẩ ặ ả
n, gi i ph ng trình này b ng ph ng pháp hàm s đã bi t.

ẩ ả ươ ằ ươ ố ế

Bước 3: Gi i h m i nh n đả ệ ớ ậ ược.

II. VD minh ho :ạ

Gi i h phả ệ ương trình: 2 3

2 3

log 3 1 log

x y

y x

 + = +




+ = +


Gi i: Đi u ki n x; y>0. Bi n đ i tả ề ệ ế ổ ương đương h v d ng:ệ ề ạ

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 3 2 3

2 3 3 2

log 3 2 1 log log 3 2 1 log

log 3 2 1 log 2 1 log log 3

x y x y

y x x y

 + = +  + = +

 ⇔

 + = +  + = +

 

  (I)

(

)

(

)

2 3 2 3

log x 3 2log x log y 3 2log y

⇒ + + = + + (1)

Xét hàm s : ố f t

( )

=log2

(

t+ +3

)

2log3t

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Đ oạ hàm f t

( ) ( )

= t+3 ln 21 +t.ln 32 > ∀ ∈ ⇒0, t D hàm s luôn đ ng bi n.ố ồ ế
V y phậ ương trình (1) được vi t dế ướ ại d ng: f x

( )

= f y

( )

⇔ =x y

Khi đó h (I) tr thàmhệ ở :

(

)

(

)

2 3

log 3 2 1 log (2)

x y

x x

=


 + = +

 (II)

+ Gi i (2): ả ( ) 2 2

3 3 3 2

2 1 log log log 2.log

3 2 x 3 4.2 x 3 4.2 x

x + x x

⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =

( )

3 3 3

log 2 log 4 1 log 4 log 4

3 4. 3 4. 3. 4

x x x x x− x−

⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = (3)

Xét hàm s ố g x

( )

=x1 log 4− 3 +3.x−log 43
Mi n xác đ nh ề ị D=

(

0;+∞

)

Đ oạ hàm:

( ) (

)

log 43 1 log 43

3 3

' 1 log 4 . 3log 4. 0

g x = − x− − x− − < ∀ ∈ ⇒x D hàm s luôn ngh ch bi nố ị ế

V y phậ ương trình (3) n u có nghi m thì nghi m đó là duy nh tế ệ ệ ấ
Nh n xét r ng n u x=1 là nghi m c a phậ ằ ế ệ ủ ương trình b i khi đó:ớ

3 3

1 log 4 1 log 4

1− +3.1− = ⇔ =4 4 4 đúng

Khi đó h (II) tr thành: ệ ở 1

x y

x y
x

 ⇔ = =

 =


V y h đã cho có nghi m duy nh t (1;1)ậ ệ ệ ấ

BÀI TOÁN 4: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
I. Phương pháp:

II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i h phả ệ ương trình: 2 2

(

log2 log2

) (

1 (1)

)

1(2)

x y

e e y x xy

x y

 − = − +




+ −



Gi i: Đi u ki n x; y>0ả ề ệ
*) Gi i (1) ta có nh n xét sau:ả ậ

- N u ế x> ⇔y log2x>log2 y, khi đó:

( )
( )

1
1

0
0

VT
VP

 ⇒

 <

 (1) vô nghi mệ

- N u ế x y< ⇔log2 x<log2 y, khi đó:

( )
( )

1
1

0
0

VT
VP

 ⇒

 >

 (1) vô nghi mệ

- V y x=y là nghi m c a (1)ậ ệ ủ

Khi đó h có d ng: ệ ạ 2 2 2 1 1

1 2 1 2

x y

x y x y

x y
x

x y x

=


= =

  

⇔ ⇔ ⇔ = =

 + =  =  =

  

V y h có 1 c p nghi m ậ ệ ặ ệ 1 ; 1

2 2

 

 

 .

VD2: Gi i h phả ệ ương trình:

(

)

(

)

2
2

log 1

logx y 1 1

x y x y

xy x y

+ +

 + = + −



 + = + −

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ

0
1 0

1 0

0 2 1

x y

x y
xy

xy
x y

+ >


 + > ⇔

  + >


 < + + ≠



T phừ ương trình th nh t c a h v i vi c s d ng n ph t=x+y>0, ta đứ ấ ủ ệ ớ ế ử ụ ẩ ụ ược: log2t t= −1

Đ tặ u=log2t⇒ =t 2u khi đó phương trình có d ng:ạ
2

log 0

0 1

2 1

1 log 1 2

Bernoulli

u u u t x y

u t x y

=  + =

 

= + ←→ ⇔ ⇔

= = + =

  

+ V i x+y=1 h có d ng: ớ ệ ạ

(

)

1 1 1 0; 1

log 1 0 1 1 0 1; 0

x y x y x y x y

xy xy xy x y

+ =

  + =  + =  = =

 ⇔ ⇔ ⇔

 + =  + =  =  = =

   



+ V i x+y=2 h có d ng: ớ ệ ạ

(

)

2 2 2

log 1 1 1 4 3

x y x y x y

xy xy xy

+ =

  + =  + =

 ⇔ ⇔

 + =  + =  =

  



Khi đó x; y là nghi m c a phệ ủ ương trình: t2 − + =2t 3 0 vơ nghi mệ

V y h có 2 c p nghi m (0;1) và (1;0)ậ ệ ặ ệ

PH

ƯƠ

NG TRÌNH MŨ

1) 4x+1+2x+4 =2x+2 +6

2) 34x+8 −4.32x+5+27=0
3) 4.3 9.2 5.62

x
x

x− =

4) 8.3x +3.2x =24+6x

5) 6.

( )

0.7 7
100

= x

x
x

6) 125x+50x =23x+1

7) 4x2 +x.3x +31+x =2x2.3x+2x+6
8) 5 .8 −x1 =500

x
x

9) 3x+1+3x−2 −3x−3 +3x−4 =750
10) 7.3x+1−5x+2 =3x+4 −5x+3

11) 6.4x −13.6x+6.9x =0

30) 4x+2x −6=0
31) 25X −6.5x+1+53 =0
32) 9x+5.3x+7=0
33) 9x−25.3x −54=0
34) 32+x+32−x =30
35) 32(x+1) −82.3x +9=0
36) 73x +9.52x =52x +9.73x

37) 9 2 1 36.3 2 3 3 0

=
+

− −

− x

x

38) 9 2 1 3 2 1 6 0

=
−

− +

+ x
x

39) 4x+23 +9x =6x+1

40) 52x =32x+2.5x+2.3x

41) 2 1 2 2 1 2 2

2
3
3

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

12) 4x =82x−1

13) 52x+1−3.52x−1 =110
14) 3.4x+2.9x =5.6x

15) 32x+8 −4.3x+5+27=0
16) 7.3x+1−5x+2 =3x+4 −5x+3

17) 6.91 13.61 6. 6.41 0

=
+

− x+ x

x

18)

(

)

(

)

(

)

3
2
10
101
3
2
3

2 2 2 1 2 2 1

−
=
−

+ x− x+ x − x−

19) 5x−1+2x −5x +2x+2 =0
20) 2 3 2 3 5

4
2 x− = x+ x−

21) 2 2 1

2
1
3
2
2

9x− x+ = x+ − x−

22) x+log2

(

9−2x

)

23)

(

2+ 3

) (

x+ 7+4 3

)(

2− 3

) (

x =42+ 3

)

24) 25x+15x =2.9x

25) 4 x−2 +16=10.2 x−2

26) 22 2 1 9.2 2 22 2 0

=
+

− + +

+ x x x
x

27) ( ) 1

2
12
2

1
2
.
6

23 − − 3 1 + =

− x
x

x
x

28) x

x

2
3
1+ 2 =

29) 2x =128

42) x x−1 = 102−x

5
1
5
.
2

43)

(

3+ 5

) (






−






−

+






− x
x
x
x
x
x

54) 5.32x−1−7.3x−1+ 1−6.3x+9x+1 =0
55) 12.3x+3.15x−5x+1=20

56) 2

2
2

22 log 6 log 4

5−x x − x+ =

3) lg5+lg





 +
−






 +
=





 −
−
8
1
lg
2
1
2
1
lg
2
1
lg
2
1

lgx x x x

5) lg2x−3lgx=lgx2 −4

6) log 3 log 2 0

3
1
3

1 x− x+ =

( )

8
log
4
log
2
2
2
2

1 + =

x
x

8) log 5

(

4x−6

)

−log5

(

2x −2

)

2 =2

42)

(

4 x 8 x

)

4 x

6 log

log
.

2 + =

43) log

(

)

log

(

2 1

)

3
2
2
2

2+ x + +x + − x + −x =

44) log2 2+log2

( )

4x =3

x

45) log log 3 log3

( )

3 4 3
3

3 x+ x + x =

46) 0

6
7
4

log
2

logx − x+ =

47) log5x+log3x=log53.log9225
48) log

(

3 1

)

log1 2 2 log2

(

)

2 − + = + +

x
x

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

9) 2 3
2
4
2
log
3
log
2
log

4 x x+ xx = xx

10) log32−log32x=1

x

11) log 2 40log4 14log16 3 0
2

=
−

+ x x

x x x

x

12)

2 3 5

2 3 2 5 3 5

log .log .log

log .log log .log log .log

x x x

x x x x x x

= + +

13)

( )

x x x 2 x

3
3
2
3 log
2
1
3
log
log
.
3

log − = +

14) lg

( )

lgx +lg

6 10

)

1 0

2 x − − x− + =

17)

(

x 4 x

)

4 x

6 log

log
.

2 + =

18) logx2−x−2 x=1
19) log 4 .log2 12

2 x=

x

20) logx

(

x+1

)

−lg4,5=0

21) log2 3 log2 3=3





 −
+





 +
x

x
x
x

2 1 1

]

9 x= x x+ −

27) 3. log3x−log33x−1=0
28)

x
x

x

x x 4 2

2
4

2 2 log 2 log 2 log

log + + =

29)

(

)

lg 2 lg4

2
1
10

lg x+ + x2 = −

30) x ( )x

(

x

)

x

2
2

log

2 2 log 1 log

3 − 2 3+ = + −

31)

(

)

log2

(

) (

4 2

)

log3

(

)

3 + + + + =

+ x x x

x

32) ( )

(

)

2
1
2
1
3
log 2

3 − − + =

+ x x

x

33) 2 2 4 15

2 log 81 log 3 2

2
1

2 x+ =x− x+ −

50) log2x+2log7x=2+log2x.log7 x

51)

(

) (

.log 1

)

log

(

)

log 2

20
2

5
2

4 x− x − x+ x − = x− x −

52) log2

(

9x+5.3x

)

53) log

[

9x+1−4.3x −2

]

=3x+1

x

54) log

[

log3

(

9x−6

)

]

x

=logx+116

)

log

(

)

2
1
2

2 x − = x−

59) log2

(

log3

(

log2x

)

=1
60)

6
2

3
2

2 x− x − x+ x − = x− x −

64) log log log8 3 5

16
1

4x+ x+ x =

65) log

(

5 1

)

.log

(

5 1 5

)

5 x − x+ − =

)

log 2 4 4 9

3
2

3 x+ + x + x+ =

70)

(

6 5 1

)

log

(

4 4 1

)

2 0

log 2

3
1
2

1− x x − x+ − − x x − x+ − =

71)

(

x2 −1

) (

lg2 x2 +1

)

+4 2

(

x2−1

) (

lg x2 +1

)

=0
72) log

(

)

log 5 log

(

)

2log

(

)

25
1
5
5
1
2

5 x + + = x+ − x−

73)

(

)

log2

(

) (

4 1

)

log3

(

)

16 0

3 + + + + − =

+ x x x

x

74)

(

)

(

)

(

)

4
1
3
4
1
2
4

1 2 3 log 4 log 6

log
2

3 + − = − + +

x
x

x

75) x x x

x 2
3
3
2
3 log
2
1
3
log
log
.
3

log − = +

76)

(

9 12 4

)

log

(

6 23 21

)

log 2

5
2
2

3x+ + x+ x + x+ x + x+ =

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

36) log2

(

)

log2 2 6 0

2x+ x− x+ x− =

37) 4.log9 x+logx3=3

3 log 3

log 2 2

2
2

2 x + x+ + x + x+ = +

40)

(

1 1 2

)

log

(

)

2 − =

−
+
+

− x x x

x

x x

x
x

x

x .log 5 2 3 log 5 2 2 3 2 2

6
1
2

2 − − − − − = +

78) log .log log 3 log2 3

2x x= x + x−

79)

(

)

(

)

(

)

2 1

1 2

3 .log 1 2log 2

3 .log 2 2log 1

x
x
x x
x x
−
−
− − +
= − + −

80) 2x x 7

(

x

)

x 7

(

x

)

2 x

2 2log 3 log

2
3
log
log



 + +
=
+
+

B T PH

Ấ

ƯƠ

NG TRÌNH MŨ

1) 2x+27−x ≤9

2) 12

3
1
3
3

1 2 1 1 =






+




 x x+

3) 16logax ≥4+3.xloga4

(

+

)

−x2+x+ −x2+x+ <

(

−

)

−x2+x

1
5
3
2
1
5 1

5) 32x−8.3x+ x+4 −9.9 x+4 >0
6) 3 2 4

(

2 4

)

.3 2 1

≥
−

+ −

− x

x x

7) 4x+1−16x <2.log48
8) 4 2 ( ) 8 ( )3 52

1
2
1

2 + >

− x− x−

x

9) 2 0

2
1
21
2
3
2
1

2 + ≥






− +
+
x
x

10) x x x

1
1
1
9
.
4
6
.
5
4
.
9
−
−
−
<
+

11) 8.3 x 4x 94x 1 9 x

≥

+ +

12)

(

x2 +x+1

)

x <1

13) 6.92 2 13.62 2 6.42 2 0

≤
+

− − −

−x x x x x
z

14) 2−5x−3x2 +2x>2x.3x 2−5x−3x2 +4x2.3x

15) 4x2+3 x.x+31+ x <2.3 x.x2 +2x+6

16)

(

) (

)

1
1
1
5
2
5 +
−
−

−
≥
+ x
x
x

17) 2 2 1 2 2 1 2 2

15
.
34
9

25 x−x+ + x−x+ ≥ x−x

18) 5( ) 5 10

5 log

log x +x x ≤

19) 5log3 2 1

−

x

20)

(

)

( )(2 1)
log
log
1
1
3
3
5
12
,
0
−
−
−






≥
x
x
x
x

21) 3 2 4

(

2 4

)

.3 2 1

≥
−

+ −

− x

x x

22) 5log log2(32.log3 3 log39) 1
2
1
<
+
− x
x

23) 6log26x+xlog6x ≤12

24) 2log2x.3log2(x−1).5log2(x−2) ≥12
25) 9 2 2 1 7.3 2 2 1 2

≤

− − − −

−

− x x x x
x

26) xlog2x+4 ≤32

27) 4x2 +x.2x2+1+3.2x2 >x2.2x2 +8x+12
28) 3x+1−22x+1−122x <0

B T PH

Ấ

ƯƠ

NG TRÌNH LƠGARIT

1) 2

1
1
8
log

2 + ≤

−
+

x
x
x

1 x − x+ ≥−

4) log

(

3 4 2

)

1 log

(

3 2 4 2

)

3
2

9 x + x+ + > x + x+

5)
3
1
6
5
log 3
−
≥
−
x
x
x

47)

(

)

2
log
1

log
2
2
log
2
2
x

x + x >

48) 1

1
1
2

log >





−
−
x
x
x

49) 1

log
1
log
1
3
2
3 >
+
+
x
x

50) log 2log 1

4
3

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

6)
2
1
1
1
2

log4 <−
−

−

x
x

7) 2

4
1

log ≥





 −x

x

8) x

x
x
x 2
2
1
2
2
3

2
2
1
4

2 4.log

32
log
9
8
log

log <






+




−

1
2

10) logx2

(

4x+5

)

≤1
11) log2x+log2x8≤4
12)

(

)

(

8 2 6 1

)

5
log
1
3
4 2
5

2− + + + x− x − + ≤

x
x
x

x

13)

(

4x2−16x+7

)

log3

(

x−3

)

≥0

14) log 5 6 log 2 21log

(

)

3
1
3

1
2

3 x − x+ + x− > x−

15) 1

1
3
2

log3 <
−

−

x
x

16) log2x+log3x<1+log2 x.log3x

17) log

(

)

1
1
3

2
log
1
3
1
2
3
1 +
>
+

− x x

≤log2

(

2−x

)

22)

(

)

log

(

)

1
2
9
6
log 2
2
2

1 + <− +

+
+
x
x
x
x

23)

(

)

8
2
18
log
.

2
18

log4 2 ≤−






 −

− x x

24) log

[

log9

(

3x−9

)

]

x

25) log

(

)

log

(

)

log 3

(

)

1
3

1 x− + x+ + −x <

x

x
x

x 7 12 2 1 14 2 24 2 logx2

2 2 ≤ − 2− +





 −
+
−
+

29) log

(

5x2 −8x+3

)

>2

x

51)

(

(

)

)

5
log
35

log
5
3
5 >
−
−
x
x
52)
2
1
1
2
2
log 2
1

2−x+ x − x− <

x

53) log 2

2
1

log7 x− 7 x>

54)

(

4
1
2

1 x+ x <

59) 2

4
1

log ≥






 −x

x

)

.log

(

)

1
1
2
1
log
1
log
.
2
5
1
5
2

25  −




−
−
≥
− x
x
x

63) log

(

2 3 2

)

1 log

(

2 2 3 2

)

2
2

4 x + x+ + > x + x+

64) x

x
x
x 2
2
1
2
2
3

2
2
1
4

2 4log

32
log
9
8
log

log <






+




−

2− + +

)

(

− <

)

log x 6x 8 2log x 4 0

e. 1 + ≥ x

log x log 3

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

30) =

31)

(

)

4
3
16
1
3
log
.
1
3
log
4
1

4 ≤




 −

− x

x

32) log0,3

(

x+5−x+1

)

33) log 5 6 log 2 21log

(

)

3
1
3

1
2

3 x − x+ + x− > x+

34)

(

)

(

)

3
5
2
11

4
log
11
4
log
2
3
2
11
2
2
5 >
−
−
+
−
−
+
−
x
x
x
x
x

35)

(

)

2
3
2

9
4
1
log
log




−
≥ x
x
36)
2
1
2
5
4

log 2 ≤






−
−
x
x

x

37)

(

)

(

)

2
1
2

1 1 log 1 2

log
2
1

x
x− > − −

38) log 1

2
1
log
2
3
2
3

4 x− x>

39)

)

0

8
2
1
log
2
2
1
<
+
−
−
x
x
x

43) x x

8
1
2

1 1 4log

log

.
9

1− > −

44) log

[

log2

(

4x −6

)

]

≤1

x

45) log3 x−log5x<log3x.log5 x

46)

(

(

)

)

3
log
8
9
log
2
2
2 <
−
+
−
x
x
x

h. 1 + ≥

4x 6

log 0

i. log x 32

(

+ ≥ +

)

1 log x 12

(

−

)

j. 8 − + 1 − >

2
2log (x 2) log (x 3)

3
k.   ≥

 

3 1

log log x 0

l. log 3x 4.log 5 15 + x >

m. − + ≥

+ −

3 2

x 4x 3

log 0

x x 5

n. 1 + 3 >
2

log x log x 1
o. log2x

(

x2−5x 6+ <

)

1
p. log3x x− 2

(

3 x− >

)

q.
+
 − + ≥
 
 
2
2
3x
x 1

log x x 1 0

2
r. x 6+  2 +−  >

x 1

log log 0

x 2

s. 2 + ≤

2 2

log x log x 0

t. x x > −

2
16

1
log 2.log 2

log x 6

u. 2 − + ≥ −

3 3 3

log x 4log x 9 2log x 3

v. 21 + 2 <

(

− 16 4

)

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

H PH

Ệ

ƯƠ

NG TRÌNH MŨ – LƠGA

I. H phệ ương trình mũ.

1)




=
=
−





 −
+

1
3
3
5
4
y
x
y
x
x
y
x
y
2)

(

)

(

)





+
−
=
−
=
+
y
x
y
x
x

y
y
x
3

3 1 log

log
32
4
3)






−
=
+
=
4
2
3
9
9
.
3
1 2
1

y
x
x
y
x
y
x
y

4) ( )






=
=
−
y
y
y
x
x
y
y
x
1
2
3

5
2
3
.
3
3
2
.
2
2
5)



=
+
=
2
lg
lg
1
2

2x y

xy
6)





=
−
=
−
7
2
3
77
2
3
2
2
y
x
y
x
7)




=
+
=
2
log
.
2
log

)





=
+
+
+
=
+
+
−
4
2
1
2
2
3
4
2
1
2
2
3
x

y
y
x
17)
+
− −
 =


=

x y
3x 2y 3

4 128

5 1 18)

+
− −
 =


 =
 2
x y
(x y) 1

5 125

4 1

19) − =

− =



2x y

x y

3 2 77

3 2 7 20)

 + =


+ =

x y

2 2 12

x y 5

II.H phệ ương trình lơgarit.

(

)(

)




=
+
+
−
=
−
16
2
log
log
3
3
2
2
y
x
xy
x
y
y
x
2)

( )






=
=
3
lg
4
lg
lg
lg
3
4
4
3
y
x
y
x

(

)




=
+
+
=
+
1
log

3
log
2
log
log
7
2
2
2
y
x
y
x

(

)




=
=
+
8
5
log
log
2
xy
y
x x

y
5)



=
−
=
+
1
log
log
4
4
4
log

log8 8

y
x

y

x y x

6)




=
−
=
+
1
log
log
4
4
4
log

log8 8

y
x

y

x y x

15)

( )

(

)





=
+

−
+
=
0
lg
.
lg
lg
lg
lg
lg
2
2
2
2
y
x
y
x
xy
y
x

16)

(

(

)

(

)

)

(

)





=

+
−
+
=
+
−
+
+
+
−
−
+
−
+
−
1
4
log
5
log
6
1
2
log
2
2
log
.
2
2

1
2
2
1
x
y
x
x
y
x
xy
y
x
y
x
17)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)





−
=
+
−
+
−
+
+

=
+
−
+
1
log
4
2
2
4
log
1
log
3
log
1
2
log
log
4
2
4
4
4
4
2
2
4
y
x

x
y
y
xy
y
x
x
y
x
18)
( )

( )





=
−
−
+
+
=
12
3
3
2
4
2
2
2
log

log3 3

y
x
y
x
xy
xy
19)

(

)

(

)





+
−
=
−
=
+
y
x
y
x
y
x
x
y
3

3 1 log

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

(

)





=
+
−
=
−
+
1
log
4
3
3
.
1
1

3x y

x
x

x y

(

(

)

)

(

(

)

)




=
=
x
x
y
x
4
2
2
4
2
4
4
2
log
log
log
log
log
log
log
log
9)
( )

(

)

(

)






=
+
−
+
=
+
+
+
+ 3
8
1
log
2
log
14
2
2

1 y x

y
xy
x

y
x

10)

(

(

)

)




=
+
=
+
2
2
3
log
2
2
3
log
x
y
y
x
y
x

11)

(

(

)

)

(

(

)

)






=
+
+
=
+
+
+
4
5
3
log
.
5
3
log
4
5
3
log
5
3
log
x
y
y
x
x
y
y
x

y
x
y
x
12)





=
−
+
=
−
0
2
0
log
log
2
1
2
3
3
2
3
y
y
x

y
x
13)



=
−
=
+
1
log
log
27
2
3
3
log

log3 3

x
y

y

x y x

14)





−
=
−
−
=
−
9
log
log
.
5
8
log
log
.
5
4
3
2
2
4
2
y
x
y
x

20)

(

)




=
+
−
=
+
y
y
y
y
x
x 81
3
.
12
2
3
log
2
3
21)




=

=
2
log
4
log
2
1
2
y
x
xy
22)

(

)






=
+
−
−
+
=
+
+
−
0
1
4

2
2
2
2
3
2
2
2
2
1
2
2
x
y
x
x
y
x
xy y
x
x

23. + =

+ =

 2 2

lgx lgy 1

x y 29

24. + =+ = +



3 3 3

log x log y 1 log 2
x y 5

25.

(

)

(

)

(

)

 + = +


+ − − =

2 2

lg x y 1 3lg2

lg x y lg x y lg326.

− =


− + =


4 2
2 2

log x log y 0

x 5y 4 0

27.

(

)

(

)

+

 =

 + = − +

x y
y x
3 3
4 32

log x y 1 log x y

28.
 =


 = +
 y
2
x y

2log x

log xy log x

y 4y 3

1) (A–07) 3 1

2log (4x− +3) log (2x+ ≤3) 2 (3 3
4< ≤x )

2) (D3–05) 2

2 4 2

log log ( 4 4) log 3

x

x x

x+ +− + + > − (x>2 ∨ < −x 4)

3) (D2–06) 2 4 2

2(log 1) log log 0

x+ x+ = ( x=2 ∨ x= ¼)

4) (B2–03)log0,5x+2log (0,25 x− +1) log 6 02 ≤ (x ≥ 3)

5) 2 4 1

log x- 2 + log x+ 5+ log 8=0 3 17

6;3;
2
x
ổ ỡù - ỹùửữ
ỗ ù ù ữ
ỗ ẻ ớ- ýữ
ỗ ù ùữ
ỗ ữ
ỗố ùợ ùỵứ

6) 2 4 2 1

log (x+ 2) log (+ x- 5) + log 8=0 3 17

6;
2
x x
ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ = = ữ
ỗ ữữ
ỗố ứ

7) 2 4 8 2

1 1

log ( 3) log ( 1) log (4 )

2 x+ +4 x− = x (x = 3 ∨ x= –3+ 12)

8) 9 2 1 3

log (x+ 3) - log x- 2- log 2 1< ( 4; 3) ( 3; 1) (0; 2) (2;3)- - È - - È È

9) 2log3x+1.5log3x+1 < 400 ( -10 < x < 8 )

10) (B1–04)

2 4 16

4
2
x x
x
− + −
>

− (x<2 ∨ x> 4)

11) (A1–04) 2 2

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

13) (D–03) 2 2 2

2x−x −2 + −x x =3 (x =–1 ∨ x=2)

14) (D2.05) 3

3
1
.
2
9

2 2 2

≤







− −

−

x
x
x

x .. (1− 2≤ ≤ +x 1 2)

15) (B2–06) 2 1 2 2

9x + −x −10.3x + −x + =1 0 ( x=1 ∨ x= –2)

16) (A.06) 3.8x+4.12x–18x–2.27x=0 (x=1)

17) (D–06) 2 2 2

2x x+ −4.2x−x−2 x+ =4 0 ( x=0 ∨ x=1)

18) (CĐHQ– 05) 1 2 1 2

3 2 12 0

x

x+ − x+ − < (x >0)

19) (B–07)

(

2 1−

) (

x+ 2 1+

)

x−2 2 0= (x = ± 1)

20) (D2–03)log (55 4) 1

x− = −x

(x =1)

21) (B–06) 2

5 5 5

log (4x+144) 4log 2 1 log (2− < + x− +1) (2<x<4)

22) (B–02)log (log (93 72)) 1

x

x − ≤ (log 739 < ≤x 2)

23) (D–07) 2

(

)

log 4 15.2 27 2log 0

4.2 3

x x

x

+ + + =

− (x=log 3)2

24) (D1–06)4x –2x+1 +2(2x–1)sin(2x +y –1) +2 =0 (x =1, y = –

2
p

–1 +k2π)

25) (D1–06) 1

3 3

log (3x−1) log (3x+ − =3) 6

( x=log 103 ∨ x= 3

28
log

27)

26) (D1–02) 16 3

2
3
27

log x x−3log xx =0 (x=1)

27) (A1–02) 1 0,5 2 1
2

log (4x+ ≥4) log (2 x+ −3.2 )x

( x ≥ 2)

28) (A2–04)2 12log2 32log2

x x

x ≥ (0 < x ≤ 2 ∨ x≥4)

29) (A2–03) 15.2x+1+ ≥1 2x− +1 2x+1 (x ≤ 2)

30) (D1–03) f(x)= log 2.x x . Gi i bpt f ’(x)≤0ả (0 < x ≤ e ∧ x ≠1)

31) (B3-03) 3x+2x =3x+2 ( x=0 ∨ x=1)

32)

x

log 92

=

x

3

log2x

−

x

log 32 (x = 2 )

33)

x

log 35

+

4

log5x

=

x

(x=25)

34) 2 2

2 3

log ( x − + + +5x 5 1) log (x − + ≤5x 7) 2 (1 5 5 5 5 4

2 2

x − + x

≤ ≤ ∨ ≤ ≤ )

35)(A-08) 2 2

2x1 x 1

log (2x + x 1) log (2x1)- + + =4

x 2;x

= =

36)(B-08) log0,7 log6 2 0

æ + ửữ

ỗ ữ<

ỗ ữ

ố + ứ

x x

x ( 4; 3) (8;- - È + ¥ )

37)(D-08) 1 2
2

3 2

log x - x+ ³ 0

x

) (

é- È + ù

ê ú

ë2 2;1 2;2 2û

38)(A1-08) 1 2
3

2 3

log (log ) 0

+ ³

x

x x < –1

39)(A1-08) sin( )

4 tan

x

e x x= π/4 + k π

40)(A2-08)

1 6

3 log (9 )

log

+ = x x

-x x x = 2

41)(B1-08) 2 1

2log (2x+ 2) log (9+ x- 1) 1= x= 1; x = 3
2

42)(B2-08) 32 +1 22 +1 5.6 0

- - £

x x x 2

1
log

2
£

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

43)(D1-08)

2

2x2-4x-2

-

16.2

2x x- 2-1

-

2

£

0

1- 3£ £x 1+ 3

44)(D1-07) 1 2 2 2

1 1

log 2 3 1 log ( 1)

2 2

- + + - ³

x x x 1£ < 1

3 x 2

45)(D2-07) log22 - 1= +1 - 2

x

x x= 1

46)(D2-07) 23 +1 7.22 7.2 2 0

- + - =

x x x x= 0; ± 1

47)(A1-07) 2

4 2

(log 8 logx + x )log 2x³ 0 0 1 1

2
< x£ Úx>

48)(A2-07) 4 2

2 1

1 1

log ( 1) log 2

log + 4 2

- + = + +

x

x x x = 5

49)(B1-07) 2

3 3

log (x- 1) + log (2x- 1) 2= x=2

50)(B2-07) 3 9

(2 log )log 3 1

1 log

+ - =

-x

x

</div>

file word Các phương pháp giải PT - BPT - HPT Mũ và Logarit - Nguyễn Trung Kiên | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

<b>PH</b>

<b>ƯƠ</b>

<b>NG TRÌNH- B T PH</b>

<b>Ấ</b>

<b>ƯƠ</b>

<b>NG TRÌNH- H MŨ- LÔGARIT</b>

<b>Ệ</b>

<b> PH</b>

( ) ( )

<sub>( </sub>

<sub>) ( ) ( )</sub>

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

(

) (

)

(

) (

)(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)