Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân tích tai của đồ thị và đồ thị Series parallel

BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Nguyễn Thị Thu Hà

PHÂN TÍCH TAI CỦA ĐỒ THỊ VÀ
ĐỒ THỊ SERIES PARALLEL

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019


BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Nguyễn Thị Thu Hà

PHÂN TÍCH TAI CỦA ĐỒ THỊ VÀ

ĐỒ THỊ SERIES PARALLEL

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TSKH Phan Thị Hà Dương

Hà Nội - 2019


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tịi, học hỏi
của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của cơ Phan Thị Hà Dương. Mọi kết quả
nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể.
Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội đồng bảo
vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được cơng bố trên bất kì một phương
tiện nào. Tơi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan.
Hà Nội, tháng 10 năm 2019
Học viên

Nguyễn Thị Thu Hà


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, trước hết tôi xin được bày tỏ sự biết ơn sâu sắc
nhất của mình tới PGS.TSKH Phan Thị Hà Dương đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ

bảo tận tình cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất trong suốt thời gian tôi
thực hiện luận văn.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn các thầy cô, các anh chị và bạn bè trong
Viện Toán học đã quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
tại Viện.
Qua đây, tơi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận
lợi của cơ sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa
học và Cơng nghệ Việt Nam trong q trình thực hiện luận văn.
Cuối cùng tơi xin cảm ơn gia đình, người thân đã ln quan tâm, giúp đỡ,
động viên và khích lệ tơi trong suốt q trình học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 10 năm 2019
Học viên

Nguyễn Thị Thu Hà


Mục lục

Danh sách hình vẽ

3

Danh sách bảng

5

MỞ ĐẦU

6

1

TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH TAI VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI TÍNH
LIÊN THƠNG CỦA ĐỒ THỊ

8

1.1

Các định nghĩa cơ bản về đồ thị và ví dụ . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Tính liên thơng của đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3

Các loại liên thông trên đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4

2

1.3.1

Đồ thị k - liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2

Đồ thị k - cạnh liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Hai loại phân tích tai. Điều kiện để có phân tích tai . . . . . . . 24
1.4.1

Phân tích tai loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.2

Phân tích tai loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ SERIES PARALLEL DỰA TRÊN PHÂN
TÍCH TAI

32

1


2

2.1

Phân tích tai gắn kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2

Đồ thị Series - Parallel và phân tích tai . . . . . . . . . . . . . 40

2.3

3

2.2.1

Định nghĩa đồ thị Series - Parallel . . . . . . . . . . . . 40

2.2.2

Điều kiện để một đồ thị là Series - Parallel . . . . . . . 41

Thuật toán nhận dạng đồ thị Series - Parallel . . . . . . . . . . 48
2.3.1

Ý tưởng thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.2

Kiểm tra tính gắn kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.3

Độ phức tạp và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

65

Danh sách hình vẽ

1.1

Một số ví dụ về đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2

Đồ thị hai phần và đồ thị hai phần đầy đủ K2,3 . . . . . . . . . . 10

1.3

Đồ thị vô hướng G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

Trường hợp P chứa e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5

Rừng gồm 4 cây. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6

Kết nối của K3 , K2,3 và đồ thị liên thơng có một đỉnh cắt. . . . 16

1.7

Trường hợp đường R có điểm trong chung với cả P và Q. . . . 18

1.8

Chu trình u, x, y, v, u đi qua hai cạnh uv và xy . . . . . . . . . . 19

1.9

Sự phân chia cạnh uv thành đường u, w, v . . . . . . . . . . . . 19

1.10 Sửa đổi chu trình qua e, f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.11 Ví dụ tập ngắt kết nối cạnh không phải tập cạnh cắt. . . . . . . 22
1.12 Hình minh họa S, S và T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.13 Kết nối và kết nối cạnh của một số đồ thị. . . . . . . . . . . . . 23
1.14 Ví dụ về phân tích tai và phân tích tai mở loại 1. . . . . . . . . 24
1.15 Phân tích tai mới thu được khi thay P3 = P0 . . . . . . . . . . . 25
1.16 Chuỗi các phép phân chia cạnh uv chuyển đồ thị G + uv thành

G ∪ P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3


4

1.17 Phân tích tai và phân tích tai mở loại 2. . . . . . . . . . . . . . 28
1.18 Đồ thị G, cây các khối và cây các đồ thị con 2 - cạnh liên thông
cực đại của G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.19 Hình minh họa các trường hợp khi thêm tai thứ k . . . . . . . . . 30
2.1

Phân tích tai gắn kết và phân tích tai dạng cây . . . . . . . . . . 34

2.2

Cây của các khoảng gắn trên tai E1 . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3

Phân tích tai dạng cây và cây. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4

Tai Ej gắn trên Ei nhưng không gắn thực sự. . . . . . . . . . . 38

2.5

Cấu trúc của một đồ thị TTSP bằng các phép tổng hợp chuỗi và
song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6

Cây nhị phân thể hiện cấu trúc của đồ thị TTSP trong hình 2.5.

42

2.7

Hình minh họa trường hợp 1 và 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.8

Tai Ei và đường tai Hi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.9

Cây gắn kết của tai Ei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.10 Đường tai Hj của tai Ej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.11 Cây sp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.12 Đồ thị G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.13 Đường cạnh H1 và cây sp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.14 Đường cạnh H2 và cây sp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.15 Đường cạnh H3 và cây sp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.16 Đường cạnh H4 và cây sp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.17 Đường cạnh H5 và cây sp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.18 Cây sp của G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


Danh sách bảng

2.1

Danh sách các cạnh đi xuôi và đi ngược của các đỉnh trong Hi . . 51

2.2

Bảng liệt kê con đầu và em kế của các cạnh trong Hi . . . . . . . 55

2.3

Lưu trữ các cạnh của Hi vào các ô nhớ. . . . . . . . . . . . . . 55

2.4

Danh sách các cạnh đi xuôi và đi ngược của các đỉnh trong Hj . . 56

2.5

Bảng liệt kê con đầu và em kế của các cạnh trong Hj . . . . . . 57

2.6

Lưu trữ các cạnh của Hj vào các ô nhớ. . . . . . . . . . . . . . 57

2.7

Bảng tính X, Y, Z cho từng cạnh ei . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.8

Bảng liệt kê con đầu và em kế của các cạnh trong H1 . . . . . . 60

2.9

Bảng tính X, Y, Z cho từng cạnh trong H1 . . . . . . . . . . . . 60

2.10 Bảng tính X, Y, Z cho từng cạnh trong H2 . . . . . . . . . . . . 61
2.11 Bảng tính X, Y, Z cho từng cạnh trong H3 . . . . . . . . . . . . 62
2.12 Bảng tính X, Y, Z cho từng cạnh trong H4 . . . . . . . . . . . . 62
2.13 Bảng tính X, Y, Z cho từng cạnh trong H5 . . . . . . . . . . . . 63

5


6

MỞ ĐẦU
Ngày nay, lý thuyết đồ thị đã được phát triển mạnh mẽ, trở thành một chủ đề
quan trọng của Toán học, và được sử dụng trong nhiều vấn đề ứng dụng toán
học. Một trong những lớp đồ thị cơ bản, quan trọng là đồ thị Series Parallel.
Chúng hay được ứng dụng trong mơ hình mạch điện, trong các vấn đề lập kế
hoạch.
Việc nhận ra các đồ thị Series Parallel là một trong những vấn đề được nhiều
nhà khoa học quan tâm và điều này có thể được thực hiện trong thời gian tuyến
tính (Valdes, Tarjan và Lawler, 1979 [2]). Hơn nữa, khi ta biết một phân tích của
đồ thị Series Parallel theo hai phép tốn Series và Parallel thì ta có thể giải quyết
được nhiều vấn đề trong thời gian tuyến tính như tìm ghép cặp lớn nhất, tập độc
lập lớn nhất,. . . trong đó có nhiều vấn đề là NP – khó cho các đồ thị tổng quát.
Năm 1987, He và Yesha [3] đã đưa ra một thuật tốn nhận dạng đồ thị Seriesparallel có hướng trong thời gian O(log 2 n) với O(m + n) bộ xử lí trên EREW
PRAM. Năm 1992, Eppstein [4] đã cải thiện kết quả này, thuật toán chạy trong
thời gian O(logn) với C(m, n) bộ xử lí trên CRCW PRAM, trong đó C(m, n)
là số bộ xử lí cần thiết để đếm số thành phần liên thông của đồ thị trong thời gian
logarit. Giá trị bị chặn tốt nhất được biết là C(m, n) = O(mα(m, n)/logn).
Trong luận văn này, chúng tơi sẽ trình bày về phân tích tai của đồ thị, mối
liên hệ giữa phân tích tai và đồ thị Series Parallel và quan trọng là trình bày
thuật tốn nhận dạng đồ thị Series Parallel, thuật toán dựa trên khái niệm phân
tích tai mở của đồ thị. Luận văn được chia làm hai chương như sau:
Chương 1: Tìm hiểu về phân tích tai và mối liên hệ với tính liên thơng của
đồ thị. Trong phần này, chúng tơi trình bày một số khái niệm cơ bản của đồ thị,
các loại liên thơng trên đồ thị, định nghĩa phân tích tai và mối liên hệ với tính
liên thơng.

Chương 2: Nhận dạng đồ thị Series Parallel dựa trên phân tích tai. Ở chương


7

này, chúng tôi sẽ giới thiệu về đồ thị Series Parallel, phân tích tai gắn kết, sau
đó trình bày điều kiện để một đồ thị là Series Parallel và cuối cùng là kết hợp
các kết quả đã có để hình thành thuật toán.
Mặc dù bản thân tác giả đã rất cố gắng, xong luận văn này không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của q thầy cơ và các bạn
để luận văn được hồn thiện hơn.


CHƯƠNG 1
TÌM HIỂU VỀ PHÂN TÍCH TAI VÀ
MỐI LIÊN HỆ VỚI TÍNH LIÊN
THƠNG CỦA ĐỒ THỊ
Trước khi đi vào vấn đề chính, chúng tơi sẽ trình bày về những kiến thức cơ
bản của đồ thị, tính liên thơng, k - liên thơng, giới thiệu về phân tích tai của đồ
thị và mối liên hệ của nó với tính liên thơng. Để làm sáng tỏ hơn vấn đề, chúng
tơi đã trình bày chi tiết chứng minh các định lý, phân chia các trường hợp cụ thể
và vẽ các hình minh họa.
Phần lớn các kiến thức trong chương này được trích dẫn từ [4] [5].

1.1

Các định nghĩa cơ bản về đồ thị và ví dụ

Trong mục này, chúng tơi trình bày những khái niệm cơ bản của đồ thị vô
hướng như đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đường, chu trình,. . . Đây là những

kiến thức cơ sở được sử dụng trong những phần tiếp theo của luận văn.
Định nghĩa 1.1.1. (Đồ thị vơ hướng)

• Một đồ thị vơ hướng G là một cặp có thứ tự G := (V, E) trong đó V là
tập các đỉnh, E là tập các cặp đỉnh (khơng có thứ tự), được gọi là cạnh.
8


9

Hai đỉnh thuộc một cạnh được gọi là các đầu mút của cạnh đó. Ta kí hiệu

V (G) là tập đỉnh của G, E(G) là tập cạnh của G.
• Cạnh e = uv (hay e = vu) nếu u, v là hai đầu mút của e. Khi đó ta nói
cạnh e kề với hai đỉnh u và v hay u, v kề nhau hay u, v là hàng xóm của
nhau.
Định nghĩa 1.1.2. Một khuyên là một cạnh mà hai đỉnh cuối của nó trùng nhau.
Các cạnh bội là những cạnh mà chúng có chung đỉnh cuối. Đơn đồ thị là đồ thị
khơng có khun hoặc cạnh bội.
Trong luận văn này ta xét các đồ thị vơ hướng có thể có khuyên và cạnh bội.
Định nghĩa 1.1.3. Cho đồ thị G, bậc của đỉnh v ∈ V (G) kí hiệu là dG (v) hay

d(v) là số cạnh kề với v , riêng mỗi khuyên tại v (nếu có) được đếm 2 lần. Ta
đặt ∆(G) là bậc lớn nhất của đồ thị, δ(G) là bậc nhỏ nhất của đồ thị.
Định nghĩa 1.1.4. Đơn đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị đầy đủ nếu mọi
cặp đỉnh phân biệt trong V đều kề nhau. Đồ thị đầy đủ n đỉnh (n > 0) được kí
hiệu là Kn .
Ví dụ 1.1.1. Trong hình 1.1

• Cạnh e6 là một khun của đồ thị G. Cạnh e7 và e1 là các cạnh bội của

G, do đó G khơng phải là một đơn đồ thị.
• K2 và K4 là các đồ thị đầy đủ.
• Ta có ∆(G) = 4 và δ(G) = 2, ∆(K4 ) = δ(K4 ) = 3.
Định nghĩa 1.1.5. (Đồ thị hai phần)

• Đơn đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị hai phần nếu V = U ∪ W sao
cho mọi cặp đỉnh phân biệt trong U và W là không kề nhau, tức là với mọi

u1 , u2 ∈ U, w1 , w2 ∈ W thì (u1 , u2 ) ∈
/ E, (w1 , w2 ) ∈
/ E . Khi đó ta có thể
viết đồ thị G dưới dạng G = (U ∪ W, E).


10

Hình 1.1: Một số ví dụ về đồ thị.

• Đồ thị hai phần G = (U ∪ W, E) là đầy đủ nếu mỗi đỉnh trong U đều kề
với mọi đỉnh trong W . Nếu m là số đỉnh của U , n là số đỉnh của W thì đồ
thị hai phần đầy đủ G được kí hiệu là Km,n .

Hình 1.2: Đồ thị hai phần và đồ thị hai phần đầy đủ K2,3 .

Định nghĩa 1.1.6. (Đồ thị con và đồ thị con cảm sinh)

• Một đồ thị con của đồ thị G là một đồ thị H sao cho V (H) ⊆ V (G),
E(H) ⊆ E(G) và cách gán hai đầu mút cho các cạnh trong H giống như
trong G.

• Cho T ⊆ V (G), đồ thị con của G sinh bởi T là đồ thị con của G có tập
đỉnh là T và tập cạnh là tất cả các cạnh của G có hai đầu mút thuộc T , kí
hiệu là G[T ].


11

Ví dụ 1.1.2. Cho đồ thị G như trong hình 1.1. Ta có đồ thị H với V (H) =

{v1 , v2 , v3 , v4 } và E(H) = {e1 , e2 , e3 , e4 } là một đồ thị con của G và do H
khơng có khun hay cạnh bội nên H là một đơn đồ thị. H là một đồ thị con
của G nhưng không phải là đồ thị con cảm sinh của G do G[V (H)] = G.
Định nghĩa 1.1.7. Cho G = (V, E) là một đồ thị vơ hướng. Một hành trình là
một danh sách vo e1 v1 ...ek vk của các đỉnh và cạnh, sao cho với 0 ≤ i ≤ k cạnh

ei có đỉnh cuối là vi−1 và vi . Khi đó k được gọi là độ dài của hành trình, vo
được gọi là đỉnh đầu, vk được gọi là đỉnh cuối của hành trình. Để đơn giản,
ta thường gọi dãy các đỉnh vo , v1 , ..., vk là một hành trình trong G nếu với mọi

i = 0, 1, ..., k − 1, vi vi+1 là một cạnh của G và khơng có cạnh bội có hai đầu
mút là vi , vi+1 .

• Một hành trình là khép kín nếu đỉnh đầu và đỉnh cuối của nó trùng nhau.
• Một vết là một hành trình mà mỗi cạnh chỉ xuất hiện một lần.
• Một đường là một hành trình mà các đỉnh của nó đều khác nhau. Ta gọi
hai đỉnh cuối của một đường là hai đầu mút của đường đó.

• Một chu trình (hay một xích) là một hành trình khép kín có độ dài ít nhất
là 3 và khi xóa đi đỉnh cuối thì trở thành đường.
Ví dụ 1.1.3. Cho đồ thị G = (V, E) như trong hình 1.1. Khi đó:

• v1 e4 v3 e3 v4 e3 v3 e6 v3 là một hành trình.
• v1 e1 v2 e7 v1 e4 v3 là một vết.
• v1 e1 v2 e2 v4 e3 v3 là một đường.
• v1 e1 v2 e2 v4 e3 v3 e4 v1 là một chu trình.


12

1.2

Tính liên thơng của đồ thị

Trong mục này, chúng tơi trình bày về tính liên thơng và khái niệm cây trong
đồ thị. Cây là một trong những lớp đồ thị quan trọng có rất nhiều ứng dụng, đặc
biệt trong việc lưu trữ dữ liệu, tìm kiếm,. . . Trong chương 2, chúng tôi sẽ dùng
cây để biểu thị cấu trúc của đồ thị Series - Parallel.
Định nghĩa 1.2.1. Một đồ thị G là liên thông nếu mọi u, v ∈ G đều có đường
nối từ u đến v . Ngược lại, G là không liên thông.
Định nghĩa 1.2.2. Một thành phần liên thông của đồ thị G là đồ thị con liên
thông cực đại của G. Một thành phần liên thơng là tầm thường nếu nó khơng
chứa cạnh nào, ngược lại là không tầm thường. Đỉnh cô lập là đỉnh có bậc 0.
Định nghĩa 1.2.3. Cạnh cắt hoặc đỉnh cắt của một đồ thị là một cạnh hoặc một
đỉnh mà việc xóa nó làm tăng số thành phần liên thơng.
Ta viết G − e hoặc G − M là đồ thị con của G thu được bằng việc xóa đi
một cạnh e hoặc một tập cạnh M . Ta viết G − v hoặc G − S là đồ thị con của

G thu được bằng việc xóa đi một đỉnh v hoặc một tập đỉnh S .
Ví dụ 1.2.1. Ta thấy đồ thị trong hình 1.3 là đồ thị khơng liên thơng do khơng
có đường đi nào từ a đến b. G có ba thành phần liên thơng với tập đỉnh lần lượt

là: {a}, {b, c, d, e}, {f, g, h}. Ta có g là đỉnh cắt của đồ thị, gh và gf là các
cạnh cắt của G.
Tiếp theo, chúng tơi sẽ trình bày điều kiện để một cạnh là cạnh cắt. Đây là
kết quả quan trọng được sử dụng trong một số kết quả về sau.
Định lý 1.2.1. [5] Một cạnh là cạnh cắt khi và chỉ khi nó khơng thuộc một xích
nào.
Chứng minh. Điều kiện cần:


13

Hình 1.3: Đồ thị vơ hướng G.

Cho e là một cạnh của đồ thị G (với hai đầu mút là x, y ) và H là một thành
phần liên thông của G chứa e. Do việc xóa bỏ e khơng ảnh hưởng đến các
thành phần liên thông khác nên việc chứng minh định lý trên sẽ tương đương
với chứng minh H − e liên thông khi và chỉ khi e thuộc một xích.
Đầu tiên giả sử H − e liên thơng. Khi đó nó chứa một đường nối từ x đến y
và khơng qua e, ghép đường đó với cạnh e ta được một xích chứa e. Ngược lại
giả sử e thuộc xích C . Lấy hai đỉnh bất kì u, v ∈ V (H). Do H liên thông nên
tồn tại đường P nối u, v . Nếu P không chứa e thì P là đường trong H − e đi
nối u, v . Nếu P chứa e, không mất tính tính tổng quát giả sử x nằm giữa y và

u trong P . Ta có H − e chứa đường từ u tới x, đường từ y tới v dọc theo P và
đường từ x tới y dọc theo C (hình 1.4). Kết hợp ba đường trên ta thu được một
đường u, v trong H − e. Do dó H − e là liên thơng.

Hình 1.4: Trường hợp P chứa e.

Định nghĩa 1.2.4. Một đồ thị khơng có vịng là một đồ thị phi chu trình. Rừng

14

là một đồ thị phi chu trình. Cây là đồ thị liên thơng và khơng có chu trình. Lá
là một đỉnh có bậc 1. Đồ thị con bao trùm của G là một đồ thị con với tập đỉnh
là V (G). Cây bao trùm là một thị con bao trùm và là một cây.
Nhận xét 1.2.1. Ta thấy:

• Mỗi cây là một rừng liên thông, mọi thành phần liên thông của rừng là
một cây.

• Mỗi một đường là một cây, một cây là một đường khi và chỉ khi bậc lớn
nhất của nó bằng 2.
Ví dụ 1.2.2. Hình 1.5 cho ta ví dụ về một rừng có 4 cây, trong đó có một cây
tầm thường (cây chỉ có một đỉnh).

Hình 1.5: Rừng gồm 4 cây.

Định lý 1.2.2. [5] Cho G là đồ thị n đỉnh với n ≥ 1. Các mệnh đề sau tương
đương:
1. G là một cây.
2. G có n − 1 cạnh và khơng có chu trình.
3. G liên thơng và có n − 1 cạnh.


15

4. Với u, v ∈ V (G), có duy nhất một đường nối từ u tới v .
Hệ quả 1.2.1. [5]

1. Mọi cạnh của một cây đều là một cạnh cắt.
2. Thêm một cạnh vào cây tạo ra duy nhất một vịng.
3. Mọi đồ thị liên thơng đều chứa một cây bao trùm.

1.3

Các loại liên thông trên đồ thị

Trong mục này chúng tơi trình bày về những lớp đồ thị có "liên kết" tốt, tức
là các đỉnh của đồ thị vẫn được kết nối với nhau kể cả khi xóa bỏ một số đỉnh
hoặc cạnh. Điều này rất có ý nghĩa trong việc xây dựng mạng lưới truyền thông,
điện lưới,. . .

1.3.1

Đồ thị k - liên thông

Phần này giới thiệu về đồ thị k - liên thông, đồ thị mà sau khi xóa đi k − 1
đỉnh thì vẫn cịn liên thông.
Định nghĩa 1.3.1. Tập phân tách hay tập đỉnh cắt của đồ thị G là tập S ⊆

V (G) sao cho G − S có nhiều hơn một thành phần liên thông.
Kết nối của G, viết là κ(G) là kích cỡ nhỏ nhất của một tập đỉnh cắt S sao
cho G − S là không liên thông hoặc chỉ có một đỉnh.
Một đồ thị G gọi là k -liên thơng nếu kết nối của nó lớn hơn hoặc bằng k ,
tức là khi ta xóa đi k − 1 đỉnh thì đồ thị G vẫn cịn liên thơng.
Ví dụ 1.3.1.

• Một clique khơng có tập phân tách và κ(Kn ) = n − 1. Từ đó

ta thu được một đồ thị G khơng là đồ thị đầy đủ thì κ(G) ≤ n(G) − 2.

• κ(Km,n ) = min(m, n) với Km.n là đồ thị hai phần đầy đủ.


16

• Một đồ thị có nhiều hơn hai đỉnh có kết nối 1 khi và chỉ khi nó liên thơng
và có một đỉnh cắt.

• Một đồ thị với nhiều hơn một đỉnh có kết nối 0 khi và chỉ khi nó khơng liên
thơng.

• κ(K1 ) = 0.
• Hình 1.6 cho ta một số ví dụ về kết nối của một số đồ thị.

Hình 1.6: Kết nối của K3 , K2,3 và đồ thị liên thơng có một đỉnh cắt.

Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về đồ thị 2 - liên thơng, lớp đồ thị vẫn giữ
được tính 2 - liên thông khi ta thay thế một cạnh của đồ thị bằng một cặp cạnh
khác. Đặc biệt nó có thể được phân tích thành hợp của các xích và đường.
ĐỒ THỊ 2-LIÊN THÔNG
Định nghĩa 1.3.2. Hai đường nối từ u đến v là rời nhau nếu chúng khơng có
đỉnh trong chung.


17

Định lý 1.3.1. [5] Một đồ thị G có ít nhất 3 đỉnh là 2 - liên thông khi và chỉ khi
với mỗi cặp đỉnh u, v ∈ V (G) có nhiều hơn hai đường rời nhau nối từ u đến v

trong G.
Chứng minh. Điều kiện đủ: Vì ∀u, v ∈ V (G), G chứa các đường rời nhau nối

u với v nên nếu xóa đi một đỉnh của G thì khơng thể chia cắt được u và v . Vậy
G là 2 - liên thông.
Điều kiện cần: Giả sử G là 2 - liên thông, lấy u, v ∈ V (G) ta chứng minh

G chứa các đường u, v rời nhau bằng quy nạp theo d(u, v). Nếu d(u, v) = 1.
Vì G là 2 - liên thơng nên κ (G) ≥ κ(G) ≥ 2. Do đó G − uv liên thông nên
suy ra tồn tại đường nối u tới v trong G − uv , đường này rời nhau với cạnh uv
trong G. Vậy trong G chứa hai đường rời nhau nối u và v .
Giả sử giả thiết đúng với 1 < d(u, v) ≤ k − 1. Ta chứng minh mệnh đề
đúng với d(u, v) = k . Lấy w là đỉnh trước v trên đường nối u tới v ngắn nhất,
khi đó ta có d(u, w) = k − 1. Theo giả thiết quy nạp G chứa hai đường nối u
tới w rời nhau P và Q. Nếu v ∈ V (P ) ∪ V (Q) khi đó ta tìm được hai đường
rời nhau trên đường tròn P ∪ Q. Giử sử v ∈
/ V (P ) ∪ V (Q), do G là 2 - liên
thơng nên G − w liên thơng. Do đó tồn tại đường R đi từ u tới v chứa trong

G − w. Nếu R khơng có điểm trong chung với P hoặc Q thì G chứa hai đường
rời nhau nối u, v là R và P ∪ wv (nếu R\{u} ∩ V (P ) = ∅) hoặc Q ∪ wv (nếu

R\{u} ∩ V (Q) = ∅). Nếu R có điểm trong chung với cả P và Q. Gọi z là
đỉnh cuối cùng của R (trước v ) thuộc P ∪ Q. Khơng mất tính tổng qt, giả sử

z ∈ P . Ta sẽ kết hợp đường con từ u tới z của P với đường con từ z tới v của
R để tạo nên đường nối u và v rời nhau với Q ∪ wv (hình 1.7). Vậy G chứa hai
đường rời nhau từ u đến v .
Hệ quả 1.3.1. [5] Nếu G là đồ thị k - liên thông và G là đồ thị thu được khi
thêm vào đồ thị G một đỉnh mới y với ít nhất k hàng xóm trong G, thì G là k liên thơng.

18

Hình 1.7: Trường hợp đường R có điểm trong chung với cả P và Q.

Chứng minh. Giả sử S là tập phân tách của G . Nếu y ∈ S thì S − y phân tách

G, do đó |S| ≥ k + 1.
Nếu y ∈
/ S và N (y) ⊆ S thì |S| ≥ k . Mặt khác nếu y và N (y) − S nằm
trên một thành phần liên thơng của G − S thì S phải chia cắt G và |S| ≥ k .
Vậy ta có |S| ≥ k nên G là k - liên thông.
Định lý 1.3.2. [5] Cho G là đồ thị với ít nhất ba đỉnh, các mệnh đề sau tương
đương.
a) G liên thông và khơng có đỉnh cắt.
b) Với mọi x, y ∈ V (G), tồn tại ít nhất hai đường rời nhau nối từ x đến y .
c) Với mọi x, y ∈ V (G) tồn tại chu trình đi qua x và y .
d) δ(G) ≥ 1 và mọi cặp cạnh của G đều cùng nằm trên một chu trình.
Chứng minh. G liên thơng và khơng có đỉnh cắt nên G là đồ thị 2 - liên thông.
Do định lý 1.3.1 ta có a ⇔ b. Mỗi một chu trình chứa x, y tương ứng với một
cặp đường nối x và y rời nhau nên ta có c ⇔ b, vậy ta chỉ cần chứng minh

c ⇔ d.


19

Ta có d ⇒ c vì δ(G) ≥ 1 nên x, y không phải đỉnh cô lập. Nếu xy là một
cạnh của G thì tồn tại một chu trình đi qua xy và bất kì một cạnh nào khác trong

G do đó tồn tại chu trình đi qua x và y . Ngược lại, nếu x, y không kề nhau ta áp
dụng ý (d) cho hai cạnh kề với x và y ta được một chu trình đi qua x, y .

c ⇒ d: Ta có a ⇔ c nên G thỏa mãn cả (a) và (c). Vì G liên thông nên
δ(G) ≥ 1. Xét hai cạnh uv và xy của G. Ta thêm hai đỉnh w, z và các cạnh wu,
wv , zx, zy vào G và thu được đồ thị G . Do G là 2 - liên thông nên G - 2 liên
thông (hệ quả 1.3.1). Áp dụng (c) suy ra tồn tại chu trình T đi qua w và z . Do

w, z có bậc là 2 nên T phải chứa hai đường uwv và xzy . Thay thế hai đường
trên bởi các cạnh uv và xy ta được một chu trình đi qua uv và xy (hình 1.8).

Hình 1.8: Chu trình u, x, y, v, u đi qua hai cạnh uv và xy.

Định nghĩa 1.3.3. [5] Trong đồ thị G, sự phân chia (subdivision) của một cạnh

uv là một phép toán thay thế uv thành một đường u, w, v đi qua một đỉnh mới
w (hình 1.9).

Hình 1.9: Sự phân chia cạnh uv thành đường u, w, v.


20

Hệ quả 1.3.2. [5] Nếu G là đồ thị 2 - liên thơng thì đồ thị G thu được bằng
cách phân chia một cạnh của G cũng là 2 - liên thông.
Chứng minh. Giả sử G là đồ thị thu được từ đồ thị G bằng cách thêm các cạnh

wu, wv để phân chia cạnh uv . Ta chứng minh G là 2 - liên thông bằng cách sử
dụng định lý 1.3.2.d. Tức là ta sẽ chỉ ra có một chu trình đi qua hai cạnh e, f bất

kì của G .
Trường hợp 1: e, f ∈ E(G). Do G là 2 - liên thông nên e, f sẽ cùng nằm
trên một chu trình chứa trong G. Nếu chu trình đó khơng chứa uv thì nó cũng
nằm trong G . Nếu nó chứa uv thì ta sẽ sửa đổi chu trình này như sau (hình
1.10):

Hình 1.10: Sửa đổi chu trình qua e, f .

Trường hợp 2: Giả sử e ∈ E(G) và f ∈ {uw, wv}. Do e, uv ∈ G nên tồn
tại một chu trình đi qua hai cạnh đó, tiếp tục sửa đổi chu trình này giống như
trong trường hợp 1 ta thu được một chu trình đi qua e, f và nằm trong G .
Trường hợp 3: e, f ∈ {uw, wv}. Ta có một chu trình đi qua uv và một cạnh
bất kì khác trong G, sửa đổi chu trình đó ta được một chu trình đi qua e, f và
nằm trong G . Vậy G là 2 - liên thông.


21

1.3.2

Đồ thị k - cạnh liên thông

Tiếp theo chúng tôi sẽ giới thiệu về một loại liên thơng khác đó là k - cạnh
liên thông, đồ thị k - cạnh liên thơng là đồ thị mà sau khi xóa đi k − 1 cạnh thì
vẫn cịn liên thơng.
Định nghĩa 1.3.4. [5] Tập ngắt kết nối cạnh là tập F ⊆ E(G) sao cho G − F
có nhiều hơn một thành phần liên thông.
Một đồ thị là k - cạnh liên thơng nếu mọi tập ngắt kết nối cạnh của có có ít
nhất k cạnh. Tức là xóa đi k − 1 cạnh thì đồ thị vẫn cịn liên thơng.
Kết nối cạnh của G, viết là κ (G) là kích cỡ nhỏ nhất của các tập ngắt kết

nối cạnh của G.
Cho S, T ⊆ V (G), ta viết [S, T ] là tập các cạnh có một đỉnh thuộc S và
đỉnh còn lại thuộc T . Tập cạnh cắt là tập cạnh có dạng [S, S] với S là tập con
thực sự khác rỗng của V (G) và S = V (G) − S .
Chú ý 1. Mọi tập cạnh cắt là tập ngắt kết nối cạnh, do G − [S, S] không chứa
đường đi từ S đến S . Điều ngược lại chưa chắc đúng do tập ngắt kết nối cạnh
có thể có nhiều cạnh (hình 1.11).
Tuy nhiên, mọi tập ngắt kết nối cạnh cực tiểu đều là một tập cạnh cắt (khi
đồ thị có nhiều hơn một đỉnh). Thật vậy, giả sử F là một tập ngắt kết nối cạnh
của đồ thị G, khi đó với mỗi H là một thành phần liên thông của G − F ta đã
xóa đi tất cả các cạnh có đúng một đỉnh thuộc H . Do vậy F chứa tập cạnh cắt

[V (H), V (H)], do tính cực tiểu của F nên F = [V (H), V (H)].
Định lý 1.3.3. [5] Nếu G là đơn đồ thị thì:

κ(G) ≤ κ (G) ≤ δ(G).
Chứng minh. Ta có tập tất cả các cạnh kề với đỉnh có bậc nhỏ nhất là một tập
cạnh cắt nên κ (G) ≤ δ(G). Do đó ta chỉ cần chỉ ra κ(G) ≤ κ (G).